Sistem Numerasi - Ambar F [PDF]

Citation preview

BILANGAN, ANGKA DAN SISTEM NUMERASI



Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Pendidikan Matematika 1



Dosen : Dr.Riyadi,M.Si



Oleh



:



Ambar Febriyanti (K7112012)



PRODI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR (PGSD) JURUSAN ILMU PENDIDIKAN FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SEBELAS MARET



2012



1



KATA PENGANTAR



Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat rahmat dan hidayah-Nya sehingga penyusunan makalah yang berjudul “BILANGAN, ANGKA DAN SISTEM NUMERASI” ini telah dapat diselesaikan. Melalui kesempatan yang sangat berharga ini penyusun menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu penyelesaian makalah ini, terutama kepada yang terhormat : 1. Bapak Riyadi selaku dosen pembimbing mata kuliah Pendidikan Matematika 1 2. Teman-teman kelas 1A prodi PGSD Universitas Sebelas Maret dan semua pihak yang telah membantu dan memberikan dukungan kepada kami dalam menyelesaikan makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat dan memberi informasi-informasi kepada semua pihak. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa penulisan makalah ini masih banyak kekurangan dan kelemahan, untuk itu penulis mengharapkan segala kritik dan saran dari berbagai pihak demi perbaikan penyusunan makalah berikutnya.



Surakarta, September 2012



Penulis



2



DAFTAR ISI



Halaman Judul .......................................................................................................................1 Kata Pengantar .......................................................................................................................2 Daftar Isi ................................................................................................................................3 BAB I PENDAHULUAN ..................................................................................................4 A. Latar Belakang .....................................................................................................4 B. Rumusan Masalah ................................................................................................4 C. Tujuan ..................................................................................................................5 D. Manfaat ................................................................................................................6 BAB II KAJIAN TEORI .......................................................................................................7 A. Bilangan dan Angka .............................................................................................7 B. Sistem Numerasi ..................................................................................................8 1. Sistem Turus ..................................................................................................9 2. Sistem Mesir Kuno ........................................................................................9 3. Sistem Babilonia ............................................................................................11 4. Sistem Maya...................................................................................................13 5. Sistem Romawi ..............................................................................................14 6. Sistem Arab-Hindu ........................................................................................16 7. Sistem Cina ....................................................................................................17 8. Sistem Yunani ................................................................................................18 BAB III KESIMPULAN........................................................................................................20 Daftar Pustaka ........................................................................................................................21



3



BAB 1 PENDAHULUAN



A. Latar belakang Pada zaman purbakala, pengetahuan matematika diperlukan dalam ilmu teknik oleh bangsa-bangsa yang bermukim di sepanjang sungai untuk keperluan mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi, penghitungan hasil pertanian dan peternakan. Bangsa Mesir hidup disepanjang Sungai Nil, bangsa Babilonia hidup di sepanjang Sungai Efrat-Tigris, bangsa Hindu di sepanjang Sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina di sepanjang Sungai Huang Yo dan Yang Tze. Mereka memerlukan matematika untuk perhitungan sederhana. Untuk keperluan tersebut diperlukanlah bilangan-bilangan. Kebutuhan terhadap bilangan mula-mula sederhana tetapi makin lama makin meningkat, sehingga manusia perlu mengembangkan sistem numerasi. Sejak zaman dahulu kala, manusia berkepentingan dengan bilangan untuk menghitung banyak ternaknya,mengukur luas sawahnya,untuk berkomunikasi dengan sesamanya. Kebutuhan terhadap bilangan tersebut mula-mula sederhana,tetapi makin lama makin meningkat ,sehingga manusia perlu meningkatkan dan mengembangkan sistem numerasi. Sistem numerasi pun terus berkembang selama berabad-abad ,dari masa ke masa hingga saat ini. Dengan mempelajari sejarah perkembangan sistem numerasi ,notasi pangkat dan algoritma dalam operasi aritmatika ,kita dapat lebih menghayati ,lebih mengagumipara pendahulu kita . betapa hebat dan uletnya para penemu yang hidup pada abad-abad yang silam. Betapa indah dan menakjubkannya penemuan-penemuan di bidang matematika tersebut ,sehingga kita bisa lebih mencintai dan lebih menyukai matematika yang oleh sebagian besar murid dianggap sebagai hal yang ditakuti.



B. Rumusan Masalah 1. Apa sajakah sistem numerasi yang pernah digunakan dan dikembangkan oleh para pendahulu kita?



4



C. Tujuan Dalam penyusunan makalah ini ada beberapa tujuan yaitu: 1. Memahami beberapa sistem numerasi 2. Memahami sistem numerasi dengan menggunakan nilai tempat



D. Manfaat Adapun manfaat yang dapat diambil dari pembuatan makalah ini adalah: 1. Semoga makalah ini dapat menjadi referensi dalam pembuatan makalah selanjutnya 2. Dapat memberikan pengetahuan lebih terutama dalam mata kuliah Pendidikan Matematika 1



5



BAB II KAJIAN TEORI



A. Bilangan dan Angka Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahuntahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks. Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris. Operasi uner mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika Dalam penggunaan sehari-hari, angka dan bilangan seringkali dianggap sebagai dua entitas yang sama. Selain itu terdapat pula konsep nomor yang berkaitan. Secara kaku, angka, bilangan, dan nomor merupakan tiga entitas yang berbeda. Angka adalah suatu tanda atau lambang yang digunakan untuk melambangkan bilangan. Contohnya, bilangan lima dapat dilambangkan menggunakan angka Hindu-Arab “5″ (sistem angka berbasis 10), “101″ (sistem angka biner), maupun menggunakan angka Romawi „V‟. Lambang “5″, “1″, “0″, dan “V” yang digunakan untuk melambangkan bilangan lima disebut sebagai angka. Nomor biasanya menunjuk pada satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yg berurutan. Misalnya kata „nomor 3′ menunjuk salah satu posisi urutan dalam barisan bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, …, dst. Kata nomor sangat erat terkait dengan pengertian “urutan”. Menurut sejarah ketika orang melakukan kegiatan membilang atau mencacah kebingungan untuk memberikan lambang bilangannya. tetapi kemudian dibuatlah sistem 6



numerasi yaitu sistem yang terdiri dari numerial (lambang bilangan/angka) dan number (bilangan). Sistem numerasi adalah aturan untuk menyatakan menuliskan bilangan dengan menggunakan sejumlah lambang bilangan. Bilangan sendiri itu adalah ide abstrak yang tidak didefinisikan. Setiap Bilangan mempunyai banyak lambang bilangan. Satu lambang bilangan menggambarkan satu bilangan. Setiap bilangan mempunyai banyak nama. Misal bilangan 125 mempunyai nama bilangan seratus dua puluh lima. terdiri dari lambang bilangan 1, 2, dan 5. Angka/digit terdiri dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lambang bilangan ini disebut angka hindu arab yang digunakan sampai sekarang Sebelum angka hindu arab ditemukan, terdapat lambang bilangan mesir kuno yang disebut heroglip, lambang bilangan romawi, lambang bilangan babilon, lambang bilangan maya, Lambang Bilangan dan Perkembangannya



Konsep bilangan pada awalnya hanyalah untuk kepentingan menghitung dan mengingat jumlah. Lambat laun, setelah para ahli matematika menambah perbendaharaan simbol dan kata yang tepat untuk mendefinisikan bilangan, bahasa matematika ini menjadi sesuatu yang penting dalam setiap perubahan kehidupan. Tak pelak lagi, bilangan senantiasa hadir dan dibutuhkan dalam sains, teknologi dan ekonomi bahkan dalam dunia musik, filosofi dan hiburan. Berdasarkan fakta sejarah peradaban manusia, dahulu kala ketika orang primitif hidup di Gua-gua dengan mengandalkan makanannya dari tanaman dan pepohonan disekitar gua atau berburu untuk sekali makan, kehadiran bilangan, hitung menghitung atau matematika tidaklah terlalu dibutuhkan. Tetapi, tatkala mereka mulai hidup untuk persediaan makanan, mereka harus menghitung berapa banyak ternak miliknya dan milik tetangganya atau berapa banyak persediaan makanan saat ini, mulailah mereka membutuhkan dan menggunakan hitung menghitung. Mula-mula, manusia menggunakan benda-benda seperti kerikil, sampul pada tali, jari jemari, atau ranting pohon untuk menyatakan banyaknya hewan dan kawanannya atau anggota keluarga yang tinggal bersamanya. Inilah dasar pemahaman tentang konsep bilangan. Ketika seseorang 7



berfikir bilangan dua, maka dalam benaknya telah tertanam pengertian terdapat benda sebanyak dua buah. Misalnya, dalam gambar 1.3 terdapat dua buah katak dan dua buah kepiting dan selanjutnya kata “dua” dilambangkan dengan “2”.



B. Sistem Numerasi Sistem numerasi adalah sekumpulan lambang dan aturan pokok untuk menuliskan bilangan. Lambang yang menyatakan suatu bilangan disebut numeral/ lambang bilangan. Banyaknya suku bangsa di dunia menyebabkan banyaknya sistem numerasi yang berbeda. Oleh karena itu suatu bilangan dapat dinyatakan dengan bermacam-macam lambang, tetapi suatu lambang menunjuk hanya pada satu bilangan. Secara umum, sistem numerasi yang pertama-tema digunakan, merupakan sistem penjumlahan,sistem perkalian,dan sistem nilai tempat. Penjumlahan yang mula-mula digunakan dinyatakan dalam sekumpulan simbol-simbol. Sebuah bilangan yang dinyatakan dengan kumpulan simbol merupakan jumlah dari bilangan-bilangan yang dinyatakan oleh masingmasing simbol . Misalnya: a) @∩│ adalah simbol-simbol dalam sistem mesir , artinya 111(=100+10+1) b)



XI adalah simbol-simbol dalam sistem romawi yang artinya 11(=10+1) Berikut ini akan dikenalkan beberapa sistem numerasi yang pernah digunakan dan



dikembangkan oleh para pendahulu kita. 1. Sistem Turus Salah satu sistem numerasi yang pertama-tama digunakan adalah sistem turus,sistem ini menggunakan simbol tongkat “│”untuk menyatakan suatu bilangan. Misalnya ││││││ ,menunjukkan bilangan 6 ternak. Hingga saat ini pun kita masih menggunakan sistem turus ini, misalnya untuk mencatat skor suatu pertandingan olahraga. Sebagai ilustrasi : 5 dan │││││. Merupakan simbol-simbol yang menunjukkan bilangan yang sama.



2. Sistem Mesir Kuno Sistem numerasi ini merupakan salah satu pelopor dari sistem penjumlahan yang tercatat dalam sejarah yaitu kurang lebih 3000 S.M. ( Glenn John and Litter, Graham dalam A dictionary 8



of mathematics,1984,p.58) tulisan pada jaman mesir ((kurang lebih 650 S.M)ditulis pada papyrus (dari kata papu,yaitu semacam tanaman) atau pada perkamen (kulit kambing). Sistem numerasi ini menggunakan simbol berupa gambar-gambar Tongkat Tulang tumit Gulungan tali Bunga Teratai Telunjuk Polliwing / burbot ( berudu ) Orang terheran-heran Bangsa Mesir Kuno telah mengenal alat tulis sederhana menyerupai kertas yang disebut papyrus. Mereka membuat tulisan gambar dengan menggunakan sejenis pena dengan tinta berwarna hitam-merah.tulisan mesir kuno sering disebut tulisan Hieroglif,dan tulisan ini ditemukan dalam bentuk papyrus.Tulisan Mesir kuno dioperkirakan dikembangkan pada tahun 3400 SM. Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadangkadang disebut juga “Lembaran Ahmes” berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri. Symbol-simbol dalam Mesir Kuno dapat diletakkan dengan urut sembarang, sehingga untuk menyatakan Notasi matematika Mesir Kuno bersifat desimal (berbasis 10) dan didasarkan pada simbol-simbol hieroglif untuk tiap nilai perpangkatan 10 (1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000) sampai dengan sejuta. Tiap-tiap simbol ini dapat ditulis sebanyak apapun sesuai dengan bilangan yang diinginkan; sehingga untuk menuliskan bilangan delapan puluh atau delapan ratus, simbol 10 atau 100 ditulis sebanyak delapan kali.Karena metode perhitungan 9



mereka tidak dapat menghitung pecahan dengan pembilang lebih besar daripada satu, pecahan Mesir Kuno ditulis sebagai jumlah dari beberapa pecahan. Sebagai contohnya, pecahan dua per tiga (2/3) dibagi menjadi jumlah dari 1/3 + 1/15; proses ini dibantu oleh tabel nilai [pecahan] standar. Simbol-simbol dalam sistem mesir dapat diletakkan dengan urutan sembarang. Sehingga untuk menyatakan suatu bilangan yang sama dapat ditulis dengan beberapa cara. Dengan perkataan lain, sistem mesir tidak mengenal nilai tempat (sedang dalam sistem yang kita gunakan. 43 nilainya berbeda dengan 34). Contoh 1: 43 dapat ditulis sebagai



:



∩∩∩∩ │││ Atau ∩│∩│∩│∩ Atau ∩∩│││∩∩ Dan sebagainya Contoh 2



:



a. @@@∩∩∩│││



=300 +30+3 =333



b. ∩∩∩∩∩ │││││



=40+5 =45



3. Sistem Babilonia Sistem numerasi babilonia ini digunakan kira-kira 3000 S.M (Glenn John and Litter, Graham dalam A dictionary of mathematics , 1984) Pada masa itu orang menulis angka-angka dengan sepotong kayu pada tablet yang terbuat dari tanah liat ( clay tablets)



10



Simbol baji “



“ digunakan untuk menyatakan 1 dan simbol “