Soal Deret Gradien Aritmatik Dan Geometrik [PDF]

Citation preview

DERET GRADIEN ARITMATIK DAN GEOMETRIK EKONOMI TEKNIK



DISUSUN OLEH :



1. 2.



ANDI MUH. KASYFILLAH IMADUDDINUL RAUSANDAMIR



( 412 19 006 ) ( 412 19 012 )



3A D4 MANAJEMEN JASA KONSTRUKSI



JURUSAN TEKNIK SIPIL POLITEKNIK NEGERI UJUNG PANDANG 2021 / 2022



DERET GRADIEN ARITMATIK Soal 1. Pada sebuah mesin tertentu, diperkirakan biaya pemeliharaan adalah pada tahun pertama Rp1.000.000, pada tahun kedua Rp2.000.000 dan seterusnya selalu meningkat Rp1.000.000 setiap tahun sampai tahun ke4. Berapa biaya pemeliharaan tahunan seragam yang setara untuk mesin jika bunga yang digunakan adalah 6%? Jawab : *Diketahui : G = Rp1.000.000 P = Rp1.000.000 n = 4 tahun I = 6% *Ditanyakan : A...? *Penyelesaian : A = P + G (A/G.6%.4) A = 1.000.000 + G {1/i - n/(1+i)n-1} A = 1.000.000 + 1.000.000 {1/0,06- 4/(1+0,06)4-1} A = 1.000.000 + 1.000.000 (1,427) A = 1.000.000 + 1.427.000 A = 2.427.000



2. Perkiraan jika biaya operasional dan pemeliaraan dari suatu buildisor sebesar Rp5.000.000 pada tahun pertama, Rp5.200.000 pada tahun kedua dan seterusnya selalu meningkat Rp200.000 setiap tahun sampai tahun ke5. Bila tingkat bunga yang berlaku 20% pertahun, hitunglah nilai sekarang dan semua biaya diatas! Jawab : *Diketahui : G = Rp200.000 P = Rp5.000.000 n = 5 tahun I = 20% *Ditanyakan : A...? *Penyelesaian : A = P + G (A/G.20%.5)



A = 5.000.000 + G {1/i - n/1+i)n-1} A = 5.000.000 + 200.000 {1/0,20 - 5/(1+0,20)5-1} A = 5.000.000 + 200.000 (1,63) A = 5.000.000 + 326.000 A = 5.326.000



3. Sebuah perusahaan membeli sebuah mesin untuk keperluan pabriknya, diperkirakan biaya perwatannya adalah sebesar Rp2.800.000 pada tahun pertama, dan mengalami peningkatan Rp200.000 Setiap tahun sampai tahun ke4. Bila tingkat bunga yang berlaku adalah 15% pertahun, berapa biaya perawata tahunan seragam? Jawab : *Diketahui : G = Rp200.000 P = Rp2.8000.000 n = 4 tahun I = 15% *Ditanyakan : A...? *Penyelesaian : A = P + G (A/G.15%.4) A = 2.800.000 + G {1/i - n/1+i)n-1} A = 2.800.000 + 200.000 {1/0,15 - 4/(1+0,15)4-1} A = 2.800.000 + 200.000 (1,34) A = 2.800.000 + 268.000 A = 3.068.000



4. Sebuah pabrik tekstil di India memasang sejumlah alat tenun baru. Diharapkan perawatan awal itu biaya dan pengeluaran untuk perbaikan akan tinggi dan kemudian akan menurun selama setahun, biaya proyeksi 2.400.000 tahun pertama, 1.800.000 tahun kedua menurun 600.000 setiap tahun sampai tahun ke4. Berapa biaya proyeksi pemeliharaan tahunan yang setara dan biaya perbaikan jika bunga 10%? Jawab : *Diketahui : G = Rp600.000 P = Rp2.400.000 n = 4 tahun



I = 10% *Ditanyakan : A...? *Penyelesaian : A = P - G (A/G.20%.4) A = 2.400.000 - G {1/i - n/(1+i)n-1} A = 2.400.000 - 600.000 {1/0,10 - 4/(1+0,10)4-1} A = 2.400.000 - 600.000 (1,31) A = 2.400.000 - 786.000 A = 1.614.000



5. Perikiraan jika biaya operasional dan pemeliharaan sebuah dumptruk sebesar Rp3.000.000 pada tahun pertama, Rp 3.300.000 pada tahun kedua dan seterusnya selalu meningkat Rp300.000 tiap tahunnya sampai tahun ke5. jika tingkat bunga yang berlaku adalah 20% pertahun, berapakah nilai sekarang dan semua biaya diatas! Jawab : *Diketahui : G = Rp300.000 P = Rp3.000.000 n = 5 tahun I = 20% *Ditanyakan : A...? *Penyelesaian : A = P - G (A/G.20%.5) A = 3.000.000 + G {1/i - n/1+i)n-1} A = 3.000.000 + 300.000 {1/0,20 - 5/(1+0,20)5-1} A = 3.000.000 + 300.000 (1,63) A = 3.000.000 + 489.000 A = 3.489.000



DERET GRADIEN GEOMETRIK Soal A. Jika g’>0 1. Sebuah bisnis perusahaan diperhitungkan akan mengalami peningkatan sebesar 10% per tahun dengan penerimaan awal pada tahun pertama sebesar 500 juta. Tentukan nilai sekarang dari penerimaan tersebut selama 10 tahun bila tingkat suku bunga sebesar 15%. Jawab: Diketahui : F1 = Rp. 500.000.000 g = 10% (0,1) n = 10 tahun i = 15% (0,15) Ditanyakan : P ? Penyelesaian : g’



1+i −1 1+ g 1+ 0,15 −1 = 1+ 0,1 1,15 −1 = 1,1 = 1,045 – 1 = 0,045 = 4,5% =



(1+ g' )n−1 (P/A,g’,n) = g '(1+ g' )n (1+ 0,045)10−1 = 0,045(1+0,045)10 0,553 = 0,070 = 7,9 P ( , g' , n) P =F A 1 (1+ g)



[



]



7,9 (1+0,1) 7,9 = 500.000 .000 1,1 = 500.000.000(7,18) = Rp. 3.590.000.000 = 500.000 .000



[ ] [ ]



2. Naufal memperhitungkan bisnisnya mengalami peningkatan sebesar 5% per tahun dengan pendapatan awal pada tahun pertama sebesar 250 juta. Tentukan



nilai sekarang dari pendapatan tersebut selama 5 tahun bila tingkat suku bunga sebesar 12%. Jawab: Diketahui : F1 = Rp. 250.000.000 g = 5% (0,05) n = 5 tahun i = 12% (0,12) Ditanyakan : P ? Penyelesaian : g’



1+i −1 1+ g 1+ 0,12 −1 = 1+ 0,05 1,12 −1 = 1,05 = 1,067 – 1 = 0,067 = 6,7% =



(1+ g' )n−1 g '(1+ g' )n (1+ 0,067)5 −1 = 0,067(1+0,067)5 0,383 = 0,0927 = 4,13 P ( , g' , n) =F A 1 (1+ g)



(P/A,g’,n)



P



=



[



]



4,13 (1+0,05) 4,13 = 250.000 .000 1,05 = 250.000.000(3,93) = Rp. 982.500.000 = 250.000 .000



[ ] [ ]



3. Furqan memperhitungkan bisnisnya mengalami peningkatan sebesar 7% per tahun dengan pendapatan awal pada tahun pertama sebesar 300 juta. Tentukan nilai sekarang dari pendapatan tersebut selama 5 tahun bila tingkat suku bunga sebesar 10%. Jawab: Diketahui : F1 = Rp. 300.000.000 g = 7% (0,07) n = 5 tahun i = 10% (0,1)



Ditanyakan : P ? Penyelesaian : g’



1+i −1 1+ g 1+0,1 −1 = 1+ 0,07 1,1 −1 = 1,07 = 1,028 – 1 = 0,028 = 2,8 % =



(1+ g' )n−1 g '(1+ g' )n (1+ 0,028)5−1 = 0,028(1+0,028)5 0,148 = 0,0321 = 4,61 P ( , g' , n) =F A 1 (1+ g)



(P/A,g’,n)



P



=



[



]



4,61 (1+0,07) 4,61 = 300.000 .000 1,07 = 300.000.000(4,31) = Rp. 1.293.000.000 = 300.000 .000



[ ] [ ]



4. Sebuah bisnis perusahaan mengalami peningkatan sebesar 7% per tahun dengan pendapatan awal pada tahun pertama sebesar 700 juta. Tentukan nilai sekarang dari pendapatan tersebut selama 5 tahun bila tingkat suku bunga sebesar 10%. Jawab: Diketahui : F1 = Rp. 700.000.000 g = 7% (0,07) n = 5 tahun i = 10% (0,1) Ditanyakan : P ? Penyelesaian : g’



1+i −1 1+ g 1+0,1 −1 = 1+ 0,07 =



1,1 −1 1,07 = 1,028 – 1 = 0,028 = 2,8 % =



(1+ g' )n−1 g '(1+ g' )n (1+ 0,028)5−1 = 0,028(1+0,028)5 0,148 = 0,0321 = 4,61 P ' ( , g , n) =F A 1 (1+ g)



(P/A,g’,n)



P



=



[



]



4,61 (1+0,07) 4,61 = 700.000 .000 1,07 = 700.000.000(4,31) = Rp 3.017.000.000 = 700.000 .000



[ ] [ ]



5. Seorang pengusaha memperhitungkan peningkatan bisnisnya sebesar 10% per tahun dengan pendapatan awal pada tahun pertama sebesar 320 juta. Tentukan nilai sekarang dari pendapatan tersebut selama 7 tahun bila tingkat suku bunga sebesar 12%. Jawab: Diketahui : F1 = Rp. 320.000.000 g = 10% (0,1) n = 7 tahun i = 12% (0,12) Ditanyakan : P ? Penyelesaian : g’



1+i −1 1+ g 1+ 0,12 −1 = 1+ 0,1 1,12 −1 = 1,1 = 1,018 – 1 = 0,018 = 1,8 % =



(1+ g' )n−1 (P/A,g’,n) = g '(1+ g' )n (1+ 0,018)7 −1 = 0,018(1+0,018)7 0,133 = 0,0204 = 6,52 P ' ( , g , n) P =F A 1 (1+ g)



[



]



6,52 (1+0,1) 6,52 = 320.000 .000 1,1 = 320.000.000(5,927) = Rp 1.896.640.000 = 320.000 .000



[ ] [ ]



B. Jika g’ = 0 1. Sebuah bisnis perusahaan mengalami peningkatan sebesar 10% per tahun dengan pendapatan awal pada tahun pertama sebesar 500 juta. Tentukan nilai sekarang dari pendapatan tersebut selama 5 tahun bila tingkat suku bunga sebesar 10%. Jawab: Diketahui : F1 = Rp. 500.000.000 g = 10% (0,1) n = 5 tahun i = 10% (0,1) Ditanyakan : P ? Penyelesaian : P



= F1



( (1+ng) )



5 ( (1+0,1) ) 5 = 500.000 .000 ( 1,1 ) = 500.000 .000



2.



= 500.000.000(4,54) = Rp 2.270.000.000 Sebuah bisnis penjualan mobil meningkat sebesar 2% per tahun dengan pendapatan awal pada tahun pertama sebesar 550 juta. Berapakah nilai sekarang dari pendapatan tersebut selama 10 tahun bila tingkat suku bunga sebesar 2%. Jawab: Diketahui : F1 = Rp. 500.000.000 g = 6% (0,06) n = 8 tahun



i Ditanyakan : P ? Penyelesaian : P



= F1



= 6% (0,06)



(



n (1+ g)



)



10 ( (1+0,02) ) 10 = 550.000 .000 ( 1,02 ) = 550.000 .000



3.



= 550.000.000(9,8) = Rp 5.406.500.000 Pak Budi memiliki bisnis dengan pendapatan awal sebesar 210 juta, dia memperhitungkan peningkatan sebesar 3% per tahun. Berapakah nilai sekarang dari pendapatan tersebut selama 5 tahun bila tingkat suku bunga sebesar 3%. Jawab: Diketahui : F1 = Rp. 210.000.000 g = 3% (0,03) n = 5 tahun i = 3% (0,03) Ditanyakan : P ? Penyelesaian : P



= F1



( (1+ng) )



5 ( (1+0,03) ) 5 = 210.000 .000 ( 1,03 ) = 210.000 .000



4.



= 210.000.000(4,85) = Rp 1.018.500.000 Pak Adi memiliki bisnis dengan pendapatan awal sebesar 350 juta, dia memperhitungkan peningkatan sebesar 5% per tahun. Berapakah nilai sekarang dari pendapatan tersebut selama 3 tahun bila tingkat suku bunga sebesar 5%. Jawab: Diketahui : F1 = Rp. 350.000.000 g = 5% (0,05) n = 3 tahun i = 5% (0,05) Ditanyakan : P ? Penyelesaian : P



= F1



( (1+ng) )



3 ( (1+0,05) ) 5 = 350.000 .000 ( 1,05 ) = 350.000 .000



5.



= 350.000.000(4,762) = Rp 1.666.700.000 Hamzah memiliki bisnis penjualan makanan dengan pendapatan awal sebesar 512 juta, dengan memperhitungkan peningkatan sebesar 7% per tahun. Berapakah nilai sekarang dari pendapatan tersebut selama 5 tahun bila tingkat suku bunga sebesar 7%. Jawab: Diketahui : F1 = Rp. 512.000.000 g = 7% (0,07) n = 5 tahun i = 7% (0,07) Ditanyakan : P ? Penyelesaian : P



= F1



(



n (1+ g)



)



5 ( (1+0,07) ) 5 = 512.000 .000 ( 1,07 ) = 512.000 .000



= 512.000.000(4,673) = Rp 2.392.576.000 C. Jika g’