Soal Diferensial Biasa [PDF]

Citation preview

Soal - Soal Diferensial Biasa 1.



Tentukan turunan pertama dari y = (3x-2)4+(4x-1)3 adalah . . . Jawab: Kita uraikan satu per satu dulu masing-masing persamaan, misalnya : f (x) = y = (3x-2)4



misal U = (3x-2)



du/dx = 3



dy/dx = n.Un-1 . du/dx = 4. (3x-2)4-1.3 = 12 (3x-2)3 Terus berlanjut ke persamaan berikutnya : f (x) = y = (4x-1)3



misal U = (4x-1)



du/dx = 4



dy/dx = n.U.n-1 . du/dx = 3. (4x-1)3-1. 4 = 12 (4x-1)2 Setelah kita mengetahui hasil dari masing-masing persamaan, kemudian kita kembali gabungkan kedua persamaan tersebut : f (x) = y = (3x-2)4+(4x-1)3 = 12 (3x-2)3 + 12 (4x-1)2 = 12 2.



(3x-2)3 + (4x-1)2



Tentukan turunan pertama dari y = 5x2 + 7 adalah . . . 4x + 3 Jawab : y = 5x2 + 7, kita misalkan U = 5x2+7 maka du/dx = 10 x 4x + 3



V = 4x + 3 maka dv/dx = 4



= V. du/dx – U. dv/dx V2 = (4x+3) (10x) – (5x2 + 7) (4) (4x + 3)2 = 40x2 + 30x – 20x2 – 28 (4x + 3)2 = 20x2 + 30x – 28 (4x + 3)2



3.



Jika jumlah penduduk suatu daerah dalam t tahun mendatang dapat dinyatakan dalam fungsi t : f (t) = 10.000.000+11.000t-800 t2 maka dapatkan laju pertumbuhan penduduk didaerah tersebut pada saat lima tahun mendatang ! Jawab : f (t) = 10.000.000 + 11.000 t - 8.00 t2 f’ (t) = 11.000 - 8.00 t sehingga laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang adalah f’ (5) = 11.000- 8.00 . (5) = 11.000 – 4.000 = 7.000 Jadi laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang adalah 7.000 orang



4.



Jika diketahui fungsi total cost untuk memproduksi x satuan barang adalah TC = x3-4x2+16x+80, maka tentukan MC pada saat memproduksi 20 satuan barang ! Jawab : TC = x3-4x2+16x+80 MC = TCI = 3x2-8x+16 Sehingga MC untuk x = 20 adalah MC = 3 (20)2 – 8 (20) + 16 = 3 (4.00) – 8 (20) + 16 = 1.200 – 1.60 + 16 = 1.050 Satuan rupiah MC = 3 (20)2 – 8 (20) + 16 = 1.050 satuan rupiah Ini berarti pada posisi x = 20 satuan baran, akan terjadi tingkat perubahan biaya sebesar 1.050 satuan rupiah jika x berubah 1 unit.



5.



Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek perhari adalah y = (2x + - 80) dalam ribuan rupiah, biaya proyek minimum dalam x hari adalah . . . jawab : y = (2x + - 80) y (x) = (2x2 + 10.000 – 80x) biaya minimum diperoleh jika yI (x) = 0 4x-80 = 0



x = 20



Biaya minimum adalah : y (20) = 2 (20)2 + 10.000 – 80.20



= 800 + 10.000 – 1.600 = 9.200 Karena satuannya dalam ribuan, maka dikalikan 1.000 = Rp. 9.200.000,-



6. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: a) f(x) = 3x4 + 2x2 − 5x b) f(x) = 2x3 + 7x Pembahasan Rumus turunan fungsi aljabar bentuk axn



Sehingga: a) f(x) = 3x4 + 2x2 − 5x f ‘(x) = 4⋅3x4− 1 + 2⋅2x2−1 − 5x1-1 f ‘(x) = 12x3 + 4x1 − 5x0 f ‘(x) = 12x3 + 4x − 5 b) f(x) = 2x3 + 7x f ‘(x) = 6x2 + 7 7. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: a) f(x) = 10x b) f(x) = 8 c) f(x) = 12 Pembahasan a) f



(x) = 10x



f(x) = 10x1 f ‘(x) = 10x1−1



f ‘(x) = 10x0 f ‘(x) = 10



b) f(x) = 8 f(x) = 8x0 f ‘(x) = 0⋅ 8x0−1 f ‘(x) = 0



c) f(x) = 12 f ‘(x) = 0 8. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: a) f(x) = 5(2x2 + 4x) b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4) Pembahasan Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: a) f(x) = 5(2x2 + 4x) f(x) = 10x2 + 20x f ‘ (x) = 20x + 20 b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4) Urai terlebih dahulu hingga menjadi f (x) = 10x2 + 8x + 15x + 12 f (x) = 10x2 + 13x + 12



Sehingga f ‘ (x) = 20x + 13 9. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut



a) b) c)



Pembahasan



a)



b)



c)



10. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut, nyatakan hasil akhir dalam bentuk akar



a) b) c)



Pembahasan



a)



b)



c)



11. Dengan menggunakan rumus turunan hasil kali fungsi berikut ini



Tentukan turunan untuk f(x) = (x2 + 2x + 3)(4x + 5) Pembahasan Misal : u = (x2 + 2x + 3) v = (4x + 5) maka u ‘ = 2x + 2 v‘=4



sehingga penerapan rumus di atas menjadi



12. Diketahui



Jika f ‘(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2f ‘ (0) =… A. − 10 B. − 9 C. − 7 D. − 5 E. − 3 Pembahasan Untuk x = 0 maka nilai f(x) adalah Berikutnya menentukan turunan f (x) yang berbentuk hasil bagi fungsi



Misal: u = x2 + 3



-> u’ = 2x



v = 2x + 1



->



Sehingga



v’ = 2



Untuk nilai x = 0 langsung bisa dimasukkan saja seperti ini



Sehingga f(0) + 2f’ (0) = 3 + 2(−6) = − 9



13. jika diketahui , maka tentukanlah



f ( x)  x 3  4 x  6



turunan pertama f(x) Jawab :



y' 



dy d ( x 3  4 x  6)  dx dx 2 y '  3x  4  0 y '  3x 2  4



14. Tentukan turunan pertama dari



f ( x)  2 x 3  4 x 2  6 x



Jawab :



df ( x) d ( 2 x 3  4 x 2  6 x)  dx dx 2



f ' ( x) 



f ' ( x)  6 x  8 x  6 15. Jika y’ adalah turunan pertama



y  x3  6 x 2  4 x  2



dari , maka tentukanlah y(2) Jawab :



y' 



dy d ( x 3  6 x 2  4 x  2)  dx dx 2 y '  3 x  12 x  4



Jadi nila y’(2) adalah :



y ' (2)  3(2) 2  12(2)  4



y ' ( 2)  3.4  24  4 y ' ( 2)  32 16. Diketahui , , dan . tentukan turunan pertama dari z Jawab :



yz  g x22yx2xg4 6



z' 



dz  y ' ( x)  g ' ( x) dx z '  2  ( 2 x  2)



z'  2  4 17. Diketahui , jika f’(x) adalah



f ( x)  x 3  6 x 2  25 x  2



turunan pertama, maka tentukanlah nilai f’(2) Jawab :



f '



dy d ( x 3  6 x 2  25 x  2)  dx dx 2 f '  3 x  12 x  25



Jadi, nilai f’(2) adalah :



f '  3(2) 2  12( 2)  25 f '  3.4  24  25 f '  13



18. Selesaikan persamaan diferensial Jawab :



2z  x2 y xy 2z  x2 y xy   z   x2 y x  y  z 1  x3 y  F ( y) y 3



1 3 2 x y   F ( y ) dy  G ( x ) 3 1 z  x 3 y 2  H ( y )  G ( x) 3 y  x 2 ( x 2  2)



z Maka hasilnya : 19. Tentukan diferensial dari Jawab :



20. Contoh soal



21. Contoh soal



22. Jika , maka Jawab :



2 y  xdy sin 2 x



dx



23. Persamaan garis singgung pada



y  2 x3  5x 2  x  6



kurva yang berbasis 1 adalah Jawab :



y = 2x3 – 5x2 – x + 6 → x = 1 y’ = 6x2 – 10x – 1 y(1) = 2(1)3- 5(1)2 – 1 + 6 =2–5–1+6 = 2 → (1,2) y’ = m = 6x2 – 10x – 1 = 6(1)2 – 10.1 – 1 = -5 Pgs : y – b = m (x – 1) y – 2 = -5 (x – 1) y – 2 = -5x + 1 5x + y +3 = 0 24. Turunan pertama fungsi adalah F ' ( x )  Cos 5 (4 x  2) F(x) Jawab :



F(x) = Cos5(4x-2) u = Cos (4x-2) → u’ = -4Sin(4x-2) n=5 F’(x) = nun-1.u’ = 5 Cos5-1 (4x-2) . -4 Sin (4x-2) = 5 Cos4 (4x-2) . -4 Sin (4x-2) = -20 Cos4 (4x-2)Sin (4x-2) = -10.2 Cos (4x-2)sin (4x-2) . Cos3 (4x-2) = -10 Sin 2(4x-2) Cos3 (4x-2) = -10 Sin (8x-4) Cos3 (4x-2) 25. Nilai minimum fungsi dalam



f ( x )22 x 3x31 x2  3



interval adalah Jawab :



f (x) = 2x3 + 3x2 + 3 f’(x) = 6x2 + 6x



pada -2 ≤ x ≤ 1



Stasioner : 6x2 + 6x = 0 3x (2x+2) = 0



3x = 0 → x = 0 2x+2 = 0 → x = -1 f(-2) = 2 (-2)3 + 3 (-2)2 + 3 = -16 + 12 + 3 = -1 f(1) = 2 (1)3 + 3 (1)2 + 3 =2+3+3 =8 26. Fungsi turun pada interval



f ( x)  ( x  8)( x 2  2 x  1)



Jawab :



f(x) = (x-8) ( x2 + 2x + 1) = x3 + 2x2 + x – 8x2 – 16x – 8 = x3 – 6x2 – 15x – 8 f’(x) = 3x2 – 12x – 15 f turun : f’(x) 3x – 12x- 15 < 0 (3x + 3) (x – 5) < 0 3x + 3 < 0 → x < -1 x – 5 0 (3x – 2 ) (x – 2 ) > 0 3x – 2 > 0 → x> 2/3 x–2>0→x>2 x < 2/3 atau x > 2 32. Nilai minimum fungsi dalam



4 48 x  5 f ( x)  2x33   6xx2 



interval adalah…… Jawab :



f(x) = 2x³ – 6x² – 48x + 5 f’(x)= 6x² – 12x – 48 Stasioner : f’(x) = 0 6x² – 12x – 48 = 0 6(x² – 2x – 8 ) = 0 (x + 2 ) (x – 4) X = -2, x = 4 f(-2) = 2(-2)³ – 6(-2)² – 48(-2) + 5 = -131 f(4) = 2(4)³ – 6(4)² – 48(4) + 5 = -155 33. Turunan pertama dari fungsi untuk



f ( x)   x  2



3



x=-3 adalah Jawab :



u = (x + 2)³ → u’ = 3(x + 2) v = (1 – 3x)² → v’ = -6(1 – 3x)



f ( x) 



( x  2) 3 1  3 x  2



u ' v  uv' f (2x)  2 v 6( x  2) 3 (1  3 x ) 3 x  2  1  3 x   f ( x)  2 2 3 3  3  2 1  3(3)(1 36 x )((4 3)  2) (1  3(3))



f ( x) 



= 0,024 34. Garis singgung yang menyinggung



(1  3(3)) 4 3,1x100  6 x10  10 4



y  x3  2 x  1



lengkungan di titik (1,0) akan memotong garis x=3 dititik… Jawab :



y = x³ – 2x + 1



y’ = m = 3x² – 2 = 3.1² – 2 = 1 Pgs: y – b = m (x – 1) y – 0 = 1 (x – 1 ) y=x–1 y(3) = 3 – 1 = 2 → (3,2) 35. Turunan pertama dari fungsi f’(x). f ( x)  3 x 3  4 x  6 jika maka nilai dari f’(2) adalah… Jawab :



Terlebih dahulu tentukan f ' (x) f '(x) = 3 . 3 x3 - 1 – 4 . 1 x1 - 1 + 0 f '(x) = 9 x2 – 4 Mencari f '(2) f '(2) = 9 x2 – 4 = 9 . 22 – 4 = 9 . 4 - 4 = 32 f ( x )  ( x  1)( x  3)



36. Jika maka f’(x) adalah… Jawab :



Misalkan: U = x + 1 maka U ' = 1 . 1x1 - 1 + 0 = 1 V = x - 3 maka V ' = 1 . 1x1 - 1 - 0 = 1 Sehingga f '(x) = U ' . V + U . V ' f '(x) = 1 . (x - 3) + (x + 1) . 1 f '(x) = 2x - 2 37. Jika maka f’(x) adalah…..



f ( x)  (3 x 2  5 x ) /( x  3)



Jawab :



U = 3x2 - 5x maka U ' = 3 . 2 x - 5 = 6 x - 5 V = x - 3 maka V ' = 1 f '(x) = U ' . V - U . V ' / V2 f ' (x) = (6x - 5) (x - 3) - (3x2 - 5x) . 1 / (x - 3)2 f '(x) = 6x2 - 18x - 5x + 15 - 3x2 + 5x / (x - 3)2 f '(x) = (3x2 - 26x) / (x - 3)2 38. Fungsi naik pada interval.. Jawab :



Gunakan syarat fungsi naik y ' > 0 3x2 + 6 x - 8 + 0 > 0 dibagi 3 x2 + 2 x - 8 > 0 (x - 2) (x + 4) > 0 x = 2 dan x = -4



y  x 3  3x 2  8 x  1



Menentukan fungsi naik x = 2 (ambil nilai setelah 2 yaitu 3 (x = 3) kemudian masukkan ke persamaan y ') x2 + 2 x - 8 sehingga 32 + 2 . 3 - 8 = 7 (hasilnya lebih besar dari 0, artinya x = 2 naik setelah 2 atau x > 2) x = -4 (ambil nilai setelah -4 yaitu -3 (x = -3) kemudian masukkan ke persamaan y ') x2 + 2 x - 8 sehingga (-3)2 + 2 (-3) - 8 = -5 (hasilnya lebih kecil dari 0, artinya x = -4 naik sebelum -4 atau x < -4 Jadi interval fungsi naik x > 2 atau x < -4 39.