Soal Matematika Wajib [PDF]

Citation preview

SOAL MATEMATIKA WAJIB 1. Pak Toni, seorang pengrajin perabot rumah tangga mendapat pesanan membuat rak buku yang kerangkanya terbuat dari besi siku lubang yang di potong-potong kemudian di rangkai dengan sekrup. Untuk membuat rak itu, di perlukan potongan besi sepanjang 250 cm sebanyak 8 potong, sepanjang 70 cm sebanyak 12 potong, dan sepanjang 37,5 cm sebanyak 20 potong. Ternyata batangan besi siku lubang yang dijual di toko mempunyai panjang standar 3 m, sehingga Pak Toni harus berfikir, cukup berapa potong besi batangan yang akan dibeli dan bagaimana caranya mengatur pemotongannya supaya panjang total sisa pemotongan menjadi minimal (dengan demikian kerugian pak toni minimal). Dapatkah kamu membantu Pak Toni untuk memotong besi batangan tersebut. 2. Gambarkan daerah penyesaian sistem pertidaksamaan berikut ini. a) 2x – y ≤ 6 5x + y ≥ 5 x ≥0 2≤y≤4 b) x + y ≤ 2 -3x + 2y ≥ 6 3≤x≤4 3. Diberikan matriks A =



x – 2y 4



Penjumlahan matriks B + A =



y 1



dan B =



1 16



8 2



5 3 2x x-y



dengan hasil penjumlahan



. Tentukan matriks A dan B!



4. Diketahui fungsi ƒ (x) = x + 3 dan g (x) = x2 - 9. Tentukan fungsi-fungsi berikut! a) (ƒ + g) (x) c) (ƒ × g) (x) b) ( ƒ - g) (x)



d) ƒ ( x) g



5. Diketahui fungsi ƒ: R→R dengan ƒ(x) = 4x + 3 dan fungsi g: R→R dengan g(x) = x – 1. Tentukan rumus fungsi komposisi (g ᵒ ƒ)(x) dan (ƒ ᵒ g)(x). 6. Diketahui fungsi ƒ: : R→R dengan ƒ(x) = 5x + 7. Tentukan fungsi inversnya. 7. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik potong garis-garis dengan persamaan 3x + 2y = 12 dan 5x + 2y = 16 serta sejajar dengan garis 2x + y = 4 8. Carilah nilai k sedemikian sehingga garis kx – 3y = 10 dengan garis 2x + 3y = 6. 9. Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 5 + 5 √5 dan rasionya adalah 1 √5. 5 Tentukan suku pertama deret tersebut. 10. Diberikan barisan bilangan 2, 4 , 8 , 16 , ...., 2n , dengan n ϵ N. Tentukan jumlah tak hingga 3 9 27 3n-1 barisan tersebut.



JAWABAN 1. Terdapat 6 peubah yang muncul yaitu x1, x2, x3, x4, x5, dengan xi : banyak besi yang dipotong menurut kombinasi pola ke-i. Rumusnya: x1 ≥8 4x2 + 3x3 + 2x4 + x5 ≥ 12 (4) x1 + 2x3 + 4x4 + 6x5 + 8x6 ≥ 20 untuk setiap x1, x2, x3, x4, x5, dan x6 ≥ 0 dengan meminimumkan: 12, 5x1 + 20x2 + 15x2 + 10x4 + 5x5 + 0x6



2.



3. A + B = B + A x – 2y + 5 y+3 2x + 4 x – y +1



= 1 16



8 2



x – 2y + 5 = 1; y + 3 = 8; 2x + 4 = 16, dan x – y +1 = 2 Diperoleh nilai x dan y. 2x + 4 = 16 diperoleh x = 6 y + 3 = 8 diperoleh y = 5 Maka di peroleh matriks A → x - 2y = 6 – 2(5) = 6 – 10 = -4 y=5 matriks B → 2x = 2(6) = 12 x–y=6–5=1 dengan demikian matriks A = -4 4 4. a. (ƒ + g) (x) = ƒ(x) + g(x) = (x + 3) + (x2 – 9) = x2 + x – 6 b. (ƒ - g) (x) = ƒ(x) - g(x) = (x + 3) - (x2 – 9) = -x2 + x + 12 c. (ƒ × g) (x) = ƒ(x) × g(x) = (x + 3) × (x2 – 9) = x3 + 3x2 – 9x - 27



5 1



dan matriks B = 5 3 12 1



(5)



d. ƒ ( x) = ƒ ( x) g g (x) = x+3 x2 – 9 = x+3 (x + 3) × (x – 3) = 1 x – 3 , x ≠ - 3, x ≠ 3 5. *(g ᵒ ƒ)(x) = g(ƒ(x)) = g(4x + 3) = (4x + 3) – 1 = 4x + 2 *(ƒ ᵒ g)(x) = ƒ(g(x)) = ƒ (x - 1) = 4(x – 1) + 3 = 4x – 4 + 3 = 4x – 1 6. y = ƒ(x), maka y = 5x + 7 5x = y - 7 x=y–7 -1 x = ƒ (y) , maka ƒ -1 (y) = x – 7 5 -1 -1 ƒ (y) = x – 7 , maka ƒ (x) = x – 7 5 5 ƒ -1 (x) = 1 (x – 7) 5 7. 3x + 2y = 12 5x + 2y = 16 y – 3 = -2 (x – 2 ) atau 2x + y = 7. sejajar dengan garis 2x + y = 4 maka gradien tersebut mg = -2. 8. k = -2 , atau k = -2 3 3 → -2x – 3y = 10 sejajar dengan 2x + 3y = 6. 9. r = 1 √5 < 1 5 deret tak hingga = ɑ 1–r 5 + 5 √5 = ɑ 1 - 1√5 5 ɑ = (5 + 5 √5) (1 - √5) ɑ = 5 √5 + 5 + 5 √5 - 5 ɑ=4 ∞ ∞ n 10. ∑ 2 =∑2 2 n=1 3 n-1 n=1 3



n-1



=



2 1- 2 3



=2=6→r=2