Soal Penyisihan MISSION [PDF]

Citation preview

Soal Penyisihan MISSION 5.0



Mahasiswa



- O L I M P I A D E M AT E M AT I K A ITS -



S ek re t a r ia t Himpu n a n Ma h a s is w a Ma t ema t ik a G ed u n g F- 10 3 K a mpus S uk o lilo In s t it ut Tek n o lo gi S epu lu h N o pember S ura baya 6 0 1 1 1 , J a w a Timur w w w.o mit s .ma t hema t ic s .it s .a c .id



SOAL BABAK PENYISIHAN MISSION 5.0 Tingkat Mahasiswa Pilihan Ganda 1. Saluran air akan dibuat melintasi Desa Bukit dan Desa Lembah seperti pada gambar berikut:



Untuk membuatnya diharuskan memiliki dua titik sebarang pada tingkatan yang berbeda. Biaya untuk membuat saluran dari Desa Bukit ke titik A sebesar Rp. 3.000.000 per meter, dari titik A ke titik C sebesar Rp. 2.000.000 per meter, dan saluran yang menghubungkan titik C dan Desa Lembah memerlukan biaya Rp. 1.000.000 per meter. Biaya minimum yang mungkin untuk membangun saluran tersebut adalah . . . juta. √ 2+4 3 √ √ 3 2 d. + 3 2



a. 10 √ b.



c.



2 2 Z



π/2



2. Nilai minimum dari 0



a. 1 π −1 b. 2 3. Luas dari loop kurva x = a.



3a2 4



b.



3a 4



√ √ e. 10 + 4 2 + 3



√



π | cos x − cos t| dx dimana 0 ≤ t ≤ adalah . . . 2 √ √ π c. 2 − 1 e. −1 + 3 − 12 √ d. 3 p 3



3axy − y 3 adalah . . . c.



3a2 2



d.



3a 2



e.



a 2



4. Nilai dari a



Z



Z



b



2



emax(b



x2 ,a2 y 2 )



dy dx



0



0



dengan max(b2 x2 , a2 y 2 ) =



  b2 x2



, b2 x2 ≥ a2 y 2



 a2 y 2



, b2 x2 < a2 y 2



dengan a dan b merupakan bilangan positif adalah . . . a.



1 a2 b2 e ab



c.



1 a2 b e ab



b.



1 a2 b2 (e − 1) ab



d.



1 a2 b (e − 1) ab



1 ab e ab



e.



5. Diberikan fungsi z = f (x, y) yang terdiferensialkan pada R2 . Jika x = eu + ev dan y = eu − ev , maka persamaan ∂z ∂z ∂z ∂z + =p +q ∂u ∂v ∂x ∂y terpenuhi dengan nilai pq adalah. . . a. e2u − e2v



b. e2u + e2v



c. 2eu+v



d. e2u+2v



e. eu+v



6. Diberikan bilangan real positif I, T, S. Tentukan hasil dari integral berikut Z +∞ 2 2 e(2IT Sx−I x ) dx. T SI −1



a.



eT S √ π I



b.



eIT S √ π 2I



2



c.



2



eT S √ π 2I



2



d.



2



eI S √ π 2I



2



e.



eI S √ π I



7. Suatu elektron bergerak dengan gaya   −y(11z − 6y) 6z 2 − 3x2 − 7xz y(11x − 4y) F= , , (x + 3z − 2y)2 (2y − 3z − x)2 (3z − 2y + x)2    2021πt t/2 pada lintasan r = (t + 1) , 2, t sin saat t = 0 sampai t = 2. 4 Banyak kerja yang dihasilkan dari pergerakan tersebut adalah . . . a. 2



b. −8



c. 6



d. 0



e. −4



8. Diberikan sebuah fungsi f : C → C analitik dengan F ⊆ R adalah image dari f, dimana R = {ri ; ∀r ∈ R}. Jika f (0) = i, maka nilai dari f (i) adalah . . . a. 1



b. i



c. 0



d. −i



e. 2i



9. Diberikan fungsi  sin f (k) =



     k θ (k + 1) θ + 2 sin cos θ 4 4 4 √ , 1 − cos θ



0 ≤ θ ≤ 2π.



Tentukan himpunan penyelesaian dari E yang memenuhi pertidaksamaan berikut Z π f (2020) dθ < 2πE . 0



1√ a. 2 2 







 c.



 1√ E> 2 4



 e.



1 E> 2







d. {1 < E}



10. Diberikan suatu fungsi f (u) = x2 (1 + ux2 )(1 + x2 )u−2 . Z Manakah dari jawaban berikut yang nilainya setara dengan  X ! ∞ 2021  2021 (−1)j−1 1 X a. k 2021 (2k)j−2 j=1 k=1  X ! ∞ 2021  (−1)j 2021 1 X b. 4042 k k j−2 j=1 k=1  X ! 2021  ∞ 1 X 2021 (−1)j−1 c. 4042 k k j−2 j=1 k=1  X ! 2021  ∞ 1 X 2021 (−1)j d. 2021 k (2k)j−2 j=1 k=1  X ! 2021  ∞ 1 X 2021 (−1)j−1 e. 4042 k (2k)j−2 j=1 k=1



1



f (2021) dx. −1



11. Misalkan x1 , x2 , x3 , . . . , xn > 0 dan n P



n P i=1



xni = n, maka batas atas terkecil dari



xi adalah . . .



i=1



a.



n −1 2



b.



n 2



n−1 2



c.



d. n − 1



e. n



12. Bilangan bulat positif yang mendekati hasil dari Z n  Z n Z n dx dx dx √ √ √ lim + + ··· + √ √ √ n→∞ 1 x x n−x 2 x x n−x n x x n−x untuk n suatu bilangan asli adalah . . . a. 1



b. 2



c. 3



d. 4



e. 5



13. Tim A dan B bermain permainan dengan sistem best of seven playoff, yang artinya pemenang adalah tim yang telah memenangkan empat pertandingan. Untuk setiap pertandingan peluang tim A menang adalah 0, 6 dan asumsikan pertandingan independen. Probabilitas pemenang sudah dapat ditentukan setelah enam pertandingan adalah . . . a.



288 3125



b.



972 3125



648 936 1404 c. d. e. 3125 3125 3125 ( )   n1 n! 14. Diberikan suatu himpunan S := x ∈ R x = , n ∈ N , maka nilai dari nn sup S − inf S adalah . . . a.



1 e



b.



e−1 e



1 e−1



c.



d.



1−e e



e.



e 1−e



1 n+1 dan an = an−1 + (−1)n untuk 4 (n + 2)2 n ≥ 1. Nilai konstanta C yang memenuhi Z 1 lim an = ln(1 + x)1/x dx + C



15. Diberikan relasi rekurensi dengan a0 =



n→∞



0



adalah . . . a. −



1 4



b.



π2 4



c.



√



e



d. 2



e. − ln 2



16. Diberikan matriks



 1   M = 0  0



0



2021







  0 ,  −1



−0, 5 1



terdapat vektor tak-nol v sehingga lim M n v = 0. Salah satu vektor v T yang n→∞



memenuhi adalah . . . h i a. 2021 0 −4



h c. −8084



3



6



h b. 2021



h d. −4042



1



1



3



i −4



i



h e. −2021



1



3



i



i



17. Diberikan fungsi p 3



t2 x3 − 4t2 x2 + t3 + 2021t + 49 − Z t Nilai dari lim eh(t) dx adalah . . . h(t) =



t→∞



a. π 2



−t



b. 2π



c.



p 3 t2 x3 − t2 x2 + t3 − 64t − 2021 .



π 2



d.



√



π



e. π



18. Diberikan suatu persamaan n X i=1



(2i − 1)3 = 



2n2 − 1

 2 n − 1 Sn − Sn−1



dimana S1 = 0 dan Sk ≥ 0, ∀k ∈ N. Nilai dari lim Sk adalah . . . k→∞



a. 1



1 c. 4



b. 4 Z



19. Bentuk sederhana dari



n2



d. 2



e.



1 2



√ 6b xc dx, dengan n bilangan asli adalah . . .



0



a. 4n3 − 3n2 − n



c. 3n3 + 2n2 − 5n



b. 5n3 − 3n2 − 2n



d. 3n3 − 2n2 − n



e. 5n3 − 2n2 − 3n



20. Diberikan daerah kontur Γk sebagai berikut.



Nilai dari



∞ I X k=1



Γk



1 dz kz 2 − k 2 iz



adalah . . . a.



π 2



b.



π 12



c.



π2 3



d.



π2 6



e.



π3 3



21. Diberikan fungsi f (x) = x2 − x − 1, maka nilai dari  lim



n→+∞



n X k=1



  



r f (k) +







 1  q  p f (k + 1) + f (k + 2) + f (k + 3) + . . .



adalah . . . π2 a. 6



b.



π 3



√ c.



π 2



d. π



e. 1



22. Diberikan W (x) merupakan fungsi W-Lambert yang didefinisikan oleh W (x) = f −1 (x) dengan f (x) = xex . Penyelesaian umum dari persamaan f −1 (x) = f 0 (x) adalah . . .



a.



xW 2 (x) − xW (x) + x +C W (x)



d.



xW 2 (x) + xW (x) − x +C W (x)



b.



xW 2 (x) − xW (x) − x +C W (x)



e.



xW 2 (x) + xW (x) + x +C W (x)



c.



xW 2 (x) + xW (x) + x +C xW (x)



23. Diberikan fungsi f (x) =



x Y



x dan g(x) =



j=1



Z 1



p



x−1 xY



f (x) sedemikian sehingga memenuhi



i=1



  1 f (x)g(x) ln2 x + ln x + dx = q x



dengan p dan q adalah bilangan bulat. Nilai minimum dari pq adalah . . . a. 4



b. 21



c. 12



d. 6



e. 30



24. Diberikan p, q, r, dan s adalah bilangan bulat positif. Tentukan syarat nilai-nilai p, q, r, dan s sehingga lim



n→∞



  n n Y πk − 1 (k + p)(k + q) X 1 + cos (k + r)(k + s) k! 2k 2



k=1



! =1



k=1



bernilai benar. a. pr < qs



c. p + q < r + s



b. q − r > s − q



d. r = s dan p 6= q



e. p + q > rs



25. Terdapat suatu kurva yang dilewati oleh sebuah titik P pada keliling lingkaran berjari-jari b menggelinding dalam sebuah lingkaran lebih besar dengan jari-jari a. Misalkan lingkaran kecil menggelinding mengikuti sudut φ dan asumsikan bahwa titik asal P pada (a, 0) ketika φ = 0, sehingga diperoleh gambar sebagai berikut



Panjang kurva tersebut dengan a = 4 cm dan b = 0, 5 cm setelah titik P bergerak dan sampai ke titik asalnya adalah . . . cm a. 28



b.



7 4



c. 7



d. 14



e.



7 2



26. Terdapat bilangan real A, B, dan C yang memenuhi persamaan cos(5θ) = A cos5 (θ) + B cos3 (θ) + C cos(θ). Nilai dari A − B − C adalah . . . a. −11



b. −9



c. 1



d. 9



e. 41



27. Nilai



dy dari dx √ √ √ 1 + 2x 4 1 + 4x 6 1 + 6x √ √ y= √ ··· 3 1 + 3x 5 1 + 5x 7 1 + 7x



√ 1 + 2020x √ 2021 1 + 2021x 2020



saat x = 0 adalah . . . a.



2022 2023



b. −1



c. 1



d.



2 2021



e. 0



28. Minimal subselang yang mungkin digunakan untuk menyelesaikan Z 1 cos(x2 ) dx 0



dengan hampiran titik tengah agar dapat dipastikan bahwa besar galat lebih kecil dari 22020 × 2021−21 adalah . . . &√



' 2202121 a. 2205 & √ ' 4 2 202121 b. 2205



&√



$ √ % 2 202121 e. +1 2205



' 202121 c. 2 × 22010 $√ % 4 202121 d. +1 2 × 2205



29. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x2 +



√



2x +



√



3 dan −2x2 +



√



5x +



√



6



dinyatakan oleh d √ √  √  1  e 7 + 12 6 − 3 − 2 10 abc dengan a, b, c, d, e adalah bilangan asli yang memenuhi FPB(a, b, c) = 1 dan FPB(d, e) = 1. Hasil dari a − b + c − d + e adalah . . . a. 3



b. 11



c. 7



d. 2



e. 4



30. Diberikan n ∈ N dan fungsi Z



x/n



f (n) = lim



x→0+



Nilai dari



x



sin2020 t dt. t2021



n



1X (ln(n + k) + f (n)) . n→∞ n lim



k=1



adalah . . . a. 2 ln 2



b. 1



c. ln 2



d. 2



e. 2 ln 2 − 1



Isian Singkat 1. Ridho ingin membeli lampu dari sebuah toko yang menjual paket lampu. Satu paket lampu berisikan 1 lampu dan 1 kotak lampu. Diketahui 3 kotak lampu dapat ditukar dengan 1 paket lampu. Bila Ridho membeli 202120212021 | {z. . . 20212021} 4×2021 digit



paket lampu dan total lampu yang diperoleh Ridho setelah membeli di toko tersebut adalah r, jumlah dari semua digit-digit dari r adalah . . . 2. Tentukan nilai n bilangan bulat positif terkecil, dimana n bilangan ganjil sedemikian sehingga limit berikut ada.  x  2021 lim  
x→0 cos2020 (2021x) n − 2 n − cos x 2021 2 sinn



Misalkan nilai limit tersebut adalah L, maka hasil dari 20L + 21n adalah . . . 1 dan x # Z "Z  ∞ 1 k  −1  X d 1 θ−1 f 2 + −2 f (µ) − bf (µ)c dµ, f 3 (α) dα − η= dθ θ 2 0 1



3. Diberikan f (x) =



k=1



maka digit satuan dari η × 109 adalah . . .



4. Diberikan f : C → C fungsi analitik yaitu f (z) =



−2z 2 + 10z − 14 . (z − 1)(z − 2)(z − 3)(z − 4)



Jika f (z) dapat ditulis dalam bentuk f (z) =



∞ X



an (z − 2)n−1 + bn z(z + 2)n−1 ,



n=1



r maka nilai dari lim



n→∞



n



an adalah . . . bn



5. Didefinisikan f (x) = bxc + 2. Jika diketahui Z α 1 e √ dx = √ , √ e x 2 π π+ π 0 maka nilai dari f (α) adalah . . . 6. Didefinisikan fungsi polilogaritma Lis (z) =



∞ X zk k=1



dan fungsi zeta Riemann ζ(s) =



ks



,



|z| < 1



∞ X 1 . ns n=1



  1 1 = untuk nilai x yang Diberikan fungsi f (x) = Li1 (|x| d|x|) dengan f 4 32   1 √ sangat kecil. Bila m adalah bilangan bulat terbesar yang memenuhi f = 2 15 ζ(m), maka nilai bilangan m adalah . . . Z



7. Diberikan F = zi + xj + yk. Lalu, terdapat silinder x2 + y 2 = 9 di oktan pertama dan dibatasi bidang z = 2. Nilai fluks dari F yang arahnya keluar dari silinder dan sejajar dengan bidang XOY adalah . . . 8. Diberikan suatu ekspansi R(x) =



∞ X n=1



r



n



(−1) x



4n−3







3x2 − 8n2 + n(6 − 4x2 ) − 1 (4n − 1) (4n − 3) (2n − 1)!



 .



a π dengan FPB(a, b) = 1 dan I = (4a−1)(4b−3)((2ab−1)!), x→∞ b maka nilai I adalah . . . Jika lim R(x) =



9. Diberikan fungsi f (p) = cos8 p + 7 cos5 p sin3 p + 70 cos4 p sin4 p + cos p sin7 p + sin8 p g(q) = cos7 q sin q − 28 cos6 q sin2 q + 7 cos3 q sin5 q − 28 cos2 q sin6 q . Jika Z



0



Z g(q) dq +



−a



0



a



∞ X (−1)n rBn a2n (a + Cn + D) f (p) dp = A + Γ (2(n + 1)) n=0



dengan A, B, C, D ∈ R dan FPB(B, r) = 1, maka nilai minimum dari (A + C + D)(B + r + 1)2 adalah . . . 10. Diberikan suatu barisan rill {xm } dengan xm = lim · · · lim nm →∞



n1 →∞



nm X



···



km =1



n1 X k1 =1



dan fungsi
f (m) = 2m−1 − 1



Z 1



∞



1 Qm Qm i=1 ni + j=1 kj



!



lnm−1 u du u(u − 1)



untuk setiap bilangan asli m. Jika barisan xm = Am f (m), maka nilai dari adalah . . .



A2020 A2021