Soal TO OSN-K MTK SMA 2023 - Penma [PDF]

Citation preview

SOAL TO OSN-K MATEMATIKA SMA 2023



Disusun Oleh: Muhammad Rizky Syaputra Editor: Dandi Ramadhan



Hak cipta milik Komunitas Pendidik Matematika



Rilis soal: 11 Februari 2023



Kemampuan Dasar 1.



Diketahui 𝑥 dan 𝑦 memenuhi (𝑥 − 2023)(𝑦 − 2024) 1 = − (𝑥 − 2023)2 + (𝑦 − 2024)2 2 Nilai yang mungkin bagi 𝑥 + 𝑦 adalah …



2.



Diberikan suatu barisan aritmatika 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , … , 𝑢𝑛 , dengan suku pertamanya 1 dan memiliki beda 3. Tentukan nilai dari : 2023 2023 2023 2023 + + + ⋯+ √𝑢1 + √𝑢2 √𝑢2 + √𝑢3 √𝑢3 + √𝑢4 √𝑢120 + √𝑢121



3.



Misalkan 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 adalah tiga bilangan asli berbeda sedemikian sehingga 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 𝑐 + , + , + 𝑏 𝑐 𝑐 𝑎 𝑎 𝑏 masing-masing merupakan bilangan bulat. Berapakah nilai terkecil dari 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ?



4.



Misalkan 𝑠(𝑛) menyatakan kuadrat dari jumlah angka angka dari bilangan asli 𝑛 pada representasi desimalnya, sebagai contoh 𝑠(23) = (2 + 3)2 = 25, didefinisikan aturan sebagai berikut : 𝑠 2 (𝑛) = 𝑠(𝑠(𝑛)) dan 𝑠 𝑘+1 (𝑛) = 𝑠 𝑘 (𝑠(𝑛)), untuk setiap bilangan asli 𝑘. Tentukan nilai dari 𝑠 2023 (13).



Soal Tryout OSN-K Matematika SMA 2023



Halaman 1



Hak cipta milik Komunitas Pendidik Matematika



5.



Rilis soal: 11 Februari 2023



Diketahui 1 1 1 1 1 𝑚 + + + ⋯+ + = 0! 10! 1! 9! 2! 8! 9! 1! 10! 0! 𝑛 Jika (𝑚, 𝑛) adalah bilangan bulat yang saling relatif prima. Nilai dari 10𝑚 adalah …



6.



Diberikan segiempat 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan 𝐵𝐶 = 7, 𝐶𝐷 = 11, 𝐴𝐷 = 13, dan 𝐴𝐵 = 𝑚 + √𝑛, dimana 𝑥 dan 𝑦 merupakan suatu bilangan bulat positif. Jika ∠𝐷𝐴𝐵 = ∠𝐶𝐵𝐴 = 60°. Tentukan nilai dari 𝑚 + 𝑛.



7.



Tentukan hasil penjumlahan semua bilangan bulat positif 𝑛 yang mempunyai tepat 16 pembagi positif 𝑑1 , 𝑑2 , … , 𝑑16 yang memenuhi : 1 = 𝑑1 < 𝑑2 <  < 𝑑16 = 𝑛 Jika diketahui 𝑑6 = 18 dan 𝑑9 − 𝑑8 = 17



8.



Diketahui bahwa himpunan semua bilangan real 𝑥 yang memenuhi 𝑥 ⌊ ⌋ = ⌊𝑥 − 2023⌋ 2023 berbentuk selang [𝑎, 𝑏). Tentukan nilai dari |𝑎 − 𝑏|



Soal Tryout OSN-K Matematika SMA 2023



Halaman 2



Hak cipta milik Komunitas Pendidik Matematika



9.



Rilis soal: 11 Februari 2023



Lingkaran 𝐿1 berpusat di titik 𝑂 memiliki jari jari 1 cm. Segiempat 𝐴𝐵𝐶𝑂 dengan titik 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 terletak pada 𝐿1 dan < 𝐴𝐵𝐶 = 60°. Selanjutnya dibuat lingkaran 𝐿2 berpusat di titik 𝑃 menyinggung didalam 𝐿1 serta menyinggung 𝐴𝑂 dan 𝐶𝑂 seperti pada gambar berikut. Tentukan jari -jari 𝐿2 .



10. Misalkan 𝐻 = {1,2,3,4, … ,999,1000} dan 𝑀 ∈ 𝐻. Sebuah bilangan asli dipilih secara acak dari himpunan 𝐻. Jika peluang bilangan yang terpilih merupakan pembagi dari 𝑀 adalah 0,02. Tentukan nilai maksimum dari 𝑀.



Soal Tryout OSN-K Matematika SMA 2023



Halaman 3



Hak cipta milik Komunitas Pendidik Matematika



Rilis soal: 11 Februari 2023



Kemampuan Lanjut 1.



Diberikan bilangan real positif 𝑎 dan 𝑏 yang memenuhi persamaan (65𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 )(𝑎2 + 8𝑎𝑏 + 65𝑏 2 ) = (8𝑎2 + 39𝑎𝑏 + 7𝑏 2 )2 Jika salah satu nilai yang mungkin dari



𝑎 𝑏



𝑎



memenuhi 2 (𝑏 ) =



𝑚 + √𝑛, dimana 𝑚 dan 𝑛 bilangan bulat positif. Tentukan nilai dari 𝑚 + 𝑛



2.



Terdapat dua buah dadu berbentuk kubus yang memiliki 6 buah sisi, tetapi angka-angka yang tertulis pada dadu ini mengikuti aturan: • Dadu pertama mempunyai satu buah sisi dengan angka 1, satu buah sisi dengan angka 2, tiga buah sisi dengan angka 𝑎, dan satu buah sisi dengan angka 2𝑎 • Dadu kedua mempunyai satu sisi dengan angka 1, tiga buah sisi dengan angka 3, satu buah sisi dengan angka 𝑎, dan satu buah sisi dengan angka 2𝑎 Diketahui 𝑎 adalah bilangan asli, dan apabila kedua dadu tersebut dilempar bersamaan, peluang bahwa hasil penjumlahan dua angka pada dadu tersebut sama dengan 10 1



adalah . Tentukan nilai dari 2𝑎 4



Soal Tryout OSN-K Matematika SMA 2023



Halaman 4



Hak cipta milik Komunitas Pendidik Matematika



Rilis soal: 11 Februari 2023



3.



Misalkan tan 𝛼 dan tan 𝛽 adalah akar-akar persamaan 𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 2023 = 0, dengan 𝑎 suatu bilangan real. Berapakah nilai dari 𝑎 sin(2(𝛼 + 𝛽 )) + 4044 cos 2 (𝛼 + 𝛽) ?



4.



Diberikan (𝑥, 𝑦) suatu bilangan real tak nol yang memenuhi 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 0. Tentukan nilai dari 𝑥 2023 𝑦 2023 ( ) +( ) 𝑥+𝑦 𝑥+𝑦



5.



Dalam suatu turnamen sepak bola yang diikuti oleh 𝑛 tim, tiap tim bermain melawan tim lainnya tepat satu kali. Dalam satu pertandingan, 3 poin akan diberikan kepada tim yang menang dan 0 poin untuk tim yang kalah. Sedangkan 1 poin diberikan kepada masing-masing tim apabila pertandingan berakhir seri. Setelah pertandingan berakhir, hanya satu tim yang memperoleh poin paling banyak dan hanya tim itu yang memperoleh jumlah kemenangan paling sedikit. Berapakah nilai 𝑛 terkecil sehingga hal ini mungkin terjadi?



6.



Tentukan semua triple bilangan real (𝑎, 𝑏, 𝑐) yang memenuhi 𝑎2 − |𝑎| = |𝑏𝑐 | 𝑏 2 − |𝑏| = |𝑎𝑐 | 𝑐 2 − |𝑐 | = |𝑎𝑏|



Soal Tryout OSN-K Matematika SMA 2023



Halaman 5



Hak cipta milik Komunitas Pendidik Matematika



Rilis soal: 11 Februari 2023



7.



Misalkan 𝑎 adalah bilangan real sehingga polynomial 𝑝(𝑥 ) = 𝑥 4 + 4𝑥 + 𝑎 habis dibagi (𝑥 − 𝑐 )2 untuk suatu bilangan real 𝑐. Berapakah nilai dari (𝑎 − 𝑐 )?



8.



̅̅̅̅ , Pada ∆𝐴𝐵𝐶 siku-siku di 𝐶 diketahui bahwa : titik 𝑃 pada 𝐵𝐶 titik 𝑄 pada ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 sedemikian sehingga 𝐶𝑃 = 𝐶𝑄 = 2. Titik 𝑅 ̅̅̅̅ dan 𝐵𝑄 ̅̅̅̅ . Melalui 𝑅 dibuat adalah perpotongan antara 𝐴𝑃 segmen garis melalui 𝐶 dan memotong ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 di 𝑆. ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 memotong perpanjangan ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 di 𝑇. Jika 𝐴𝐵 = 10, 𝐴𝐶 = 8, maka tentukan panjang 𝑇𝑆.



9.



Diberikan digit tak nol 𝑎, 𝑏, dan 𝑐. Untuk setiap bilangan asli 𝑛, misalkan 𝐴𝑛 adalah bilangan 𝑛 digit yang semua digitnya 𝑎, 𝐵𝑛 adalah bilangan 𝑛 digit yang semua digitnya 𝑏, dan 𝐶𝑛 adalah bilangan 2𝑛 digit yang semua digitnya 𝑐. Jika untuk setiap bilangan asli 𝑛 berlaku 𝐶𝑛 − 𝐵𝑛 = (𝐴𝑛 )2 , nilai terbesar yang mungkin dari 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 adalah …



10. Rizky memilih 5 buah bilangan dari himpunan {3,4,5,6,7,8,9}. Jika dia mengatakan kepada Dias mengenai perkalian dari kelima bilangan yang dipilihnya tersebut maka tidaklah cukup informasi bagi Dias untuk menunjukkan apakah hasil penjumlahan dari kelima bilangan tersebut merupakan bilangan genap atau bilangan ganjil. Berapakah hasil kali dari kelima bilangan yang dipilih Rizky tersebut Soal Tryout OSN-K Matematika SMA 2023



Halaman 6