Statistik Terurut [PDF]

Citation preview

STATISTIK TERURUT PROF. UDJIANNA S. PASARIBU, Ph.D. MA 3281 STATISTIKA MATEMATIKA



Review (i) minimum maksimum Statistik deskriptif Analisis Data



Median Q1 Q3



Mengurutkan data



Review (ii) Mengurutkan data



dikembangkan ke statistik inferensi



distribusi dari data yang telah diurutkan dengan batasan bahwa kita mengetahui distribusi dari populasi (distribusi dari mana data disampel)



Fungsi Distribusi Peluang Gabungan Statistik Terurut Misalkan kita mempunyai 𝑛𝑛 variabel-variabel acak, 𝑋𝑋1, 𝑋𝑋2, … , 𝑋𝑋𝑛𝑛, yang membangun suatu sampel dari distribusi variabel acak 𝑋𝑋. Maka sembarang fungsi 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇 𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 dari sampel disebut suatu statistik



1. Statistik tidak lain adalah fungsi dari sampel, 2. karena sampel adalah variabel-variabel acak, maka statistik juga suatu variabel acak. 3.Umumnya statistik adalah kesimpulan (summaries) dari data.



kesimpulan-



Contoh:



n = T Md = X  n+1n X 2 n X ∑ ∑ i 2  2 i =1 i  i =1 X i − ∑ X= n S 2 = i=1n n −1



Untuk penyederhanaan, dapat ditulis T = T(X), dengan X = (𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 )’ =(𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 )T



dan untuk suatu fungsi linier dari X, kita bisa tuliskan dengan sederhana n



T = a’X = ∑ ai X i i =1



untuk suatu vektor tertentu a=(a1, a2,..., an)’.



X



Review Dalam kuliah Analisa Data, anda sudah mengenal taksiran selang (1-α)% untuk rataan µ adalah :



X − zα



2



σ



n



< µ < X + zα



2



σ



n



jika variansi populasi σ2 anda ketahui Bagaimana ini didapat ? Tentu saja dengan mempelajari distribusi dari 𝑋𝑋�



Teorema: Misalkan ada sampel acak 𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 , yang diambil dari suatu distribusi kontinyu dengan fdp nya adalah 𝑓𝑓(𝑥𝑥) dengan pendukung (support) adalah selang buka (𝑎𝑎, 𝑏𝑏). Selanjutnya dari sampel acak tersebut dibangun suatu statistik terurut 𝑋𝑋(1) , 𝑋𝑋(2) , … , 𝑋𝑋(𝑛𝑛) dimana𝑋𝑋(1) < 𝑋𝑋(2) < ⋯ < 𝑋𝑋(𝑛𝑛)



Maka fdp gabungan dari 𝑋𝑋(1) , 𝑋𝑋(2) , … , 𝑋𝑋(𝑛𝑛) diberikan sebagai berikut:



n ! f ( x(1) ) f ( x(2) )... f ( x( n ) ), a < x(1) < x(2) < ...x( n ) < b g(x(1), x(2),..., x(n)) =  0, , untuk yang lainnya 



Bukti: pelajari buku Hogg, McKean, dan Craig (2005), halaman 238-239.



Support dari 𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 dapat dipartisi ke dalam n!. Himpunanhimpunan yang saling mutual lepas yang mana peta pada support dari 𝑋𝑋(1) , 𝑋𝑋(2) , … , 𝑋𝑋(𝑛𝑛) , sebut



{(x(1), x(2),..., x(n)): a < x(1)