Teorema Divergensi [PDF]

Citation preview

BAB I VEKTOR 1.1 Definisi Besaran dapat dikelompokkan sebagai besaran skalar dan besaran vektor. Skalar adalah besaran yang dicirikan hanya oleh harganya. Contoh besaran skalar: massa, panjang, waktu, temperatur dan sebagainya. Medan skalar adalah fungsi kedudukan yang dicirikan hanya oleh harganya di semua titik dalam ruang. Vektor adalah besaram yang dicirikan oleh harga dan arahnya. Contoh besaran vektor: kecepatan, percepatan, gaya dan sebagainya. Medan vektor adalah suatu fungsi kedudukan yang ditentukan oleh harga dan arahnya di semua titik dalam ruang. 1.2 Aljabar vektor Vektor direpresentasikan secara geometris oleh garis berarah, panjangnya menyatakan besar atau magnitudo dan arahnya menyatakan arah vektor. Vektor secara analitis merupakan superposisi vektor-vektor basis. Dalam koodinat kartesian V = xi + y j + zk. Secara geometris vektor tersusun atas komponen: Vx, Vy, Vz. V x  V cos  ,



V y  V cos  ,



V z  V cos 



, dengan , , dan  masing-masing



adalah sudut antara vektor dengan sumbu X, Y dan Z.



V 



V x2  V y2  V z2



adalah



magnitudo atau panjang vektor V. Jumlah dua buah vektor didefinisikan: C = A+ B Dengan Cx = Ax + Bx,



(1.1) Cy = Ay + By



Cz = Az + Bz



Pengurangan vektor A – B = A + (-B)



(1.2)



Sifat asosiatif (A + B) + C = A + (B + C)



(1.3)



Sifat komutatif A+B= B+A



(1.4)



2 Perkalian Ada tiga jenis perkalian yakni: 1. Perkalian skalar dengan vektor: misal c skalar dan A vektor, maka B = c A, dengan Bx = c Ax,



By = c Ay,



Bz = c Az



(1.5)



2. Perkalian titik atau dot product atau perkalian skalar: A . B = Ax Bx + Ay By + Az Bz =



A B cos 



= c (skalar)



(1.6)



Dengan  sudut antara A dan B 3. Perkalian silang atau cross product atau perkalian vektor A x B = C,



C adalah vektor dengan komponen



Cx = AyBz – AzBy,



Cy = AzBx – AxBz,



Cz = AxBy - AyBx



(1.7)



Atau bila ditulis dalambentuk determinan



Perkalian bersifat anti komutatif A x B = -B x A Magnitudo C =



(1.8) C  A B sin 



, dengan  sudut antara A dan B



(1.9)



Kombinasi Ax



Ay



Az



D  A.B  C  B x



By



B z  B.A  C



Cx



Cy



Cz



D = A x (B x C) = B (A.C) – C(A.B)



(1.10) (bac-cab rule)



(1.11)



1.3 Operator nabla  Operator nabla dengan simbul  , bukan suatu vektor dalam arti biasanya. Sebagai vektor, dia tidak berdiri sendiri, lazimnya sebagai operator matematik baru berarti bila dia bekerja kepada suatu fungsi. Penggunaan operator nabla Misalkan ada fungsi dengan tiga variabel T(x,y,z) yang menunjukkan suatu suhu pada suatu ruangan.



3 Menurut teori deferensial parsial:  T   T   T   dy    dx    dz   T    dl   x   z   y 



dT  



(1.12) T



T



T



mengingat dl = i dx + j dy + k dz, maka gradien suhu T = T = x i  y j  z k merupakan besaran vektor dengan 3 komponennya masing-masing mempunyai arah sesuai dengan arah vektor satuan i, j, dan k. Jadi interpretasi geometris suatu gradien, seperti vektor yang mempunyai harga dan arah, dan ditulis dalam bentuk abstrak: dT   T  dl  T dl cos 



(1.13)



dengan  sudut antara T dengan dl, sehingga operator  didefinisikan dalam koordinat Cartesius sebagai: i



   j k x y z



(1.14) Seperti halnya vektor biasa, operator  dapat bekerja dengan 3 bentuk perkalian: 1. Bekerja pada fungsi skalar: T disebut gradien 2. Bekerja pada fungsi vektor, melalui perkalian dot: .V disebut divergensi 3. Bekerja pada fungsi vektor, melalui perkalian silang:  x V disebut rotasi atau curl. Gradien Gradien suatu fungsi scalar  adalah suatu vector yang harganya merupakan turunan berarah maksimum di titik yang sedang di tinjau, sedangkan arahnya merupakan arah turunan berarah maksimum di titik tersebut.



  i



    j k x y z



(1.15)



Contoh 1. Gradien suatu fungsi r Ambil f(r) = f







x2  y2  z2







4



f  r   i



f  r  f  r  f  r  j k x y z



 x2  y2  z2 x dengan f  r   df  r   r dan r   x



dx



x



x



x



r



sehingga   x df  y  z   df  r  r df f  r    i   j   k      rˆ0 r dr dr  r  r   dr   r



misal



 1   rˆ0  r







 1   r   1  2 dr  r



d



(1.15)







 rˆ0 



2. Anggap bahwa permukaan yang diperhatikan merupakan kulit bola sepusat/konsentris,



  x, y , z  



maka



x 2  y 2  z 2  ri  C i  konstan dan



  ri  C i adalah beda nilai pada kulit bola yang berbeda. Gradien :



  r   rˆ0



d  r   rˆ0 dr



z



rˆ0   r2 r1



y



x



Jelaslah bahwa turunan maksimum fungsi adalah dalam arah radial. Divergensi Divergensi suatu vector adalah limit integral permukaan persatuan volum, jika volum yang terlingkupi oleh permukaan tersebut mendekati nol. F 



lim



1 V  0V







S



F  n da



(1.16)



5 Dalam koordinat tegak lurus, divergensi:   .F 



Fy Fz Fx  x y z



(1.17)



Arti fisis dari divergensi dapat dipahami seperti contoh pada mekanika fluida berikut: Jika v menyatakan kecepatan fluida sebagai fungsi kedudukan, dan  kerapatannya, maka







S



 v  n da ,



jelas merupakan jumlah volum fluida persatuan waktu (atau



debit) yang meninggalkan volum yang terlingkupi oleh S. Jadi jelaslah bahwa divergensi dapat ditafsirkan sebagai limit kuat sumber persatuan volum atau merupakan kerapatn sumber fluida tak termampatkan. Teorema Divergensi/Teorema Gauss Integral dari divergensi suatu vector pada volum V sama dengan integral permukaan komponen normal vector itu pada permukaan yang melingkupi V.



  F dV   F  n da V



(1.18)



S



Kita tinjau vector-vektor radial yang banyak muncul dalam masalah listrik magnet:      x  y  z    ix  j y  kz     .r   i j k   3 y z  x  y  z  x



Bagaimana divergensi perkalian vector dan fungsi scalar radial? .  r f r 



2 2  2    x f  r      y f  r      z f  r    3 f  r    x df  y df  z df  x y z r dr r dr   r dr



  r f  r  3 f  r  r



df dr



(1.19)



Bila f  r   r n 1 , maka   r r n 1  3r n 1   n  1 r n 1   n  2  r n 1 Rotasi atau Curl Rotasi suatu vector adalah limit angka banding antara integral perkalian silang vector itu dengan normal yang berarah ke luar di seluruh permukaan tertutup terhadap volum yang terlingkup oleh permukaan tersebut untuk untuk harga volum yang mendekati nol.



6



F 



lim 1 V 0V







S



n  F da



(1.20) Perhatikan bahwa definisi rotasi sangat mirip dengan divergensi, bedanya dot dengan cross. Kita tinjau vector dan fungsi radial   r f  r   f  r    r   f  r    r i  r  x x



  rf  r  



j  y y



k  df  r   0 , dan f  r   rˆ0 , sehingga z dr z



df rˆ0  r  0 karena rˆ0 dan r arahnya sama. dr



Arti fisis rotasi suatu medan vector adalah setara dengan divergensi suatu medan vector. Namun bahwasanya medan vector ada yang bersifat divergen atau bersifat rotasional. Divergensi medan vector adalah rapat sumber dari medan vector yang bersifat divergen, sedang Rotasi medan vector menghasilkan rapat sumber dari suatu medan vector rotasional. Operator Laplace 







 



















 



 j k .      i  j  k    i y z   x y z   x



  2 



 2  2  2     2 x 2 y 2 z 2



2 2 2   2 2 2 x y z



, dinamakan operator Laplace



Cari   g  r   ? Dari contoh 1: g  r   rˆ0



dg  r  dr



Dari contoh 4:   g  r     rˆ0    g  r  



Teorema Stokes



dg  r  r dg   dr r dr



3 dg r d 2 g  r dg  2 dg d 2 g      r dr r dr 2  r 2 dr  r dr dr 2



7 Integral garis suatu vektor sepanjang kurva tertutup sama dengan integral komponen normal curlnya pada permukaan yang dibatasi oleh kurva tersebut.



 F  dl     F  n da C



S



Perhatikan bahwa pada teorema divergensi bentuk pengintegralan volum dan luasan dapat saling digantikan dengan prosedur tertentu, sedang pada teorema Stokes integral luasan dapat digantikan dengan integral garis dengan prosedur tertentu.