Divergensi Dan Teorema Divergensi [PDF]

Citation preview

Divergensi dan Teorema Divergensi



Divergensi • Bentuk eksak persamaan muatan yang terlingkung dalam volume v adalah membuat v menuju nol:  Dx D y Dz  s D.S  Q   x  y  z  v D x D y D z    x y z • bila diambil limitnya:



 D.S s



v



D x D y  D z    lim x y z  v  0 Divergensu dan Teorema Divergensi



Q  v



 D.S s



v –



Q  lim v  0 v



Mata Kuliah Teori Medan



Divergensi • Suku terakhir adalah kerapatan volume  :



 Dx  D y  D z    lim x y z  v  0



 D.S s



v



 v



• Vektor D diganti dgn bentuk umum A:



 A.S



Ax Ay Az    lim s x y z v  0  v



• dimana A : vektor kecepatan,gaya, atau vektor lain Divergensu dan Teorema Divergensi



–



Mata Kuliah Teori Medan



Divergensi • Divergensi vektor kerapatan fluks A ialah banyaknya aliran fluks yang keluar dari sebuah permukaan tertutup per satuan volume yang menuju nol Divergensi A  div A  lim



v  0



Divergensu dan Teorema Divergensi



–



 A.S s



v



Mata Kuliah Teori Medan



Divergensi • divergensi D dlm 3 bentuk koordinat : Dx D y Dz div D    x y z



(cartesian)



1  1 D Dz div D  ( D )       z



(tabung )



1  2 1  1 D div D  2 (r Dr )  (sin  D )  r r r sin   r sin  



Divergensu dan Teorema Divergensi



–



Mata Kuliah Teori Medan



(bola )



• Bila D = e-x sin y ax + e-x cos y ay +2z az C/m2 maka : Dx Dy Dz divD    x y z  e  x sin y  e  x sin y  2  2 C / m3



Persamaan Pertama Maxwell(Elektrostatika) • Persamaan div D dpt ditulis dalam bentuk



div D  lim



v  0



 D.S s



v



 D x  D y D z div D    x y z div D   v • Fluks listrik per satuan volume yang meninggalkan volume yg menuju nol = kerapatan muatan volume Divergensu dan Teorema Divergensi



–



Mata Kuliah Teori Medan



Operator vektor  • Operator del  sebagai operator vektor :      ax  a y  az x y z



• Misal .D, maka :      .D   a x  a y  a z  .( Dx a x  D y a y  Dz a z ) y z   x  D x  D y D z .D     div D x y z Divergensu dan Teorema Divergensi



–



Mata Kuliah Teori Medan



Teorema Divergensi • Dalam hukum gauss dinyatakan:



 D.S  Q



Q



dan



s



vol



 s dv



dengan mengganti .D   v maka :







s



D.dS  Q   vol  s dv   Divergensu dan Teorema Divergensi



–



vol



.D dv



Mata Kuliah Teori Medan



Teorema Divergensi • Dari persamaan diatas, suku 1 dan 3 adalah teorema divergensi:







s



D.dS  



vol



.D dv



• Integral komponen normal dari setiap medan vektor pada seluruh permukaan tertutup sama dengan integral divergensi vektor tersebut dalam sebuah volume yang terlingkung oleh permukaan tertutup tersebut Divergensu dan Teorema Divergensi



–



Mata Kuliah Teori Medan



Teorema Divergensi • Contoh : • Bila D=2xy ax + x2 ay dan kotak yang dibentuk oleh bidang x = 0 dan 1,y = 0 dan 2, serta z = 0 dan 3.Hitung integral permukaan.







D.dS  



s



depan







s







belakang







kiri







kanan







atas



3 2



3 2



3



0 0



0 0



0







bawah



D.dS    ( Dx ) x 1 dy dz    2 ydy dz   4dz  12 3 2 1



3 2



3



0 0 0



0 0



0



 .D dv     2 y dxdydz    2 ydy dz   4dz  12



vol



Divergensu dan Teorema Divergensi



–



Mata Kuliah Teori Medan



Divergence of Vector Fields



The upper figure plots the vector field , and the bottom figure plots the divergence. Colors are used to emphasize heights: red is high, blue is low



Divergence of Vector Fields



The upper figure plots the vector field , and the bottom figure plots the divergence. Colors are used to emphasize heights: red is high, blue is low



Divergence of Vector Fields



The upper figure plots the vector field , and the bottom figure plots the divergence. Colors are used to emphasize heights: red is high, blue is low