Divergensi, Curl, Dan Stokes Sistem Koordinat [PDF]

Citation preview

1.4. Teorema Divergensi, Curl dan teorema Stokes. beberapa operasi yang penting dari operasi del atau nabla sebagai operasi differensial adalah divergensi, curl dan teorema Stokes. -. Divergensi. Divergensi suatu vector didefinisikan sebagai : Divergensi suatu vector adalah limit integrasi permukaan yang melingkupi volume terhadap setiap satuan volume saat volume yang dilingkupi oleh permukaan tersebut menuju nol. Secara matematis didefinisikan sbb :



div. A  . A  lim V 0



 A.ds V



=



1



lim V  A.n.dS V 0



S



Terlihat bahwa divergensi adalah merupakan fungsi titik scalar dan terdefinisi pada titik limit integrasi permukaan. Definisi ini dapat berlaku pada berbagai system koordinat dan dapat dipergunakan untuk mendapatkan bentuk eksplisit operasi divergensi dalam system koordinat tertentu. Gambaran fisis dari divergensi vektor adalah bandingkan antara kecepatan air setelah lubang kurasnya dibuka, dengan ban yang dicoblos paku, karena air tidak dapat dimampatkan maka maka divergensi kecepatan arus adalah nol, namun karena udara dapat dimampatkan maka divergensi kecepatan udara yg keluar ban lebih besar dari nol. Lebih jelasnya jika kecepatan air adalah v yag merupakan fungsi tempat kedudukan dan adalah kerapatan air, maka



  .v.n.dS jelas bahwa jumlah bersih air yang meninggalkan S



yang meninggalkan isi persatuan waktu yang dilingkupi olah S, jika air tidak dapat dimampatkan maka integral permukaan merupakan ukuran sumber air keseluruhan yang dilingkupi oleh permukaan tersebut. Sehingga definisi divergensi dapat diartikan sebagai limit kekuatan sumber persatuan isi atau kerapatan sumber air yang tak dapat dimampatkan. Lebih lanjut divergensi ini dalam penerapannya pada medan electromagnet dinyatakan sebagai Teorema Divergensi sebagai berikut : Integral divergensi suatu vektor pada volume V sama dengan integral permukaan tertutup komponen normal vektor pada permukaan yang melingkupi volume V



17



Secara matematis dituliskan sebagai berikut :



 .A.dV   A.n.dS   A.dS V



S



S



(lebih jelasnya vector analysis schaum series atau yang lain) -. Curl. Operasi lain yang berhubungan dengan operasi nabla adalah Curl yang dituliskan sebagai



xA dan didefinisikan sebagai berikut : Curl suatu vektor adalah limit hasil bagi integral hasilkali perkalian silang dengan normal yang mengarah keluar, pada suatu permukaan tertutup, terhadap isi yang dilingkupi permukaan tersebut pada saat volume menuju nol. Persamaan tersebut adalah :



1 nxA.dS V 0 V  S



xA  lim



(1)



Definisi dan operasi curl ini ada hubungan dengan divergensi, curl hasil kali perkalian silang dengan nabla dan divergensi hasil kali perkalian titik dengan nabla. Lebih lanjut definisi tersebut di atas adalah Komponen xA pada arah vektor satuan S adalah limit suatu integral garis per-satuan luas pada saat daerah yang dibatasinya menuju nol, daerah ini tegak lurus dengan bidang S .



dl







S



C .n x S dS



n



Gambar volume karena adanya pergeseran bidang lintasan kurva C pd arah normalnya S Atau



S.xA  lim



1 A.dl S 0 S  C



(2)



Lintasan kurva C adalah lintasan yang membatasi permukaan S dan merupakan bidang normal terhadap S. dari definisi dan gambar di atas maka bidang lengkung C dan volume 18



yang dibatasi oleh lengkungan C tersebut jika digeser sejauh  pada arah normal terhadap bidang tersebut. Jika S normal terhadap bidang itu, maka dengan mengambil hasilkali



1 nxA.dS adalah V 0 V  S



titik S terhadap definisi curl yang pertama : xA  lim S . xA  lim



V 0



1 S.nxA.dS V S



Jika diperhatikan terlihat bahwa permukaan S x n dS hanya samadengan  dl, dimana dl adalah perpindahan kecil sepanjang C, atau V = S, maka integral volume tersebut : S . xA  lim



V 0



1  . A.dl  .S S



Dengan menghapus maka persamaan di atas adalah : S .xA  lim



1 A.dl sama S 0 S  C



dengan persamaan (2) di atas. Lebih lanjut dari Curl ini diperoleh teorema penting dalam medan elektromagnet adalah teorema Stokes :



 A.dl   xA.ndS   xA.dS



C



S



S



Teorema Stokes : integral garis suatu vector sepanjang suatu lengkungan C tertutup sama dengan integral komponen normal curlnya sepanjang permukaan yang dibatasi oleh lengkungan tersebut.



19



1.5. Sistem Koordinat Karena dalam pembahasan medan tidak bisa dilepaskan dari ruang dimana benda yang diselidiki berada serta bentuk benda yang tidak beraturan maka diperlukan pengetahuan mengenai system koordinat untuk memudahkan untuk intrespretasikan dan memberikan gambaran terhadap benda yang diteliti. Tiga system koordinat yang akan dibahas pada bab ini diantara sekian banyak system koordinat. Ketiga system koordinat tersebut adalah Sistem Koordinat Cartesian, Sistem Koordinat Tabung dan Sistem Koordinat Bola. System koordinat Cartesian . Supaya dapat menyatakan sebuah vector dengan tepat, harus diketahui panjangnya; arahnya, sudutnya atau komponennya dalam ruang dimana dilakukan pembahasan. Cara paling sederhana diantara sekian banyak system koordinat untuk dapat melakukannya yaitu system koordinat kartesian. Menggunakan tiga sumbu koordinat saling tegak lurus yaitu x, y dan z.



z F( 0 ,0 , z1) )



E( 0 , y1 , z1)



Titik asal



B(x1, 0 , z1)



y



G(x1, y1, z1) C( 0 , y1 ,0 )



A( x1, 0 ,0 )



x



D( x1, y1 ,0 )



Sistem koordinat Cartesian tiga dimensi dengan sumbu, x, y dan z. Suatu titik ditentukan dengan jarak dari sumbu koordinat x, y dan z (dari titik asal), harga tersebut menyatakan jarak dari titik asal (sumbu koordinat) ke perpotongan dari garis lurus yg ditarik dari titik tersebut tegak lurus terhadap masing-masing sumbu x, y dan z. Lebih jelasnya dari gambar terlihat titik yang berimpit pada sumbu x A(x1,0,0), titik yang terletak pada bidang xz adalah B(x1,0,z1), titik yang berimpit pada sumbu y C(0,y1,0),



20



titik yg terletak pada bidang xy adalah D(x1,y1,0), titik yg terletak pada bidang yz adalah E(0,y1,z1), titik yang berimpit pada sumbu z adalah F(0,0,z1), titik G adalah (x1,y1,z1). Menghitung volume system koordinat Cartesian.



z .dx



.dx.dy.



.z2 .dx.dz



.dy



.z1 .dy.dz



y



.dz



.x1



.y1



.y2



.x2



x Bidang-bidang yang melingkupi Volume V. Dari gambar terlihat terdapat 6 bidang/luasan melingkupi balok yang mempunyai volume z2



y2



x2



z1



y1



x1



   y2



x2



y1



x1



 



f x, y, z dx.dy.dz



dan



z2



y2



z1



y1



 



enam



bidang



f x, y, z z  z1 .dx.dy pada z1 (bidang alas), bidang



(bidang atas balok), bidang bidang



ke



  f x, y, z  z2



x2



z1



x1



y y 2



  f x, y, z  z2



x2



z1



x1



.dx.dz



pada



y  y1



y2



tersebut



y2



x2



y1



x1



 



adalah



bidang



f  x, y, z z  z 2 .dx.dy pada z2



.dx.dz pada y1 (samping kiri balok), (samping



f x, y, z x  x1 .dy.dz pada x1 (belakang balok) dan bidang



kanan z2



y2



z1



y1



 



balok),



bidang



f x, y, z x  x 2 .dy.dz



pada x2 (depan balok). Sistem Koordinat tabung. Untuk menyelesaikan persoalan fungsi yang mempunyai bentuk fisik seperti tabung dan sejenisnya, misalnya penghantar dengan diameter tertentu dan panjang tertentu maka akan sangat sulit bila diselesaikan dengan menggunakan system koordinat Cartesian, maka dengan melakukan analogi dan manipulasi matematis maka dapat diselesaikan dengan menggunakan koordinat tabung. Hal ini dapat dilihat dari gambar berikut.



21







z z



y



  x



 cos 



 sin 



System koordinat tabung Titik di dalam koordinat tabung adalah P(z) dimana d adalah perubahan garis (jarijari tabung), dz adalah perubahan garis sepanjang sumbu z namun d bukan garis adalah perubahan sudut putar dari ujung jari-jari yang diputar sepanjang sudut putar  sehingga yang merupakan adalah garis adalah d, yaitu garis keliling lingkaran dimana ujung jari-jari diputar sepanjang perubahan sudut putar d Adapun analogi terhadap sumbu x, y dan z adalah : y   sin 



x   cos  zz



Luas permukaan



yang melingkupi volume tabung adalah







f(,,z) d dadalah



S



permukaan atas dan bawah tabung (kedua tutup penutup tabung) dan







f(,,z)d dz



S



adalah sisi-sisi tabung,. Sedang untuk menghitung volume tabung adalah dengan mengintegralkan ketiga variable tersebut yaitu



 f  , , z .d.d.dz V



22



Sistem Koordinat Bola. Untuk menyelesaikan persoalan fungsi yang mempunyai bentuk fisik seperti bola dan sejenisnya, misalnya antena tertentu yang memancarkan gelombang elektromagnetik kesegala arah dan pada jarak tertentu mempunyai daya dan intensitas medan magnet maupun intensitas medan listrik yang sama maka akan sangat sulit bila diselesaikan dengan menggunakan system koordinat Cartesian maupun kordinat tabung, maka dengan melakukan analogi dan manipulasi matematis maka dapat diselesaikan dengan menggunakan koordinat bola. Hal ini dapat dilihat dari gambar berikut. .z



 r



.



.y



 .x System koordinat Bola Titik di dalam koordinat Bola adalah P(r) dimana dr adalah perubahan garis (jari-jari tabung), namun d bukan garis adalah perubahan sudut putar dari ujung jari-jari yang diputar sepanjang  sehingga yang merupakan adalah garis adalah rd, yaitu garis keliling lingkaran dimana ujung jari-jari diputar sepanjang perubahan sudut putar mendatar ddan d juga bukan garis adalah perubahan sudut putar dari ujung jari-jari yang diputar sepanjang  sehingga yang merupakan adalah garis adalah rd, yaitu garis keliling lingkaran dimana ujung jari-jari diputar sepanjang perubahan sudut putar vertikal dAdapun analogi terhadap sumbu x, y dan z adalah : y  r sin  . sin  x   . sin  . cos 



z  r cos r  x2  y2  z2



23



z



  cos 1



  tan 1



x2  y2  z2



y x



Luas permukaan



yang melingkupi volume bola adalah







f(r,).rdr.dadalah



S



permukaan vertical bola dan







f(r,) r sin dr.d adalah permukaan horisontal bola



S



dan luas permukaan luar bola adalah







f(r,) r 2 sin d.d



S



Sedang untuk menghitung volume bola adalah dengan mengintegralkan ketiga variable tersebut yaitu



 f r, , r



2



sin  .dr.d .d



V



24