Divergensi [PDF]

Citation preview

1



BAB I PENDAHULUAN



A. Latar Belakang Kalkulus Vektor/Vector Calculus (atau sering disebut Analisis Vektor) dalam matematika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari analisis riil dari vektor dalam dua atau lebih dimensi. Cabang ilmu ini sangat berguna bagi para insinyur dan fisikawan dalam menyelasikan masalah karena mengandung teknik-teknik dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor. Salah satu fokus dari kalkulus vektor adalah permasalahan bidang skalar, dimana terdapat suatu nilai dalam setiap titik dalam ruang. Kalkulus vektor melingkupi operasi vektor, diferensial vektor, integral vektor, dan teorema-teorema yang berhubungan dengan operasi nabla. Nabla (atau del) adalah salah satu operator yang digunakan dalam kalkulus vektor. Dinotasikan secara matematika sebagai “”. Terdapat empat operasi penting dalam kalkulus vektor berhubungan dengan operator ini, yaitu: Gradien, Divergensi, Curl, Laplacian. (Wikipedia: 2013).



2



Berdasarkan salah satu dari empat operasi penting dalam kalkulus vector yaitu Divergansi-lah yang membuat penulis tertarik untuk membuat sebuah penulisan dengan judul “Teorema Divergansi Gauss”.



B. Rumusan Masalah Dari latar belakang diatas maka rumusan masalahnya yaitu : bagaimana Teorema Divergensi Gauss?



C. Tujuan Penulisan Tujuan penulisan adalah untuk mengetahui tentang Teorema Divergensi Gauss.



D. Manfaat Penulisan Manfaat penulisan adalah untuk memperluas pengetahuan memngenai Teorema Divergensi Gauss.



E. Penjelasan Istilah Agar tidak terjadi salah penasiran pada judul, maka penulis memberikan penjelasan beberapa istilah sebagai berikut :



3



1) Teorema divergensi Teorema Divergensi menghubungkan integral luasan pada permukaan yang menutupi volume dengan interal lipat tiga pada volume tertutup (Astuti, thn : 1). 2) Teorema Gauss Teorema divergensi Gauss adalah : ❑



❑



∂S



s



∬ ( M cos+ N cos + P cos ) dS=∭( ∂∂Mx + ∂∂ Ny + ∂∂ Pz ) dV



BAB II PEMBAHASAN



A. Teorema Divergensi Fluks listrik yang dipancarkan dari suatu permukaan tertutup dengan luas permukaan tertentu adalah sama dengan muatan listrik yang dicakup oleh permukaan tertutup itu sehingga satuan dari fluks listrik adalah sama dengan satuan muatan



4



listrik. Fluks listrik yang dipancarkan dari suatu permukaan tertutup seluas S dapat dihitung dengan menggunakan hukum Gauss. Formula hukum Gauss ini dapat dikembangkan menjadi teorema divergensi yang mengubah bentuk integral permukaan tertutup menjadi integral volume. Dalam hal ini diperlukan divergensi dari vector rapat fluks D yang ditampilkan dalam system koordinat kartesian, silinder, atau bola, sesuai dengan persoalan yang ditemukan di lapangan. Dari teorema divergensi dapat diperoleh formula untuk mendapatkan muatan ruang didalam satu kubus atau bola (Fina, thn :1). Teorema divergensi menghubungkan integral luasan pada permukaan yang menutupi volume dengan interal lipat tiga pada volume tertutup (Astuti, thn : 1). Teorema Green, Gaus dan Stokes menghubungkan suatu intnegral atas suatu himpunan S ke integral lain atas perbatasan S. untuk menekankan keserupaan dalam teorema-teorema ini, kita perkenalkan lambang penulisan S untuk menggantikan perbatasan S. Jadi, suatu bentuk teorema Green dapat dituliskan sebagai : ❑



❑



∂S



S



∮ F . n dS=∬ ¿ F dA Persamaan ini mengatakan bahwa fluks F yang melewati perbatasan S dari daerah bidang tertutup terbatas S sama dengan integral ganda dari div F atas daerah tersebut (Purcell: 2010).



5



B. Teorema Gauss Definisi (Purcell: 2010) : Misalkan S suatu benda pejal tertutup dan terbatas pada ruang dimensi tiga yang secara lengkap dicakup oleh suatu permukaan mulus sepotong-sepotong S (gambar 1). Dengan F = Mi + Nj + Pk berupa medan vector sedemikian sehingga M, N, P mempunyai turunan-turunan parsial pertama yang kontinu pada benda pejal S dan batasnya S. Jika n menyatakan normal satuan sebelah luar terhadap S, maka : ❑



❑



∂S



S



∬ F . n dS=∭ ¿ F dV Penerapan dan pembuktian untuk menyatakan kesimpulan terhadap teorema Gauss dalam bentuk Cartesiusnya (bukan vector) merupakan hal yang penting. Sehingga dapat dituliskan n = cos α i + cos βj + cos γk dengan , , dan  adalah sudut-sudut arah untuk n. Jadi : F . n = M cos  + N cos  + P cos  Sehingga rumus Gauss menjadi :



6



❑



❑



∂S



s



∬ ( M cos+ N cos + P cos ) dS=∭( ∂∂Mx + ∂∂ Ny + ∂∂ Pz ) dV Bukti (Lukman: thn): Kasus dengan daerah S adalah sederhana x, sederhana y, dan sederhana z. Akan cukup untuk menunjukan bahwa : ❑



❑



∂S



s



❑



❑



∂S



s



❑



❑



∂S



s



∬ M cos α dS=∭ ∂∂Mx dV ∬ N cos β dS=∭ ∂∂ Ny dV ∬ P cos γ dS=∭ ∂∂ Pz dV Cukup membuktikan yang ketiga, karena yang lain serupa. Karena S adalah



z



sederhana, maka S dapat



dijelaskan oleh f1 (x,y)  z  f2 (x,y). Seperti pada (gambar 2), S terdiri dari tiga bagian; S1 yang berpadanan dengan



z = f1 (x,y) ; S2 yang



berpadanan dengan z = f2 (x,y) ; dan permukaan samping S3 yang boleh kosong. Pada S3 cos  = cos 90 = 0, sehingga dapat diabaikan.



7



x, y ,f 2 ❑



P cos dS=∬ P(¿( x , y ) )dx dy R



❑



∬¿ S1



x, y ,f 1 ❑



P cos dS=−∬ P(¿ ( x , y )) dx dy R



❑



∬¿ S2



Jadi, x, y ,f 2 ❑



❑



R



R



P cos ⁡dS=∬ [ P(¿( x , y ))−P ( x , y , f 1(x , y ))]dx dy=∬



[∫



f 2( x , y )



f 1( x , y )



]



❑



∂P ∂P dz dx dy =∭ dV ∂z ∂z S



❑



∬¿ ∂S



C. Contoh Soal Periksa kebenaran teorema Gauss untuk F = xi + yj + zk dan S = {(x,y,z) : x² + y² + z²  a²} dengan secara bebas menghitung : ❑



1)



∬ F . n dS ∂S ❑



2)



∭ ¿ F dV S



Penyelesaian :



8



1) Pada S, n = (xi + yj + zk)/a, dengan demikian F.n = (x² + y² + z²)/a = a. Jadi,



❑



❑



∂S



∂S



∬ F . n dS=a∬ ¿ a ( 4 π a2 )=4 πa ³ 2) Oleh karena div F = 3, maka : ❑



❑



S



S



∭ ¿ F dV =3∭ dV =3



( 4 πa3 ² )=4 πa ³



BAB III PENUTUP



A. Kesimpulan 1) Teorema Green dapat dituliskan sebagai : ❑



❑



∂S



S



∮ F . n dS=∬ ¿ F dA 2) Teorema divergensi Gauss ❑



❑



∂S



s



∬ ( M cos+ N cos + P cos ) dS=∭



( ∂∂Mx + ∂∂ Ny + ∂∂Pz ) dV



B. Saran Dengan menggunakan teorema Divergensi Gauss ini diharapkan agar dapat dikembangkan dan di aplikasikan penerapannya.