11 0 327 KB
Divergensi dan Teorema Divergensi
Divergensi • Bentuk eksak persamaan muatan yang terlingkung dalam volume v adalah membuat v menuju nol: Dx D y Dz s D.S Q x y z v D x D y D z x y z • bila diambil limitnya:
D.S s
v
D x D y D z lim x y z v 0 Divergensu dan Teorema Divergensi
Q v
D.S s
v –
Q lim v 0 v
Mata Kuliah Teori Medan
Divergensi • Suku terakhir adalah kerapatan volume :
Dx D y D z lim x y z v 0
D.S s
v
v
• Vektor D diganti dgn bentuk umum A:
A.S
Ax Ay Az lim s x y z v 0 v
• dimana A : vektor kecepatan,gaya, atau vektor lain Divergensu dan Teorema Divergensi
–
Mata Kuliah Teori Medan
Divergensi • Divergensi vektor kerapatan fluks A ialah banyaknya aliran fluks yang keluar dari sebuah permukaan tertutup per satuan volume yang menuju nol Divergensi A div A lim
v 0
Divergensu dan Teorema Divergensi
–
A.S s
v
Mata Kuliah Teori Medan
Divergensi • divergensi D dlm 3 bentuk koordinat : Dx D y Dz div D x y z
(cartesian)
1 1 D Dz div D ( D ) z
(tabung )
1 2 1 1 D div D 2 (r Dr ) (sin D ) r r r sin r sin
Divergensu dan Teorema Divergensi
–
Mata Kuliah Teori Medan
(bola )
• Bila D = e-x sin y ax + e-x cos y ay +2z az C/m2 maka : Dx Dy Dz divD x y z e x sin y e x sin y 2 2 C / m3
Persamaan Pertama Maxwell(Elektrostatika) • Persamaan div D dpt ditulis dalam bentuk
div D lim
v 0
D.S s
v
D x D y D z div D x y z div D v • Fluks listrik per satuan volume yang meninggalkan volume yg menuju nol = kerapatan muatan volume Divergensu dan Teorema Divergensi
–
Mata Kuliah Teori Medan
Operator vektor • Operator del sebagai operator vektor : ax a y az x y z
• Misal .D, maka : .D a x a y a z .( Dx a x D y a y Dz a z ) y z x D x D y D z .D div D x y z Divergensu dan Teorema Divergensi
–
Mata Kuliah Teori Medan
Teorema Divergensi • Dalam hukum gauss dinyatakan:
D.S Q
Q
dan
s
vol
s dv
dengan mengganti .D v maka :
s
D.dS Q vol s dv Divergensu dan Teorema Divergensi
–
vol
.D dv
Mata Kuliah Teori Medan
Teorema Divergensi • Dari persamaan diatas, suku 1 dan 3 adalah teorema divergensi:
s
D.dS
vol
.D dv
• Integral komponen normal dari setiap medan vektor pada seluruh permukaan tertutup sama dengan integral divergensi vektor tersebut dalam sebuah volume yang terlingkung oleh permukaan tertutup tersebut Divergensu dan Teorema Divergensi
–
Mata Kuliah Teori Medan
Teorema Divergensi • Contoh : • Bila D=2xy ax + x2 ay dan kotak yang dibentuk oleh bidang x = 0 dan 1,y = 0 dan 2, serta z = 0 dan 3.Hitung integral permukaan.
D.dS
s
depan
s
belakang
kiri
kanan
atas
3 2
3 2
3
0 0
0 0
0
bawah
D.dS ( Dx ) x 1 dy dz 2 ydy dz 4dz 12 3 2 1
3 2
3
0 0 0
0 0
0
.D dv 2 y dxdydz 2 ydy dz 4dz 12
vol
Divergensu dan Teorema Divergensi
–
Mata Kuliah Teori Medan
Divergence of Vector Fields
The upper figure plots the vector field , and the bottom figure plots the divergence. Colors are used to emphasize heights: red is high, blue is low
Divergence of Vector Fields
The upper figure plots the vector field , and the bottom figure plots the divergence. Colors are used to emphasize heights: red is high, blue is low
Divergence of Vector Fields
The upper figure plots the vector field , and the bottom figure plots the divergence. Colors are used to emphasize heights: red is high, blue is low