Teori Himpunan Kelompok 1 [PDF]

Citation preview

TEORI HIMPUNAN KELOMPOK 1 Oleh Nyoman Chindana Prabaningrum I Gst Ayu Indirayani Intan Natadewi Komang Figo Anggara Wijana The Nikolaus Ferrer



(2105511094) (2105511095) (2105511096) (2105511097)



TEORI HIMPUNAN



BAB 1



BAB 2



HIMPUNAN DAN SUBHIMPUNAN



OPERASI-OPERASI DASAR DARI HIMPUNAN



BAB 1



HIMPUNAN DAN SUBHIMPUNAN



HIMPUNAN BAB I



Himpunan adalah setiap daftar, kumpulan atau kelas objek-objek yang didefinisikan secara jelas. Objek-objek dalam himpunan-himpunan dapat berupa apa saja: bilangan, orang, surat, sungai, dan sebagainya. Objekobjek ini disebut elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan.



CONTOH HIMPUNAN BAB I



Contoh 1 Contoh 2 Contoh 3 Contoh 4



: Bilangan-bilangan 1, 3, 7, dan 10. : Jawaban dari persamaan 𝑥 2 − 3𝑥 − 2. : Huruf-huruf dari alfabet a, e, i, o, u. : Ibukota-ibukota di benua Asia.



NOTASI BAB I



Himpunan-himpunan akan selalu dinyatakan dengan huruf-huruf besar 𝐴, 𝐵, 𝑋, 𝑌, … Elemen-elemen dalam himpunan-himpunan ini akan selalu dinyatakan dengan huruf kecil 𝑎, 𝑏, 𝑥, 𝑦, …



BAB I



Pendaftaran (tabular form) Anggota suatu himpunan dinyatakan dengan jelas. Misalnya, 𝐴 terdiri atas bilangan-bilangan 1, 3, 7, dan 10, maka: 𝐴 = {1, 3, 7, 10} Pembangun-himpunan/rincian (set-builder form) Anggota suatu himpunan dinyatakan dengan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh elemen-elemennya. Misalnya, 𝐵 adalah himpunan dari semua bilangan-bilangan genap, maka: 𝐵 = { 𝑥 ȁ 𝑥 genap}



CONTOH HIMPUNAN BAB I



Contoh 1 Contoh 2



𝐴1 : {1, 3, 7, 10} 𝐴2 : {𝑥 ห 𝑥 2 − 3𝑥 − 2 = 0}



Contoh 3 Contoh 4



𝐴3 : {a, e, i, o, u} 𝐴4 : {𝑥 ȁ 𝑥 adalah ibukota dan 𝑥 terdapat di Asia}



BAB I



Jika suatu objek 𝑥 adalah elemen dari sebuah himpunan 𝐴, artinya 𝐴 mengandung 𝑥 sebagai salah satu dari elemen-elemennya, maka: 𝑥𝜖𝐴 Jika suatu objek 𝑥 bukanlah elemen dari sebuah himpunan 𝐴, artinya 𝐴 tidak mengandung 𝑥 sebagai salah satu dari elemen-elemennya, maka: 𝑥 ∉ 𝐴 Garis tegak “|” atau garis miring “/” menyatakan arti kebalikan atau sanggahan dari arti lambang tersebut. Contoh 1 : Misalkan 𝐴 = {a, e, i, o, u} Maka 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑐 ∉ 𝐴, 𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∉ 𝐴. Contoh 2 : Misalkan 𝐵 = {𝑥 ȁ 𝑥 adalah genap} Maka 3 ∉ 𝐵, 6 ∈ 𝐵, 11 ∉ 𝐵, 14 ∈ 𝐵.



HIMPUNAN-HIMPUNAN BERHINGGA DAN TAK BERHINGGA BAB I



Secara intuitif, sebuah himpunan adalah berhingga bila ia terdiri dari sejumlah tertentu elemen-elemen yang berbeda. Bila tidak demikian, maka himpunannya adalah tak berhingga. Contoh 1 :



Misalkan 𝑀 adalah himpunan dari hari-hari dalam seminggu. Maka 𝑀 berhingga.



Contoh 2 : Contoh 3 :



Misalkan 𝑁 = {2, 4, 6, 8, ...}. Maka 𝑁 tak berhingga. Misalkan 𝑃 = {𝑥 ȁ 𝑥 adalah sebuah sungai di bumi}. Maka 𝑃 berhingga.



KESAMAAN HIMPUNAN-HIMPUNAN BAB I



Himpunan 𝐴 sama dengan himpunan 𝐵 jika keduanya memiliki anggota-anggota yang sama. Artinya, jika setiap elemen yang termasuk 𝐴 juga termasuk 𝐵 dan jika setiap elemen yang termasuk 𝐵 juga termasuk 𝐴 . Maka kesamaan himpunan-himpunan 𝐴 dengan 𝐵 dapat dinyatakan dengan: 𝐴=𝐵



CONTOH HIMPUNAN BAB I



Contoh 1 : Misalkan 𝐴 = {1, 2, 3, 4} dan 𝐵 = {3, 1, 4, 2}. Maka 𝐴 = 𝐵, yaitu {1, 2, 3, 4} = {3, 1, 4, 2}. Contoh 2 : Misalkan 𝐶 = {5, 6, 5, 7} dan 𝐷 = {7, 5, 7, 6}. Maka 𝐶 = 𝐷, yaitu {5, 6, 5, 7} = {7, 5, 7, 6}. Contoh 3 : Misalkan 𝐸 = {𝑥 ȁ 𝑥 2 − 3𝑥 = −2}, 𝐹 = {2, 1} dan 𝐺 = {1, 2, 2, 1}. Maka 𝐸 = 𝐹 = 𝐺.



HIMPUNAN-NOL BAB I



Himpunan-kosong, suatu himpunan yang tidak mengandung elemen-elemen. Disebut juga himpunan-nol. Himpunan hampa atau kosong dinyatakan dengan lambang ∅.



Contoh 1 : Misalkan 𝐴 adalah himpunan dari orang-orang di dunia yang lebih tua daripada usia 200. Menurut statistik, 𝐴 adalah himpunan kosong. Contoh 2 : Misalkan 𝐵 = {𝑥 ȁ 𝑥 2 = 4, 𝑥 adalah ganjil}. Maka 𝐵 adalah himpunan kosong.



SUBHIMPUNAN BAB I



Jika semua elemen sebuah himpunan 𝐴 adalah juga sebuah himpunan 𝐵, maka 𝐴 disebut subhimpunan dari 𝐵 atau lebih khusus lagi, 𝐴 adalah subhimpunan 𝐵. Berarti jika 𝑥 ∈ 𝐴 maka 𝑥 ∈ 𝐵. Dapat disimbolkan: 𝐴 ⊂𝐵



CONTOH HIMPUNAN BAB I



Contoh 1 :



Contoh 2 : Contoh 3 :



Himpunan 𝐶 = {1, 3, 5} adalah subhimpunan dari 𝐷 = {5, 4, 3, 2, 1}, karena tiap-tiap bilangan 1, 3, dan 5 yang termasuk 𝐶 juga termasuk 𝐷. Himpunan 𝐸 = {2, 4, 6} adalah subhimpunan dari 𝐹 = {6, 2, 4}, karena tiap-tiap bilangan 2, 4, dan 6 yang termasuk 𝐸 juga termasuk 𝐹. Misalkan 𝐺 = {𝑥 ȁ 𝑥 adalah genap}, artinya 𝐺 = {2, 4, 6,...}, dan 𝐹 = {𝑥 ȁ 𝑥 adalah sebuah bilangan pangkat positif dari 2}, artinya 𝐹 = {2, 4, 6, 16, ...}. Maka F ⊂ 𝐺.



DEFINISI KESAMAAN DUA HIMPUNAN Dua himpunan 𝐴 dan 𝐵 adalah sama, yaitu 𝐴 = 𝐵, jika dan hanya jika 𝐴 ⊂ 𝐵 dan 𝐵 ⊂ 𝐴. BAB I



Jika 𝑨 subhimpunan dari 𝑩, maka:



𝐵⊃𝐴 Jika 𝐀 bukanlah subhimpunan dari 𝐁, maka: 𝐴 ⊄ 𝐵 atau 𝐵 ⊅ 𝐴 Persyaratan 1 : Himpunan nol ∅ dipandang sebagai subhimpunan dari setiap himpunan. Persyaratan 2 : Jika 𝐴 bukanlah subhimpunan 𝐵 (𝐴 ⊄ 𝐵), maka ada sekurang-kurangnya satu elemen 𝐴 yang bukan anggota 𝐵.



SUBHIMPUNAN SEJATI BAB I



Jika 𝐴 adalah subhimpunan dari 𝐵, maka 𝐵 disebut subhimpunan sejati dari 𝐴 dengan syarat: 1. 𝐵 adalah subhimpunan 𝐴 (𝐵 ⊂ 𝐴), 2. 𝐵 tidak sama dengan 𝐴 (𝐵 ≠ 𝐴). Contoh :



𝐴 = {2, 4}, 𝐵 = {1, 2, 3, 4} Karena 𝐵 ⊂ 𝐴 dan 𝐵 ≠ 𝐴, maka 𝐵 subhimpunan sejati dari 𝐴.



HAL DAPAT DIPERBANDINGKAN BAB I



Dua himpunan dapat diperbandingkan (comparable) jika :



A ⊂ B atau B ⊂ A Dua himpunan tidak dapat diperbandingkan jika : A ⊄ B atau B ⊄ A



Contoh : 1. Misalkan A = { 1,2}, B = {1,2,3}. Maka A dapat diperbandingkan dengan B karena A adalah subhimpunan B. 2. Misalkan C = { 1,2}, D = {2,3,4}. Maka C tidak dapat diperbandingkan dengan D karena 1 ∈ C namun 1 ∉ D dan 3 ∈ D namun 3 ∉ C.



TEOREMA DAN BUKTI BAB I



Teorema adalah formula atau proposisi dalam matematika atau logika yang dapat dibuktikan dengan aksioma dan asumsi dasar. Teorema juga dapat diartikan sebagai ide yang diterima sebagai kebenaran. Pada kenyataannya, inti matematika terdiri atas teorema-teorema dan pembuktian-pembuktiannya. Teorema 1 : A ⊂ B dan B ⊂ C maka berarti A ⊂ C Pembuktiannya : Misalkan x suatu elemen A, yaitu x ∈ A. Karena A adalah subhimpunan B, maka x juga termasuk B, yaitu x ∈ B. Tetapi, menurut hipotesis, B ⊂ C, oleh karena itu setiap elemen B, termasuk x, juga merupakan anggota C. Dapat dilihat bahwa jika x ∈ A maka x ∈ C. Dengan demikian menurut definisi A ⊂ C.



HIMPUNAN DARI HIMPUNAN-HIMPUNAN BAB I



Himpunan dari himpunan-himpunan atau biasa disebut dengan keluarga himpunan-himpunan atau kelas himpunan-himpunan adalah himpunan yang elemen-elemennya juga berupa himpunan. Untuk menghindari kekeliruan, digunakan huruf-huruf tulisan tangan seperti A, B, … Contoh : A = {{2,4}, {1,5}, {2,6,7}} B = {{2,4}, 1, 5 , {2,6,7}}



HIMPUNAN SEMESTA (U) BAB I



Dalam setiap pemakaian teori himpunan, semua himpunan yang ditinjau adalah subhimpunan dari sebuah himpunan tertentu. Himpunan ini disebut himpunan semesta atau semesta dari uraian (universe of discourse). Contohnya: 1. Dalam studi kependudukan, himpunan semesta terdiri dari semua orang di dunia. 2. Jika A = {1, 2, 3, 4 }, B = {5, 6, 7, 8}, C = { 9, 10, 11, 12}. Maka himpunan semestanya, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}



HIMPUNAN KUASA BAB I



Keluarga dari semua subhimpunan sebuah himpunan S dikatakan himpunan kuasa dari S. Himpunan kuasa dari S dinyatakan dengan 2𝑆 Himpunan kuasa dari sebuah himpunan S merupakan himpunan dari semua subhimpunan S, termasuk himpunan kosong dan himpunan S itu sendiri. Dan jika S memiliki n elemen, maka himpunan kuasa dari S memiliki elemen sebanyak 2𝑛 . Contoh : 1. A = {x, y} Maka 2𝐴 = {{x, y}, {x}, {y}, ∅} 2. B = {1, 2, 3} Maka 2𝐵 = {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, ∅}



HIMPUNAN-HIMPUNAN TERPISAH BAB I



Himpunan-himpunan terpisah adalah himpunan-himpunan yang tidak memiliki elemen yang sama. Misalnya: A = {1, 2, 3}



B = {3, 4, 5} Maka himpunan A dan B bukan himpunan terpisah karena memiliki elemen yang sama yaitu 3.



C = {6, 7, 8} D = {2, 3, 4} Maka himpunan C dan D merupakan himpunan terpisah.



E = {x, y, z} F = {k, l, m} Maka himpunan E dan F merupakan himpunan terpisah.



DIAGRAM VENN-EULER BAB I



Diagram venn-euler atau diagram venn adalah cara untuk menggambarkan hubungan antara himpunan-himpunan yang dinyatakan dengan suatu daerah bidang, biasanya menggunakan lingkaran.



2.



Misalkan himpunan A dan B tidak dapat diperbandingkan, maka dapat dinyatakan dengan diagram : A



Misalkan :



Jika himpunan-himpunan tersebut tidak terpisah



1. A ⊂ B dan A ≠ B



3.



Maka himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan salah satu diagram ini :



A B



B A



B



A



B



Jika himpunan-himpunan tersebut terpisah



A = {1,2,3,4}, B = {3,4,5,6}. Maka diagram venn digambarkan seperti dibawah ini : B



A • 1 • 2



• 3 • 4



• 5 • 6



DIAGRAM-DIAGRAM GARIS BAB I



Diagram garis adalah cara untuk menggambarkan hubungan antara himpunanhimpunan yang dinyatakan dengan menggunakan garis. Misalkan : 1. Jika A ⊂ B maka diagram garisnya : 2. Jika A ⊂ B dan B ⊂ C maka diagram garisnya :



B



C



B A



A



BAB 2



OPERASIOPERASI DASAR DARI HIMPUNAN



OPERASI-OPERASI DASAR DARI HIMPUNAN BAB II



Dalam Ilmu berhitung kita belajar menjumlahkan, mengurangkan dan mengalikan, yaitu kita menetapkan untuk setiap pasangan bilanganbilangan x dan y: suatu bilangan x + y yang disebut penjumlahan x dan y, x – y yang disebut selisih x dan y, dan bilangan xy yang disebut perkalian x dan y. Penetapan-penetapan ini disebut operasi-operasi penjumlahan, pengurangan dan perkalian bilangan-bilangan.



PERPADUAN BAB II



Perpaduan himpunan-himpunan A dan B adalah himpunan dari semua elemenelemen yang termasuk dalam A atau B atau keduanya. Kita nyatakan perpaduan A dan B dengan A∪B Yang biasa dibaca “perpaduan A dan B”.



A



B



A ∪ B yang diberi arsiran



PERPADUAN BAB II



Contoh : Misalkan S = {a, b, c, d} dan T = {f, b, d, g} Maka S ∪ T = {a, b, c, d, f, g} Misalkan P himpunan bilangan-bilangan riil positif dan Q himpunan bilangan bilangan riil negatif. Maka P ∪ Q, yaitu perpaduan P dan Q, terdiri dari semua bilangan-bilangan riil kecuali nol. Perpaduan A dan B dapat juga didefinisikan secara ringkas oleh A ∪ B = (𝑥 ȁ 𝑥 𝜖 A atau 𝑥 𝜖 B)



PERPADUAN BAB II



Pernyataan : Sesuai dengan definisi perpaduan dua buah himpunan maka A ∪ B dan B ∪ A adalah sama, jadi berarti A∪ B= B∪A A dan B kedua-duanya selalu berupa subhimpunan-subhimpunan dari A ∪ B, Yaitu 𝐴 ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵 dan B ⊂ (𝐴 ∪ 𝐵)



PERPADUAN BAB II



Dalam bebrapa buku, perpaduan A dan B dinyatakan oleh A + B dan disebut penjumlahan himpunan teoritik A dan B atau, secara singkat, penjumlahan A dan B



PERPOTONGAN BAB II



Perpotongan himpunan-himpunan A dan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang dimiliki bersama oleh A dan B, yaitu elemenelemen yang termasuk A dan juga termasuk B. Kita nyatakan perpotongan A dan B dengan: A∩ B yang dibaca “perpotongan A dan B”



PERPOTONGAN BAB II



Dalam diagram Venn, kita telah beri arsiran untuk A – B, yaitu daerah yang dimiliki bersama oleh A dan B A ∩ B yang diberi arsiran



PERPOTONGAN BAB II



Contoh: Misalkan S = {a, b, c, d} dan T = {f, b, d, g}. Maka S ∩ T = {b, d} Misalkan V = {2,4,6,…}, yaitu kelipatan dari 2; dan misalkan W = {3, 6, 9, …}, yaitu kelipatan dari 3. Maka V ∩ W = {6, 12, 18,…} Perpotongan A dan B dapat juga didefinisikan secara ringkas oleh A ∩ B = (𝑥 ȁ 𝑥 𝜖 A, 𝑥 𝜖 B) Di sini, tanda koma mempunyai arti yang sama dengan “dan”



PERPOTONGAN BAB II



Pernyataan: Sesuai dengan definisi perpotongan dua buah himpunan, maka A∩ B= B∩A Setiap himpunan-himpunan A dan B mengandung A ∩ B sebagai subhimpunan, jadi 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝐴 dan (𝐴 ∩ 𝐵) ⊂ 𝐵



PERPOTONGAN BAB II



Jika himpunan-himpunan A dan B tidak mempunyai elemen-elemen yang dimiliki bersama, jadi berarti A dan B terpisah maka perpotongan A dan B adalah himpunan kosong, yaitu A ∩ B = ∅ Dalam beberapa buku, terutama mengenai teori kemungkinan (probability), maka perpotongan A dan B dinyatakan dengan AB dan disebut perkalian himpunan-teoritik A dan B atau, secara singkat A kali B



SELISIH BAB II



Selisih himpunan-himpunan A dan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang termasuk A tetapi tidak termasuk B. Kita nyatakan selisih A dan B dengan A– B Yang dibaca “selisih A dan B” atau, secara singkat, “A kurang B”



A – B yang diberi arsiran



SELISIH BAB II



Contoh: • Misalkan S = {a, b, c, d} dan T = {f, b, d, g} Maka S – T = {a,c} • Misalkan R himpunan bilangan-bilangan riil dan Q himpunan bilangan-bilangan rasional. Maka R – Q terdiri dari bilanganbilangan irasional Selisih A dan B dapat juga didefinisikan secara ringkas oleh A − B = (𝑥 ȁ 𝑥 𝜖 A, 𝑥 ∉ B)



SELISIH BAB II



Pernyataan: • Himpunan A mengandung A – B sebagai subhimpunan, jadi berarti (A – B) ⊂ A • Himpunan-himpunan (A – B), A ∩ B dan (B – A) saling terpisah, artinya perpotongan setiap dua buah himpunan di atas adalah himpunan nol Selisih dari A dan B kadang-kadang dinyatakan oleh A/B atau A ∼ B



KOMPLEMEN BAB II



Komplemen dari sebuah himpunan A adalah himpunan dari elemenelemen yang tidak termasuk A, yaitu, selisih dari himpunan semesta U dan A. Kita nyatakan komplemen dari A dengan A’



A’ yang diarsir



KOMPLEMEN BAB II



Contoh: • Misalkan himpunan semesta U adalah alphabet inggris dan T = {a, b, c}. Maka T’ = {d, e, f,…., y, z} • Misalkan E = {2, 4, 6, ….}, yaitu bilangan bilangan genap. Maka E’ = {1, 3, 5, ….}, yaitu bilangan-bilangan ganjil. Di sini kita menganggap bahwa himpunan semesta adalah bilangan-bilangan asli, 1, 2, 3, ….



KOMPLEMEN Komplemen A dapat juga didefinisikan secara ringkas oleh BAB II



A’ = (𝑥 ȁ 𝑥 𝜖 U, 𝑥 ∉ A) A’ = (𝑥 ȁ 𝑥 ∉ A) Kita nyatakan beberapa pernyataan mengenai himpunan-himpunan yang merupakan akibat langsung dari definisi komplemen kehidupan.



KOMPLEMEN BAB II



Pernyataan: • Penggabungan sebarang himpunan A dan komplemennya A’ adalah himpunan-himpunan semesta, yaitu A ∪ A’ = U Selanjutnya, himpunan A dan komplemennya A’ terpisah yaitu A ∩ A’ = ∅ • Komplemen Himpunan U adalah himpunan nol ∅, dan begitu pula sebaliknya, yaitu U’ = ∅ dan ∅’ = U



KOMPLEMEN BAB II



• Komplemen dari komplemen himpunan A adalah himpunan A sendiri. Secara lebih singkat (A’)’ = A Pernyataan kita yang berikut memperlihatkan bagaimana selisih dua buah himpunan dapat didefinisikan dalam komplemen sebuah himpunan dan perpotongan dua buah himpunan. Lebih terinci, kita peroleh hubungan mendasar berikut:



KOMPLEMEN BAB II



• Selisih A dan B sama dengan perpotongan A dan komplemen B. A – B = A ∩ B’ Bukti dari pernyataan berikut, sebagai akibat langsung dari definisi: A - B = {𝑥 ȁ 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∉ 𝐴} = {𝑥 ȁ 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∉ 𝐴} = A ∩ 𝐵′



Operasi-Operasi Pada HimpunanHimpunan Yang Dapat Diperbandingkan Operasi-Operasi perpaduan, perpotongan, selisih dan komplemen mempunyai BAB II



sifat-sifat yang sederhana apabila himpunan-himpunan yang ditinjau dapat diperbandingkan. Teorema-teorema berikut dapat dibuktikan: • Teorema 1 : Misalkan A subhimpunan B. Maka perpotongan A dan B adalah A, jadi, bila



A ⊂ B maka A ∩ B = A • Teorema 2 : Misalkan A subhimpunan B. Maka perpaduan A dan B adalah B, jadi, bila A ⊂ B maka A ∪ B = B



Operasi-Operasi Pada HimpunanHimpunan Yang Dapat Diperbandingkan •



Teorema 3 : Misalkan A sebuah subhimpunan B. maka B’ adalah subhimpunan A’, yaitu jika A ⊂ B maka B’ ⊂ A’



BAB II



Kita menggambarkan Teorema 3 dengan diagram Venn. Perhatikan bagaimana daerah dari B’ terkandung dalam daerah A’



A



B



B’ yang diarsir



A



B



A’ yang diarsir



Operasi-Operasi Pada HimpunanHimpunan Yang Dapat Diperbandingkan BAB II • Teorema 4 : Misalkan A sebuah subhimpunan dari B. Maka perpaduan A dan (B – A) adalah B, yaitu, bila A ⊂ B maka A ∪ (B – A) = B



Soal-soal yang Dipecahkan BAB II



Perpaduan 1. A ∪ B = 𝑥 ȁ 𝑥 ∈ A atau 𝑥 ∈ B



• Himpunan A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} • Himpunan B = {2, 3, 5, 7, 11, 13} Ketika himpunan A dan himpunan B digabungkan, himpunan baru terbentuk yang anggotanya dapat ditulis : A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13}



Soal-soal yang Dipecahkan BAB II



Perpotongan 2. Bagian dari himpunan A dan B (A ∩ B) adalah himpunan yang anggotanya termasuk dalam himpunan A dan himpunan B



A = {0,1,2,3,4,5} dan B = {3,4,5,6,7}. Perhatikan bahwa dalam dua set ada dua elemen yang sama, yaitu 3, 4, dan 5.



Soal-soal yang Dipecahkan Selisih BAB II



3. Sebuah team sepak bola yang beranggotakan 50 0rang. Terdapat 30 orang yang bisa bermain sebagai forward (penyerang), ada 15 orang yang bisa bermain sebagai forward dan defender (pemain bertahan). Jika ada 10 orang yang tidak bisa bermain sebagai forward maupun defender. Hitunglah berapa banyak orang yang hanya bisa bermain sebagai defender?



50 = 15 + 15 + 10 + x 50 = 40 + x x = 50 – 40 x = 10 orang



Soal-soal yang Dipecahkan Komplemen BAB II



4. Diketahui: S = {x | x < 10, x ∈ bilangan cacah} dan A = {1, 3, 5, 7, 9}. Tentukan komplemen dari A (A’). S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {1, 3, 5, 7, 9} Semua anggota S yang bukan anggota A membentuk satu himpunan, yaitu {0, 2, 4, 6, 8} Komplemen himpunan A adalah A’ ={0, 2, 4, 6, 8}



Soal-soal yang Dipecahkan BAB II



Komplemen 5. Buktikan: B-A adalah subhimpunan dari A’ Misalkan x termasuk B – A, maka x ∈ B dan x ∉ A Oleh karena itu, x adalah anggota dari A’ Karena bila x ∈ B – A maka x ∈ A’ Ini berarti B – A adalah subhimpunan dari A’.



TERIMA KASIH Mohon maaf apabila terdapat kesalahan baik dalam pengetikan dan pengucapan kata