Terjemahan Buku 8 Polya 37-137 [PDF]

Citation preview

8. Contoh 7 data, kondisinya. Oleh karena itu, guru jarang bisa melewatkan pertanyaan: Apa yang tidak diketahui? Apa datanya? Bagaimana kondisinya? Siswa hendaknya mempertimbangkan bagian utama dari masalah dengan penuh perhatian, berulang kali, dan dari berbagai sisi. Jika ada sosok yang terkait dengan masalah itu, dia harus menggambar sosok dan menunjukkan padanya yang tidak diketahui dan datanya. Jika perlu memberi nama pada objek-objek ini, dia harus memasukkan notasi yang sesuai; Dengan mencurahkan perhatian pada pemilihan rambu yang tepat, ia berkewajiban untuk mempertimbangkan objek-objek yang harus dipilih rambu-rambu itu. Ada pertanyaan lain yang mungkin berguna dalam tahap persiapan ini asalkan kita tidak mengharapkan jawaban pasti tetapi hanya jawaban sementara, sebuah tebakan: Apakah mungkin memenuhi syarat tersebut? (Dalam eksposisi Bagian II [p. 33] "Memahami masalah" dibagi menjadi dua tahap: "Menjadi cerdas" dan "Bekerja untuk pemahaman yang lebih baik.") 8. Contoh. Marilah kita mengilustrasikan beberapa poin yang • dijelaskan di bagian sebelumnya. Kita ambil soal sederhana berikut ini: Tentukan diagonal sebuah persegi panjang paralel • lelepiped yang diketahui panjang, lebar, dan tingginya. Untuk membahas masalah ini secara menguntungkan, siswa harus terbiasa dengan teorema Pythagoras, dan dengan beberapa aplikasinya dalam geometri bidang, tetapi mereka mungkin hanya memiliki sedikit pengetahuan sistematis dalam geom • etri padat. Di sini guru mungkin mengandalkan keakraban siswa yang tidak canggih dengan hubungan spasial. Guru dapat membuat soal menjadi menarik dengan membuatnya menjadi konkret. Ruang kelas berbentuk persegi panjang • lelepiped yang dimensinya bisa diukur, dan bisa diperkirakan; para siswa harus menemukan, untuk "mengukur secara tidak langsung", diagonal kelas. Guru menunjukkan panjang, lebar, dan tinggi



8 Di Kelas kelas, menunjukkan diagonal dengan gerakan, dan menghidupkan sosoknya, digambar di papan tulis, dengan merujuk berulang kali ke ruang kelas. Dialog antara guru dan siswa dapat dimulai sebagai berikut: "Apa yang tidak diketahui?" "Panjang diagonal dari parallelepiped." "111Bagaimana datanya? " "Panjang, lebar, dan tinggi parallele • pipa. " "Perkenalkan notasi yang cocok. Surat mana yang harus perhatikan yang tidak diketahui? " "x." "Huruf mana yang akan Anda pilih untuk panjang, lebar, dan tinggi?" "Sebuah, b, c. " "Bagaimana kondisinya, menghubungkan a, b, c, dan xl " "x adalah diagonal dari parallelepiped yang a, b, dan c adalah panjang, lebar, dan tinggi. " "Apakah ini masalah yang masuk akal? Maksud saya, apakah kondisinya cukup untuk menentukan yang tidak diketahui?" "Ya, benar. Jika kita tahu, b, c, kita tahu parallele • piped. Jika paralelepiped ditentukan, diagonal ditentukan. " 9. Menyusun rencana. Kita memiliki rencana ketika kita mengetahui, atau setidaknya mengetahui secara garis besar, kalkulasi, komputasi, atau konstruksi mana yang harus kita lakukan untuk mendapatkan yang tidak diketahui. Cara dari memahami masalah hingga menyusun rencana mungkin panjang dan berliku-liku. Faktanya, pencapaian utama dalam pemecahan masalah adalah menyusun gagasan tentang rencana. Ide ini mungkin muncul secara bertahap. Atau, setelah percobaan yang tampaknya tidak berhasil dan periode ragu-ragu, hal itu dapat terjadi secara tiba-tiba, dalam sekejap, sebagai "gagasan cemerlang". Hal terbaik yang dapat



dilakukan guru bagi siswa adalah menyediakan untuknya, dengan tidak mengganggu



9. Menyusun Rencana 9 tolong, ide cemerlang. Pertanyaan dan saran yang akan kita bahas cenderung memancing pemikiran seperti itu. Untuk dapat melihat posisi siswa, guru harus memikirkan pengalamannya sendiri, kesulitan dan keberhasilannya dalam memecahkan masalah. Kita tahu, tentu saja, sulit untuk memiliki ide yang bagus jika kita memiliki sedikit pengetahuan tentang subjek tersebut, dan tidak mungkin untuk memilikinya jika kita tidak memiliki pengetahuan. Ide bagus didasarkan pada pengalaman masa lalu dan pengetahuan yang diperoleh sebelumnya. Mengingat belaka tidaklah cukup untuk sebuah ide yang baik, tetapi kita tidak dapat memiliki ide yang baik tanpa mengingat beberapa fakta terkait; • bahan saja tidak cukup untuk • membangun rumah tetapi kita tidak dapat membangun rumah tanpa mengumpulkan bahan-bahan yang diperlukan. Bahan yang diperlukan untuk memecahkan masalah matematika adalah item tertentu yang relevan dari pengetahuan matematika yang kita peroleh sebelumnya, sebagai masalah yang sebelumnya diselesaikan, atau teorema yang sebelumnya telah terbukti. Oleh karena itu, sering kali tepat untuk memulai pekerjaan dengan pertanyaan:Apakah Anda mengetahui masalah terkait? Kesulitannya adalah biasanya ada terlalu banyak masalah yang agak berhubungan dengan masalah kita saat ini, yaitu memiliki kesamaan. Bagaimana kita bisa memilih satu, atau sedikit, yang benar-benar berguna? Ada saran yang meletakkan jari kita pada poin umum yang penting:Lihat yang tidak diketahui! Dan coba pikirkan masalah yang sudah dikenal yang memiliki hal yang sama atau serupa tidak diketahui. Jika kita berhasil mengingat masalah yang sebelumnya terpecahkan yang terkait erat dengan masalah kita saat ini, kita beruntung. Kita harus mencoba untuk mendapatkan keberuntungan seperti itu; kita dapat merusaknya dengan • mengeksploitasinya.Berikut adalah masalah yang terkait dengan Anda dan diselesaikan sebelumnya. Bisakah Anda menggunakannya1



Pertanyaan-pertanyaan di atas, dipahami dengan baik dan dipertimbangkan dengan serius, sering kali membantu untuk memulai rangkaian ide yang tepat; tetapi mereka tidak bisa selalu membantu, mereka tidak bisa bekerja



Di kelas



10



sihir. Jika tidak berhasil, kita harus mencari titik kontak lain yang sesuai, dan mengeksplorasi berbagai aspek masalah kita; kita harus memvariasikan, mengubah, mengubah masalah. Bisakah Anda menyatakan kembali masalahnya? Beberapa pertanyaan dari daftar kami mengisyaratkan cara khusus untuk memvariasikan masalah, seperti generalisasi, spesialisasi, penggunaan analogi, menghilangkan sebagian dari kondisi, dan sebagainya; detailnya penting tetapi kami tidak dapat membahasnya sekarang. Variasi masalah dapat menyebabkan beberapa masalah tambahan yang sesuai: Jika Anda tidak dapat menyelesaikan masalah yang diusulkan, coba selesaikan terlebih dahulu beberapa masalah terkait. Mencoba menerapkan berbagai masalah atau teorema yang diketahui, dengan mempertimbangkan berbagai modifikasi, bereksperimen dengan berbagai masalah tambahan, kita mungkin menyimpang begitu jauh dari masalah asli kita sehingga kita terancam kehilangannya. Namun ada pertanyaan bagus yang mungkin membawa kita kembali ke sana: Apakah Anda menggunakan semua data? Apakah Anda menggunakan seluruh kondisi? 10. Contoh. Kami kembali ke contoh yang dibahas di bagian 8. Setelah kami meninggalkannya, siswa baru saja berhasil memahami masalahnya dan menunjukkan sedikit minat di dalamnya. Mereka sekarang dapat memiliki ide sendiri, beberapa inisiatif. Jika guru, setelah mengamati dengan seksama, tidak dapat mendeteksi tanda-tanda inisiatif seperti itu, dia harus melanjutkan dialognya dengan siswa dengan hati-hati. Ia harus dipersiapkan untuk mengulang dengan beberapa modifikasi pertanyaan-pertanyaan yang tidak dijawab oleh siswa. Dia harus bersiap untuk sering bertemu dengan kesunyian siswa yang membingungkan (yang akan ditunjukkan dengan titik .....). "Apakah Anda tahu masalah terkait?" "Lihat yang tidak diketahui! Apakah Anda tahu ada masalah yang sedang tidak diketahui yang sama? "



.....



11



Di kelas "Nah, apa yang tidak diketahui?"



Io. Contoh11 "Diagonal dari parallelepiped." "Apakah kamu tahu masalah dengan hal yang tidak diketahui yang sama? " "Tidak. Kami belum memiliki masalah tentang diagonal dari parallelepiped." "Apakah kamu tahu masalah dengan hal yang tidak diketahui serupa? "



. . . ..



"Kamu Lihat, diagonal adalah ruas, ruas a garis lurus. Apakah Anda tidak pernah memecahkan masalah yang diketahui adalah panjang garis? " "Tentu saja, kami telah memecahkan masalah seperti itu. Misalnya, mencari sisi segitiga siku-siku." "Baik! Berikut adalah masalah yang terkait dengan Anda dan terpecahkan sebelum. Bisakah Anda menggunakannya? "



. . .. .



"Anda cukup beruntung untuk mengingat masalah yang mana terkait dengan masalah Anda saat ini dan yang telah Anda selesaikan



x



b ARA. 1



sebelum. Apakah Anda ingin menggunakannya? Bisakah Anda memperkenalkan beberapa elemen tambahan agar dapat digunakan? " "Begini, masalah yang kamu ingat adalah tentang segitiga. Apakah kamu punya segitiga di gambarmu?"



Mari kita berharap petunjuk terakhir cukup eksplisit untuk memprovokasi ide solusi yaitu memperkenalkan segitiga siku-siku, (ditekankan pada Gambar. 1) yang



12



Di kelas



diagonal yang dibutuhkan adalah sisi miring. Namun guru harus siap menghadapi kasus di mana petunjuk yang cukup eksplisit ini pun tidak cukup untuk mengguncang kelambanan siswa; jadi dia harus siap untuk menggunakan keseluruhan petunjuk yang lebih dan lebih eksplisit. "Apakah Anda ingin memiliki segitiga pada gambar?" "Segitiga macam apa yang ingin Anda miliki di angka?" "Kamu belum bisa menemukan diagonalnya; tapi kamu bilang kamu bisa menemukan sisi segitiga. Sekarang, apa yang akan kamu lakukan?" "Bisakah Anda menemukan diagonal, jika itu adalah sisi segitiga?" Ketika, pada akhirnya, dengan bantuan yang lebih banyak atau lebih sedikit, siswa berhasil memperkenalkan elemen bantu yang menentukan, segitiga siku-siku ditekankan pada Gbr. 1, guru harus meyakinkannya bahwa siswa melihat cukup jauh ke depan sebelum mendorong mereka untuk melakukan perhitungan yang sebenarnya. "Menurutku, menggambar segitiga itu adalah ide yang bagus. Kamu sekarang memiliki segitiga; tapi apakah kamu tidak diketahui?" "Yang tidak diketahui adalah sisi miring segitiga; kita bisa menghitungnya dengan teorema Pythagoras." "Bisa, jika kedua kakinya diketahui; tetapi apakah mereka?" "Satu kaki diberikan, itu c. Dan yang lainnya, menurut saya, tidak sulit ditemukan. Ya, kaki lainnya adalah sisi miring dari segitiga siku-siku lainnya. " "Bagus sekali! Sekarang saya lihat Anda punya rencana." 11. Menjalankan rencana. Untuk membuat rencana, memahami ide solusi tidaklah mudah. Dibutuhkan banyak hal untuk berhasil; pengetahuan yang diperoleh sebelumnya, kebiasaan mental yang baik, konsentrasi pada tujuan, dan satu hal lagi: keberuntungan. Untuk melaksanakan rencana itu jauh lebih mudah; yang kita butuhkan adalah kesabaran.



13



Di kelas Rencana tersebut memberikan garis besar; kita harus meyakinkan



rz, Contoh diri kita sendiri bahwa detailnya cocok dengan garis besar, dan karena itu kita harus memeriksa detailnya satu demi satu, dengan sabar, sampai semuanya benar-benar jelas, dan tidak ada sudut yang tidak jelas yang tersisa di mana kesalahan dapat disembunyikan. Jika siswa benar-benar telah menyusun rencana, guru sekarang memiliki waktu yang relatif damai. Bahaya utama adalah siswa tersebut melupakan rencananya. Ini dapat dengan mudah terjadi jika siswa menerima rencananya dari luar, dan • menerimanya atas kewenangan guru; tetapi jika dia mengerjakannya sendiri, bahkan dengan sedikit bantuan, dan memahami ide akhir dengan kepuasan, dia tidak akan kehilangan ide ini dengan mudah. Namun guru harus bersikeras bahwa siswa harus memeriksa setiap langkah. Kita dapat meyakinkan diri kita sendiri tentang kebenaran suatu langkah dalam penalaran kita baik "secara intuitif" atau "secara formal". Kita mungkin memusatkan perhatian pada hal yang dipertanyakan sampai kita melihatnya dengan begitu jelas dan jelas sehingga kita tidak ragu lagi bahwa langkah itu benar; atau kita bisa mendapatkan poin pertanyaan menurut aturan formal. (Perbedaan antara "wawasan" dan "bukti formal" cukup jelas dalam banyak kasus penting; kita dapat menyerahkan diskusi lebih lanjut kepada para filsuf.) Poin utamanya adalah siswa harus jujur yakin akan kebenaran setiap langkah. Dalam kasus tertentu, guru mungkin menekankan perbedaan antara "melihat" dan "membuktikan": Dapatkah Anda melihat dengan jelas bahwa langkah tersebut benar? Tetapi dapatkah Anda juga membuktikan bahwa langkah tersebut benar? 12. Contoh. Mari kita lanjutkan pekerjaan kita pada titik di mana kita meninggalkannya di akhir bagian 10. Siswa, pada akhirnya, mendapatkan ide tentang solusinya. Dia melihat segitiga siku-siku yang tidak diketahuix adalah sisi miring dan tinggi yang diberikan c adalah salah satu kaki; kaki lainnya adalah diagonal dari sebuah wajah. Siswa harus, mungkin, didorong untuk memperkenalkan notasi yang sesuai. Dia harus memilihy untuk



de perhatikan bahwa kaki lainnya, diagonal wajah yang sisisisinya



Di kelas



adalah Sebuah dan B. Dengan demikian, dia mungkin melihat lebih jelas ide solusi yang memperkenalkan masalah tambahan yang tidak diketahuiy. Akhirnya, bekerja pada satu • tiga sudut kanan setelah yang lain, ia dapat memperoleh (lihat Gbr. 1)



= y2 + c2 y2 = a2 + b2



x2



dan karenanya, menghilangkan pembantu yang tidak diketahui y, x2



=



x=



a2



+ b2 + c2



V.Sebuah2 +



b2



+



c2 •



Guru tidak memiliki alasan untuk menginterupsi siswa jika dia melakukan perincian ini dengan benar kecuali, mungkin, untuk memperingatkannya bahwa dia harus melakukannya periksa setiap langkah. Jadi, guru mungkin bertanya: "Bisakah kamu terlihat jelas bahwa segitiga dengan sisi x, y, c itu segitiga sikusiku? " Untuk pertanyaan ini siswa dapat menjawab dengan jujur "Ya" tetapi dia bisa sangat malu jika guru, tidak puas dengan keyakinan intuitif siswa, harus terus bertanya: "Tapi bisakah kamu membuktikan bahwa segitiga ini adalah segitiga siku-siku • sudut?" Oleh karena itu, guru sebaiknya menekan pertanyaan ini kecuali kelas telah memiliki inisiasi yang baik dalam percobaan geome yang solid. Bahkan dalam kasus terakhir, ada bahaya bahwa jawaban atas pertanyaan yang kebetulan bisa menjadi kesulitan utama bagi sebagian besar siswa. 13. Melihat ke belakang. Bahkan murid yang cukup baik, kapan



Di kelas mereka telah mendapatkan solusi dari masalah tersebut dan menuliskan argumen dengan rapi, menutup buku mereka dan mencari yang lain. Dengan melakukan itu, mereka melewatkan fase pekerjaan yang penting dan instruktif. Dengan melihat kembali solusi yang telah diselesaikan, dengan mempertimbangkan kembali dan memeriksa kembali hasil dan jalur yang mengarah ke sana, mereka dapat mengkonsolidasikan



sayaJ.



Melihat kembali



tanggal pengetahuan mereka dan kembangkan kemampuan mereka untuk memecahkan masalah. SEBUAH Guru yang baik harus memahami dan memberi kesan pada siswanya pandangan bahwa tidak ada masalah apapun yang benar-benar habis. Selalu ada sesuatu yang harus dilakukan; dengan studi dan penetrasi yang memadai, kami dapat meningkatkan solusi apa pun, dan, dalam hal apa pun, kami selalu dapat meningkatkan pemahaman kami tentang solusi tersebut. Murid itu sekarang telah melaksanakan rencananya. Dia telah menuliskan solusinya, memeriksa setiap langkah. Karena itu, ia harus memiliki alasan kuat untuk percaya bahwa solusinya benar. Namun demikian, kesalahan selalu mungkin terjadi, terutama jika argumennya panjang dan terlibat. Oleh karena itu, verifikasi diperlukan. Khususnya, jika ada prosedur cepat dan intuitif untuk menguji hasil atau argumen, hal itu tidak boleh diabaikan. Bisa cek hasilnya? Bisakah Anda memeriksa argumennya? Untuk meyakinkan diri kita sendiri tentang kehadiran atau kualitas suatu objek, kita suka melihat dan menyentuhnya. Dan karena kita lebih suka persepsi melalui dua pengertian yang berbeda, maka kita lebih memilih keyakinan dengan dua bukti yang berbeda: Dapatkah Anda menilai hasilnya secara berbeda? Kami lebih suka, tentu saja, argumen yang pendek dan intuitif daripada yang panjang dan berat: Dapatkah Anda melihatnya secara sekilas? Salah satu tugas pertama dan terpenting dari guru adalah tidak untuk memberi kesan kepada siswanya bahwa masalah matematika memiliki sedikit hubungan satu sama lain, dan tidak ada hubungan sama sekali dengan hal lain. Kami memiliki kesempatan alami untuk menyelidiki koneksi dari suatu masalah ketika melihat kembali solusinya. Para siswa akan menemukan melihat kembali pada solusi itu sangat menarik jika mereka telah melakukan upaya yang jujur, dan memiliki kesadaran



telah melakukannya dengan baik. Kemudian mereka sangat ingin melihat apa lagi yang dapat mereka capai dengan upaya itu, dan bagaimana mereka dapat melakukannya dengan sama baiknya di lain waktu. Guru harus mendorong siswa untuk membayangkan kasuskasus yang mereka hadapi



dapat menggunakan kembali prosedur yang digunakan, atau menerapkan hasil yang diperoleh. Dapatkah Anda menggunakan hasilnya, atau metodenya, untuk masalah lain? 14. Contoh. Pada bagian 12, siswa akhirnya memperoleh • solusi: Jika tiga sisi dari jajaran genjang persegi panjang, yang dikeluarkan dari sudut yang sama, adalah Sebuah, b, c, diagonal adalah



Va2+ b2+ •



c2 Bisa cek hasilnya? Guru tidak dapat mengharapkan jawaban yang baik untuk pertanyaan ini dari siswa yang tidak berpengalaman. Para siswa, bagaimanapun, harus memperoleh cukup awal pengalaman bahwa masalah "dalam huruf" memiliki keuntungan besar dibandingkan masalah numerik murni; jika masalah diberikan "dalam huruf" hasilnya dapat diakses oleh beberapa tes dimana masalah "dalam angka" tidak rentan sama sekali. Contoh kita, meskipun cukup sederhana, sudah cukup untuk menunjukkan hal ini. Guru dapat mengajukan beberapa pertanyaan tentang hasil yang mungkin dengan mudah dijawab oleh siswa dengan "Ya"; tapi jawaban "Tidak" akan menunjukkan kesalahan serius pada hasilnya. "Apakah Anda menggunakan semua data? Lakukan semua data a, b, c muncul dalam rumus Anda untuk diagonal? " "Panjang, lebar, dan tinggi memainkan peran yang sama dalam pertanyaan kita; masalah kita berkaitan dengan simetris Sebuah, b, c. Adalah ekspresi yang Anda peroleh untuk • metrik diagonal Sebuah, b, c? Apakah tetap tidak berubah kapan Sebuah, b, c dipertukarkan? " "Masalah kita adalah masalah geometri padat: untuk mencari diagonal dari sebuah parallelepiped dengan dimensi tertentuSebuah, b, c. Soal kita analog dengan soal geometri bidang: mencari diagonal persegi panjang dengan dimensi a, b. Apakah hasil dari masalah 'padat' kita anal • mirip dengan hasil masalah 'pesawat'? "



"Jika tinggi c menurun, dan akhirnya menghilang, file



r4. Contoh parallelepiped menjadi jajaran genjang. Jika Anda menempatkanc = o dalam rumus Anda, apakah Anda mendapatkan rumus yang benar untuk diagonal jajaran genjang persegi panjang? " "Jika tinggi c meningkat, peningkatan diagonal. Apakah rumus Anda menunjukkan ini? " "Jika ketiga mengukur a, b, c dari garis sejajar di lipatan dalam proporsi yang sama, diagonal juga meningkat dalam proporsi yang sama. Jika, dalam rumus Anda, Anda 12a, 12b, 12c untuk Sebuah, b, c masingmasing, ekspresi diagonal, karena substitusi ini, juga harus dikalikan dengan 12. Apakah begitu?" "Jika a, b, c diukur dalam kaki, rumus Anda juga memberikan diagonal yang diukur dalam kaki; tetapi jika Anda mengubah semua ukuran menjadi inci, rumusnya akan tetap benar. Begitukah?" (Dua pertanyaan terakhir pada dasarnya setara; lihat UJI MENURUT DIMENSI.)



Pertanyaan-pertanyaan ini memiliki beberapa efek yang bagus. Pertama, siswa yang pandai • tidak bisa tidak terkesanoleh fakta bahwa rumus tersebut melewati begitu banyak tes. Dia yakin sebelumnya bahwa rumus itu benar karena dia menurunkannya dengan hati-hati. Tapi sekarang dia lebih yakin, dan kepercayaan dirinya datang dari sumber yang berbeda; ini karena semacam "bukti eksperimental". Kemudian, berkat pertanyaan-pertanyaan di atas, rincian rumus tersebut memperoleh makna baru, dan dihubungkan dengan berbagai fakta. Oleh karena itu, rumus memiliki peluang lebih baik untuk diingat kembali, pengetahuan siswa dikonsolidasikan. Akhirnya, pertanyaan-pertanyaan ini dapat dengan mudah dialihkan ke masalah yang serupa. Setelah beberapa pengalaman dengan masalah yang serupa, seorang siswa yang cerdas dapat memahami ide-ide umum yang mendasarinya: penggunaan semua data yang relevan, variasi data, simetri, analogi. Jika dia terbiasa mengarahkan perhatiannya ke hal-hal seperti itu,



Bisakah Anda memeriksa argumennya? Untuk memeriksa kembali argumen langkah demi langkah mungkin diperlukan dalam kasus yang sulit dan penting. Biasanya, cukup memilih poin-poin yang "sensitif" untuk diperiksa ulang. Dalam kasus kami, mungkin disarankan untuk membahas secara retrospektif pertanyaan yang kurang disarankan untuk dibahas karena solusinya belum tercapai: Dapatkah Anda membuktikan bahwa segitiga dengan sisi x,y, c yang dimaksud dengan • segitiga siku-siku? (Lihat akhir bagian 12.) Bisakah Anda menggunakan hasil atau metode untuk beberapa masalah lain? Dengan sedikit dorongan, dan setelah satu atau dua contoh, siswa dengan mudah menemukan aplikasi yang pada dasarnya terdiri dari memberikan beberapa interpretasi konkret untuk elemen matematika abstrak dari masalah tersebut. Guru sendiri menggunakan interpretasi konkret seperti dia mengambil ruang tempat diskusi berlangsung untuk paraleliped masalah. Seorang siswa yang membosankan dapat mengusulkan, sebagai penerapan, untuk menghitung diagonal kafetaria alih-alih diagonal ruang kelas. Jika siswa tidak memberikan komentar yang lebih imajinatif, guru sendiri dapat memberikan masalah yang sedikit berbeda, misalnya: "Diberikan panjang, lebar, dan tinggi sebuah persegi panjang sejajar, cari jarak pusat dari salah satu sudut. " Siswa dapat menggunakan hasil soal yang baru saja mereka selesaikan, mengamati bahwa jarak yang dibutuhkan adalah setengah dari diagonal yang baru saja mereka hitung. Atau mereka mungkin menggunakan metode tersebut, memperkenalkan segitiga siku-siku yang sesuai (alternatif terakhir kurang jelas dan agak lebih kaku dalam kasus ini). Setelah aplikasi ini, guru dapat mendiskusikan penggambaran empat diagonal dari parallelepiped, dan enam piramida dengan enam sisi adalah alasnya, pusatnya adalah simpul bersama, dan semidiagonal



adalah tepi lateral. Ketika imajinasi geometris siswa cukup diramaikan, guru harus datang



I5. Berbagai Pendekatan19 kembali ke pertanyaannya: Dapatkah Anda menggunakan hasil, atau metode, untuk masalah lain? Sekarang ada kemungkinan yang lebih baik bahwa siswa dapat menemukan beberapa interpretasi konkret yang lebih menarik, misalnya, berikut ini: "Di tengah puncak persegi panjang datar dari sebuah bangunan 21 meter panjang dan 16 lebar yard, tiang bendera harus didirikan, tinggi 8 yard. Untuk menopang tiang, kita membutuhkan empat kabel yang sama. Kabel harus dimulai dari titik yang sama,2 yard di bawah puncak tiang, dan berakhir di keempat sudut puncak bangunan. Berapa panjang setiap kabel? " Siswa dapat menggunakan metode soal yang mereka selesaikan secara rinci untuk memperkenalkan segitiga siku-siku dalam bidang vertikal, dan segitiga siku-siku dalam bidang horizontal. Atau mereka mungkin menggunakan hasilnya, membayangkan parallele persegi panjang • pipa yang diagonalnya, x, adalah salah satu dari empat kabel dan ujungujungnya b = B c = 6.



Dengan penerapan rumus secara langsung, x = 14.5. Untuk contoh lainnya, lihat DAPATKAH ANDA MENGGUNAKAN HASILNYA?



15. Berbagai pendekatan. Mari kita simpan, untuk sementara, masalah yang telah kita bahas di bagian sebelumnya8, 10, 12, 14. Pekerjaan utama, penemuan rencana, adalah dijelaskan di bagian IO. Mari kita amati bahwa guru bisa saja bertindak berbeda. Mulai dari titik yang sama seperti di bagian IO, dia bisa saja mengikuti garis yang agak berbeda, menanyakan pertanyaan-pertanyaan berikut: "Apakah Anda tahu masalah terkait?" "Apakah Anda tahu masalah serupa?"



"Soalnya, masalah yang diajukan adalah masalah geometri padat. Bisakah Anda memikirkan masalah analogi yang lebih sederhana dari geometri bidang?" "Soalnya, masalah yang diajukan adalah tentang angka dalam ruang, itu berkaitan dengan diagonal persegi panjang



paralelipiped. Apa masalah analogi tentang sosok di pesawat? Ini harus diperhatikan -diagonal-daripersegi panjang"" Jajar genjang. " Para siswa, meskipun mereka sangat lamban dan acuh tak acuh, dan tidak mampu menebak apa pun sebelumnya, akhirnya diwajibkan untuk menyumbangkan setidaknya satu menit bagian dari gagasan tersebut. Selain itu, jika siswa terlalu lamban, guru hendaknya tidak mengangkat masalah sekarang tentang paralepiped tanpa harus berdiskusi sebelumnya, untuk mempersiapkan siswa, masalah analogi tentang jajaran genjang. Kemudian, dia bisa melanjutkan sekarang sebagai berikut: "Ini masalah yang terkait dengan masalahmu dan diselesaikan sebelumnya. Bisakah kamu menggunakannya?" "Haruskah Anda memperkenalkan beberapa elemen tambahan untuk memungkinkan penggunaannya?" Akhirnya, guru mungkin berhasil menyarankan kepada siswa gagasan yang diinginkan. Ini terdiri dari memahami diagonal dari parallelepiped yang diberikan sebagai diagonal dari jajaran genjang yang sesuai yang harus dimasukkan ke dalam gambar (sebagai perpotongan dari parallelepiped dengan sebuah bidang yang melewati dua sisi yang berlawanan). Ide dasarnya sama seperti sebelumnya (bagian 10) tetapi pendekatannya berbeda. Di bagian 10, kontak dengan pengetahuan yang tersedia dari siswa ditetapkan melalui yang tidak diketahui; masalah yang sebelumnya terselesaikan teringat kembali karena ketidaktahuannya sama dengan masalah yang diusulkan. Dalam bagian ini, analogi memberikan kontak dengan gagasan solusi. 16. Metode bertanya guru yang ditunjukkan pada bagian 8, IO, 12, 14, 15 sebelumnya pada dasarnya adalah ini: Mulailah dengan pertanyaan umum atau saran dari daftar kami, dan, jika perlu,



turun secara bertahap ke pertanyaan yang lebih spesifik dan konkret atau sugesti sampai Anda mencapai salah satu yang memunculkan tanggapan dalam benak siswa. Jika kamu



z6. Metode Tanya Jawab Guru21 harus membantu siswa memanfaatkan idenya, memulai lagi, jika mungkin., dari pertanyaan atau saran umum yang terdapat dalam daftar, dan kembali lagi ke pertanyaan yang lebih khusus jika perlu; dan seterusnya. Tentu saja, daftar kami hanyalah daftar pertama dari jenis ini; tampaknya cukup untuk sebagian besar kasus sederhana, tetapi tidak ada keraguan bahwa ini dapat disempurnakan. Ituadalah Namun demikian, penting bahwa saran yang darinya kita mulai hendaknya sederhana, alami, dan umum, dan bahwa daftarnya harus pendek. Saran harus sederhana dan alami karena jika tidak, saran tersebut tidak boleh tidak mengganggu. Saran harus bersifat umum, dapat diterapkan tidak hanya untuk masalah saat ini tetapi untuk semua jenis masalah, jika ingin membantu mengembangkan kemampuan siswa dan bukan hanya teknik khusus. Daftar harus pendek agar pertanyaan dapat sering diulang, tidak artifisial, dan dalam situasi yang berbedabeda; dengan demikian, ada kemungkinan bahwa mereka pada akhirnya akan berasimilasi oleh siswa dan akan berkontribusi pada pengembangan kebiasaan mental. • Penting untuk turun secara bertahap ke arah isyarat tertentu, agar siswa tersebut dapat memiliki bagian pekerjaan sebanyak mungkin. Metode pertanyaan ini bukanlah metode yang kaku; untuk • selaras demikian, karena, dalam hal ini, prosedur kaku, mekanis, dan pedantikal apa pun pasti buruk. Metode kami mengakui elastisitas dan variasi tertentu, ia mengakui berbagai pendekatan (bagian 15), dapat dan seharusnyamenjadi Begitu diterapkan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan oleh guru bisa saja terjadi pada siswa itu sendiri. Jika pembaca ingin mencoba metode yang diusulkan di sini kelasnya dia harus, tentu saja, melanjutkan dengan hati-hati. Dia harus mempelajari dengan cermat contoh yang diperkenalkan di bagian 8, dan contoh berikut di bagian 18, 19, 20. Dia



hendaknya mempersiapkan dengan cermat contoh-contoh yang hendak dia diskusikan, dengan mempertimbangkan juga berbagai pendekatan. Dia harus memulai dengan beberapa percobaan dan mencari tahu secara bertahap bagaimana dia dapat mengelola metode tersebut, bagaimana siswa mengambilnya, dan berapa banyak waktu yang dibutuhkan. 17. Pertanyaan bagus dan pertanyaan buruk. Jika metode bertanya yang dirumuskan di bagian sebelumnya dipahami dengan baik, akan membantu untuk menilai, sebagai perbandingan, kualitas saran tertentu yang mungkin ditawarkan dengan perhatian membantu siswa. Mari kita kembali ke situasi seperti yang muncul dengan sendirinya di awal bagian 10 ketika pertanyaan diajukan: Apakah Anda mengetahui masalah terkait? Alih-alih ini, dengan niat terbaik untuk membantu siswa, pertanyaannya mungkinmenjadi ditawarkan: Bisakah Anda menerapkan teorema Pythagoras? Niatnya mungkin yang terbaik, tetapi pertanyaannya adalah tentang paling buruk. Kita harus menyadari dalam situasi apa hal itu terjadi; maka kita akan melihat bahwa ada serangkaian penolakan yang panjang terhadap "bantuan" semacam itu. (1) Jika siswa mendekati solusi, dia mungkin pahami saran yang disiratkan oleh pertanyaan; tetapi jika tidak, kemungkinan besar dia tidak akan melihat titik di mana pertanyaan tersebut mendorong. Jadi, pertanyaan ini gagal membantu di mana bantuan paling dibutuhkan. (2) Jika saran itu dipahami, itu memberi keseluruhan rahasia, sangat sedikit yang tersisa untuk dilakukan siswa. (3) Saran itu terlalu khusus. Bahkan jika siswa dapat memanfaatkannya dalam memecahkan masalah saat ini, tidak ada yang dipelajari untuk masalah yang akan datang. Pertanyaannya tidak instruktif. (4) Bahkan jika dia memahami saran tersebut, siswa hampir tidak dapat memahami bagaimana guru sampai pada gagasan untuk mengajukan pertanyaan seperti itu. Dan bagaimana dia, siswa, menemukan pertanyaan seperti itu sendirian? Tampaknya kejutan yang tidak wajar, saat seekor kelinci menarik keluar dari topi; itu benar-benar tidak instruktif.



I8. Masalah Konstruksi 23 Tak satu pun dari keberatan ini dapat diajukan terhadap prosedur yang dijelaskan di bagian 10, atau bertentangan dengan prosedur di bagian 15.



CONTOH l'vIORE 18. Masalah konstruksi. Tuliskan kotak dalam Sebuah diberi segitiga. Dua simpul persegi harus berada di alas segitiga, dua simpul lainnya dari persegi di dua sisi lain segitiga, satu di masing-masing. "Apa yang tidak diketahui?" "SEBUAH kotak." "Apa datanya? '' "SEBUAH segitiga diberikan, tidak ada yang lain. " "Bagaimana kondisinya?" "Keempat sudut persegi harus berada di • tepi segitiga, dua sudut di alas, • satu sudut di setiap sudut lainnya dua sisi." "Apakah mungkin untuk memenuhi persyaratan tersebut?" "SAYA berpikir begitu.saya saya tidak begitu yakin. " "Sepertinya Anda tidak menganggap masalah ini terlalu mudah. Jika Anda tidak dapat menyelesaikan masalah yang diajukan, mencoba untuk memecahkan beberapa masalah terkait terlebih dahulu. Bisakah Anda memuaskan a bagian dari • kondisi? " "Apa yang Anda maksud dengan sebagian dari kondisi tersebut?" "Soalnya, kondisinya berkaitan dengan semua ver • ikatan persegi. Ada berapa simpul? "" Empat. " "Sebagian dari kondisi tersebut akan berkaitan dengan kurang dari empat simpul. Pertahankan hanya sebagian dari kondisi tersebut, jatuhkan bagian lainnya. Bagian mana dari kondisi yang mudah dipenuhi? " "Sangat mudah untuk menggambar persegi dengan dua simpul pada keliling segitiga-atau bahkan satu dengan tiga simpul di sekelilingnya! "



"Gambarlah sebuah gambar!"



Siswa menggambar Gbr. 2. "Kamu hanya menyimpan sebagian dari persyaratan, dan kamu menjatuhkan sebagian lainnya. Seberapa jauh yang tidak diketahui sekarang ditentukan?"



ARA. 2



"Bujur sangkar tidak ditentukan jika ia hanya memiliki tiga simpul di sekeliling segitiga." "Bagus! Buat gambar." Siswa menggambar Gbr. 3.



ARA. 3



"Persegi, seperti yang Anda katakan, tidak ditentukan oleh bagian dari kondisi yang Anda simpan. Bagaimana bisaItu berbeda?"



.....



"Tiga sudut persegi Anda berada di sekeliling segitiga tetapi sudut keempat belum ada di tempat yang seharusnya. Kotak Anda, seperti yang Anda katakan, belum ditentukan,



I9. Masalah untuk Dibuktikan 25 itu bisa bervariasi; hal yang sama berlaku untuk sudut keempatnya.Bagaimana bisa bervariasi? "



. . .. .



"Cobalah secara eksperimental, jika Anda mau. Gambarlah lebih banyak kotak dengan tiga sudut pada perimeter dengan cara yang sama seperti dua kotak yang sudah ada pada gambar. Gambar kotak kecil dan kotak besar. Apa yang tampaknya menjadi lokus dari sudut keempat? Bagaimana bisa bervariasi? " Guru membawa siswa sangat dekat dengan gagasan solusi. Jika siswa mampu menebak bahwa lokus sudut keempat adalah garis lurus, ia telah mendapatkannya. 19. Masalah untuk dibuktikan. Dua sudut berada di bidang yang berbeda tetapi masing-masing sisi sejajar dengan sisi yang lain, dan juga memiliki arah yang sama. Buktikan bahwa sudut tersebut sama. Yang harus kita buktikan adalah teorema fundamental dari geometri padat. Masalah ini dapat diajukan kepada siswa yang akrab dengan geometri bidang dan memahami beberapa fakta geometri padat yang mempersiapkan teorema saat ini dalam Elemen Euclid. (Teorema yang telah kami nyatakan dan akan kami buktikan adalah proposisi 10 dari Buku XI Euclid.j Tidak hanya pertanyaan dan saran yang dikutip dari daftar kami dicetak miring tetapi juga yang lain yang sesuai dengan mereka sebagai "masalah untuk dibuktikan" sesuai dengan "masalah untuk ditemukan." (Korespondensi dilakukan secara sistematis diMASALAH YANG HARUS DITEMUKAN, MASALAH YANG HARUS DIBUKTIKAN 5,



6.) "Apa hipotesisnya?"



"Dua sudut berada di bidang yang berbeda. Masing-masing sisi sejajar dengan bidang yang sama· sisi lainnya, dan juga memiliki arah yang sama. "Apa kesimpulannya?" "Sudutnya sama." "Gambarlah sebuah gambar. Perkenalkan notasi yang sesuai."



Siswa menggambar garis pada Gambar 4 dan memilih, dibantu lebih atau kurang oleh guru, hurufhuruf seperti pada Gambar. 4. "Apa hipotesisnya? Tolong katakan, dengan menggunakan nota Anda tion. " "A, B, C tidak berada di bidang yang sama dengan A ', B', C '. DanAB I A'B '., AC I A'C'. Juga AB memiliki arah yang sama dengan A'B ', dan AC sama seperti A'C '. "



c' B'



c SEBUAH B ARA.



4 "Apa kesimpulannya" "LBAC = LB'A'C '. " "Lihat kesimpulannya! Dan coba pikirkan yang familiar teorema yang memiliki kesimpulan yang sama atau serupa. " "Jika dua segitiga kongruen, sudut yang bersesuaian sama." "Sangat goodl Sekarang berikut adalah teorema yang



terkait dengan Anda dan dibuktikan sebelumnya. Bisakah Anda menggunakannya? " "Saya kira begitu, tapi saya belum mengerti bagaimana caranya."



"Haruskah Anda memperkenalkan beberapa elemen tambahan untuk memanfaatkannya possibler "



. . .. .



"Nah, teorema yang Anda kutip dengan baik adalah tentang



I9. Masalah untuk Dibuktikan segitiga, tentang sepasang segitiga kongruen. Apakah Anda memiliki segitiga dalam sosok Anda? " "Tidak. Tapi aku bisa memperkenalkan beberapa. Biarkan aku bergabung B untuk C, dan B 'ke C'. Lalu ada dua segitiga, ABC, A'B'C '. " "Bagus sekali. Tapi untuk apa segitiga-segitiga ini bagus?" "Untuk membuktikan kesimpulannya, LBAC= LB'A'C '. " "Baik! Jika Anda ingin membuktikan ini, trisudut yang Anda butuhkan? "



c ' S E B U A H'



B'



c SEBUAH B ARA. 5



"Segitiga kongruen. Ya, tentu saja, saya boleh memilih B,



C, B ', C' yang seperti itu AB = A'B ', AC = A'C'. " ''Baik sekali! Sekarang, apa yang ingin Anda buktikan? " "Saya ingin membuktikan bahwa segitiga itu kongruen,



b. ABC = b. A'B'C '. Jika saya bisa membuktikan ini, kesimpulannya LBAC = LB'A'C ' akan segera menyusul. " "Baik! Anda memiliki tujuan baru, Anda memiliki tujuan baru kesimpulan • sion. Lihat kesimpulannya! Danmencoba memikirkan a



teorema familiar yang memiliki kesimpulan yang sama atau serupa • sion: " "Dua segitiga kongruen jika-jika ketiga sisi salah satunya sama dengan tiga sisi yang lain." "Bagus. Kamu bisa memilih yang lebih buruk. Sekarang berikut adalah teorema yang terkait dengan Anda dan dibuktikan sebelumnya. Bisakah Anda menggunakannya? " "Saya bisa menggunakannya jika saya tahu itu SM = B'C '. " "Benar! Jadi, apa tujuanmu?" "Untuk membuktikan ituSM = B'C '. " "Coba pikirkan Sebuah teorema akrab yang memiliki sama atau Sebuah kesimpulan serupa. " "Ya, saya tahu teorema yang mengakhiri: '. •. Lalu dua Jines sama. ' Tapi itu tidak cocok. " "Haruskah Anda memperkenalkan beberapa elemen tambahan agar penggunaannya mungkin lebih mungkin" •••••



"Anda lihat, bagaimana Anda bisa membuktikan BC = B'C ' Saat disana tidak ada hubungan pada gambar antara SM dan B ' C '? " •••••



"Apakah Anda menggunakan hipotesis? Apa hipotesisnya?" "Kami kira begitu AB I A'B ', AC I A'C '. Iya,tentu saja, saya harus menggunakan itu. " "Apakah Anda menggunakan seluruh hipotesis? Itu kata kamu AB I A'B '. Apakah hanya itu yang Anda ketahui tentang baris-baris ini? " "Tidak; AB juga sama dengan A'B ', berdasarkan konstruksi. Mereka sejajar dan sama satu sama lain. Dan begitu jugaAC dan A'C '. " '' Dua garis sejajar dengan panjang yang sama-itu menarik konfigurasi. Pernahkah Anda melihatnya sebelumnya? "



"Tentu saja! Yesl Jajar Genjang! Izinkan saya bergabung SEBUAH untuk SEBUAH', B untuk B ', dan C ke C '. " "Idenya tidak terlalu buruk. Berapa banyak jajaran genjang apakah kamu sekarang dalam sosokmu? " "Dua. Tidak, tiga. Tidak, dua. Maksudku, ada dua



20.



Masalah Nilai 29



yang dapat segera Anda buktikan bahwa mereka adalah paral • lelograms. Ada sepertiga yang tampaknya menjadi parallelo • gram; Saya harap saya bisa membuktikan bahwa itu satu. Dan kemudian buktinya akan selesai! " Kami dapat menyimpulkan dari jawaban sebelumnya bahwa siswa itu cerdas. Tapi setelah ucapan terakhirnya ini, tidak ada keraguan. Siswa ini mampu menebak hasil matematika dan membedakan dengan jelas antara bukti dan tebakan. Dia juga tahu bahwa tebakan bisa lebih atau kurang masuk akal. Sungguh, dia mendapat keuntungan dari kelas matematika; dia memiliki pengalaman nyata dalam memecahkan masalah, dia dapat membayangkan dan memanfaatkan ide yang bagus. 20. Masalah tarif. Air mengalir ke bejana berbentuk kerucut dengan kecepatan tinggir. Kapal berbentuk kerucut melingkar kanan, dengan alas horizontal, simpul mengarah ke bawah; jari-jari alasnya adalaha, ketinggian



b



ARA.



6



kerucut b. Tentukan kecepatan kenaikan permukaan saat kedalaman airy. Akhirnya, dapatkan nilai numerik yang tidak diketahui seandainya itu Sebuah = 4 ft., b = 3 [t., r = 2 cu. ft. per menit, dany === 1 ft.



Para siswa diharapkan mengetahui aturan diferensiasi yang paling sederhana dan pengertian "laju perubahan". "Apa itu datai "



"Jari-jari alas kerucut Sebuah - 4 kaki, alti • tude dari kerucut b - ft., laju di mana air berada mengalir ke kapal r - .2 cu. ft. per menit, dan kedalaman air padaSebuah momen tertentu, y - = 1 ft. " "Benar. Pernyataan masalah tampaknya menyarankan bahwa Anda harus mengabaikan, untuk sementara, nilai-nilai angka, bekerja dengan huruf, mengekspresikan hal yang tidak diketahui dalam istilah a, b, r, y dan hanya akhirnya, setelah mendapatkan ekspresi yang tidak diketahui dalam huruf, gantilah nilai numeriknya.saya akan mengikuti saran ini. Sekarang, apa yang tidak diketahui? " "Laju kenaikan permukaan saat kedalaman air y. " "Apa itu? Bisakah Anda mengatakannya dengan istilah lain?" "Kecepatan di mana kedalaman air meningkat." "Apa itu? Bisakah Anda mengulanginya dengan berbeda?" "Tingkat perubahan kedalaman air." "Itu benar, tingkat perubahan y. Tapi berapa tingkat perubahannya? Kembali ke definisi. " "Turunannya adalah laju perubahan suatu fungsi." "Benar. Sekarang, adalahy sebuah fungsi? Sebagai kami katakan sebelumnya, kami abaikan nilai numerik y. Bisakah Anda bayangkan itu y berubah? " "Ya, y, kedalaman air, bertambah seiring berjalannya waktu." "Jadi, y adalah fungsi dari apa? " "0 £ waktu t." "Baik. Perkenalkan notasi yang sesuai. Bagaimana kabarmu tulis 'tingkat perubahan y' dalam simbol matematika? " "dy ,, dt "Bagus. Jadi, ini adalah ketidaktahuanmu. Kamu harus mantan



tekan dalam bentuk Sebuah, b, r, y. Ngomong-ngomong, salah satu dari data ini adalah 'rate'. Yang mana?"



20.



Masalah Nilai 31



"r adalah kecepatan aliran air ke dalam bejana. "" Apa itu? Bisakah Anda mengatakannya dengan istilah lain? " "r adalah laju perubahan volume air kapal." "Apa itu? Bisakah Anda menyatakannya kembali dengan cara yang berbeda? Bagaimana Anda akan menulisnya notasi yang cocok? " "dV ,,



r = dt ·



"Apa yang V? " "Volume air di kapal pada saat itu t. " "Bagus. Jadi, Anda harus mengungkapkannya



1e istilah dari



Sebuah, b, ddV .t, y.



H . ow wi· 11



d o Saya. t ? "



kamu



. . .. . "Jika Anda tidak dapat menyelesaikan masalah yang diajukan mencoba untuk memecahkan beberapa masalah terkait terlebih dahulu. Jika Anda belum melihat hubungan di antara



keduanya



1e dan datanya, coba bawa beberapa



koneksi yang lebih sederhana yang bisa berfungsi sebagai batu loncatan. "



.....



"Apakah Anda tidak melihat bahwa ada hubungan lain? Misalnya, ada y dan V. independen satu sama lain? " "Tidak. Kapan y meningkat, V. harus meningkat juga. " "Jadi, ada hubungannya. Apa hubungannya?" "Nah, lihat volume kerucut yang ketinggiannya adalah y. Tapi saya belum tahu jari-jari alasnya. " "Namun, Anda dapat mempertimbangkannya. Sebut saja, katakanlah x. "



"V



=



2 'lrX' Y. "



3 "Benar. Sekarang, bagaimana dengan x? Apakah itu independen dari y? ''



"Tidak. Saat kedalaman air, y, meningkatkan radius permukaan bebas, x, meningkat juga. " "Jadi, ada hubungannya. Apa hubungannya?"



"Tentu saja, segitiga serupa. x: y = a: b. "



"Satu koneksi lagi, Anda tahu. saya tidak akan melewatkan keuntungan darinya. Jangan lupa, Anda ingin mengetahui hubungan di antara keduanyaV. dan y. " "SAYA memiliki x = ay b V. =



2 3



1ra y · "



3b2



"Sangat bagus. Ini terlihat seperti batu loncatan, ya Itu tidak? Tetapi Anda tidak boleh melupakan tujuan Anda.Apakah yang tidak diketahui? " "Baik dy . » dt



"Anda harus menemukan hubungan antara



1i, ,



dan



jumlah lainnya. Dan di sini Anda memiliki satu di antaranyay, V, dan jumlah lainnya. Apa yang harus dilakukan? "" Bedakan! Tentu saja! dV 1ra2y2 dy dt = b2 dt •



Ini dia." "Baik! Dan bagaimana dengan nilai numeriknya?" dV "Jika a = 4 b = 3 = r = 2 y = 1 kemudian '' dt '' '1r X saya 6 X saya dy ,, · 2= dt 9



BAGIAN II. CARA MEMECAHKANNYA SEBUAH DIALOG Berkenalan Di mana saya harus memulai? Mulai dari pernyataan masalah. Apa yang bisa saya melakukan? Visualisasikan masalah secara keseluruhan sejelas dan sejelas mungkin. Untuk saat ini, jangan menyibukkan diri dengan detail. Apa yang bisa saya peroleh dengan melakukan itu '! Anda harus memahami masalahnya, membiasakan diri dengan masalah itu, menanamkan tujuannya di benak Anda. Perhatian yang diberikan pada masalah tersebut juga dapat merangsang ingatan Anda dan bersiap untuk mengingat kembali hal-hal yang relevan. Bekerja untuk Pemahaman yang Lebih Baik Di mana saya harus memulai? Mulailah lagi dari pernyataan masalah. Mulailah ketika pernyataan ini begitu jelas bagi Anda dan sangat terkesan di benak Anda sehingga Anda mungkin akan melupakannya untuk sementara waktu tanpa takut kehilangannya sama sekali. Apa yang dapat saya'! Pisahkan bagian utama dari masalah Anda. Hipotesis dan kesimpulan adalah bagian utama dari "masalah untuk dibuktikan"; yang tidak diketahui, data, dan kondisi adalah bagian utama dari "masalah yang harus ditemukan". Pelajari bagian utama masalah Anda, pertimbangkan satu per satusatu, pertimbangkan mereka secara bergantian, pertimbangkan mereka dalam berbagai kombinasi, menghubungkan setiap detail dengan detail lain dan masing-masing dengan keseluruhan masalah.



33



Sebuah dialog Apa yang dapat saya peroleh dengan melakukannya? Anda harus mempersiapkan dan mengklarifikasi detail yang kemungkinan besar akan berperan setelahnya. Berburu Ide Bermanfaat Di mana saya harus memulai? Mulailah dari pertimbangan bagian utama masalah Anda. Mulailah ketika bagian-bagian utama ini diatur dengan jelas dan dipahami dengan jelas, berkat pekerjaan Anda sebelumnya, dan saat ingatan Anda tampak responsif. Apa yang dapat saya? Pertimbangkan masalah Anda dari berbagai sisi dan mencari kontak dengan pengetahuan yang Anda peroleh sebelumnya. Pertimbangkan masalah Anda dari berbagai sisi. Tekankan bagian yang berbeda, periksa detail yang berbeda, periksa detail yang sama berulang kali tetapi dengan cara berbeda, gabungkan detail secara berbeda, dekati dari sisi yang berbeda. Cobalah untuk melihat makna baru dalam setiap detail, beberapa interpretasi baru dari keseluruhan. Carilah kontak dengan pengetahuan yang Anda peroleh sebelumnya. Coba pikirkan apa yang membantu Anda dalam situasi serupa di masa lalu. Mencoba untuk mengenali sesuatu yang familiar dalam diri Anda memeriksa e, cobalah untuk merasakan sesuatu yang berguna . dalam apa yang Anda kenali. Apa yang bisa saya rasakan? SEBUAH ide yang membantu, mungkin ide yang menentukan yang menunjukkan kepada Anda jalan menuju akhir. Bagaimana sebuah ide bisa membantu? Ini menunjukkan kepada Anda keseluruhan jalan atau sebagian dari jalan; itu menyarankan kepada Anda secara kurang lebih jelas bagaimana Anda dapat melanjutkan. Ide kurang lebih lengkap. Anda beruntung jika memiliki ide di alL Apa yang dapat saya lakukan dengan ide yang tidak lengkap? Kamu harus



Sebuah dialog menguntungkan Anda harus pikirkan itu. Jika terlihat mempertimbangkannya lebih lama. Jika terlihat dapat diandalkan, Anda harus memastikan caranya



Sebuah



dialog



35



sejauh



ini



membawa Anda, dan mempertimbangkan kembali situasinya. Situasi telah berubah, berkat ide Anda yang sangat membantu. Pertimbangkan situasi baru dari berbagai sisi dan carilah kontak dengan pengetahuan yang Anda peroleh sebelumnya. Apa yang bisa saya dapatkan oleh melakukannya lagi? Anda mungkin beruntung dan punya ide lain. Mungkin ide Anda selanjutnya akan segera membawa Anda ke solusi. Mungkin Anda membutuhkan beberapa ide yang lebih membantu setelah berikutnya. Mungkin Anda akan tersesat oleh beberapa ide Anda. Meskipun demikian, Anda harus berterima kasih atas semua ide baru, juga untuk yang lebih kecil, juga untuk yang kabur, juga untuk ide tambahan yang menambahkan beberapa ketepatan pada ide yang kabur, atau mencoba mengoreksi ide yang kurang beruntung. Bahkan jika Anda tidak memiliki ide baru yang berarti untuk sementara waktu, Anda harus bersyukur jika konsepsi Anda tentang masalah menjadi lebih lengkap atau lebih koheren, lebih homogen atau lebih seimbang. Menjalankan Rencana



Di mana saya harus memulai? Mulailah dari ide keberuntungan yang membawa Anda ke solusi. Mulailah ketika Anda merasa yakin dengan pemahaman Anda tentang koneksi utama dan Anda merasa yakin bahwa Anda dapat memberikan detail kecil yang mungkin Anda butuhkan. Apa yang dapat saya? Pastikan genggaman Anda cukup aman. Membawa melalui secara rinci semua operasi aljabar atau geometri yang telah Anda kenali sebelumnya sebagai mungkin. Yakinkan diri Anda sendiri tentang kebenaran setiap langkah dengan penalaran • mal, atau dengan wawasan intuitif, atau kedua cara jika Anda bisa. Jika masalah Anda sangat kompleks, Anda dapat membedakan langkah-langkah "besar" dan langkah "kecil", setiap langkah besar terdiri dari beberapa langkah kecil.



Periksa dulu langkah-langkah hebatnya, dan turun ke langkah-langkah kecil sesudahnya. Apa yang bisa saya dapatkan oleh melakukannya? Presentasi dari solusi setiap langkah yang benar tanpa keraguan.



Sebuah dialog Melihat kembali Di mana saya harus memulai? Dari solusinya, lengkap dan benar di setiap detail. Apa yang dapat saya? Pertimbangkan solusi dari berbagai sisi dan cari kontak dengan pengetahuan yang Anda peroleh sebelumnya. Pertimbangkan detail solusinya dan cobalah membuatnya sesederhana mungkin; survei bagian solusi yang lebih luas dan coba persingkat;mencoba untuk melihat solusi secara sekilas. Cobalah untuk memodifikasi untuk keuntungan mereka bagianbagian yang lebih kecil atau lebih besar dari solusi tersebut, cobalah untuk meningkatkan keseluruhan solusi, untuk membuatnya intuitif, untuk menyesuaikannya dengan pengetahuan yang Anda peroleh sebelumnya, sealami mungkin. Teliti dengan cermat metode yang membawa Anda ke solusi, coba lihat intinya, dan coba gunakan untuk masalah lain. Teliti hasilnya dan coba manfaatkanItu untuk masalah lain. Apa yang bisa saya dapatkan oleh melakukannya? Anda mungkin menemukan · baru dan solusi yang lebih baik, Anda mungkin menemukan fakta baru dan menarik. Bagaimanapun, jika Anda terbiasa mengamati dan meneliti solusi Anda dengan cara ini, Anda akan memperoleh beberapa pengetahuan yang teratur dan siap digunakan, dan Anda akan mengembangkan kemampuan Anda untuk memecahkan masalah.



BAGIAN III. KAMUS PENDEK HEURISTIK



Analogi adalah sejenis kesamaan. Objek serupa setuju satu sama lain dalam beberapa hal, objek analog setuju dalam hubungan tertentu bagiannya masing-masing. 1. Jajar genjang persegi panjang dianalogikan dengan • paralelepiped rec tangular. Faktanya, hubungan antara sisi-sisi jajaran genjang serupa dengan • antara sisi-sisi paralelepiped: Setiap sisi jajaran genjang sejajar dengan satu sisi lainnya, dan tegak lurus dengan sisi yang tersisa. Setiap sisi dari parallelepiped sejajar dengan satu sisi lainnya, dan tegak lurus dengan sisi yang tersisa. Mari kita setuju untuk menyebut sebuah sisi sebagai "elemen pembatas" dari jajaran genjang dan sebuah muka sebagai "elemen pembatas" dari paralelepiped. Kemudian, kita dapat mengontrak kedua pernyataan berjalan ke depan menjadi satu yang berlaku sama untuk kedua gambar: Setiap elemen pembatas sejajar dengan satu elemen pembatas lainnya dan tegak lurus dengan elemen pembatas yang tersisa. Jadi, kita telah menyatakan hubungan tertentu yang umum untuk dua sistem objek yang kita bandingkan, sisi persegi panjang dan muka dari • pipa paralel persegi panjang. Analogi dari sistem-sistem ini terdiri dari komunitas relasi ini. 2. Analogi meliputi semua pemikiran kita, ucapan kita seharihari dan kesimpulan sepele kita serta cara ekspresi artistik dan pencapaian ilmiah tertinggi. Analogi digunakan pada level yang sangat berbeda. Orang-orang



37



sering menggunakan analogi yang tidak jelas, ambigu, tidak lengkap, atau tidak diklarifikasi secara lengkap, tetapi analogi dapat mencapai tingkat ketepatan matematis. Segala macam analogi mungkin memainkan peran dalam penemuan solusi dan karenanya kita tidak boleh mengabaikan apapun. 3. \ r \ 1e mungkin menganggap diri kita beruntung ketika, mencoba memecahkan masalah, kita berhasil menemukan a masalah analogi yang lebih sederhana. Di bagian 15, masalah awal kami berkaitan dengan diagonal paralayang persegi panjang; Pertimbangan masalah analog yang lebih sederhana, terkait dengan diagonal persegi panjang, membawa kita ke solusi dari masalah aslinya. Kami akan membahas satu kasus lagi dengan jenis yang sama. Kami harus menyelesaikan masalah berikut: Temukan pusat gravitasi tetra homogen • hedron. Tanpa pengetahuan tentang kalkulus integral, dan dengan sedikit pengetahuan fisika, masalah ini sama sekali tidak mudah; itu adalah masalah ilmiah yang serius di zaman Archimedes atau Galileo. Jadi, jika kita ingin menyelesaikannya dengan pengetahuan pendahuluan sesedikit mungkin, kita harus mencari masalah analogi yang lebih sederhana. Masalah sponding yang sesuai di pesawat terjadi di sini secara alami: Temukan pusat gravitasi segitiga homogen. Sekarang, kita punya dua pertanyaan, bukan satu. Tetapi dua pertanyaan mungkin lebih mudah dijawab daripada hanya satu pertanyaan -asalkan kedua pertanyaan tersebut secara cerdas terhub ung. 4. Mengesampingkan, untuk saat ini, masalah awal kita tentang tetrahedron, kita berkonsentrasi pada masalah analogi yang lebih sederhana tentang segitiga. Untuk mengatasi masalah ini, kita harus mengetahui sesuatu tentang pusat gravitasi. Prinsip berikut masuk akal dan muncul dengan sendirinya.



Jika sistem massa S terdiri dari bagian-bagian yang masing-masing bagian



memiliki pusat gravitasinya di bidang yang sama, maka bidang ini juga berisi pusat gravitasi dari keseluruhan sistem S. Prinsip ini menghasilkan semua yang kita butuhkan dalam kasus segi tiga. Pertama, ini menyiratkan bahwa pusat gravitasi segitiga terletak pada bidang segitiga. Kemudian, kita dapat menganggap segitiga terdiri dari serat (garis tipis, jajaran genjang "sempit tak terhingga") sejajar dengan sisi tertentu dari segitiga (sisiAB pada Gambar. 7). Pusat gravitasi setiap serat (dari sembarang jajaran genjang) jelas, titik tengahnya, dan semua titik tengah ini terletak pada garis yang menghubungkan simpul C yang berlawanan dengan sisi. AB ke titik tengah M dari AB (lihat Gambar 7).



c



SEBUAH M B ARA. 7 Pesawat apa pun yang melewati median CM dari • sudut tri berisi pusat-pusat gravitasi dari semua serat sejajar yang menyusun segitiga. Jadi, kita dibawa ke kesimpulan bahwa pusat gravitasi dari seluruh sudut • terletak pada median yang sama. Namun itu harus terletak pada dua median lainnya juga, itu harus menjadiumum titik persimpangan ketiga median. Sebaiknya verifikasi sekarang dengan geometri murni, tanpa bergantung pada asumsi mekanis, bahwa ketiga median bertemu pada titik yang sama.



5. Setelah kasus segitiga, kasus tetra hedron cukup mudah. Kami sekarang telah memecahkan masalah yang serupa dengan masalah yang kami usulkan dan, setelah menyelesaikannya, kami memiliki model untuk diikuti. Dalam memecahkan masalah analog yang kita gunakan sekarang sebagai model, kita memahami segitiga ABC terdiri dari serat-serat yang sejajar dengan salah satu sisinya, AB. Sekarang, kita memahami tetrahedron ABCD terdiri dari serat yang sejajar dengan salah satu tepinya, AB. Titik tengah serat yang membentuk segitiga • terletak pada garis lurus yang sama, sebuah median segitiga, menghubungkan titik tengah M sisi AB ke titik yang berlawananC. Titik tengah serat yang membentuk tetrahedron terletak pada bidang yang sama, bergabung dengan titik tengah M dari tepi AB ke tepi CD yang berlawanan (lihat Gbr. 8); kita dapat menyebut pesawat ini MCD sebagai bidang median dari tetrahedron tersebut.



D



SAYA B ARA. 8



Dalam kasus segitiga, kami memiliki tiga median seperti MC, masing-masing harus mengandung pusat gravitasi segitiga. Oleh karena itu, ketiga median ini harus bertemu di satu titik yang tepatnya merupakan pusat gravitasi. Di



41



41



kasus tetrahedron kami memiliki enam bidang median seperti MCD, menghubungkan titik tengah beberapa tepi ke tepi berlawanan, yang masing-masing harus mengandung pusat gravitasi tetrahedron. Oleh karena itu, enam bidang median ini harus bertemudi satu titik yang justru merupakan pusat gravitasi. 6. Jadi, kita telah memecahkan soal pusat gravitasi tetrahedron homogen. Untuk melengkapi solusi kami, sangat diharapkan untuk memverifikasi sekarang dengan geome murni •mencoba, terlepas dari pertimbangan mekanis, bahwa enam bidang median yang disebutkan melewati titik yang sama. Ketika kami telah menyelesaikan soal pusat gravitasi segitiga homogen, kami merasa perlu untuk memverifikasi, untuk menyelesaikan solusi kami, bahwa tiga median segitiga melewati titik yang sama. Masalah ini dapat dianalogikan dengan yang sebelumnya tetapi tampak lebih sederhana. Sekali lagi kita dapat menggunakan, dalam memecahkan masalah mengenai tetrahedron, masalah analogi yang lebih sederhana mengenai segitiga (yang mungkin kita anggap di sini telah diselesaikan). Dalam tindakan, pertimbangkan tiga bidang median, melewati tiga sisiDA, DB, DC dikeluarkan dari puncakD; masing-masing melewati juga melalui titik tengah dari sisi yang berlawanan (bidang median melalui DC melewati M, lihat Gambar 8). Sekarang, ketiga bidang median ini memotong bidang dariD ,. ABC di tiga median segitiga ini. Ketiga median ini melewati titik yang sama (ini adalah hasil dari masalah analog yang lebih sederhana) dan titik ini, seperti D, adalah titik yang sama dari tiga bidang median. Garis lurus, yang menghubungkan dua titik yang sama, adalah umum untuk ketiga bidang median. Kami membuktikan bahwa 3 di antara 6 bidang median yang melewati puncak D memiliki garis lurus yang sama. Hal yang sama harus benar untuk 3 bidang median tersebut



42



42



yang melewati SEBUAH; dan juga dari 3 bidang median melalui B; dan juga dari 3 sampai C. Menghubungkan fakta-fakta ini dengan tepat, kami dapat membuktikan bahwa 6 bidang median memiliki titik yang sama. (3 bidang median melewati sisi ABC menentukan kom • titik mon, dan 3 garis perpotongan yang bertemu di titik yang sama. Sekarang, dengan apa yang baru saja kita buktikan, melalui setiap garis persimpangan, satu bidang median lagi harus lewat.) 7. Baik di bawah 5 dan di bawah 6 kami menggunakan analo yang lebih sederhana • gous soal segitiga, untuk memecahkan masalah tetrahedron. Namun kedua kasus tersebut berbeda dalam hal yang penting. Di bawah 5, kami menggunakan metode soal analogi sederhana yang solusinya kami tiru poin demi poin. Di bawah 6, kami menggunakan hasil dari soal analogi simpier, dan kami tidak peduli bagaimana hasil ini diperoleh. Kadang-kadang, kita mungkin dapat menggunakan metode dan hasil dari soal analogi yang lebih sederhana. Bahkan contoh kami sebelumnya menunjukkan ini jika kami menganggap pertimbangan di bawah 5 dan 6 sebagai bagian berbeda dari solusi masalah yang sama. Contoh kami adalah tipikal. Dalam memecahkan masalah yang diajukan, kita sering dapat menggunakan solusi dari masalah analogi yang lebih sederhana; kita mungkin bisa menggunakan metodenya, atau hasilnya, atau keduanya. Tentu saja, dalam kasus yang lebih sulit, komplikasi mungkin muncul yang belum ditunjukkan oleh contoh kami. Apalagi bisa saja penyelesaian dari masalah analitis tidak bisa langsung digunakan untuk masalah asal kita. Kemudian, mungkin ada baiknya untuk mempertimbangkan kembali solusinya, untuk memvariasikan dan memodifikasinya sampai, setelah mencoba berbagai bentuk solusi, akhirnya kita menemukan satu solusi yang dapat diperluas ke masalah awal kita. 8. Diharapkan untuk meramalkan hasil, atau, setidaknya, beberapa



43



43



ciri-ciri hasil, dengan beberapa tingkat masuk akal. Ramalan yang masuk akal seperti itu seringkali didasarkan pada analogi.



44



44



Jadi, kita mungkin tahu bahwa pusat gravitasi segitiga homogen bertepatan dengan pusat gravitasi-nya tiga simpul (yaitu, dari tiga titik material dengan massa yang sama, ditempatkan di simpul segitiga). Mengetahui hal ini, kita dapat menduga bahwa pusat gravitasi tetrahedron homogen bertepatan dengan pusat gravitasi keempat simpulnya. Dugaan ini adalah "kesimpulan dengan analogi". Mengetahui bahwa segitiga dan tetrahedron adalah serupa dalam banyak hal, kami menduga bahwa mereka sama dalam satu hal lagi. Akan sangat bodoh untuk menganggap masuk akal dugaan semacam itu sebagai kepastian, tetapi akan sama bodohnya, atau bahkan lebih bodoh, jika mengabaikan dugaan yang masuk akal tersebut. Kesimpulan dengan analogi tampaknya merupakan jenis kesimpulan yang paling umum, dan mungkin merupakan jenis yang paling esensial. Ini menghasilkan dugaan yang lebih atau kurang masuk akal yang mungkin atau mungkin tidak dikonfirmasi oleh pengalaman dan penalaran yang lebih ketat. Ahli kimia, yang bereksperimen pada hewan untuk meramalkan pengaruh obatnya pada manusia, menarik kesimpulan dengan analogi. Tapi begitu pula anak kecil yang saya kenal. Anjing peliharaannya harus dibawa ke dokter hewan, dan dia bertanya: "Siapa dokter hewan itu?" "Dokter hewan." "Hewan apa yang merupakan dokter hewan?" 9. Kesimpulan analogis dari banyak kasus paralel lebih kuat daripada satu dari kasus yang lebih sedikit. Namun kualitas masih lebih penting di sini daripada kuantitas. Analogi yang jelas berbobot lebih berat daripada kesamaan yang tidak jelas, contoh yang diatur secara sistematis dihitung untuk lebih dari pengumpulan kasus secara acak. Di atas (di bawah 8) kami mengajukan konjek •



45



45



ture tentang pusat gravitasi tetrahedron. Dugaan ini didukung oleh analogi; kasus



46



46



tetrahedron analog dengan segitiga. Kita dapat memperkuat dugaan dengan memeriksa satu kasus analitik lagi, kasus batang homogen (yaitu, segmen garis lurus dengan kerapatan seragam). Analogi antara segmen segitiga tetrahedron memiliki banyak aspek. Segmen terkandung dalam garis lurus, segitiga dalam bidang, tetrahedron dalam ruang. Ruas-ruas garis lurus adalah gambar-gambar yang dibatasi satu dimensi yang paling sederhana, segitiga adalah poligon yang paling sederhana, tetrahedron adalah polihedron yang paling sederhana. Segmen memiliki 2 elemen batas tanpa dimensi • ments (2 titik akhir) dan interiornya satu dimensi. Segitiga tersebut memiliki 3 elemen pembatas satu dimensi dan 3 dimensi-nol (3 simpul, 3 sisi) dan interiornya dua dimensi. Tetrahedron memiliki 4 elemen pembatas berdimensi-nol, 6 satu dimensi, dan 4 elemen pembatas dua dimensi (4 simpul, 6 sisi, 4 sisi), dan interiornya tiga dimensi. Angka-angka tersebut dapat dirangkai menjadi sebuah tabel. Kolom berturut-turut berisi nomor untuk elemen nol, satu, dua, dan tiga dimensi, baris yang berurutan angka-angka untuk ruas, segitiga, dan tetrahedron: 2



1



3



3



1



4



6



41



Sangat sedikit keakraban dengan pangkat binomial yang diperlukan untuk mengenali bagian segitiga Pascal dalam angka-angka ini. Kami menemukan keteraturan yang luar biasa pada segmen, segitiga, dan tetrahedron. 10. Jika kita pernah mengalami bahwa objek yang kita koma pare terkait erat, "kesimpulan dengan analogi", sebagai berikut, mungkin memiliki bobot tertentu dengan kita.



47



47



Pusat gravitasi batang homogen bertepatan dengan pusat gravitasinya2 titik akhir. Pusat gravitasi segitiga homogen bertepatan dengan pusat gravitasi dari 3 simpulnya. Haruskah kita tidak mencurigai bahwa pusat gravitasi tetrahedron homogen bertepatan dengan pusat gravitasi dari 4 simpulnya? Sekali lagi, pusat gravitasi batang homogen membagi jarak antara titik-titik ujungnya dalam proporsi 1: 1. Pusat gravitasi segitiga membagi jarak antara titik mana pun dan titik tengah sisi yang berlawanan dalam proporsi 2: 1.Haruskah kita tidak menduga bahwa pusat gravitasi sebuah tetra homogen • hedron membagi jarak antara sembarang simpul dan pusat gravitasi dari permukaan yang berlawanan dalam proporsi 3: 1? Tampaknya sangat tidak mungkin bahwa dugaan yang disarankan oleh pertanyaan-pertanyaan ini salah, bahwa keteraturan yang begitu indah harus rusak. Perasaan bahwa tatanan sederhana yang harmonis tidak dapat menipu membimbing penemunya baik dalam matematika maupun dalam sains lain, dan diungkapkan dengan pepatah Latin:simpleks sigillum ueri (kesederhanaan adalah segel kebenaran). [Sebelumnya menunjukkan dimensi ton ekstensi. Tampaknya tidak mungkin apa yang benar dalam tiga dimensi pertama, untuk n == 1, 2, 3, harus berhenti menjadi true untuk nilai n yang lebih tinggi. Dugaan ini adalah "kesimpulan melalui induksi"; ini menggambarkan bahwa induksi secara alami didasarkan pada analogi. LihatINDUKSI DAN INDUK MATEMATIKA • TION.]



Kami menyelesaikan bagian ini dengan mempertimbangkan secara singkat kasus paling penting di mana analogi mencapai ketepatan ide-ide matematika. (I) Dua sistem objek matematika, katakanlah S dan S ', begitu terhubung sehingga ada hubungan tertentu antara objek S diatur oleh hukum yang sama seperti yang ada di antara objek S '. [11.



48 Jenis analogi antara S dan S ' dicontohkan oleh apa yang telah kita diskusikan di bawah 1; ambil sebagai S sisi persegi panjang, seperti S ' wajah persegi panjang parallelepiped. (II) Ada korespondensi satu-satu antara objek dari dua sistemS dan S ', menjaga hubungan tertentu. Artinya, jika relasi semacam itu berlaku di antara objek-objek dari satu sistem, relasi yang sama berlaku di antara objek-objek yang sesuai dari sistem lain. Hubungan antara dua sistem semacam itu merupakan analogi yang sangat tepat; itu disebut isomorfisme (atau holohedral iso • morfisme). (III) Ada satu-banyak korespondensi antara objek dari dua sistem S dan S ' menjaga hubungan tertentu. Hubungan seperti itu (yang penting dalam berbagai cabang studi matematika tingkat lanjut, terutama dalam Teori Grup, dan tidak perlu dibahas di sini secara rinci) disebut isomorfisme merohedral (atau homo • morfisme; homoiomorfisme, mungkin, a istilah yang lebih baik). Isomorfisme merohedral dapat dianggap sebagai analogi lain yang sangat tepat.] Elemen pembantu. Ada lebih banyak konsepsi kami tentang masalah di akhir pekerjaan kami daripada di dalamnya saat kami mulai bekerja(KEMAJUAN DAN PENCAPAIAN,



1). Saat pekerjaan kami berkembang, kami menambahkan elemen baru ke dalamnya awalnya dianggap. Unsur yang kami perkenalkan dengan harapan akan memajukan solusi disebutelemen tambahan. 1. Ada berbagai macam elemen bantu ts. Memecahkan masalah geometris, we mungkin perkenalkan baris baru ke dalam gambar kita, garis bantu. • Memecahkan masalah aljabar, kita dapat memperkenalkan sebuah tambahan tidak diketahui (MASALAH TAMBAHAN, 1) • Teorema bantu adalah teorema yang buktinya kami lakukan dengan harapan mempromosikan solusi dari masalah asli kami.



49 Ada berbagai alasan untuk memperkenalkan elemen bantu. Kami senang karena kami telah berhasil • menguliahi amasalah terkait dengan kami dan diselesaikan sebelumnya. Besar kemungkinan kita dapat menggunakan masalah seperti itu tetapi kita belum tahu bagaimana cara menggunakannya. Misalnya, soal yang coba kita pecahkan adalah soal geometri, dan soal terkait yang telah kita selesaikan sebelumnya dan sekarang berhasil kita kumpulkan adalah soal • sudut segitiga. Namun tidak ada segitiga pada gambar kami; untuk menggunakan masalah yang ditarik kembali kita harus memiliki segitiga; oleh karena itu, kita harus memperkenalkan satu, dengan menambahkan garis bantu yang sesuai ke gambar kita. Secara umum, setelah mengingat masalah terkait yang sebelumnya telah dipecahkan dan ingin menggunakannya untuk masalah kita saat ini, kita harus sering bertanya:Haruskah kita memperkenalkan beberapa elemen tambahan agar dapat digunakan?(Contoh di bagian 10 adalah tipikal.) Kembali ke definisi, kita punya kesempatan lain • nity untuk memperkenalkan elemen tambahan, Misalnya, menjelaskan definisi sebuah lingkaran, kita tidak hanya harus menyebutkan pusat dan jari-jarinya, tetapi kita juga harus memasukkan elemen geometris ini ke dalam gambar kita. Tanpa memperkenalkan mereka, kami tidak dapat menggunakan definisi tersebut secara konkret; menyatakan definisi tanpa menggambar sesuatu hanyalah basa-basi. Mencoba menggunakan hasil yang diketahui dan kembali ke defini • tions adalah di antara alasan terbaik untuk memperkenalkan elemen tambahan; tapi mereka bukan satu-satunya. Kita dapat menambahkan elemen tambahan pada konsepsi masalah kita untuk membuatnya lebih lengkap, lebih sugestif, lebih familiar meskipun kita belum mengetahui secara eksplisit bagaimana kita bisa menggunakan elemen yang ditambahkan. Kita mungkin 2.



50 hanya merasa bahwa itu adalah "ide cemerlang" untuk memahami masalah seperti itu dengan menambahkan elemen ini dan itu. Kami mungkin memiliki alasan ini atau itu untuk memperkenalkan file



51



elemen tambahan, tetapi kita harus memiliki beberapa alasan. Kita tidak boleh memasukkan elemen bantu sembarangan. 3. Contoh. Buatlah sebuah segitiga, diberi satu sudut, ketinggian yang diambil dari titik sudut dari sudut yang ditentukan, dan keliling segitiga.



SEBUAH



h



ARA.



9



SEBUAH



p ARA. 10



Kami memperkenalkan notasi yang sesuai. MembiarkanSebuah menunjukkan sudut yang diberikan, h ketinggian yang diberikan diambil dari puncak SEBUAH dari Sebuah dan p perimeter yang diberikan. Kami menggambar sosok yang mudah kami tempatkanSebuah dan H. Sudahkah kita



52



menggunakan semua data?Tidak, gambar kami tidak berisi panjang yang diberikan p, sama dengan



Elemen Elemen Pembantu Pembantu



53



keliling segitiga. Oleh karena itu kita harus duce p. Tapi bagaimana caranya? w- mungkin mencoba untuk memperkenalkan p dengan berbagai cara. Upaya yang dipamerkan di Gambar. g,10 tampil kikuk. Jika kita mencoba untuk menjelaskan kepada diri kita sendiri mengapa mereka tampak begitu tidak sopan • g pabrik, kita mungkin melihat bahwa itu karena kurangnya simetri. Faktanya, segitiga itu memiliki tiga sisi yang tidak diketahui Sebuah, b, c. Kami memanggilSebuah, seperti biasa, sisi berlawanan SEBUAH; kami tahu itu



a + b + c = p. Sekarang, sisi-sisinya b dan c memainkan peran yang sama; mereka saling • berubah; masalah kita simetris sehubungan denganb dan c. Tapi b dan c tidak memainkan peran yang sama dalam figur kami g, 1 Hai; menempatkan panjangnyap kami dirawat b dan c berbeda; angka g dan10 merusak gejala alam • metry dari masalah yang berkaitan dengan b dan c. Kita harus menempatkan p sehingga memiliki hubungan yang sama dengan b mengenai c. Pertimbangan ini mungkin membantu dalam menyarankan untuk menempatkan panjangnya p seperti pada Gambar. 1 1. Kami menambahkan ke samping Sebuah dari



S E B U A H



Elemen Elemen Pembantu Pembantu



E b c Sebuah



54



Bc D ARA. 11



segitiga itu ruasnya CE panjangnya b di satu sisi dan segrnen t BD panjangnya c di sisi lain sehingga p muncul pada Gambar. 11 sebagai garis ED panjangnya b + a + c = p.



Jika kami memiliki sedikit pengalaman dalam memecahkan masalah konstruksi, kami tidak akan gagal untuk memperkenalkan



gambar, bersama dengan ED, garis bantu AD dan AE, yang masing-masing merupakan alas segitiga sama kaki. Sebenarnya, bukan tidak masuk akal untuk memasukkan elemen ke dalam soal yang sangat sederhana dan familiar, seperti segitiga sama kaki. Kami cukup beruntung dalam memperkenalkan alat bantu kami garis. Meneliti gambar baru kita mungkin menemukan bahwa LEAD memiliki hubungan sederhana dengan sudut tertentuSebuah. Faktanya, kami menemukan menggunakan segitiga sama kaki , 6 ,. ABD dan , 6 ,. KARTU AS LDAE itu



=



+2 90 °. Setelah ucapan ini, wajar saja



coba pembangunan DAE. Mencoba konstruksi ini, kami memperkenalkan masalah tambahan yang jauh lebih mudah daripada masalah aslinya. 4. Guru dan penulis buku teks hendaknya tidak melupakan murid yang cerdas dan PEMBACA CERDAS tidak puas dengan memverifikasi bahwa langkah-langkah penalaran sudah benar tetapi juga ingin mengetahui motif dan tujuan dari berbagai langkah tersebut. Pengenalan elemen bantu adalah langkah yang mencolok. Jika garis bantu yang rumit muncul secara tiba-tiba pada gambar, tanpa motivasi apa pun, dan secara mengejutkan memecahkan masalah, siswa dan pembaca yang cerdas akan kecewa; mereka merasa ditipu. Matematika menarik sejauh ia menempati daya nalar dan daya inventif kita. Tetapi tidak ada yang perlu dipelajari tentang penalaran dan penemuan jika motif dan tujuan dari langkah yang paling mencolok tetap tidak dapat dipahami. Untuk membuat langkah-langkah tersebut dapat dipahami dengan pernyataan yang sesuai (seperti sebelumnya, di bawah 3) atau dengan pertanyaan dan saran yang dipilih dengan cermat (seperti dalam bagian 10, 18, 19, 20) membutuhkan banyak waktu dan usaha; tapi itu mungkin menjadi berharga.



Masalah pembantu adalah masalah yang kami pertimbangkan, bukan untuk kepentingannya sendiri, tetapi karena kami berharap



sideration dapat membantu kami memecahkan masalah lain, masalah asli kami. Masalah aslinya adalah tujuan yang ingin kita capai, masalah tambahan merupakan sarana yang kita coba untuk mencapai tujuan kita. Seekor serangga mencoba melarikan diri melalui kaca jendela, mencoba hal yang sama berulang kali, dan tidak mencoba jendela berikutnya yang terbuka dan melaluinya ia masuk ke ruangan. Seorang pria mampu, atau setidaknya harus mampu, untuk bertindak lebih cerdas. Superioritas manusia terdiri dari mengatasi rintangan yang tidak dapat diatasi secara langsung, dalam merancang masalah tambahan yang sesuai ketika masalah asli tampak tidak terpecahkan. Merencanakan masalah tambahan adalah operasi pikiran yang penting. Untuk mengangkat masalah baru yang jelas dan tunduk pada masalah lain, untuk memahami dengan jelas sebagai tujuan apa artinya tujuan lain, adalah pencapaian kecerdasan yang halus. Merupakan tugas penting untuk mempelajari (atau mengajar) bagaimana menangani masalah tambahan secara cerdas. 1. Contoh. Temukan x, memenuhi persamaan x4 - 13x2



+ 36 = Hai.



Jika kita mengamati itu x4 = (x2) 2 kita mungkin melihat advan tage memperkenalkan



y = x2. Kami sekarang mendapatkan masalah baru: Temukan y, memenuhi persamaan y2 - 13 thn + 36 = Hai. Masalah baru adalah masalah tambahan; kami bermaksud untuk menggunakannya sebagai sarana untuk memecahkan masalah asli kami. Tidak diketahui masalah tambahan kami,y, disebut dengan tepat tambahan tidak diketahui. 2. Contoh. Tentukan diagonal dari paralepiped persegi panjang yang diberi panjang tiga sisi yang diambil dari sudut yang sama.



Mencoba untuk memecahkan masalah ini (bagian 8) kita dapat dibawa, dengan analogi (bagian 15), ke masalah lain: Tentukan diagonal dari sebuah jajaran genjang persegi panjang dengan panjang dua sisi yang ditarik dari titik yang sama. Masalah baru adalah masalah tambahan; kami mempertimbangkannya karena kami berharap mendapatkan keuntungan untuk masalah asli dari pertimbangannya. 3. Keuntungan. Keuntungan yang kita peroleh dari pertimbangan masalah tambahan bisa bermacam-macam. Kami dapat menggunakan hasil dari masalah tambahan. Jadi, contohnya1, ditemukan dengan memecahkan persamaan kuadrat untuk y bahwa y sama dengan 4 atau keg, kami menyimpulkan itu x2 = 4 atau x2 = g dan menurunkan semua kemungkinan nilai x. Dalam kasus lain, kami dapat menggunakan metode masalah tambahan. Jadi, contohnya2, masalah bantu adalah masalah geometri bidang; itu analoguntuk, tapi lebih sederhana dari, masalah aslinya yaitu masalah geometri padat. Masuk akal untuk memperkenalkan masalah tambahan semacam ini dengan harapan akan instruk • tif, sehingga akan memberi kita kesempatan untuk membiasakan diri • diri kita dengan metode, operasi, atau alat tertentu, yang mungkin kita gunakan setelahnya untuk yang asli. masalah. Misalnya • cukup2, pilihan masalah tambahan agak beruntung; memeriksanya dengan cermat kita menemukan bahwa kita dapat menggunakan baik metode maupun hasilnya. (Lihat bagian 15, danAPAKAH KAMU GUNAKAN SEMUA DATA?)



4. Resiko. Kami mengambil waktu dan upaya dari masalah asli yang kami curahkan untuk masalah tambahan. Jika penyelidikan kami tentang masalah tambahan gagal, waktu dan upaya yang kami curahkan untuk masalah itu mungkin hilang. Oleh karena itu, kita hendaknya menggunakan pertimbangan kita dalam memilih masalah tambahan. Kami mungkin memiliki berbagai alasan bagus untuk pilihan kami. Masalah



tambahan mungkin tampak lebih mudah diakses daripada masalah aslinya; atau mungkin muncul



edukatif; atau mungkin memiliki semacam daya tarik estetika. Terkadang satu-satunya keuntungan dari masalah tambahan adalah bahwa ini baru dan menawarkan kemungkinan yang belum dijelajahi; kami memilihnya karena kami bosan dengan masalah awal semua pendekatan yang tampaknya habis. 5. Bagaimana cara menemukannya. Penemuan solusi dari masalah yang diajukan seringkali bergantung pada penemuan masalah tambahan yang sesuai. Sayangnya, tidak ada metode yang salah untuk menemukan masalah tambahan yang sesuai karena tidak ada metode yang sempurna untuk menemukan solusinya. Namun, ada pertanyaan dan saran yang sering membantu, sepertiLIHAT YANG TIDAK DIKETAHUI. Kami sering dituntun ke masalah tambahan yang berguna oleh VARI • ATION OF THE MASALAH.



6. Masalah yang setara. Ada dua masalah setara jika solusi masing-masing melibatkan solusi yang lain. Jadi, dalam contoh kita1, masalah asli dan masalah tambahan adalah setara. Perhatikan teorema berikut: SEBUAH. Dalam segitiga sama sisi apa pun, setiap sudut sama dengan 60 °. B. Dalam segitiga sama panjang mana pun, setiap sudut sama hingga 60 °. Kedua teorema ini tidak identik. Mereka mengandung pengertian yang berbeda; yang satu berkaitan dengan persamaan sisi-sisinya, yang lainnya dengan persamaan sudut segitiga. Tetapi setiap teorema mengikuti dari yang lain. Oleh karena itu, masalah untuk membuktikan A sama dengan masalah untuk membuktikan B. Jika kita diharuskan membuktikan SEBUAH, ada advan tertentu • tingkat dalam memperkenalkan, sebagai masalah tambahan, masalah untuk membuktikan B. Teorema B sedikit lebih mudah dibuktikan daripada A dan, yang lebih penting, kita dapatmeramalkan bahwa B lebih mudah daripada A, kita



dapat menilai demikian, kita mungkin menemukan masuk akal sejak awal bahwa B lebih mudah daripada A. Faktanya,



Teorema B, yang hanya membahas sudut, lebih "homogen" daripada teorema A yang berkaitan dengan sudut dan sisi. Bagian dari masalah asli ke masalah tambahan disebut mobil atap terbuka pengurangan, atau bi • lateral pengurangan, atau setara reduksi jika kedua masalah ini, yang asli dan tambahan, adalah ekuivalenL Jadi, reduksi dari A ke B (lihat di atas) dapat diubah dan begitu juga pengurangan dalam contoh 1. Reduksi yang dapat dikonversi, dalam hal tertentu, lebih penting dan lebih diinginkan daripada cara lain untuk menimbulkan masalah tambahan, tetapi masalah tambahan yang tidak setara dengan masalah aslinya mungkin juga sangat berguna; ambil contoh2. 7. Rantai masalah bantu yang setara bebas • quent dalam penalaran matematis. Kita dituntut untuk memecahkan masalah A; kita tidak dapat melihat solusinya, tetapi kita mungkin menemukan bahwa A setara dengan masalah lain B. Mengingat B kita mungkin mengalami masalah ketiga C setara dengan B. Dengan cara yang sama, kita mengurangi C ke D, dan seterusnya , sampai kita menemukan masalah terakhir L yang solusinya diketahui atau langsung. Setiap masalah setara dengan sebelumnya, masalah terakhir L harusmenjadi setara dengan masalah awal kita A. Dengan demikian kita dapat menyimpulkan solusi dari masalah asli A dari masalah L yang kita capai sebagai mata rantai terakhir dalam rantai masalah tambahan. Rantai masalah semacam ini diperhatikan oleh Matematikawan Yunani seperti yang dapat kita lihat dari bagian penting dari PAPPUS. Sebagai ilustrasi, mari kita pertimbangkan kembali contoh kita 1. Mari kita sebut (A) kondisi yang dikenakan pada x yang tidak diketahui:



(SEBUAH) Salah satu cara untuk memecahkan masalah adalah dengan mentransformasikan pro-



Masalah Tambahan 55 kondisi yang diajukan menjadi kondisi lain yang akan kita sebut (B): (B)



Perhatikan bahwa kondisi (A) dan (B) berbeda. Mereka hanya sedikit berbeda jika Anda ingin mengatakannya, mereka pasti setara karena Anda dapat dengan mudah meyakinkan diri sendiri, tetapi mereka jelas tidak identik. Kalimat dari (A) ke (B) tidak hanya benar tetapi memiliki tujuan yang jelas, jelas bagi siapa saja yang terbiasa dengan solusi persamaan kuadrat. Bekerja lebih jauh ke arah yang sama kita mengubah kondisi (B) menjadi kondisi lain (C): (C)



Melanjutkan dengan cara yang sama, kami memperolehnya (2x2 - 13)2 = 25 (D) (E)



(F) (G)



2x2 - 13 =



±5



x2 = 13 ± 5 2 1 x-- +- 3 + 5



2



(H) x = 3, atau -3, atau 2, atau -2. Setiap pengurangan yang kami buat dapat dikonversi. Jadi kondisi terakhir (H) ekivalen dengan kondisi pertama (A) sehingga 3,-3, 2, - 2 adalah semua solusi yang mungkin dari persamaan awal kita. Di atas, kami berasal dari kondisi asli • tion (A) urutan kondisi (B), (C), (D), ... yang masing-masing ekivalen dengan yang sebelumnya. Poin ini layak mendapat perhatian terbesar. Kondisi ekivalen dipenuhi oleh objek yang sama. Oleh karena itu, jika kita meneruskan dari kondisi yang diusulkan ke kondisi setara baru



untuk itu, kami memiliki solusi yang sama. Tetapi jika kita beralih dari kondisi yang diusulkan ke yang lebih sempit, kita kehilangan solusi, dan jika kita beralih ke yang lebih luas kita mengakui solusi yang tidak tepat dan bagus yang tidak ada hubungannya dengan masalah yang diajukan. Jika, dalam serangkaian pengurangan yang berurutan, kita beralih ke yang lebih sempit dan kemudian ke kondisi yang lebih luas, kita mungkin kehilangan jejak masalah aslinya sepenuhnya. Untuk menghindari bahaya ini, kita harus memeriksa dengan cermat sifat setiap kondisi yang baru diperkenalkan: Apakah sama dengan kondisi aslinya? Pertanyaan ini masih lebih penting ketika kita tidak berurusan dengan satu persamaan seperti di sini tetapi dengan sistem persamaan, atau ketika kondisi tersebut tidak diekspresikan oleh persamaan seperti, misalnya, dalam masalah konstruksi geometris. (Bandingkan PAPPus, terutama komentar 2, 3, 4, 8. Deskripsi di hal. 143, garis 4-21, tidak perlu dibatasi; itu menggambarkan rantai "masalah keTemukan," masing-masing memiliki yang tidak diketahui berbeda. Contoh yang dipertimbangkan di sini hanya memiliki kekhususan yang berlawanan: semua masalah dalam rantai memiliki ketidaktahuan yang sama dan hanya berbeda dalam bentuk kondisinya. 0 £ saja, tidak ada batasan seperti itu yang diperlukan.) 8. Reduksi sepihak. Kami memiliki dua masalah, SEBUAH dan B, keduanya belum terpecahkan. Jika kita bisa menyelesaikannyaSEBUAH karena itu kita bisa mendapatkan solusi penuh B. Tapi tidak sebaliknya; jika kita bisa menyelesaikan B, kita akan memperoleh, mungkin, beberapa informasi tentang A, tetapi kita tidak akan tahu bagaimana mendapatkan solusi penuh dariSEBUAH dari solusi B. Dalam kasus seperti itu, lebih banyak yang dicapai oleh solusi A daripada solusi B. Mari kita sebutSEBUAH itu lebih ambisius, dan B itu kurang ambisius dari dua masalah tersebut. Jika, dari masalah yang diajukan, kita beralih ke masalah lain ambisius atau masalah tambahan yang kurang ambisius kita sebut langkah apengurangan sepihak. Ada dua jenis reduksi sepihak, dan keduanya, dalam beberapa cara atau



Bernard Bolzano 57



lainnya, lebih berisiko daripada re • bilateral atau konvertibel duction. Teladan kami 2 menunjukkan pengurangan sepihak menjadi masalah yang kurang ambisius. Faktanya,jika kita bisa menyelesaikan masalah awal, terkait dengan parallelepiped yang panjang, lebar, dan tingginya Sebuah, b, c masing-masing, kita bisa beralih ke masalah tambahan menempatkan c = o dan mendapatkan jajaran genjang dengan panjang Sebuah dan lebar b. Untuk contoh lain dari pengurangan sepihak menjadi masalah yang kurang ambisius, lihat SPESIALISASI, 3, 4, 5. Contoh-contoh ini menunjukkan bahwa, dengan sedikit keberuntungan, kita mungkin dapat menggunakan • masalah tambahan yang tidak terlalu mengganggu sebagai Batu loncatan, menggabungkan solusi dari masalah tambahan dengan beberapa komentar tambahan yang sesuai untuk mendapatkan solusi dari masalah aslinya. Pengurangan sepihak menjadi masalah yang lebih ambisius mungkin juga berhasil. (LihatGENERALISASI, 2, dan pengurangan dari masalah pertama ke kedua dipertimbangkan dalam INDUKSI DAN INDUKSI MATEMATIKA, I, 2.) Faktanya, masalah yang lebih ambisius mungkin lebih mudah diakses; ini adalahPENEMU's pARADOX. Bolzano, Bernard (1781-1848), ahli logika dan ahli matematika, mengabdikan sebagian besar presentasi komprehensifnya tentang logika, Wissenschaftslehre, pada subjek heuristik (vol. 3, hlm. 293-575). Dia menulis tentang bagian dari karyanya ini: "Saya sama sekali tidak berpikir bahwa saya dapat menyajikan di sini prosedur penyelidikan apa pun yang tidak pernah dirasakan sebelumnya oleh semua orang berbakat; dan saya tidak berjanji sama sekali bahwa Anda dapat menemukannya di sini sesuatu yang cukup baru dari jenis ini. Tapi saya akan bersusah payah untuk menyatakan dengan kata-kata yang jelas aturan dan cara penyelidikan yang diikuti oleh semua orang yang mampu, yang dalam banyak kasus bahkan tidak sadar untuk mengikutinya. Meskipun saya bebas dari ilusi bahwa saya



akan sepenuhnya berhasil bahkan dalam melakukan ini, saya masih berharap



Ide cemerlang bahwa sedikit yang disajikan di sini mungkin menyenangkan beberapa orang dan memiliki beberapa penerapan setelahnya. " Ide cemerlang, atau "ide bagus", atau "melihat cahaya", adalah ungkapan sehari-hari yang menggambarkan kemajuan tiba-tiba menuju solusi; LihatKEMAJUAN DAN PENCAPAIAN, 6. Munculnya ide cemerlang adalah pengalaman yang akrab bagi setiap orang tetapi sulit untuk dijelaskan dan oleh karena itu mungkin menarik untuk diperhatikan bahwa deskripsi yang sangat sugestif tentang ide tersebut secara kebetulan diberikan oleh otoritas setua Aristoteles. Kebanyakan orang akan setuju bahwa mengandung ide cemerlang sebuah "tindakan bijak." Aristoteles mengartikan "kecerdasan" sebagai berikut: "Sagacity adalah tebakan demi tebakan atas hubungan esensial dalam waktu yang tidak terduga. Sebagai contoh, jika Anda melihat seseorang berbicara dengan orang kaya dengan cara tertentu, Anda mungkin langsung menebak bahwa orang itu mencoba meminjam uang. Atau mengamati bahwa sisi terang bulan selalu menghadap matahari, Anda mungkin tiba-tiba mengerti mengapa demikian; yaitu, karena bulan bersinar oleh cahaya matahari. "1 Contoh pertama tidak buruk tapi agak sepele; tidak banyak kecerdasan diperlukan untuk menebak hal-hal semacam ini tentang orang kaya dan uang, dan idenya tidak terlalu cemerlang. Contoh kedua, bagaimanapun, cukup mengesankan jika kita melakukan sedikit upaya imajinasi untuk melihatnya dalam pengaturan yang tepat. Kita harus menyadari bahwa orang sezaman Aristoteles harus mengawasi matahari dan bintang jika dia ingin mengetahui waktu karena tidak ada jam tangan, dan harus mengamati fase bulan jika dia berencana bepergian pada malam hari karena tidak ada jam tangan. lampu jalan. Dia jauh lebih mengenal langit daripada kota modern-



Teksnya sedikit diatur ulang. Untuk terjemahan yang lebih tepat lihat William Whewell, The Philosophy of the Inductive Sciences(1847), vol. n, P: 131. 1



Bisakah



Anda



Memeriksa



Hasilnya?



59 penghuni, dan kecerdasan alaminya tidak diredupkan oleh fragmen presentasi jurnalistik yang tidak tercerna teori astronomi. Dia melihat bulan purnama sebagai piringan datar, mirip dengan piringan matahari tetapi kurang cerah. Dia pasti bertanya-tanya pada perubahan bentuk dan posisi bulan yang tak henti-hentinya. Dia mengamati bulan sesekali juga pada siang hari, tentang matahari terbit atau terbenam, dan menemukan "bahwa sisi terang bulan selalu mengarah ke matahari" yang dengan sendirinya merupakan pencapaian yang terhormat. Dan sekarang ia melihat bahwa berbagai aspek bulan adalah seperti berbagai aspek dari sebuah bola yang diterangi dari satu sisi sehingga separuhnya berkilau dan separuh lainnya gelap. Ia membayangkan matahari dan bulan bukan sebagai cakram datar tetapi sebagai benda bulat, yang satu memberi dan yang lainnya menerima cahaya. Dia memahami hubungan esensial, dia mengatur ulang konsepsi sebelumnya secara instan, "dalam waktu yang tidak terduga": ada sudd en lompatan imajinasi, ide cemerlang, kilasan kejeniusan.



.



Bisa cek hasilnya? Bisakah Anda memeriksa argumentasi?Jawaban yang baik atas pertanyaan-pertanyaan ini memperkuat kepercayaan kami pada solusi tersebut dan berkontribusi pada soliditas pengetahuan kami. 1. Hasil numerik dari masalah matematika dapat diuji dengan membandingkannya dengan angka-angka yang diamati, atau dengan perkiraan akal sehat dari angkaangka yang dapat diamati. Karena masalah yang timbul dari kebutuhan praktis atau keingintahuan alamiah hampir selalu mengarah pada fakta, maka diharapkan perbandingan seperti itu dengan fakta yang dapat diamati jarang diabaikan. Namun setiap guru tahu bahwa siswa mencapai hal-hal luar biasa dalam hal ini. Beberapa siswa sama sekali tidak terganggu ketika mereka menemukannya16.130 ft. untuk panjang kapal dan 8 tahun, 2 berbulan-bulan untuk usia kapten yang, ngomongngomong, dikenal sebagai seorang kakek. Pengabaian seperti itu



60 Bisakah Anda Memeriksa Hasilnya? yang jelas tidak selalu menunjukkan kebodohan melainkan ketidakpedulian terhadap masalah artifisial. 2. Masalah "dalam huruf" lebih rentan terhadap tes yang lebih banyak dan lebih menarik daripada "masalah dalam angka" (bagian 14). Untuk contoh lain, mari kita pertimbangkan frustum dari sebuah piramida dengan alas persegi. Jika sisi alas bawah adalahSebuah, sisi alas atasb, dan ketinggian frustum itu h, kami menemukan volume Sebuah2 + ab + b2 ---h. 3



Kami dapat menguji hasil ini dengan SPESIALISASI. Faktanya, jika b = Sebuah frustum menjadi sebuah prisma dan rumusnya menghasilkan a2h; dan jika b = o frustum menjadi piramida a2h



dan rumusnya menghasilkan -. Kami dapat menerapkanUJI OLEH 3 DIMENSI. Faktanya, ungkapan itu memiliki dimensi kubus dengan panjang. Sekali lagi, kita dapat menguji rumus dengan variasi data. Padahal, jika salah satu besaran positifnya Sebuah, b atau h meningkatkan nilai ekspresi . meningkat. Tes semacam ini dapat diterapkan tidak hanya untuk hasil akhir tetapi juga untuk hasil antara. Mereka sangat berguna sehingga bermanfaat saat mempersiapkannya; LihatVARIASI MASALAH, 4. Agar dapat menggunakan tes semacam itu, kita mungkin menemukan keuntungan dalam menggeneralisasi "masalah dalam angka" dan mengubahnya menjadi "masalah dalam huruf"; LihatGENERALISASI, 3 · 3. Bisakah Anda memeriksa argumentl Memeriksa argu • Selangkah demi selangkah, kita harus menghindari pengulangan belaka. Pertama, pengulangan cenderung menjadi membosankan, tidak instruktif, membebani perhatian. Kedua, dimana kita pernah tersandung sekali, disitu kita cenderung tersandung lagi jika keadaannya sama seperti



sebelumnya. Jika kita merasa perlu membahas kembali seluruh argumen langkah demi langkah, kita harus melakukannya



Bisakah Anda Mendapatkan Hasilnya Secara 61 Berbeda? setidaknya mengubah urutan langkah, atau pengelompokannya, untuk memperkenalkan beberapa variasi. 4. Dibutuhkan lebih sedikit tenaga dan lebih menarik untuk memilih titik terlemah dari argumen dan memeriksanya terlebih dahulu. Sebuah pertanyaan yang sangat berguna dalam memilih poin-poin argumen yang berharga saat ditelaah adalah:APAKAH KAMU GUNAKAN DATA?



SEMUA



5. Jelaslah bahwa pengetahuan nonmathematical kita tidak bisa seluruhnya didasarkan pada bukti-bukti formal. Bagian yang lebih kokoh dari pengetahuan kita sehari-hari terus diuji dan diperkuat oleh pengalaman kita sehari-hari. Ujian dengan observasi lebih sistematis dilakukan dalam ilmu alam. Tes semacam itu berbentuk eksperimen dan pengukuran yang cermat, dan dikombinasikan dengan penalaran matematika dalam ilmu fisika. Bisakah pengetahuan kita dalam matematika didasarkan pada bukti formal saja? Ini adalah pertanyaan filosofis yang tidak dapat kami bate di sini. Yang pasti pengetahuan Anda, atau pengetahuan saya, atau pengetahuan siswa Anda dalam matematika tidak didasarkan pada pembuktian formal saja. Jika ada pengetahuan yang kuat, itu memiliki dasar eksperimental yang luas, dan dasar ini diperluas oleh setiap masalah yang hasilnya berhasil diuji. Bisakah Anda mendapatkan hasil yang berbeda? Ketika solusi yang akhirnya kami peroleh panjang dan rumit, kami tentu menduga bahwa ada solusi yang lebih jelas dan tidak bundar: Dapatkah Anda memperoleh hasil secara berbeda? Bisakah Anda melihatnya secara sekilas? Namun meskipun kita telah berhasil menemukan solusi yang memuaskan, kita mungkin masih tertarik untuk mencari solusi lain. Kami ingin meyakinkan diri kami sendiri tentang validitas hasil teoritis dengan dua turunan yang berbeda saat kami ingin melihat objek pasangan melalui dua pengertian yang berbeda. Setelah menemukan a



62 Bisakah Anda Mendapatkan Hasilnya Secara Berbeda?



bukti, kami ingin mencari bukti lain karena kami ingin menyentuh suatu benda setelah melihatnya. Dua bukti lebih baik dari satu. "Aman dikendarai dua jangkar. " 1. Contoh. Temukan luasnya S dari permukaan lateral frustum sebuah kerucut lingkaran kanan, diberi jari-jari alas bawahnya R, jari-jari dari alas atas r, dan ketinggian h. Masalah ini dapat diselesaikan dengan berbagai prosedur. Untuk Misalnya, kita mungkin mengetahui rumus permukaan lateral kerucut penuh. Karena frustum dihasilkan dengan memotong sebuah kerucut menjadi kerucut yang lebih kecil, maka permukaan lateral adalah selisih dari dua permukaan kerucut penuh; itu tetap untuk mantan tekan ini dalam halR) r, h. Melalui ide ini, kami akhirnya mendapatkan rumusnya S = 1r (R



+ r) V ( R - r) 2 + h2.



Setelah menemukan hasil ini dalam beberapa cara atau yang lain, setelah perhitungan yang lebih lama, kita mungkin menginginkan argumen yang lebih jelas dan tidak berbelit-belit. Bisakah Anda memperoleh hasil yang lebih berbeda? Bisakah Anda melihatnya secara sekilas? Ingin melihat secara intuitif keseluruhan hasil, kita dapat mulai dengan mencoba melihat makna geometris dari bagian-bagiannya. Jadi, kita dapat mengamati itu V (R - r)2



+ h2



adalah panjang tinggi miring. (Ketinggian miring adalah salah satu sisi tak sejajar dari trapesium sama kaki yang, berputar di sekitar garis yang menghubungkan titik tengah sisi paralelnya, menghasilkan frustum; lihat Gambar 12.) Sekali lagi, kita mungkin menemukan itu 1r (R



+ r) -



21rR



+ 21rr 2



adalah rata-rata aritmatika dari keliling dua basis



Bisakah Anda Menggunakan Bisakah Anda Mendapatkan Hasilnya Secara Berbeda?Hasilnya?



63



dari frustum. Melihat pada bagian yang sama dari rumus, kita mungkin tergerak untuk menuliskannya juga di formulir 1r (R



+ r) = 271 " R +2 r



itu adalah garis keliling dari bagian tengah frustum. (Kami menyebut di sini bagian tengah persimpangan dari frustum dengan bidang yang sejajar baik ke dasar bawah dan ke dasar atas dari frustum dan membagi dua ketinggian.)



h R ARA. 12



Setelah menemukan interpretasi baru dari berbagai bagian, sekarang kita dapat melihat keseluruhan rumus dalam sudut pandang yang berbeda. Kita dapat membacanya sebagai berikut: Daerah = Keliling bagian tengah X tinggi Miring. Kita mungkin mengingat di sini aturan untuk trapesium: Daerah = Ketinggian X Garis Tengah. (Garis tengah sejajar dengan dua sisi paralel trapesium dan membagi dua ketinggian.) Melihat analogi kedua pernyataan secara intuitif, bahwa tentang



Bisakah Anda Menggunakan Bisakah Anda Mendapatkan Hasilnya Secara 64 Berbeda?Hasilnya? frustum dan tentang trapesium, kita melihat keseluruhan hasil tentang frustum "hampir di sekilas." Artinya, kami merasa



Bisakah Anda Menggunakan Bisakah Anda Mendapatkan Hasilnya Secara 65 Berbeda?Hasilnya? bahwa kita sekarang sangat dekat dengan bukti singkat dan langsung dari hasil yang ditemukan oleh penghitungan yang panjang. 2. Contoh di atas adalah tipikal. Tidak sepenuhnya puas dengan penurunan hasil, kami ingin memperbaikinya, mengubahnya. Oleh karena itu, kami mempelajari hasilnya, mencoba untuk memahaminya dengan lebih baik, untuk melihat beberapa aspek baru darinya. Pertamatama kita mungkin berhasil mengamati interpretasi baru dari sebagian kecil hasil. Kemudian, kita mungkin cukup beruntung untuk menemukan cara baru memahami bagian lain. Memeriksa berbagai bagian, satu demi satu, dan mencoba berbagai cara untuk mempertimbangkannya, kita akhirnya dapat diarahkan untuk melihat keseluruhan hasil dalam sudut pandang yang berbeda, dan konsepsi baru kita tentang hasilnya mungkin menyarankan bukti baru. Mungkin diakui bahwa semua ini lebih mungkin terjadi pada ahli matematika berpengalaman yang berurusan dengan beberapa masalah tingkat lanjut daripada seorang pemula yang berjuang dengan beberapa masalah dasar. Matematikawan yang memiliki banyak pengetahuan lebih terpapar bahaya daripada memobilisasi terlalu banyak pengetahuan dan membingkai argumen yang terlibat yang tidak perlu. Namun, sebagai kompensasinya, ahli matematika yang berpengalaman berada dalam posisi yang lebih baik daripada pemula untuk menghargai pengekangan dari sebagian kecil hasil dan melanjutkan, mengumpulkan keuntungan kecil, untuk menyusun kembali sebagian besar hasil. Meskipun demikian, hal itu dapat terjadi bahkan di tingkat yang sangat dasar



Bisakah Anda Menggunakan Bisakah Anda Mendapatkan Hasilnya Secara 66 Berbeda?Hasilnya? kelas yang siswa sajikan solusi rumit yang tidak perlu. Kemudian, guru harus menunjukkan kepada mereka, setidaknya sekali atau dua kali, tidak hanya bagaimana menyelesaikan masalah lebih cepat tetapi juga bagaimana menemukan, dalam hasil itu sendiri, indikasi solusi yang lebih singkat. Lihat juga REDUKTIO IKLAN ABSURD UM DAN BUKTI TIDAK LANGSUNG.



Bisakah Anda menggunakan hasilnya? Untuk menemukan solusi dari sebuah masalah • lem dengan cara kita sendiri adalah penemuan. Jika masalahnya



Bisakah Bisakah Anda Anda Menggunakan Menggunakan Hasilnya? Hasilnya? tidak sulit, penemuan ini tidak terlalu penting, tetapi bagaimanapun juga ini adalah sebuah penemuan. Setelah membuat beberapa penemuan, betapapun sederhananya, kita tidak boleh gagal untuk menanyakan apakah ada sesuatu yang lebih di baliknya, kita tidak boleh melewatkan kemungkinan yang terbuka oleh hasil baru, kita harusmencoba untuk menggunakan kembali prosedur yang digunakan. Eksploitasi kesuksesan Anda. Dapatkah Anda menggunakan hasil, atau metode, untuk masalah lain? 1. Kita dapat dengan mudah membayangkan masalah baru jika kita memahami cara utama untuk memvariasikan masalah, sebagaiGENERALISASI, SPESIALISASI, ANALOGI, DEKOMPOSISASI DAN RECOMBINING. kita mulai dari masalah yang diusulkan, kita mendapatkan dari itu orang lain dengan cara yang baru saja kita sebutkan, dari masalah yang kita peroleh kita mendapatkan yang lain lagi, dan seterusnya. Prosesnya tidak terbatas dalam teori tetapi, dalam praktiknya, kami jarang melakukannya terlalu jauh, karena masalah yang kami peroleh cenderung tidak dapat diakses. Di sisi lain, kita dapat membangun masalah baru yang dapat kita selesaikan dengan mudah menggunakan solusi dari masalah yang telah diselesaikan sebelumnya; tetapi masalah baru yang mudah ini cenderung tidak menarik. Untuk menemukan masalah baru yang menarik dan dapat diakses, tidak begitu mudah; kita butuh pengalaman, rasa, dan keberuntungan. Namun kita tidak boleh gagal untuk mencari lebih banyak masalah baik ketika kita telah berhasil menyelesaikannya. Masalah baik dan jamur dari jenis tertentu memiliki kesamaan; mereka tumbuh dalam kelompok. Setelah menemukan satu, Anda harus melihat sekeliling; ada kemungkinan besar ada beberapa yang lebih dekat. 2. Kami akan mengilustrasikan beberapa poin di atas dengan contoh yang sama yang kami diskusikan di bagian 8, 10, 12, 14, 15. Jadi kita mulai dari soal berikut:



Bisakah Bisakah Anda Anda Menggunakan Menggunakan Hasilnya? Hasilnya? Mengingat tiga dimensi (panjang, lebar, dan tinggi) dari sebuah persegi panjang sejajar, carilah diagonal. Jika kita tahu solusi dari masalah ini, kita bisa dengan mudah



Bisakah Bisakah Anda Anda Menggunakan Menggunakan Hasilnya? Hasilnya? memecahkan salah satu masalah berikut (dua yang pertama hampir disebutkan di bagian 14). Diketahui tiga dimensi dari sebuah parallele persegi panjang • pipa, temukan jari-jari bola yang dibatasi. Alas limas adalah persegi panjang yang bagian tengahnya adalah kaki dari ketinggian limas. Dengan mengetahui ketinggian limas dan sisi-sisi alasnya, temukan tepi lateral. Diketahui koordinat persegi panjang (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) dari dua titik di ruang angkasa, temukan jarak titik-titik ini. Kami menyelesaikan masalah ini dengan mudah karena hampir tidak berbeda dari masalah asli yang solusinya kami ketahui. Dalam setiap kasus, kami menambahkan beberapa gagasan baru ke masalah awal kami, seperti bola berbatas, koordinat piramida, persegi panjang. Gagasan ini dengan mudah ditambahkan dan dengan mudah dihilangkan, dan, setelah menyingkirkannya, kita kembali ke masalah awal kita. Masalah-masalah di atas memiliki kepentingan tertentu karena gagasan yang kita masukkan ke dalam masalah aslinya menarik. Masalah terakhir, tentang jarak dua titik yang ditentukan oleh koordinatnya, bahkan menjadi masalah yang penting karena koordinat persegi panjang itu penting. 3. Berikut adalah masalah lain yang dapat kita selesaikan dengan mudah jika kita mengetahui solusi dari masalah awal kita: Mengingat panjang, lebar, dan diagonal dari sebuah persegi panjang, tentukan tingginya. Sebenarnya, solusi dari masalah awal kita terdiri pada dasarnya dalam membangun hubungan antara empat quanti • ikatan, tiga dimensi dari parallelepiped dan diagonalnya. Jika tiga dari empat kuantitas ini diberikan, kita dapat menghitung yang keempat dari relasinya. Dengan demikian, kita bisa menyelesaikan masalah baru tersebut. Di sini kami memiliki pola untuk mendapatkan pola baru yang mudah dipecahkan



Bisakah Bisakah Anda Anda Menggunakan Menggunakan Hasilnya? Hasilnya?



masalah dari masalah yang telah kami selesaikan: kami menganggap yang asli tidak diketahui sebagai diberikan dan salah satu data asli sebagai tidak diketahui. Hubungan yang menghubungkan hal-hal yang tidak diketahui dan data adalah sama dalam kedua masalah tersebut, yang lama dan yang baru. Setelah menemukan relasi ini di satu, kita bisa menggunakannya juga di yang lain. Pola memperoleh masalah baru dengan cara bertukar peran ini sangat berbeda dengan pola yang diikuti di bawah 2. 4. Sekarang, mari kita membahas beberapa masalah baru dengan cara lain. Alami generalisasi dari masalah awal kita adalah sebagai berikut: Temukan diagonal dari sebuah parallelepiped, yang diberi tiga sisi yang dikeluarkan dari titik akhir diagonal, dan tiga sudut di antara ketiga sisi ini. Oleh spesialisasi kita mendapatkan masalah berikut: Temukan diagonal kubus dengan tepi yang diberikan. Kita mungkin dibawa ke berbagai masalah yang tidak ada habisnya oleh analogi, Berikut adalah beberapa yang diturunkan dari yang dianggap di bawah 2: Tentukan diagonal oktahedron beraturan dengan tepi tertentu. Tentukan jari-jari bola berbatas tetrahedron beraturan dengan tepi tertentu. Berdasarkan koordinat geografis, lintang dan bujur, dari dua titik di permukaan bumi (yang kita anggap sebagai bola) temukan jarak bola mereka. Semua masalah ini menarik tetapi hanya yang diperoleh dengan spesialisasi yang dapat segera diselesaikan berdasarkan solusi dari masalah aslinya. 5. Kita dapat memperoleh masalah baru dari yang diusulkan dengan mempertimbangkan elemen tertentu sebagai variabel. Kasus khusus dari masalah yang disebutkan di bawah 2 adalah menemukan jari-jari bola yang dibatasi oleh kubus yang ujungnya diberikan. Mari kita anggap kubus, dan pusat umum kubus dan bola sebagai tetap, tetapi mari kita ubah



68 Melakukan jari-jari bola. Jika jari-jari ini kecil, maka bola itu terkandung dalam kubus. Dengan bertambahnya jari-jari, bola mengembang (seperti balon karet yang sedang dipompa). Pada saat tertentu, bola menyentuh permukaan kubus; beberapa saat kemudian, ujung-ujungnya; masih kemudian bola melewati simpul. Nilai manakah yang diasumsikan radius pada tiga momen kritis ini? 6. Pengalaman matematika siswa di • tuntas jika tidak pernah mendapat kesempatan untuk memecahkan a masalah• lem ditemukan sendiri. Guru dapat menunjukkan penurunan masalah baru dari yang baru saja dipecahkan dan, dengan melakukan itu, memancing keingintahuan siswa. Guru juga dapat menyerahkan sebagian penemuan kepada siswa. Misalnya, dia mungkin menceritakan tentang bola yang mengembang yang baru saja kita diskusikan (di bawah 5) dan bertanya: "Apa yang akan Anda coba hitung? Nilai radius mana yang paling menarik?"



Membawa di luar. Untuk menyusun rencanadan untuk melaksanakannya adalah dua hal yang berbeda. Ini juga berlaku untuk masalah matematika dalam arti tertentu; antara melaksanakan rencana solusi, dan membayangkannya, ada perbedaan tertentu dalam karakter pekerjaan. 1. Kita dapat menggunakan argumen sementara dan hanya masuk akal saat menyusun argumen final dan ketat saat kita menggunakan perancah untuk mendukung jembatan selama konstruksi. Namun, jika pekerjaan sudah cukup maju, kami melepas perancah, dan jembatan harus dapat berdiri sendiri. Dengan cara yang sama, ketika solusi sudah cukup maju, kita mengesampingkan semua jenis argumen yang bersifat sementara dan hanya masuk akal, dan hasilnya harus didukung oleh argumen yang ketat saja. Merancang rencana solusinya, sebaiknya tidak menjadi terlalu takut hanya pada alasan yang masuk akal dan heuristik. Apa pun yang benar yang mengarah ke ide yang benar. Tapi kita harus melakukannya



Melakukan 69 ubah sudut pandang ini ketika kita mulai menjalankan rencana dan kemudian kita harus menerima hanya argumen yang konklusif dan tegas. Melaksanakan rencana solusi Anda, periksa setiap langkah. Dapatkah Anda melihat dengan jelas bahwa langkah tersebut benar? Semakin teliti kita memeriksa langkah-langkah kita saat menjalankan rencana, semakin leluasa kita menggunakan penalaran heuristik saat menyusunnya. 2. Kita harus mempertimbangkan urutan di mana kita mengerjakan detail rencana kita, terutama jika masalah kita rumit. Kami tidak boleh mengabaikan detail apa pun, kami harus memahami hubungan detail di hadapan kami dengan keseluruhan masalah, kami tidak boleh melupakan koneksi dari langkah-langkah utama. Oleh karena itu, kita harus melanjutkan dengan urutan yang benar. Secara khusus, tidak masuk akal untuk memeriksa ekor sebelum kami memiliki alasan yang baik untuk percaya bahwa langkah-langkah utama dari argumen tersebut masuk akal. Jika ada jeda di baris utama argumen, memeriksa detail sekunder ini atau itu tidak akan berguna. Urutan kami mengerjakan detail file argumen mungkin sangat berbeda dari urutan saat kami menemukannya; dan urutan rincian yang kita tulis dalam eksposisi definitif mungkin masih berbeda. Unsur-unsur Euclid menyajikan detil-detil argumen dalam urutan sistematis kaku yang sering ditiru dan sering dikritik. 3. Dalam eksposisi Euclid semua argumen berjalan ke arah yang sama: dari data menuju yang tidak diketahui dalam "masalah untuk ditemukan," dan dari hipotesis menuju kesimpulan dalam "masalah untuk dibuktikan." Setiap elemen baru, titik, garis, dll., Harus diturunkan dengan benar dari data atau dari elemen yang diturunkan dengan benar pada langkah-langkah sebelumnya. Setiap pernyataan baru harus dibuktikan dengan benar dari hipotesis atau dari pernyataan yang dibuktikan dengan benar di • langkah selanjutnya. Setiap elemen baru, setiap pernyataan baru



Membawa Di luar



diperiksa ketika ditemukan pertama kali, dan karenanya harus diperiksa sekali saja; kita mungkin memusatkan semua perhatian kita pada langkah saat ini, kita tidak perlu melihat ke belakang, atau melihat ke depan. Elemen baru terakhir yang turunannya harus kita periksa, adalah yang tidak diketahui. Penegasan terakhir yang buktinya harus kita periksa, adalah kesimpulannya. Jika setiap langkah benar, juga langkah terakhir, seluruh argumen benar. Cara eksposisi Euclidean bisa sangat direkomendasikan, tanpa syarat, jika tujuannya adalah untuk memeriksa argumen secara rinci. Terutama, jika argumen kita sendiri, dan panjang serta rumit, dan kita tidak hanya menemukannya tetapi juga telah mensurveinya dalam garis besar sehingga tidak ada yang tersisa selain memeriksa setiap poin tertentu di · itu sendiri, maka tidak ada lebih baik daripada menuliskan seluruh argumen dengan cara Euclidean. Cara eksposisi Euclidean, bagaimanapun, tidak dapat direkomendasikan tanpa syarat jika tujuannya adalah untuk menyampaikan argumen kepada pembaca atau pendengar yang belum pernah mendengarnya sebelumnya. Eksposisi Euclidean sangat tepat untuk menunjukkan setiap poin tertentu tetapi tidak begitu baik untuk menunjukkan baris utama argumen.PEMBACA CERDAS dapat dengan mudah melihat bahwa setiap langkah benar tetapi mengalami kesulitan besar dalam memahami sumber, tujuan, hubungan seluruh argumen. Alasan untuk kesulitan ini adalah bahwa eksposisi Euclidean cukup sering berlangsung dalam urutan yang berlawanan dengan urutan alami dari penemuan. (Eksposisi Euclid mengikuti secara kaku urutan "sintesis"; lihatPAPPUS,terutama komentar 3,4,5.) 4. Mari kita simpulkan. Cara eksposisi Euclid, pro • Menggeser tanpa henti dari data ke hal yang tidak diketahui dan dari hipotesis ke kesimpulan, sangat cocok untuk memeriksa argumen secara rinci tetapi jauh dari



kesempurnaan untuk membuat garis utama argumen dapat dimengerti.



Melakukan Sangat diharapkan bahwa para siswa harus memeriksa argumen mereka sendiri dengan cara Euclidean, melanjutkan dari data ke yang tidak diketahui, dan memeriksa setiap langkah meskipun tidak ada hal semacam ini yang harus diterapkan secara terlalu kaku. Tidaklah diinginkan bahwa guru harus menyajikan banyak bukti dengan cara Euclidean yang murni, meskipun presentasi Euclidean mungkin sangat berguna setelah diskusi di mana, seperti yang direkomendasikan oleh buku ini, siswa yang dibimbing oleh guru menemukan ide utama dari solusi tersebut secara independen. Juga diinginkan tampaknya cara yang diadopsi oleh beberapa buku teks di mana sketsa intuitif dari ide utamanya adalah disajikan pertama dan rincian dalam urutan eksposisi Euclidean sesudahnya, 5. Ingin memuaskandiri bahwa proposisinya benar, ahli matematika yang teliti mencoba melihatnya secara intuitif dan memberikan bukti formal. Bisakah Anda melihat dengan jelas itu Itu benar? Bisakah Anda membuktikan bahwa itu benar?Dalam hal ini, ahli matematika yang teliti bertindak seperti wanita yang merupakan pembeli yang teliti. Ingin memuaskan dirinya sendiri dengan kualitas kain, dia ingin melihat dan menyentuhnya. Wawasan intuitif dan bukti formal adalah dua cara berbeda untuk memahami kebenaran, sebanding dengan persepsi objek material melalui dua indera yang berbeda, penglihatan dan sentuhan. Wawasan intuitif mungkin terburu-buru jauh di depan bukti formal. Setiap siswa cerdas, tanpa pengetahuan sistematis • tepi geometri padat, dapat melihat segera setelah ia memahami dengan jelas istilah-istilah bahwa dua garis lurus yang sejajar dengan garis lurus yang sama adalah sejajar satu sama lain (ketiga garis tersebut mungkin atau mungkin tidak pesawat yang sama). Namun bukti pernyataan ini, seperti yang diberikan dalam proposisi gsaya r Buku Elemen Euclid, membutuhkan persiapan yang panjang, cermat, dan cerdik.



Manipulasi formal aturan logis dan aljabar rumus mungkin jauh di depan intuisi. Hampir semua-



Kondisi tubuh dapat melihat sekaligus bahwa 3 garis lurus, diambil di ran • dom, membagi bidang menjadi 7 bagian (lihat satu-satunya bagian berhingga, segitiga yang termasuk dalam 3 garis). Hampir tidak ada orang yang dapat melihat, bahkan memusatkan perhatian sepenuhnya, bahwa 5 bidang, yang diambil secara acak, membagi ruang menjadi 26 bagian. Namun dapat dibuktikan secara tegas bahwa nomor yang benar adalah benar26, dan buktinya bahkan tidak panjang atau sulit. Melaksanakan rencana kami, kami memeriksa setiap langkah. Memeriksa langkah kita, kita mungkin mengandalkan wawasan intuitif atau aturan formal. Terkadang intuisi ada di depan, terkadang alasan formal. Ini adalah latihan yang menarik dan berguna untuk melakukannya dengan dua cara. Dapatkah Anda melihat dengan jelas bahwa langkah tersebut benar? Ya, saya bisa melihatnya dengan jelas dan jelas. Intuisi ada di depan; tetapi bisakah penalaran formal menyusulnya? Bisakah kamu jugaMEMBUKTIKAN apakah itu benar? Mencoba membuktikan secara formal apa yang terlihat secara intuitif dan melihat secara intuitif apa yang terbukti secara formal adalah latihan mental yang menyegarkan. Sayangnya, di dalam kelas tidak selalu ada cukup waktu untuk itu. Contoh, yang dibahas di bagian 12 dan 14, adalah tipikal dalam hal ini. Kondisi adalah bagian utama dari "masalah yang harus ditemukan". LihatMASALAH YANG HARUS DITEMUKAN, MASALAH YANG HARUS DIBUKTIKAN, 3 · Lihat juga SYARAT, BARU DAN LAMA, 2.



Kondisi disebut mubazir jika mengandung • bagian yang sangat fluous. Disebut kontradiktif jika bagian-bagiannya saling bertentangan dan tidak konsisten sehingga tidak ada objek yang memenuhi kondisi tersebut. Jadi, jika suatu kondisi diekspresikan dengan persamaan yang lebih linier •



tions daripada ada yang tidak diketahui, itu berlebihan atau kontradiktif; jika kondisi diekspresikan dengan persamaan yang lebih sedikit daripada yang tidak diketahui, itu tidak cukup untuk menentukan yang tidak diketahui; jika kondisinya diekspresikan dengan persamaan sebanyak yang tidak diketahui



Sesuatu yang Berguna dari Data 73 biasanya hanya cukup untuk menentukan hal-hal yang tidak diketahui tetapi mungkin, dalam kasus luar biasa, kontradiktif atau tidak cukup. Kontradiktif. LihatKONDISI. Akibat wajar adalah teorema yang mudah kita temukan dalam memeriksa teorema lain yang baru saja ditemukan. Kata itu berasal dari bahasa Latin; terjemahan yang lebih literal adalah "persen" atau "tip". Bisakah Anda mendapatkan sesuatu yang berguna dari data? Di hadapan kita ada masalah yang belum terpecahkan, pertanyaan terbuka. Kami harus menemukan hubungan antara data dan yang tidak diketahui. Kita mungkin merepresentasikan masalah yang belum terpecahkan sebagai ruang terbuka antara data dan yang tidak diketahui, sebagai celah di mana kita harus membangun jembatan. Kita bisa mulai membangun jembatan kita dari kedua sisi, dari yang tidak diketahui atau dari data. Lihat yang tidak diketahui! Dan cobalah untuk memikirkan masalah yang familiar yang memiliki hal yang sama atau mirip tidak diketahui.Ini menyarankan memulai pekerjaan dari yang tidak diketahui. Lihat datanya! Bisakah Anda mendapatkan sesuatu yang berguna dari data? Ini menyarankan memulai pekerjaan dari data. Tampak bahwa memulai penalaran dari yang tidak diketahui adalah biasanya lebih disukai (lihat PAPPUS dan KERJA LATAR BELAKANG). Padahal permulaan alternatif, dari data, juga berpeluang sukses, harus sering dicoba, dan patut ilustrasi. Contoh. Kami diberi tiga poin A, B, dan C. Tarik garis melalui SEBUAH yang melewati antara B dan C dan berada pada jarak yang sama dari B dan C. Apa datanya? Tiga poin, A, B, dan C, diberikan pada posisi. Kami menggambar sebuah gambar, menunjukkan data (Gbr.13).



74 Sesuatu yang Berguna dari Data Apa yang tidak diketahui? Garis lurus. Bagaimana kondisinya? Garis yang diperlukan melewati SEBUAH, dan melewati antara B dan C, pada jarak yang sama dari masing-masing. Kami mengumpulkan yang tidak diketahui dan data



B



•



•



ARA. 13



c



dalam gambar yang menunjukkan hubungan yang diperlukan (Gbr. 14). Sosok kami, disarankan oleh definisi dari jarak suatu titik dari garis lurus, menunjukkan sudut siku-siku dalam • volv menurut definisi ini.



ARA. 14



Gambar tersebut, seperti "terlalu kosong". Garis diketahui masih belum memuaskan dengan dataA,



yang diplot, masih lurus yang tidak terhubung secara B, dan C. Angka tersebut



membutuhkan beberapa garis bantu, beberapa penambahan tetapi apa? Siswa yang cukup baik



Membusuk dan Menggabungkan kembali 75 penyok bisa terdampar di sini. Ada, tentu saja, berbagai halmencoba, tetapi pertanyaan terbaik untuk mengulanginya adalah: Bisakah Anda mendapatkan sesuatu yang berguna dari data tersebut? Sebenarnya, apa saja datanya? Tiga poin yang ditunjukkan pada Gambar.13, tidak ada lagi. Kami belum menggunakan poin secara memadaiB dan C; kita harus mendapatkan sesuatu yang berguna dari mereka. Tetapi apa yang dapat Anda lakukan hanya dengan dua poin? Bergabunglah dengan mereka dengan garis lurus. Jadi, kami menggambar Gambar.15.



B



• G ARA. 15



Jika kita menempatkan Gambar. 14 dan Fig. 15, solusinya mungkin muncul dalam sekejap: Ada dua segitiga siku-siku, keduanya kongruen, ada titik inter • sekuon baru yang sangat penting, Bisakah Anda menyatakan kembali masalahnya? Bisakah Anda menyatakannya kembali dengan cara yang berbeda? Pertanyaan-pertanyaan ini bertujuan untuk kesesuaian VARIA • TION OF THE MASALAH.



Kembali ke definisi. Lihat DEFINISI. Pembusukan dan penggabungan kembali adalah opera yang penting • tions pikiran.



Anda memeriksa objek yang menyentuh minat Anda atau menantang keingintahuan Anda: sebuah rumah yang ingin Anda sewa, sebuah



telegram yang penting tapi samar, objek apa pun yang tujuan dan asalnya membingungkan Anda, atau masalah apa pun yang ingin Anda pecahkan. Anda memiliki kesan terhadap objek secara keseluruhan tetapi kesan ini, mungkin, tidak cukup pasti. Sebuah detail menarik perhatian Anda, dan Anda memfokuskan perhatian Anda padanya. Kemudian, Anda berkonsentrasi pada detail lainnya; kemudian, lagi, di atas yang lain. Berbagai kombinasi detail mungkin muncul dengan sendirinya dan setelah beberapa saat Anda kembali mempertimbangkan objek secara keseluruhan tetapi Anda melihatnya sekarang secara berbeda. Anda mengubah keseluruhan menjadi bagian-bagiannya, dan Anda menggabungkan kembali bagian-bagian itu menjadi satu kesatuan yang kurang lebih berbeda. 1. Jika Anda menjelaskan secara mendetail, Anda bisa kehilangan diri sendiri. Detail yang terlalu banyak atau terlalu kecil akan membebani pikiran. Mereka mungkin menghalangi Anda untuk memberikan perhatian yang cukup pada poin utama, atau bahkan untuk tidak melihat poin utama sama sekali. Pikirkan tentang orang yang tidak dapat melihat hutan karena pepohonan. Tentu saja, kita tidak ingin membuang waktu kita dengan detail yang tidak perlu dan kita harus mengerahkan upaya kita untuk hal yang penting. Kesulitannya adalah kita tidak bisa mengatakan sebelumnya detail mana yang pada akhirnya akan menjadi perlu dan mana yang tidak. Oleh karena itu, mari kita pertama-tama memahami masalahnya secara keseluruhan. Setelah memahami masalahnya, kita akan berada dalam posisi yang lebih baik untuk menilai poin tertentu mana yang paling penting. Setelah memeriksa satu atau dua poin penting, kita akan berada dalam posisi yang lebih baik untuk menilai rincian lebih lanjut mana yang mungkin perlu diperiksa lebih dekat. Mari kita membahas secara mendetail dan menguraikan masalah, tapi tidak lebih dari yang kita butuhkan. Tentu saja, guru tidak dapat mengharapkan semua siswa harus bertindak bijak dalam hal ini. Sebaliknya, ini adalah kebiasaan yang sangat bodoh dan buruk bagi beberapa siswa untuk mulai mengerjakan secara detail sebelum memahami masalah secara keseluruhan.



Membusuk dan Menggabungkan kembali 77 Kita akan mempertimbangkan masalah matematika, "masalah yang harus ditemukan". Setelah memahami masalah secara keseluruhan, tujuannya, poin utamanya, kami ingin merincinya. Darimana kita harus mulai? Dalam hampir semua kasus, masuk akal untuk memulai dengan pertimbangan bagian utama dari masalah yang tidak diketahui, data, dan kondisinya. Di hampir semua kasus, disarankan untuk memulai pemeriksaan terperinci • masalah dengan pertanyaan:Apa yang tidak diketahui? Apa datanya? 2.



Bagaimana kondisinya? Jika kita ingin menelaah lebih detail, apa yang harus kita lakukan melakukan? Cukup sering, disarankan untuk memeriksa setiap datum dengan sendirinya, untukpisahkan berbagai bagian kondisi, dan untuk memeriksa setiap bagian dengan sendirinya. Kita mungkin merasa perlu, terutama jika masalah kita lebih sulit, untuk menguraikan masalah lebih jauh, dan untuk memeriksa detail yang lebih jauh lagi. Jadi, mungkin perlukembali ke definisi dari istilah tertentu, untuk memperkenalkan elemen baru yang terlibat dengan definisi, dan untuk memeriksa elemen yang diperkenalkan. 3. Setelah masalah terurai, kami mencoba untuk menggabungkan kembali elemen-elemennya dengan cara yang baru. Terutama, kami mungkin mencoba menggabungkan kembali elemen-elemen masalah menjadi beberapa masalah baru yang lebih mudah diakses yang mungkin dapat kami gunakan sebagai masalah tambahan. Tentu saja ada kemungkinan rekomendasi yang tidak terbatas bination. Masalah yang sulit menuntut kombinasi yang tersembunyi, luar biasa, orisinal, dan kecerdikan pemecah masalah menunjukkan dirinya dalam orisinalitas kombinasi. Namun, ada jenis kombinasi tertentu yang biasa dan relatif sederhana, cukup untuk masalah yang lebih sederhana,yang harus kita ketahui secara menyeluruh dan coba dulu, bahkan jika pada akhirnya kita mungkin terpaksa mengambil jalan yang kurang jelas cara.



Ada klasifikasi formal di mana yang paling biasa



dan kombinasi yang berguna ditempatkan dengan rapi. Dalam membangun masalah baru dari masalah yang diusulkan, kami dapat (1) menyimpan yang tidak diketahui dan mengubah sisanya (data dan kondisi); atau (2) menyimpan data dan mengubah sisanya (yang tidak diketahui dan kondisinya); atau (3) mengubah yang tidak diketahui dan datanya. Kami akan memeriksa kasus-kasus ini. (Kasus (1) dan (2) tumpang tindih. Faktanya, dimungkinkan untuk menyimpan baik yang tidak diketahui dan datanya, dan mengubah masalah dengan mengubah bentuk kondisi saja. Misalnya, dua masalah berikut, meskipun visi • setara bly, tidak persis sama: Buatlah segitiga sama sisi, diberi sisinya. Buatlah segitiga sama panjang, diberi sisinya. Perbedaan dari dua pernyataan yang sedikit contoh saat ini mungkin penting dalam kasus lain. Kasus-kasus seperti itu bahkan penting dalam hal-hal tertentu tetapi akan memakan banyak ruang untuk membahasnya di sini. Membandingkan MASALAH TAMBAHAN, 7, komentar terakhir.] 4. Menjaga yang tidak diketahui dan mengubah data dan kondisi untuk mengubah masalah yang diusulkan sering kali berguna. SaranLIHAT PBB • DIKENAL bertujuan untuk mengatasi masalah yang tidak diketahui sama. Kami mungkin mencoba mengingat kembali masalah yang sebelumnya telah terpecahkan seperti ini: Danmencoba memikirkan masalah yang sudah dikenal memiliki hal yang sama atau serupa yang tidak diketahui. Gagal mengingat masalah seperti itu, kami mungkin mencoba menciptakannya: Bisakah Anda memikirkan data lain yang sesuai untuk menentukan yang tidak diketahui? Masalah baru yang lebih dekat hubungannya dengan masalah yang diajukan memiliki peluang lebih besar untuk bermanfaat. Oleh karena itu, menjaga yang tidak diketahui, kami mencoba untuk menyimpan juga beberapa data dan sebagian dari kondisi, dan untuk mengubah, sesedikit mungkin, hanya satu atau dua data dan sebagian kecil dari kondisi tersebut. Metode yang baik adalah metode yang kita hilangkan



Membusuk dan Menggabungkan kembali 79 sesuatu tanpa menambahkan apapun; kami menjaga agar tidak • diketahui, hanya menyimpan sebagian dari kondisi, menghapus bagian lainnya, tetapi tidak memasukkan klausa atau datum baru. Contoh dan komentar tentang kasus ini mengikuti di bawah7, 8. 5. Dengan menyimpan data, kami mungkin mencoba memperkenalkan beberapa unknown baru yang berguna dan lebih mudah diakses. Ketidaktahuan semacam itu harus diperoleh dari data asli dan kami memiliki semacam ketidaktahuan itu dalam pikiran ketika kami bertanya: cour, nAnda DE • MENGOBATI SESUATU YANG BERMANFAAT DARI DATA?



Mari kita amati bahwa ada dua hal yang diinginkan di sini. Pertama, tidak diketahui baru harus lebih mudah diakses, yaitu lebih mudah diperoleh dari data daripada tidak diketahui asli. Kedua, yang baru tidak diketahui harus berguna, yaitu, saat ditemukan, harus mampu memberikan layanan tertentu dalam pencarian yang asli yang tidak dikenal. Singkatnya, hal baru yang tidak diketahui harus menjadi semacam batu loncatan. Sebuah batu di tengah sungai lebih dekat dengan saya daripada tepi lain yang ingin saya datangi dan, ketika batu itu tercapai, itu membantu saya menuju tepi lain. Tidak diketahui baru harus dapat diakses dan digunakan • penuh tetapi, dalam praktiknya, kita harus sering merasa puas dengan yang lebih sedikit. Jika tidak ada yang lebih baik yang muncul dengan sendirinya, bukan tidak mungkin • dapat memperoleh sesuatu dari data yang memiliki peluang berguna; dan juga masuk akal untuk mencoba suatu hal yang tidak diketahui baru yang terkait erat dengan yang asli, meskipun tampaknya tidak dapat diakses secara khusus sejak awal. Misalnya, jika soal kita adalah mencari diagonal dari a parallelepiped (seperti pada bagian 8) kita dapat memperkenalkan diagonal wajah sebagai unknown baru. Kita dapat melakukannya karena kita tahu bahwa jika kita memiliki diagonal muka kita juga bisa mendapatkan diagonal dari solid



(seperti pada bagian 10); atau kami dapat melakukannya karena kami melihat bahwa diagonal wajah mudah diperoleh dan kami menduga demikian



Bo Membusuk dan Menggabungkan kembali itu mungkin menjadi berguna dalam mencari diagonal padatan. (MembandingkanAPAKAH ANDA MENGGUNAKAN SEMUA DATA? 1.) Jika masalah kita adalah membangun sebuah lingkaran, kita harus menemukan dua hal, pusatnya dan jari-jarinya; masalah kita memiliki dua bagian, bisa kita katakan. Dalam kasus tertentu, satu bagian lebih mudah diakses daripada yang lain dan oleh karena itu, bagaimanapun juga, kami dapat memberikan pertimbangan sejenak untuk kemungkinan ini: Bisakah Anda menyelesaikan sebagian dari masalah? Dengan menanyakan ini, kita menimbang peluangnya: Akankah bermanfaat untuk berkonsentrasi tepat pada pusat, atau hanya pada radius, dan untuk memilih satu atau yang lain sebagai tidak diketahui baru kita? Pertanyaan semacam ini sering kali berguna. Dalam masalah yang lebih kompleks atau lebih lanjut, ide yang menentukan sering kali terdiri dari mengukir beberapa bagian yang lebih mudah diakses tetapi penting dari masalah tersebut. 6. Mengubah yang tidak diketahui dan data yang kami devi • makan lebih banyak dari kursus awal kami daripada dalam kasus-kasus sebelumnya. Ini, tentu saja, kami tidak suka; kita merasakan bahaya kehilangan sama sekali masalah asli. Namun kita mungkin terdorong untuk melakukan perubahan yang begitu luas jika perubahan yang kurang radikal gagal menghasilkan sesuatu yang dapat diakses dan berguna, dan kita mungkin tergoda untuk mundur sejauh ini dari masalah awal kita jika masalah baru memiliki peluang bagus untuk berhasil. Bisakah Anda mengubah yang tidak diketahui, atau data, atau keduanya jika perlu, sehingga yang baru tidak diketahui dan data yang baru lebih dekat satu sama lain? Cara yang menarik untuk mengubah yang tidak diketahui dan data adalah menukar yang tidak diketahui dengan salah satu data. (LihatDAPATKAH ANDA MENGGUNAKAN HASILNYA? 3.) 7. Contoh. Buatlah segitiga, diberi sisi a, ketinggian h tegak lurus dengan a, dan sudutnya Sebuah oposisi • situs ke a. Apa yang tidak diketahui? Sebuah segitiga. Apa datanya? Dua garis, a dan h, dan satu sudut Sebuah.



Sekarang, jika kita agak terbiasa dengan masalah



konstruksi geometris, kami mencoba untuk mengurangi masalah seperti itu menjadi konstruksi titik. Kami menarik garisSM sama dengan sisi yang diberikan Sebuah; maka semua yang harus kita temukan adalah puncak segitiga SEBUAH, berlawanan dengan Sebuah, lihat Gambar. 16. Kita sebenarnya, memiliki masalah baru.



,,



,,



S E B U A H



,



,"



•



''



'



\



,\



,,'



,'



,,



,SAYA



B



,, ' '



, 'h



'\ \



•



Sebuah



'



''



c



ARA. 16



Apa yang tidak diketahui? Inti nya SEBUAH. Apa datanya? Sebuah garis h, sebuah sudut Sebuah, dan dua poin B dan C diberikan dalam posisi. Bagaimana kondisinya? Jarak titik tegak lurus SEBUAH dari garis SM seharusnya h dan LBAC = Sebuah.



Faktanya, kami telah mengatasi masalah kami, mengubah yang tidak diketahui dan datanya. Ketidaktahuan baru adalah sebuah titik, hal yang lama tidak diketahui adalah segitiga. Beberapa data sama di kedua soal, barish dan sudutnya Sebuah; tapi dalam soal lama kami diberi waktu panjang Sebuah dan sekarang kami diberi dua poin, B dan C, sebagai gantinya. Masalah baru tidaklah sulit. Saran berikut ini •



gerakan membawa kita cukup dekat dengan solusi. Pisahkan berbagai bagian kondisi. Kondisi tersebut memiliki dua bagian, yang satu berkaitan dengan datum h, yang lainnya dengan datum Sebuah. Titik yang tidak diketahui harus ada



(I) di kejauhan h dari garis SM; dan (11) puncak sudut dengan besaran tertentu Sebuah, yang sisinya melewati poin yang diberikan B dan C. Jika kita pertahankan hanya satu bagian dari kondisi dan hilangkan yang lain bagian, titik yang tidak diketahui tidak sepenuhnya ditentukan • ditambang. Ada banyak titik yang memenuhi bagian (I) dari kondisi tersebut, yaitu semua titik yang sejajar dengan garisSM di kejauhan h dari BC.2 Paralel ini adalah lokus dari titik-titik yang memenuhi bagian (I) dari kondisi tersebut. Lokus titik yang memenuhi bagian (II) adalah busur melingkar tertentu yang titik akhirnya adalahB dan C. Kita bisa menjelaskan kedua lokus; persimpangan mereka adalah titik yang ingin kita bangun. Prosedur yang baru saja kami terapkan memiliki kepentingan tertentu; memecahkan masalah konstruksi geometris, sering kali kita dapat berhasil mengikuti polanya: Mereduksi masalah menjadi konstruksi titik, dan membangun titik tersebut sebagai perpotongan dua lokus. Tetapi langkah tertentu dari prosedur ini memiliki kepentingan yang lebih umum; memecahkan "masalah untuk ditemukan" dalam bentuk apa pun, kita dapat mengikuti polanya:Pertahankan hanya sebagian dari kondisi, jatuhkan bagian lainnya. Dengan melakukan itu, kami melemahkan kondisi masalah yang diajukan, kami mengurangi batasan yang tidak diketahui. Seberapa jauh yang tidak diketahui kemudian ditentukan, bagaimana bisa berbeda? Dengan menanyakan ini, sebenarnya kami menetapkan masalah baru. Jika yang tidak diketahui adalah titik di bidang (seperti dalam contoh kita), solusi dari masalah baru ini terdiri dari penentuan lokus yang dijelaskan oleh titik tersebut. Jika yang tidak diketahui adalah objek matematika dari jenis lain (itu adalah persegi di bagian 18), kita harus mendeskripsikan dengan tepat dan mengkarakterisasi secara tepat serangkaian objek tertentu. Bahkan jika yang tidak diketahui bukanlah matematika 2 Pesawat



dibelah dua oleh garis tembus B dan C. Kami memilih salah satu dari setengah pesawat untuk dibangun SEBUAH di Itu, dan jadi kita dapat



mempertimbangkan hanya satu mempertimbangkan dua



paralelSM; jika tidak, kita harus hal seperti itu paralel.



objek (seperti dalam contoh berikut, di bawah 8) mungkin berguna untuk mempertimbangkan, mengkarakterisasi, mendeskripsikan, atau membuat daftar objek-objek yang memenuhi bagian tertentu dari kondisi yang ditimbulkan pada yang tidak diketahui oleh masalah yang diusulkan. 8. Contoh. Dalam teka-teki silang yang memungkinkan permainan kata-kata dan anagram kami menemukan petunjuk berikut: "Bagian depan dan belakang mesin (5 huruf)." Apa yang tidak diketahui? Kata. Bagaimana kondisinya? Kata itu memiliki 5 huruf. Ini ada hubungannya dengan beberapa bagian dari beberapa mesin. Ini harus, tentu saja, kata dalam bahasa Inggris, dan bukan kata yang terlalu aneh, mari kita berharap. Apakah kondisinya cukup untuk menentukan yang tidak diketahui? Tidak. Atau lebih tepatnya, kondisinya mungkin mencukupi tetapi bagian dari kondisi yang jelas saat ini tentunya tidak mencukupi. Ada terlalu banyak kata yang memuaskannya, seperti "tuas," atau "sekrup," atau tidak. Kondisi tersebut diungkapkan secara ambigusengaja, tentu saja. Jika tidak ada yang dapat ditemukan yang dapat secara masuk akal digambarkan sebagai "bagian depan" dari sebuah mesin dan akan menjadi "bagian belakang" juga, kami mungkin menduga bahwa maju dan mundurbacaan mungkin dimaksudkan. Mungkin ada baiknya untuk memeriksa interpretasi petunjuk ini. Pisahkan berbagai bagian kondisi.The con • dition memiliki dua bagian, satu berkaitan dengan arti kata, yang lain berkaitan dengan ejaannya. Kata yang tidak dikenal haruslah (SAYA) sebuah kata pendek yang berarti beberapa bagian dari suatu mesin; (II) sebuah kata dengan 5 huruf-huruf yang dieja mundur memberikan lagi sebuah kata yang berarti beberapa bagian dari suatu mesin.



Jika kita simpan hanya satu bagian dari kondisi dan jatuhkan bagian lain, yang tidak diketahui tidak sepenuhnya ditentukan. Ada banyak kata yang memuaskan bagian (I) kondisi, kita punya semacam lokus. Kita bisa "mendeskripsikan" lokus ini (I), "mengikutinya" ke "persimpangan" dengan lokus



(II). Prosedur alami adalah berkonsentrasi pada bagian (SAYA) kondisi, mengingat kembali kata-kata yang memiliki arti yang telah ditentukan sebelumnya dan, ketika kita telah berhasil menjelaskan kembali beberapa kata tersebut, untuk memeriksa apakah kata tersebut memiliki panjang yang ditentukan dan dapat atau tidak dapat dibaca ke belakang. Kita mungkin harus mengingat kembali beberapa kata sebelum kita menemukan kata yang benar: tuas, sekrup, roda, poros, engsel, motor. Tentu saja, "rotor" I g. Dibawah 3, kami mengklasifikasikan kemungkinan mendapatkan "masalah untuk ditemukan" baru dengan menggabungkan kembali elemen-elemen tertentu dari "masalah untuk ditemukan" yang diusulkan. Jika kita tidak mengajukan hanya satu masalah baru, tetapi dua atau lebih masalah baru, ada lebih banyak kemungkinan yang harus kita sebutkan tetapi tidak berusaha untuk diklasifikasikan. Kemungkinan lain mungkin muncul. Terutama, solusi dari "masalah yang akan ditemukan" mungkin bergantung pada solusi dari "masalah untuk dibuktikan". Kami hanya menyebutkan kemungkinan penting ini; pertimbangan ruang mencegah kita untuk membicarakannya. 1 Hai. Hanya sedikit dan komentar singkat yang dapat ditambahkan perhatian • ing "masalah untuk dibuktikan"; mereka sejalan dengan komentar yang lebih luas di atas tentang "masalah yang harus ditemukan"(2 tog). Setelah memahami masalah seperti itu secara keseluruhan, kami harus, secara umum, memeriksa bagian utamanya. Bagian utama adalah hipotesis dan kesimpulan dari teorema yang harus kita buktikan atau sangkal. Kita harus memahami bagian-bagian ini secara menyeluruh: Apa hipotesisnya? Apa kesimpulannya?Jika ada kebutuhan untuk turun ke poin yang lebih khusus, kita dapat memisahkan berbagai bagian hipotesis, dan mempertimbangkan setiap bagian dengan sendirinya. Kemudian kami dapat melanjutkan ke detail lainnya, menguraikan masalah lebih jauh dan lebih jauh.



Setelah masalah terurai, kita dapat mencoba menggabungkan kembali elemen-elemennya dengan cara yang baru. Terutama, kita mungkin mencoba menggabungkan kembali unsur-unsur tersebut menjadi teorema lain. Dalam hal ini, ada tiga kemungkinan. (1) Kita simpan kesimpulannya dan mengubah hipotesis. Pertama-tama kami mencoba mengingat teorema seperti itu:Lihat kesimpulannya! Danmencoba memikirkan teorema yang familiar yang memiliki kesimpulan yang sama atau serupa. Jika kita tidak berhasil mengingat teorema seperti itu, kita mencoba untuk menciptakannya: Bisakah Anda memikirkan hipotesis lain yang dapat dengan mudah Anda ambil kesimpulannya?Kami dapat mengubah hipotesis dengan menghilangkan sesuatu tanpa menambahkan apapun: Pertahankan hanya sebagian dari hipotesis, hilangkan bagian lainnya; apakah kesimpulannya masih valid? (2) Kami pertahankan hipotesis dan mengubah kesimpulan: Bisakah Anda mendapatkan sesuatu yang berguna dari hipotesis? (3) Kami mengubah hipotesis dan • kesimpulan. Kita mungkin lebih cenderung untuk mengubah keduanya jika kita tidak berhasil mengubah hanya satu. Bisakah Anda mengubah hipotesis, atau kesimpulan, atau keduanya jika diperlukan, sehingga hipotesis baru dan konvensi baru klusi lebih dekat satu sama lain? Kami tidak mencoba untuk mengklasifikasikan di sini berbagai kemungkinan yang muncul ketika, untuk memecahkan "masalah yang harus dibuktikan" yang diusulkan, kami memperkenalkan dua atau lebih "masalah untuk dibuktikan", atau ketika kami menghubungkannya dengan yang sesuai " masalah untuk ditemukan. " Definisi istilah adalah pernyataan maknanya dengan istilah lain yang seharusnya sudah dikenal. 1. Istilah teknisdalam matematika ada dua macam.



Beberapa diterima sebagai istilah primitif dan tidak didefinisikan. Lainnya dianggap sebagai istilah turunan dan didefinisikan dalam bentuk yang sesuai; artinya, maknanya dinyatakan secara primitif



istilah dan dalam istilah turunan yang didefinisikan sebelumnya. Jadi, kami tidak memberikan definisi formal dari pengertian primitif seperti titik, garis lurus, dan bidang.3 Namun kami memberikan definisi formal dari pengertian seperti "garis-garis berat" atau "lingkaran" atau "parabola." Definisi istilah yang dikutip terakhir dapat dinyatakan sebagai berikut. Kami memanggilparabola lokus titik yang berada pada jarak yang sama dari titik tetap dan garis lurus tetap. Titik tetap disebutfokus dari parabola, garis tetap nya directrix. Dapat dipahami bahwa semua elemen yang dipertimbangkan berada dalam bidang tetap, dan bahwa titik tetap (fokus) bukan pada garis tetap (matriks). Pembaca tidak seharusnya mengetahui arti dari istilah yang didefinisikan: parabola., fokus parabola, arahan parabola. Tetapi dia seharusnya mengetahui arti dari semua istilah lain sebagai titik, garis lurus, bidang., Jarak suatu titik dari titik lain, tetap, lokus, dll. 2. Definisi dalam kamus tidak jauh berbeda dari definisi matematika dalam bentuk luar tetapi mereka ditulis dalam semangat yang berbeda. Penulis kamus prihatin dengan sk sewa arti kata-kata. Diamenerima, tentu saja mengartikan dan menyatakannya serapi mungkin dalam bentuk definisi. Ahli matematika tidak peduli dengan arti istilah teknisnya saat ini., Setidaknya tidak peduli dengan itu. Apa yang dimaksud dengan "lingkaran" atau "parabola" atau istilah teknis lainnya dari jenis ini mungkin atau mungkin tidak menunjukkan dalam pidato biasa tidak terlalu penting baginya. Definisi matematismenciptakan arti matematis. Sebuah Dalam hal ini, gagasan telah berubah sejak zaman Euclid dan para pengikut Yunaninya yang mendefinisikan titik, garis lurus, dan bidang. Namun, "definisi" mereka hampir tidak merupakan definisi formal, semacam ilustrasi yang agak intuitif. Ilustrasi, tentu saja, diperbolehkan, dan bahkan sangat diinginkan dalam pengajaran.



3. Contoh. Buat titik perpotongan dari garis lurus tertentu dan sebuah parabola di mana fokus dan matriksnya diberikan. Pendekatan kami terhadap masalah apa pun harus bergantung pada status pengetahuan kami. Pendekatan kita terhadap masalah sekarang ini terutama bergantung pada sejauh mana kita mengenal sifat-sifat parabola.Jika kami tahu banyak tentang parabola kami mencoba untuk memanfaatkan pengetahuan kita dan mengekstrak sesuatu yang berguna darinya: Apakah Anda tahu teorema yang bisa berguna? Apakah Anda mengetahui masalah terkait? Jika kita tahu sedikit tentang parabola, fokus, dan pengarah, istilahistilah ini agak memalukan dan kita tentu ingin menyingkirkannya. Bagaimana kita bisa menyingkirkannya? Mari kita dengarkan dialog guru dan siswa membahas masalah yang diajukan. Mereka telah memilih notasi yang sesuai: P untuk salah satu titik persimpangan yang tidak diketahui,F untuk fokus, d untuk sutradara, c untuk garis lurus yang memotong parabola. "Dan apa unknoumi" "Inti nya P. " "Apa datanya?" "Garis lurus c dan d, dan intinya F. " "Bagaimana kondisinya?" "P adalah titik perpotongan dari garis lurus c dan dari parabola yang directrixnya d dan fokus F. " "Benar. Kesempatanmu kecil, saya tahu, belajar parabola tapi kamu bisa mengatakan, saya pikirkan., apa Sebuah parabola adalah. " "Parabola adalah lokus titik yang berjarak sama dari fokus dan directrix. " "Benar, Anda ingat definisi dengan benar. Itu benar, tetapi kita juga harus menggunakannya; kembali ke definisi.Oleh berdasarkan definisi parabola., apa yang dapat Anda katakan tentang poin P Anda? "



“Pis di parabola. Oleh karena itu, jarak Pis sama dari d dan F. " "Baik! Gambarlah sebuah gambar. "



d Sebuah ARA.



17



Siswa memperkenalkan ke Gambar. 17 garis PF dan PQ, yang terakhir ini menjadi tegak lurus d dari P. "Sekarang, bisakah Anda mengulangi masalahnya?"



.....



"Bisakah Anda menyatakan kembali kondisi masalah, menggunakan garis yang baru saja Anda perkenalkan? " "P adalah titik di garis c sedemikian rupa PF = PQ. " "Bagus. Tapi tolong, katakan dengan kata-kata: Apa itu PQ?" "Jarak tegak lurus dariP. dari d: " "Bagus. Bisakah Anda mengulangi masalahnya sekarang? Tapi tolong, nyatakan dengan rapi, dalam kalimat bulat." "Bangunlah titik P pada garis lurus c pada jarak yang sama dari titik F dan garis lurus tersebut d: " "Amati kemajuan dari pernyataan asli hingga penyajian kembali Anda. Pernyataan asli tentang masalah itu penuh dengan istilah teknis yang tidak dikenal, parabola, fokus, directrix; kedengarannya hanya sedikit sombong dan berlebihan. Dan sekarang, tidak ada yang tersisa dari istilah teknis yang tidak dikenal itu ; kamu punyakempes masalah. Sudah selesai dilakukan dengan baik!"



Definisi 89 4. Penghapusan istilah teknis adalah hasil dari pekerjaan pada contoh di atas, Kami mulai dari pernyataan masalah yang mengandung istilah teknis tertentu (parabola, fokus, directrix) dan akhirnya kami sampai pada resolusi bebas dari istilah-istilah teknis tersebut. istilah. Untuk menghilangkan istilah teknis kita harus mengetahui definisinya; tapi tidak cukup mengetahui definisinya, kita harus menggunakannya. Dalam contoh di atas, tidak cukup hanya mengingat definisi parabola. Langkah yang menentukan adalah memasukkan garis ke dalam gambarPF dan PQ yang kesetaraannya diberikan oleh definisi parabola. Ini adalah prosedur tipikal. Kami memperkenalkan elemen-elemen yang sesuai ke dalam konsepsi masalah. Berdasarkan definisi tersebut, kami membangun hubungan antara elemen yang kami perkenalkan. Jika hubungan ini mengungkapkan maknanya sepenuhnya, kami telah menggunakan definisi tersebut. Setelah menggunakan definisinya, kami telah menghilangkan istilah teknis. Prosedur yang baru saja dijelaskan dapat disebut kembali ke definisi. Dengan kembali ke definisi istilah teknis, kami menyingkirkan istilah tersebut tetapi memperkenalkan elemen baru dan hubungan baru sebagai gantinya. Perubahan yang dihasilkan dalam konsepsi kita tentang masalah mungkin penting. Bagaimanapun, beberapa pernyataan ulang, beberapaVARIASI MASALAHpasti akan menghasilkan. 5. Definisi dan teorema yang diketahui. Jika kita mengetahui nama "parabola" dan memiliki gagasan yang samar-samar tentang bentuk kurva tetapi tidak mengetahui hal lain tentangnya, pengetahuan kita jelas tidak cukup untuk menyelesaikan masalah yang diusulkan sebagai contoh, atau masalah geometris serius lainnya tentang parabola . Pengetahuan macam apa yang dibutuhkan untuk tujuan seperti itu? Ilmu geometri dapat dianggap sebagai ada aksioma, definisi, dan teorema. Parab-



90 Definisi ola tidak disebutkan dalam aksioma-aksioma yang hanya berurusan dengan istilah-istilah primitif seperti titik, garis lurus, dan sebagainya. Argumentasi geometris apa pun yang terkait dengan parabola, solusi dari masalah apa pun yang melibatkannya, harus menggunakan definisi atau teorema tentangnya. Untuk mengatasi masalah seperti itu, kita harus tahu, setidaknya, definisi tetapi lebih baik mengetahui beberapa teorema juga. Apa yang kami katakan tentang parabola benar, tentu saja, dari semua gagasan yang diturunkan. Ketika kita mulai memecahkan masalah yang melibatkan gagasan seperti itu, kita belum dapat mengetahui apa yang lebih disukai untuk digunakan, definisi gagasan, atau beberapa teorema tentangnya; tapi sudah pasti kita harus menggunakan salah satunya. Namun, ada beberapa kasus di mana kita tidak punya pilihan. Jika kita hanya mengetahui definisi dari pengertian, dan tidak ada yang lain, maka kita wajib menggunakan definisi tersebut. Jika kita tidak mengetahui lebih dari definisi, kesempatan terbaik kita adalah kembali ke definisi. Tetapi jika kita mengetahui banyak teorema tentang gagasan tersebut, dan memiliki banyak pengalaman dalam penggunaannya, ada beberapa kemungkinan bahwa kita dapat memperoleh teorema yang sesuai yang melibatkannya. 6. Beberapa definisi. Bola biasanya didefinisikan sebagai lokus titik pada jarak tertentu dari titik tertentu. (Titik-titiknya sekarang berada di ruang angkasa, tidak terbatas pada bidang tertentu.) Namun bola juga dapat didefinisikan sebagai permukaan yang digambarkan oleh lingkaran yang berputar pada suatu diameter. Definisi lain dari bola masih diketahui, dan masih banyak lagi yang lainnya. Ketika kita harus menyelesaikan masalah yang diusulkan melibatkan beberapa gagasan turunan, sebagai "bola" atau "parabola," dan kami ingin kembali ke definisinya, kami mungkin memiliki pilihan di antara berbagai definisi. Banyak



hal yang mungkin bergantung pada kasus seperti itu pada pemilihan definisi yang sesuai dengan kasusnya. Untuk menemukan luas permukaan bola itu, di waktu Archimedes menyelesaikannya ..., masalah yang besar dan sulit.



Definisi Archimedes memiliki pilihan di antara definisi sphere yang baru saja kami kutip. Dia lebih suka membayangkan bola sebagai permukaan yang dihasilkan oleh lingkaran yang berputar dengan diameter tetap. Dia menuliskan dalam lingkaran sebuah poligon teratur, dengan jumlah sisi genap, di mana diameter tetapnya bergabung dengan simpul yang berlawanan. Poli gon beraturan mendekati lingkaran dan, berputar dengan lingkaran, menghasilkan permukaan cembung yang terdiri dari dua kerucut dengan simpul di ujung-ujung diameter tetap dan beberapa titik kerucut di antaranya. Permukaan komposit ini mendekati bola dan digunakan oleh Archi medes dalam menghitung luas permukaan bola. Jika kita memahami bola sebagai lokus titik yang sama jauhnya dari pusat, tidak ada perkiraan sederhana seperti itu yang disarankan. 7. Kembali ke definisi penting dalam menemukan argumen tetapi juga penting dalam memeriksanya. Seseorang menyajikan solusi baru yang diduga dari masalah Archi medes dalam menemukan luas permukaan bola. Jika dia hanya memiliki ide yang samar-samar tentang bola, solusinya tidak akan ada gunanya. Dia mungkin memiliki gagasan yang jelas tentang bidang tersebut tetapi jika dia gagal menggunakan gagasan ini dalam argumennya, saya tidak dapat mengetahui bahwa dia memiliki gagasan sama sekali, dan argumennya tidak baik. Oleh karena itu, mendengarkan argumentasi, saya menunggu saat dia akan mengatakan sesuatu yang substansial tentang bola, untuk menggunakan definisi atau teorema tentang itu. Jika momen seperti itu tidak pernah datang, solusinya tidak baik. Kita harus memeriksa tidak hanya argumen orang lain tetapi, tentu saja, juga argumen kita sendiri, dengan cara yang sama. Sudahkah Anda memperhitungkan semua gagasan penting di • terlibat dalam masalah tersebutBagaimana Anda menggunakan gagasan ini? Apakah Anda menggunakan artinya, definisinya? Apakah Anda menggunakan fakta penting, teorema yang diketahui tentangnya? Bahwa kembali ke definisi penting dalam ujian-



92 Descartes validitas suatu argumen ditekankan oleh Pascal yang menyatakan aturan: "Substituer mentalement les defini • tions Sebuah la place des definis. "Artinya:" Pengganti secara mental fakta-fakta yang menentukan untuk istilahistilah yang ditentukan. ”Bahwa kembali ke definisi juga penting dalam menyusun argumen ditekankan oleh Hadamard. 8. Kembali ke definisi adalah operasi pikiran yang penting. Jika kita ingin memahami mengapa definisi kata-kata begitu penting, pertama-tama kita harus menyadari bahwa kata-kata itu penting. Kita hampir tidak dapat menggunakan pikiran kita tanpa menggunakan kata-kata, atau tanda, atau simbol. Dengan demikian, kata-kata dan tanda memiliki kekuatan. Orang primitif percaya bahwa kata dan simbol memiliki kekuatan magis. Kita mungkin memahami keyakinan semacam itu tetapi kita tidak boleh membagikannya. Kita harus tahu bahwa kekuatan sebuah kata tidak terletak pada suaranya, di "vocis flatus", di "udara panas" yang dihasilkan oleh pembicara, tetapi dalam ide-ide di mana kata tersebut mengingatkan kita dan, pada akhirnya, dalam fakta-fakta yang menjadi dasar ide-ide tersebut. Oleh karena itu, mencari makna dan fakta di balik katakata merupakan kecenderungan yang masuk akal. Kembali ke definisi, ahli matematika berusaha untuk mendapatkan hubungan sebenarnya dari objek matematika di belakang istilah teknis, sebagai fisikawan mencari eksperimen tertentu di balik istilah teknisnya, dan orang biasa dengan akal sehat ingin turun ke keras fakta dan tidakmenjadi tertipu oleh kata-kata belaka. Descartes, Rene (1596-1650), ahli matematika dan filsuf yang hebat, berencana memberikan metode universal untuk memecahkan masalah tetapi dia meninggalkan Rules for the Direc yang belum selesai tion dari pikiran.Potongan-potongan risalah ini, yang ditemukan dalam manuskripnya dan dicetak setelah kematiannya, berisi lebih banyak dan lebih menarik-



bahan tentang solusi masalah daripada karyanya yang lebih terkenal. Dis-



Tekad, Harapan, Sukses 93 cours de la Methode meskipun "Diskursus" sangat mungkin ditulis setelah "Aturan". Baris berikut dari Descartes sepertinya menggambarkan asal mula "Rules": "As seorang pria muda, ketika saya mendengar tentang penemuan yang cerdik, saya mencoba untuk menemukannya sendiri, bahkan tanpa membaca penulisnya. Saat melakukannya, saya merasa, sedikit demi sedikit, bahwa saya sedang menggunakan aturan tertentu. " Tekad, harapan, sukses. Adalah suatu kesalahan untuk berpikir bahwa menyelesaikan masalah adalah murni "urusan intelektual"; tekad dan emosi memainkan peran penting. Tekad suam-suam kuku dan persetujuan mengantuk untuk melakukan sedikit sesuatu mungkin cukup untuk masalah rutin di kelas. Namun, untuk memecahkan masalah ilmiah yang serius, diperlukan kemauan yang dapat bertahan lebih lama dari kerja keras dan kekecewaan yang pahit selama bertahuntahun. 1. Penentuan berfluktuasi dengan harapan dan keputusasaan, dengan kepuasan dan kekecewaan. Sangat mudah untuk terus melanjutkan ketika kita berpikir bahwa solusinya sudah dekat; tetapi sulit untuk bertahan ketika kita tidak melihat jalan keluar dari kesulitan. Kami sangat gembira saat ramalan kami menjadi kenyataan. Kita tertekan jika cara yang kita ikuti dengan keyakinan tertentu tibatiba terhalang, dan tekad kita goyah. "Poin terbaik dari esperer pour entreprendre ni reussir pour perseverer." "Anda bisa menjalani tanpa harapan dan



bertahan tanpa hasil." Dengan demikian dapat berbicara tentang keinginan yang tidak fleksibel, atau kehormatan dan tugas, atau seorang bangsawan dengan tujuan yang mulia. Penentuan semacam ini, bagaimanapun, tidak akan berhasil bagi ilmuwan, yang seharusnya memiliki harapan untuk memulainya, dan beberapa kesuksesan untuk dilanjutkan. Dalam karya ilmiah, perlu untuk membagi tekad yang bijak untuk pandangan. Anda tidak mengambil masalah, kecuali ada minat; Anda memutuskan untuk bekerja dengan serius jika masalahnya tampak instruktif; Anda melempar seluruhnya



94 Diagnosis kepribadian jika ada janji besar. Jika tujuan Anda sudah ditetapkan, Anda mematuhinya, tetapi Anda tidak membuatnya terlalu sulit bagi diri Anda sendiri. Anda tidak meremehkan keberhasilan kecil, sebaliknya, Anda mencarinya: Jika Anda tidak dapat menyelesaikan masalah yang diusulkan, coba selesaikan terlebih dahulu beberapa masalah terkait. 2. Ketika seorang siswa membuat kesalahan yang sangat konyol atau sangat lamban, masalahnya hampir selalu sama; dia tidak memiliki keinginan sama sekali untuk memecahkan masalah, bahkan tidak memiliki keinginan untuk memahaminya dengan benar, sehingga dia tidak memahaminya. Oleh karena itu, seorang guru yang ingin benar-benar membantu siswanya, pertamatama, harus membangkitkan rasa ingin tahunya, memberinya keinginan untuk memecahkan masalah. Guru juga harus memberikan waktu kepada siswa untuk mengambil keputusan, untuk menyelesaikan tugasnya. Mengajar untuk memecahkan masalah adalah pendidikan keinginan. Memecahkan masalah yang tidak terlalu mudah baginya, siswa belajar untuk bertahan melalui kegagalan, untuk menghargai kemajuan kecil, menunggu ide yang penting, untuk berkonsentrasi dengan sekuat tenaga ketika muncul. Jika siswa tidak memiliki kesempatan di sekolah untuk membiasakan diri dengan berbagai emosi perjuangan untuk solusi pendidikan matematikanya gagal pada titik yang paling penting. Diagnosis digunakan di sini sebagai istilah teknis dalam pendidikan yang berarti "karakterisasi yang lebih dekat dari pekerjaan siswa." Nilai A mencirikan pekerjaan siswa tetapi agak kasar. Guru, yang ingin meningkatkan kinerja siswa, membutuhkan karakterisasi yang lebih dekat tentang poin baik dan buruk karena dokter, ingin meningkatkan kesehatan pasien, memerlukan diagnosis. Kami di sini sangat prihatin dengan siswa



efisiensi dalam memecahkan masalah. Bagaimana kita bisa mencirikannya? Kami dapat memperoleh beberapa keuntungan dari perbedaan file



Apakah Anda Menggunakan Semua Data? 95



empat fase solusi. Nyatanya, perilaku siswa dalam berbagai tahapan cukup berkarakteristik. Tidak lengkap pemahaman masalah, karena kurangnya konsentrasi, mungkin merupakan kekurangan yang paling luas dalam memecahkan masalah. Dengan hormatmenyusun rencana dan mendapatkan gambaran umum tentang solusi, dua kesalahan yang berlawanan sering terjadi. Beberapa siswa terburu-buru dalam perhitungan dan konstruksi tanpa rencana atau gagasan umum; yang lain menunggu dengan kikuk sampai beberapa ide datang dan tidak dapat melakukan apa pun yang akan mempercepat pencabutannya. Dimelaksanakan rencananya, kesalahan yang paling sering terjadi adalah kelalaian, kurangnya kesabaran dalam memeriksa setiap langkah. Kegagalan untukperiksa hasilnya sama sekali sangat sering; siswa tersebut senang mendapatkan jawaban, melempar pensilnya, dan tidak terkejut dengan hasil yang paling tidak mungkin. Guru, setelah membuat diagnosis yang cermat atas kesalahan semacam ini, memiliki beberapa kesempatan untuk menyembuhkannya dengan bersikeras pada pertanyaan-pertanyaan tertentu dalam daftar. Apakah Anda menggunakan semua data? Berkat mo • bilisasi pengetahuan kita yang progresif, konsepsi kita tentang masalah di akhir akan jauh lebih banyak daripada yang ada di dalamnya di awal.(KEMAJUAN DAN PENCAPAIAN, 1) • Tapi bagaimana sekarang? Apakah kita sudah mendapatkan yang kita butuhkan? Apakah konsepsi kita memadai?Melakukan ) 'OU menggunakan semua data? Apakah Anda menggunakan seluruh kondisi?Pertanyaan terkait tentang "masalah untuk dibuktikan" adalah: Apakah Anda menggunakan seluruh hipotesis? 1. Sebagai ilustrasi, mari kita kembali ke "masalah parallele • piped" yang dinyatakan di bagian 8 (dan ditindaklanjuti di bagian IO, 12, 14, 15). Mungkin saja



seorang siswa mendapatkan ide untuk menghitung diagonal wajah, V. a2 + b2, tapi kemudian dia terjebak. Guru mungkin membantu dia dengan menanyakan: Apakah Anda menggunakan semua data? Siswa hampir tidak dapat gagal untuk mengamati ekspresi itu a2 + b2



96 Apakah Anda Menggunakan Semua Data1 tidak mengandung datum ketiga c. Oleh karena itu, ia harus berusaha menghadirkannyac bermain. Dengan demikian, dia memiliki peluang bagus untuk mengamati segitiga siku-siku penentu yang kakinya berada Sebuah 2 + b 2 dan c, dan sisi miringnya yang diinginkan diagonal dari parallelepiped. (Untuk ilustrasi lain, lihatElemen tambahan, 3.) Pertanyaan-pertanyaan yang kita diskusikan di sini sangat penting, kegunaannya dalam membangun solusi ditunjukkan dengan jelas oleh contoh di atas. Mereka mungkin membantu kita menemukan titik lemah dalam konsepsi kita tentang masalah. Mereka mungkin menunjukkan elemen yang hilang. Ketika kita tahu bahwa suatu elemen tertentu masih hilang, secara alami kita mencoba untuk memainkannya. Jadi, kami memiliki petunjuk, kami memiliki garis yang pastipenyelidikan untuk diikuti, dan memiliki kesempatan bagus untuk bertemudengan ide yang menentukan. 2. Pertanyaan-pertanyaan yang kita diskusikan berguna tidak hanya dalam membangun sebuah argumen tetapi juga dalam memeriksanya. Agar lebih konkret, mari kita asumsikan bahwa kita harus memeriksa bukti dari sebuah teorema yang hipotesisnya terdiri dari tiga bagian, ketiganya penting untuk kebenaran teorema tersebut. Artinya, jika kita membuang bagian manapun dari hipotesis, teorema tersebut tidak lagi benar. Oleh karena itu, jika pembuktian mengabaikan penggunaan bagian manapun dari hipotesis, pembuktian tersebut pasti salah. Apakah buktinya menggunakan seluruh hipotesis? Apakah ini menggunakan bagian pertama dari hipotesis? Di mana ia menggunakan bagian pertama hipotesis? Di mana itu menggunakanbagian kedua? Dimana ketiga? Menjawab semua pertanyaan ini kami memeriksa buktinya. Pemeriksaan semacam ini efektif, instruktif, dan al. paling diperlukan untuk pemahaman menyeluruh jika argumennya panjang dan beratPEMBACA CERDAS harus tahu.



3. Pertanyaan yang kita diskusikan bertujuan untuk menguji kelengkapan konsepsi kita tentang masalah. Pengertian kita tentu tidak lengkap jika kita gagal menerimanya



Apakah Anda Menggunakan Semua Data? 97 memperhitungkan setiap data atau kondisi atau hipotesis penting. Tetapi juga tidak lengkap jika kita gagal untuk menyadari arti dari beberapa istilah esensial. Oleh karena itu, untuk memeriksa konsepsi kita, kita juga harus bertanya:Sudahkah Anda memperhitungkan semua gagasan penting yang terlibat dalam masalah?Lihat DEFINISI, 7 · 4. Komentar di atas, bagaimanapun, tunduk pada cau • tion dan batasan tertentu. Nyatanya, penerapan langsung mereka terbatas pada masalah yang "dinyatakan dengan sempurna" dan "masuk akal". "Masalah yang harus ditemukan" yang dinyatakan dengan sempurna dan masuk akal harus memiliki semua data yang diperlukan dan bukan satu pun data yang berlebihan; juga kondisinya harus cukup, tidak kontradiktif atau mubazir. Dalam memecahkan masalah seperti itu, tentu saja kita harus menggunakan semua data dan kondisi secara keseluruhan. Objek dari "masalah untuk dibuktikan" adalah matematika teorema, Jika masalah dinyatakan dengan sempurna dan alasan • mampu, setiap klausa dalam hipotesis teorema harus penting untuk kesimpulan. Dalam membuktikan teorema semacam itu, tentu saja kita harus menggunakan setiap klausa hipotesis. Masalah matematika yang diajukan dalam buku teks tradisional • seharusnya dinyatakan dengan sempurna dan masuk akal. Namun kita seharusnya tidak terlalu mengandalkan ini; ketika ada sedikit keraguan, kita harus bertanya: MUNGKIN MEMUASKAN KONDISI? Mencoba menjawab pertanyaan ini, atau pertanyaan serupa, kita mungkin meyakinkan diri kita sendiri, setidaknya sampai batas tertentu, bahwa masalah kita sebaik yang seharusnya. Pertanyaan tersebut tercantum dalam judul artikel ini dan pertanyaan terkait dapat dan harus ditanyakan tanpa modifikasi hanya jika kita tahu bahwa masalah di hadapan kita masuk akal dan dinyatakan dengan sempurna atau ketika, setidaknya, kita tidak punya alasan untuk mencurigai yang sebaliknya.



5. Ada beberapa masalah nonmathematical yang mana



98 Apakah Anda Tahu Masalah Terkait? mungkin, dalam arti tertentu, "dinyatakan dengan sempurna". Karena dalam pendiriannya, masalah catur yang baik seharusnya hanya memiliki satu solusi dan tidak ada bidak yang berlebihan di papan catur, dll. MASALAH PRAKTIS \ .fS namun biasanya jauh dari pernyataan sempurna dan membutuhkan pertimbangan ulang yang menyeluruh atas pertanyaan-pertanyaan yang dibahas dalam artikel ini. Apakah Anda mengetahui masalah terkait? Kita hampir tidak dapat membayangkan masalah yang benar-benar baru, tidak seperti dan tidak terkait dengan masalah yang sebelumnya telah diselesaikan; tetapi, jika masalah seperti itu bisa ada, itu tidak akan terpecahkan. Faktanya, ketika memecahkan masalah, kita selalu mendapat untung dari masalah yang telah terpecahkan sebelumnya, menggunakan hasilnya, atau metodenya, atau pengalaman yang kita peroleh untuk memecahkannya. Dan, tentu saja, masalah dari mana kita mendapat untung pasti terkait dengan masalah kita saat ini. Karena itu pertanyaannya:Apakah Anda mengetahui masalah terkait? Biasanya tidak ada kesulitan sama sekali dalam mengingat • masalah yang baru saja diselesaikan yang kurang lebih terkait dengan masalah kita saat ini. Sebaliknya, kita mungkin menemukan terlalu banyak masalah seperti itu dan mungkin ada kesulitan dalam memilih masalah yang bermanfaat. Kami harus mencari-cari masalah yang terkait erat; kitaLIHAT YANG TIDAK DIKETAHUI, atau kita mencari masalah yang sebelumnya diselesaikan yang terkait dengan masalah kita saat ini GENERALISASI, SPESIALISASI, atau ANALOGI. Pertanyaan yang kita diskusikan di sini bertujuan untuk memobilisasi pengetahuan yang kita peroleh sebelumnya(KEMAJUAN DAN PENCAPAIAN \ .fENT, 1) • Bagian penting dari pengetahuan matematika kita disimpan dalam bentuk teorema yang terbukti sebelumnya, Oleh karena itu pertanyaannya: Apakah Anda k noto teorema itu bisa menjadi berguna? Pertanyaan ini mungkin sangat cocok ketika



masalah kita adalah "masalah untuk dibuktikan", yaitu, ketika kita harus membuktikan atau menyangkal teorema yang diajukan.



Periksa Tebakan Anda 99 Gambarlah sebuah gambar; LihatANGKA. Perkenalkan nota yang sesuai tion; Lihat NOTASI. Periksa tebakan Anda. Tebakan Anda mungkin benar, tetapi bodoh untuk menerima tebakan yang gamblang sebagai kebenaran yang terbukti - seperti yang sering dilakukan orang primitif. Tebakan Anda mungkin salah. Namun, juga bodoh untuk mengabaikan tebakan yang gamblang sama sekali - seperti yang kadang dilakukan orang-orang yang cerewet. Tebak-tebakan tertentu pantas untuk diperiksa dan ditanggapi dengan serius: yang muncul pada kita setelah kita mempertimbangkan dan benar-benar memahami masalah yang benar-benar menarik bagi kita. Tebakan semacam itu biasanya mengandung setidaknya sebagian dari kebenaran meskipun, tentu saja, sangat jarang menunjukkan kebenaran secara keseluruhan. Namun ada kesempatan untuk mengekstrak seluruh kebenaran jika kita memeriksa tebakan seperti itu dengan tepat. Banyak tebakan yang ternyata salah tetapi tidak pernah • namun berguna untuk mengarah ke yang lebih baik. Tidak ada ide yang benar-benar buruk, kecuali kita tidak kritis. Yang benar-benar buruk adalah tidak tahu sama sekali. 1. Jangan. Ini adalah cerita khas tentang Tuan John Jones. Tuan Jones bekerja di kantor. Dia berharap mendapat sedikit kenaikan gaji tetapi harapannya, seperti harapan yang sering terjadi, kecewa. Gaji beberapa koleganya dinaikkan tetapi tidak. Tuan Jones tidak bisa menerimanya dengan tenang. Dia khawatir dan cemas dan akhirnya curiga bahwa Direktur Brown bertanggung jawab atas kegagalannya mendapatkan kenaikan gaji. Kita tidak bisa menyalahkan Tuan Jones karena mengandung seperti itu



kecurigaan. Memang ada beberapa tanda yang menunjuk ke Direktur Brown. Kesalahan sebenarnya adalah, setelah memahami kecurigaan itu, Tuan Jones menjadi buta terhadap semua tanda yang menunjuk ke arah yang berlawanan. Dia mengkhawatirkan dirinya sendiri untuk menjadi sangat percaya bahwa Direktur Brown adalah musuh pribadinya dan berperilaku begitu bodoh sehingga dia hampir berhasil membuat musuh nyata bagi sutradara. Masalah dengan Tuan John Jones adalah dia berperilaku



seperti kebanyakan dari kita. Dia tidak pernah mengubah pendapat utamanya. Dia mengubah pendapat kecilnya tidak jarang dan tiba-tiba; tetapi dia tidak pernah meragukan pendapatnya, besar atau kecil, selama dia memilikinya. Dia tidak pernah meragukan mereka, atau mempertanyakan mereka, atau memeriksanya secara kritis - dia terutama akan membenci pemeriksaan kritis, jika dia mengerti apa artinya itu. Mari kita akui bahwa Mr. John Jones benar sampai batas tertentu. Dia orang yang sibuk; dia memiliki tugas di kantor dan di rumah. Dia memiliki sedikit waktu untuk keraguan atau pemeriksaan. Paling banter, dia hanya bisa memeriksa sedikit dari akibatnya dan mengapa dia harus meragukan seseorang jika dia tidak punya waktu untuk memeriksa keraguan itu? Tetap saja, jangan lakukan seperti yang dilakukan Tuan John Jones. Jangan biarkan kecurigaan, atau tebakan, atau dugaan, tumbuh tanpa exarni bangsa hingga menjadi tidak bisa dihilangkan. Bagaimanapun juga, dalam masalah teoretis, gagasan terbaik dirugikan oleh penerimaan yang tidak kritis dan tumbuh subur pada pemeriksaan kritis. 2. Sebuah ujian matematika. Dari semua segiempat dengan keliling tertentu, carilah satu yang memiliki luas terbesar. Apa; apakah yang tidak diketahui?SEBUAH. berbentuk segi empat. TVhat are data? Garis keliling segiempat .. adalah diberikan . Apa kondisinya? Segiempat yang dibutuhkan harus memiliki luas yang lebih besar dari segiempat lainnya dengan perimeter yang sama. Masalah ini sangat berbeda dari masalah biasanya • masalah dalam geometri dasar dan, oleh karena itu, sangat wajar untuk mulai menebak-nebak. Segiempat mana yang cenderung menjadi satu dengan daerah terbesar? Apa tebakan paling sederhana? Kita mungkin pernah mendengar bahwa dari semua gambar dengan perimeter yang samalingkaran memiliki luas terbesar; kami bahkan mungkin mencurigai beberapaalasan untuk masuk akal ini



state.uent. Sekarang, yang mana segiempat paling dekat dengan lingkaran? Yang manadatang paling dekat dengan itu simetri?



Periksa Tebakan Anda 101 Persegi adalah tebakan yang cukup jelas. Jika kita menanggapi tebakan ini dengan serius, kita harus menyadari apa artinya. Kita harus berani menyatakannya: "Dari semua segi empat dengan keliling tertentu, persegi memiliki luas terbesar." Jika kita memutuskan diri kita sendiri untuk memeriksa pernyataan ini, situasinya berubah. Awalnya, kami memiliki "masalah untuk ditemukan". Setelah merumuskan tebakan kami, kami memiliki "masalah untuk dibuktikan"; kita harus membuktikan atau menyangkal teorema yang dirumuskan. Jika kita tidak mengetahui masalah apa pun yang serupa dengan masalah kita yang telah diselesaikan sebelumnya, kita mungkin merasa tugas kita cukup sulit.Jika Anda tidak dapat menyelesaikan masalah yang diajukan, coba selesaikan dulu beberapa masalah terkait. Bisakah Anda memecahkan sebagian dari masalah?Mungkin terpikir oleh kita bahwa jika bujur sangkar itu privat di antara segiempat, ia harus, oleh fakta itu, juga diistimewakan di antara persegi panjang. Sebagian dari masalah kita akan terpecahkan jika kita berhasil membuktikan pernyataan berikut: "Dari semua persegi panjang dengan batas tertentu, persegi memiliki luas terbesar." Teorema ini tampaknya lebih mudah diakses daripada yang sebelumnya; itu, tentu saja, lebih lemah. Bagaimanapun, kita harus menyadari apa artinya; kita harus memiliki keberanian untuk menyatakannya kembali dengan lebih detil. Kita dapat menyatakannya kembali secara menguntungkan dalam bahasa aljabar. Luas persegi panjang dengan sisi yang berdekatanSebuah dan b adalah ab. Perimeternya adalah2a



+



zb. Satu sisi bujur sangkar yang memiliki keliling yang sama persegi panjang yang baru saja disebutkan adalah a + b. Jadi, luas persegi ini adalah Ini harus lebih besar dari



(°



oleh.



luas persegi panjang, dan jadi kita harus memiliki



by> ab. Apakah ini benar? Penegasan yang sama dapat ditulis di



bentuk yang setara Sebuah 2 +



2a b



+ b 2 > 4a b.



Ini, bagaimanapun, benar, karena itu setara dengan a2 -



atau untu k



zab + b2 > Hai



(a - b) 2 > Hai



dan ketidaksetaraan ini pasti terjadi, kecuali Sebuah = b, Artinya, persegi panjang yang diperiksa adalah persegi. Kami belum menyelesaikan masalah kami, tetapi kami telah membuat beberapa kemajuan hanya dengan menghadapi tebakan kami yang agak jelas. 3. Contoh non-matematis. Dalam teka-teki silang tertentu kita harus menemukan kata dengan tujuh huruf, dan petunjuknya adalah: "Lakukan tembok lagi, bolak-balik." 4 Apa yang tidak diketahui? Kata. Apa datanya? Panjang kata tersebut diberikan; itu memiliki tujuh huruf. Bagaimana kondisinya? Itu tertera di petunjuk. Ini ada hubungannya dengan dinding, namun masih sangat kabur. Jadi, kita harus memeriksa kembali petunjuk itu. Saat kami melakukannya, file bagian terakhir mungkin menarik perhatian kita: "... lagi, bolak-balik." Bisakah Anda memecahkan sebagian dari masalah? Inilah kesempatan untuk menebak awal kata. Karena pengulangan sangat ditekankan, kata tersebut, sangat mungkin, mungkin dimulai dengan "re." Ini adalah tebakan yang cukup jelas. Jika kita tergoda untuk mempercayainya, kita harus menyadari apa artinya. Kata yang dibutuhkan akan terlihat seperti ini:



KEMBA LI-----



Bisa cek hasilnya? Jika kata lain dalam puz • zle melewati kata yang baru saja dipertimbangkan di huruf pertama, kita memiliki R untuk memulai kata lain itu. Ini mungkin ide yang bagus 4 Negara,



9 Juni 1945, Teka-Teki Silang, No.



119.



Angka untuk beralih ke kata lain itu dan memeriksa R. Jika kita berhasil memverifikasi R itu atau jika, setidaknya, kita tidak menemukan alasan untuk menentangnya, kita kembali ke kata asli kita. Kami bertanya lagi: Bagaimana kondisinya? Saat kita memeriksa kembali petunjuk itu, bagian paling terakhir mungkin menarik perhatian kita: "... bolak-balik." Mungkinkah ini menyiratkan bahwa kata yang kita cari dapat dibaca tidak hanya maju tetapi juga mundur? Ini adalah tebakan yang kurang jelas (namun ada kasus seperti itu, lihatMENOLAK DAN MENYARANKAN, 8). Bagaimanapun, mari kita hadapi tebakan ini; mari kita sadari apa itu cara. Kata tersebut akan terlihat sebagai berikut:



RE-- -ER. Selain itu, huruf ketiga harus sama dengan huruf kelima; itu sangat mungkin konsonan dan huruf keempat atau tengah vokal, Pembaca sekarang dapat dengan mudah menebak kata itu sendiri. Jika tidak ada yang membantu, dia dapat mencoba semua vokal, satu demi satu, untuk huruf di tengah. Angka bukan hanya objek dari masalah geometris tetapi juga merupakan bantuan penting untuk semua jenis masalah di mana tidak ada gecmerric pada awalnya. Jadi, kami memiliki dua alasan bagus untuk mempertimbangkan peran tokoh dalam memecahkan masalah. 1. Jika masalah kita adalah masalah geometri, kita harus mempertimbangkan sebuah gambar. Angka ini mungkinmenjadi dalam imajinasi kita, atau mungkin dijiplak di atas kertas. Pada kesempatan tertentu, mungkin diinginkan untuk membayangkan sosok itu tanpa menggambarnya; tetapi jika kita harus memeriksa berbagai detail, satu detail demi detail lainnya, diinginkan untuk menggambar sebuah gambar. Jika ada banyak detail, kita tidak bisa membayangkan semuanya secara bersamaan, tetapi semuanya ada di atas kertas. Detail yang



tergambar dalam imajinasi kita mungkin terlupakan; tapi detail yang dijiplak di atas kertas tetap ada, dan, saat kita



kembali ke situ, ini mengingatkan kita pada pernyataan kita sebelumnya,Itu menyelamatkan kita dari beberapa masalah yang kita alami dalam mengingat pertimbangan kita sebelumnya. 2. Kami sekarang mempertimbangkan lebih khusus penggunaan gambar dalam masalah konstruksi geometris. Kami memulai pertimbangan rinci dari suatu masalah dengan menggambar sebuah gambar yang berisi hal-hal yang tidak diketahui dan datanya, semua elemen ini dirangkai seperti yang telah ditentukan sebelumnya oleh kondisi masalah. Untuk memahami masalah dengan jelas, kita harus mempertimbangkan setiap datum dan setiap bagian dari kondisi secara terpisah; lalu kita satukan kembali semua bagian dan pertimbangkan kondisinya secara keseluruhan, mencoba melihat secara bersamaan berbagai koneksitions dibutuhkan oleh masalah. Kami hampir tidak akan bisauntuk menangani dan memisahkan serta menggabungkan kembali semua detail ini tanpa gambar di atas kertas. Di sisi lain, sebelum kita menyelesaikan masalah secara definitif, masih diragukan apakah sosok seperti itu bisa ditarik atau tidak. Apakah mungkin untuk memenuhi seluruh kondisi yang disebabkan oleh masalah? Kami tidak berhak untuk mengatakan Ya sebelum kami mendapatkan solusi definitif; namun kami mulai dengan mengasumsikan sebuah gambar di mana yang tidak diketahui terhubung dengan data seperti yang ditentukan oleh kondisi tersebut. Tampaknya, dengan menggambar gambar tersebut, kami telah membuat asumsi yang tidak beralasan. Tidak, kami belum. Belum tentu. Kami tidak bertindak tidak •benar ketika, memeriksa masalah kami, kami mempertimbangkan kemungkinan bahwa ada suatu objek yang memenuhi kondisi yang dikenakan pada yang tidak diketahui dan memiliki, dengan semua data, hubungan yang diperlukan, asalkan kita tidak mengacaukan kemungkinan dengan kepastian. Seorang hakim tidak bertindak • dengan benar saat menanyai terdakwa, menurut pertimbangannyahipotesis bahwa terdakwa melakukan kejahatan dalam pertanyaan, asalkan dia tidak berkomitmen untuk ini hipotesa. Baik matematikawan dan juri



mungkinmemeriksa kemungkinan tanpa prasangka, menunda mereka



Angka 105



penilaian sampai ujian menghasilkan beberapa hasil yang pasti sult. Metode untuk memulai pemeriksaan suatu masalah konstruksi dengan menggambar sketsa yang, seandainya, kondisinya terpenuhi, kembali ke geometer Yunani. Ini diisyaratkan oleh frase Pappus yang pendek dan agak membingungkan:Asumsikan apa yang harus dilakukan sudah selesai.Rekomendasi berikut adalah beberapa • yang kurang singkat tetapi lebih jelas: Gambarlah gambar hipotetis yang mengandaikan kondisi masalah terpenuhi di semua bagiannya. Ini adalah rekomendasi untuk masalah konstruksi geometris tetapi pada kenyataannya tidak perlu membatasi kita pada masalah tertentu seperti itu. Kami dapat memperluas rekomendasi ke semua "masalah yang ditemukan" yang menyatakannya dalam bentuk umum berikut:Periksa situasi hipotetis di mana kondisi masalah seharusnya dipenuhi. Membandingkan PAPPUS, 6. 3. Mari kita bahas sedikit tentang penggambaran figur yang sebenarnya. (I) Haruskah kita menggambar angkanya dengan tepat atau mendekati Mately, dengan instrumen atau tangan bebas? Kedua jenis tokoh ini memiliki kelebihan. Angka pasti, pada prinsipnya, memiliki peran yang sama dalam geo1netry sebagai pengukuran eksak dalam fisika; tetapi, dalam praktiknya, bilangan eksak kurang penting daripada pengukuran eksak karena • teorema geometri jauh lebih terverifikasi • diverifikasi daripada hukum fisika. Namun, pemula harus membuat satu angka persis seperti yang dia bisa untuk mendapatkan dasar eksperimental yang baik; dan angka yang tepat mungkin menyarankan teorema geometris juga kepada yang lebih maju. Namun, untuk tujuan penalaran, • figur tangan bebas yang digambar sepenuhnya biasanya cukup baik, dan itu jauh lebih cepat selesai. Tentu saja, angkanya seharusnya tidak terlihat absurd; garis seharusnya



lurus tidak boleh bergelombang, dan yang disebut lingkaran tidak boleh terlihat seperti kentang. Sosok yang tidak akurat kadang-kadang dapat memberi kesan kesimpulan yang salah, tetapi bahayanya tidak besar dan kita dapat melindungi diri kita darinya dengan berbagai cara, terutama dengan memvariasikan angkanya. Tidak ada bahaya jika kita memusatkan perhatian pada koneksi logis dan menyadari bahwa angka tersebut adalah bantuan, tetapi sama sekali bukan dasar kesimpulan kita; hubungan logis merupakan dasar yang nyata. [Poin ini diilustrasikan secara instruktif oleh paradoks terkenal tertentu yang dengan cerdik memanfaatkan ketidakakuratan yang disengaja dari gambar tersebut.] (II) Adalah penting bahwa elemen-elemen dirakit dalam hubungan yang diperlukan, tidak penting dalam urutan mana mereka dibangun. Karena itu, pilih pesanan yang paling nyaman. Misalnya, untuk mengilustrasikan gagasan tiga bagian, Anda ingin menggambar dua sudut,Sebuah dan {3, yang seperti itu Sebuah = 3 {3. Mulai dari sembaranganSebuah, Anda tidak dapat membangun {3 dengan penggaris dan kompas. Karena itu, Anda memilih yang terbilang kecil, tapi sebaliknya sembarangan{3 dan, mulai dari {3, Anda membangun Sebuah itu mudah. (Saya akan) Sosok Anda tidak boleh memberi kesan khusus • cialization. Bagian-bagian gambar yang berbeda seharusnya tidak menunjukkan hubungan yang jelas yang tidak dibutuhkan oleh masalah. Garis tidak boleh terlihat sama, atau tegak lurus, padahal sebenarnya tidak demikian. Segitiga seharusnya tidak tampak sama kaki, atau siku-siku, jika tidak ada properti seperti itu yang dibutuhkan oleh soal. Segitiga yang memiliki sudut 45 °,60 °, 7 5 ° adalah salah satu yang, dalam arti kata yang tepat, adalah yang paling "jauh" baik dari sama kaki, dan dari bentuk siku-siku. S Anda menggambar 5 Jika sudutnya dari segitiga adalah Sebuah, fl, 'Y • dan 90 ° > Sebuah > fJ > 'Y • maka setidaknya satu dari perbedaan 90 ° - A A - .fJ - 'Y adalah < 15 °, kecuali Sebuah == 75 °, fJ == 60 °, 'Y = 45 °. Faktanya, 3 (90 ° - Sebuah) + 2 (a - fl) + (fj - 'Y) -----------150. 6



=



Angka



ini, atau segitiga yang tidak terlalu berbeda, jika Anda ingin sider segitiga "umum". (IV) Untuk menekankan peran berbeda dari garis berbeda, Anda dapat menggunakan garis tebal dan tipis, garis terus menerus dan putus-putus, atau garis dalam warna berbeda. Anda menggambar garis dengan sangat tipis jika Anda belum memutuskan untuk menggunakannya sebagai garis bantu. Anda dapat menggambar elemen tertentu dengan pensil merah, dan menggunakan warna lain untuk • menekankan bagian penting, sebagai sepasang segitiga serupa, dll. (V) Untuk mengilustrasikan geometri padat, haruskah kita menggunakan model atau gambar tiga dimensi di atas kertas dan papan tulis? Model tiga dimensi memang diinginkan, tetapi ada masalah • harus dibuat dan mahal untuk dibeli. Jadi, biasanya kita harus puas dengan gambar meskipun tidak mudah membuatnya mengesankan. Beberapa eksperimen dengan model karton buatan sendiri sangat diinginkan untuk pemula. Sangat membantu untuk mengambil objek dari sekeliling kita sehari-hari sebagai representasi dari pengertian geometris. Dengan demikian, sebuah kotak, ubin, atau ruang kelas bisa mewakili segiempat persegi panjang, pensil, silinder melingkar, kap lampu, bingkai • kerucut lingkaran kanan, dll. 4. Gambar yang ditelusuri di atas kertas mudah dibuat, mudah dikenali, mudah diingat. Figur pesawat sangat akrab bagi kita, masalah tentang figur pesawat sangat mudah diakses. Kita dapat memanfaatkan keadaan ini, kita dapat menggunakan kemampuan kita untuk menangani figur dalam menangani objek nongeometri jika kita berusaha untuk menemukan representasi geometris yang sesuai untuk objek nongeometri tersebut. Nyatanya, representasi geometris, grafik, dan gram dari segala jenis, digunakan dalam semua sains, tidak hanya dalam fisika, kimia, dan ilmu alam, tetapi juga dalam ekonomi, dan bahkan dalam psikologi. Dengan menggunakan beberapa representasi geometris yang sesuai, kami mencoba untuk mengekspresikan semuanya