Trend Eksponensial [PDF]

Citation preview

Æ


   Æ  Kita telah mengenal trend garis lurus‘
‘  dengan bentuk persamaan‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ Dalam hal ini‘  adalah rata-rata kenaikan‘ per satuan waktu (per bulan, per tahun, dan lain sebagainya). Ada beberapa jenis trend yang tidak linear tetapi dapat dibuat linear dengan jalan



melakukan



transformasi



(perubahan



bentuk).



Misalnya,



trend



eksponensial:



‘ ‘  dapat diubah menjadi trend semi log: log‘ = log‘ + (log‘   log ' =  ;log ‘ ‘  dan log‘ ‘ ‘ .Dengan demikian, Y'()=‘ +Ô0 di mana koefisien‘  dan‘  dapat dicari berdasarkan persamaan normal. Trend



eksponensial



pendapatan



nasional,



sering



produksi,



dipergunakan hasil



untuk



penjualan,



meramalkan



dan



jumlah



kejadian-kejadian



penduduk, lain



yang



perkembangan/pertumbuhannya secara geometris (berkembang dengan cepat sekali).  Æ  Hasil penjualan PT. Sinar Surya selama 3 tahun menunjukkan perkembangan



yang cepat sekali, seperti ditunjukkan dalam Tabel 8.6.  Æ    !Æ""#$%&'% ________________________________



Tahun



1997



1998



1999



Hasil penjualan



20



80



400



(Jutaan rupiah) Dengan menggunakan trend eksponensial, ramalkan hasil penjualan tahun 2000! 
(

 



MU*. Tahun



X



logy



X logY



< Y0 >



(XY0 )



X2



1997



-1



20



1,30103



-1,30103



1



1998



0



80



1,90309



0



0



1999



1



4(X)



2,60205



2,60205



1



ƴX =0



ƴY= 5oo



Jumlah Persamaan normal: (1)0 n + ‘0 ƴX = ƴY 0



= 5,80617



c
Page



y



ƴY0= 5,80617



ƴ =1,30102



ƴX 2 = 2



(2) 0 ƴY 0+‘ƴX 2=ƴXY 0



= 1,30102 ù



Dari persamaan (1),‘ = 5,80617, maka= log‘ = (5,80617) = 1,93539. Dari daftar log



dapat



diketahui



bahwa



log‘ =



1,93539.



Dengan



demikian,



nilai



merupakan



antilog 1,93539, atau 86,2. ù



Dari persamaan (2), 2= 1,30102, maka‘ = log‘ ‘








(1,30102) = 0,65051. Jadi, nilai



= 4,47. Garis trend Y·0=a0+ ńY·0= 1,93539 + 0,65051X (dalam semi log). Untuk tahun 2000,‘ ‘ ‘  ńY·0 ‘  ń ‘ log = 1,93539 + 0,65051(2) = 1,93539 + 1,30102 = 3,23641 = 3,2364. Ramalan = 1.730 (dari daftar log, angka yang dekat adalah 3,2380).



‘ ‘ = (86,2)(4,47)x (dalam eksponensial) Untuk



X



=



2



ń =



(86,2)(4,47)2=



(86,2)(19,9809) =



1.722,35.



Hasilnya



ada



perbedaan



sedikit (akibat pembulatan).  Æ %) Kenaikan harga yang dinyatakan dalam kenaikan indeks harga, mempunyai



pengaruh negatif yang sangat kuat terhadap penurunan hasil penjualan secara geometris. Data selama 6 tahun menunjukkan perkembangan harga (X) dan hasil penjualan‘  Karena bukan variabel waktu, maka hubungan yang kita peroleh merupakan persamaan garis regresi dan bukan garis trend. Data selama 6 tahun terakhir adalah sebagai berikut:



 (indeks harga)



54,3



61,8



72,4



88,7



118,6



194,0



(hasil penjualan,



61,2



49,5



37,6



28,4



19,2



10,1



jutaan rupiah) Dengan menggunakan persamaan Y·=0 berapa nilai ramalan Y, kalau X = 100? 
(

 



‘  (eksponensial), harus dibuat transformasi dengan menggunakan log. log‘ = log+‘ log X (regresi linear logaritma), log  = 0 log=‘log X = X0 ,   ‘ merupakan regresi linear.



ü
Page



X0= log X



Y0 = log Y



X2 0



1,7348



1,7868



3,0095



3,0997



1,7910



1,6946



3,2077



3,0350



1,8597



1,5752



3,4585



2,9294



1,9479



1,4533



3,7943



2,8309



2,0741



1,2833



4,3019



2,6617



2,2878



1,2340



5,2340



2,2976



ƴ  8,7975



ƴX = 23,0059



ƴX 0 =11,6953



‰
Page



2 0



X 0Y 0



ƴX 0Y0= 16,8543



ù



X = -1‘‘‘  ‘ 20( -1= 0




ù



X = 0 ‘‘  ‘20( )°=20




ù



X =1



Y' = 40-20( )'=30



X =2 ‘



Y'= 40 - 20( )2=35








ù




Makin lama angka-angka di atas makin mendekati nilai‘ Dengan perkataan lain,‘‘ merupakan nilai asymptote (selalu didekati, tetapi tidak pernah dicapai).



Bentuk Kurva Trend Eksponensial yang Diubah



Tergantung pada nilai dan‘0 maka bentuk kurva Y'=‘‘  dapat berubah-ubah seperti terlihat pada Peraga 8.2. gambar



a >0,b



a >0,b



1



Kalau‘ g,‘‘1, maka bentuk kurvanya seperti contoh yang diberikan di atas. gleh karena bentuk trend (regresi) eksponensial yang diubah tidak dapat dijadikan bentuk



linear



dengan



jalan



transformasi, maka



untuk



memperkirakan



atau



menghitung



nilai koefisien‘  dan‘  tidak dapat digunakan metode kuadrat terkecil
‘ ‘  ! ‘ Jadi di sini harus dipergunakan cara yang lain, yaitu dengan memilih beberapa titik. Caranya adalah sebagai berikut: Kita



peroleh



X=0,



tiga X=2,



titik,



yaitu: X=4,



"  ‘ ‘#‘ ‘‘ ‘‘



$



Y2=k+ ab2‘







= k + abA‘







Dalam 3 persamaan di atas terdapat 3 bilangan konstan yang tidak diketahui, yaitu‘ 0‘ 0‘ dan‘  Dengan melakukan pemecahan terhadap persamaan di atas, kita peroleh



m
ù  




 ù  m
ù  













  
 
 ù



Apabila banyaknya tahun antara Y1 ,Y2, dan Y3 bukan 2 tahun, akan tetapi‘  tahun, maka rumus



untuk



menghitung‘



0‘



0



dan‘







adalah



sebagai



berikut:











m
ù  




 ù  m
     
 

 ù



  Æ %% Hasil penjualan Perusahaan XYZ dalam jutaan rupiah selama 6 tahun terakhir



disajikan dalam Tabel 8.11.



* !!"!*Ô(+
,Æ*Æ"-*" Tahun



(X)



Hasil penjualan



(V)



1994



1995



1996



1997



1998



1999



(0)



0)



(2)



(3)



(4)



(5)



3



7



9



21



33



70



Dengan menggunakan trend eksponensial yang diubah, berapa besarnya ramalan hasil penjualan untuk tahun 2000?  
(

  3 titik yang kita pilih diganti dengan memilih penjualan tahun 1994 (X =0),



19% (X = 2) dan 1998 (X = 4), berjarak 2 tahun. Dengan menggunakan rumus‘ 0‘ 0 dan



 di atas, kita peroleh:









     



   




 









u



Nilai X yang digunakan untuk meramal penjualan tahun 2000 adalah‘ =1+ 2(2)6= 129 (Rpl29 juta).



Æ
 Æ  Trend logistik biasanya dipergunakan untuk mewakili data yang menggambarkan perkembangan/pertumbuhan yang mula-mula cepat sekali, tetapi lambat-laun agak lambat, di mana kecepatan pertumbuhannya makin berkurang sampai tercapai suatu titik jenuh



!‘ %!  Pertumbuhan semacam ini biasanya dialami oleh pertumbuhan suatu jenis industri, dan pertumbuhan biologis lainnya. Bentuk trend logistik misalnya adalah sebagai berikut:



‘ ‘












 



‘0 dan‘ konstan, biasanya‘‘& 0.



(8.15)



Dalam hal ini kalau X ń ’, 10a+bX ń0, dan Y'
‘ 0 maka‘  merupakan asymptote, yaitu batas atas. Bentuk kurvanya diperlihatkan dalam Peraga 8.4 pada halaman berikut. Sebelum titik‘ '0 laju pertumbuhan terjadi dengan cepat sekali. Setelah titik‘ '0 laju pertumbuhan mulai menurun. Bilangan konstan k,, dan‘  dapat dicari dengan cara seperti trend eksponensial yang diubah, yaitu memilih beberapa titik. Misalnya data selama



6



tahun



adalah



sebagai



berikut:



Æ 
%.



Kita pilih 3 titik Æ/ T2, T3 dengan nilai (X =0; Y0), (X = 2; Y2), dan (X = 4; Y 4).



k Setelah nilai X dimasukkan ke(
sebagai berikut.



Æ%
Æ.
Æ0




   



 



    



    



 



 , kita dapat mencari persamaan untuk T 



 



Dari 3 persamaan tersebut, dapat kita peroleh pemecahan yang memberikan nilai‘0‘0‘ dan‘ Untuk mencari‘0 perhatikan bahwa,















 















   
‘



   
  ‘



Jadi nya ,



Untuk mencari , perhatikan bahwa,



Setelah diketahui log-nya, dicari nilai a sebagai berikut.



Akhirnya



Pada umumnya, kalau titik yang diambil berjarak / tahun, maka



diambil log-



         Æ %.



Perkembangan



jumlah



perusahaan



industri



pengolahan



di



ditunjukkan oleh Tabel 8.13 sebagai berikut:




        



Berapa ramalan banyaknya industri pengolahan pada tahun 2000 (X = 6)?



suatu



daerah




(

  Kita pilih 3 titik ‘()‘(0‘( yaitu untuk‘‘ ‘00 dan 4; dan Y =‘0 0 dan 9.



Jadi garis trend logistik:



Untuk tahun 2000, X = 6.



Jadi



kalau



dibulatkan,



ramalan



banyaknya



perusahaan



pengolahan



industri



di



daerah



tersebut pada tahun 2000 = 10 buah. Kalau sudah mencapai titik jenuh, maka ini berarti bahwa nilai Y = 10 (mendekati 10).



 Æ
 
Æ+ Trend Gompertz biasanya dipergunakan untuk meramalkan jumlah penduduk pada usia tertentu. Trend Gompertz, bentuknya sebagai berikut: Y'=‘ di mana‘0‘0 dan‘ konstan.



(8.16)



Kalau diambil lognya, log‘ = log‘ + (log  ) (bX )



Selanjutnya kalau log‘ =Y^ log‘ ‘



=* dan log=