Limit Fungsi Eksponensial [PDF]

Citation preview

Limit Fungsi Eksponensial Bilangan e 1  lim  1   n  n 



n



n 1 n(n  1) 1 n(n  1)(n  2) 1 1    lim  1  .  . 2  . 3  ...  n  n  1 n 2! n 3! n n  



=



 1 1 1 1  2 1 1  2 lim  1  1   1     1    1     1    1   2!  n 3!  n  n 4!  n  n 



n 







 1 



=



11



3 1    ...  n  n n 



1 1 1 1     ... 2! 3! 4! 5!



Jika diambil sampai sepuluh tempat desimal diperoleh 1  lim  1   n n 



n



 2,7182818284...



Nilai limit ini disebut bilangan e atau bilangan Euler (diambil nama sang penemu yaitu Leonard Euler matematikawan Swiss (1707 – 1783). Sehingga : 1  lim  1   n  n 



n



e



Limit ini dapat dikembangkan untuk setiap x  R dipenuhi 1  lim  1   x x 



x



e



Jika disubstitusikan u =



1 x



maka diperoleh rumus



1



lim (1  x) x  e x 0



Contoh tentukan



2  lim  1   x  x 



x 3



Jawab :



2  lim  1   x x  



x3



2   lim  1   x x  



x



3



2  . 1  x  



=



2  lim  1   x  x  



=



  2 lim   1   x   x   



x 2



.2







 1 



2







x 2



  



2  x



3



2  . 1  x 



3



= e2 . (1 + 0)3 = e2. Logaritma yang mengambil e sebagai bilangan pokok disebut logaritma naturalis atau logaritma Napier, dan ditulis dengan notasi “ln”, sehingga ln x = e log x. Dari



1 a lim (1  x) x  e , maka



x 0



log







1   lim (1  x) x   a log e  x  0   