Tugas Dadu Galileo Cintaku Fix [PDF]

Citation preview

1



A. JUDUL PENELITIAN



: Penyelesaian Permasalahan Dadu Galileo dengan Menggunakan Kombinatorik



B. BIDANG KAJIAN



: Statistika



C. LATAR BELAKANG Pada abad sebelum masehi masyarakat hanya mengenal konsep kebetulan dan ketidakpastian dalam menjalani kehidupan sehari-hari. Sejalan dengan konsep kebetulan dan ketidakpastian di dalam kehidupan tersebut salah satu permainan yang sering di lakukan manusia adalah perjudian. Ide perjudian juga mempunyai sejarah yang panjang. Sekitar 3500 tahun sebelum masehi, permainan berbasis kebetulan dengan menggunakan tulang binatang dikembangkan dikalangan masyarakat Mesir. Prototipe dadu berbentuk kubus ditemukan di makam kuno Mesir sekitar 2000 tahun sebelum Masehi. Pada masa itu perjudian dengan menggunakan dadu populer di masyarakat. Pada awalnya,dalam permainan dadu (yang sering ditemukan dalam perjudian) orang hanya bisa menerka kemungkinan mata dadu yang muncul,sehinggga orang yang bermain judi lebih sering kalah daripada menang. kenyataan ini disadari setelah di temukannya probabilitas statistik. (J.L.simon & Peter Bruce. 1996.hal 3). Teori probabilitas awalnya diinspirasi oleh masalah perjudian. Awalnya dilakukan oleh matematikawan dan fisikawan Itali yang bernama Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lahir pada tanggal 24 September 1501. Cardano merupakan seorang penjudi pada waktu itu. Walaupun judi berpengaruh buruk terhadap keluarganya, namun judi juga memacunya untuk mempelajari peluang. seorang penjudi lainnya yang bernama Chevalier de Mere menemukan sistem perjudian. Ketika Chevalier kalah dalam berjudi dia meminta temannya Blaise Pascal



untuk



2



menganalisis sistim perjudiannya. Pascal menemukan bahwa sistem yang dipunyai oleh Chevalier akan mengakibatkan peluang dia kalah 51 %. Masih berkaitan dengan permainan dadu, pada awal tahun 1600 Galileo (15641643) mengajukan suatu persoalan mengapa pada pelambungan tiga dadu yang seimbang jumlah mata dadu yang sering muncul adalah sepuluh. (Townsen.1987.hal 80). Persoalan ini dikenal dengan persoalan Dadu Galileo. Pada awalnya persoalan dadu Galileo tidak dapat terjawab dalam kurun waktu yang lama, samapai akhirnya muncul ilmu statistik yang membahas permasalahan di atas dengan menggunakan ilmu peluang yang sangat sederhana yaitu dengan mencacah segala kemungkinan yang mungkin terjadi. Penyelesaian permasalahan pelambungan tiga dadu yang seimbang dengan mencacah semua peluang yang terjadi memberikan hasil bahwa ada 27 kejadian dimana jumalh dari ketiga mata dadu adalah sepuluh. Berarti peluang munculnya mata dadu dengan jumalh sepuluh dalam pelambungan tiga dadu secara seimbang adalah 27/216 = 1/8. Dengan menggunakan prinsip pencacahan secara manual tersebut akan mengakibatkan kesalahan yang sangat tinggi akibat ketidaktelitian dan memakan kurun waktu yang relative lama. Seiring berkembangnya cabang-cabang kombinatorik yaitu fungsi pembangkit,relasi rekursif,dan prinsip inklusi-eklusi member kesempatan untuk mencacah persoalan dadu Galileo dengan berbagai cara yang berbeda,yang jauh lebih efisien dari cara pencacahan secara manual. Tiap cara penyelesaian dari cabang-cabang kombinatorik memiliki keunikan atau karakteristik yang berbeda – beda namun kesimpulan atau hasil yang diperoleh adalah sama. Dari uraian diatas penulis tertarik untuk mengkaji bagaimana menyelesaikan permasalahan Dadu Galileo menggunakan alternatif lain yaitu dengan menggunakan fungsi pembangkit, relasi rekursif dan prinsip ekslusi-inklusi. Untuk itu dilakukan



3



penelitian dengan judul penelitiannya adalah “ Penyelesaian Permasalahan Dadu Galileo Dengan Menggunakan Kombinatorik”. D. PERUMUSAN MASALAH Permasalahan yang akan dibahas adalah “ Bagaimana menyelesaiakan permasalahan Dadu Galileo dengan menggunakan kombinatorik “? E. PERTANYAAN PENELITIAN Untuk lebih terarahnya penelitian ini,maka penulis mengajukan pertanyaan penelitian yang akan dijawab pada pembahasan nantinya,sebagai berikut: 1. Bagaimana



menyelesaikan



permasalahan



dadu



Galileo



dengan



permasalahan



dadu



Galileo



dengan



permasalahan



dadu



Galileo



dengan



menggunakan fungsi pembangkit? 2. Bagaimana



menyelesaikan



menggunakan relasi rekursif? 3. Bagaimana



menyelesaikan



menggunakan prinsip inklusi-eksklusi? 4. Apa perbedaan dari penggunaan fungsi pembangkit, relasi rekursif dan prinsip inklusi-eksklusi dalam menyelesaikan permasalahan dadu Galileo?



F. TINJAUAN PUSTAKA Beberapa konsep dasar dan teori yang digunakan dalam menyelesaiakan permasalahan dadu Galileo adalah kombinasi dan permutasi, peluang suatu kejadian, fungsi pembangkit, relasi rekursif, dan prinsip inklusi-eksklusi.



4



Konsep peluang suatu kejadian akan digunakan untuk menentukan peluang munculnya mata dadu dengan jumlah sepuluh dalam permasalahan dadu Galileo. Kombinasi merupakan bagian yang sangat penting dalam memecahkan permasalahan dadu Galileo dengan menggunakan fungsi pembangkit, relasi rekursif, dan prinsip inklusi-ekslusi. Sebelum membahas teori-teori yang disebutkan diatas, berikut ini akan dilakukan analisis terhadap permasalahan dadu Galileo. A. Analisis Galileo Galileo merumuskan permasalahan tiga dadu dengan mewarnai ketiga dadu, dimana dadu I diwarnai putih, dadu II diwarnai abu-abu dan dadu III diwarnai hitam. Dalam setiap pelambungan ketiga dadu tersebut dicatat hasil yang diperoleh dengan menerapkan prinsip permutasi dimana mata dadu 1 pada dadu I tidak sama nilainya dengan mata dadu 1 pada dadu II atau dadu III dan didapat 27 permutasi pada penjumlahan ketiga dadu yang hasilnya 10. B. Peluang Suatu Kejadian Definisi 2.1 : Ruang sample,dinotasikan dengan huruf S adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak.Setiap kemungkinan hasil dalam suatu ruang sample atau elemen dari himpunan ruang sample disebut anggota ruang sample atau titik sample. (Ronald E.Walpole.1995.hal70)



5



Defenisi peluang suatu kejadian adalah : Definisi 2.2 : Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama, dan bila tepat sebanyak n dari hasil yang berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah P ( A) =



n ,dengan 0 ≤ P ( A) ≤ 1 N (Ronald E.Walpole.1995.hal 90)



C. Permutasi dan Kombinasi Definisi 2.3 : Permutasi adalah banyak susunan yang berlainan dari n objek dalam suatu urutan tertentu. (Edward J.Dudewicz.1987.hal30). Definisi 2.4 : Kombinasi merupakan suatu pemilihan objek tanpa penggantian. (Towsend.1987.hal 53) Kombinasi terdiri atas C(n,r) yaitu kombinasi yang dilakukan tanpa pengulangan r objek yang dipilih dari n objek dan C(n+r-1,r) merupakan kombinasi dengan pengulangan r objek yang dipilih dari n tipe objek.



6



Contoh: Banyaknya kombinasi 3 huruf dari a, b, c dan d adalah abc, abd, acd, bed. Jadi banyaknya kombinasi 3 huruf dari a, b,c dan d adalah : C(n,r) = C(4,3) = 4 Karena banyaknya kombinasi 3 huruf dari a, b, c, d = 4, dan bahwa tiap kombinasi yang terdiri dari 3 huruf itu menentukan 6 permutasi (3!) dari huruf-huruf dalam kombinasi. Perhatikan diagram berikut : Kombinasi Abc Abd Acd Bca



Permutasi abc,acb,bac,bca,cab,cba abd,adb,bad,bda,dab,dba acd,adc,cad,cda,dac,dca bcd,bdc,cdb,cbd,dbc,dcb



Jadi bila banyaknya kombinasi 3 huruf dari 4 huruf dikalikan dengan 3! Maka hasilnya sama dengan banyaknya permutasi 3 huruf dari 4 huruf.



C(4,3).3! = P(4,3) atau C(4,3) =



P (4,3) 3!



Karena tiap kombinasi r obyek menentukan r! permutasi dari obyekobyek tersebut, dapat disimpulkan bahwa :



P(n,r) = r! C(n,r) =



n! (n − r )!



D. Fungsi Pembangkit



7



Misalkan a r adalah suatu cara untuk mengambil r objek dalam suatu prosedur, maka : 2 r n P(x) = a 0 + a1 x + a 2 x + ... + a r x + ... + a n x + ...



(Alan Tucker.2002.hal 241) Definisi 2.5 ∞



Deret tak hingga yang berbentuk



∑a n =0



n



x n disebut deret kuasa



(Budayasa.1994.hal 1). Untuk menyelesaikan permasalahan dadu Galileo dengan menggunakan fungsi pembangkit diperlukan deret kuasa berikut :



1.



∞ 1 = ∑ x n = 1 + x + x 2 + ... , untuk x < 1 1 − x n =0



(2.1)



2.



1 − x n +1 = 1 + x + x 2 + ... + x n , untuk x 0 koefisien x r dalam P(x) adalah C (−n, r )(−1) r =



(−n)(−n − 1)...( −n − r + 1) (−1) r r!



13



Karena ada r suku (-1) maka



=



(−1) r n(n + 1)...(n + r − 1)(−1) r r!



=



n(n + 1)...( n + r − 1) r!



=



(n + r − 1)(n + r − 2)...( n + 1)n r!



=



(n + r − 1)! r!(n − 1)!



=C(n+r-1, r) Untuk r = 0 koefisien dari x r ialah : C (−n, r )( −1) 0 = C (n + 0 − 1,0) Sehingga untuk r ≥ 0 C (−n, r )(−1) r = C (n + r − 1, r ) Dengan demikian ∞



P ( x) = ∑ C (n + r − 1, r ) x r r =0



(2.4)



14



E.



Relasi Rekursif



Defenisi 2.7 : Relasi rekursif secara umum adalah suatu pola rekursif untuk menghitung beberapa urutan sari suatu persoalan (Alan Tucker 2002.hal 258) Misalkan Pn menyatakan banyaknya permutasi dari n objek yang berbeda. P1 = 1 karena hanya ada satu permutasi dari 1 objek. Untuk n ≥ 2, Pn diperoleh dengan cara berikut. Terdapat n kemungkinan posisi dari objek akan di ikuti oleh permutasi dari n – 1 objek adalah Pn −1 maka terdapat hubungan Pn = nPn −1 . Dengan demikian diperoleh P1 = 1 ; Pn = nPn −1 , n ≥ 2 Bentuk ini disebut dengan relasi rekursif untuk Pn , banyaknya permutasi dari n objek. P1 = 1 disebut kondisi awal sedangkan Pn = nPn −1 disebut bagian rekursif dari relasi rekursif.(Budayasa.1994.hal 26). F.



Prinsip Inklusi-Eksklusi. Secara umum prinsip inklusi-eksklusi dapat ditulis dalam teorema



berikut



15



Teorema 2.1 Jika N adalah banyaknya objek dalam himpunan S dan a1 ,..., a r sifatsifat yang mungkin dimiliki oleh suatu objek di S,naka banyaknya objek di S yang tidak memiliki sifat a1 , a 2 ,..., a r adalah



N (a1 , a2 ,..., ar ) = N − ∑ N (ai ) + ∑ N (ai a j ) − ∑ N (ai a j ak ) ± ... + (−1) r N (a1a2 ...ar ) i



i, j



i , j ,k



(Budayasa.1994.hal 54) G. TUJUAN PENELITIAN Tujuan yang ingin dicapai dari penelitian ini adalah : 1.



Untuk menyelesaikan permasalahan dadu Galileo dengan menggunakan



fungsi pembangkit. 2.



Untuk menyelesaikan permasalah dadu Galileo dengan menggunakan



relasi rekursif. 3.



Untuk menyelesaikan permasalahan dadu Galileo dengan menggunakan



prinsip inklusi-eksklusi. 4.



Untuk mengetahui perbedaan cara menyelesaikan persamaan dadu



Galileo dengan menggunakan fungsi pembangkit, relasi rekursif dan prinsip inklusi-eksklusi.



16



H. MANFAAT PENELITIAN Hasil dari penelitian diharapkan dapat memberikan manfaat antara lain untuk : 1.



Menambah wawasan penulis dalam melakukan penelitian ilmiah bidang



matematika. 2.



Memberikan gambaran bagaimana menyelesaiakan suatu masalah



kombinatorik dari berbagai perspektif. 3.



Sebagai pedoman bagi peneliti selanjutnya untuk mengembangkan



permasalahan peluang dari pelambungan lebih dari tiga dadu.



I. METODE PENELITIAN Sesuai dengan permasalahan yang diteliti, penelitian ini digolongkan kedalam penelitian dasar ( teoritis ),dimana tujuan penelitian dasar tersebut adalah untuk meningkatkan pengetahuan ilmiah. Dalam penelitian ini metode yang digunakan adalah analisis terhadap teori-teori yang relevan dengan permasalahan yang dibahas. Pada penelitian ini pemecahan masalah menggunakan



buku-buku



penunjang,



permasalahan yang akan dibahas.



sehingga



didapat



jawaban



dari



17



DAFTAR PUSTAKA Budayasa, I ketut.1994. Matematika Diskrit I.IKIP Surabaya. Surabaya Dudewicz, Edward J.1987. Statistika Matematika Modern. ITB Bandung. Bandung Rosen, Kenneth H. 1995. Discrete Mathematics And Its Applications. McGraw-Hill, Inc. New York. Simon,J.L. & Peter Bruce. 1996. First Tought About Resampling for Work and learning. http://www.resample.com/content/teaching/philosophy/part3/chapIII-6.txt Townsend,Michael . 1987 . Discrete Mathematics : Applied Combinatorics And Graph Theory . The Benjamin/Cummings Publishing Company.Inc.Menlo Park, California. Tucker,Alan.1984. Applied Combinatorics. Second edition. New York. Jhon Wiley & Sons.Inc Walpole,Ronald E.1995. Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur dan Ilmuwan,Edisi ke-4.Penterjemah R.K Sembiring.ITB Bandung.



18