Turunan Fungsi Tigonometri, Latihan Soal Pembahsan [PDF]

Citation preview

Rumus Dasar 1. 2. 3. 4. 5. 6.



f(x) = sin x → f '(x) = cos x f(x) = cos x → f '(x) = −sin x f(x) = tan x → f '(x) = sec2 x f(x) = cot x → f '(x) = −csc2 x f(x) = sec x → f '(x) = sec x . tan x f(x) = csc x → f '(x) = −csc x . cot x



Tips Setiap fungsi trigonometri yang dimulai dengan huruf c, maka turunannya akan bernilai negatif.



Perluasan Rumus Jika u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x dengan u' adalah turunan u terhadap x, maka : 1. f(x) = sin u → f '(x) = cos u . u' 2. f(x) = cos u → f '(x) = −sin u . u' 3. f(x) = tan u → f '(x) = sec2u . u' 4. f(x) = cot u → f '(x) = −csc2 u . u' 5. f(x) = sec u → f '(x) = sec u tan u . u' 6. f(x) = csc u → f '(x) = −csc u cot u . u'



Contoh 1 Tentukan turunan dari y = sin 4x ! Penyelesaian : Misalkan : u = 4x ⇒ u' = 4 y' = cos u . u' y' = cos 4x . 4 y' = 4cos 4x



Contoh 2 Tentukan turunan dari y = cos x2 Penyelesaian : Misalkan : u = x2 ⇒ u' = 2x y' = −sin u . u' y' = −sin x2 . 2x y' = −2x sin x2 Contoh 3



Tentukan turunan dari y = tan (2x+1) Penyelesaian : Misalkan : u = 2x + 1 ⇒ u' = 2 y' = sec2u . u' y' = sec2(2x+1) . 2 y' = 2sec2(2x+1)



Contoh 4 Tentukan turunan dari y = sec 1212x Penyelesaian : Misalkan : u = 1212x ⇒ u' = 1212 y' = sec u tan u . u' y' = sec 1212x tan 1212x . 1212 y' = 1212sec 1212x tan 1212x



Turunan y = [u(x)]n Misalkan y = [u(x)]n dengan u(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x. Turunan y terhadap x dapat dinyatakan sebagai berikut :



y′=n[u(x)]n−1.u′(x)y′=n[u(x)]n−1.u′(x) Contoh 5 Tentukan turunan dari y = cos57x Penyelesaian : y = [cos 7x]5 Misalkan : u(x) = cos 7x ⇒ u'(x) = −7sin 7x n=5 y' = n[u(x)]n-1. u'(x) y' = 5[cos 7x]5-1. −7sin 7x y' = −35 cos47x . sin 7x



Contoh 6 Tentukan turunan dari y = sin7(4x−3) Penyelesaian : y = [sin (4x−3)]7 Misalkan : u(x) = sin (4x−3) ⇒ n=7



u'(x) = 4cos (4x−3)



y' = n[u(x)]n-1. u'(x) y' = 7[sin (4x−3)]7-1 . 4cos (4x−3) y' = 28 sin6(4x−3) cos (4x−3) Catatan Hasil akhir masih bisa diubah-ubah bentuknya menyesuaikan jawaban yang diminta dari soal, yaitu dengan menggunakan sifat-sifat atau identitas dari trigonometri.



Latihan Soal Turunan Fungsi Trigonometri Latihan 1 Tentukan turunan dari y = sin x2 Jawab : y' = cos x2 . 2x y ' = 2x cos x2



Latihan 2 Tentukan turunan dari y = cos (3x+1) Jawab : y' = −sin (3x+1) . 3 y' = −3sin (3x+1) Latihan 3 Tentukan turunan dari f(x) = tan 1212x Jawab : f '(x) = sec21212x . 1212 f '(x) = 1212sec21212x



Latihan 4 Tentukan turunan y = sin (x2+3x−1) Jawab : y' = cos (x2+3x−1) . (2x+3) y' = (2x+3) cos(x2+3x−1)



Latihan 5 Tentukan turunan dari y = sec 2x Jawab : y' = sec 2x tan 2x . 2 y' = 2sec 2x tan 2x



Latihan 6 Tentukan turunan dari y = cos (2x+1)4



Jawab : y' = −sin (2x+1)4 . 4(2x+1)4-1 . 2 y' = −8(2x+1)3 sin(2x+1)4



Latihan 7 Tentukan turunan dari y = tan53x Jawab : y' = 5tan43x . sec23x . 3 y' = 15 tan43x sec23x



Latihan 8 Tentukan turunan dari y = cos4(5x+2) Jawab : y' = 4cos3(5x+2) . −sin (5x+2) . 5 y' = −20 cos3(5x+2) sin(5x+2)



Latihan 9 Tentukan turunan y = sin6(x2+3x) Jawab : y' = 6 sin5(x2+3x) . cos(x2+3x). (2x + 3) y' = 6(2x + 3) sin5(x2+3x) . cos(x2+3x)



Latihan 10 Tentukan f '(x) dari : a. f(x) = 3sin 2x + 4cos x a. Jawab : a. f '(x) = 3cos 2x . 2 + 4 . −sin x a. f '(x) = 6cos 2x − 4sin x b. b. b. b.



f(x) = tan 2x − csc x Jawab : f '(x) = sec22x . 2 − (−csc x ctg x) f '(x) = 2sec22x + csc x ctg x



c. c. c. c.



f(x) = sec 4x + tan (x+1) Jawab : f '(x) = sec 4x tan 4x . 4 + sec2(x+1) . 1 f '(x) = 4sec 4x tan 4x + sec2(x + 1)



Latihan 11 Tentukan turunan dari y = x2 cos 2x Jawab : Misalkan :



u = x2 ⇒ u' = 2x v = cos 2x ⇒ v' = −2 sin 2x y' = u'.v + u.v' y' = 2x . cos 2x + x2 . −2 sin 2x y' = 2x cos 2x − 2x2 sin 2x y' = 2x(cos 2x − x sin 2x)



Latihan 12 Tentukan turunan dari f(x) = (1 + sin2x)7 Jawab : u(x) = (1 + sin2x) ⇒ u'(x) = 2sin x cos x n=7 f '(x) = 7(1 + sin2x)7-1 . 2sin x cos x f '(x) = 7 (1 + sin2x)6 . sin 2x f '(x) = 7sin 2x (1 + sin2x)6 Soal Nomor 1 Turunkan fungsi berikut: y = 5 sin x Pembahasan y = 5 sin x y' = 5 cos x Soal Nomor 2 Diberikan fungsi f(x) = 3 cos x Tentukan nilai dari f ' ( π/2). Pembahasan Perhatikan rumus turunan untuk fungsi trigonometri berikut ini:



f(x) = 3 cos x f '(x) = 3 (−sin x)



f '(x) = −3 sin x Untuk x = π/2 diperoleh nilai f '(x) f '(π/2) = −3 sin ( π/2) = −3 (1) = −3 Soal Nomor 3 Tentukan turunan pertama dari y = −4 sin x Pembahasan y = −4 sin x y' = −4 cos x Soal Nomor 4 Diberikan y = −2 cos x. Tentukan y' Pembahasan y = −2 cos x y' = −2 (−sin x) y' = 2 sin x Soal Nomor 5 Tentukan y' dari y = 4 sin x + 5 cos x Pembahasan y = 4 sin x + 5 cos x y' = 4 (cos x) + 5 (−sin x) y ' = 4 cos x − 5 sin x Soal Nomor 6 Tentukan turunan dari y = 5 cos x − 3 sin x Pembahasan y = 5 cos x − 3 sin x y' = 5 (−sin x) − 3 (cos x) y' = −5 sin x − cos x Soal Nomor 7 Tentukan turunan dari: y = sin (2x + 5) Pembahasan Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk y = sin (2x + 5) y ' = cos (2x + 5) ⋅ 2 ↑ Angka 2 diperoleh dari menurunkan 2x + 5 y' = 2 cos (2x + 5) Soal Nomor 8 Tentukan turunan dari y = cos (3x −1) Pembahasan



Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk y = cos (3x − 1) y ' = − sin (3x −1) ⋅ 3 ↑ Angka 3 diperoleh dari menurunkan 3x − 1 Hasil akhirnya adalah y' = − 3 sin (3x − 1) Soal Nomor 9 Tentukan turunan dari: y = sin2 (2x −1) Pembahasan Turunan berantai: y = sin2 (2x −1) y' = 2 sin 2−1 (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2 y' = 2 sin (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2 y' = 4 sin (2x −1) cos (2x −1) Soal Nomor 10 Diketahui f(x) = sin3 (3 – 2x) Turunan pertama fungsi f adalah f ' maka f '(x) =.... A. 6 sin2 (3 – 2x) cos (3 – 2x) B. 3 sin2 (3 – 2x) cos (3 – 2x) C. –2 sin2 (3 – 2x) cos (3 – 2x) D. –6 sin (3 – 2x) cos (6 – 4x) E. – 3 sin (3 – 2x) sin (6 – 4x) (Soal Ebtanas 2000) Pembahasan f(x) = sin3 (3 – 2x) Turunkan sin3 nya, Turunkan sin (3 – 2x) nya, Turunkan (3 – 2x) nya, Hasilnya dikalikan semua seperti ini: f(x) = sin3 (3 – 2x) f ' (x) = 3 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) ⋅ − 2 f ' (x) = −6 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) Sampai sini sudah selesai, namun di pilihan belum terlihat, diotak-atik lagi pakai bentuk sin 2θ = 2 sin θ cos θ f ' (x) = −6 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ sin (3 – 2x) ⋅ cos (3 − 2x) f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ cos (3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x) |_____________________| ↓ sin 2 (3 − 2x) f ' (x) = −3 sin 2(3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x) f ' (x) = −3 sin (6 – 4x) sin (3 − 2x)



atau: f ' (x) = −3 sin (3 − 2x) sin (6 – 4x) Soal Nomor 11 Diketahui fungsi f(x) = sin2 (2x + 3) dan turunan dari f adalah f ′. Maka f ′(x) = … A. 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3) B. 2 sin (2x + 3) cos (2x + 3) C. sin (2x + 3) cos (2x + 3) D. –2 sin (2x + 3) cos (2x + 3) E. –4 sin (2x + 3) cos (2x + 3) (Ebtanas 1998) Pembahasan Turunan berantai f(x) = sin2 (2x + 3) Turunkan sin2 nya, Turunkan sin (2x + 3) nya, Turunkan (2x + 3) nya. f '(x) = 2 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3) ⋅ 2 f '(x) = 4 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3)