![Ukuran Data (Statistika) [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/ukuran-data-statistika.jpg)
5 0 226 KB
STATISTIK KD: 3.12Mendeskripsikan dan menggunakan berbagai ukuran pemusatan, letak dan penyebaran data sesuai dengan karakteristik datamelaluiaturan dan rumus sertamenafsirkandan mengomunikasikannya. 4.9 Menyajikan dan mengolah data statistik deskriptif kedalam tabel distribusi dan histogram untuk memperjelas dan menyelesaikan masalahyangberkaitan dengan kehidupan nyata.
A. CARA PENYAJIAN DATA TUNGGAL DALAM BENTUK TABEL Diketahui data nilai ulangan matemattika di suatu kelas adalah sebagai berikut: 3, 4, 3, 6, 5, 7, 3, 5, 5, 4, 5, 6, 3, 5, 5, 6, 5 Data tersebut akan disajikan dalam bentuk tabel seperti di bawah ini: Nilai 3 4 5 6 7 Jum
Frekuensi 4 2 7 3 1 17
B. UKURAN PEMUSATAN (DATA TUNGGAL) Ukuran Pemusatan (ukuran tendensi sentral) memberi gambaran bagaimana suatu data itu cenderung memusat ke ukuran atau nilai tertentu. Beberapa ukuran pemusatan yang akan dibahas antara lain adalah ratarata(mean), median, modus, dan kuartil. Berikut akan dibahas ukuran tendensi sentral untuk data tunggal. 1. Mean (Rata-rata). Nilai rata-rata hitung dari data tunggal X1 , X2 , X3 , ... , Xn , dihitung dengan rumus: X X X ... + X n Rata rata = 1 2 3 atau X r = fX n f Xr = rata-rata hitung X1 = data pertama Xn = data ke-n n = banyaknya data Contoh: Tentukan rata-rata hitung dari sekelompok data 4, 6, 7, 8, 10, 10, 11. Jawab: Banyaknya data = n = 7 X r = 4 6 7 8 +10 +10 +11 56 8 7
7
2. Modus dan Median. Modus adalah ukuran yang paling sering muncul. Median adalah nilai tengah dari suatu data yang telah diurutkan menurut besarnya. Nilai tengah atau median dari sekelompok data dapat ditentukan yaitu dengan cara mencari data ke 1 n 1 dari data yang telah diurutkan menurut besarnya. 2
Contoh-1: Tentukan modus dan median dari sekelompok data berikut: 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6. Jawab: Banyaknya data : 19 Modus-nya : 6 Median-nya adalah data ke 1 19 1 = 10 Jadi Mediannya adalah data ke-10 yaitu 5. 2
Contoh-2: Tentukan modus dan median dari sekelompok data berikut: 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7. Jawab: Banyaknya data : 20 Modus-nya : 6 Median-nya adalah data ke 12 20 1 = 10,5 Jadi Mediannya adalah antara data ke-10 dan data ke-11 yaitu
(56) 2
5,5 .
Contoh-3: Tentukan modus dan median dari sekelompok data berikut: 3, 4, 3, 6, 5, 7, 3, 5, 5, 4, 5, 6, 3, 5, 5, 6, 5 Nilai 3 4 5 6 7 Jum
Frek. 4 2 7 3 1 17
Data ke1,2,3,4 5,6 7,8,9,10,11,12,13 14,15,16 17
Tabel frekuensi di atas jika dijabarkan adalah: 3,3,3,3,4,4,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,7 C. UKURAN LETAK (DATA TUNGGAL) 1. Kuartil. Suatu data yang telah disusun menurut besarnya dibagi menjadi empat bagian yang sama banyaknya, maka bilangan pembagiannya disebut Kuartil (Quartil). Ada tiga kuartil yaitu kuartil pertama(Q1), kuartil ke-dua (Q2), dan kuartil ke-tiga(Q3). Keterangan: ¼ bagian ¼ bagian ¼ bagian ¼ bagian X1 Q1 Q2 Q3 Xn X1 = data terkecil (statistik minimum) Q1 = kuartil pertama Q2 = kuartil ke-dua Q3 = kuartil ke-tiga Xn = data terbesar (statistik maksimum) Letak kuartil ditentukan oleh rumus perkiraan: Q1 = data ke: 1 ( n 1) 4 2 Q2 = data ke: ( n 1) 4 Q3 = data ke: 3 ( n 1) 4 Contoh-1: Tentukan kuartil-kuartil dari sekelompok data berikut: 1, 3, 6, 9, 14, 18, 21. Jawab: Cara I (pembagian langsung) 1, 3, 6, 9, 14, 18, 21. Q2 Q3 Q1 Cara II (menggunakan rumus perkiraan) Q1 = data ke: 1 (n 1) = data ke: 1 (7 1) = data ke: 2, yaitu 3. Q2 = data ke: Q3 = data ke:
4 2 ( n 1) 4 3 ( n 1) 4
= data ke: = data ke:
4 2 (7 1) = 4 3 (7 1) = 4
data ke: 4, yaitu 9. data ke: 6, yaitu 18.
Contoh-2: Tentukan kuartil-kuartil dari sekelompok data berikut: Nilai 3 4 5 6 7 8 Jum
Matematika by Drs. ASIS
Frek. 2 3 10 5 2 3 25
Data ke1–2 3–5 6 – 15 16 – 20 11 – 22 23 – 25
Hal - 2
2. Desil. Suatu data yang telah disusun menurut besarnya dibagi menjadi sepuluh bagian yang sama banyaknya, maka bilangan pembagiannya disebut Desil. Ada sembilan desil yaitu desil pertama(D1), desil ke-dua (D2), desil ke-tiga(D3) ... , desil ke-sembilan (D9). 1 bag 10
1 bag 10
1 bag 10
1 bag 10
1 bag 10
X1 D1 D2 D3 D4 Keterangan: X1 = data terkecil (statistik minimum) D1 = desil pertama D2 = desil ke-dua D3 = desil ke-tiga ....... D3 = desil ke-sembilan Xn = data terbesar (statistik maksimum)
1 bag 10
D5
1 bag 10
D6
1 bag 10
D7
1 bag 10
D8
1 bag 10
D9
Xn
Letak desil ditentukan oleh rumus perkiraan: D i data ke : 10i ( n 1) Keterangan: Di : data ke-i i : 1, 2, 3, ..., 9. 3. Persentil. Suatu data yang telah disusun menurut besarnya dibagi menjadi seratus bagian yang sama banyaknya, maka bilangan pembagiannya disebut Persentil. Letak desil ditentukan oleh rumus perkiraan: i ( n 1) Pi data ke : 100 Keterangan: Pi : data ke-i i : 1, 2, 3, ..., 99. Latihan 1 01. Tentukan rata-rata (mean), modus dan kuartil dari data: a. 4, 5, 11, 7, 8, 7, 9, 10. d. 10, 8, 7, 6, 6, 9, 8, 7, 6, 10, 6. b. 3, 5, 7, 10, 13, 2, 1. e. 10, 11, 14, 18, 20, 21, 11, 13, 11. c. 8, 9, 13, 13, 17, 18, 20. f. 9, 8, 7, 15, 20, 30, 8, 7, 9, 15, 20, 7. 02. Tentukan nilai rata-rata (mean) dan median dari sekumpulan nilai seperti berikut: a. b. Nilai 3 4 5 6 7 Jum
Frek. 4 2 7 3 1 17
f.x
03. Tentukan kuartil dari sekumpulan nilai seperti berikut: a. b. Nilai 3 4 5 6 7 8 Jum
Frek. 2 4 3 14 20 9 52
Nilai 7 8 9 10 Jum
Frek. 5 4 9 2 20
Nilai 3 4 5 6 7 8 Jum
Frek. 2 3 10 5 2 3 25
f.x
04. Diketahui nilai ulangan dari 10 siswa adalah: 2 siswa mendapat nilai 5; 4 siswa mendapat nilai 7; 3 siswa mendapat nilai 4 1 , dan 1 siswa mendapat nilai 6. Berapa nilai rata-rata dari 10 siswa tersebut. 2
05. Nilai rata-rata Matematika dari 34 siswa adalah 49. Jika Nilai Si Agus yang baru ikut susulan digabungkan dengan kelompok itu maka nilai rata-ratanya menjadi 50. Berapa nilai ulangan yang diperoleh Si Agus. 06. Nilai rata-rata hasil ulangan Matematika sebanyak 42 siswa adalah 6. Jika nilai dua orang siswa yang nyontek tidak disertakan dalam perhitungan, maka rata-rata menjadi 6,25. Berapa nilai ulangan kedua siswa tersebut.
Matematika by Drs. ASIS
Hal - 3
D. UKURAN PENYEBARAN (DATA TUNGGAL) Data dari suatu pengukuran selain memiliki kecenderungan memusat, juga memiliki kecenderungan mencapai nilai yang berbeda. Hal ini disebut kecenderungan memencar. 1. Jangkauan Jangkauan (Range) dari sekumpulan data adalah selisih data terbesar dan terkecil. Rumus: R x n x 1 2. Jangkauan Antar Kuartil (Hamparan) Rumus H Q 3 Q1 3. Simpangan Kuartil (Jangkauan Semi Inter Kuartil) Rumus Q d 1 Q 3 Q1 2
4. Langkah.
Rumus L 1 1 Q3 Q1 2
5. Pencilan (Outlier) Nilai yang letaknya satu langkah di bawah Q1 dinamakan pagar dalam (PD = Q1 – L). Adapun nilai yang letaknya satu langkah di atas Q3 dinamakan pagar luar (PL = Q3 + L). Semua data yang nilainya kurang dari pagar dalam atau lebih dari pagar luar disebut pencilan. Pencilan adalah datum yang memiliki karakteristik berbeda dari datum lainnya. Dapat dikatakan bahwa pencilan merupakan datum yang tidak konsisten dalam kumpulan data. 6. Simpangan Rata-rata (Deviasi rata-rata) data tunggal Dari contoh-contoh sebelumnya tampak bahwa penyebaran dari sekumpulan bilangan itu kecil bila bilangan-bilangan itu ada di sekitar rata-rata hitungnya, sedangkan penyebaran itu besar bila bilanganbilangan itu (atau beberapa) terletak jauh dari rata-rata hitungnya. Besarnya kenyataannya demikian kita dapat mendefinisikan penyebaran itu terhadap simpangan bilangan-bilangan itu dari rata-rata hitungnya. Misalkan bilangan itu: x1, x2, x3, ... , xn dan rata-rata hitungnya adalah xr . Maka simpangan rata-ratanya (Deviasi Rata-ratanya)adalah: n
SR
|x i x r |
| x 1 x r | | x 2 x r | | x 3 x r | .... | x n x r | i 1 n n
Jadi rumus Simpangan Rata-rata (Deviasi Rata-rata) data tunggal adalah: n
SR
xi xr
SR i 1
n
SR = Simpangan Rata-rata xi = data tunggal xr = rata-rata hitung S = Selisih antara data dan rata-rata n = banyaknya data
S n
SR = Simpangan Rata-rata S = Selisih antara data dan rata-rata n = banyaknya data
7. Simpangan Baku (Deviasi Standar) data tunggal Rata-rata simpangan diperoleh setelah kita menghindarkan tanda negatif, yaitu diambil hanya harga mutlaknya. Cara lain untuk menghindarkan tanda negatif ini ialah dengan cara mengkuadratkan. Simpangan setiap bilangan dari rata-rata hitungnya dikuadratkan, kemudian dihitung rata-rata, dan akhirnya dicari akarnya. Pendapatan terakhir disebut simpangan baku (Deviasi Standar). Rumus Simpangan Baku (Deviasi Standar) data tunggal: n
x i x r
SB
2 SB S
2
n
i 1
Matematika by Drs. ASIS
n
Hal - 4
Contoh: Hitunglah deviasi rata-rata dari data: 2, 3, 4, 5, 6. Jawab: xr = 2 3 4 5 6 20 4 5
Nilai 2 3 4 5 6
5
S 2 1 0 1 2 S=6
S2 4 1 0 1 4 S2 = 10
Jadi Simpangan Rata-ratanya (Deviasi Rata-ratanya) adalah: SR
S n
,
SR 6 1,20 5
Jadi Simpangan Bakunya (Deviasi Standarnya) adalah: SB
S2 , n
SB 10 2 5
Latihan 3 01. Tentukan simpangan rata-rata dan simpangan baku data berikut: a. 2, 4, 7, 6, 8, 8, 3, 2 b. 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 3 c. 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 12, 13, 6 d. 12,14,15,15,17,17,13,12, 9, 11, 15, 18 02. Tentukan simpangan rata-rata dan simpangan baku data berikut: a. b. Skor 2 4 6 8 10 Jumlah
Frekuensi 2 3 5 3 2
Skor 1 2 3 4 5 6 7 8 Jumlah
Frekuensi 2 4 5 6 5 2 2 1
E. CARA PENYAJIAN DATA KELOMPOK DALAM BENTUK TABEL Dalam membuat tabel distribusi frekuensi untuk data terkelompok ada beberapa hal yang perlu dijelaskan. 1) Interval kelas Interval merupakan bagian-bagian (selang) dari data-data yang telah dikelompokkan. Pada contoh-3 terdapat lima interval kelas diantaranya 160 – 164, 165 – 169 dan tiga interval yang lain. Coba sebutkan interval yang lain. 2) Batas bawah dan batas atas Perhatikan interval-interval pada contoh-3. Interval-interval tersebut dibatasi oleh dua bilangan yang merupakan batas dari interval. Bilangan di sebelah kiri setiap interval disebut batas bawah dan bilangan di sebelah kanan interval disebut batas atas. Pada interval 160 – 164 misalnya, 160 disebut batas bawah dan 164 disebut batas atas. Jelaskan batas atas dan batas bawah dengan kata-kata kalian sendiri. 3) Tepi bawah dan tepi atas Dalam menganalisis data, kita menggunakan tingkat ketelitian. Misalnya kita menggunakan data bilangan bulat, maka tingkat ketelitian yang digunakan adalah 0,5. Kurangkan bilangan 0,5 ini pada ujung bawah dari setiap interval. Berapakah nilai-nilai yang kalian peroleh? Nilai-nilai tersebut merupakan tepi bawah dari setiap interval. Dengan cara yang sama, tentukan tepi atas tiap-tiap interval. Jika data yang digunakan adalah desimal persepuluh, maka tingkat ketelitian yang digunakan adalah 0,05. Begitu seterusnya. 4) Titik tengah Titik tengah merupakan nilai tengah masing-masing interval. Perhatikan interval 160 – 164 pada contoh3 Berapa titik tengahnya? Berapa nilai titik tengah interval-interval yang lain? Dengan kata-kata kalian sendiri, jelaskan definisi titik tengah. LANGKAH-LANGKAH PENYUSUNAN TABEL Contoh-4: Perhatikan data tentang hasil tes matematika dari 80 siswa di SMA Mitreka Eka Praya berikut. 70 73 93 40 56 78 89 67 60 85 35 55 42 76 88 78 75 65 45 47 87 45 43 85 90 88 70 68 79 54 76 77 45 49 76 80 95 84 37 58 77 88 65 44 54 76 89 65 87 80 56 87 89 67 90 76 45 76 56 87 88 67 45 65 78 85 89 72 74 76 56 67 89 76 34 35 87 87 56 88
Matematika by Drs. ASIS
Hal - 5
1) Menentukan nilai rentang (Jangkauan) Pada table di atas, berapa data yang terkecil? Berapa data terbesar? Selisih kedua data tersebut merupakan nilai rentang atau jangkauan. Jangkauan data terbesar dikurangi data terkecil. Jadi Jangkauan: 95 – 34 = 61. 2) Menentukan banyaknya kelas Untuk menentukan banyaknya kelas, digunakan aturan Sturges sebagai berikut. K 1 3,3. log n K : banyaknya kelas n : banyaknya data Dari daftar diperoleh banyaknya data adalah 80, maka: K 1 3,3. log 80 K 1 3,3.(1,90309) K 7,280197 K 7 atau 8 Jelaskan mengapa nilai K harus bilangan bulat? 3) Menentukan panjang kelas Misalkan kita mempunyai sebuah tali yang jika direntangkan panjangnya 61 m. Tali tersebut kita potongpotong menjadi 7 interval yang panjangnya sama. Berapa panjang masing-masing interval tali? Dari uraian ini, kita dapat merumuskan: panjang kelas
Jangkauan banyaknya kelas
Dari data diperoleh: p 61 8,714 7 Karena datanya bilangan bulat, maka p= 9. Bagaimana jika datanya dalam bilangan desimal persepuluhan, perseratusan, dan seterusnya? Bagaimana aturan pembulatannya? 4) Menentukan ujung bawah interval pertama Batas bawah interval pertama dapat diambil dari data yang terkecil atau bilangan yang lebih kecil lagi. Jadi, sekumpulan data dapat dibuat lebih dari satu tabel distribusi frekuensi. Perhatikan bahwa semua data harus termuat dalam interval-interval kelas yang dibuat. Diketahui data terkecil 34 dan data terbesar 95, banyaknya kelas ada 7, panjang kelas 9, maka rentang adalah 63. Jika pada interval pertama menggunakan batas bawah 34, maka batas atas pada interval terakhir adalah 34 + (7x9) – 1 = 96. Jika pada interval pertama menggunakan batas bawah 33, maka batas atas pada interval terakhir adalah 95. 5) Menyusun tabel distribusi
Interval 34 – 42 43 – 51 52 – 60 61 – 69 70 – 78 79 – 87 88 – 96
Matematika by Drs. ASIS
Frekuensi
Interval 33 – 41 42 – 50 51 – 59 60 – 68 69 – 77 78 – 86 87 – 95
Hal - 6
Frekuensi
F. UKURAN PEMUSATAN (DATA KELOMPOK) 1. Rata-rata hitung Data Berkelompok. Untuk menentukan nilai rata-rata hitung dari data kelompok, ada 3 metode yang biasa digunakan yaitu metode biasa, metode simpangan rata-rata, dan metode Coding. a. Metode Biasa Jika telah terbentuk distribusi frekuensi biasa, dengan fi adalah frekuensi pada interval kelas ke-i, xi adalah titik tengah interval kelas ke-i, maka rata-rata hitung (Xr) ditentukan oleh rumus: f.x Rat = dengan fx = n
n
Contoh 1: Data tinggi badan 50 siswa SMA-TUREN, pengukuran dicatat dalam satuan sentimeter, yaitu berbentuk tabel sebagai berikut: Tinggi (cm) 140 - 144 145 - 149 150 - 154 155 - 159 160 - 164 165 - 169 170 - 174
Frekuensi (f) 2 4 10 14 12 5 3 = f 50
Titik tengah (x) 142 147 152 157 162 167 172
f.x 284 588 1520 2198 1944 835 516 f.x = 7885
Rat =
f.x 7885 = = 157,70 n 50
b. Metode Simpangan Rata-rata Untuk nilai rata-rata sementara dapat dibuat dengan memilih titik tengah yang mempunyai frekuensi terbanyak. Untuk menentukan nilai rata-rata sementara dapat digunakan rumus:
Rat = Rs + f.d n
Rs = Rata-rata sementara (titik tengah kelas yang mempunyai frekuensi tertinggi) d = selisih antara titik tengah masing-masing kelas dengan rata-rata sementara (x – Rs) x = titik tengah interval kelas f = frekuensi kelas n = banyaknya data Contoh 2: Data tinggi badan 50 siswa SMA-TUREN, pengukuran dicatat dalam satuan sentimeter, yaitu berbentuk tabel sebagai berikut: Tinggi (cm) 140 – 144 145 – 149 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 – 174
Frekuensi (f) 2 4 10 14 12 5 3 = f 50
Rat = Rs + f.d n
Titik tengah (x) 142 147 152 157 162 167 172
Rat = 157 + 35
50
d = x - Rs - 15 - 10 -5 0 5 10 15
f.d - 30 - 40 - 50 0 60 50 45 f.d = 35
Rat = 157 + 0,70 157,70
c. Metode Coding Rata-rata Sementara Metode coding merupakan metode terakhir yang sering digunakan dalam menghitung rata-rata hitung dari data berkelompok. Metode ini dering digunakan apabila kita menjumpai bilangan-bilangan dalam data yang berupa bilangan-bilangan besar. Untuk menentukan nilai rata-rata sementara dapat digunakan langkah-langkah: 1. Menentukan rataan sementaranya. 2. Menentukan simpangan (u) dari rataan sementara. 3. Menghitung simpangan rataan. 4. Menghitung rataan sesungguhnya, dengan rumus berikut: Rat = Rs + p. f.u n Rs = Rata-rata sementara (titik tengah kelas yang mempunyai frekuensi tertinggi) p = panjang kelas f = frekuensi n = banyaknya data
Matematika by Drs. ASIS
Hal - 7
u = x -pRs Contoh-3: Data tinggi badan 50 siswa SMA-TUREN, pengukuran dicatat dalam satuan sentimeter, yaitu berbentuk tabel sebagai berikut: Tinggi (cm) 140 – 144 145 - 149 150 - 154 155 - 159 160 - 164 165 - 169 170 - 174
Frekuensi (f) 2 4 10 14 12 5 3 n = 50
Titik Tengah (x) 142 147 152 157 162 167 172
u=
x - Rs p
f.u
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6 -8 - 10 0 12 10 9 f.u = 7
n
Rat = Rs + p. f.u = 157 + 5 . 7 = 157 + 35 157 + 0,70 157,70 50
50
Contoh-4: Data berat badan 50 siswa SMA-TUREN, pengukuran dicatat dalam satuan kg, yaitu berbentuk tabel sebagai berikut: Nilai 61 – 65 66 – 70 71 – 75 76 – 80 81 – 85 86 – 90 91 – 95 Jumlah
f 2 5 10 20 6 5 2 50
u -3 -2 -1 0 1 2 3
f.u -6 -10 -10 0 6 10 6 -4
Nilai 61 – 65 66 – 70 71 – 75 76 – 80 81 – 85 86 – 90 91 – 95 Jumlah
f 2 5 10 20 6 5 2 50
u -2 -1 0 1 2 3 4
f.u -4 -5 0 20 12 15 8 46
(-4) Rat = Rs + p. f.u = 78 + 5 . = 78 - 0,4 77,6 50 n
Rat = Rs + p. f.u = 73 + 5 . 46 = 73 4,6 77,6 50 n
2. Modus dari Data Berkelompok Modus dari data berkelompok tidak dapat ditentukan dengan mudah, hanya dapat diperkirakan saja dari kelas interval frekuensi paling tinggi.
Perhatikan ilustrasi diatas, terlihat bahwa ∆ ABG sebangun dengan ∆ DCG, dan panjang AB d1 ; CD d 2 ; EG x ; FG k x . Secara geometri dari kesebangunan di atas berlaku perbandingan berikut ini;
Matematika by Drs. ASIS
Hal - 8
Pendekatan modus dirumuskan sebagai berikut: d1 Mo = Tb + p. d1 d2 Mo = Modus data berkelompok Tb = Tepi bawah kelas modus p = panjang interval kelas d1 = selisih frekuensi Modus dengan frekuensi sebelumnya d2 = selisih frekuensi Modus dengan frekuensi sesudahnya Contoh: Data tinggi badan 50 siswa SMA-TUREN, pengukuran dicatat dalam satuan sentimeter, yaitu berbentuk tabel sebagai berikut: Tinggi (cm) Frekuensi (f) Dari tabel di atas diperoleh: 140 - 144 2 Kelas modus adalah (155 - 159) karena mempunyai frekuensi 145 - 149 4 tertinggi, yaitu 14. 150 - 154 10 Tb = 155 - 0,5 = 154,5 155 - 159 14 p = 144,5 - 139,5 = 5 160 164 12 d1 = 4 165 169 5 d2 = 2 170 174 3 d1 Mo = Tb + p. f = n =50 d1 d2
4 2
Mo = 154,5 + 5. 4 Mo = 154,5+ 20 6
Mo = .......... 3. Kuartil Data Berkelompok Jika sekelompok data telah tersusun dalam distribusi frekuensi, maka kuartil bawah, kuartil tengah (median), dan kuartil atas ditentukan oleh rumus: 1 n F 3 n F 2 n F 4 4 Q 1 = Tb + p. Q 2 = Tb + p. Q 3 = Tb + p. 4 f f f Keterangan: Q1 = kuartil bawah, Q2 = kuartil tengah(median) Q3 = kuartil atas Tb = tepi bawah kelas kuartil p = panjang interval kelas n = jumlah data F = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil f = frekuensi kelas kuartil Contoh: Tentukan kuartil bawah (Q1 ), kuartil tengah(median) (Q2 ), dan kuartil atas(Q3 ) pada tabel berikut ini: Tinggi (cm) f (frekuensi) 140 - 144 2 145 - 149 4 150 - 154 10 155 - 159 14 160 - 164 12 165 - 169 5 170 - 174 3 50 Jumlah
Matematika by Drs. ASIS
Hal - 9
Jawab: Q1 = data ke: 1 (n 1) = data ke: 1 (50 1) = data ke: 12,25 (terletak pada: 150 - 154) Q2 = data ke: Q3 = data ke:
4 2 ( n 1) 4 3 ( n 1) 4
= data ke: = data ke:
4 2 (50 1) = 4 3 (50 1) = 4
data ke: 25,50 (terletak pada: 155 - 159) data ke: 37,75 (terletak pada: 160 - 164)
Kuartil bawah: Tb = 149,5 p=5 n = 50 F=6 f = 10 1 n F 1 50 6 = 149,5 + 3,25 = 152,75 4 Q 1 = Tb + p. Q 1 = 149,5 + 5. 4 f 10 Kuartil tengah (median): Tb = 154,5 p=5 n = 50 F = 16 f = 14 2 n F 2 50 16 = 154,5 + 3,21 = 157,71 Q 2 = Tb + p. 4 Q 2 = 154,5 + 5. 4 f 14 Kuartil atas: Tb = 159,5 p=5 n = 50 F = 30 f = 12 3 n F 3 50 30 = 159,5 + 3,12 = 162,62 4 Q 3 = Tb + p. Q 3 = 159,5 + 5. 4 f 12 Latihan 2 01. Tabel berikut adalah data meter listrik yang digunakan praktek dalam suatu bengkel sekolah. Hitunglah ratarata data tersebut. Meter Frekuensi 41 – 45 46 – 50 51 – 55 56 – 60 Jumlah
2 3 4 1
02. Tabel berikut adalah data diameter pipa besi (dalam cm) dalam suatu bengkel sekolah. Hitunglah rata-rata data tersebut. Diameter Frekuensi 4–5 6–9 10 – 12 13 – 15 16 – 18 Jumlah
1 2 3 2 1
03. Tabel berikut adalah data berat badan siswa SMA Turen yang ikut kegiatan ekstrakurikuler beladiri. Hitunglah rata-rata data tersebut. Diameter Frekuensi 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 Jumlah
16 17 25 22 20
Matematika by Drs. ASIS
Hal - 10
04. Tabel berikut adalah data jumlah liter bahan bakar yang digunakan praktek di bengkel SMA Turen. Hitunglah modus data tersebut. Liter 31 – 33 34 – 36 37 – 39 40 – 42 43 – 45 46 – 48 Jumlah
Frekuensi 12 14 17 20 16 11
05. Tabel berikut adalah data banyak produksi madu (per liter) tiap peternak di desa Kedok Kidul Turen. Hitunglah modus data tersebut. Liter 3–5 6–8 9 – 11 12 – 14 15 – 17 18 – 20 Jumlah
Frekuensi 5 7 8 12 10 7
06. Tabel berikut adalah data tinggi (dalam cm) permukaan air sungai di desa Talangsuko Turen. Hitunglah modus data tersebut. Liter 3–5 6–8 9 – 11 12 – 14 15 – 17 18 – 20
Frekuensi 5 7 8 12 10 7
Jumlah
07. Tabel berikut adalah data kecepatan kendaraan bermotor (dalam km/jam) di suatu kota. Hitunglah kuartil bawah (Q1), median (Q2), dan kuartil atas (Q3) data tersebut. Kecepatan 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94 Jumlah
Frekuensi 5 6 7 9 10 8 6 5 4
08. Diketahui tabel nilai dari 30 siswa sebagai berikut: Tentukan: Nilai frekuensi a. rata-rata, kuartil bawah, tengah, dan atas. 1–5 4 b. modus tabel tersebut terletak pada kelas mana? 6 – 10 15 11 – 15 7 . 16 – 20 21 – 25 Jumlah
Matematika by Drs. ASIS
3 1 30
Hal - 11
G. UKURAN PENYEBARAN (DATA KELOMPOK) Data dari suatu pengukuran selain memiliki kecenderungan memusat, juga memiliki kecenderungan mencapai nilai yang berbeda. Hal ini disebut kecenderungan memencar. 1. Simpangan Rata-rata (Deviasi rata-rata) data kelompok Kita sudah mengetahui bahwa rumus rata-rata hitung data kelompok dapat diturunkan dari rumus untuk data tunggal. Sama halnya dengan rumus deviasi rata-rata data kelompok dapat diturunkan dari data tunggal. Jadi rumus Simpangan Rata-rata (Deviasi Rata-rata) data kelompok adalah: k
SR
x i x r .f i
SR i 1
(S.f ) n
S = Selisih antara titik tengah dan rata-rata n = banyaknya data f = frekuensi
n
xi = data tunggal xr = rata-rata hitung n = banyaknya data k = banyaknya kelas fi = frekuensi kelas ke I
2. Simpangan Baku (Deviasi Standar) data kelompok Rumus devisi standar data kelompok diperoleh dari rumus deviasi standar data tunggal dengan anggapan bilangan-bilangan pada setiap interval kelas itu berkumpul pada titik tengah kelasnya masing-masing. Rumus Simpangan Baku (Deviasi Standar) data kelompok: n
x i x r 2 .f i
SR
i 1
SB
n
(S2 .f ) n
Contoh: Hitunglah simpangan rata-rata (deviasi rata-rata) simpangan Baku (deviasi standar) dari: Tinggi frekuensi 145 - 149 3 150 - 154 5 155 - 159 17 160 - 164 23 165 - 169 2 Jumlah 50 Jawab: Tinggi f 145 - 149 3 150 - 154 5 155 - 159 17 160 - 164 23 165 - 169 2 Jumlah 50 Rata-ratanya = xr =158,6
x 147 152 157 162 167
Simpangan Rata-rata = SR
Simpangan Baku = SB
S 11,6 6,6 1,6 3,4 8,4
(S.f ) 190 = n 50
(S 2 .f ) = n
S.f 34,8 33,0 27,2 78,2 16,8 190,0
frekuensi 2 3 4 1
Matematika by Drs. ASIS
S2 . f
38 ,
................ ....... ........ 50
Latihan 3 01. Tentukan simpangan rata-rata dan simpangan baku data tersebut. a. b. Nilai 41 – 45 46 – 50 51 – 55 56 – 60 Jumlah
S2
Diameter (cm) 4–5 7–9 10 – 12 13 – 14 16 – 18 Jumlah
Hal - 12
Frekuensi 1 2 3 3 1
c.
Nilai 45 - 49 50 - 54 55 - 59 60 - 64 65 - 69 70 - 74 Jumlah
Frekuensi 8 10 16 24 20 12 90
Latihan Khusus 1 01. Tabel berat badan 50 siswa adalah sebagai berikut. Simpangan kuartilnya sama dengan ... A. 6,00 kg B. 5,13 kg C. 3,50 kg D. 3,00 kg E. 2,57 kg
Berat Badan ( kg ) 50 - 52 53 - 55 56 - 57 58 - 61 62 - 64
02. Tabel berikut menunjukkan 100 buah pipa yang diukur diameternya. Jika rata-rata sementara adalah 167, maka diameter rata-rata dari semua pipa itu adalah ... A. 166,25 B. 166,50 C. 166,75 D. 167,00 E. 167,25
Banyaknya Siswa (f) 5 17 14 10 4
Diameter 150 - 154 155 - 159 160 - 164 165 - 169 170 - 174 175 - 179 180 - 184
x 152 157 162 167 172 177 182
f 3 7 22 40 18 8 2 100
03. Diketahui simpangan kuartil dari sekelompok data tunggal adalah 12,5 dan salah satu kuartilnya 42. Maka kuartil lainnya adalah ... A. -29,5 atau 20,5 B. -19 atau 31 C. 17 atau 67 D. 29,5 atau 79,5
E. 54,5 atau 104,5
04. Simpangan baku dari data: 5, 3, 7, 6, 4, 3, 10, 2 adalah ... B. 2 3 C. 3 2 A. 3
E.
05. Dari histogram di bawah ini, modusnya adalah .. A. 162,5 B. 162,9 C. 163,3 D. 163,7 E. 164,1
D.
6
1 6
6
Frekuensi 43 27 19
7 4 149,5
154,9
159,5
164,5
06. Diketahui tiga buah bilangan, yang terbesar 75 dan terkecil 39. Rata-rata hitung ketiga bilangan tersebut tidak mungkin sama dengan ... A. 60 B. 59 C. 53 D. 52
169,5
Tinggi
yang
E. 49
07. Jika dari data 4, 6, 6, 7, 8, dan 8, diambil rata-rata sementaranya 6, maka rata-rata simpangannya adalah ... B. 1 C. 1 D. 1 E. 1 1 A. 1 2
3
3
6
2
08. Diketahui nilai rata-rata PPKn kelas IPA-3 adalah 8,5 dan nilai rata-rata kelas BHS-1 adalah 6,5. Perbandingan jumlah siswa kelas IPA-3 : BHS-1 = 5 : 4. Nilai rata-rata gabungan kelas IPA-3 dan BHS-1 adalah ... A. 7,6 B. 7,7 C. 7,8 D. 7,9 E. 8,0 09. Hasil tes penerimaan calon pegawai suatu instansi dapat dilihat pada daftar berikut: Yang dinyatakan lulus dan dapat diterima adalah mereka yang memperoleh nilai 70 ke atas. Persentase yang dapat diterima dari semua calon tersebut adalah ... A. 10 % D. 55 % B. 25% E. 76,25 % C. 33,3 % 10. Ditentukan data A = 5, 8, 10, 12, 15 dan data B = 2, x, 6, 7. Jika nilai rata-rata data A dua kali rata-rata data B, maka x sama dengan ... A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 11. Kuartil bawah distribusi berikut ini bila dibulatkan adalah ... A. 49 B. 50 C. 51 D. 52 E. 53
Nilai 50 - 54 55 - 59 60 - 64 65 - 69 70 - 74 75 - 79 80 - 84 85 - 89 Nilai 15 - 24 25 - 34 E. 35 - 44 45 - 54 55 - 64 65 - 74 75 - 84
10
f 30 65 85 120 60 25 10 5 Frekuensi 1 3 11 21 43 32 9
12. Jika sekelompok data yang rata-ratanya 11 ditambah data baru yang besarnya 29 hingga rata-ratanya menjadi Matematika by Drs. ASIS
Hal - 13
13, maka banyaknya data semula adalah ... A. 4 B. 5 C. 6
D. 7
E. 8
13. Diketahui data sebagai berikut. Seorang siswa dinyatakan lulus jika nilai ujiannya lebih dari nilai rata-rata dikurangi satu. Banyaknya siswa yang lulus adalah ... A. 20 siswa D. 40 siswa B. 23 siswa E. 52 siswa C. 38 siswa 14. Dari data berikut ini, rata-rata hitung dan mediannya adalah ... A. 165,25 dan 167,03 B. 165,50 dan 167,05 C. 165,75 dan 167,13 D. 167 dan 167,13 E. 167 dan 172
Tinggi 165 - 159 160 - 164 165 - 169 170 - 174 175 - 179
15. Banyaknya siswa yang mendapatkan nilai 40 atau kurang adalah ... A. 16 orang B. 18 orang C. 41 orang D. 59 orang E. 62 orang
Nilai 3 4 5 6 7 8 9
f 3 7 19 9 2
Nilai 1 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50
Frekuensi 3 5 12 17 14 6 3
Frekuensi 7 9 41 2 21
Latihan Khusus 2 01. Tinggi siswa suatu kelas ditunjukkan pada tabel seperti berikut. Rata-ratanya adalah .... A. 169 cm Tinggi (cm) Frekuensi (f) B. 168 cm 150 – 154 3 C. 166,76 cm 155 – 159 7 D. 166,7 cm 160 – 164 22 E. 166 cm 165 – 169 40 170 – 174 175 – 179 180 – 184
18 8 2
02. Nilai matematika di suatu kelas ditunjukkan pada tabel berikut. Nilai rata-ratanya adalah .... Nilai 61 – 65 66 – 70 71 – 75 76 – 80 81 – 85 86 – 90 91 – 95
f 2 5 10 20 6 5 2
A. B. C. D. E.
73,25 73,2 73,4 73 72
03. Persentase paku yang tidak baik dari hasil pengujian terdapat data sebagai berikut: 2%, 5%, 8%, 5%, 4%, 3%, 3%, 5%, 2%, 7%, 7%, 8%, 9%, 9%. Nilai rata-rata(%) paku yang tidak baik dari bermacam-macam paku tersebut adalah .... A. 5,0 B. 5,5 C, 6,5 D. 7,5 E. 8 04. Nilai rata-rata diameter () baut 12,5 mm, sedangkan nilai rata-rata diameter () mur 12 mm. Perbandingan jumlah baut dan mur adalah 2 : 1. Maka nilai rata-rata baut dan mur adalah .... A. 11,33 mm B. 12 mm C. 12,2 mm D. 12,33 mm E. 12,5 mm 05. Dari banyaknya siswa SMA pada masing-masing jurusan ditunjukkan dalam tabel sebagai berikut: Jika data tersebut ditunjukkan dengan diagram lingkaran, jurusan No. Jurusan Jumlah bangunan digambarkan dengan juring bersudut .... 1 Bangunan 40 A. 45o 2 Mekanik Umum 50 B. 50o 3 Mekanik Otomoti 60 C. 55o 4 IPS Instalasi 45 D. 57,6o 5 Elektronika 55 E. 62,5o
Matematika by Drs. ASIS
Hal - 14
06. Data hasil ulangan pada mata pelajaran matematika dan fisika adalah sebagai berikut: Nilai Matematika Fisika
1 0 0
2 1 0
3 5 4
4 3 2
5 12 10
6 10 13
7 8 10
8 7 5
9 4 6
Nilai rata-rata matematika dan fisika adalah .... A. 6,15 dan 7 B. 6,25 dan 7,14 C. 5,55 dan 5,55
D. 6,20 dan 7,30
E. 6 dan 7
07. Rata-rata tinggi siswa pada tabel berikut adalah .... A. 160 cm Tinggi Jumlah B. 150 cm 145 6 C. 155 cm 150 15 D. 155,5 cm 155 10 E. 165 cm 160 165 170 175
13 4 2 0
Latihan Khusus 3 01. Tinggi rata-rata dari 15 anak adalah 162 cm, setelah ditambah 5 anak tinggi rata-rata menjadi 166 cm. Tinggi rata-rata 5 anak tersebut adalah .... A. 168 cm B. 172 cm C. 178 cm D. 179 cm E. 182 cm 02. Simpangan baku (SD) dari data: 2, 11, 1, 10, 3, 9 adalah .... A. 5
3
6
B. 5
3
3
C. 5 6
D. 5
6
3
3
03. Tinggi badan 40 orang anggota PMR suatu SMA disajikan pada tabel berikut ini: Maka rata-rata dari data ini adalah .... A. 145,87 B. 153,87 C. 163,88 D. 173,84 E. 183,179
E. 6
Tinggi 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 – 174 175 – 179
Frekuensi 3 4 16 10 6 1
04. Untuk menentukan rata-rata kekuatan nyala lampu listrik, dicoba menyalakan 30 buah lampu listrik dan diperoleh data sebagai berikut: Kekuatan nyala lampu listrik (hari) 45 46 47 48 49 50 51 52 53 Banyaknya lampu 1 4 3 3 2 7 5 2 3 Median dari data di atas adalah .... A. 47 hari B. 48 hari C. 50 hari D. 51 hari E. 52 hari Jumlah sumbangan (Rp.) 2.500 5.000 7.500 10.000 15.000
05. Daftar sumbangan warga di suatu daerah dalam rangka peringatan HUT RI ditunjukkan pada tabel di samping. Rata-rata sumbangan warga adalah .... A. Rp. 7.500,00 B. Rp. 8.000,00 C. Rp. 8.500,00 D. Rp. 9.000,00 E. Rp. 9.500,00
Banyaknya warga 4 3 4 2 7
06. Simpangan baku dari sekelompok data tunggal: 3, 6, 4, 7, 5 adalah .... A. 1
2
B. 1
2
2
C. 1
2
07. Diagram batang di samping ini menggambarkan kondisi lulusan dari suatu SMA dari tahun 1992 sampai dengan tahun 1996. Banyak lulusan yang tidak menganggur selama tahun 1992 sampai dengan tahun 1995 adalah .... A. 175 orang B. 875 orang C. 1.050 orang D. 1.225 orang E. 1.300 orang
Matematika by Drs. ASIS
Hal - 15
3
D. 250 225 200 175 150 125 100 75 50 25 0 1992
E.
2
3
Bekerja Melanjutkan Nganggur
1993
1994
1995
1996
08. Perhatikan tabel berikut. Jika rata-rata data sama dengan 7, maka x adalah .... A. 18 B. 16 C. 12 D. 10 E. 7 09. Hasil pengukuran panjang potongan besi Disajikan pada tabel di samping. Modus dari data tersebut adalah A. 116,00 cm D. 117,75 cm B. 116,50 cm E. 118,00 cm C. 117,00 cm
Nilai 5 6 7 8 9
Frekuensi 6 8 10 x 4
Nilai 101 –105 106 – 110 111 – 115 116 – 120 121 – 125 126 – 130 131 – 135
Frekuensi 2 8 22 40 18 7 3
10. Hasil tes pelajaran Matematika 15 orang siswa adalah sebagai berikut: 30, 45, 50, 55, 50, 60, 60, 65, 85, 70, 75, 55, 60, 35, 30. Jangkauan semi interkuartil (Qd) data di atas adalah .... A. 65 B. 45 C. 35 D. 20
E. 10
11. Keadaan siswa suatu sekolah adalah seperti grafik f berikut. Jumlah siswa perempuan sekolah tersebut 150 adalah .... 125 A. 155 orang 100 100 B. 175 orang 75 C. 200 orang 50 50 D. 220 orang E. 250 orang
150
Perempuan 125
75
Laki-laki 50
I
II
III
Klas
12. Nilai ulangan mata pelajaran matematika 15 siswa adalah: 5, 6, 7, 9, 7, 4, 7, 6, 8, 8, 9, 7, 4, 6, 5. Median dari data tersebut adalah .... A. 5 B. 6,5 C. 7 D. 7,5 E. 8 13. Perhatikan nilai ulangan pada tabel berikut ini: Nilai 4 5 6 7 8 9 Frekuensi 3 6 8 8 3 2 Rata-rat hitung nilai ulangan tersebut adalah .... A. 6,00 B. 6,27 C. 6,59
D. 7,27
14. Nilai ulangan pelajaran matematika pada suatu kelas adalah sebagai tabel berikut. Modus data tersebut adalah .... A. 73,5 B. 74,0 C. 74,5 D. 75,0 E. 75,9
E. 7,37 Nilai 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99
Frekuensi 2 4 5 7 4 3
15. Dari hasil pengukuran tinggi badan siswa pada sebuah kelas diperoleh tinggi badan rata-rata siswa laki-laki 160 cm dan siswa wanita 150 cm. Jika jumlah siswa laki-laki 25 orang dan siswa wanita 15 orang, maka tinggi badan rata-rata gabungan siswa satu kelas adalah .... A. 156,50 cm
Matematika by Drs. ASIS
B. 156,25 cm
C. 156,00 cm
Hal - 16
D. 155,00 cm
E. 153,75 cm
16. Diagram berikut menunjukkan frekuensi produksi. Maka ratarata produksinya adalah .... A. 50,00 ton B. 38,33 ton C. 37,50 ton D. 35,83 ton E. 35,00 ton
frekuensi
5
5
4 3 2
3 2
2
1 20
17. Tinggi badan 34 siswa suatu kelas tercatat seperti pada tabel berikut: Setelah data diurutkan, tinggi badan yang membagi data di atas menjadi 2 kelompok sama banyak adalah .... A. 158,25 cm B. 157,63 cm C. 155,74 cm D. 155,68 cm E. 155,25 cm
30 40 50 Produksi barang (dalam ton)
Tinggi (cm) 145 – 149 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 - 174 Jumlah
Frekuensi 3 5 12 7 5 2 34
18. Hasil pendataan usia, dari 12 anak Balita (dalam tahun) diketahui sebagai berikut: 4, 3, 4, 4, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 4. Kuartil atas (Q3) dari data tersebut adalah .... C. 2 D. 1 1 E. 1 A. 4 B. 3 1 2
2
19. Diagram di samping menunjukkan cara yang ditempuh oleh 180 siswa SMA untuk berangkat ke sekolah. Jumlah siswa yang tidak naik mobil ke sekolah adalah ... A. 18 siswa B. 36 siswa C. 45 siswa D. 72 siswa E. 171 siswa
jalan 20%
naik sepeda motor 40%
naik sepeda 25% mobil becak 5% 10%
20. Berat paket yang diterima oleh suatu perusahaan selama satu minggu tercatat seperti pada tabel di samping. Rata-rata berat paket dalam minggu tersebut adalah ... A. 6,15 kg D. 6,59 kg B. 6,23 kg E. 6,28 kg C. 6,47 kg
Berat (kg) 5 6 7 8
Frekuensi 6 8 12 4
21. Berat badan 30 orang siswa suatu kelas disajikan pada tabel di samping. Modus data tersebut adalah ... A. 52,5 kg D. 55 kg B. 53,5 kg E. 56 kg C. 54 kg
Berat (kg) 41 – 45 46 – 50 51 – 55 56 – 60 61 – 65
Frekuensi 1 6 12 8 3
22. Nilai hasil ulangan mata pelajaran Matematika dari 12 siswa adalah sebagai berikut: 6, 8, 5, 7, 6, 8, 5, 9, 6, 6, 8, 7. Median dari data tersebut adalah ... A. 8,5 B. 8 C. 7 D. 6,5 E. 6
Matematika by Drs. ASIS
Hal - 17
KEPUSTAKAAN Andi Hakim Nasoetion dkk., Matematika 2 untuk SMU, Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, 1994 Guntur Sumilih, Matematika SMA kelas 3 Program IIB. Surabaya: Kendangsari, 1992. Noormandiri B.K & Endar Sucipto, Matematika SMU untuk kelas 2, Jakarta: Erlangga, 2000 Nugroho Soedyarto & Maryanto, Matematika untuk kelas 11 SMA/MA Program Ilmu Pengetahuan Alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional, 2008. Pangarso Yuliatmoko & Dewi Retno sari S, Matematika untuk kelas 11 SMA/MA Program Bahasa. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional, 2008. Tim MGMP Matematika Kab. Malang, Matematika SMU kelas 2, Malang. Tim MGMP Matematika Kab. Malang, Matematika SMU kelas 3, Malang. Tim MGMP Matematika Kodya -Kab. Malang, Matematika STM,Malang:OZI, 1996. Tim Matematika, Matematika 2 untuk SMU. Surabaya: PGM, 1996 Tim Matematika, Matematika 3 untuk SMU. Surabaya: PGM, 1996 Tim Matematika, Matematika untuk kelas 3 SMA. Klaten: Intan Pariwara, 1990. Wahyudin Djumanta & R Sudradjat, Matematika untuk kelas 11 SMA/MA Program Ilmu Pengetahuan Alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional, 2008. Wiyoto & Wagirin, Matematika Teknik 3, Bandung: Angkasa, 1996. ---------, Matematika 7, 8, 9, 10, 11, 12, 12a Untuk SMA. Jakarta: PT.Intermasa, 1978. ---------, Panduan Materi Matematika SMA (Teknik Industri), Jakarta: Depdiknas, 2003.
Matematika by Drs. ASIS
Hal - 18
