Uts - Kibagus - 2010612002 - MTK Rekayasa [PDF]

Citation preview

UJIAN TENGAH SEMESTER PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA METODE ORDE EULER, ORDE HEUN, ORDE POLIGON, ORDE RUNGE KUTTA 3 DAN ORDE RUNGE KUTTA 4



DISUSUN OLEH : KI BAGUS ADI KUSUMA BANGSA 2010612002



DOSEN : Dita Puspita, S.Si., M.Si



PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER 2021



KATA PENGANTAR



Assalamualaikum wr. wb, puji syukur kehadirat Allah SWT yang hingga saat ini masih memberikan kita nikmat iman dan kesehatan, sehingga saya diberi kesempatan



untuk



menyelesaikan Ujian Tengah Semester Persamaan Diferensial Biasa dengan METODE ORDE EULER, ORDE HEUN, ORDE POLIGON, ORDE RUNGE KUTTA 3 DAN ORDE RUNGE KUTTA 4 ini. Shalawat serta salam tidak lupa selalu kita haturkan untuk junjungan nabi kita, yaitu Nabi Muhammad SAW yang telah membimbing kita dari jalan kegelapan ke jalan kebenaran yaitu ajaran agama islam. Adapun penjelasan mengenai Persamaan Diferensial Biasa ini adalah dengan maksud perpaduan metode perhitungan manual dengan Microsoft Excel dan aplikasi Matlab. Dalam mengerjakan Ujian ini, tentunya banyak sekali hambatan yang telah penulis rasakan, oleh sebab itu, saya berterimakasih kepada beberapa pihak terutama Ibu dosen mata kuliah Matematika Rekayasa Ibu Dita Puspita, S.Si, M.Si, yang telah membantu membina dan mendukung saya dalam mengatasi beberapa hambatan yang saya lalui. Wassalamualaikum wr, wb



Penulis



KI BAGUS ADI KUSUMA B



2



DAFTAR ISI KATA PENGANTAR................................................................................................................... 2 DAFTAR ISI ................................................................................................................................. 3 BAB I PENDAHULUAN ......................................................................................................................... 4 1.1



Latar Belakang ..................................................................................................................4



1.2



Tujuan ...............................................................................................................................5



BAB II LANDASAN TEORI .................................................................................................................... 6 2.1 Diferensial Numerik ................................................................................................................6 2.1.1 Metode Euler ....................................................................................................................8 2.1.2 Metode Heun .....................................................................................................................9 2.1.3 Metode Poligon ............................................................................................................... 10 2.1.4 Metode Runge Kutta ....................................................................................................... 11 2.1.5 Aplikasi Sistem Perhitungan ........................................................................................... 13



BAB III PEMBAHASAN .......................................................................................................................... 15 3.1 Penerapan Diferensial Numerik Pada Matlab ....................................................................... 15 3.1.1 Metode Euler .................................................................................................................. 15 3.1.2 Metode Heun ................................................................................................................... 26 3.1.3 Metode Poligon ............................................................................................................... 37 3.1.4 Metode Runge Kutta -3 dan Runge Kutta -4 ................................................................... 48



BAB IV PENUTUP.................................................................................................................................... 60 4.1 Kesimpulan ........................................................................................................................... 60



DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................................. 61



3



BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung derivatif dari variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas. Persamaan diferensial sendiri dibagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial parsial dan persamaan diferensial biasa. Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan yang memuat satu variabel terikat dan variabel bebas yang lebih dari satu, sedangkan persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan yang hanya memuat satu variabel bebas dan satu variabel terikat (Awrejcewicz, 2014). Penyelesaian persamaan diferensial sendiri mempunyai dua cara yaitu dengan menggunakan metode analitik dan metode numerik. Metode analitik disebut juga metode sejati karena memberikan solusi sejati atau solusi sesungguhnya (Munir, 2003). Kenyataannya tidak semua persoalan matematika memiliki solusi sejati atau dapat dikatakan masih memiliki galat (error). Metode analitik dalam hal ini hanya terbatas pada persoalan yang memiliki tafsiran geometri yang sederhana serta berukuran rendah, dari hal inilah muncul metode numerik yang dapat membantu menyelesaikan persoalan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Metode numerik digunakan ketika suatu persoalan matematika tidak mampu diselesaikan dengan menggunakan metode analitik. Metode numeriksendiri memiliki pengertian yakni teknikteknik yang digunakan untuk merumuskan masalah-masalah matematika agar dapat diselesaikan dengan operasi-operasi aritmatika (hitungan) biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Secara harfiah metode numerik berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka (Rachmatin, 2005). Penelitian banyak dilakukan sebelumnya tentang persamaan diferensial yang mengaitkan metode numerik yang dilakukan oleh Elfita (2010) yakni pada penyelesaian persamaan diferensial linear orde dua dengan menggunakan metode Runge Kutta orde empat, dapat disimpulkan bahwa penyelesaian pada persamaan diferensial linear orde dua dengan metode Runge Kutta orde empat lebih mendekati nilai eksak. Kamari (2008) meneliti tentang pe nyelesaian numerik masalah nilai batas pada persamaan diferensial orde dua berbasis komputasi



4



dan didapatkan hasil bahwa berdasarkan efisiensi waktu dan keakuratannya, penyelesaian dengan menggunakan matlab lebih cepat dan tepat bila dibandingkan dengan manual. 1.2 Tujuan Adapun Tujuan untuk mengetahui solusi persamaan diferensial numerik menggunakan 1. 2. 3. 4. 5.



Metode Euler Metode heun Metoder Poligon MetodeRunge-Kutta orde 3 MetodeRunge-Kutta orde 4



5



BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Diferensial Numerik Differensial banyak digunakan dalam perhitungan kalkulus untuk keperluan perhitungan geometrik dan perubahan – perubahan nilai persatuan waktu atau jarak. Differensial merupakan perbandingan perubahan tinggi dan perubahan jarak yang secara kalkulus dapat didefinisikan sebagai berikut :



Diferensiasi numerik digunakan dalam penentuan nilai aproksimasi dari turunan fungsi f pada titik tertentu. Hubungan antara nilai fungsi dan perubahan fungsi untuk setiap titiknya didefinisikan sebagai berikut : ( )



( ) ( )



dan f'(x) didefinisikan dengan : (



( )



)



( )



Terdapat 3 jenis diferensiasi dalam metode numerik yaitu : 



Metode Selisih Maju



Metode selisih maju merupakan metode yang mengadopsi secara langsung definisi differensial ( )



(



)



( )



Sehingga error yang dihasilkan ( )



( )



6







Metode Selisih Mundur



Metode selisih mundur merupakan kebalikan dari metode selisih maju Sehingga dapat didefinisikan dalam rumus berikut : (



( )



)



( ) 



( )



( )



Metode Selisih tengah



Metode selisih tengah merupakan metode pengambilan perubahan dari dua titik sekitar dari titik yang diukur.Perhatikan selisih maju pada titik x-h adalah : (



( )



)



(



)



Dan selisih maju pada titik x adalah : (



( )



)



( )



Metode selisih tengahan merupakan rata-rata dari dua selisih maju pada titik x-h dan titik x : (



( ) (



( )



)



)



( )



(



)



Sehingga error yang dihasilkan ( )



( )



Permasalahan yang melibatkan diferensiasi numerik jumlahnya lebih sedikit dibandingkan dengan permasalahan integrasi numerik. Dalam pemodelan deterministik biasanya fenomena alam dinyatakan dalam persamaan diferensial sehingga menghendaki solusi dalam bentuk integrasi.



7



Dalam bidang analitik suatu fungsi dapat diturunkan atau mempunyai turunan jika fungsi tersebut bersifat kontinu. Dalam bidang numerik suatu fungsi baik bersifat kontinu ataupun diskrit dapat diturunkan jika tidak menghasilkan pembagian dengan nol ataupun pembagian pada mana penyebutnya kecil sekali sehingga hasil pembagian akan mempunyai harga yang sangat besar melebihi bilangan yang mampu diakomodir oleh komputer. Pada saat tersebut komputer akan mengalami kesalahan numerik(khabibah,2002). 2.1.1 Metode Euler Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Di banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Namun demikian metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti. Metode euler atau disebut juga metode orde pertama mengambil sampai suku orde pertama saja.



karena persamaannya kita hanya



Misalnya diberikan PDB orde satu, = dy/dx = f(x,y) dan nilai awal y(x0) = x0 Misalkan yr = y(xr) adalah hampiran nilai di xr yang dihitung dengan metode euler. Dalam hal ini xr = x0 + rh, r = 1, 2, 3,…n metode euler diturungkan dengan cara menguraikan y(xr+1) di sekitar xr ke dalam deret taylor : y(xr+1



x )=y(x )+ r



r 1



 xr



 y’(x )+  x



r 1



r



1!



 xr  y”(xr)+… 2! 2



(1)



bila persamaan di atas dipotng samapai suku orde tiga, peroleh



y(xr+1



x ) = y(x ) + r



r 1



 xr



1!



 y’(x ) +  x



r 1



r



 xr  y”(t), 2! 2



xr