Variabel Acak [PDF]

Citation preview

UNIVERSITAS PAMULANG



PROGRAM STUDI S-1 MANAJEMEN



PERTEMUAN KE 3 VARIABEL ACAK Team Teaching: Ajimat, S.Si., M.M., Angga Rovita, S.Pd., M.Pd.



A. Tujuan Pembelajaran Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai adalah sebagai berikut: 1. Memahami variabel acak serta distribusi probabilitasnya. 2. Menjelaskan arti probabilitas bersama.



B. Petunjuk Pembelajaran Dalam mempelajari materi ini, ada beberapa yang perlu lakukan sebagai berikut: 1. Pahamilah contoh-contoh soal yang telah disediakan di dalam modul ini, 2. Kerjakanlah soal latihan-latihan yang ada. Apabila dalam mengerjakan



soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan. Dan apabila anda masih mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada dosen pada saat kegiatan tatap muka



C. Uraian Materi Variabel Acak Variabel acak biasanya menghubungkan nilai-niilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil percobaan. Karena nilai numerik bersifat hasil hitungan (diskrit) dan bersifat hasil pengukuran (kontinu) maka variable acak dapat dikelompokkan menjadi variable acak diskrit dan variable acak kontinu



STATISTIKA-2



UNIVERSITAS PAMULANG



PROGRAM STUDI S-1 MANAJEMEN



Variabel Acak Diskrit Variabel ini hanya dapat mengambil nilai-nilai yang terpisah, umumnya dihasilkan dari perhitungan suatu objek. Jika ada 100 karyawan, maka perhitungan orang yang tidak masuk kerja pada hari senin dapat mengambil nilai-nilai 0,1,2,….., 100. Tabel di bawah ini memeprlihatakan beberapa contoh variable diskrit : Tabel 3.1. Contoh-contoh Variabel Diskrit Percobaan



Kemungkinan Nilai-nilai



Variabel Acak



Variabel Acak Pencatatan



Banyak pengunjung



0,1,2,3,4,…



Banyak produk yang rusak



0,1,2,3,…,30



Jenis kelamin pembeli



0 jika laki-laki, 1



pengunjung supermarket pada suatu hari Penelitian terhadap



30



produk baru Penjualan mobil



jika perempuan



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit Distribusi probabilitas variable acak menggambarkan bagaimana suatu probabilitas didistribusikan terhadap nilai-nilai dari variable acak tersebut. Untuk variable diskrit X, distribusi probabilitas didefinisikan dengan fungsi probabilitas yang di notasikan sebagai berikut: p(x) = P(X=x) = probabilitas bahawa variable X mengambil nilai x Fungsi tersebut menyatakan bahwa probabilitas untuk setiap nilai variable acak X.



STATISTIKA-2



UNIVERSITAS PAMULANG



PROGRAM STUDI S-1 MANAJEMEN



Contoh 3.1 : Perhatikan hasil pengamatan dari penjualan mobil selama 200 hari pada PT. ABQARY MOTOR, Jakarta. Data yang dicatat adalah jumlah mobil terjual dalam sehari. Hasil pengamatan dimuat dalam table berikut: Jumlah Mobil Terjual dalam Sehari



Jumlah Hari



0



50



1



100



2



30



3



17



4



2



5



1



Total



200



Penyelesainnya: Jika X menyatakan jumlah mobil yang terjual dalam sehari, maka p(0) menyatakan probabilitas 0 mobil terjual perhari, p(1) menyatakan 1 mobil terjual perhari dan seterusnya. Berdasarkan informasi yang diperoleh dari table di atas, bahwa 50 hari dari 200 hari 0 mobil terjual, maka kita nyatakan bahwa 0 mobil terjual dalam sehari;



100 200



50 200



= 0,25 sebagai probabilitas



= 0,5 sebagai probabilitas 1 mobil terjual



ddalam sehari dans eterunta . Secara ringkas nilai probabilitas dimuat dalam table berikut:



STATISTIKA-2



X



P(x)



0



0,25



1



0,5



2



0,15



3



0,085



4



0,01



5



0,005



Total



1



UNIVERSITAS PAMULANG



PROGRAM STUDI S-1 MANAJEMEN



Grafik Fungsi Probabilitas



Jumlah mobil yang terjual dalam sehari 0.6 0.5 0.4



Probabilitas 0.3 0.2 0.1 0



0



1



2



3



4



5



Dari table dan grafik di atas terlihat bahwa kemungkinan terbesar jumlah mobil terjual dalam sehari adalah 1 mobil dengan probabilitas 0,5. Apabila kita ingin probabilitas 3 (tiga) atau lebih mobil terjual dalam sehari, maka kita hitung p(3) + p(4) + p(5) = 0,085+0,01+0,005 = 0,1 Dalam membuat suatu fungsi probabilitas untuk variable acak diskrit, kondisi berikut harus dipenuhi: 1) p(x)≥ 0 atau 0 ≤ p(x) ≤ 1 2) ∑ 𝑝(𝑥) = 1 Catatan : Fungsi distribusi probabilitas tidak boleh negative, dan 2 syarat yang sudah disebutkan sebelumnya harus selalu terpenuhi.



Fungsi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak Diskrit Fungsi probabilitas kumulatif digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang ditetapkan. Dari contoh 3.1, misalkan kita ingin menghitung berapa probabilitas bahwa mobil terjual dalam sehari kurang dari satu sama dengan 3. Oleh karena itu



STATISTIKA-2



UNIVERSITAS PAMULANG



PROGRAM STUDI S-1 MANAJEMEN



kita dapat menjumlahkan probabilitas dari nila- nilai x =0, x=1, x=2, x= 3. Jadi P(x≤3) = p(0) +p(1) +p(2) + p(3) = 0,25+0,5+0,15+0,085 =0,985. Secara sistematis, fungsi probabilitas kumulatif dinyatakan sebagai berikut: F(x) = P(X ≤ x) Di mana: F(x) = P(X ≤ x) menyatakan fungsi probabilitas kumulatif X = x yang merupakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai X dama atau kurang dari x. Contoh 3.2: Diketahui suatu variable X yang dapat mengambil nilai dari 0, 1,2,3,4 dengan fungsi probabilitas p(x0 sebagai berikut: 4! 1 𝑥 1 4−𝑥 ( ) ( ) 𝑝(𝑥) = 𝑥! (4 − 𝑥)! 2 2 Carilah distribus probabiltas, dan distribusi probabilitas kumulatif untuk seluruh nilai x ! Penyelesaian: X 0 1 2 3 4



STATISTIKA-2



p(x) p(0) = p(1) = p(2) = p(3) = p(3) =



4! 0!(4−0)! 4! 1!(4−1)! 4! 2!(4−2)! 4! 3!(4−3)! 4! 4!(4−3)!



1 0 1 4−0



(2) (2)



1 1 1 4−1



(2) (2)



1 2 1 4−2



(2) (2)



1 3 1 4−3



(2) (2)



1 4 1 4−4



(2) (2)



F(x) = P(X ≤ x) = 0,0625 = 0,25



F(0)= 0,0625 F(1) = F(0)+F(1) = 0,3125



= 0,375



F(2)



=



F(1)+F(2)



=



F(2)+F(3)



=0,6875 = 0,25



F(3) =0,9375



= 0,0625



F(4) = F(3)+F(4) = 1



UNIVERSITAS PAMULANG



PROGRAM STUDI S-1 MANAJEMEN



Variabel Acak Kontinu Apabila kita mengukur sesuatu seperti lebar ruangan, tinggi badan, atau berat badan seseorang, maka variable yang dihasilkan adalah variable acak kontinu. Hasil pengukuran tersebut mungkin akan berbea-beda tergantung siapa yang melakukan pengukuran dan tingkat ketelitian yang digunakan. Tabel di bawah ini memberikan beberpa contoh variable kontinu dari suatu percobaab: Percobaan



Variabel Acak



Kemungkinan Nilainilai variable Acak



Penimbangan 20 paket Berat



sebuah



paket



0≤x≤100



kemasan (maksimum = 2 kemasan (kg) kg) Isi botol minuman jadi ( Jumlah mililiter



0≤x≤600



maksimum = 600ml)



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinu Distribusi probabilitas variable acak kontinu dinyatakan dengan fungsi f(x) dan sering disebut fungsi kepadatan. Nilai f(x) lebih besar dari 1, syarat yang harus dipenuhi oleh fungsi kepdatan probabilitas : 1) f(x) ≥ 0 ∞



2) ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 (integral seluruh fungsi kepadatan probabilkitas f(x) = 1 Catatan : f(x) dx = P{x≤X≤(x+dx)} yaitu probabilitas bahwa nila X terletak pada interval x dan x+dx



Fungsi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak Kontinu Pada variable acak diskrit, fungsi probabilitas kumulatif dihitung dengan cara penjumlahan. Pada variable acak kontinu, probabilitas kumulatif dicari dengan integral. Rumusnya sebagai berikut: ∞



F(x) = P (X≤ x) = ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Nilai-nilai x dalam rumus ini harus kontinu atau dalam suatu interval.



STATISTIKA-2



UNIVERSITAS PAMULANG



PROGRAM STUDI S-1 MANAJEMEN



Contoh 3.3. Variabel X mempunyai fungsi kepadatan probabilitas f(x) sebagai berikut: f(x) = 2e-2x, untuk x > 0 f(x) = 0, untuk x ≤ 0 Cari P(2