03 Getaran Paksa SDOF [PDF]

Citation preview

2/3/2016



KL3201, Kelas 02 Semester II 2015/2016



`



Persamaan gerak getaran paksa merupakan p g persamaan diferensial non-homogen:



mu&& + cu& + ku = F ( t ) `



Solusi dari persamaan di atas berupa gabungan antara solusi pers. diferensial homogen (getaran bebas) dengan solusi particular.



u ( t ) = uh ( t ) + u p ( t )



2



1



2/3/2016



` `



Beban konstan: F(t) = F Persamaan gerak: mu&& + ku = F



F k



`



Solusi particular: u p =



`



Respons tak teredam akibat beban konstan:



u = A cos ωt + B sin i ωt + Untuk kondisi awal diam:



u=



F (1 − cos ωt ) k 3



4 Perpindahan, inch



`



F k



3



2



1



0



0



2



4 6 Waktu, detik



8



10 F =2 lb k = 1 lb/in. T = 4 detik



4



2



2/3/2016



`



`



Simpangan maksimum untuk kasus ini mencapai 2 kali simpangan p g statik. Respons dinamik mencerminkan efek tumbukan (impact), di mana gaya tiba-tiba bekerja pada struktur saat t = 0.



5



`



Persamaan gerak:



mu&& + cu& + ku = F



`



Solusi particular:



up =



`



Respons teredam akibat beban konstan:



F k



u = e −ζωt ( A cos ωD t + B sin ωD t ) + `



F k



Untuk kondisi awal diam: ⎛ ⎞⎤ F⎡ ζ u = ⎢1 − e −ζωt ⎜ cos ωDt + sin ωD t ⎟ ⎥ ⎜ ⎟⎥ k⎢ 1− ζ 2 ⎝ ⎠⎦ ⎣ 6



3



2/3/2016



2



ζ= ζ= ζ= ζ=



1.8 1.6



2% 5% 10% 20%



1.4



x / xst



1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0



0



0.5



1



1.5



2



2.5



3



3.5



4



4.5



5



t/T 7



`



`



Suatu sistem SDOF tanpa redaman diketahui memiliki massa 150 kg dan kekakuan 20 kN/m. Sistem tersebut dikenai beban konstan 5 kN selama 0.5 detik seperti tergambar. Sebelum dikenai beban, struktur berada dalam kondisi diam. diam



F(t) [kN]



5



0.5



t [detik]



Tentukan simpangan struktur pada saat t = 0.2 detik dan pada saat t = 0.7 detik. 8



4



2/3/2016



ω=



`



Frekuensi alami:



`



Simpangan statik: ust =



`



k 20000 = = 11.55 rad/detik m 150 F 5 = = 0.25 m k 20



Saat 0 ≤ t ≤ 0.5 detik, struktur mengalami getaran paksa akibat beban konstan:



u = 0.25 (1 − cos (11.55t ) )



`



Saat t = 0.2 detik:



(



)



u ( 0.2 ) = 0.25 1 − cos ( (11.55 )( 0.2 ) ) = 0.418 m



9



`



Pada t ≥ 0.5 detik, struktur mengalami getaran bebas dengan kondisi awal saat t = 0.5: u = u ( 0.5 ) cos (ω ( t − 0.5 ) ) +



`



u& ( 0.5 )



ω



(ω ( t − 0.5) )



Nilai perpindahan dan kecepatan saat t = 0.5 detik diperoleh dari respons sebelumnya:



(



)



u ( 0.5 ) = 0.25 1 − cos ( (11.55 )( 0.5 ) ) = 0.0318 m



(



)



u& ( 0.5 ) = ( 0.25 )(11.55 ) sin ( (11.55 )( 0.5 ) ) = −1.408 m/detik `



Saat t = 0.7 detik: u ( 0.7 ) = 0.0318cos (11.85 )( 0.7 − 0.5 ) ( ) ⎛ −1.408 ⎞ +⎜ ⎟ sin ( (11.85 )( 0.7 − 0.5 ) ) ⎝ 11.85 ⎠ = −0.1116 m 10



5



2/3/2016



0.5



0.4



Perpindahan [m]



03 0.3



0.2



0.1



0



-0.1



-0.2



0



0.5



1



1.5



2



2.5



3



Waktu [detik] 11



0.5



ζ = 5% ζ= 0



0.4



Perpindahan [m]



03 0.3



0.2



0.1



0



-0.1



-0.2



0



0.5



1



1.5



2



2.5



3



Waktu [detik] 12



6



2/3/2016



F (t ) = F



t tr



`



Beban:



`



Respons tak teredam akibat beban konstan: u = A cos ωt + B sin ωt +



`



F t k tr



Untuk kondisi awal diam: u=



⎞ F⎛ t 1 sin ωt ⎟ ⎜ − k ⎝ t r ωtr ⎠ 13



Perpindahan, inch P



2



1.5



1



05 0.5



0



0



2



4 6 Waktu, detik



8



10



F =2 lb tr = 10 detik k = 1 lb/in. T = 4 detik 14



7



2/3/2016



`



Gambarkan respons dari struktur tanpa redaman dengan g p parameter dinamik berikut: ◦ koefisien kekakuan k = 1 lb/in. ◦ perioda alami T = 4 detik



akibat beban yang meningkat linier dari 0 hingga 2 lb selama 10 detik, kemudian bernilai konstan sebesar 2 lb. Kondisi awal diam. F(t) [lb]



2



10



ω=



`



Frekuensi alami:



`



Simpangan statik: ust =



`



t [detik] 15



2π 2π = = 1.57 rad/detik T 4



F = 2 in. k



Saat 0 ≤ t ≤ 10 detik, struktur mengalami getaran paksa akibat beban meningkat linier: ⎛ t ⎞ 1 u = 2⎜ − sin (1.57t ) ⎟ = 0.2t − 0.0636sin (1.57t ) ⎝ 10 (1.57 )(10 ) ⎠ u (10 ) = ( 0.2 )(10 ) − 0.0636sin (15.7 ) = 2 in. u& (10 ) = 0.2 − 0.1cos (15.7 ) = 0.3 in./detik



16



8



2/3/2016



`



Untuk t ≥ 10 detik, struktur mengalami getaran paksa akibat beban konstan, dengan kondisi awal dari persamaan sebelumnya: u = A cos (1.57t ) + B sin (1.57t ) + 2 u (10 ) = 2 ⇒



A=0



u& (10 ) = 0.3 ⇒ B = −



0.3 = −0.191 1.57



u = −0.191sin (1.57t ) + 2



17



2.5



Perpindahan, inch



2 1.5 1 0.5 0



0



5



10 Waktu, detik



15



20 18



9



2/3/2016



` `



Beban: F(t) = F sin Ωt Solusi umum: u = A cos ωt + B sin ωt +



F 1 sin Ωt k 1− β 2



di mana: β = Ω ω `



Untuk kondisi awal diam: u=



F 1 ( sin Ωt − β sin ωt ) k 1− β 2 19



F(t)



t T = 2π/Ω



F(t) = F sin Ωt Ω/ω = 0.2 x0 = 0 v0 = ωF/k.



20



10



2/3/2016



`



Respons terdiri atas 2 komponen getaran yang frekuensinya y berbeda: ◦ Getaran transient, dengan frekuensi ω (frekuensi alami struktur). ◦ Getaran steady-state, dengan frekuensi Ω (frekuensi beban).



`



Getaran steady-state disebabkan oleh beban harmonik sedangkan getaran transient harmonik, tergantung pada kondisi awal. Getaran transient tetap ada meskipun kondisi awal struktur diam.



21



`



`



`



Suatu struktur SDOF tanpa redaman diketahui 5 kg g dan kekakuan 20 kN/m. / memiliki massa 150 Dalam kondisi awal diam, struktur tersebut dikenai beban harmonik F = 5 sin 6t kN. Tentukan respons perpindahan struktur tersebut dan gambarkan riwayat waktunya.



22



11



2/3/2016



k 20000 = = 11.55 rad/detik m 150



ω=



`



Frekuensi alami:



`



Frekuensi beban: Ω = 6 rad/detik



`



Rasio frekuensi:



`



Respons tak teredam akibat beban harmonik, kondisi awal diam:



β=



Ω



ω



=



6 = 0.52 11.55



F 1 ( sin Ωt − β sin ωt ) k 1− β 2 5 1 = ( sin 6t − 0.52sin11.55t ) 20 1 − ( 0.52 )2



u=



= 0.34sin 6t − 0.18sin11.55t 23



0.6



0.4



Simpangan, m



0.2



0



-0.2



-0.4



-0.6



-0.8



0



0.5



1



1.5



2



2.5 Waktu, detik



3



3.5



4



4.5



5



24



12



2/3/2016



0.6 steady state transient total



0.4



Simpangan, m



0.2



0



-0.2



-0.4



-0.6



-0.8



0



0.5



1



1.5



2



2.5 Waktu, detik



3



3.5



4



4.5



5



25



` `



Beban: F(t) = F sin ωt Respons untuk kondisi awal u0 dan v0: u = u0 cos ωt +



`



`



v0



sin ωt +



F t cos ωt 2mω



ω Amplitudo respons meningkat dengan bertambahnya waktu getaran. Kondisi ini disebut resonansi.



26



13



2/3/2016



F 2mω



–F 22mω



27



`



Solusi umum: u = e −ζωt ( A cos ω D t + B sin ωD t ) + C cos Ωt + D sin Ωt transient



di mana C=−



steady-state



F 2ζβ 2 k (1 − β )2 + ( 2ζβ )2



F 1− β 2 D= k (1 − β 2 )2 + ( 2ζβ )2



28



14



2/3/2016



`



Respons steady-state untuk kasus ini dapat dituliskan dalam bentuk: u=



F k



1



(1 − β ) + ( 2ζβ ) 2 2



di mana



2



( sin Ωt − φ )



⎛ 2ζβ ⎞ 2 ⎟ ⎝ 1− β ⎠



φ = tan −1 ⎜



29



`



Terdapat 3 komponen pada respons steady-state akibat beban harmonik ini: ◦ simpangan statik, ust = F/k ◦ suatu faktor yang merupakan fungsi dari ζ dan β ◦ komponen sinusoidal yang bernilai antara nilai –1 dan 1



`



Faktor tersebut dinamakan dynamic amplification factor: D=



1



(1 − β ) + ( 2ζβ ) 2 2



2



30



15



2/3/2016



31



`



Jika hanya respons steady-state yang p g diperhitungkan: umax =



F k



1



(1 − β ) + ( 2ζβ ) 2 2



2



= ust D



32



16



2/3/2016



`



`



Ulangi problem pada Contoh 3 jika struktur dianggap gg p memiliki rasio redaman 5 5%. Tentukan simpangan maksimum untuk masingmasing getaran transient, steady-state, dan total.



33



`



Parameter dinamik yang telah dihitung pada Contoh 3: ω = 11.55 rad/detik, Ω = 6 rad/detik, β = 0.52 ust =



F = 0.25 m k



`



ωD = ω 1 − ζ 2 = 11.53 11 53 rad/detik d/d tik F k Frekuensi i getaran t tteredam: d



`



Respons akibat beban harmonik: u = e −ζωt ( A cos ωD t + B sin ωD t ) + C cos Ωt + D sin Ωt



`



Kondisi awal diam:



u0 = 0 → A = −C v0 = 0 → −ζω A + ω D B + ΩD = 0 B=



ζω A − ΩD ωD 34



17



2/3/2016



0.5 transient steady state total



0.4



0.3



Perpindahan, m



0.2



0.1



utr-max = 0.16 m uss-max = 0.34 m umax = 0.42 m



0



-0.1



-0.2



-0.3



-0.4 04



-0.5



0



1



2



3



4



5 Waktu, detik



6



7



8



9



10



Setelah 3 detik:



`



uss-max = 0.34 m umax = 0.36 m



35



Respons maksimum steady-state:



umax =



F k



1



(1 − β ) + ( 2ζβ )



= ( 0.25 )



2 2



2



= ust D 1



(1 − 0.52 ) + ( 2 ( 0.05)( 0.52 ) ) 2 2



2



= ( 0.25 )(1.37 ) = 0.34 m



36



18



2/3/2016



`



Impuls satuan (fungsi Dirac delta): ⎧ 0 untuk t ≠ τ ⎩∞ untuk t = τ



δ (t −τ ) = ⎨ ∞



∫ δ ( t ) dt = 1



−∞ ∞



∫ f ( t ) δ ( t − τ ) dt = f (τ )



−∞



37



`



Solusi persamaan gerak:



mu&& + cu& + ku = δ ( t )



adalah sama dengan respons getaran bebas akibat simpangan awal nol dan kecepatan awal 1/m. u (t ) = `



1 −ζωt e sin ωD t mωD



= h (t )



Respons ini disebut fungsi respons impuls (impulse response function).



38



19



2/3/2016



`



Jika impuls bekerja pada waktu t = τ : u (t ) = h (t −τ ) u (t ) =



1 −ζω ( t −τ ) e sin ⎡⎣ωD ( t − τ ) ⎤⎦ mωD



t ≥τ



39



`



Memanfaatkan hasil respons akibat beban impuls p ( ) sembarang g satuan,, respons akibat beban F(t) dengan kondisi awal diam dapat dituliskan sebagai berikut: t



1 −ζω t −τ u (t ) = F (τ ) e ( ) sin ⎡⎣ω D ( t − τ ) ⎤⎦dτ ∫ mω D 0



`



Bentuk di atas disebut juga “integral Duhamel”.



40



20



2/3/2016



`



`



Integral Duhamel yang diturunkan dari fungsi respons p impuls p mengambil g asumsi kondisi awal diam. Untuk kondisi awal yang lebih umum dapat ditambahkan respons getaran bebas pada integral Duhamel tersebut: u (t ) =



t



1 −ζω t −τ F (τ ) e ( ) sin ⎡⎣ωD ( t − τ ) ⎦⎤dτ ∫ mωD 0



⎛ ⎞ v + ζωu0 sin ωD t ⎟ + e−ζωt ⎜ u0 cos ωD t + 0 ωD ⎝ ⎠ 41



`



Model mekanik sistem dinamik yang dikenai g y akibat g p ) gerakan tanah ((misalnya gempa):



u



k



u&&g = percepatan tanah `



u&&g



m c



u , u& , u&&



Free-body Free body diagram: f S = ku f D = cu&



f I = m ( u&& + u&&g ) 42



21



2/3/2016



`



Persamaan gerak: atau



`



m ( u&& + u&&g ) + cu& + ku = 0



mu&& + cu& + ku = −mu&&g



Gaya efektif akibat percepatan tanah:



Feff = − mu&&g



43



`



Jika perpindahan u dianggap absolut:



k m c ug



`



Free-body diagram:



f S = k ( u − ug ) f D = c ( u& − u& g )



`



Persamaan gerak:



u



f I = mu&&



mu&& + cu& + ku = cu& g + ku g 44



22



2/3/2016



`



Gaya yang ditransmisikan ke pondasi adalah gaya pegas p g dan redaman:



fT = f S + f D = ku + cu& `



Untuk kondisi steady-state akibat beban harmonik: F fT = D ( k sin i ( Ωt − φ ) + cΩ cos ( Ωt − φ ) ) k



45



`



Definisi: rasio antara gaya maksimum yang p amplitudo p ditransmisikan ke p pondasi terhadap beban harmonik.



Tr =



fT max 2 = D 1 + ( 2ζβ ) F



2 ⎛ ⎞ 1 + ( 2ζβ ) ⎜ ⎟ = 2 2 2 ⎜ (1 − β ) + ( 2ζβ ) ⎟ ⎝ ⎠



1



2



46



23



2/3/2016



`



`



`



`



Sebuah mesin dengan massa 1750 kg terletak di tengah bentang balok sederhana seperti tergambar. Sebuah piston yang bergerak bolak-balik di dalam mesin tersebut menghasilkan gaya vertikal harmonik dengan amplitudo 30 kN dan frekuensi 60 rad/detik. Abaikan massa balok, anggap rasio redaman sebesar 10%, dan tinjau hanya respons steady-state. Tentukan amplitudo simpangan p p g yyang g dialami mesin tersebut, serta besarnya gaya yang ditransmisikan ke tumpuan. E = 200 GPa I = 50 × 106 mm4 3m



`



Kekakuan, frekuensi alami, dan rasio frekuensi: k=



6 −6 48 EI 48 ( 200 ×10 )( 50 ×10 ) = = 17778 kN/m 3 L3 ( 3)



ω= `



17778 60 k = = 100.8 rad/detik, β = = 0.595 m 1 75 1.75 100 100.88



Amplitudo simpangan: umax



`



47



⎛ F 1 ⎛ 30 ⎞ ⎜ = D=⎜ ⎟⎜ 2 2 k 2 ⎝ 17778 ⎠ ⎜ ⎜ 1 − ( 0.595 ) + ( ( 2 )( 0.1)( 0.595 ) ) ⎝ = ( 0.00169 0 00169 )(11.523 523) = 00.00257 00257 m = 22.57 57 mm



Gaya di tumpuan:



(



)



⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠



Tr = 1 + ( ( 2 )( 0.1)( 0.595 ) ) (1.523) = 1.534 2



fT max = ( 30 )(1.534 ) = 46.02 kN 48



24



2/3/2016



`



Akibat gerakan tanah harmonik: u g = U sin Ωt persamaan gerak menjadi: mu&& + cu& + ku = cU Ω cos Ωt + kU sin Ωt = Uk 1 + ( 2ζβ ) sin ( Ωt + α ) 2



`



Respons steady-state: u = U 1 + ( 2ζβ ) D sin ( Ωt + α − φ ) 2



`



Transmisibilitas:



2 ⎛ ⎞ 1 + ( 2ζβ ) umax ⎜ ⎟ = Tr = ⎜ (1 − β 2 )2 + ( 2ζβ )2 ⎟ U ⎝ ⎠



1



2



49



25