9 0 2 MB
2/3/2016
KL3201, Kelas 02 Semester II 2015/2016
`
Persamaan gerak getaran paksa merupakan p g persamaan diferensial non-homogen:
mu&& + cu& + ku = F ( t ) `
Solusi dari persamaan di atas berupa gabungan antara solusi pers. diferensial homogen (getaran bebas) dengan solusi particular.
u ( t ) = uh ( t ) + u p ( t )
2
1
2/3/2016
` `
Beban konstan: F(t) = F Persamaan gerak: mu&& + ku = F
F k
`
Solusi particular: u p =
`
Respons tak teredam akibat beban konstan:
u = A cos ωt + B sin i ωt + Untuk kondisi awal diam:
u=
F (1 − cos ωt ) k 3
4 Perpindahan, inch
`
F k
3
2
1
0
0
2
4 6 Waktu, detik
8
10 F =2 lb k = 1 lb/in. T = 4 detik
4
2
2/3/2016
`
`
Simpangan maksimum untuk kasus ini mencapai 2 kali simpangan p g statik. Respons dinamik mencerminkan efek tumbukan (impact), di mana gaya tiba-tiba bekerja pada struktur saat t = 0.
5
`
Persamaan gerak:
mu&& + cu& + ku = F
`
Solusi particular:
up =
`
Respons teredam akibat beban konstan:
F k
u = e −ζωt ( A cos ωD t + B sin ωD t ) + `
F k
Untuk kondisi awal diam: ⎛ ⎞⎤ F⎡ ζ u = ⎢1 − e −ζωt ⎜ cos ωDt + sin ωD t ⎟ ⎥ ⎜ ⎟⎥ k⎢ 1− ζ 2 ⎝ ⎠⎦ ⎣ 6
3
2/3/2016
2
ζ= ζ= ζ= ζ=
1.8 1.6
2% 5% 10% 20%
1.4
x / xst
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
t/T 7
`
`
Suatu sistem SDOF tanpa redaman diketahui memiliki massa 150 kg dan kekakuan 20 kN/m. Sistem tersebut dikenai beban konstan 5 kN selama 0.5 detik seperti tergambar. Sebelum dikenai beban, struktur berada dalam kondisi diam. diam
F(t) [kN]
5
0.5
t [detik]
Tentukan simpangan struktur pada saat t = 0.2 detik dan pada saat t = 0.7 detik. 8
4
2/3/2016
ω=
`
Frekuensi alami:
`
Simpangan statik: ust =
`
k 20000 = = 11.55 rad/detik m 150 F 5 = = 0.25 m k 20
Saat 0 ≤ t ≤ 0.5 detik, struktur mengalami getaran paksa akibat beban konstan:
u = 0.25 (1 − cos (11.55t ) )
`
Saat t = 0.2 detik:
(
)
u ( 0.2 ) = 0.25 1 − cos ( (11.55 )( 0.2 ) ) = 0.418 m
9
`
Pada t ≥ 0.5 detik, struktur mengalami getaran bebas dengan kondisi awal saat t = 0.5: u = u ( 0.5 ) cos (ω ( t − 0.5 ) ) +
`
u& ( 0.5 )
ω
(ω ( t − 0.5) )
Nilai perpindahan dan kecepatan saat t = 0.5 detik diperoleh dari respons sebelumnya:
(
)
u ( 0.5 ) = 0.25 1 − cos ( (11.55 )( 0.5 ) ) = 0.0318 m
(
)
u& ( 0.5 ) = ( 0.25 )(11.55 ) sin ( (11.55 )( 0.5 ) ) = −1.408 m/detik `
Saat t = 0.7 detik: u ( 0.7 ) = 0.0318cos (11.85 )( 0.7 − 0.5 ) ( ) ⎛ −1.408 ⎞ +⎜ ⎟ sin ( (11.85 )( 0.7 − 0.5 ) ) ⎝ 11.85 ⎠ = −0.1116 m 10
5
2/3/2016
0.5
0.4
Perpindahan [m]
03 0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Waktu [detik] 11
0.5
ζ = 5% ζ= 0
0.4
Perpindahan [m]
03 0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Waktu [detik] 12
6
2/3/2016
F (t ) = F
t tr
`
Beban:
`
Respons tak teredam akibat beban konstan: u = A cos ωt + B sin ωt +
`
F t k tr
Untuk kondisi awal diam: u=
⎞ F⎛ t 1 sin ωt ⎟ ⎜ − k ⎝ t r ωtr ⎠ 13
Perpindahan, inch P
2
1.5
1
05 0.5
0
0
2
4 6 Waktu, detik
8
10
F =2 lb tr = 10 detik k = 1 lb/in. T = 4 detik 14
7
2/3/2016
`
Gambarkan respons dari struktur tanpa redaman dengan g p parameter dinamik berikut: ◦ koefisien kekakuan k = 1 lb/in. ◦ perioda alami T = 4 detik
akibat beban yang meningkat linier dari 0 hingga 2 lb selama 10 detik, kemudian bernilai konstan sebesar 2 lb. Kondisi awal diam. F(t) [lb]
2
10
ω=
`
Frekuensi alami:
`
Simpangan statik: ust =
`
t [detik] 15
2π 2π = = 1.57 rad/detik T 4
F = 2 in. k
Saat 0 ≤ t ≤ 10 detik, struktur mengalami getaran paksa akibat beban meningkat linier: ⎛ t ⎞ 1 u = 2⎜ − sin (1.57t ) ⎟ = 0.2t − 0.0636sin (1.57t ) ⎝ 10 (1.57 )(10 ) ⎠ u (10 ) = ( 0.2 )(10 ) − 0.0636sin (15.7 ) = 2 in. u& (10 ) = 0.2 − 0.1cos (15.7 ) = 0.3 in./detik
16
8
2/3/2016
`
Untuk t ≥ 10 detik, struktur mengalami getaran paksa akibat beban konstan, dengan kondisi awal dari persamaan sebelumnya: u = A cos (1.57t ) + B sin (1.57t ) + 2 u (10 ) = 2 ⇒
A=0
u& (10 ) = 0.3 ⇒ B = −
0.3 = −0.191 1.57
u = −0.191sin (1.57t ) + 2
17
2.5
Perpindahan, inch
2 1.5 1 0.5 0
0
5
10 Waktu, detik
15
20 18
9
2/3/2016
` `
Beban: F(t) = F sin Ωt Solusi umum: u = A cos ωt + B sin ωt +
F 1 sin Ωt k 1− β 2
di mana: β = Ω ω `
Untuk kondisi awal diam: u=
F 1 ( sin Ωt − β sin ωt ) k 1− β 2 19
F(t)
t T = 2π/Ω
F(t) = F sin Ωt Ω/ω = 0.2 x0 = 0 v0 = ωF/k.
20
10
2/3/2016
`
Respons terdiri atas 2 komponen getaran yang frekuensinya y berbeda: ◦ Getaran transient, dengan frekuensi ω (frekuensi alami struktur). ◦ Getaran steady-state, dengan frekuensi Ω (frekuensi beban).
`
Getaran steady-state disebabkan oleh beban harmonik sedangkan getaran transient harmonik, tergantung pada kondisi awal. Getaran transient tetap ada meskipun kondisi awal struktur diam.
21
`
`
`
Suatu struktur SDOF tanpa redaman diketahui 5 kg g dan kekakuan 20 kN/m. / memiliki massa 150 Dalam kondisi awal diam, struktur tersebut dikenai beban harmonik F = 5 sin 6t kN. Tentukan respons perpindahan struktur tersebut dan gambarkan riwayat waktunya.
22
11
2/3/2016
k 20000 = = 11.55 rad/detik m 150
ω=
`
Frekuensi alami:
`
Frekuensi beban: Ω = 6 rad/detik
`
Rasio frekuensi:
`
Respons tak teredam akibat beban harmonik, kondisi awal diam:
β=
Ω
ω
=
6 = 0.52 11.55
F 1 ( sin Ωt − β sin ωt ) k 1− β 2 5 1 = ( sin 6t − 0.52sin11.55t ) 20 1 − ( 0.52 )2
u=
= 0.34sin 6t − 0.18sin11.55t 23
0.6
0.4
Simpangan, m
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5 Waktu, detik
3
3.5
4
4.5
5
24
12
2/3/2016
0.6 steady state transient total
0.4
Simpangan, m
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5 Waktu, detik
3
3.5
4
4.5
5
25
` `
Beban: F(t) = F sin ωt Respons untuk kondisi awal u0 dan v0: u = u0 cos ωt +
`
`
v0
sin ωt +
F t cos ωt 2mω
ω Amplitudo respons meningkat dengan bertambahnya waktu getaran. Kondisi ini disebut resonansi.
26
13
2/3/2016
F 2mω
–F 22mω
27
`
Solusi umum: u = e −ζωt ( A cos ω D t + B sin ωD t ) + C cos Ωt + D sin Ωt transient
di mana C=−
steady-state
F 2ζβ 2 k (1 − β )2 + ( 2ζβ )2
F 1− β 2 D= k (1 − β 2 )2 + ( 2ζβ )2
28
14
2/3/2016
`
Respons steady-state untuk kasus ini dapat dituliskan dalam bentuk: u=
F k
1
(1 − β ) + ( 2ζβ ) 2 2
di mana
2
( sin Ωt − φ )
⎛ 2ζβ ⎞ 2 ⎟ ⎝ 1− β ⎠
φ = tan −1 ⎜
29
`
Terdapat 3 komponen pada respons steady-state akibat beban harmonik ini: ◦ simpangan statik, ust = F/k ◦ suatu faktor yang merupakan fungsi dari ζ dan β ◦ komponen sinusoidal yang bernilai antara nilai –1 dan 1
`
Faktor tersebut dinamakan dynamic amplification factor: D=
1
(1 − β ) + ( 2ζβ ) 2 2
2
30
15
2/3/2016
31
`
Jika hanya respons steady-state yang p g diperhitungkan: umax =
F k
1
(1 − β ) + ( 2ζβ ) 2 2
2
= ust D
32
16
2/3/2016
`
`
Ulangi problem pada Contoh 3 jika struktur dianggap gg p memiliki rasio redaman 5 5%. Tentukan simpangan maksimum untuk masingmasing getaran transient, steady-state, dan total.
33
`
Parameter dinamik yang telah dihitung pada Contoh 3: ω = 11.55 rad/detik, Ω = 6 rad/detik, β = 0.52 ust =
F = 0.25 m k
`
ωD = ω 1 − ζ 2 = 11.53 11 53 rad/detik d/d tik F k Frekuensi i getaran t tteredam: d
`
Respons akibat beban harmonik: u = e −ζωt ( A cos ωD t + B sin ωD t ) + C cos Ωt + D sin Ωt
`
Kondisi awal diam:
u0 = 0 → A = −C v0 = 0 → −ζω A + ω D B + ΩD = 0 B=
ζω A − ΩD ωD 34
17
2/3/2016
0.5 transient steady state total
0.4
0.3
Perpindahan, m
0.2
0.1
utr-max = 0.16 m uss-max = 0.34 m umax = 0.42 m
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4 04
-0.5
0
1
2
3
4
5 Waktu, detik
6
7
8
9
10
Setelah 3 detik:
`
uss-max = 0.34 m umax = 0.36 m
35
Respons maksimum steady-state:
umax =
F k
1
(1 − β ) + ( 2ζβ )
= ( 0.25 )
2 2
2
= ust D 1
(1 − 0.52 ) + ( 2 ( 0.05)( 0.52 ) ) 2 2
2
= ( 0.25 )(1.37 ) = 0.34 m
36
18
2/3/2016
`
Impuls satuan (fungsi Dirac delta): ⎧ 0 untuk t ≠ τ ⎩∞ untuk t = τ
δ (t −τ ) = ⎨ ∞
∫ δ ( t ) dt = 1
−∞ ∞
∫ f ( t ) δ ( t − τ ) dt = f (τ )
−∞
37
`
Solusi persamaan gerak:
mu&& + cu& + ku = δ ( t )
adalah sama dengan respons getaran bebas akibat simpangan awal nol dan kecepatan awal 1/m. u (t ) = `
1 −ζωt e sin ωD t mωD
= h (t )
Respons ini disebut fungsi respons impuls (impulse response function).
38
19
2/3/2016
`
Jika impuls bekerja pada waktu t = τ : u (t ) = h (t −τ ) u (t ) =
1 −ζω ( t −τ ) e sin ⎡⎣ωD ( t − τ ) ⎤⎦ mωD
t ≥τ
39
`
Memanfaatkan hasil respons akibat beban impuls p ( ) sembarang g satuan,, respons akibat beban F(t) dengan kondisi awal diam dapat dituliskan sebagai berikut: t
1 −ζω t −τ u (t ) = F (τ ) e ( ) sin ⎡⎣ω D ( t − τ ) ⎤⎦dτ ∫ mω D 0
`
Bentuk di atas disebut juga “integral Duhamel”.
40
20
2/3/2016
`
`
Integral Duhamel yang diturunkan dari fungsi respons p impuls p mengambil g asumsi kondisi awal diam. Untuk kondisi awal yang lebih umum dapat ditambahkan respons getaran bebas pada integral Duhamel tersebut: u (t ) =
t
1 −ζω t −τ F (τ ) e ( ) sin ⎡⎣ωD ( t − τ ) ⎦⎤dτ ∫ mωD 0
⎛ ⎞ v + ζωu0 sin ωD t ⎟ + e−ζωt ⎜ u0 cos ωD t + 0 ωD ⎝ ⎠ 41
`
Model mekanik sistem dinamik yang dikenai g y akibat g p ) gerakan tanah ((misalnya gempa):
u
k
u&&g = percepatan tanah `
u&&g
m c
u , u& , u&&
Free-body Free body diagram: f S = ku f D = cu&
f I = m ( u&& + u&&g ) 42
21
2/3/2016
`
Persamaan gerak: atau
`
m ( u&& + u&&g ) + cu& + ku = 0
mu&& + cu& + ku = −mu&&g
Gaya efektif akibat percepatan tanah:
Feff = − mu&&g
43
`
Jika perpindahan u dianggap absolut:
k m c ug
`
Free-body diagram:
f S = k ( u − ug ) f D = c ( u& − u& g )
`
Persamaan gerak:
u
f I = mu&&
mu&& + cu& + ku = cu& g + ku g 44
22
2/3/2016
`
Gaya yang ditransmisikan ke pondasi adalah gaya pegas p g dan redaman:
fT = f S + f D = ku + cu& `
Untuk kondisi steady-state akibat beban harmonik: F fT = D ( k sin i ( Ωt − φ ) + cΩ cos ( Ωt − φ ) ) k
45
`
Definisi: rasio antara gaya maksimum yang p amplitudo p ditransmisikan ke p pondasi terhadap beban harmonik.
Tr =
fT max 2 = D 1 + ( 2ζβ ) F
2 ⎛ ⎞ 1 + ( 2ζβ ) ⎜ ⎟ = 2 2 2 ⎜ (1 − β ) + ( 2ζβ ) ⎟ ⎝ ⎠
1
2
46
23
2/3/2016
`
`
`
`
Sebuah mesin dengan massa 1750 kg terletak di tengah bentang balok sederhana seperti tergambar. Sebuah piston yang bergerak bolak-balik di dalam mesin tersebut menghasilkan gaya vertikal harmonik dengan amplitudo 30 kN dan frekuensi 60 rad/detik. Abaikan massa balok, anggap rasio redaman sebesar 10%, dan tinjau hanya respons steady-state. Tentukan amplitudo simpangan p p g yyang g dialami mesin tersebut, serta besarnya gaya yang ditransmisikan ke tumpuan. E = 200 GPa I = 50 × 106 mm4 3m
`
Kekakuan, frekuensi alami, dan rasio frekuensi: k=
6 −6 48 EI 48 ( 200 ×10 )( 50 ×10 ) = = 17778 kN/m 3 L3 ( 3)
ω= `
17778 60 k = = 100.8 rad/detik, β = = 0.595 m 1 75 1.75 100 100.88
Amplitudo simpangan: umax
`
47
⎛ F 1 ⎛ 30 ⎞ ⎜ = D=⎜ ⎟⎜ 2 2 k 2 ⎝ 17778 ⎠ ⎜ ⎜ 1 − ( 0.595 ) + ( ( 2 )( 0.1)( 0.595 ) ) ⎝ = ( 0.00169 0 00169 )(11.523 523) = 00.00257 00257 m = 22.57 57 mm
Gaya di tumpuan:
(
)
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
Tr = 1 + ( ( 2 )( 0.1)( 0.595 ) ) (1.523) = 1.534 2
fT max = ( 30 )(1.534 ) = 46.02 kN 48
24
2/3/2016
`
Akibat gerakan tanah harmonik: u g = U sin Ωt persamaan gerak menjadi: mu&& + cu& + ku = cU Ω cos Ωt + kU sin Ωt = Uk 1 + ( 2ζβ ) sin ( Ωt + α ) 2
`
Respons steady-state: u = U 1 + ( 2ζβ ) D sin ( Ωt + α − φ ) 2
`
Transmisibilitas:
2 ⎛ ⎞ 1 + ( 2ζβ ) umax ⎜ ⎟ = Tr = ⎜ (1 − β 2 )2 + ( 2ζβ )2 ⎟ U ⎝ ⎠
1
2
49
25