مجله رشد آموزش ریاضی شماره 98 volume 27 issue 2 [PDF]

Citation preview

‫‪٩٨‬‬



‫وزارت آﻣﻮزش و ﭘﺮورش‬ ‫ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‬ ‫دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷﻰ‬



‫ﻣﺪﻳﺮ ﻣﺴﺌﻮل ‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ ﻧﺎﺻﺮى‬ ‫ﺳﺮدﺑﻴﺮ‪ :‬زﻫﺮا ﮔﻮﻳﺎ‬ ‫ﻣﺪﻳﺮ داﺧﻠﻰ ‪ :‬ﺳﭙﻴﺪه ﭼﻤﻦ آرا‬ ‫ﻫﻴﺌﺖ ﲢﺮﻳﺮﻳﻪ ‪:‬اﺳﻤﺎﻋﻴﻞ ﺑﺎﺑﻠﻴﺎن‪ ،‬ﻣﻴﺮزا ﺟﻠﻴﻠﻰ‪ ،‬ﺳﭙﻴﺪه‬ ‫ﭼﻤﻦ‪.‬آرا‪ ،‬ﻣﻬﺪى رﺟﺒﻌﻠﻰ ﭘﻮر‪ ،‬ﻣﺎﻧﻰ رﺿﺎﺋﻰ‪،‬‬ ‫ﺷﻴﻮا زﻣﺎﻧﻰ‪ ،‬ﺑﻴﮋن ﻇﻬﻮرى زﻧﮕﻨﻪ‪ ،‬ﺳﻬﻴﻼ ﻏﻼم آزاد و‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ رﺿﺎ ﻓﺪاﺋﻰ‬ ‫ﻃﺮاح ﮔﺮاﻓﻴﻚ ‪ :‬ﻣﻬﺪى ﻛﺮﻳﻢ‪.‬ﺧﺎﻧﻰ‬



‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ و ﻫﻔﺘﻢ‪ ،‬ﺷﻤﺎرهى‪ ،٢‬زﻣﺴﺘﺎن‪١٣٨٨‬‬



‫ﻓﺼﻠﻨﺎﻣﻪى آﻣﻮزﺷﻰ‪،‬ﲢﻠﻴﻠﻰ و اﻃﻼع رﺳﺎﻧﻰ‬



‫ﻓﻬﺮﺳﺖ‬



‫ﻳﺎدداﺷﺖ ﺳـﺮدﺑﻴﺮ‬ ‫‪ a‬ﭼﻪ ﺳﺎﻛـﺖ اﺳﺖ!‬ ‫رﻳﺎﺿﻰدانﻫـﺎ ﺑﻪ ﻋﻨﻮا ن آﻣـﻮزﺷﮕﺮان رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴـﺮى ﺣﺴﺎﺑﺎن در دام ﻣﻔـﻬﻮم ﺣﺪ و ﻧﻤـﺎدﻫﺎ )ﺑﺨﺶ دوم(‬ ‫»ﺗﺼﻮر ﻣـﻔﻬﻮم« و »ﺗﻌﺮﻳ‪ E‬ﻣـﻔﻬﻮم« ﺑﺮاى ﻣﻔـﻬﻮم »ﺗﺎﺑﻊ«‬ ‫اﺛﺒﺎت ﻧـﺎﻣﺴﺎوىﻫﺎ ﺑﻪ ﻛـﻤﻚ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺤﺪب )ﺑـﺨﺶ اول(‬ ‫رواﻳﺖ ﻣﻌـﻠﻤﺎن‪ :‬ﺗﺪرﻳـﺲ ﺷﻬﻮدى و اﺛﺮ آن ﺑـﺮ ﻳﺎدﮔﻴﺮى داﻧﺶآﻣـﻮزان‬ ‫آﺷﻨـﺎﻳﻰ ﺑﺎ ﻣﺴـﺎﺑﻘﻪ ى رﻳﺎﺿـﻰ ﻛﺎﻧﮕـﻮرو‬ ‫دﻳﺪﮔﺎه)‪ :(١‬اﺳـﺘﻘﺒﺎل از ﺗﻐـﻴﻴﺮ و ﻳﺎ ﻣـﻘﺎوﻣﺖ در ﺑﺮاﺑﺮ آن‬ ‫دﻳﺪﮔـﺎه)‪ :(٢‬ﮔﺰارﺷﻰ از دورهى ﺗﺤـﻠﻴﻞ و روش ﺗـﺪرﻳﺲ…‬ ‫واى ؛ ﻧﻪ اﻳـﮕﺮگ!‬ ‫ﻋﺪد ﺟﺎدوﻳـﻰ‬ ‫ﮔﺰارش و ﺧﺒـﺮ‪ :‬ﺳﻰوﺳﻮﻣﻴﻦ ﻛـﻨﻔﺮاﻧﺲ روانﺷﻨـﺎﺳﻰ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﮔﺰارش و ﺧﺒـﺮ‪ :‬ﻛﺎرﮔﺎه آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﭼـﻬﻠﻤﻴﻦ ﻛﻨـﻔﺮاﻧﺲ رﻳﺎﺿﻰ ﻛﺸـﻮر‬ ‫ﭼﻜﻴـﺪهﻫﺎى ﭘﺎﻳﺎنﻧﺎﻣـﻪﻫﺎى ﻛﺎرﺷﻨﺎﺳﻰ ارﺷـﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﮔﺰارﺷﻰ از دورهى ﺗـﺄﻣﻴﻦ ﻣﺪرس ﻃﺮح ﻏـﻨﻰﺳﺎزى ﺗﺠﺎرب ﻳـﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳـﺎﺿﻰ‬ ‫ﻧﺎﻣﻪﻫﺎى رﺳـﻴﺪه‬



‫‪٢‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٧‬‬ ‫‪٢٣‬‬ ‫‪٢٨‬‬ ‫‪٣٤‬‬ ‫‪٣٦‬‬ ‫‪٤٤‬‬ ‫‪٤٦‬‬ ‫‪٤٨‬‬ ‫‪٤٩‬‬ ‫‪٥٠‬‬ ‫‪٦٠‬‬ ‫‪٦١‬‬ ‫‪٦٢‬‬ ‫‪٦٣‬‬



‫زﻫﺮا ﮔﻮﻳﺎ‬ ‫اﻣﻴﺮﺣﺴﻴﻦ اﺻﻐﺮى‬ ‫ﻫﻴﻤﻦ ﺑﺲ‪ ،‬ﺗﺮﺟﻤﻪ‪ :‬ﻧﺮﮔﺲ ﻣﺮﺗﺎﺿﻰ ﻣﻬﺮﺑﺎﻧﻰ‬ ‫ﻳﻮﺳ‪ q‬آذرﻧﮓ‬ ‫ﻣﻬﺪى ﺟﻮادى‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻏﻼﻣﻴﺎن‬ ‫ﻓﺎﻃﻤﻪ ﺗﻜﺎﻣﻠﻰ ﻣﺎﺳﻮﻟﻪ‬ ‫ﻣﺮﻳﻢ ﺳﻌﻴﺪى و ﺳﭙﻴﺪه ﭼﻤﻦ‪.‬آرا‬ ‫ﻳﻮﺳ‪ q‬آذرﻧﮓ‬ ‫ﻋﻠﻰ روزدار‬ ‫ﻧﺪا ﻣﻬﺪوى ﻏﺮوى‬ ‫ﻓﺎﻃﻤﻪ ﺗﻜﺎﻣﻠﻰ ﻣﺎﺳﻮﻟﻪ‬ ‫ﻣﺎﻧﻰ رﺿﺎﺋﻰ‬ ‫ﺑﻬﺰاد اﺳﻼﻣﻰ ﻣﺴﻠّﻢ‬ ‫زﻫﺮه ﭘﻨﺪى‬



‫ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻧﻮﺷﺘﻪﻫﺎ و ﮔﺰارش ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮان و ﻣﺘﺨﺼﺼﺎن ﺗﻌﻠﻴﻢ وﺗﺮﺑﻴﺖ‪ ،‬ﺑﻪ وﻳﮋه ﻣﻌﻠّﻤﺎن دورهﻫﺎى ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ ﻣﺨﺘﻠ‪ E‬را در ﺻﻮرﺗﻰ ﻛﻪ در ﻧﺸﺮﻳﺎت ﻋﻤﻮﻣﻰ‬ ‫درج ﻧﺸﺪه و ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ ﻣﻮﺿﻮع ﻣﺠﻠﻪ ﺑﺎﺷﺪ ‪،‬ﻣﻰﭘﺬﻳﺮد ‪ .‬ﻻزم اﺳﺖ در ﻣﻄﺎﻟﺐ ارﺳﺎﻟﻰ ﻣﻮارد زﻳﺮ رﻋﺎﻳﺖ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫● ﻧﺸﺎﻧﻰ دﻓﺘﺮ ﻣﺠﻠﻪ ‪ :‬ﺗﻬﺮان‪ ،‬اﻳﺮاﻧﺸﻬﺮ‪.‬ﺷﻤﺎﻟﻰ‪ ،‬ﭘﻼك ‪.٢٦٦‬‬ ‫ﺻﻨﺪوق ﭘﺴﺘﻰ‪١٥٨٧٥/٦٥٨٥:‬‬ ‫● ﺗﻠﻔﻦ ‪) ٨٨٨٣١١٦١-٩ :‬داﺧﻠﻰ ‪( ٣٧٤‬‬ ‫● ﻧﻤﺎﺑﺮ‪٨٨٣٠١٤٧٨ :‬‬ ‫●ﭘﺎﻳﮕﺎه اﻳﻨﺘﺮﻧﺘﻰ‪www.roshdmag.ir :‬‬ ‫● راﻳﺎﻧﺎﻣﻪ‪E-mail: [email protected]‬‬ ‫● ﺗﻠﻔﻦ ﭘﻴﺎمﮔﻴﺮ ﻧﺸﺮﻳﺎن رﺷﺪ‪٨٨٣٠١٤٨٢ :‬‬ ‫● ﻛﺪ ﻣﺪﻳﺮﻣﺴﺌﻮل‪ ● ١٠٢ :‬ﻛﺪ دﻓﺘﺮ ﻣﺠﻠﻪ‪● ١١٣:‬‬ ‫ﻛﺪ اﻣﻮر ﻣﺸﺘﺮﻛﻴﻦ‪١١٤ :‬‬ ‫● ﻧﺸﺎﻧﻰ اﻣﻮر ﻣﺸﺘﺮﻛﻴﻦ‪:‬ﺗﻬﺮان‪،‬ﺻﻨﺪوق ﭘﺴﺘﻰ‪١٦٥٩٥ /١١١:‬‬ ‫● ﺗﻠﻔﻦ اﻣﻮر ﻣﺸﺘﺮﻛﻴﻦ ‪٧٧٣٣٦٦٥٥-٧٧٣٣٦٦٥٦:‬‬ ‫● ﭼﺎپ‪ :‬ﺷﺮﻛﺖ اﻓﺴﺖ )ﺳﻬﺎﻣﻰ ﻋﺎم(‬ ‫● ﺷﻤﺎرﮔﺎن‪١٢٠٠٠:‬‬



‫ﻣﻄﺎﻟﺐ ﻳﻚ ﺧﻂ در ﻣﻴﺎن و در ﻳﻚ روى ﻛﺎﻏﺬ ﻧﻮﺷﺘﻪ و در ﺻﻮرت اﻣﻜﺎن ﺗﺎﻳﭗ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺷﻜﻞ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺟﺪول ﻫﺎ‪ ،‬ﻧﻤﻮدارﻫﺎ و ﺗﺼﺎوﻳﺮ‪ ،‬ﭘﻴﻮﺳﺖ و در ﺣﺎﺷﻴﻪ‪.‬ى ﻣﻄﻠﺐ ﻧﻴﺰ ﻣﺸﺨﺺ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻧﺜﺮ ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬روان و از ﻧﻈﺮ دﺳﺘﻮر زﺑﺎن ﻓﺎرﺳﻰ درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ و در اﻧﺘﺨﺎب واژه‪.‬ﻫﺎى ﻋﻠﻤﻰ و ﻓﻨﻰ دﻗﺖ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺑﺮاى ﺗﺮﺟﻤﻪ‪.‬ى ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬ﻧﺨﺴﺖ اﺻﻞ ﻣﻘﺎﻟﻪ و ﻣﻨﺒﻊ دﻗﻴﻖ آن‪ ،‬ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه ﺗﺮﺟﻤﻪ‪.‬ى ﻳﻚ ﺑﻨﺪ از آن‪ ،‬ﺑﻪ دﻓﺘﺮ ﻣﺠﻠﻪ ارﺳﺎل ﺷﻮد ﺗﺎ ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻰ‬ ‫ﻫﻴﺌﺖ ﺗﺤﺮﻳﺮﻳﻪ ﻗﺮار ﮔﻴﺮد و ﭘﺲ از ﺗﺼﻮﻳﺐ ﻣﻘﺎﻟﻪ و ﺗﺮﺟﻤﻪ‪.‬ى اراﻳﻪ ﺷﺪه‪ ،‬ﺳﻔﺎرش ﺗﺮﺟﻤﻪ ﺑﻪ ﻓﺮﺳﺘﻨﺪه‪.‬ى ﻣﻘﺎﻟﻪ داده ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪ .‬در ﻏﻴﺮ‬ ‫اﻳﻦ ﺻﻮرت‪،‬ﻣﺠﻠﻪ ﻣﻰ‪.‬ﺗﻮاﻧﺪ ﺳﻔﺎرش ﺗﺮﺟﻤﻪ‪.‬ى ﻣﻘﺎﻟﻪ را ﺑﻪ ﻣﺘﺮﺟﻢ دﻳﮕﺮى ﺑﺪﻫﺪ‪.‬‬ ‫در ﻣﺘﻦ ﻫﺎى ارﺳﺎﻟﻰ ﺗﺎ ﺣﺪ اﻣﻜﺎن از ﻣﻌﺎدل‪.‬ﻫﺎى ﻓﺎرﺳﻰ واژه‪.‬ﻫﺎ و اﺻﻄﻼﺣﺎت اﺳﺘﻔﺎده ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﭘﻰ‪.‬ﻧﻮﺷﺖ ﻫﺎ و ﻣﻨﺎﺑﻊ‪ ،‬ﻛﺎﻣﻞ و ﺷﺎﻣﻞ ﻧﺎم اﺛﺮ‪ ،‬ﻧـﺎم ﻧﻮﻳﺴﻨﺪه‪ ،‬ﻧﺎم ﻣﺘﺮﺟﻢ‪ ،‬ﻣﺤﻞ ﻧﺸﺮ‪ ،‬ﻧﺎﺷﺮ‪ ،‬ﺳﺎل اﻧﺘﺸﺎر و ﺷﻤﺎره‪.‬ى ﺻﻔﺤﻪ‪.‬ى ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﺑـﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﭼﻜﻴﺪه اى از اﺛﺮ و ﻣﻘﺎﻟﻪ‪.‬ى ارﺳﺎل ﺷﺪه در ﺣﺪ اﻛﺜﺮ ‪ ٢٥٠‬ﻛﻠﻤﻪ ‪ ،‬ﻫﻤﺮاه ﻣﻄﻠﺐ ارﺳﺎل ﺷﻮد‪.‬‬ ‫در ﻣﻘﺎﻟﻪ‪.‬ﻫﺎى ﺗﺤﻘﻴﻘﻰ ﻳﺎ ﺗﻮﺻﻴﻔﻰ‪ ،‬واژه‪.‬ﻫﺎى ﻛﻠﻴﺪى در اﻧﺘﻬﺎى ﭼﻜﻴﺪه‪ ،‬ذﻛﺮ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻫﻢﭼﻨﻴﻦ‪:‬‬ ‫ﻣﺠﻠﻪ در ﭘﺬﻳﺮش‪ ،‬رد‪ ،‬وﻳﺮاﻳﺶ ﻳﺎ ﺗﻠﺨﻴﺺ ﻣﻘﺎﻟﻪ‪.‬ﻫﺎى رﺳﻴﺪه ﻣﺠﺎز اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﺐ ﻣﻨﺪرج در ﻣﺠﻠﻪ ‪ ،‬اﻟﺰاﻣﺎ ﻣﺒﻴّﻦ ﻧﻈﺮ دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷﻰ ﻧﻴﺴﺖ و ﻣﺴﺌﻮﻟﻴﺖ ﭘﺎﺳﺦ‪.‬ﮔﻮﻳﻰ ﺑﻪ ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎى ﺧﻮاﻧﻨﺪﮔﺎن‪ ،‬ﺑﺎ‬ ‫ﺧﻮد ﻧﻮﻳﺴﻨﺪه ﻳﺎ ﻣﺘﺮﺟﻢ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﻘﺎﻟﻪ‪.‬ﻫﺎى درﻳﺎﻓﺘﻰ در ‪.‬ﺻﻮرت ﭘﺬﻳﺮش ﻳﺎ رد ‪ ،‬ﺑﺎز‪.‬ﮔﺸﺖ داده ﻧﻤﻰ‪.‬ﺷﻮد‪.‬‬



‫‪١‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫داﺳﺘﺎن ﻛـﻨـﻜـﻮر در اﻳـﺮان‪ ،‬آن ﻗﺪر ﭘﺮ ﺣـﺎﺷـﻴـﻪ و ﭘـﺮ ﻫـﻴـﺠـﺎن و‬ ‫ﭘﺮ آب و ﺗﺎب اﺳﺖ ﻛﻪ ﺟﻤﻊ ﻛـﺜـﻴـﺮى را در ﻫﺮ ﺳﺎل‪ ،‬ﺑـﻪ ﺧـﻮد ﺟﺬب‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﻫﺮﻛﺲ ﺑﻪ اﻧﺪازه ى ﻗﻮه ى ﺗﺨﻴﻞ و ﺗﺼﻮر ﺧﻮد‪ ،‬ﺷﺎخ و ﺑﺮگ‬ ‫ﺗﺎزه اى ﺑﻪ آن اﺿﺎﻓﻪ ﻣﻰ ﻧﻤـﺎﻳـﺪ و ﻫـﺮ ﻧـﻮﺷﺘﻪ اى ﻛـﻪ در ﻣـﻮرد اراﻳـﻪ ى‬ ‫راﻫﻜﺎرﻫﺎى ﺑﻜـﺮ! و اﺑﺘﻜـﺎرى! ﺑﺮاى ﻣﻮﻓﻖ ﺷﺪن در اﻳﻦ ﻋـﺮﺻﻪ ى ﭘـﺮ‬ ‫رﻣﺰ و راز ﺗـﻮﻟﻴﺪ ﻣﻰ ﺷـﻮد‪ ،‬داراى ﺷﻤـﺎرﮔﺎن ﺑﺎﻻﻳﻰ اﺳﺖ و اﻏـﻠـﺐ‪،‬‬ ‫ﭼﻨـﺪﻳـﻦ ﺑـﺎر ﺗـﺠـﺪﻳـﺪﭼـﺎپ ﻣـﻰ ﺷـﻮد‪ .‬ﺗﺎ ﺟـﺎﻳـﻰ ﻛـﻪ داﺳـﺘـﺎن ﻫـﺎى‬ ‫ﺳﺮﮔﺮم ﻛﻨﻨﺪه ﺑﺮاى ﺧﻮاﻧﻨﺪﮔﺎن ﻣﺸﺘﺎق ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮد‪ ،‬ﻣﺸﻜﻠﻰ ﻧﻴﺴﺖ‪.‬‬ ‫اﻣﺎ درد ﺑﻰ درﻣﺎن از ﺟﺎﻳﻰ آﻏﺎز ﻣﻰ ﮔﺮدد ﻛﻪ ﺑﺴﻴـﺎرى از ﻣﺮدم ﺟﺎﻣﻌﻪ ـ‬ ‫ﺣﺘﻰ آدم ﻫﺎى ﺗﺤﺼﻴﻞ ﻛﺮده و ﻓﺮﻫﻨﮕﻰ ـ اﻳﻦ داﺳﺘﺎن ﻫﺎ را واﻗﻌﻰ ﺗﺼﻮر‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ! ﺷﻨﺎﺧﺖ و ﭼﺮاﻳﻰ اﻳﻦ درد و رﻳﺸﻪ ﻳﺎﺑﻰ آن‪ ،‬ﺧﺎرج از ﺣﻮزه ى‬ ‫ﻛﻨﻜﻮر اﺳﺖ و ﺑﺤﺚ اﻳﻦ ﻳـﺎدداﺷـﺖ‪ ،‬اﺷـﺎره ﺑﻪ ﮔـﻮﺷﻪ ﻫﺎﻳﻰ از اﻳـﻦ‬ ‫ﻣﻌﻀﻞ وﻳﺮاﻧﮕﺮ اﺟﺘﻤﺎﻋﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫***‬ ‫اﮔﺮ ﺗﻐﻴﻴـﺮات اﻳﺠﺎد ﺷﺪه در ﺗﺒﻠﻴﻐﺎت ﻣـﺆﺳﺴﺎت ﻣﺘﻮﻟﻰ آﻣـﻮزش‬ ‫س وﻳﮋه ﺑﺮاى ﺟﻠﺐ‬ ‫ﺑﺮاى ﻛﻨﻜﻮر و ﺗﺄﺛﻴﺮ آن ﻫـﺎ را ﺑـﺮ رﻗﺎﺑﺖ ﺑﻴﻦ ﻣـﺪار ِ‬ ‫ان ﺑﻪ اﺻﻄﻼح »ﻧﺨﺒﻪ« ﻣﻮرد ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ى ﻋﻤﻴﻖ ﺗﺮ و دﻗﻴﻖ ﺗﺮى‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮز ِ‬ ‫ﻗﺮار دﻫﻴﻢ‪ ،‬ﺷﺎﻳﺪ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺗﺨﻴﻠﻰ ﺷﺪن ﺑﻴـﺸـﺘـﺮ و ﺑـﻴـﺸـﺘـﺮ داﺳـﺘـﺎن‬ ‫ﻛﻨﻜﻮر‪ ،‬ﭘﻰ ﺑﺒﺮﻳﻢ‪ .‬در ﺗـﺒـﻠـﻴـﻐـﺎت ﺟـﺪﻳـﺪ‪ ،‬ﺣـﺪ و ﻣـﺮزﻫﺎ ﺷﻜـﺴـﺘـﻪ‬ ‫ﺷﺪه اﻧﺪ‪ ،‬ﺣﻴﻄﻪ ﻫﺎى ﻋﻠﻤﻰ و ﻋﻠـﻮم اﻧﺴﺎﻧﻰ و ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ ﻳﻜﻰ ﭘـﺲ از‬ ‫دﻳﮕﺮى درﻧﻮردﻳﺪه ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ و ﻣﺘﺄﺳﻔﺎﻧﻪ ﻛﺴﻰ ﻧﻴﺴﺖ ﺑﮕﻮﻳﺪ ﻛﻪ »ﻟﺒﺎس‬ ‫اﻳﻦ اﻣﭙـﺮاﻃﻮر ﻛﺠﺎﺳﺖ!؟« ﭼـﮕـﻮﻧﻪ ﻣﻰ ﺷـﻮد ﻛﻪ ﻫﺮ ﻣـﺆﺳﺴﻪ اى ﺑـﻪ‬ ‫ﺗﻨﺎﺳﺐ اﻣﻜﺎﻧﺎت و ﺷﻬﺮﺗﺶ‪ ،‬ﺟﺴﻮراﻧﻪ ﺗﺮ از ﺳﺎﻳﺮ ﺣﻮزه ﻫﺎ وام ﻣﻰ ﮔﻴﺮد‬ ‫و ﺑﺎ ﻫﺰﻳﻨﻪ ﻛﺮدن ﺗﻜﻨﻴﻚ ﻫﺎ و ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ آن ﺣـﻮزه ﻫﺎ و ﻟﻮث ﻛﺮدن آﻧﺎن‪،‬‬ ‫ﻣﺸﺘﺮى ﺑﻰ ﺻﺒﺮ و ﻣﺸﺘﺎق و ﭘﺮﭘﻮل و ﻏﻴﺮواﻗﻊ ﺑﻴﻦ را ﺟﺬب ﺧﻮد ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‬ ‫و در اﻳﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺗﻴﺮ ﺑﻪ ﻫﺪف ﺧﻮرده و داﻧﺶ آﻣﻮز ﻣﻌﺼﻮم و‬ ‫ﺷﻜﻨﻨﺪه و ﺗﺤﺖ ﻓﺸﺎر از ﻫـﻤـﻪ ﻃـﺮف‪ ،‬ﺷﻴﻔﺘﻪ ى اﻳﻦ ﻫﻤﻪ ﭼـﻴـﺰﻫﺎى‬ ‫ﺟﺪﻳﺪ ﻣﻰ ﺷﻮد! او ﺧﻮدش را ﻳﻚ ﺑﺎره ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﻮع آﻣﻮزش ﻣﻰ ﺳﭙﺎرد و‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫‪٢‬‬



‫ﺑﺎ ﺗﻌﻄﻴـﻞ ﻛـﺮدن ذﻫﻦ ﺧـﻼق و روح ﺟﺴﺖ و ﺟـﻮﮔـﺮ و ژرف اﻧﺪﻳـﺶ‬ ‫ﺧﻮﻳﺶ‪ ،‬ﺑﺎ اﻋﺘﻤﺎد ﺗﻤﺎم ﻣﻨﺘﻈﺮ ﻣﻰ ﻣﺎﻧﺪ ﻛﻪ ﺗﻮﺻﻴﻪ ﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ ﻣﺆﺳﺴﻪ‬ ‫ﻳﺎ ﻣﺪرﺳﻪ در ﻣﻮرد ذﻫﻦ و ﺣﺎﻓﻈﻪ و ﻳﺎدﮔﻴﺮى و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى و ﭼﻪ و ﭼﻪ‬ ‫ﺟﻮاب دﻫﻨﺪ و او را ﺑﻪ آرﻣﺎن ﻫﺎﻳﺶ ﺑﺮﺳﺎﻧﻨﺪ‪ ،‬و اﻳﻦ در ﺣﺎﻟﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ‬ ‫ﻋﻤﻼ ﺑﻪ ﺗﻌـﺪاد داوﻃﻠﺒﺎن ورود ﺑﻪ آﻣـﻮزش ﻋﺎﻟﻰ‪ ،‬ﺻﻨﺪﻟﻰ ﺧﺎﻟـﻰ در‬ ‫ً‬ ‫ﻣﺆﺳﺴـﺎت واﺑﺴﺘـﻪ وﺟـﻮد دارد! اﻳﻦ ﺳﺎده اﻧﮕـﺎرى ﻫﺎ اﻧـﺴـﺎن را ﺑﻪ ﻳﺎد‬ ‫ﻗﺼﻪ ﻫﺎى ﺷﺎه ﭘﺮﻳﺎﻧﻰ ﻣـﻰ اﻧـﺪازد ﻛﻪ دﺧﺘﺮ ﻟﻄـﻴـ‪ ِt‬ﻧﺎزك دل‪ ،‬ﻣﻨﺘﻈـﺮ‬ ‫ﻣﻰ ﻣﺎﻧﺪ ﺗﺎ ﺷﺎﻫﺰاده اى ﺑﺎ اﺳﺐ ﺳﻔﻴﺪ ﺑﻴﺎﻳﺪ و او را ﺗﺎ آﺳﻤﺎن رؤﻳﺎﻫﺎﻳﺶ‬ ‫ﺑﺒﺮد! ﺣﺎل اﻳﻦ ﺷﺎﻫـﺰاده ﺑﺎ اﺳﺐ ﺳﻔﻴـﺪ‪ ،‬ﺑـﺮاى ﺑﺴﻴﺎرى از دﺧﺘـﺮان و‬ ‫ﭘﺴﺮان اﻳﻦ ﻣﺮز و ﺑﻮم‪ ،‬ﻫﻮﻳﺖ ﻋﻠﻤﻰ ﻫﻢ ﭘﻴﺪا ﻛـﺮده و ﻛﻢ ﻛﻢ‪ ،‬ﺑﻌﻀﻰ‬ ‫از آن ﻫﺎ ﺑﺎور ﻛﺮده اﻧﺪ ﻛﻪ اﮔﺮ ِوردﻫﺎى درﺳﺖ را ﻳﺎد ﺑﮕﻴﺮﻧﺪ‪ ،‬ﺷﺎﻫﺰاده ى‬ ‫رؤﻳﺎﻫﺎﺷﺎن ﺳـﻮار ﺑﺮ اﺳﺐ ﺳﻔﻴﺪ‪ ،‬آن ﻫـﺎ را ﺑﺮ ﺻﻨﺪﻟﻰ ﻫﺎى ﻣﻨﺎﺳـﺐ‬ ‫داﻧﺸﮕﺎه ﻣﻮرد اﻧﺘﻈﺎرﺷﺎن ﻣﻰ ﻧﺸﺎﻧﺪ!‬ ‫از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﺑﺴﻴﺎرى از ﻣﺪارس وﻳﮋه ـ ﺑﻪ ﻣﻌﻨﺎى وﺳﻴﻊ آن ـ ﻛﻢ‬ ‫ﻧﻤﻰ آورﻧﺪ و ﺑﺮاى ﺟﻠﺐ ﻣﺸﺘﺮى‪ ،‬از ﺳﻴﺎﺳﺖ ﺗﺮﻛﻪ و ﺷﻴﺮﻳﻨﻰ ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ؛ ﺗﺤﺖ ﺳﺨﺖ ﺗﺮﻳﻦ ﺷﺮاﻳﻂ اﻣﺘﺤﺎن‪ ،‬داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫را ﺳََﺮﻧﺪ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ و در ﻃﻮل آﻣﻮزش‪ ،‬ﻣﺮﺗﺐ ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﻧﻬﻴﺐ ﻣﻰ زﻧﻨﺪ ﻛﻪ‬ ‫ﻗﺪر آن زﺣﻤﺎت را ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺪاﻧﻨﺪ و ﺑﻪ ذره اى ﻛﻤﺘﺮ از ﻋﺎﻟﻰ ﺗﺮﻳﻦ‪ ،‬ﺑﺴﻨﺪه‬ ‫ﻧﻜﻨﻨﺪ! اﻳﻦ ﻣﻠﻐﻤﻪ ى ﺟﺪﻳﺪ‪ ،‬ﻣﻮﺿﻮﻋﻰ ﺗﺤﻘﻴﻖ ﭘﺬﻳﺮ و ﺑﺴﻴﺎر ﺣﺴﺎس‬ ‫اﺳﺖ ﻛﻪ ﭘﺮداﺧﺘﻦ ﺑﻪ آن‪ ،‬ﻧﻴـﺎزﻣﻨﺪ اﻧﺠﺎم ﭘﮋوﻫﺶ ﻫﺎى ﺟﺪى اﺳـﺖ‪.‬‬ ‫اﻣﺎ ﺧﻮب اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻧـﻔـﺮات اول ﺗﺎ دﻫﻢ ﻛﻨﻜﻮر ﺳـﺮاﺳﺮى ‪٨٨-٨٩‬‬ ‫دوﺑﺎره ﺑﻨﮕﺮﻳﻢ و ﺑﺒﻴﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﭼـﻨـﺪ درﺻﺪ آن ﻫﺎ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻃﺒﻴﻌﻰ ﺑﻪ اﻳـﻦ‬ ‫ﻣﻘﺎم رﺳﻴﺪﻧﺪ و ﭼﻨﺪ درﺻﺪ آن ﻫﺎ‪ ،‬ﺑﺎ ﺻﺮف ﻣﻴﻠﻴﻮن ﻫﺎ ﺗﻮﻣﺎن در ﻇﺮف‬ ‫ﭼﻨﺪ ﺳﺎل و ﺑﻪ ﻗﻴﻤﺖ ﺧﺴﺘﻪ ﻧﻤﻮدن و ﻣﻀﻄﺮب ﻛﺮدن و رﻧﺠﻮر ﺷﺪﻧﺸﺎن‬ ‫ﺑﻪ داﻧﺸﮕﺎه رﺳﻴﺪﻧﺪ‪ .‬داﻧﺶ آﻣﻮزاﻧﻰ ﻛﻪ ﺑﻌﺪ از ﺧﺮوج از ﻧﻈﺎم ﻣﺪرﺳﻪ اى‬ ‫و آﻣﻮزﺷﮕﺎﻫﻰ‪ ،‬ﻣﺴﺎﻳﻞ و ﻣﺸﻜﻼﺗﺸﺎن ﺑﺮوز ﻣﻰ ﻛﻨﺪ و ﻛﺴﻰ ﻧﻴﺴـﺖ‬ ‫ﻛﻪ ﻣﺴﺌﻮﻟﻴﺖ ﻧﺎﺑﺴﺎﻣﺎﻧﻰ آن ﻫﺎ را ﺑﻪ ﻋﻬﺪه ﺑﮕﻴﺮد!‬ ‫***‬



‫در ﺗﺎﺑﺴﺘﺎن ‪ ،٨٨‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﺗﺼﺎدﻓﻰ ﺗﻠﻮﻳﺰﻳﻮن را ﺑﺎز ﻛﺮدم و ﻣﻄﻠﺒﻰ‬ ‫را در ﻳﻜﻰ از ﺷﺒﻜﻪ ﻫﺎى آن ﺷﻨﻴﺪم ﻛﻪ ﺑﻪ ﺟﻬﺎت ﻣﺨﺘﻠ‪ ،t‬ﺑﺮاﻳﻢ ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫ﺗﺄﻣﻞ ﺑـﻮد‪ .‬ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺒﺐ ﺗﻤﺎم ﺻﺤﺒـﺖ ﻫـﺎ را ﻳﺎدداﺷﺖ ﻛـﺮدم و ﺗﻼش‬ ‫ﻧﻤﻮدم ﺗﺎ ﺑﺎ ﮔﻮﻳﻨﺪه ى ﻣﺤﺘﺮم‪ ،‬از ﻃﺮﻳﻖ ﺷﻤﺎره ﺗﻤﺎﺳﻰ ﻛﻪ ﭘﺎﻳﻴﻦ ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫ﺑﻮد‪ ،‬ﺻﺤﺒﺖ ﻛﻨﻢ اﻣﺎ ﻣـﻮﻓﻖ ﻧﺸﺪم‪ .‬در ﻫﺮ ﺻﻮرت‪ ،‬آﻗﺎﻳﻰ ﺟﻮان ﺑﻪ‬ ‫ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪ دﻋـﻮت ﺷﺪه ﺑـﻮد ﺗـﺎ راﺟﻊ ﺑـﻪ ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪ رﻳـﺰى ﺑـﺮاى ﻛﻨـﻜـﻮر ﺑـﻪ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان رﻫﻨﻤﻮد دﻫﺪ )ﻳﺎدداﺷﺖ ﻫﺎ و ﻣﺴﺘﻨﺪات اﻳﻦ ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ‪ ،‬در‬ ‫دﻓﺘﺮ ﻣﺠﻠﻪ ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ(‪ .‬اﻳﺸﺎن ﺑﺎ اﺻﺮار ﻣﻰ ﮔﻔﺘﻨﺪ ﻛﻪ »داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫ﺗﺎ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺟﻴﺒﺎ ﺷﻮﻧﻮ ﭘﺮ از ﺳـﻮاد ﻛﻨﻨﺪ«! ﺳﭙﺲ اداﻣﻪ دادﻧﺪ ﻛﻪ »اﻳﻦ‬ ‫ﻳﻚ ﻗﺎﻧﻮن اﺳﺖ! درس ﻫﺎ ﺑﺎﻳﺪ ﺗﺎ اﺳﻔﻨﺪ ﺗﻤﺎم ﺷـﻮﻧﺪ‪ «.‬اﮔﺮ ﺑﻪ ﻫﻤﻴـﻦ‬ ‫دو ﺗﻮﺻﻴﻪ ﺑﺴﻨﺪه ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬ﺑﺎﻳـﺪ ﺗـﺮس و ﻟﺮزش و ﻋﺮق ﺳـﺮد را ﺑﺮ ﺗﻴﺮه ى‬ ‫ﭘﺸﺖ ﺧﻮد اﺣﺴﺎس ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺧﺪاﻳـﺎ! ﺳـﻮاد ﭼﻪ ﻫﺴﺖ ﻛﻪ ﺟﻴﺐ ﭘـﺮﻛﻦ‬ ‫ﺷﺪه! ﻳﺎد »ﻣﺪرﺳﻪ ى ﻣﻮش ﻫﺎ« اﻓﺘﺎدم ﻛﻪ »ﻛﭙﻞ«‪ ،‬ﻫﻤﻴﺸﻪ »ﺟﻴﺐ ﻫﺎﺷﻮ‬ ‫ﭘﺮ از ﻓﻨﺪق و ﭘﺴﺘﻪ ﻣﻰ ﻛﺮد« ﺗﺎ ﺑﺮاى ﻣﻐﺰش ﺧﻮراك ﺗﻬﻴﻪ ﻛﻨﺪ! وﻟﻰ آﻳﺎ‬ ‫ﺣﺐ ﺳـﻮاد را ﻣﻰ ﺗﻮان ﺧـﻮرد ﻳﺎ اﻛﺴﻴـﺮش را ﻧﻮﺷﻴﺪ و ذﻫـﻦ را ﭼﺎق و‬ ‫ﭼﻠﻪ ﻧﻤـﻮد!؟ ﺑﻪ اﺳﺘﻨﺎد ﭼﻪ ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎى ﻋﻠﻤﻰ‪ ،‬اﻳﻦ ﭼـﻨـﻴـﻦ ﺑـﻰ ﭘـﺮوا ﺑﻪ‬ ‫»ﻋﻠﻢ زداﻳﻰ« ﻣﻰ ﭘﺮدازﻧﺪ و از ﮔﻞ ﻧﺎزك ﺗﺮ ﻧﻤﻰ ﺷﻨﻮﻧﺪ؟ اﻟﻠﻪ اﻋﻠﻢ!‬ ‫ﺗـﻮﺻـﻴـﻪ ى ﺑـﻌـﺪى ﺗـﻜـﻴـﻪ ﺑــﺮ ﻗــﺎﻧــﻮن ﺗـﻤـﺎم ﺷــﺪن درس ﻫـﺎى‬ ‫ﭘﻴﺶ داﻧﺸﮕﺎﻫﻰ ﺗﺎ ﭘﺎﻳﺎن اﺳﻔﻨﺪ ﻣﺎه ﺑﻮد‪ .‬ﺗﻨﺎﻗﺾ ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﺗﻨﺎﻗﺾ ﺑﻴﺪاد‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬از ﻃـﺮﻓﻰ راﺟﻊ ﺑﻪ ﺿـﺮورت ﺗﺄﺛﻴﺮ ﻣﻌﺪل ﺑـﺮ ﻗـﺒـﻮﻟﻰ ﻛﻨﻜـﻮر‬ ‫ﺻﺤﺒﺖ ﻣﻰ ﺷﻮد ﺗﺎ ﺣﻴﺎت ﻃﺒﻴﻌﻰ ﺑﻪ ﻣﺪرﺳﻪ ﺑﺎزﮔﺮدد و از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ‪،‬‬ ‫در رﺳﺎﻧﻪ ى ﻣﻠﻰ ﺑﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان و ﺧﺎﻧﻮاده ﻫﺎى آن ﻫﺎ ﺗﻮﺻﻴﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد‬ ‫ﻛﻪ از ﻗﺎﻧـﻮن ﺗﻤﺎم ﺷـﺪن دروس در اﺳﻔﻨﺪ ﻣﺎه ﺗﺒﻌﻴﺖ ﻛﻨﻨﺪ! و اﻳـﻦ ﺑـﻪ‬ ‫ﻧﻮﻋﻰ‪ ،‬ﻓﺎﺗﺤﻪ ى ﻣﺪرﺳﻪ را ﺧﻮاﻧﺪن و ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﺮدن آن ﺑﻪ ﻳﻚ ﻣﺆﺳﺴﻪ ى‬ ‫ﺗﺠﺎرى ـ آﻣﻮزﺷﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻗﺼﺪ ﻧﺪارم ﺑﺎ ﺑﻴﺎن ﻣﺠﺪد ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ اى ﻛﻪ ﺑﻪ ﺳﻬﻮﻟﺖ ﻗﺎﺑﻞ دﺳﺘﺮﺳﻰ‬ ‫اﺳﺖ‪ ،‬ﺧﻮاﻧﻨﺪه را ﺧﺴﺘﻪ ﻛﻨﻢ‪ .‬ﻓﻘﻂ ﻳﻜﻰ دو ﻧﻜﺘﻪ از ﺗﻨﻬﺎ ﻳﻚ ﺟﻠﺴـﻪ‬ ‫از ﺑﺮﻧﺎﻣـﻪ را ذﻛﺮ ﻛـﺮدم ﺗﺎ ﺑﺎ ﻧـﻮع ﺷﺴﺖ و ﺷـﻮﻫﺎى ﻣﻐـﺰى ﻛﻪ ﮔﺮﻳـﺒـﺎن‬ ‫ﺟﺎﻣﻌﻪ ى داﻧﺶ آﻣﻮزى و ﺧﺎﻧﻮاده ﻫﺎى آن ﻫﺎ را ﮔﺮﻓﺘﻪ آﺷﻨﺎ ﺷﻮﻳﻢ‪ .‬اﻳﻦ‬ ‫ﻛﺎرﺷﻨﺎس ﻣﺤﺘﺮم‪ ،‬ﻋﺮﺻﻪ ى ﻛﻨﻜـﻮر را ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺟﻨﮕﻰ و ﺑﻰ اﻧﻌﻄﺎف و‬ ‫ﻋﺎرى از ﺧﻄﺎ ﺗﻮﺻﻴ‪ t‬ﻧﻤﻮد‪ .‬ﻣﺜﻼً‪ ،‬وى ﺗﺬﻛﺮ داد ﻛﻪ »داوﻃﻠﺒﻰ دوام‬ ‫ﻣﻰ آورد ﻛﻪ ﻧﻈﻢ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬داوﻃﻠﺒﻰ دوام ﺑﻴﺸﺘﺮى ﻣﻰ آورد ﻛﻪ ﻣﻨﻈﻢ‬ ‫ﻛﺎر ﻛﻨﺪ ـ ﻧﻈﻢ ﻫﻤـﻪ ﭼـﻰ‪ ،‬ﻧـﻈـﻢ ﺟـﺎﻳـﻰ ﻛـﻪ درس ﻣﻰ ﺧـﻮاﻧﺪ‪ ،‬ﻧﻈـﻢ‬ ‫ﻛﺘﺎب‪ ،…،‬داوﻃﻠﺐ ﺑﺎﻳﺪ ﻃﻮرى ﻛﺎر ﻛﻨﺪ ﻛﻪ اﮔﺮ ﺑﻌﺪ از ﭼﻨﺪ ﺳﺎﻋﺖ‬ ‫ﺧﻮد را در آﻳﻴﻨﻪ ﺑﺒﻴﻨﺪ ﺑﻪ ﺧـﻮدش ﺑﮕﻮﻳﺪ ﺧﺴﺘﻪ ﻧﺒﺎﺷـﻴـﺪ‪ «.‬و در اواﺧﺮ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﺗﺄﻛﻴﺪ ﻧﻤﻮد ﻛﻪ »ﻣﺎ ﻗﺎﻃﻌﺎﻧﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ اﻣﺎ ﻧﻪ ﻗﺎﺗﻼﻧﻪ!«‬ ‫اﻓﺴـﻮس ﻛﻪ اﻳﻦ ادﺑﻴﺎت؛ ﺑﺎ ادﺑﻴـﺎت ﻣـﺸـﻔـﻘـﺎﻧـﻪ‪ ،‬واﻗﻊ ﺑﻴـﻨـﺎﻧـﻪ‪،‬‬ ‫اﻧﺴﺎن دوﺳﺘﺎﻧﻪ و اﻧﺴﺎن ﭘﺮور آﻣﻮزﺷﻰ‪ /‬ﺗﻌﻠﻴﻢ و ﺗﺮﺑﻴﺖ ﺗﻔﺎوت ﻣﺎﻫﻮى‬ ‫دارد و درﺣﻘﻴﻘﺖ‪ ،‬ﭘﺎراداﻳﻢ آن ﻫﺎ ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺘﻔـﺎوت اﻧﺪ‪ .‬ﻧﻤﻰ داﻧﻢ ﻫﻨﻮز‬



‫وﻗﺘﻰ ﺑﺮاى ﻧﺠﺎت ذﻫﻦ ﻫﺎى ﺑﻜﺮ و ﺧﻼق و ﺗـﻮاﻧﺎ و ﺑﺎﻫﻮش از دام‬ ‫ﭼﻨﻴﻦ وﺳﻮﺳﻪ ﻫﺎﻳﻰ ﺑﺎﻗﻰ ﻣﺎﻧﺪه ﻳﺎ ﺧﻴﺮ‪ .‬اﻣﺎ اﻳﻦ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎ و ﺗﻔﻜﺮات‬ ‫و واﻗﻌﻴـﺖ ﮔـﺮﻳـﺰى ﻫﺎ‪ ،‬ﺗـﺄﺛـﻴـﺮات ﺳﻮء ﺧـﻮد را ﺑﺮ ﺟﺎﻣـﻌـﻪ و ﺣـﺘـﻰ‬ ‫ﺗﺼﻤﻴﻢ ﮔـﻴـﺮﻧﺪﮔﺎن و ﺗﺼﻤـﻴـﻢ ﺳـﺎزان ﮔﺬاﺷﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﺑـﺴـﻴـﺎرى از‬ ‫ﺧﺎﻧﻮاده ﻫﺎ ﺳﺮ از ﭘﺎ ﻧﺸﻨﺎﺧﺘﻪ‪ ،‬ﻛﻨﻜـﻮر را ﻳﻜﻰ از ﻣﺤﻮرﻫﺎى اﺻﻠﻰ‬ ‫زﻧﺪﮔﻰ ﺧﺎﻧﻮادﮔﻰ ﺧﻮد ﻗﺮار داده اﻧﺪ و ﺑﺮاى رﺳﻴﺪن ﺑﻪ ﺧﻮاﺳﺘﻪ ﻫﺎى‬ ‫اﻣﺎ ﻓﺮزﻧﺪاﻧﺸﺎن ـ ﺣﺎﺿﺮ ﺑﻪ ﻫﺮ ﻧﻮع ﺳﺮﻣﺎﻳﻪ ﮔﺬارى‬ ‫ﺧﻮدﺷﺎن ـ و ﻧﻪ اﻟﺰ ً‬ ‫ﻣﺎدى و ﻓﻴﺰﻳﻜﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬اﻣﺎ ﻓﺮﺻﺖ ﻓﻜﺮ ﻛﺮدن ﺑﻪ ﻧﻴﺎزﻫﺎى روﺣﻰ و‬ ‫رواﻧﻰ ﻋﺰﻳﺰان ﺧﻮد را ﻛﻤﺘﺮ ﻣﻰ ﻳﺎﺑﻨﺪ‪ .‬ﮔﺮوه دوم ﻧﻴﺰ ﮔﺎﻫﻰ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﻴﺮ‬ ‫اﻳﻦ ﻫﻤﻪ ﺗـﻮﺻﻴﻪ ﻫﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ! روان ﺷﻨﺎﺳـﻰ! روان ﺷﻨﺎﺧﺘـﻰ! و‬ ‫ﻧﻈﺎﻳﺮ آن‪ ،‬ﺑﺮاى ﻫﺮ ﻧـﻮع ﻣﻮﻓﻘﻴﺘﻰ ﻛﻠﻴﺸﻪ اى را در ﻧﻈﺮ ﻣﻰ ﮔﻴـﺮﻧﺪ ﻛﻪ‬ ‫در آن‪ ،‬اﻓﺮاد ﺗﻮاﻧﻤﻨﺪ اﻣﺎ ﻏﻴـﺮﻣﺘﻌﺎرف‪ ،‬اﺟﺎزه ى ورود ﺑﺪون ﺷﻚ و‬ ‫ﺷﺒﻬﻪ را ﻧﺪارﻧﺪ‪ .‬ﻧﻤﻮﻧﻪ ى ﺑﺎرز اﻳﻦ اﻣﺮ‪ ،‬ﻗﺒﻮﻟﻰ ﻳﻚ داوﻃﻠﺐ از ﻳﻜﻰ‬ ‫از ﺷﻬـﺮﻫﺎى ﻛـﻮﭼﻚ اﻳـﺮان ﺑﻮد ﻛﻪ ﺗﺼﻤﻴـﻢ ﮔـﻴـﺮﻧﺪﮔـﺎن را ﺑﻪ ﺷﺒـﻬـﻪ‬ ‫اﻧﺪاﺧﺖ‪ .‬زﻳـﺮا ﻃﺒﻖ اﺧﺒﺎر ﺷﻨﻴﺪه ﺷـﺪه‪ ،‬اﻳـﻦ داوﻃﻠﺐ ﭼﻨﺪ ﺳـﺎل‬ ‫ﭘﻴﺶ ـ ﺑـﺎ وﺟـﻮد ﻣﺤـﺪودﺗﺮﻳﻦ اﻣﻜـﺎﻧـﺎت آﻣـﻮزﺷﻰ و ﺑـﺪون رﻋﺎﻳـﺖ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳـﺰى ﻫﺎى اﺷـﺎره ﺷﺪه! ـ رﺗﺒﻪ ى زﻳـﺮ ‪ ١٠٠‬ﻛﻨﻜﻮر رﻳﺎﺿـﻰ ـ‬ ‫ﻓﻴﺰﻳﻚ را آورد اﻣﺎ ﺑﻪ ﻫﺮ دﻟﻴﻠﻰ‪ ،‬اﻧﺼﺮاف داد و ﺑﻪ ﺧﺪﻣﺖ ﺳﺮﺑﺎزى‬ ‫رﻓﺖ‪ .‬ﭘﺲ از ﭼﻨﺪ ﺳﺎل وﻗﻔﻪ و ﭘﺎﻳﺎن ﺧﺪﻣﺖ ﺳﺮﺑﺎزى‪ ،‬ﻣﺠﺪداً در‬ ‫ﮔﺮوه ﻋﻠـﻮم ﺗﺠﺮﺑﻰ و زﺑﺎن ﻛﻨﻜـﻮر داد و در ﻫـﺮ دو‪ ،‬رﺗﺒﻪ ى اول را‬ ‫ﻛﺴﺐ ﻛﺮد‪ .‬ﻣﺘﺄﺳﻔﺎﻧﻪ ﺑﻪ دﻟﻴﻞ وﺟﻮد ﻛﻠﻴﺸﻪ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻳﻜﻰ از آن ﻫﺎ‬ ‫اﺷﺎره ﺷﺪ‪ ،‬ﺗﺼﻤﻴﻢ ﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن ﻧﺎﺑﺎوراﻧﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻧﮕﺮﻳﺴﺘﻨﺪ و از‬ ‫داوﻃﻠﺐ ﺧﻮاﺳﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﻣﺠﺪداً ﺑﻪ ﻃﻮر اﻧﻔﺮادى ﻛﻨﻜﻮر ﺑﺪﻫﺪ و اﻳﻦ ﺑﺎر‬ ‫ﻫﻢ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻫﻤﺎن ﺑﻮد! ﻛﺴﺐ رﺗﺒﻪ ى اول در ﻫﺮ دو! ﻛﺎر اﻳﻦ داﻧﺶ آﻣﻮز‬ ‫ﻳﻚ ﺷﺎﻫﻜﺎر اﺳﺖ و ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺳﺮﻓﺼﻞ ﺟﺪﻳﺪى در ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫ﺑﻪ ﺣﻮزه ى ﻳﺎدﮔﻴﺮى و ارزﻳﺎﺑﻰِ اﻳﻦ ﻫﻤﻪ ﻫﻴﺎﻫﻮ ﺑﺮاى ﻛﻨﻜﻮر ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫اﻣﻴﺪوارم ﺷﺎﻫﻜﺎر اﻳﻦ ﻋﺰﻳﺰ ﻣﻠﺖ‪ ،‬ﺧﻮن ﺗﺎزه اى در رگ ﻫﺎى ﻓﺴﺮده ى‬ ‫ﺗﺤﻘﻴـﻘـﺎت در ﺣـﻮزه ى ﻋﻠﻮم ﺗﺮﺑﻴـﺘـﻰ‪ ،‬آﻣـﻮزش ﻫﺎى ﻣﻮﺿـﻮﻋﻰ‪،‬‬ ‫روان ﺷﻨﺎﺳﻰ ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ و ﺳﺎﻳـﺮ ﺣـﻮزه ﻫﺎى ﻣﺮﺑـﻮط ﺟﺎرى ﻛﻨﺪ ﺗـﺎ از‬ ‫ﺑﺮﻛﺎت آن ﻫﺎ‪ ،‬ﺑﺘـﻮاﻧﻴﻢ ﺑﻪ ﺑـﺮﮔﺸﺖ ﺑﻪ ﻳﻚ ﺗﻌﺎدل ﻣﻨﻄﻘﻰ ﺑﻪ ﺑـﺪﻧـﻪ ى‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ ﻛﺸﻮر و اﻳﺠﺎد ﻣﺤﻴﻂ ﻫﺎﻳﻰ ﭘﺮ از ﺗﻼش و ﻧﺸﺎط و ﭼﺎﻟﺶ‬ ‫و ﺷﻮق ﺑﻪ ﻳﺎدﮔﻴـﺮى در ﻣـﺪارس ﺧﻮد اﻣﻴـﺪوار ﺑﺎﺷﻴﻢ ـ ﻣـﺪارﺳﻰ ﻛﻪ‬ ‫آﻣﻮزش در آن ﻫﺎ راﻳﮕﺎن‪ ،‬ﺑﻰ ﺗﻨﺶ‪ ،‬ﭘﺮﻣﺤﺘﻮا‪ ،‬ﺳﺮﺷﺎر از روح زﻧﺪﮔﻰ‬ ‫و ﺷﺎداﺑﻰ آﻣﻮﺧﺘﻦ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻣﺪارﺳﻰ ﻛﻪ ﺑﻨﺎ ﺑﻪ ﮔﺰارش دِﻟﻮر ﻳﺎدﮔﻴـﺮى‬ ‫را »ﮔﻨﺞ درون« ﺑﺪاﻧﺪ و زﻣﻴﻨﻪ ى ﺑﻪ ﻓﻌﻠﻴﺖ درآوردن اﻳﻦ ﮔﻨﺞ را ﻓﺮاﻫﻢ‬ ‫ﻧﻤﺎﻳﺪ ﺗﺎ ﺑﺘﻮاﻧﻴﻢ اﻧﺘﻈﺎر داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ ﻛﻪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﺑﺮاى اﻧﺠﺎم دادن و‬ ‫ﺑﺎ ﻫﻢ زﻳﺴﺘﻦ و ﻋﻤﻞ ﻛﺮدن‪ ،‬ﺑﺎﻻﺧﺮه ﺑﻪ »آﻣﻮﺧﺘﻦ ﺑﺮاى زﻳﺴﺘﻦ«‪ ،‬آن‬ ‫ﻫﻢ زﻳﺴﺘـﻨـﻰ درﺧﻮر و ﺷﺎﻳﺴﺘـﻪ و ﺳـﺰاوار آﻳﻨﺪه ﺳـﺎزان اﻳـﺮان ﻋﺰﻳﺰ‬ ‫ﺑﻴﻨﺠﺎﻣﺪ‪.‬‬ ‫‪٣‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫‪a‬‬ ‫ﭼﻪ‬



‫‪aa‬‬ ‫ﺳﺎﻛﺖ‬ ‫اﺳﺖ!‬



‫اﻣﻴﺮﺣﺴﻴﻦ اﺻﻐﺮى‪ ،‬اﺳﺘﺎدﻳﺎر آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬داﻧﺸﮕﺎه ﺷﻬﻴﺪ ﺑﻬﺸﺘﻰ‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫اﺷﺎره‬ ‫در ﺷ ـﻤ ــﺎره‪+‬ﻫــﺎى ‪ ٩٢‬و ‪ ٩٥‬ﻣ ـﺠـ ـﻠـ ـﻪ‪+‬ى رﺷــﺪ آﻣ ــﻮزش رﻳــﺎﺿ ــﻰ‪،‬‬ ‫ﻣﻘـﺎﻟـﻪ‪+‬ﻫـﺎﻳـﻰ ﺑـﺎ ﻋـﻨـﻮان »‪ a‬ﭼﻪ ﺧـﻮﺷـﻤـﺰه اﺳﺖ« و »ﮔـﺬر از ﺗـﻔـﻜـﺮ‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﻰ ﺑﻪ ﺗﻔﻜﺮ ﺟﺒﺮى« از دﻛﺘﺮ اﻣﻴﺮﺣﺴﻴﻦ اﺻﻐﺮى ﺑﻪ ﭼﺎپ رﺳﻴﺪ‬ ‫ﻛﻪ در ﻣﻘﺎﻟﻪ‪+‬ى ﻧﺨﺴﺖ‪ ،‬ﻣﺸﻜﻼت آﻣـﻮزش ﺟﺒﺮ ﺑﺎ ﺑﺮرﺳﻰ روش‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻧﻤﺎدﻫﺎ و ﺑﺪﻓﻬﻤﻰ‪+‬ﻫﺎى ﺣﺎﺻﻞ از آن‪ ،‬ﺑﺮرﺳﻰ ﺷﺪ‪ .‬ﻣﻘﺎﻟﻪ‪+‬ى‬ ‫ﺣﺎﺿﺮ‪ ،‬در اداﻣﻪ‪+‬ى آن ﻣﻘﺎﻟﻪ‪+‬ﻫﺎ و از زاوﻳﻪ‪+‬اى دﻳﮕﺮ ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﻰ اﻳﻦ‬ ‫ﻣﺸﻜـﻼت‪ ،‬ﻣـﻰ‪+‬ﭘـﺮدازد‪ .‬در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟـﻪ‪ ،‬ﻣـﺸـﻜـﻼت ﺟـﺒـﺮ‪ ،‬ﻛـﻪ ﺑـﻪ‬ ‫ﻋﻨـﻮان »زﺑﺎن رﻳـﺎﺿـﻰ« اﺳـﺖ‪ ،‬زﻣﺎﻧـﻰ ﻛـﻪ ﺑـﻪ ﻋـﻨـﻮان »زﺑﺎﻧـﻰ ﺑـﺮاى‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ« در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﻰ‪+‬ﺷﻮد و در آﻣﻮزش ﻧﻤﺎدﻳﻦ آن‪ ،‬ﺑﺴﻴﺎرى‬ ‫از ﻇﺮاﻓﺖ‪+‬ﻫﺎ‪ ،‬ﻓﺮاﻣﻮش ﺷﺪه ﻳﺎ ﺑﺪﻳﻬﻰ ﻓﺮض ﻣﻰ‪+‬ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﻣﻄﺮح ﺷﺪه‬ ‫اﺳـﺖ‪ .‬اﻣـﻴـﺪ دارﻳـﻢ ﺑــﺎ اﻳــﻦ ﻣ ـﻘــﺎﻻت‪ ،‬دﺑ ـﻴــﺮان ﮔــﺮاﻣـﻰ‪ ،‬ﺧــﻮد ﺑـﺎ‬ ‫ﻫﻮﺷﻴﺎرى ﺑﻴﺶ‪+‬ﺗﺮى ﺑﻪ رﻓﻊ ﻣﺸﻜﻼت آﻣﻮزش ﺟﺒﺮ ﻧﺎﺋﻞ آﻳﻨﺪ‪.‬‬ ‫رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫اوﻟﻰ‪ :‬دوﺳﺖ ﻣﻦ ﻣﻰ ﺗﻮﻧﻪ ﺑﻪ ﺷﺶ زﺑﺎن زﻧﺪه ى دﻧﻴﺎ ﺻﺤﺒﺖ ﻛﻨﺪ!‬ ‫دوﻣﻰ‪ :‬ﻋﺠﺐ! ﺣﺎﻻ اون ﺑﺎ اﻳﻦ ﺷﺶ زﺑﺎن ﭼﻪ ﻣﻰ ﮔﻪ؟!‬ ‫ﻳـﺎدآور داﺳﺘﺎﻧـﻰ واﻗﻌـﻰ ﺗـﺮ اﺳـﺖ‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫ﮔﻔـﺖ وﮔـﻮى واﻗﻌﻰ ﺑـﺎﻻ‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫‪٤‬‬



‫داﺳﺘـﺎن ﺟـﺒـﺮى ﻛﻪ »زﺑﺎن رﻳﺎﺿﻰ« اﺳـﺖ ﻧـﻪ »زﺑـﺎﻧـﻰ ﺑـﺮاى ﺑـﻴـﺎن‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ«؛ ﺟﺒﺮى ﻛﻪ ﺑﻪ ﺗﺮﺟﻤﻪ اى ﺧﺎﻟﻰ از ﻣﻌﻨﻰ ﺗﻘﻠﻴﻞ ﻳﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪،‬‬ ‫ﺟﺒﺮى ﻛﻪ ﺑﺎ ﻧﻤﺎدﻫﺎ‪ ،‬ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺎ ﺟﻤﻼﺗﻰ اﻳﻦ ﭼﻨﻴﻨﻰ ﭘﻴﻮﻧﺪ ﻣﻰ ﺧﻮرد‪:‬‬



‫ﺑﺮاى آﺳﺎن ﺗﺮ ﺻﺤﺒﺖ ﻛـﺮدن در رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬از ﻧﻤﺎدﻫﺎ اﺳﺘـﻔـﺎده‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد …‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت ‪ ،١‬ﺳﺎل اول دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن‪ ،‬ص ‪٢٠‬‬ ‫اﻣﺎ اﻓـﺴـﻮس ﻛﻪ ﻧﻤﺎدﻫـﺎ ﺧـﻮد ﺳﺨﻦ ﻧﻤﻰ ﮔـﻮﻳـﻨـﺪ )اﺳـﻔـﺎرد‪،‬‬ ‫ﻟﻴﻨﭽﻨﺴـﻜـﻰ؛ ‪ ،١٩٩٤‬ص ‪ (٨٧‬اﮔـﺮﭼﻪ ﺑﻬﺘﺮﻳـﻦ اﺑـﺰار ﺑﺮاى ﺑﻴـﺎن‬ ‫ﺗﻌﻤﻴﻢ اﻧـﺪ‪ .‬وﻟﻰ وﻗﺘﻰ ﻧﻪ ﻣـﻮﻗﻌﻴﺘﻰ در ﻛﺎر اﺳﺖ ﻧﻪ ﻣﺴﺌـﻠـﻪ اى ﻛـﻪ‬ ‫ﻧﻴﺎزﻣﻨﺪ ﺑﻪ ﻛﺎرﮔﻴﺮى اﻳﻦ اﺑﺰار اﺳﺖ‪ ،‬آن ﭼﻪ ﻛﻪ ﻣﻰ ﻣﺎﻧﺪ »ﺗﻤﺮﻳﻦ در‬ ‫ﻛﻼﺳﻰ« اﺳﺖ ﺑﺮاى ﺗﺮﺟﻤﻪ ى ﻟﻔﻆ ﺑﻪ ﻟﻔﻆ‪:‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ در ﻛﻼس‪:‬‬ ‫‪ .١‬ﺟﻤﻠﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺣﺮوف اﻧﮕﻠﻴﺴﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان‬ ‫ﻧﻤﺎدﻫﺎى ﺣﺮﻓﻰ و ﻧﻤﺎدﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮده ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﺪ‪.‬‬ ‫اﻟ‪ (t‬ﺳﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ﻫﺮ ﻋﺪدى ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ﺳﻪ ﺑﺎر ﺟﻤﻊ آن ﻋﺪد ﺑﺎ‬



‫ﺧﻮدش‪.‬‬ ‫ب( ……‬ ‫‪ .٢‬ﺟﻤﻠﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ را ﺑﻪ زﺑﺎن ﻓﺎرﺳﻰ ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﺪ‪.‬‬ ‫اﻟ‪ a × a > 0 (t‬ﻳﺎ ‪a × a = 0‬‬ ‫ب( ……‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت ‪ ،١‬ﺳﺎل اول دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن‪ ،‬ص ‪٢٢‬‬ ‫اﺷﻜﺎل در ﻛﺠﺎﺳﺖ؟ »ﻣﮕﺮ ﻋﻼﻣﺖ ﮔﺬارى ﺣﺮﻓﻰ ﭼﻴﺰى ﺟﺰ …‬ ‫ﻳﻚ ﺗﻨﺪﻧﻮﻳﺴﻰ ﻣﻨﺎﺳﺐ اﺳﺖ؟« )داﻧﺘﺰﻳـﮓ‪ ،‬ص ‪ .(١١٥‬اﮔﺮ ﺷﻤﺎ‬ ‫در ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪ ﺳﺆال داﻧﺘﺰﻳﮓ ﻋﺠﻠﻪ ﻛﻨﻴﺪ‪ ،‬اﺣﺘﻤﺎﻻً ﭘﺎﺳﺦ ﺧﻮاﻫﻴﺪ داد‪:‬‬ ‫اﻟﺒﺘﻪ ﻛﻪ ﻧﻪ؛‬ ‫و اﺿﺎﻓﻪ ﺧﻮاﻫﻴﺪ ﻛﺮد‪:‬‬ ‫ﻋـﻼوه ﺑﺮ اﻳـﻦ‪ ،‬ﻣـﻰ ﺗـﻮان ﺑـﺮاى آﺳﺎن ﺗـﺮ ﺻـﺤـﺒـﺖ ﻛـﺮدن در‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬از ﻧﻤﺎدﻫﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮد!!‬ ‫ﭼﻨﻴﻦ ﭘﺎﺳﺨﻰ ﺷﺎﻳﺪ ﺷﻤﺎىِ رﻳﺎﺿﻰ ﺧﻮاﻧﺪه )ﻣﺆﻟ‪ ،t‬ﻣﺤﻘﻖ‪،‬‬ ‫ﻣﻌﻠﻢ( را ﻗﺎﻧﻊ ﻛﻨﺪ‪ ،‬اﻣﺎ ﺷﻤﺎى آﻣﻮزﺷﮕﺮ )ﻣﺆﻟ‪ ،t‬ﻣﺤﻘﻖ‪ ،‬ﻣﻌﻠﻢ(‬ ‫ﭼﺎﻟﺶ ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪ ﺳﺆال ﺑﻌﺪى‬ ‫ِ‬ ‫را ﺑﺎ ﭼﺎﻟﺸﻰ ﺟﺪى ﺗﺮ روﺑﻪ رو ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪،‬‬ ‫داﻧﺘﺰﻳﮓ )ﻫﻤﺎن ﺟﺎ‪ ،‬ص ‪:(١١٥‬‬ ‫ﺑــﻰ ﺷــﻚ در ﻃــﺮز ﻧـــﻮﺷــﺘــﻦ ‪(a + b)2 = a 2 + 2ab + b2‬‬ ‫ﺻﺮﻓﻪ ﺟﻮﻳﻰ وﺟـﻮد دارد‪ ،‬اﻣﺎ آﻳﺎ ﺣﻘﻴﻘﺘﺎً اﻳﻦ ﺷﻜﻞ ﻧـﻮﺷﺘﻦ ﺑﻴﺶ از‬ ‫ﺷﻜﻞ ﺑﻴﺎﻧﻰ اﻳﻦ راﺑﻄﻪ‪ ،‬ﻳﻌﻨﻰ »ﻣﺠﺬور ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ دو ﻋﺪد ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫اﺳﺖ ﺑﺎ ﻣﺠﻤـﻮع ﻣﺠﺬورات ﻫﺮ ﻳﻚ از آن ﻫﺎ ﺑﻪ ﻋـﻼوه ى دو ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻳﻜﻰ در دﻳﮕﺮى« ﭼﻴﺰى ﺑﻪ ﺷﺨﺺ ﻣﻰ آﻣﻮزد؟‬ ‫ﭘﺎﻓﺸﺎرى ﺑﺮ ﭘﺎﺳﺦ داده ﺷﺪه ﺑﻪ ﺳﺆال اول‪ ،‬ﺑﻪ ﻣﻌﻨﻰ ﭘﺎك ﻛﺮدن‬ ‫ﺻﻮرت ﺳـﺆال دوم و ﺗﻼش ﺑﺮاى ﺑﻪ دﺳـﺖ آوردن اﺑﺰار ﺑﻪ ﻗﻴـﻤـﺖ‬ ‫ﻫﺪف ﺟﺒﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫ﻣﺤﺮوم ﻛﺮدن داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﻟﺰوم و‬ ‫»ﻧﻴﺎز ﺑﻪ ﺗﻌﻤﻴﻢ‪ ،‬ﺑﻴﺎن و ﺗﻮﺟﻴﻪ آن« )ﻣﻰ ﺳﻮن‪(٢٠٠٥ ،‬‬ ‫اﻣﺎ ﺑﺴﻴﺎرى از داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺣﺘﻰ در ﺑﻴﺎن ﺗﻌﻤﻴﻢ در زﺑﺎن ﻃﺒﻴﻌﻰ‬ ‫ﺑﺎ ﻣﺸﻜﻞ ﻣﻮاﺟﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ و اﻳﻦ ﻣﺸﻜﻞ وﻗﺘﻰ آن ﻫﺎ ﻧﺎﭼﺎر ﺑﻪ اﺳﺘﻔﺎده از‬ ‫زﺑﺎن ﺟﺒﺮى ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺣﺎدﺗﺮ اﺳﺖ )ﻛﻮﭼﻤﻦ‪ ،‬ﻫﻮﻳﻠﺲ؛ ‪ .(٢٠٠٥‬ﭘﺲ‬ ‫ﭘﺎﻓﺸﺎرى ﺑﺮ ﭘﺎﺳﺦ داده ﺷﺪه ﺑﻪ ﺳﺆال اول و ﺗﺄﻛﻴﺪ ﺑﺮ ﺟﻨﺒﻪ ى »زﺑﺎﻧﻰ«‬ ‫ﺟﺒﺮ‪ ،‬ﺑﻪ ﺗﻌﺒﻴﺮى »ﺳﺎده«ﺗﺮﻳﻦ ﻛﺎر ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ؛ ﭼﺮا ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫از ﻗﺴﻤﺖ ﺳﺨﺖ ﻛﺎر )و اﻟﺒﺘﻪ ﻣـﻌـﻨـﻰ دار آن( ﻣـﻌـﺎف و ﻋـﻬـﺪه دار‬ ‫ﺗﺮﺟﻤﻪ ى ﺟﻤﻠﻪ ﻫﺎى ﻓﺎرﺳﻰ ﻳﺎ ﺟﺒﺮى ﻣﺎ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺷﺪ؛ و اﮔﺮ ﻣﺎ ﻣﻮﻓﻖ‬ ‫ﺷﻮﻳﻢ ﻛﻪ ﻣـﺘـﺮﺟﻢ ﺧﻮﺑﻰ ﺗﺮﺑﻴﺖ ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬در ﻧـﻬـﺎﻳـﺖ ﻓـﺮدى ﺧﻮاﻫﻴـﻢ‬ ‫داﺷﺖ ﻛﻪ ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﻫﻔﺖ زﺑﺎن »زﻧﺪه ى« دﻧﻴﺎ ﺻﺤﺒﺖ ﻛﻨـﺪ وﻟﻰ‬ ‫ﭼﻴﺰى ﺑﺮاى ﮔﻔﺘﻦ ﻧﻤﻰ ﻳﺎﺑﺪ‪ ،‬ﻧﺤﻮى ﺧﻮﺑﻰ ﻛﻪ ﺷﻨﺎ ﻛﺮدن ﻧﻤﻰ داﻧﺪ!‬



‫ﺑﺎد ﻛﺸﺘﻰ را ﺑﻪ ﮔﺮداﺑﻰ ﻓﻜﻨﺪ‬ ‫ﮔﻔﺖ ﻛﺸﺘﻰ ﺑﺎن ﺑﻪ آن ﻧﺤﻮى ﺑﻠﻨﺪ‬ ‫ﻫﻴﭻ داﻧﻰ آﺷﻨﺎ ﻛﺮدن ﺑﮕﻮ‬ ‫ﮔﻔﺖ ﻧﻰ اى ﺧﻮش ﺟﻮاب ﺧﻮب رو‬ ‫ﮔﻔﺖ ﻛﻞ ﻋﻤﺮت اى ﻧﺤﻮى ﻓﻨﺎﺳﺖ‬ ‫زاﻧﻚ ﻛﺸﺘﻰ ﻏﺮق اﻳﻦ ﮔﺮداب ﻫﺎﺳﺖ‬ ‫دﻓﺘﺮ اول ﻣﺜﻨﻮى‬ ‫ﺣﻜﺎﻳﺖ ﻧﺤﻮى و ﻛﺸﺘﻰ‪+‬ﺑﺎن‬ ‫ﻣﺘﺮﺟﻢ ﺧﻮب‪ ،‬ﻧﺤﻮى ﺧﻮب‬ ‫در ﺑﺴﻴـﺎرى اوﻗﺎت‪ ،‬ﻣﻰ ﺧـﻮاﻫﻴﻢ ﻣﻄﻠـﺒـﻰ را در ﻣﻮرد دو ﻋﺪد‬ ‫دﻟﺨﻮاه ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬در اﻳـﻦ ﻣـﻮارد ﻻزم اﺳﺖ از دو ﻧﻤﺎد ﻣﺨﺘـﻠـ‪t‬‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﻫﺮ ﻛﺪام ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه ى ﻋﺪد دﻟﺨﻮاﻫﻰ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫)ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻴﺎت ‪ ،١‬ﺳﺎل اول دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن‪ ،‬ص ‪(٢٢‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪) .‬اﻳﻦ ﻣﺜﺎل ﺑـﺮﮔﺮﻓﺘﻪ از ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻴﺎت ‪ ١‬ﻧﻴﺴـﺖ‪ ،‬وﻟﻰ‬ ‫ﻛﺎﻣـﻼ ﺑﻪ ﺳﺒﻚ و ﺳﻴﺎق ﻣﺜﺎل ﻫﺎى آن ﻛﺘﺎب ﺗﻨﻈـﻴـﻢ ﺷـﺪه اﺳـﺖ؛‬ ‫ً‬ ‫ﻣﺜﺎل ﻛﺘﺎب در ﻣـﻮرد ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺜﻠـﺚ اﺳـﺖ‪ (.‬ﺑـﺮاى ﺑﻴﺎن اﻳﻦ ﻛـﻪ‬ ‫»ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻫﺮ ﻣﺘـﻮازى اﻻﺿﻼع ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ﺣﺎﺻﻞ ﺿـﺮب ﻃﻮل‬ ‫ﻳـﻚ ﻗـﺎﻋـﺪه در ارﺗـﻔـﺎع ﻧـﻈـﻴـﺮ آن ﻗـﺎﻋـﺪه«‪ ،‬ﻣـﻰ ﮔـﻮﻳـﻴـﻢ‪ :‬ﻳــﻚ‬ ‫ﻣﺘﻮازى اﻻﺿﻼع دﻟﺨﻮاه را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ و ﻃﻮل ﻳﻚ ﻗﺎﻋﺪه ى آن‬ ‫را ‪ a‬و ارﺗﻔﺎع ﻧﻈﻴﺮ آن ﻗﺎﻋﺪه را ‪ h‬ﺑﻨﺎﻣﻴﺪ‪ ،‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت‪:‬‬ ‫‪ = ah‬ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺘﻮازى اﻻﺿﻼع‬



‫اﻛﻨﻮن داﻧﺘﺰﻳﮓ ﺣﻖ دارد ﺑﭙﺮﺳﺪ )ﺑﻪ ﺑﺨﺶ ﻗﺒﻞ ﻧﮕﺎه ﻛﻨﻴﺪ(‪ :‬آﻳﺎ‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﺘـﺎ ﻧﻮﺷﺘﻦ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣـﺘـﻮازى اﻻﺿﻼع ﺑﻪ ﺷﻜـﻞ ‪ ،ah‬ﺑﻴﺶ از‬ ‫ً‬ ‫ﺷﻜﻞ ﻛﻼﻣﻰ اﻳﻦ ﻣﺴﺎﺣﺖ‪ ،‬ﭼﻴﺰى ﺑﻪ ﺷﺨﺺ ﻣﻰ آﻣـﻮزد؟ و ﺷﻤﺎ‬ ‫ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﭘﺎﺳﺦ دﻫﻴﺪ‪:‬‬ ‫ﺧﺐ‪ ،‬اﻳﻦ ﺳـﺆال در اﻳﻦ ﻣﻮرد ﺑﻰ رﺑﻂ اﺳﺖ‪ .‬داﻧﺶ آﻣـﻮزاﻧﻰ‬ ‫ُ‬ ‫ﻛﻪ در ﺳﺎل اول دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن درس ﻣﻰ ﺧﻮاﻧﻨﺪ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺘﻮازى اﻻﺿﻼع‬ ‫را در ﺳﺎل ﭼﻬـﺎرم دﺑﺴﺘﺎن ﻳﺎد ﮔـﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ‪ ،‬ﭘﺲ ﻣـﻰ ﺗـﻮان از آن ﺑﺮاى‬ ‫دﺳﺖ ﻳﺎﺑﻰ ﺑﻪ اﻫﺪاف اﻳﻦ ﻓﺼﻞ )ﻓﺼﻞ ﻳﻚ‪ ،‬ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻴـﺎت ‪(١‬‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﻛـﺮد؛ ﺑﻨﺎﺑﺮ راﻫﻨﻤﺎى ﺗﺪرﻳﺲ‪ ،‬ﻳﻜﻰ از اﻫﺪاف اﻳﻦ ﻓـﺼـﻞ‬ ‫‪٥‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫»ﺗﺮﺟﻤﻪ ى ﺑﻴﻦ ﺟﻤﻼت ﻓﺎرﺳﻰ و رﻳﺎﺿﻰ« اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﻳﻦ ﺟﻮاب ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﻗﺎﻧﻊ ﻛﻨﻨﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬در ﺻﻮرﺗﻰ ﻛﻪ ﺑﭙﺬﻳﺮﻳـﻢ‬ ‫ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣﻮز ﻣﺎ »ﻣﻌﻨﻰ رﻳﺎﺿﻰ« ﻧﻬﻔﺘﻪ در ﺟﻤﻠﻪ ى ﻓﺎرﺳﻰ ﻣﻮردﻧﻈﺮ‬ ‫ﺑﺮاى ﺗﺮﺟﻤﻪ را ﺑﻪ درﺳﺘﻰ درك ﻣﻰ ﻛﻨﺪ؛ اﻣﺎ‪ ،‬ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﻰ رﺳﺪ ﭼﻨﻴﻦ‬ ‫درﻛﻰ ﺑﺎ درك ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﻣﺆﻟﻔﻴﻦ ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻴﺎت ‪ ١‬ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻓﺮض ﻣﺆﻟﻔﻴﻦ ﻛﺘﺎب اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ‪:‬‬ ‫● داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﺟﻤﻼت ﻓـﺎرﺳﻰ را ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ ﻣﻰ ﻓﻬـﻤـﻨـﺪ و درك‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻳﻚ ﻋﻤﻞ ﺗﺮﺟﻤﻪ از زﺑﺎن ﻓﺎرﺳﻰ ﺑﻪ زﺑﺎن ﻧﻤﺎدﻳﻦ‬ ‫و ﺑﺮﻋﻜﺲ ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﻣﻌﻨﺎى ﺟﻤﻼت ﻧﻤﺎدﻳـﻦ را ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﺳﺎزد )راﻫﻨﻤﺎى ﺗﺪرﻳﺲ ﻓﺼﻞ اول ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻰ ‪ ، ١‬ص ‪.(٣٣‬‬ ‫دن ﺗﻔﺎوت ﺑﻴﻦ »درك ﺟﻤﻠﻪ ى ﻓﺎرﺳﻰ« و »درك‬ ‫ﺑﺮاى روﺷﻦ ﻛﺮ ِ‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻧﻬﻔﺘﻪ در ﺟﻤﻠـﻪ ى ﻓـﺎرﺳﻰ« اﺟﺎزه دﻫﻴﺪ ﺑـﺎ ورت ﻫﺎﻳﻤﺮ‬ ‫)‪ (١٩٤٥‬ﺑﻪ ﻳﻚ ﻛـﻼس درس رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺮوﻳﻢ‪ .‬ﻣﻌﻠﻢ ﻛﻼﺳﻰ ﻛـﻪ‬ ‫ورت ﻫﺎﻳﻤﺮ آن را ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ ،‬ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣـﺘـﻮازى اﻻﺿﻼع را‬ ‫ﺑﺴﻴﺎر ﺷﺒﻴـﻪ آن روﺷﻰ ﻛﻪ در ﻛﺘﺎب ﭼﻬـﺎرم دﺑﺴﺘﺎن ﻣﺎ آﻣـﺪه اﺳـﺖ‬ ‫آﻣﻮزش ﻣﻰ دﻫﺪ؛ ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻦ اﻳﻦ ﻗﺴﻤﺖ داﺳﺘﺎن را از ﻛﺘﺎب ﭼﻬﺎرم‬ ‫دﺑﺴﺘﺎن )ص ‪ (١٧٥‬ﻧﻘﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﻢ‪:‬‬



‫در ﻣﺘﻮازى اﻻﺿﻼع زﻳﺮ‪ ،‬ارﺗﻔﺎع )د ﻫـ( رﺳﻢ ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫د‬



‫م‬



‫س‬



‫ﭘـﺲ از اﻧـﺠـﺎم »ﻓـﻌـﺎﻟـﻴـﺖ« ﺑــﺎﻻ و ﺑــﺎ ﺑــﻪ ﻛــﺎرﮔـﻴــﺮى ﭼـﻨــﺪ‬ ‫ﻣﺘﻮازى اﻻﺿﻼع دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﻄﻤﺌﻦ ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ »ﻫﻤﻪ ى ﺑﭽﻪ ﻫﺎى‬ ‫ﻛﻼس« ﻣﻰ داﻧﻨﺪ ﻛﻪ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻫﺮ ﻣـﺘـﻮازى اﻻﺿﻼع ﺑـﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻗﺎﻋﺪه در ارﺗﻔﺎع آن‪ .‬اﻛﻨﻮن‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻳﻘﻴﻦ‪ ،‬ﻫﻤﻪ ى‬ ‫داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﻣﻌﻨﻰ ﺟﻤﻠـﻪ ى ﻓـﺎرﺳﻰ ﻣـﻮرد ﻧﻈـﺮ را ﺑﻪ ﺧﻮﺑـﻰ درك‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬و ﺣﺘﻰ ﻛﻤﻰ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ‪ ،‬ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣـﻰ رﺳﺪ ﻛﻪ ﻣﻌﻨﻰ رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﻧﻬﻔﺘﻪ در آن را ﻧﻴﺰ ﻣﻰ ﻓﻬﻤﻨﺪ؛ ﭼﺮا ﻛﻪ روز ﺑﻌﺪ ﻫﻤﻪ ى داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﻓﺮﻣﻮل ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺘﻮازى اﻻﺿﻼع را ﺑﻪ درﺳﺘﻰ ﺗﻜﺮار ﻛﻨﻨﺪ‬ ‫و ﺣﺘﻰ ﻳﻜﻰ از داﻧﺶ آﻣﻮزان »ﻣﺘﻮﺳﻂ« ﻛﻼس ﺑﻪ درﺧﻮاﺳﺖ ﻣﻌﻠﻢ‬ ‫ﻧﺤﻮه ى ﺑﻪ دﺳﺖ آوردن ﻣﺴﺎﺣﺖ را ﺷﺮح ﻣﻰ دﻫﺪ‪.‬‬ ‫اﻣﺎ ﻣﺎﺟﺮا ﻫﻨﻮز ﺗﻤﺎم ﻧﺸﺪه اﺳـﺖ‪ .‬ورت ﻫﺎﻳﻤﺮ )ﭘﺲ از اﺟﺎزه‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻦ از ﻣﻌﻠﻢ ﻛﻼس( ﺷﻜﻞ زﻳﺮ را روى ﺗﺨﺘﻪ رﺳﻢ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪.‬‬



‫ﺑﻌﻀﻰ از ﺑﭽﻪ ﻫﺎ اﻋﺘﺮاض ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ ﻣﺎ اﻳﻦ را ﻧﺨﻮاﻧﺪه اﻳﻢ‪ ،‬و‬ ‫ﺑﻌﻀﻰ دﻳﮕﺮ ﻫﻤﺎن ﻛـﺎرى را ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ ﻣﻌﻠﻢ ﺑﻪ آن ﻫـﺎ »آﻣـﻮزش«‬ ‫داده اﺳﺖ‪ :‬ﻗﺎﻋﺪه ى ﭘﺎﻳﻴﻨﻰ را ﻛﻤﻰ ﮔﺴﺘﺮش ﻣﻰ دﻫﻨﺪ و از دو رأس‬ ‫ﺑﺎﻻﻳﻰ دو ﻋﻤﻮد ﺑﺮ آن رﺳﻢ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ )ﺷﻜﻞ زﻳﺮ(‪:‬‬



‫ﻫـ‬



‫ﺿﻠﻊ )س ر( ﻗﺎﻋﺪه ى ﻧﻈﻴﺮ اﻳﻦ ارﺗﻔﺎع اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ رارﺗـﻔـﺎع و‬ ‫ﻗﺎﻋﺪه ى ﻧﻈﻴﺮ آن را اﻧﺪازه ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ و ﺟﻤﻠﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ را ﻛﺎﻣﻞ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬ ‫ارﺗﻔﺎع )د ﻫـ(… ﺳﺎﻧﺘﻰ ﻣﺘﺮ و ﻗﺎﻋﺪه ى ﻧﻈﻴﺮ آن… ﺳﺎﻧﺘﻰ ﻣﺘﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﮔﺮ در ﻣﺘﻮازى اﻻﺿﻼع ﺑﺎﻻ‪ ،‬ﻣﺜﻠﺚ )در ﻫـ( را ﺟﺪا ﻛﻨﻴﻢ و‬ ‫آن را در ﻃﺮف دﻳﮕﺮ ﻣﺘﻮازى اﻻﺿﻼع ﺑﭽﺴﺒﺎﻧﻴﻢ‪ ،‬ﻣﺴﺘﻄﻴـﻠـﻰ ﺑـﻪ‬ ‫ﺷﻜﻞ زﻳﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻰ آﻳﺪ‪ .‬ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣـﺘـﻮازى اﻻﺿـﻼع ﺑـﺎﻻ ﺑـﺎ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺖ اﻳﻦ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ …‬ ‫ﭘﺲ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻫﺮ ﻣﺘﻮازى اﻻﺿﻼع ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب‬ ‫ﻗﺎﻋﺪه در ارﺗﻔﺎع آن‬ ‫د‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫س‬



‫‪٦‬‬



‫ه‬



‫و ﺳﭙﺲ ﺑﻪ ﻓﺎرﺳﻰ ﺳﻠﻴﺲ )اﻟﺒﺘﻪ در ﻣﻮرد ﻛﻼس ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ‪،‬‬ ‫ﺑﻪ اﻧﮕﻠﻴﺴﻰ ﺳﻠﻴﺲ!( اﻋﻼم ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ »ﻣﺴﺎﺣـﺖ ﺑـﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫ﺣﺎﺻـﻞ ﺿـﺮب ﻗﺎﻋـﺪه در ارﺗﻔـﺎع«! وﻟـﻰ وﻗﺘﻰ از آن ﻫـﺎ ﺧـﻮاﺳﺘـﻪ‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺷﻜﻠﻰ ﻛﻪ رﺳﻢ ﻛﺮده اﻧﺪ‪» ،‬ﻣﻌﻨﻰ« ﺟﻤﻠﻪ ى‬ ‫ﺳﻠﻴﺲ ﺧﻮد را روﺷﻦ ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬ﮔﻴﺞ و ﺑﻬﺖ زده ﺑﻪ ورت ﻫﺎﻳﻤﺮ و اﻟﺒﺘﻪ‬ ‫ﺑﻪ ﻣﻌﻠﻢ ﺧﻮد ﻧﮕﺎه ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ!!‬



‫اﻛﻨـﻮن‪ ،‬دوﺑﺎره ﻣﻰ ﺗـﻮان ﭘـﺮﺳﻴﺪ‪ :‬آﻳﺎ ﺑﻴﺎن ﻧﻤـﺎدﻳـﻦ ﻣـﺴـﺎﺣـﺖ‬ ‫ﻣﺘﻮازى اﻻﺿﻼع ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ‪ ،ah‬ﭼﻴﺰى ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﺑﻪ اﻳﻦ داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫ﻣﻰ آﻣﻮزد؟ اﮔﺮ ﺷﻤﺎ ﭼﺎﻟﺸـﻰ را ﻛﻪ ورت ﻫﺎﻳﻤﺮ ﺑﺮاى داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫اﻳﺠﺎد ﻛﺮد »ﻏﻴﺮﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ« ﻣﻰ داﻧﻴﺪ‪ ،‬اﺟﺎزه دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﻳﻚ داﻧﺶ آﻣﻮز‬ ‫ﭼﻬـﺎرم دﺑﺴﺘﺎن را )ﻛﻪ از اﻳﻦ ﺷﺎﻧـﺲ ﻛـﻪ ورت ﻫﺎﻳﻤﺮ از ﻛـﻼس او‬ ‫دﻳﺪن ﻛﻨﺪ ﺑﺮﺧﻮردار ﻧﺒﻮده اﺳﺖ!( ﺗﺎ اول دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن دﻧﺒﺎل ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮز ﻣﺎ ﭘـﺲ از اﻧـﺠـﺎم ﻣـﻮﻓﻘﻴﺖ آﻣﻴـﺰ ﻛـﺎر در ﻛـﻼس‪،‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻫﺎى زﻳﺮ را ﻧﻴﺰ ﺑﻪ درﺳﺘﻰ ﺣﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ )ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻰ ﭼﻬﺎرم‬ ‫دﺑﺴﺘﺎن‪ ،‬ص ‪:(١٧٥‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫در ﻫﺮ ﻣﺘﻮازى اﻻﺿﻼع ﻗﺎﻋﺪه و ارﺗﻔﺎع داده ﺷﺪه را ﺑﺮﺣﺴﺐ‬ ‫ﺳﺎﻧﺘﻰ ﻣﺘﺮ اﻧﺪازه ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ و ﻣﺴﺎﺣﺖ آن را ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬



‫ارﺗﻔﺎع × ﻗﺎﻋﺪه‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻫﺮ ﻳﻚ از ﺷﻜﻞ ﻫﺎ را ﺑﺎ ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮى ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﺪ‪.‬‬ ‫و دوﺑـﺎره در ﺳـﻮم راﻫـﻨـﻤـﺎﻳـﻰ )ﻛـﺘـﺎب رﻳـﺎﺿـﻰ ﺳـﺎل ﺳــﻮم‬ ‫راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ‪ ،‬ص ‪:(٥٣‬‬ ‫ﻛﺎر در ﻛﻼس‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻫﺮ ﻳﻚ از ﺷﻜﻞ ﻫﺎى زﻳﺮ را ﺑﺎ ﻳﻚ ﻋﺒـﺎرت ﺟـﺒـﺮى‬ ‫ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬



‫ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ در ﻫﻤﻪ ى اﻳﻦ ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻫﺎ ﻃﻮل ارﺗﻔﺎع رﺳﻢ ﺷﺪه ﺑﺮاى‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮز‪ ،‬ﻛﻤﺘﺮ از ﻃﻮل ﻗﺎﻋﺪه ى ﻧﻈﻴﺮ آن اﺳﺖ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﺗـﺎ دوم‬ ‫راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ از ﻣﺘﻮازى اﻻﺿﻼع در ﻛﺘﺎب ﻫﺎى درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰ ﺧﺒﺮى‬ ‫ﻧﻴﺴﺖ ﺗﺎ اﻳﻦ ﻛﻪ از داﻧﺶ آﻣﻮز ﻣﺎ ﺧﻮاﺳﺘﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺗﻤﺮﻳﻦ زﻳﺮ را‬ ‫ﺣﻞ ﻛﻨﺪ )ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻰ ﺳﺎل دوم راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ‪ ،‬ص ‪:(١٧٣‬‬



‫اﻛﻨﻮن داﻧﺶ آﻣﻮز »ﺧﻮب« ﻣﺎ در ﻛﻼس اول دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن اﺳﺖ و‬ ‫ﻣﺎ ﺑـﺮاى اﻳﻦ ﻛـﻪ دوﺑـﺎره )!( ﺑﻪ او ﻧـﺸـﺎن دﻫـﻴـﻢ ﻛـﻪ در اوﻗﺎﺗـﻰ ﻛـﻪ‬ ‫»ﻣﻰ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﻣﻄﻠﺒﻰ را در ﻣﻮرد دو ﻋﺪد دﻟﺨﻮاه ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻴﻢ ﻻزم اﺳﺖ‬ ‫از دو ﻧﻤﺎد ﻣﺨﺘﻠ‪ t‬اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﻫﺮ ﻛﺪام ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه ى ﻋـﺪد‬ ‫دﻟــﺨــﻮاﻫـﻰ ﺑــﺎﺷــﻨــﺪ‪) «.‬رﻳــﺎﺿــﻰ ‪ ،١‬ص ‪ (٢٢‬ﻣــﺴــﺎﺣــﺖ‬ ‫ﻣﺘـﻮازى اﻻﺿﻼع را ﺑﻪ زﺑﺎن ﻧﻤﺎدﻳـﻦ ﺗـﺮﺟﻤﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﻴـﻢ‪ .‬اﻣـﺎ اﻋـﺪاد‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻃـﻮل ﻗﺎﻋﺪه و ﻃـﻮل ارﺗﻔﺎع ﻧﻈﻴﺮ آن‪ ،‬ﺗﺎ ﭼﻪ اﻧـﺪازه ﺑﺮاى‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزى ﺑﺎ ﺗﺠﺮﺑﻪ ى داﻧﺶ آﻣﻮز ﻣـﺎ اﻋﺪادى دﻟﺨﻮاه ﻣﺤﺴﻮب‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ؟ آﻳﺎ ﻋﺠﻴﺐ اﺳﺖ ﻛﻪ او )ﺣﺘﻰ اﮔﺮ ﺑﺎ ﻛﻤﺎل ﺧـﻮش ﺑﻴﻨﻰ‬ ‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ ﭼﻴﺰى ﻓـﺮاى ﻳﻚ ﺗﺮﺟﻤﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﺜﺎل ﻧﮕﺎه ﻛﻨﺪ(‪،‬‬ ‫ﻋﺪد ﻣﻨﺴـﻮب ﺑﻪ ﻃـﻮل ﻗﺎﻋﺪه را ﺑﺰرگ ﺗﺮ از ﻋﺪد ﻣﻨـﺴـﻮب ﺑﻪ ﻃﻮل‬ ‫ارﺗﻔﺎع ﻓﺮض ﻛﻨﺪ! ﺷﺎﻳﺪ ﻫﻤﻴﻦ ﻗﺪر درك ﻫﻢ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ ،‬ﭼﺮا‬ ‫ﻛﻪ ﻣﺎ ﻣﺘـﺮﺟﻢ ﺧﻮب ﻣﻰ ﺧﻮاﻫﻴﻢ‪ ،‬ﭼـﺮا ﻛﻪ »اﻫﺪاف ﻛﻠﻰ رﻓﺘـﺎرى و‬ ‫ﻋﻤﻠـﻜـﺮد ﻣـﻮرد اﻧﺘﻈﺎر از داﻧﺶ آﻣﻮز« اﻳﻦ اﺳـﺖ ﻛـﻪ »ﺑـﺎ ﻧـﻤـﺎدﻫـﺎ‬ ‫ﺟﻤﻼت رﻳﺎﺿﻰ را ﺑﻴﺎن ﻛﻨﺪ و ﺟﻤﻼت رﻳﺎﺿﻰ را ﺑﻪ زﺑﺎن ﻓﺎرﺳﻰ‬ ‫‪٧‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫ﺑﻴﺎن ﻛﻨﺪ و ﺗﻮﺿﻴﺢ دﻫﺪ« )راﻫﻨﻤﺎى ﺗﺪرﻳﺲ ﻓﺼﻞ اول ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫‪،١‬ص‪.(٢‬اﮔﺮ ﭼﻨﻴﻦ اﺳﺖ‪،‬اﮔﺮﻗﺮاراﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﻤﺎدﻫﺎﺗﻨﻬﺎ»ﺑﺮﭼﺴﺐ «ﻫﺎﻳﻰ‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺑـﺮاى ﻛﻠﻤﺎت ﻓـﺎرﺳﻰ‪ ،‬ﭼﺮا از ﻣﺜﺎل زﻳﺮ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻜﻨﻴـﻢ ﻛـﻪ‬ ‫ﺣـﺪاﻗـﻞ ﺑـﺮاى داﻧﺶ آﻣـﻮز ﻣـﺎ ﺗـﺎزﮔـﻰ دارد )اﻳـﺪه ى اﻳـﻦ ﻣـﺜـﺎل از‬ ‫ورت ﻫﺎﻳﻤﺮ اﺳﺖ(‪:‬‬



‫ﻧﺸﺎن اﺻﻠﻰ‬ ‫ﻧﺸﺎن اﺻﻠﻰ ﺟﺒﺮ ﺑﻪ ﺑﺰرﮔﻰ و وﺳﻌﺖ ﻫﻤﻪ ى آﻣﻮزش ﻋﻤﻮﻣﻰ‬ ‫ﻣﺎﺳﺖ‪ .‬وﻟﻰ ﻣﺎ ﺑﺎ ﺟﺪا ﻛﺮدن آن از ﺣﺴﺎب در دﺑﺴﺘﺎن )اﺳﺘﻴﺴﻰ‪،‬‬ ‫اﺻﻐﺮى‪ ،(١٣٨٨ ،‬ﺑﺎ ﺗﻘﻠﻴﻞ آن ﺑﻪ ﻳـﻚ زﺑـﺎن در راﻫﻨﻤﺎﻳـﻰ و اول‬ ‫دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن‪ ،‬ﺑﺎ ﺗﺄﻛﻴﺪ ﺑﻴﺶ از اﻧﺪازه ﺑﻪ زﺑﺎن ﺟﺒﺮى ﺑﻪ ﺟﺎى ﺗﻔﻜﺮ ﺟﺒﺮى‬ ‫)اﺳﺘﻴﺴﻰ و اﺻﻐـﺮى؛ ﻫﻤﺎن ﺟﺎ(‪ ،‬و ﺑﻪ ﻃﻮر ﻛﻠﻰ‪ ،‬ﺑـﺎ ﺟـﺪاﻛـﺮدن‬ ‫ﻧﻤﺎدﻫﺎ از زﻣﻴﻨﻪ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﻣﻌﻨﻰ ﻣﻰ ﺑﺨﺸﻨﺪ و ﻳﺎ ﺑـﺎ اﺗـﺼـﺎلِ‬ ‫دن ﻧﺸﺎﻧﻰ ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺎﺑﻪ ﺟﺎى ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﺑﻪ آن زﻣﻴﻨﻪ ﻫﺎ‪ ،‬ﻫﻤﻪ ى ﻓﺮﺻﺖ ﻫﺎى ز ِ‬ ‫اﻳﻦ ﺑﺰرﮔﻰ را از دﺳﺖ داده اﻳﻢ‪» .‬ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ« زﻳﺮ ﺷﺎﻫﺪ دﻳﮕﺮى اﺳﺖ‬ ‫از آن ﭼﻪ ﺑﺮ داﻧﺶ آﻣﻮز اول ﻧﻈﺮى ﻣﺎ ﮔﺬﺷﺘﻪ )و ﻣﻰ ﮔﺬرد و ﺑﻪ ﻧﻈﺮ‬ ‫ﻣﻰ رﺳﺪ ﻛﻪ ﺧﻮاﻫﺪ ﮔﺬﺷﺖ!(‬



‫‪ = a − h‬ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺘﻮازى اﻻﺿﻼع‬



‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ )ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻰ اول راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ‪ ،‬ص ‪(٩١‬‬ ‫در ﺷﻜﻞ ﻣﻘﺎﺑﻞ‪ ،‬دو ﻧﻮار ﻣﻘﻮاﻳﻰ را ﻣﻰ ﺑﻴﻨﻴﺪ ﻛﻪ در ﻧﻘﻄﻪ ى ‪O‬‬



‫ﻣﺜـﺎل‪ :‬ﺑﺮاى ﺑﻴﺎن اﻳﻦ ﻛﻪ‪» :‬ﻣﺴﺎﺣـﺖ ﻣـﺘـﻮازى اﻻﺿﻼع ﺑـﺮاﺑﺮ‬ ‫اﺳﺖ ﺑﺎ ﺣﺎﺻﻞ ﺗﻔﺮﻳﻖِ ﻃﻮل ارﺗﻔﺎع از ﻃﻮل ﻗﺎﻋﺪه ى ﻧﻈﻴﺮ آن ﺗﻘﺴﻴﻢ‬ ‫ﺑﺮ ﺣﺎﺻﻞ ﺗﻔﺮﻳﻖ ﻣﻌﻜﻮس ﻃﻮل ﻗﺎﻋﺪه از ﻣﻌﻜﻮس ﻃﻮل ارﺗﻔﺎع ﻧﻈﻴﺮ‬ ‫آن«‪ ،‬ﻣﻰ ﮔﻮﻳﻴﻢ‪ :‬ﻳﻚ ﻣﺘﻮازى اﻻﺿﻼع دﻟﺨﻮاه را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ و‬ ‫ﻃﻮل ﻳﻚ ﻗﺎﻋﺪه ى آن را ‪ a‬و ارﺗﻔﺎع ﻧﻈﻴﺮ آن ﻗﺎﻋﺪه را ‪ h‬ﺑﻨﺎﻣﻴﺪ‪ ،‬در‬ ‫اﻳﻦ ﺻﻮرت‪:‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪h a‬‬



‫ﻟﻮﻻ ﺷﺪه اﻧﺪ‪ .‬زاوﻳـﻪ ﻫـﺎى ‪ ١‬و ‪ ٢‬را دو زاوﻳﻪ ى ﻣﺘﻘﺎﺑـﻞ ﺑـﻪ رأس‬ ‫ﻣﻰ ﻧﺎﻣﻴﻢ‪.‬‬



‫داﻧﺶ آﻣﻮزى ﻛﻪ از ﭘﺲ ﺣﻞ اﻳﻦ ﻣﺜﺎل ﺑﺮآﻳﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻳﻘﻴﻦ ﻣﺘﺮﺟﻢ‬ ‫ﺧﻮﺑﻰ اﺳﺖ و اﮔﺮ ﻋﻼوه ﺑﺮ ﺗﺮﺟﻤﻪ‪ ،‬ﺑﺘـﻮاﻧﺪ ﻧﺸﺎن دﻫﺪ ﻛﻪ ﻋﺒﺎرت‬



‫آﻳﺎ اﻳﻦ دو زاوﻳﻪ ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺴﺎوى اﻧﺪ؟‬ ‫ﺑﺎ ﻛﺎﻣﻞ ﻛﺮدن راﺑﻄﻪ ﻫﺎ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﭼﺮا دو زاوﻳﻪ ى ﻣﺘﻘﺎﺑﻞ‬ ‫ﺑﻪ رأس ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺴﺎوى اﻧﺪ؟‬



‫‪ a − h‬ﺑﺎ ‪ ah‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻳﻘﻴﻦ ﻧﺤﻮى ﺧﻮﺑﻰ ﻧﻴﺰ ﺧﻮاﻫﺪ‬



‫‪1 1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪h a‬‬



‫ﺑﻮد ﭼﺮا ﻛﻪ ﺗـﻮاﻧﺴﺘﻪ اﺳﺖ »ﺑﺪون ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻣﻌﻨﻰ ﻧﻤﺎدﻫﺎ و ﺑﺮ ﻃﺒـﻖ‬ ‫ﻗـﻮاﻧﻴﻨﻰ ﻣـﻌـﻴـﻦ« )دﻣـﺒـﻰ‪ ،١٩٩٧ ،‬ص ‪ ،(٦٦‬ﻋـﺒـﺎرت‬ ‫ﮔﻮﻳﺎى ‪ a − h‬را ﺳﺎده ﻛﻨﺪ‪ .١‬ﺑﺎ اﻳﻦ ﺣﺴﺎب‪ ،‬ﻣﺎ ﺑﺎ ﻳﻚ ﺗﻴـﺮ دو‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪h a‬‬



‫ﻧﺸـﺎن زده اﻳﻢ‪ ،‬ﻫﻢ ﻣـﺘـﺮﺟﻢ ﺧﻮﺑﻰ ﺗﺮﺑـﻴـﺖ ﻛـﺮده اﻳﻢ‪ ،‬ﻫﻢ ﻧﺤـﻮى‬ ‫ﺧﻮﺑﻰ؛ اﻣﺎ اﻓﺴﻮس ﻛﻪ ﻧﺸﺎن اﺻﻠﻰ را ﻧﺰده اﻳﻢ!‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫‪٨‬‬



‫‪ˆ = 180° ‬‬ ‫‪ˆ +O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ⇒... =...‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪O2 +... = 180° ‬‬



‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣﻮز ﺷﻤـﺎ ﻟـﺰوِم »اﺛﺒﺎت« اﻳﻦ ﻛـﻪ ﭼـﺮا دو‬ ‫زاوﻳﻪ ى ﻣﺘﻘﺎﺑﻞ ﺑـﻪ رأس ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺴـﺎوى اﻧﺪ را درك ﻣﻰ ﻛﻨﺪ )و اﻳـﻦ‬ ‫ﺧﻮد ﺗﻘﺮﻳﺒﺎً ﻓﺮﺿﻰ ﻣﺤﺎل اﺳﺖ!(؛ آﻳﺎ ﺣﺘﻰ ﺑﺎ اﻳﻦ ﻓﺮض‪» ،‬اﺛﺒﺎت«‬ ‫داده ﺷﺪه ﺑﻪ او ﻛﻤﻚ ﻣﻰ ﻛﻨـﺪ ﻛـﻪ درك ﻛﻨﺪ ﭼﻪ ﭼﻴـﺰﻫﺎﻳﻰ در اﻳـﻦ‬



‫»ﺳﺎﺧﺘﺎر« ﻫﻨﺪﺳﻰ ﺛﺎﺑﺖ اﻧﺪ و ﭼﻪ ﭼﻴﺰﻫﺎﻳﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ؟ ﻳﺎ اﻳﻦ ﻛﻪ ﭼﺮا از‬ ‫‪ O4‬اﺳﺘﻔﺎده ﻧﺸﺪه در ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ زاوﻳﻪ ﻫﺎى دﻳﮕﺮ ﻧﺎم ﮔﺬارى ﺷﺪه اﻧﺪ؟‬ ‫ﻳﺎ اﻳﻦ ﻛﻪ ﭼﺮا اﻳﻦ رواﺑﻂ ﺧﺎص ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه اﻧﺪ و ﻧﻪ ﺑﺴﻴﺎرى از رواﺑﻂ‬ ‫ﻣﻤﻜﻦ دﻳﮕﺮ؟ و آﻳﺎ اﻳﻦ »اﺛﺒﺎت« ﭼﻴﺰى ﺑﻴﺶ ﺗﺮ از اﺳﺘﺪﻻل ﻛﻼﻣﻰ‬ ‫و ﻧﻤﺎﻳﺸﻰ ﻛﻪ ﺑﺎ ﭘﻮﺷﺎﻧﺪن ﺑﺨﺸﻰ از ﺷﻜﻞ ﺑﺎ دﺳﺖ ﺣﺎﺻﻞ ﻣﻰ ﺷﻮد‬ ‫ﺑﻪ داﻧﺶ آﻣﻮز ﻣﻰ آﻣﻮزد )ﺷﻜﻞ زﻳﺮ(‪:‬‬



‫ﺑﻴﺶ ﺗﺮ اﺳﺖ ﻳﺎ ﺗﻌﺪاد ﻣﻬﺮه ﻫﺎى ﻗﺮﻣﺰ در ﻛﻴﺴﻪ ى آﺑﻰ؟‬ ‫ﻟﻄﻔﺎً ﻗﺒﻞ از ﺧﻮاﻧﺪن »ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ« زﻳﺮ‪ ،‬ﺑﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ ى ﻣﻬﺮه ﻫﺎ ﻓﻜﺮ‬ ‫و ﺳﻌﻰ ﻛﻨﻴﺪ آن را ﺣﻞ ﻛﻨﻴﺪ‪ ،‬ﭼﺮا ﻛﻪ »ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ« ﻣﺬﻛﻮر ﻫﻢ ﻣﺴﺌﻠﻪ‬ ‫را ﺧﺮاب و ﻫﻢ آن را ﺣﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ!!‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫اﻳﻦ ﻗﺴﻤﺖ را ﺑﺎ دﺳﺖ ﺑﭙﻮﺷﺎﻧﻴﺪ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬ ‫آﺑﻰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬ ‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬ ‫آﺑﻰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻛﻴﺴﻪ ى آﺑﻰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻛﻴﺴﻪ ى ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﻣﺴﺌﻠﻪ در ﺷﺮوع‬ ‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬ ‫اﻳﻦ ﻗﺴﻤﺖ را ﺑﺎ دﺳﺖ ﺑﭙﻮﺷﺎﻧﻴﺪ‬



‫از آن ﺟﺎﻳﻰ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻣﺜﺎل ﺑﺴﻴﺎر آﺷﻨﺎ اﺳﺖ )ﻫﻢ ﭼﻨﺎن ﻛﻪ ﻣـﺜـﺎل‬ ‫ﻣﺘﻮازى اﻻﺿﻼع ﺑـﻮد( و از آن ﺟﺎ ﻛﻪ اﻳﻦ آﺷﻨﺎﻳﻰ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻛـﻪ‬ ‫اﻫﻤﻴﺖ ﺳـﺆال ﻫﺎى ﺑﺎﻻ را ﭘﻨﻬﺎن ﻛﻨﺪ‪ ،‬اﺟـﺎزه دﻫﻴﺪ ﺷﻤﺎ را ﺑﻪ ﺣﻞ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ ى دﻳﮕﺮى دﻋﻮت ﻛﻨﻢ‪.‬‬ ‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ دو ﻛﻴﺴﻪ دارﻳﺪ‪ .‬در ﻳﻜﻰ از ﻛﻴـﺴـﻪ ﻫـﺎ )ﻛـﻴـﺴـﻪ ى‬ ‫ﻣﺰ ﻳﻚ ﺷﻜﻞ و ﻳﻚ اﻧـﺪازه و در ﻛﻴﺴـﻪ ى‬ ‫ﻗﺮﻣﺰ(‪ ١٨٠ ،‬ﻣﻬـﺮه ى ﻗﺮ ِ‬ ‫دﻳﮕﺮ )ﻛﻴﺴﻪ ى آﺑـﻰ(‪ ١٨٠ ،‬ﻣﻬـﺮه ى آﺑﻰ ﺑﻪ ﻫﻤﺎن ﺷﻜﻞ و اﻧـﺪازه‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺷﺨﺼﻰ ﺗﻌﺪادى ﻣﻬﺮه ى ﻗﺮﻣﺰ را از ﻛﻴﺴﻪ ى ﻗﺮﻣﺰ ﺑﺮﻣﻰ دارد‬ ‫و در ﻛﻴﺴﻪ ى آﺑﻰ ﻗﺮار ﻣﻰ دﻫﺪ‪ ،‬ﺳﭙﺲ ﻛﻴﺴﻪ ى آﺑﻰ را ﺧﻮب ﺑﻪ ﻫﻢ‬ ‫ﻣﻰ زﻧﺪ ﺑﻪ ﻃﻮرى ﻛﻪ ﻣﻬﺮه ﻫﺎى ﻗﺮﻣﺰ در ﻻﺑﻪ ﻻى ﻣﻬﺮه ﻫﺎى آﺑﻰ ﭘﺨﺶ‬ ‫ﺷﻮد‪ .‬ﻫﻤﺎن ﺷﺨﺺ‪ ،‬ﺑﺎ ﭼﺸﻤﺎﻧﻰ ﺑﺴﺘﻪ‪ ،‬ﺑﻪ ﺗﻌﺪاد ﻣﻬﺮه ﻫﺎى ﻗﺮﻣﺰى‬ ‫ﻛﻪ ﺑﻪ ﻛﻴﺴﻪ ى آﺑﻰ اﻧﺘﻘﺎل داده اﺳﺖ‪ ،‬از ﻛﻴﺴﻪ ى آﺑﻰ ﻣﻬﺮه ﺑﺮﻣﻰ دارد‬ ‫)ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺗﻌﺪاد ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﻫﻢ ﺷﺎﻣﻞ ﻣﻬﺮه ﻫﺎى آﺑﻰ ﺑﺎﺷﺪ و‬ ‫ﻫﻢ ﻣﻬـﺮه ﻫﺎى ﻗﺮﻣﺰ( و در ﻛﻴﺴﻪ ى ﻗـﺮﻣﺰ ﻗـﺮار ﻣﻰ دﻫﺪ‪ .‬اﻛﻨـﻮن در‬ ‫اﻧﺘﻬﺎى اﻳﻦ ﺟﺎﺑﻪ ﺟﺎﻳﻰ‪ ،‬ﺗـﻌـﺪاد ﻣـﻬـﺮه ﻫﺎى آﺑﻰ در ﻛﻴﺴـﻪ ى ﻗـﺮﻣـﺰ‬



‫آﺑﻰ‬ ‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬ ‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬ ‫ﻛﻴﺴﻪ ى آﺑﻰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻛﻴﺴﻪ ى ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﭘﺲ از اﻧﺘـﻘـﺎل ﻣـﻬـﺮه‪+‬ﻫﺎى ﻗﺮﻣﺰ از ﻛﻴـﺴـﻪ‪+‬ى‬ ‫ﻗﺮﻣﺰ ﺑﻪ ﻛﻴﺴﻪ‪+‬ى آﺑﻰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬ ‫ﻗﺮﻣﺰ‬ ‫آﺑﻰ‬ ‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬ ‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻛﻴﺴﻪ ى آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬ ‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫آﺑﻰ‬ ‫آﺑﻰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻛﻴﺴﻪ ى ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﻣﺴﺌﻠﻪ در اﻧﺘﻬﺎ‬ ‫‪٩‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬ ‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫آﺑﻰ‬



‫ﻛﻴﺴﻪ ى آﺑﻰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ ﻗﺮﻣﺰ‬



‫آﺑﻰ‬ ‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬ ‫ﻗﺮﻣﺰ‬ ‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫آﺑﻰ‬ ‫آﺑﻰ‬



‫ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻛﻴﺴﻪ ى ﻗﺮﻣﺰ‬



‫‪ ، O2‬ﺗﻌﺪاد ﻣـﻬـﺮه‪+‬ﻫﺎى ﻗـﺮﻣﺰ در ﻛﻴـﺴـﻪ‪+‬ى آﺑـﻰ؛ ‪ ، O1‬ﺗﻌـﺪاد‬ ‫ﻣﻬﺮه‪+‬ﻫﺎى آﺑﻰ در ﻛﻴﺴﻪ‪+‬ى‪ ،‬ﻗﺮﻣﺰ ‪ ، O 3‬ﺗﻌﺪاد ﻣﻬﺮه‪+‬ﻫﺎى آﺑﻰ‬ ‫در ﻛﻴﺴﻪ‪+‬ى آﺑﻰ‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ دو ﻛﻴﺴﻪ دارﻳﺪ ﻛـﻪ در ﻫـﺮ ﻛـﺪام ‪ ١٨٠‬ﻣﻬـﺮه ى …‬ ‫]ﻣﺴﺌﻠـﻪ ى ﺑـﺎﻻ را دوﺑﺎره ﺑﺨـﻮاﻧﻴﺪ‪ ،‬ﻓﻘـﻂ ﺳـﺆال آﺧﺮ ﻣﺴﺌـﻠـﻪ را ﺑﺎ‬ ‫ﺳﺆال ﻫﺎى زﻳﺮ ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﻛﻨﻴﺪ‪[.‬‬ ‫آﻳﺎ ﺗﻌﺪاد ﻣﻬﺮه ﻫﺎى آﺑﻰ در ﻛﻴﺴﻪ ى ﻗﺮﻣﺰ ﺑﺎ ﺗﻌﺪاد ﻣﻬﺮه ﻫﺎى ﻗﺮﻣﺰ‬ ‫در ﻛﻴﺴﻪ ى آﺑﻰ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ؟ ﺑﺎ ﻛﺎﻣﻞ ﻛﺮدن راﺑﻄﻪ ﻫﺎ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ‬ ‫ﭼﺮا ﺗﻌﺪاد ﻣﻬﺮه ﻫﺎى آﺑﻰ در ﻛﻴﺴﻪ ى ﻗـﺮﻣﺰ ﺑﺎ ﺗﻌﺪاد ﻣﻬﺮه ﻫﺎى ﻗﺮﻣﺰ‬ ‫در ﻛﻴﺴﻪ ى آﺑﻰ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ؟‬ ‫‪٢‬‬



‫‪ˆ = 180° ‬‬ ‫‪ˆ +O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ⇒... =...‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪O2 +... = 180° ‬‬



‫ﺷﻜﻞ ﺑﻴﺎن ﻣﺴﺌﻠﻪ ى ﻣﻬـﺮه ﻫﺎ‪ ،‬اﮔﺮﭼﻪ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑـﺮاى ﺷﻤﺎ‬ ‫ِ‬ ‫ﭼﻨﺪان ﻧﺎﻣﻨﺎﺳـﺐ ﻧـﺒـﺎﺷـﺪ‪ ،‬ﺑـﺮاى اﻛﺜﺮ داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﺷﻤﺎ ﺑـﺴـﻴـﺎر‬ ‫ﻧﺎﻣﻨﺎﺳﺐ و ﮔﻴﺞ ﻛﻨﻨﺪه ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ]ﺑﺮاى دﻳﺪن ﺷﻜﻞ ﻫﻴﺠﺎن اﻧﮕﻴﺰﺗﺮ‬ ‫و ﻗﺎﺑﻞ اﺳﺘﻔﺎده ﺗﺮى از اﻳﻦ ﻣﺴﺄﻟﻪ ﺑﻪ ﻣﻘﺎﻟﻪ ى »ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ ﺷـﺮوع ﻛﺪام‬ ‫اﺳﺖ؟« )اﺻﻐﺮى‪ (١٣٧٩ ،‬ﻧﮕﺎه ﻛﻨﻴﺪ‪ [.‬از ﻃﺮﻓﻰ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻳﻘﻴﻦ‪،‬‬ ‫»ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ« ﻃﺮح ﺷﺪه ﺑﺮاﺳﺎس ﻣﺴﺌﻠﻪ ى ﮔـﻮى ﻫﺎ‪ ،‬ﺣﺘﻰ ﺑﺮاى ﺷﻤﺎ‬ ‫ﻧﻴﺰ ﮔﻴﺞ ﻛﻨﻨﺪه ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ ،‬و اﻳﻦ ﻧﻪ ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻰ آن‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ‬ ‫ﺑﻪ دﻟﻴﻞ ﺑﻰ ﻣﺤﺘﻮا ﺷﺪن آن اﺳﺖ‪ .‬در واﻗﻊ ﻣﻦ ﺑﺮاى ﻃﺮح ﻓﻌﺎﻟﻴـﺖ‬ ‫ﻣﺬﻛﻮر دو دﻟﻴـﻞ دارم‪ .‬اول اﻳﻦ ﻛﻪ در ﺷﻤﺎ ﻫﻤﺎن ﺣـﺴـﻰ را اﻳﺠﺎد‬ ‫ﻛﻨﻢ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣﻮز اول راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﺷﻤﺎ آن را در ﻣﻮاﺟﻬﻪ ﺑﺎ »اﺛﺒﺎت«‬ ‫ﺗﺴـﺎوى زاوﻳﻪ ﻫﺎى ﻣﺘﻘﺎﺑـﻞ ﺑـﻪ رأس ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ؛ اﻛـﻨـﻮن ﺷﺎﻳﺪ‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫‪١٠‬‬



‫ﺑﺴـﻴـﺎرى از داﻧـﺶآﻣـﻮزان ﺣﺘـﻰ در ﺑـﻴـﺎن‬ ‫ﺗﻌﻤﻴﻢ در زﺑﺎن ﻃﺒﻴـﻌـﻰ ﺑـﺎ ﻣـﺸـﻜـﻞ ﻣـﻮاﺟﻪ‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ و اﻳﻦ ﻣﺸﻜـﻞ وﻗﺘﻰ آنﻫﺎ ﻧﺎﭼﺎر ﺑـﻪ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده از زﺑﺎن ﺟﺒﺮى ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺣﺎدﺗﺮ اﺳﺖ‬



‫ﻫﻤﻪ ى آن ﺳﺆال ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ در وﺣﻠﻪ ى اول‪ ،‬ﺑﻪ دﻟﻴﻞ ﻋﺎدت ﻛﺮدن ﺑﻪ‬ ‫ﻣﻮﺿـﻮع )زاوﻳﻪ ﻫﺎى ﻣﺘﻘﺎﺑﻞ ﺑـﻪ رأس( ﺑﻰ رﺑﻂ ﺑﻪ ﻧﻈـﺮ ﻣـﻰ رﺳﻴـﺪ‪،‬‬ ‫ﻣﻮﺿـﻮﻋﻴﺖ ﭘﻴﺪا ﻛـﻨـﻨـﺪ‪ :‬ﭼـﺮا از ‪) O4‬ﺗﻌﺪاد ﻣـﻬـﺮه ﻫﺎى ﻗـﺮﻣﺰ در‬ ‫ﻛﻴﺴﻪ ى ﻗﺮﻣﺰ( اﺳﺘﻔﺎده ﻧﺸﺪه اﺳﺖ؟ ﭼـﺮا اﻳﻦ رواﺑﻂ ﺧﺎص ﻧﻮﺷﺘﻪ‬ ‫ﺷﺪه اﻧﺪ و ﻧﻪ ﺑﺴﻴﺎرى از رواﺑﻂ ﻣﻤﻜﻦِ دﻳﮕﺮ؟ آﻳﺎ »اﺳﺘﺪﻻل« ﻧﻤﺎدﻳﻦ‬ ‫ﻻ ﭼﻴﺰى ﺑﻪ ﺷﺨﺺ ﻣﻰ آﻣـﻮزد؟ آﻳﺎ او درك ﺧﻮاﻫﺪ ﻛﺮد‬ ‫ﺑﺎﻻ‪ ،‬اﺻﻮ ً‬ ‫ﻛﻪ در اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬ﭼﻪ ﭼﻴﺰﻫﺎﻳﻰ ﺛﺎﺑﺖ اﻧﺪ و ﭼﻪ ﭼﻴﺰﻫﺎﻳﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ؟ آﻳﺎ‬ ‫»اﺳﺘﺪﻻل« ﻣﺬﻛﻮر‪ ،‬ﺗﺠﺮﺑﻪ ى ﺟﺒﺮى ﺑﻴﺶ ﺗﺮى از اﺳﺘﺪﻻل ﻛﻼﻣﻰ‬ ‫ـ ﻋﺪدى زﻳﺮ ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه ﺧﻮاﻫﺪ آورد؟‬



‫ﻣﻬﺮه ى آﺑﻰ‬ ‫ﻛﻴﺴﻪ ى آﺑﻰ‬



‫ﻣﻬﺮه ى ﻗﺮﻣﺰ‬



‫‪١٦٣‬‬



‫ﻛﻴﺴﻪ ى ﻗﺮﻣﺰ‬



‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ در اﻧﺘﻬﺎ ‪ ١٦٣‬ﻣﻬﺮه ى آﺑﻰ در ﻛﻴﺴﻪ ى آﺑﻰ ﺑﺎﻗﻰ ﻣﺎﻧﺪه‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺗﻌﺪاد ﻣﻬـﺮه ﻫﺎ در دو ﻛﻴﺴﻪ‪ ،‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪١٨٠‬ﺗﺎ‬ ‫اﺳﺖ‪ ،‬از اﻳﻦ ﺟﺎ ﺑﻪ ﺑﻌﺪ اﻋﺪاد ﺧﻮد را ﺑﻪ ﺷﻤﺎ ﺗﺤﻤﻴﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬



‫اﻛﻨﻮن اﺟﺎزه دﻫﻴﺪ ﺑﻪ راه ﺣﻞ »ﺟﺒﺮى« ﻛﻪ در ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﮔﻮى ﻫﺎ ﺑﻪ‬ ‫ﺷﻤﺎ ﺗﺤﻤﻴﻞ ﺷﺪ ﻧﮕﺎﻫﻰ ﺑﻴﺎﻧﺪازﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪O1 + O 3 = 180° ‬‬ ‫‪ ⇒ O1 = O2‬‬ ‫‪O2 + O 3 = 180° ‬‬



‫اﻳﻦ ﻋـﺒـﺎرت ﻫﺎ‪ ،‬دﻗﻴـﻘـﺎً ﻫﻤﺎن ﻋـﺒـﺎرت ﻫﺎﻳﻰ اﺳـﺖ ﻛـﻪ ﻣـﺎ ﺑـﻪ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮز ﺧﻮد )در ﻣﺴﺌﻠﻪ ى زاوﻳﻪ ﻫﺎى ﻣﺘﻘﺎﺑﻞ ﺑـﻪ رأس( ﺗﺤﻤﻴﻞ‬ ‫ﻛﺮده اﻳﻢ و اﻳﻦ دﻟﻴﻞ دوم ﻣﻦ ﺑﺮاى ﻃﺮح آن ﭼﻨﺎﻧﻰ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﮔـﻮى ﻫﺎ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ‪ O2 ، O1‬و ‪» O 3‬وﺟﻮدى دارﻧﺪ ﻣﺴﺘﻘﻞ از‬ ‫اﺷﻴﺎى ﻣﺸﺨﺼﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻧﻤﺎﻳﻨﺪﮔﻰ آن ﻫﺎ ﻣﻮرد ﻗﺒﻮل ﻗﺮار ﮔـﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ«‬



‫ﺑﺎ ﺟﺪا ﻛﺮدن ﻧﻤﺎدﻫﺎ از زﻣﻴﻨﻪﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ آنﻫﺎ‬ ‫ﻣﻌﻨﻰ ﻣﻰﺑﺨـﺸـﻨـﺪ و ﻳـﺎ ﺑـﺎ اﺗـﺼـﺎلِ ﻧﺎﺑـﻪﺟـﺎى‬ ‫ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﺑـﻪ آن زﻣﻴﻨﻪﻫﺎ‪ ،‬ﻫـﻤـﻪى ﻓـﺮﺻﺖﻫـﺎى‬ ‫دن ﻧﺸﺎﻧﻰ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺑﺰرﮔﻰ را از دﺳﺖ دادهاﻳﻢ‬ ‫ز ِ‬



‫‪International Group for the Psychology of Mathematics‬‬ ‫‪Education.‬‬ ‫‪4. Sfard, A. and Linchevski, L: (1994), The Gains and the‬‬ ‫‪Pitfalls of Reification- The case of Algebra, Educational‬‬ ‫‪Studies in Mathematics, 26, 191-228.‬‬ ‫‪5. Wertheimer, M: 1945, Productive Thinking.‬‬



‫)داﻧﺘﺰﻳـﮓ‪ ،‬ص ‪ .(١١٧‬از ﻃﺮﻓﻰ »ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ ﻧـﻤـﺎدﻫـﺎ ﺑـﺮاى اﻧﺠﺎم‬ ‫اﻋﻤﺎل رﻳﺎﺿﻰ« )داﻧﺘﺰﻳﻚ‪ ،‬ﻫﻤﺎن ﺟﺎ( اﻣﻜﺎن ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ ﺗﺴـﺎوى‬ ‫‪ O1‬ﺑﺎ ‪ O2‬ﻣﺴﺘﻘﻞ از ﻣﻌﻨﻰ اى ﻛﻪ ﻣﺎ ﺑﺮاى ‪) O2 ، O1‬و در اﻳﻦ ﺟﺎ‬ ‫‪ ( O4‬ﻗﺎﺋﻠﻴﻢ از دو ﺗﺴﺎوى ‪ O1 + O 3 = 180‬و ‪O2 + O 3 = 180‬‬ ‫ﺑﻪ دﺳﺖ آﻳﺪ‪.‬‬ ‫ت ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﻧﺴـﺒـﺖ ﺑـﻪ زﻣﻴﻨﻪ اى ﻛﻪ ﺑﻪ آن ﻫـﺎ ﻣـﻌـﻨـﻰ‬ ‫اﻳﻦ ﺳﻜـﻮ ِ‬ ‫ﻣﻰ ﺑﺨﺸﺪ ﻫﻤﻪ ى ﻗﺪرت ﺟﺒﺮ ﻧﻤﺎدﻳﻦ اﺳﺖ‪ .‬اﻣﺎ ﻫﻤﻴﻦ ﺳﻜﻮت‪،‬‬ ‫»ﭼﺸﻢ اﺳﻔﻨﺪﻳﺎر« آﻣﻮزش ﺟﺒﺮ اﺳﺖ؛ ﺟﺒـﺮى ﻛﻪ ﻳﺎ ﭘﻴﻮﻧﺪ ﺧﻮد را‬ ‫از زﻣﻴﻨﻪ ﺑﺮﻳﺪه ﻳﺎ ﭘـﻴـﻮﻧﺪ ﻣﻌﻨﻰ دارى ﺑـﺎ زﻣﻴﻨﻪ ﺑـﺮﻗﺮار ﻧﻜﺮده اﺳﺖ؛‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ ﻛﻪ ﺑﺎ ﮔـﺮﻓﺘﻦ ﻣﻮﺿﻮِع ﺻﺤﺒﺖ از داﻧﺶ آﻣﻮز‪ ،‬ﺗﺄﻛﻴﺪ ﺑـﺮ‬ ‫آﺳـﺎن ﺻـﺤـﺒـﺖ ﻛـﺮدن ﻣـﻰ ﻛـﻨـﺪ! اﻳـﻦ ﭼـﻨـﻴـﻦ اﺳـﺖ ﻛـﻪ ﺑــﺮاى‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮز‪ ،‬ﺳﻜـﻮت ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﻧﻪ ﻧﺸﺎﻧـﻪ ى ﻗـﺪرت‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ ﻓﺮﻳـﺎدى‬ ‫ﺑﻰ ﻣﺤﺘﻮا اﺳﺖ‪.‬‬



‫ﺑﻪ ﺗﻔﻜـﺮ ﺟـﺒـﺮى‪ ،‬ﻣـﺠـﻠـﻪ‪+‬ى رﺷﺪ آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿـﻰ‪ ،‬ﺷﻤـﺎره ى ‪ ،٩٥‬ﺻـﺺ‬ ‫‪١١‬ـ‪ ،٤‬دﻓﺘﺮ اﻧﺘـﺸـﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣـﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﺳﺎزﻣﺎن ﭘـﮋوﻫﺶ و ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬وزارت آﻣﻮزش وﭘﺮورش‪.‬‬ ‫‪ .٧‬اﺻﻐﺮى‪ ،‬اﻣﻴﺮﺣﺴﻴﻦ )‪ :(١٣٧٩‬ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ ﺷﺮوع ﻛﺪام اﺳﺖ؟‪ ،‬ﻣﺠﻠﻪ‪+‬ى‬ ‫رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺷﻤﺎره ى ‪ ،٦٠-٥٩‬ﺻﺺ ‪ ،٥٢-٥٣‬دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات‬ ‫ﻛـﻤـﻚ آﻣـﻮزﺷـﻰ‪ ،‬ﺳـﺎزﻣـﺎن ﭘـﮋوﻫـﺶ و ﺑـﺮﻧـﺎﻣـﻪ رﻳـﺰى آﻣـﻮزﺷـﻰ‪ ،‬وزارت‬ ‫آﻣﻮزش وﭘﺮورش‪.‬‬ ‫‪ .٨‬اﺻﻐﺮى‪ ،‬اﻣﻴﺮﺣﺴﻴﻦ و ﻋﺒﺪاﻟﻠﻪ ﭘﻮر‪ ،‬ﻣﺮﻳـﻢ )‪ a :(١٣٨٧‬ﭼﻪ ﺧﻮﺷﻤـﺰه‬ ‫اﺳﺖ!‪ ،‬ﻣﺠﻠـﻪ‪+‬ى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺷﻤﺎره ى ‪ ،٩٢‬ﺻﺺ ‪،٤٧-٤٩‬‬ ‫دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸـﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‪،‬‬ ‫وزارت آﻣﻮزش وﭘﺮورش‪.‬‬ ‫‪ .٩‬داﻧﺘﺰﻳﮓ‪ ،‬ﺗﻮﺑﻴـﺎﺳـﺮ )‪ :(١٣٦١‬ﻋﺪد‪ ،‬زﺑﺎن ﻋﻠـﻢ‪ .‬ﺗﺮﺟﻤﻪ ى ﻣﻬـﻨـﺪس‬ ‫ﻋﺒﺎس ﮔﺮﻣﺎن‪ ،‬ﺷﺮﻛﺖ ﺳﻬﺎﻣﻰ ﻛﺘﺎب ﻫﺎى ﺟﻴﺒﻰ‪.‬‬ ‫‪ .١٠‬ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻰ ﭼﻬﺎرم دﺑﺴﺘﺎن )‪ :(١٣٨٦‬دﻛﺘﺮ ﻋﺒﺪاﻟﻠﻪ ﺷﻴﺪﻓﺮ‪ ،‬دﻛﺘﺮ‬



‫ﭘﻰﻧﻮﺷﺖ‬ ‫‪ .١‬ﭘﻴﺸﻨﻬﺎد اﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ﻣﺜﺎل را ﺟﺪى ﻧﮕﻴﺮﻳﺪ! ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﻋﺒﺎرت‬



‫‪ .٦‬اﺳﺘﻴﺴﻰ‪ ،‬ﻛﺒﻰ و اﺻﻐﺮى‪ ،‬اﻣﻴﺮﺣﺴﻴﻦ )‪ :(١٣٨٨‬ﮔﺬر از ﺗﻔﻜﺮ ﺣﺴﺎﺑﻰ‬



‫‪a−h‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪h a‬‬



‫در ﻣﻮرد ﺳﺎﺧﺘﺎر ﻫﻨﺪﺳﻰ ﻣﺘﻮازى اﻻﺿﻼع ﻫﻴﭻ ﭼﻴﺰى ﻧﻤﻰ ﮔﻮﻳﺪ و ﻛﺎﻣﻼً ﺑﻪ آن‬ ‫ﺑﻰ رﺑﻂ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .٢‬اﻳﻦ »ﻓﻌﺎﻟﻴـﺖ« ﺑـﺎ آ ﮔﺎﻫﻰ از اﻳﻦ ﺗﻨﻈﻴﻢ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻛـﻪ اﺳـﺘـﻔـﺎده از ﻋـﻨـﻮان‬ ‫»ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ« ﭼﻴﺰى را ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﻪ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻧﻤﻰ ﻛﻨﺪ!‬



‫ﻣﺴﻌﻮد ﻓﺮزان‪ ،‬ﭘﺮوﻳﺰ ﻓﺮﻫﻮدى ﻣﻘﺪم و دﻛﺘﺮ رﺣﻴﻢ ﻛﺮﻳﻤﭙﻮر‪ ،‬ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ‬ ‫و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬وزارت آﻣﻮزش وﭘﺮورش‪.‬‬ ‫‪ .١١‬ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿـﻰ ﺳـﺎل اول راﻫﻨﻤـﺎﻳـﻰ )‪ :(١٣٨٥‬دﻛﺘﺮ ﻣﺴـﻌـﻮد ﻓﺮزان‪،‬‬ ‫ﺻﻔﺮ ﺑﺎ ﻫﻤﺖ ﺷـﻴـﺮواﻧﻪ ده‪ ،‬ﻣﺤﻤﺪ ﺗﻘﻰ دﻳﺒﺎﺋـﻰ و ﭘـﺮوﻳـﺰ ﻓـﺮﻫﻮدى ﻣﻘﺪم‪،‬‬ ‫ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬وزارت آﻣﻮزش وﭘﺮورش‪.‬‬ ‫‪ .١٢‬ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿـﻰ ﺳـﺎل دوم راﻫﻨﻤـﺎﻳـﻰ )‪ :(١٣٨٣‬دﻛﺘﺮ ﻣﺴـﻌـﻮد ﻓﺮزان‪،‬‬ ‫ﺻﻔﺮ ﺑﺎﻫﻤﺖ ﺷـﻴـﺮواﻧﻪ ده‪ ،‬ﻣﺤﻤﺪ ﺗﻘﻰ دﻳﻴﺎﻳـﻰ و ﭘـﺮوﻳـﺰ ﻓـﺮﻫـﻮدى ﻣﻘﺪم‪،‬‬ ‫ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬وزارت آﻣﻮزش وﭘﺮورش‪.‬‬



‫ﻣﻨﺎﺑﻊ‬ ‫‪1. Demby, A: (1997), Algebraic Procedures Used By 13-15-‬‬



‫‪ .١٣‬ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻰ ﺳـﺎل ﺳـﻮم راﻫﻨﻤﺎﻳـﻰ )‪ :(١٣٨٥‬دﻛﺘﺮ ﻣﺴﻌـﻮد ﻓﺮزان‪،‬‬



‫‪Years-Olds, Educational Studies in Mathematics, 33, 45-70.‬‬



‫ﺻﻔﺮ ﺑﺎﻫﻤﺖ ﺷﻴﺮواﻧﻪ ده‪ ،‬ﻣﺤﻤﺪ ﺗﻘﻰ دﺑﻴﺎﻳﻰ و ﭘﺮوﻳﺰ ﻓﺮﻫﻮدى ﻣﻘﺪم‪ ،‬ﺳﺎزﻣﺎن‬



‫‪2. Küchemann, D. and Hoyles, C: (2005), Pupils' Awareness‬‬



‫ﭘﮋوﻫﺶ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬وزارت آﻣﻮزش وﭘﺮورش‪.‬‬



‫‪of Structure on Two Number/Algebra Questions, Proceedings‬‬



‫‪ .١٤‬رﻳﺎﺿﻴﺎت )‪ (١‬ﺳﺎل اول دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن )‪ :(١٣٨٧‬ﺷﻬﺮﻧﺎز ﺑﺨﺸﻌﻠﻰ زاده‪،‬‬



‫‪of the Fourth Conference of the European, 438-448.‬‬



‫دﻛﺘﺮ ﻧﺎﺻﺮ ﺑﺮوﺟﺮدﻳﺎن‪ ،‬زﻳﻦ اﻟﻌﺎﺑﺪﻳﻦ دﻫﻘﺎﻧﻰ اﺑﻴﺎﻧﻪ‪ ،‬دﻛﺘﺮ ﻓﺮزاد دﻳﺪه ور‪،‬‬



‫‪3. Mason, J: (2005), Frameworks for Learning, Teaching and‬‬



‫ﻣﺤﻤﺪ ﺗﻘﻰ ﻃﺎﻫﺮى ﺗﻨﺠﺎﻧﻰ‪ ،‬دﻛﺘﺮ وﺣﻴﺪ ﻋﺎﻟﻤﻴﺎن و دﻛﺘﺮ ﺣﻤﻴﺪ ﻣﺴﮕﺮاﻧﻰ‪،‬‬



‫‪Research: Theory and Practice, in Lloyd, G. M., Wilson, M.,‬‬



‫ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬وزارت آﻣﻮزش وﭘﺮورش‪.‬‬



‫‪Wilkins, J. L. M., & Behm, S. L. (Eds.). Proceedings of the‬‬



‫‪ .١٥‬راﻫﻨﻤﺎى ﺗﺪرﻳﺲ ﻓﺼﻞ اول ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻰ ‪،١‬‬



‫‪27th Annual Meeting of the North American Chapter of the‬‬



‫‪http://math-dept.talif.sch.ir‬‬



‫‪١١‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫ﻫﻴﻤﻦ َﺑﺲ‬ ‫ﺗﺮﺟﻤﻪ‪ :‬ﻧﺮﮔﺲ ﻣﺮﺗﺎﺿﻰ ﻣﻬﺮﺑﺎﻧﻰ‬ ‫ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ و ﻣﻌﻠﻢ رﻳﺎﺿﻰ راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﺗﻬﺮان‬



‫ﺗﺨﺼﺺ ﻫﺎى ﻋﻠـﻮم رﻳﺎﺿﻰ در ﻣـﺮﺣﻠﻪ ى ﮔﺬارى ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛـﻪ‬ ‫ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻇﺎﻫﺮًا‪ ،‬ﺟﺰﻳﻰ ﺗﺮ و‪ /‬ﻳﺎ ﺑﺎ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺑﻨﺪى ﻫﺎى ﺟﺪﻳـﺪ و‬ ‫ﻣﺘﻔﺎوت از ﻗﺒﻞ و ﮔﺴﺘﺮده ﺗﺮ ﺟﻠﻮه ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻣﺎ ﮔـﻮﻧﻪ ﻫﺎﻳﻰ در ﻣﻌﺮض‬ ‫ﺧﻄﺮ ﻧﻴﺴﺘﻴﻢ‪ .‬اﻣﺎ ﺳﻼﻣﺘﻰ ﻣﺎن ﺑﻪ اﻳﻦ ﺑﺴـﺘـﮕـﻰ دارد ﻛﻪ ﺑﺘـﻮاﻧﻴﻢ از‬ ‫ﺗﻤﺎﻳﻼت ﺗﺎرﻳﺨﻰ ﻣﺎن ﺑﻪ ﺳﻮى اﻧﺰوا‪ ،‬ﻓﺎﺻﻠﻪ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ و ﺑـﺮاى ﺗﻤﺎم‬ ‫ﺟﻮاﻣﻊ ﻫﻤﺘﺎ و ﻣﺘﻘـﺎﺿـﻰ در دﺳـﺘـﺮس ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ .‬اﻣـﺮوزه‪ ،‬اﻳﻦ ﭘﻴـﺎم‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﮔﺴﺘﺮده و ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﻫﺎى ﻣﺘﻔﺎوت ﺷﻨﻴﺪه ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫‪١٢‬‬



‫○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○‬



‫○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○‬



‫در ﺣﺎل ﺣﺎﺿﺮ‪ ،‬ﻓﺮﻫﻨﮓ دروﻧﻰ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﻪ وﺳﻴﻠﻪ ى ﻗﺪرت‬ ‫اﻛﺘﺸﺎﻓـﻰ و ﭘـﺮدازﺷﻰ ﻛﻪ ﺗﻜـﻨـﻮﻟـﻮژى ﺑﻪ آن اﻋﻄﺎ ﻛـﺮده اﺳﺖ‪ ،‬ﺑـﻪ‬ ‫ﺑﺮرﺳﻰ ﻫﺎى ﻋﻤﻴﻘﺶ در ﻣـﻮرد ﺳﺎﺧﺘـﺎرﻫﺎى ﺑﻨﻴﺎدى ﻋﺪد‪ ،‬ﻓﻀـﺎ‪،‬‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ اﺟﺴﺎم‪ ١‬و ﻏﻴﺮه اداﻣﻪ ﻣﻰ دﻫﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﺑﺮرﺳﻰ ﻫﺎ ﺗﺎ ﺣﺪودى ﺑﺎ‬ ‫ﺗﻄﻮر ذﻫﻨﻰ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺤﺾ و ﺗﺎ اﻧـﺪازه ى زﻳﺎدى ﺑﻪ وﺳﻴﻠﻪ ى ﻋﻠـﻮم‬ ‫ﻃﺒﻴﻌﻰ‪ ،‬ﺑﻪ ﺳﻮى رﻳﺎﺿﻴﺎﺗﻰ رﻫﻨﻤﻮن ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﺮاى ﺗﻮﺻﻴ‪،t‬‬ ‫ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ‪ ،‬ﻣﺪل ﺳﺎزى‪ ،‬ﺷﺒﻴﻪ ﺳﺎزى و ﻏﻴﺮه‪ ،‬زﺑﺎن و ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ‬ ‫را ﻣﺠﻬﺰ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻼوه‪ ،‬رﻳﺎﺿﻴﺎت‪ ،‬اﺑﺰارﻫﺎى ﻃـﺮاﺣﻰ ﭘﺮوژه‬ ‫و ﺷﺒﻴﻪ ﺳـﺎزى را ﺑﺮاى ﻋﻠـﻮم ﻣﻬﻨﺪﺳﻰ‪ ،‬ﺗﻜـﻨـﻮﻟﻮژى و ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫـﺎى‬ ‫ﺳﺎزﻣﺎن دﻫﻰ و ﺗﺼﻤﻴﻢ ﮔﻴﺮى در ﺻﻨﺎﻳﻊ ﻓﺮاﻫﻢ ﻣﻰ ﺳﺎزد‪ .‬اﻳﻦ اﺑﺰارﻫﺎ‬ ‫و ﻛﺎرﻛﺮدﻫﺎى ﻣﺘﻨﻮع ﺗﻔﻜﺮ رﻳﺎﺿﻰ در ﺧﻴﻠﻰ از ﺣـﺮﻓﻪ ﻫﺎ و در ﻣﻴﺎن‬ ‫ﻧﻴﺮوى ﻛﺎر ﻓﻨﻰ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻓﺰاﻳﻨﺪه اى ﺑﺎزﻧﻤﻮد ﭘﻴﺪا ﻛﺮده اﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺮﺣﻠﻪ ى ﮔﺬارى ﻛﻪ در ﺑﺎﻻ ﺑﻪ آن اﺷﺎره ﺷﺪ ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺗﻤﺮﻛﺰﻫﺎى‬ ‫ﺟﺰﻳﻰ ﺑﺴﻴـﺎرى درﮔﻴﺮ اﺳﺖ ـ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺗﻤـﺮﻛﺰ از درون‪ ٢‬رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑـﻪ‬ ‫ﺳﻤﺖ ﻛﺎرﺑﺮدﻫﺎ و ﻛﺎر ﺑﻴﻦ رﺷﺘﻪ اى ﺑﺎ ﻋﻠﻮم ﻃﺒﻴﻌﻰ و اﺟﺘﻤﺎﻋﻰ‪ ،‬از‬ ‫ﻣـﻮﻗﻌﻴﺖ ﻫﺎى داﻧـﺸـﮕـﺎﻫـﻰ ﺑـﻪ ﺳـﻮى ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﻫـﺎى ﺻـﻨـﻌـﺘـﻰ و‬ ‫آزﻣﺎﻳـﺸـﮕـﺎﻫـﻰ‪ ،‬از ﻛـﺎر ﺧـﻮد ـ ﺗﻨـﻈـﻴـﻢ ﺷـﺪه ى ﻓـﺮدى ﺑﻪ ﺳـﻤـﺖ‬ ‫ﺗﻼش ﻫﺎى ﻣﺸﺎرﻛﺘﻰ و ﭼﻨﺪرﺷﺘﻪ اى‪ ،‬از ارﺗﺒﺎﻃﺎت ﻓﻨﻰ ﺑﺎ ﻛﺴﺎﻧـﻰ‬ ‫ﻛﻪ ﻫﻤﮕﻰ در ﻳﻚ زﻣﻴﻨﻪ ى ﻣﺸﺘﺮك ﻣﺘﺨﺼﺺ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺑﻪ ﺳﻮى ارﺗﺒﺎط‬



‫ﺑﻴﻨﺎﺑﻴﻨﻰ ﻣﻴﺎن ﻣﺮزﻫﺎى ﻓﺮﻫﻨﮕﻰ و رﺷﺘﻪ اى و ﻏﻴﺮه‪.‬‬ ‫ﺑﻰ ﺧﻄﺮ داﻧﺴﺘﻪ ﺷﺪ و ﺣﺘﻰ ﺧﻴﻠﻰ ﻫﺎ آن را ﻣﻄﻠﻮب ﻳﺎﻓﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻨﻈﻮر ﻃﺮاﺣﻰ ﺷﺪ ﺗﺎ ﺑﺮاى ﺟﻤﻌﻴﺖ ﻫﺎى‬ ‫ﻇﻬﻮر ﻳﻚ اﻗﺘﺼﺎد ﺟﻬﺎﻧﻰ ﺑﻪ ﺷـﺪت رﻗﺎﺑﺘﻰ و ﺗﻜﻨـﻮﻟﻮژﻳﻜﻰ‪،‬‬ ‫ﻣﺨﺘﻠ‪ t‬داﻧﺶ آﻣﻮزى‪ ،‬داﻧﺶ‪ ،‬درك و ﻓﻬﻢ و ﻣﻬﺎرت ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﺗﻮﻗﻌﺎت از آﻣﻮزش رﻳﺎﺿـﻰ را ﺑﻪ ﻃﻮر اﺳﺎﺳﻰ ﺑﺎﻻ ﺑﺮد‪ .‬ﻣﺎ ﺣـﺎﻻ‪،‬‬ ‫را ﻓﺮاﻫﻢ آورد‪ .‬در ﺳﻄﺢ ﺑﻌﺪ از دوره ى ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ‪ ٣‬ﭼﻨﻴﻦ آﻣﻮزﺷﻰ ﺑﻪ ﺳﻄـﻮﺣﻰ از ﺻﻼﺣﻴﺖ ﻫﺎ و ﺳـﻮاد ﻋﻠﻤﻰ و ﻓـﻨـﻰ را از ﻧﻴﺮوى ﻛـﺎر‬ ‫دو ﺟـﺎﻣـﻌــﻪ ى ﺑــﺰرگ واﮔـﺬار ﺷـﺪ‪ .‬ﻳـﻜــﻰ از آن ﻫــﺎ در ﻧــﻈــﺎم ﻃﻠﺐ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺑﺎ آن ﭼﻪ ﻛﻪ ﻗﺒﻼً ﺑﺮاى ﺗﻨﻬﺎ ﻳﻚ ﺟﻤﻌﻴﺖ اﻧﺘﺨﺎب‬ ‫داﻧﺸﻜﺪه ﻫﺎى دوﺳﺎﻟﻪ و ﻣﺤﻠﻰ‪ ٤‬ﻣﺴﺘﻘﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﺟﺎﻣﻌﻪ ى دﻳﮕﺮ ﻛﻪ ﺷﺪه و ﺧﺎص داﻧﺶ ﺟﻮﻳﻰ‪ ،‬ﻣﻨﺎﺳـﺐ داﻧـﺴـﺘـﻪ ﻣـﻰ ﺷـﺪ‪ ،‬ﺑـﺮاﺑﺮى‬ ‫ﻋﻬﺪه دار اﻳﻦ آﻣـﻮزش اﺳﺖ‪ ،‬ﺷﺎﻣﻞ اﺳﺎﺗﻴﺪ رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺸـﮕـﺎﻫـﻰ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﺗﻐـﻴـﻴـﺮات ﻣﺸﺎﺑـﻪ‪ ،‬ﻣـﻮﺟﺐ ﻣﻰ ﺷﺪﻧﺪ ﺗﺎ ﺑـﻪ ﻣـﻨـﻈـﻮر‬ ‫اﺳﺖ ﻛﻪ اﻛﺜﺮ آن ﻫﺎ ﻋﻤﺪﺗـﺎً ﺑﺮاى اﻧﺠﺎم ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت رﻳﺎﺿﻰ ﺗﺮﺑـﻴـﺖ ﻣﺸﺎرﻛﺖ ﻣﺴﺌـﻮل و آ ﮔﺎﻫﺎﻧﻪ در ﺟﺎﻣﻌﻪ ى ﻣﺪرن دﻣﻮﻛـﺮاﺳﻰ ﻣﺎن از‬ ‫ﺷﺪه اﻧﺪ‪ .‬اﻳـﻦ اﻓـﺮاد‪ ،‬ﺗﺤﻘﻴﻘـﺎت رﻳـﺎﺿـﻰ را ﺑﺮاى ﻛﺴﺎﻧـﻰ اﻧـﺠـﺎم ﺳﻮاد ﻓﻨﻰ‪ ،‬اﻧﺘﻈـﺎرات ﺑﻴﺶ ﺗﺮى داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ .‬اﻳﻦ ﻓﺸـﺎرﻫﺎ‪ ،‬ﻳـﻚ‬ ‫ﻣﻰ دﻫﻨﺪ ﻛﻪ ﻣﺒﺎﻧﻰ اﻗﺘـﺼـﺎدى ﺷـﺎن‪ ،‬ﺑـﻪ ﻃـﻮر ﺑـﺮﺟﺴﺘـﻪ‪ ،‬رﺳﺎﻟـﺖ وﺟﻪ ﻋﻤﻠـﻰ ﺑـﻪ ﺑـﺤـﺚ ﺳـﻨـﺘـﻰ در ﻣـﻮرد ﻏﻨـﻰ ﺳـﺎزى ﻓـﺮﻫﻨـﮕـﻰ و‬ ‫ﻗﺪرﺗﻤﻨﺪﺳـﺎزى ذﻫﻨﻰ ﻛﻪ اﻳﺪه ﻫﺎ و ﺗﻔﻜـﺮ رﻳـﺎﺿـﻰ‬ ‫آﻣــﻮزش ]رﻳـﺎﺿــﻰ[ را ﻣـﺸـﺨـﺺ ﻣــﻰ ﻛــﻨــﺪ‪.‬‬ ‫ﻫﻢ ﭼﻨـﻴـﻦ‪ ،‬ﮔـﺮوﻫـﻰ ﻛـﻮﭼﻚ اﻣـﺎ ﺳـﺮﺷﻨـﺎس از‬ ‫ﻗﺎدر ﺑﻪ اﻳﺠﺎد آن ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬اﺿﺎﻓﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺷﻜﺴﺖ‬ ‫داﻧـﺶ ﭘـﮋوﻫﺎﻧـﻰ وﺟـﻮد دارد ﻛـﻪ ﺑـﺎ ﺳـﻨـﺖ ﭘـﻮﻟﻴـﺎ‬ ‫ﺗﻌﺪاد زﻳﺎدى از داﻧﺶ ﺟﻮﻳﺎن در رﻳﺎﺿﻴﺎت و‪ /‬ﻳـﺎ‬ ‫ﻛﻨﺎر ﮔﺬاﺷﺘﻦ ﻣﻄـﺎﻟـﻌـﻪ ى رﻳـﺎﺿـﻰ ـ ﻛـﻪ دروازه ى‬ ‫درﺑﺎره ى رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﻌﺪ از دوره ى ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ ﺗﺤﻘﻴﻖ‬ ‫زﻣﺎن آن رﺳﻴﺪه اﺳﺖ‬ ‫ﻣـﻰ ﻛـﻨـﻨـﺪ و ﺑـﻪ ﺗـﻮﺳـﻌـﻪ ى ﺑـﺮﻧـﺎﻣـﻪ ى درﺳـﻰ آن‬ ‫ﭼﻨﻴﻦ ﺻﻼﺣﻴﺖ و ﺳﻮادى اﺳﺖ ـ ﺣﺎﻻ ﻧﻪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان‬ ‫رﻳـﺎﺿـﻰ‬ ‫اﺳـﺎﺗـﻴـﺪ‬ ‫ﻛـﻪ‬ ‫ﻣــﻰ ﭘــﺮدازﻧـﺪ‪ .‬ﺑــﺮاى ﻣـﺜــﺎل‪ ،‬ﻣــﻰ ﺗــﻮان ﺑــﻪ اد‬ ‫ﺷﻜﺴﺖ داﻧﺶ ﺟﻮﻳﺎن ﺑﻠﻜﻪ ﺑﻪ ﻣﺜﺎﺑﻪ ﺷﻜﺴﺖ ﻧﻈﺎم‬ ‫دوﺑﻴﻨـﺴـﻜـﻰ‪ ،٥‬ﺟـﻮآن ﻓﺮﻳﻨـﻰ ـ ﻣـﺎﻧـﺪى‪ ،٦‬اﺳـﺘـﻮ ﻧﻘﺶ ﺧﻮد را ﺑﻪﻋﻨﻮان آﻣﻮزﺷﻰ دﻳﺪه ﻣﻰ ﺷـﻮد‪ .‬ﺑﻪ ﻋـﻼوه‪ ،‬داﻧﺶ ﺟﻮﻳـﺎن‬ ‫ﻣﺎﻧﻚ‪ ٧‬و آﻟﻦ ﺷﻮﻧﻔﻴﻠﺪ‪ ٨‬اﺷﺎره ﻛﺮد‪.‬‬ ‫آﻣﻮزﺷﮕﺮان ]رﻳﺎﺿﻰ[ زﻳﺎن دﻳﺪه‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﺳﺒـﻰ از ﺟـﻤـﻌـﻴـﺖ ﻫـﺎى‬ ‫اﻗﻠﻴﺖ و زﻧﺎن ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻴﺶ ﺗﺮﻳﻦ ﺗﺄﺛﻴﺮ را ﺑﺮ ﻧﻴﺮوى‬ ‫اﻧﺘﻘﺎل ﻫـﺎى ﺗـﻮﺿﻴﺢ داده ﺷـﺪه در ﺑـﺎﻻ‪ ،‬در‬ ‫ﺑﺎزﺑﻴﻨﻰ ﻛﻨﻨﺪ‬ ‫ﻛﺎر دارﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﺎل ﺣﺎﺿﺮ‪ ،‬در ﺗﻐﻴﻴﺮات ﺳﺎزﮔﺎر ﻋﻤﻴﻖ ﺑﻪ وﺟﻮد‬ ‫آﻣﺪه در ﻧﻘﺶ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻨﻌﻜﺲ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫زﻣﺎن آن رﺳﻴﺪه اﺳﺖ ﻛﻪ اﺳﺎﺗﻴﺪ رﻳﺎﺿﻰ ﻧﻘﺶ‬ ‫ﺧﻮد را ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان آﻣﻮزﺷﮕـﺮان ]رﻳﺎﺿﻰ[ ﺑﺎزﺑـﻴـﻨـﻰ‬ ‫در ﺳﺎل ﻫﺎى ﺑﻌﺪ از ﺟﻨﮓ ﺟﻬﺎﻧﻰ دوم‪ ،‬ﻳﻚ ﻣﺪل‬ ‫ﻛﻨﻨـﺪ‪ .‬ﻣـﺎ ﺣـﺮﻓـﻪ اى را ﺗﺸﻜﻴـﻞ ﻣـﻰ دﻫـﻴـﻢ ﻛـﻪ ﺑـﻪ‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ ﻗﺪرﺗﻤﻨﺪﻃﺮاﺣﻰ ﻛﺮده ﺑﻮدﻳﻢ ﺗﺎ ﻳﻚ ﺟﺎﻣﻌﻪ‬ ‫ﺗﺨﺼﺼﻰ ﺑـﻮدﻧﺶ و ﻧﻴﺰ ﺑﺮ وﻳـﮋﮔﻰ ﻋﻤﻠﻜـﺮدش ﺑﺎ‬ ‫از ﺻﻨﻮف اﺟﺘﻤﺎﻋﻰ‪ ٩‬ﻧﺨﺒﻪ از داﻧﺶ ﺟﻮﻳﺎن ﺑﺴﻴﺎر‬ ‫آﻣﻮزش دﻳﺪه و ﺑﺎ اﻧﮕﻴـﺰه را ﺑﺮاى ﺣـﺮﻓﻪ ﻫﺎى ﻓﻨﻰ و ﻋﻠﻤﻰ ﭘﻴـﺸـﺮﻓﺘﻪ ﻛﻴﻔﻴﺖ ﺑﺎﻻ و ﭘﺎﺳﺦ ﮔﻮﻳﻰ ﻗﺎﻃﻌﺶ‪ ،‬اﻓﺘﺨﺎر ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﻫﻨﻮز اﺳﺎﺗﻴﺪ‬ ‫ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﻌﻀﻰ از رﻳـﺎﺿـﻰ دان ﻫـﺎى ﺗـﻮاﻧﺎ و ﻣﺘﻌﻬـﺪ‪ ،‬اﻧـﺮژى رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺸﮕﺎﻫﻰ ـ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺧﺎص‪ ،‬دﺳﺖ ﻛﻢ ﻧﻴﻤـﻰ از ﻋـﻤـﺮ‬ ‫ﺣﺮﻓﻪ اى ﺧﻮد را ﺑﺎ اﻳﻦ وﻇﻴﻔﻪ ى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﻫﻢ ﺳﻮ ﻛﺮدﻧﺪ‪ .‬اﻣﺎ اﻛﺜﺮ ﺣﺮﻓﻪ اى ﺧـﻮد را ﺻـﺮف ﺗﺪرﻳﺲ ﻛـﺮده اﻧﺪ ـ ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان آﻣـﻮزﺷﮕـﺮان‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ دان ﻫﺎ‪ ،‬ﭘﺪاﮔﻮژى را رﺳﻤﻰ‪ ،‬ﺗﻌﻠﻴﻤﻰ‪ ،١٠‬اﻏﻠﺐ ﻣﺎﻫﺮاﻧﻪ و ]رﻳﺎﺿﻰ[‪ ،‬ﺑﻪ ﺟﺰ ﻣﺪل ﻫﺎى اﻳﻔﺎى ﻧﻘﺶ ﻣﺮﺑﻰ ﻫـﺎى ﺷـﺎن‪ ،‬ﻫـﻴـﭻ‬ ‫ﻃﺎﻗﺖ ﻓـﺮﺳﺎ ﻣﻰ دﻳﺪﻧـﺪ‪ .‬اﻳـﻦ ﭘـﺪاﮔـﻮژى ﺑﺎﻋﺚ ﺑـﻴـﺰارى ﺧﻴﻠـﻰ از آﻣﺎده ﺳﺎزى ﻳﺎ ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﺣﺮﻓﻪ اى ﻧﺪﻳﺪه اﻧﺪ‪ .‬ﻳﺎد ﮔﺮﻓﺘﻦ آواز ﺗﻚ ﻧﻔﺮه‬ ‫داﻧﺶ ﺟﻮﻳﺎن ﺷﺪ و ﺑﺴﻴﺎرى ﺑﻪ ﺗﺪرﻳﺞ‪ ،‬ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ ﭘﻴﺸﺮﻓﺘﻪ را ﺑﺎ ﺷﺮﻛﺖ در اﭘﺮا‪ ،‬ﻳﺎدﮔﻴﺮى آﺷﭙﺰى را از ﻃﺮﻳﻖ ﺧﻮردن‪ ،‬ﻳﺎدﮔﻴﺮى‬ ‫را ﻛﻨﺎر ﮔـﺬاﺷـﺘـﻨـﺪ‪ .‬در اﻳـﻦ زﻣـﺎن‪ ،‬ﻓـﺮض ﺷﺪ ﻛـﻪ اﻳـﻦ دﺳـﺘـﻪ از ﻧﻮﺷﺘﻦ را از راه ﺧﻮاﻧﺪن‪ ،‬ﺗﺼﻮر ﻛﻨﻴﺪ‪ .‬ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻫﻨﺮ ﺗﺪرﻳﺲ ـ ﺗﻔﻜﺮ‪،‬‬ ‫داﻧﺶ ﺟﻮﻳﺎن ﻧﺘﻮاﻧﺴﺘﻨﺪ ﺑﻪ اﺳﺘﺎﻧـﺪاردﻫﺎى ﺳﻄﺢ ﺑﺎﻻى ﺣـﺮﻓﻪ ى ﻣﺎ ﻣﺸﺎﻫﺪات و ﻗﻀـﺎوت ﻫﺎى ﭘﻮﻳﺎى ﻳﻚ ﻣﻌﻠـﻢ آﻣـﻮزش دﻳﺪه ـ ﺑﺮاى‬ ‫دﺳﺖ ﻳﺎﺑﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ داﻧﺶ ﺟﻮﻳﺎن ﺑـﻪ ﻋـﻨـﻮان اﻓﺮادى ﻓﺎﻗﺪ »ﺟـﻮﻫﺮه ى ﻣﺸﺎﻫﺪه ﮔﺮ ﺑـﻴـﺮوﻧﻰ‪ ،‬ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻞ رؤﻳﺖ اﺳـﺖ‪ .‬در ﻫـﺮ ﺻـﻮرت‪،‬‬ ‫واﻗﻌﻰ«‪ ١١‬ﺗﻠﻘﻰ ﻣﻰ ﺷﺪﻧﺪ‪ .‬از آن ﺟﺎ ﻛﻪ ﻛﺸﻮر ﺑﻪ ﺗﻌـﺪاد زﻳـﺎدى از ﺑﻴﺶ ﺗﺮ اﺳﺎﺗﻴﺪ رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺸﮕﺎﻫﻰ ﺑﻪ ﻧﺪرت ﻣﻮﻗﻌﻴﺘﻰ در اﺧﺘﻴﺎر دارﻧﺪ‬ ‫اﻗﻌﺎ ﺧﻮب ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ دوره ى ﻟﻴﺴﺎﻧﺲ را ﻣﺸﺎﻫﺪه‬ ‫ﻣﺘﺨﺼﺼﺎن ﺑـﻪ ﻃـﻮر رﻳـﺎﺿـﻰ آﻣـﻮزش دﻳﺪه‪ ،‬ﻧﻴـﺎز ﻧـﺪاﺷـﺖ و ﺑـﻪ ﻛﻪ ﻳﻚ ﺗﺪرﻳﺲ و ً‬ ‫اﻧﺪازه ى ﻛﺎﻓﻰ اﺳﺘﻌﺪاد و اﻧـﮕـﻴـﺰه ى رﻳﺎﺿـﻰ ﺑـﺮاى ﺣﻔﻆ ﻫﺮ ﻧـﻮع ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﻛﻪ آﺷﭙﺰى را ﻧﻤﻰ ﺗﻮان از ﻃﺮﻳﻖ ﺧﻮردن ﻳﺎد ﮔﺮﻓﺖ‪،‬‬ ‫ﭘﺪاﮔـﻮژى ﻳﺎﻓﺖ ﻣﻰ ﺷﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ دﻟﻴـﻞ‪ ،‬اﻳـﻦ ﻧـﻈـﺎم ﭘـﺎﻻﻳـﺶ‪،‬‬ ‫‪١٣‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫ﺑﺎ ﺧـﻮاﻧﺪن ﻛﺘﺎب ﻫﺎى آﺷﭙـﺰى ﻳﺎ ﮔـﻮش ﻛﺮدن ﺑﻪ ﺳﺨﻨـﺮاﻧﻰ ﻫﺎ ﻧﻴـﺰ ﺧﻮدآﻣﻮز ﻓـﺮدى ﺑﺎ آزادى ﻣﻄﻠـﻖ واﮔﺬار ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬در اﻳـﻦ ﺻـﻮرت‪،‬‬ ‫ﻧﻤﻰ ﺗﻮان آن را ﻓﺮاﮔﺮﻓﺖ‪ .‬آﺷﭙﺰى از ﻃﺮﻳﻖ آﺷﭙـﺰى ﻛﺮدن‪ ،‬ﻣﻌﻠﻤﻰ ﭼﮕﻮﻧﻪ اﻳﻦ ﻧﻈﺎم ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺮ ﻛﻴﻔﻴﺖ ﺟﺎﻣﻌﻪ ى ﺗﺤﻘﻴﻘﺎﺗﻰ ﻣﺎ ﺗﺄﺛﻴﺮﮔﺬار‬ ‫ﻛﺮدن ﻳﻚ آﺷﭙﺰ آﻣـﻮزش دﻳﺪه و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻳﻚ ﻣـﺪل ﻛـﺎرآﻣﻮزى ﺑﺎﺷﺪ؟‬ ‫ﮔﺮاﻳﺶ ﺑﺴﻴـﺎرى از رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﺑـﻪ ﺳـﻮى ﻣﺴﺎﻳﻞ آﻣـﻮزﺷﻰ‪،‬‬ ‫ﻓﺮاﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﻰ ﺷـﻮد‪ .‬درﺣﻘﻴﻘﺖ‪ ،‬آﻣـﻮزش ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻧﻴﺰ ﺑﺎ ﺗـﺮﻛﻴﺒـﻰ از‬ ‫آﻣﻮزش ﻛﺎرآﻣﻮزى و ﺗﻌﻠﻴﻤﻰ ﻃﺮاﺣﻰ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺷﺎﻳﺪ ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ‪ ،‬ﻓﺮﻫﻨﮓ ﺣﺮﻓﻪ اى آﻧﺎن را ﺑﺎزﺗﺎب ﻣﻰ دﻫﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻓﺮﻫﻨﮓ‪،‬‬ ‫ﺣﺮﻓﻪ اى اﺳﺎﺗﻴﺪ رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺸﮕﺎﻫﻰ ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻧﻴﺰ ﺑﺎﻳـﺪ ﺑـﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺿﻤﻨﻰ‪ ،‬اﻫﻤﻴﺖ و ذات ﭘﺪاﮔـﻮژى را ﻛﻮﭼﻚ ﻣﻰ ﺷﻤﺎرد‪.‬‬ ‫ﻫﻤﻴـﻦ روش‪ ،‬ﺑﺮ ﻳﺎدﮔﻴـﺮى در زﻣﻴﻨﻪ ى ﻋﻤﻠﻰ‪ ،‬ﻣـﺪل ﺳـﺎزى ﺷـﻮد اﺳﺎﺗﻴﺪ رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﺧﺎص ﺑـﻪ ﺑـﺤـﺚ ﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﻓـﻘـﻂ‬ ‫ﺑـﻪ ﻃـﻮرى ﻛـﻪ ﻓـﻘـﻂ ﺗـﻌـﺪاد ﻣـﻌـﺪودى از ﺳـﺒـﻚ ﻫـﺎى ﻳـﺎدﮔـﻴـﺮى ﺑﺮﺣﺴﺐ ﻣﺤﺘﻮاى ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت درﺳﻰ و ﻣﻬﺎرت ﻫﺎى ﻓﻨﻰ ﻣﻰ ﭘﺮدازﻧﺪ‬ ‫ﺻﻮرت ﺑﻨﺪى ﺷﺪه ﻛﻪ ﺑـﺮاى اﻛﺜﺮ ﻣﺎ آﺷﻨﺎ ﻫﺴﺘـﻨـﺪ را درﺑﺮﮔﻴﺮد‪ .‬در و »راه ﺣﻞ« ]اﻳﻦ ﻣﺴﺎﻳﻞ[ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺷﻜﻞ ﺟﺪﻳﺪى از ﻣﻮاد ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى‬ ‫ﺣﺎل ﺣﺎﺿﺮ‪ ،‬ﺑﺮاى ﭼﻨﻴﻦ ﻣﻨﻈﻮرى‪ ،‬ﻃﺮح ﻫﺎى ﺧﻮب ﻳﺎ ﻳﻚ روش درﺳـﻰ اراﻳﻪ ﻣﻰ دﻫـﻨـﺪ‪ .‬ﺑـﺮﻧـﺎﻣـﻪ ى درﺳﻰ درﺣﻘﻴـﻘـﺖ‪ ،‬ﺟـﻨـﺒـﻪ ى‬ ‫ﺗﻌﻴـﻴـﻦ ﻛـﻨـﻨـﺪه ى ﻣـﺴـﺌـﻠـﻪ اﺳـﺖ ﻛـﻪ ﺑـﺮاى‬ ‫ﻧﻈﺎم ﻣﻨﺪ‪ ،‬ﻣـﺘـﺪاول ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬ﻣﺘﺨـﺼـﺼـﺎن‬ ‫ﻣﺘﺨﺼﺼﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃـﻮر رﻳـﺎﺿـﻰ آﻣـﻮزش‬ ‫آﻣـﻮزﺷﻰ ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﻨﺪ در اﻳﺠـﺎد و ﺗـﺠـﺮﺑـﻪ ى‬ ‫آﻣـﻮزش رﻳـﺎﺿـﻰ ﺑـﺎ ﺗـﻤـﺎم‬ ‫دﻳﺪه اﻧـﺪ از اﻫـﻤـﻴـﺖ ﺑـﻪ ﺳـﺰاﻳﻰ ﺑـﺮﺧـﻮردار‬ ‫ﭼﻨﻴﻦ ﻃﺮح ﻫﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﻣﺎ ﻛﻤﻚ ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻋـــﺪم‬ ‫و‬ ‫اﻃــﻤــﻴـــﻨـــﺎن‬ ‫ﻋــﺪم‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬اﻣﺎ اﻏﻠﺐ‪ ،‬اﻳﻦ ]ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ى‬ ‫ﻳﻚ ﺗﺪرﻳﺲ ﻛـﺎرا ﻧﻴﺎزﻣﻨﺪ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛـﻪ‬ ‫ﻣﻌﻠﻢ‪ ،‬داﻧﺶ آﻣـﻮزاﻧﺶ را ﺑﺸﻨﺎﺳﺪ‪ ،‬ﻧﻪ ﺗﻨﻬـﺎ ﻗﻄﻌﻴﺖﻫﺎﻳﻰ ﻛـﻪ دارد‪ ،‬ﻫـﺪف درﺳﻰ[ ﻣـﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ ﺑـﺤـﺚ ﻫـﺎى ﻣـﺮﺑـﻮط ﺑـﻪ‬ ‫ﻗﺎدر ﺑﻪ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﻣﻄﻠﺒﻰ ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻠـﻜـﻪ آن ﻓﻘﻂ ﭘﺮداﺧﺘﻦ ﺑﻪ ﻋﻘﻼﻧﻴﺖ ﺷـﻨـﺎﺧـﺖ و ﻳـﺎدﮔـﻴـﺮى‪ ،‬اﺳـﺘـﺮاﺗــﮋى ﻫـﺎى‬ ‫ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﺑﻪ دﻗـﺖ ﮔـﻮش دﻫﺪ و آﻧﺎن را درك ﻧﻴﺴﺖ ﺑﻠﻜـﻪ ﻛـﻤـﻚ ﺑـﻪ دﻳـﮕـﺮ ﭼـﻨــﺪﮔــﺎﻧــﻪ ﺑــﺮاى درﮔـﻴـﺮ ﺷــﺪن ﻓــﻌــﺎل‬ ‫داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﺑﺎ رﻳﺎﺿﻴﺎت و ﻧـﻴـﺰ ارزﻳـﺎﺑـﻰ‬ ‫ﻛﻨﺪ‪ .‬ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ‪ ،‬ﺑﺪاﻧﺪ ﻛﻪ داﻧﺴﺘﻦ ﻣﻄﻠـﺒـﻰ‬ ‫وﺟﻮه اﻧﺴﺎﻧﻰ اﺳـﺖ‪ .‬آﻣـﻮزش‬ ‫ﻳـﺎدﮔـﻴـﺮى و درك و ﻓـﻬـﻢ آن ﻫـﺎ را ﻧـﺎدﻳـﺪه‬ ‫ﺑﺮاى ﺧﻮد ﻳﺎ ﺑﺮاى ﺑﺤﺚ و ﮔﻔﺖ و ﮔﻮ ﺑﺎ ﻳﻚ‬ ‫اﺟـﺘـﻤـﺎﻋـﻰ‬ ‫ﻋـﻠـﻢ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﺑﮕﻴـﺮد‪ .‬ﺟﺎﻟﺐ آن ﻛﻪ آﻣـﺎده ﺳـﺎزى رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﻫﻤﻜﺎر ﻣﺘﺨﺼﺺ‪ ،‬ﺑﺎ داﻧﺴﺘـﻦ آن ﻣـﻄـﻠـﺐ‬ ‫ش‬ ‫رو‬ ‫اﻫﺪ‪،‬‬ ‫ﺷﻮ‬ ‫اى‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻣـﺪرﺳﻪ‪ ،‬اﻏﻠﺐ ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ اﺳـﺎﺗـﻴـﺪ‬ ‫ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﺗﻮﺿﻴﺢ ﺑﻪ ﻳﻚ داﻧﺶ آﻣﻮز‪ ،‬ﻳﻜﺴﺎن‬ ‫ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻋـﻼوه‪ ،‬ﺗﺠﺮﺑﻪ ى ﻳﻚ داﻧﺸﻤﻨـﺪ اﺳﺘـﺪﻻل و ﻧـﻈـﺮﻳـﻪﭘـﺮدازى‪ ،‬رﻳﺎﺿـﻰ واﮔﺬار ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺑـﻪ روش ﻫﺎﻳـﻰ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان ﻳﻚ ﻳﺎدﮔﻴـﺮﻧﺪه‪ ،‬ﺑﻬﺘﺮﻳـﻦ ﺑﺤﺚﻫـﺎى ﺣـﺮﻓﻪاى و ﻏﻴـﺮه‪ ،‬ﻏﻴﺮﺣﺴﺎس ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎى ﭘﺪاﮔﻮژﻳﻜﻰِ‬ ‫ﻣﺪل ﺑﺮاى ﻳﺎدﮔﻴﺮى داﻧﺶ ﺟﻮﻳﺎﻧﺶ ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬اﺳﺘﺎﻧﺪاردﻫﺎى ﺧﺎص ﺧﻮدش ﺗﺪرﻳﺲ رﻳﺎﺿـﻰ ﺑـﻪ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﺟـﻮان‪،‬‬ ‫آﻣﻮزش دﻳﺪه اﻧﺪ‪ .‬ﭘﺪاﮔـﻮژى ﭼﻴﺰى ﻧﻴﺴـﺖ‬ ‫ﻣـﻮاردى ﻛﻪ ذﻛـﺮ ﺷـﺪ‪ ،‬اﻧـﻮاع ﻣﻬـﺎرت ﻫـﺎ و‬ ‫را دارد‬ ‫ﺑﻌﺪا ﺑﻪ ﻣﺤﺘﻮا اﺿﺎﻓﻪ ﺷﻮد‪ .‬ﭘﺪاﮔﻮژى و‬ ‫ﻛﻪ ً‬ ‫آ ﮔﺎﻫﻰ ﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛـﻪ ﺗـﻮﺳﻌﻪ ى ﺣﺮﻓﻪ اى‬ ‫ﻣــﺤــﺘـــﻮا در ﺗــﺪرﻳــﺲ ﻛـــﺎرا‪ ،‬ﺑــﻪ ﻃــﻮر‬ ‫ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺗﺮوﻳﺞ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﺣﺘﻢ‪ ،‬ﻫـﻤـﻴـﺸـﻪ در رﺗﺒﻪ ﻫـﺎى ﺣـﺮﻓﻪ اى ﻣﺎن‪ ،‬ﺑﻌـﻀـﻰ ﺗﻔﻜﻴﻚ ﻧﺎﭘﺬﻳﺮى درﻫﻢ ﺗﻨﻴﺪه ﺷﺪه اﻧﺪ‪ .‬ﭘﺪاﮔﻮژى ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺧﻮد زﺑﺎن‪،‬‬ ‫ﻣﻌﻠﻤﺎن ﺧﻴﻠﻰ ﻛـﺎرا و ﺣﺘﻰ اﻟﻬﺎم ﺑﺨـﺶ وﺟﻮد داﺷﺘﻪ اﻧﺪ‪ .‬آن ﻫﺎ از ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ اﻳﺪه ﻫﺎ را آزاد ﻳﺎ ﻣﺤﺒـﻮس ﻛﻨﺪ‪ ،‬ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺗﻔﻜﺮ ﺳﺎزﻧـﺪه را‬ ‫ﻃﺮﻳﻖ ﺗﺮﻛﻴﺒﻰ از اﺳﺘﻌﺪاد‪ ،‬ﺗﻌﻬﺪ ﺷﺨﺼﻰ‪ ،‬ﭘﺮﻛﺎرى‪ ،‬ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻛﺮدن اﻟﻘﺎ ﻳﺎ ﺧﺎﻣﻮش ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫درﺣﻘﻴﻘﺖ‪ ،‬ﺗﻐﻴﻴﺮات در اﻳﻦ ﺣﻮزه‪ ،‬آﻏﺎز ﺷﺪه اﺳﺖ و ﺑﻴﺶ ﺗﺮ‬ ‫و ﺑـﺪون ﻣﺮاﺟﻌـﻪ ﺑـﻪ آﻣـﻮزﺷﮕـﺮان ﺣـﺮﻓﻪ اى‪ ،‬ﻛـﺎرا و اﻟﻬـﺎم ﺑـﺨـﺶ‬ ‫ﺷﺪه اﻧﺪ‪ .‬اﻣﺎ آﻳﺎ اﻳـﻦ اﻓـﺮاد ﻣﻨـﺰوى‪ ،‬ﻣﺪﻟـﻰ ﺑـﺮاى ﻣﺴﺌـﻮﻟﻴﺖ ﻫـﺎى آن ﻫﺎ از ﺟﻨﺒﺶ اﺻﻼﺣﺎت ﺣﺴﺎﺑﺎن اﻟـﻬـﺎم ﮔـﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ‪) .‬ﺑـﺮاى ﻳﻚ‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ ﺣﺮﻓﻪ ى ﻣﺎ ﺑﻨﺎ ﻣﻰ ﻧﻬﻨﺪ؟ آﻳﺎ ﻣﺎ ـ و ﻣﺮدﻣﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﺧﺪﻣﺖ ﮔﺰارش ﺟﺎﻣﻊ در اﻳـﻦ ﻣـﻮرد ﺑﻪ »ارزﻳﺎﺑﻰ ﺗﻼش ﻫـﺎى اﺻـﻼﺣـﺎت‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ ـ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﺷـﺮاﻳﻄﻰ ﻛﻪ در آن‪ ،‬ﺗﻌﺪاد اﻧﺪﻛﻰ از ﺑﻴﻦ ﺧـﻮد ﻣﺎ ﺣﺴـﺎﺑـﺎن« ﻧـﻮﺷﺘﻪ ى آﻟـﻦ ﺗـﺎﻛـﺮ‪ ١٩٩٥ ،MAA ،‬ﻧﮕﺎه ﻛـﻨـﻴـﺪ‪(.‬‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪه اﻧﺪ ﺗﺎ اﺑﺘﻜﺎرﻫﺎى ﻓﺮدى را ﺑﺮاى ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﻣﻬﺎرت ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﺷﻜﺎك و ﺑﻴـﺮون از اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‪ ،‬ﭘﺪﻳـﺪه را ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان‬ ‫ش ﺗﻮﻟﻴﺪﻛﻨﻨﺪه ى ﻣﻮاد ﺟﺪﻳﺪ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ دﻳﺪه اﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﺮاى ﺗﺪرﻳﺲ‬ ‫ﺗﺪرﻳﺲ اراﻳﻪ دﻫﻨﺪ‪ ،‬ﻗﺎﻧﻊ ﺑﺎﺷﻴﻢ؟ ﺑﺮﻋﻜﺲ‪ ،‬ﺗﺼﻮر ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ آﻣﻮز ِ‬ ‫ﻧﻈﺎم ﻣﻨﺪ در رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﺮاى ]آﻣﻮزش[ ﻣﺤﻘﻘﺎن آﻳﻨﺪه را ﺑﻪ ﻳﻚ ﻧﻈﺎم ﺣﺴﺎﺑﺎن‪ ،‬اﺳﺘﻔﺎده ﻫﺎى ﻧﻈﺎم وارﺗﺮى از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى را ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬



‫‪١٤‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎنﺷﻤﺎره‪ ٨٨‬ى‪١٤ ٢١٣‬‬



‫ﻣﺎ رﻳﺎﺿﻰ دان ﻧﺒﺎﺷﺪ را رد ﻧﻤﻰ ﻛﻨﻢ‪ (.‬از اﻳﻦ ﮔﺬﺷﺘﻪ‪ ،‬ﻓﻠﺴﻔﻪ ى‬ ‫اﻳﻦ ﻣﻮاد ﺟﺪﻳﺪ‪ ،‬ﻣﻮﺿﻮع ﺟﺪل ﻫﺎى ﭘﺮﺗﺤﺮك و ﺳﺎﻟﻢ ﺷﺪه ﺑﻮده اﻧﺪ‪ ،‬ﻟﺰو ً‬ ‫اﮔـﺮﭼﻪ ﺑﻌﻀﻰ از ﻣـﺨـﺎﻟـﻔـﺎن‪ ،‬راﺟﻊ ﺑﻪ دو ﻗﻄﺒـﻰ ﺷـﺪن ﺑـﺤـﺚ و ﭘﺪاﮔﻮژﻳﻜﻰ ﻛـﻪ ﻫـﺪاﻳـﺖ ﻛـﻨـﻨـﺪه ى اﺻـﻼﺣـﺎت ﺣـﺴـﺎﺑـﺎن ﺑـﻮد‪،‬‬ ‫ﺟﻠﻮﮔﻴﺮى از ﮔﻔﺖ و ﮔﻮى ﻣﻨﻄﻘﻰ‪ ،‬ﺳﺮﺳﺨﺘﺎﻧﻪ و ﻛﻮرﻛﻮراﻧﻪ ﺑﺴﻴﺎر ﻣﻨﻌـﻜـﺲ ﻛـﻨـﻨـﺪه ى ﻓـﻠـﺴـﻔـﻪ اى اﺳـﺖ ﻛـﻪ در ﺗـﻼش اﺻـﻼﺣـﻰِ‬ ‫اﻗﻌﺎ در ﺗﺪرﻳﺲ ﭘﻴﺶ دﺑﺴﺘﺎﻧﻰ ﺗﺎ ﭘﺎﻳـﻪ ى دوازدﻫﻢ )‪ (K-12‬آﻣﺪه و از ﺗﻔﻜﺮ اﺟﺘﻤﺎع‬ ‫ﺧﺮده ﮔﻴﺮ ﺷﺪه ﺑﻮدﻧﺪ‪ .‬از ﺳﻮى دﻳﮕﺮ‪ ،‬اﻓﺮادى ﻛﻪ و ً‬ ‫اﺻﻼﺣﺎت ﺣﺴﺎﺑﺎن درﮔﻴﺮ ﺑﻮدﻧﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﺧـﺎص‪ ،‬درك ﻣﺘﻔﺎوﺗﻰ آﻣﻮزش ﺣﺮﻓﻪ اى ﺳﺮﭼﺸﻤﻪ ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫از اﻫﻤﻴﺖ آن ﻛﺴﺐ ﻛﺮدﻧﺪ‪ .‬آن ﻫﺎ ﺑﻪ ﻫﻤﺎن ﺗﺮدﻳﺪ اراﻳﻪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫وﻗﺘﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎن‪ ،‬اﺳﺎﺗﻴﺪ و‪ /‬ﻳﺎ ﮔﺮوه ﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ )اﻏﻠﺐ ﺗﺤﺖ‬ ‫اﺳﺎﺗﻴﺪ رﻳﺎﺿﻰ در ﻣﻮرد ﺑﺮﻧﺎﻣـﻪ ى درﺳﻰ اﺷﺎره ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ و در ﻣﻮرد ﻓﺸﺎر ﺑﻴـﺮوﻧﻰ( ﺑـﻪ ﺿـﺮورت ﺑﻬﺒـﻮد ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﺣـﺮﻓﻪ اى ﭘﻰ ﺑـﺮدﻧﺪ‪،‬‬ ‫روش و وﺳﻌﺖ اﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ﻣﻮاد‪ ،‬ﻗﻀﺎوت ﺣﺮﻓﻪ اى ﻣﻨﺎﺳﺐ را ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ آن ﺟﺎﻣﻪ ى ﻋﻤﻞ ﺑﭙﻮﺷﺎﻧﻨﺪ؟ آﻳﺎ اﺳﺎﺗﻴﺪ رﻳﺎﺿﻰ‪،‬‬ ‫ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻧﺪ‪ .‬دﮔﺮﮔﻮﻧﻰ ﺷﺨﺼﻰ و ﺗﻐﻴﻴﺮ در ﻋﻤﻞ ﺣﺮﻓﻪ اى آﻧﺎن ﺑﺪون آن ﻛـﻪ دوره ﻫﺎى ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﺣـﺮﻓـﻪ اى را دﻳﺪه ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﻗـﺎدرﻧﺪ‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻣﻌﻠﻤﺎن‪ ،‬ﻣﻬﻢ ﺗﺮﻳﻦ ﭼـﻴـﺰى ﺑﻮد ﻛﻪ آن ﻫﺎ در اﺻﻼﺣـﺎت‬ ‫دوره ﻫﺎ و ﻳﺎ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎﻳﻰ را ﺑﺮاى داﻧﺸﻜﺪه ﻫﺎى‬ ‫ﻳﺎﻓﺘﻨﺪ‪ .‬آن ﻫﺎ‪ ،‬ﻋﻀﻮ ﺑﻮدن در ﻳﻚ اﺟﺘﻤﺎع‬ ‫ﻓﻌﻠـﻰ و آﺗـﻰ ﻃـﺮاﺣﻰ ﻧﻤﺎﻳﻨـﺪ؟ ﻗـﺴـﻤـﺘـﻰ از‬ ‫ﺟﻮاب اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺎ ﺑﻪ ﺗﻨﻬﺎﻳﻰ ﻧﻤﻰ ﺗﻮاﻧﻴﻢ‪.‬‬ ‫را درك ﻛﺮدﻧﺪ‪ ،‬اﺟﺘﻤﺎﻋﻰ ﻛﻪ ﻋﻤﻞ ﺗﺪرﻳﺲ ﻻزم اﺳﺖ ﻣـﻌـﻠـﻢ ﺑـﺪاﻧـﺪ ﻛـﻪ‬ ‫در آن ﺑــﺮﺧـﻼف ﺧــﻮد ﻋـﻤـﻞ ﺣــﺮﻓــﻪ اى‬ ‫ﺗﻨﻬﺎﻳﻰ‪ ،‬ﻫـﻢ ﺑـﻪ ﻣـﻌـﻨـﺎى اﺳـﺎﺗـﻴـﺪ رﻳـﺎﺿـﻰِ‬ ‫داﻧﺴﺘﻦ ﻣﻄﻠﺒﻰ ﺑﺮاى ﺧﻮد ﻳﺎ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻗﺴـﻤـﺘـﻰ از آ ﮔﺎﻫـﻰ ﺣـﺮﻓـﻪ اى و‬ ‫دوراﻓﺘﺎده از آﻣﻮزﺷﮕﺮان ﺣﺮﻓﻪ اى ﺑﺎﺗﺠﺮﺑﻪ )ﻛﻪ‬ ‫ارﺗﺒﺎط ﻛﺎرى اﺳﺖ‪ .‬اﻳﺠﺎد ﭼﻨﻴﻦ اﺟﺘـﻤـﺎع ﺑﺮاى ﺑﺤﺚ و ﮔﻔﺖوﮔﻮ ﺑﺎ ﻳﻚ‬ ‫ﻣـﻤـﻜـﻦ اﺳـﺖ ﺧـﻮدﺷﺎن ﺑـﻪ ﻃـﻮر رﻳـﺎﺿـﻰ‬ ‫ﻣﻌـﺘـﺒـﺮى از آﻣـﻮزﺷـﮕـﺮان ـ رﻳﺎﺿـﻰ داﻧـﺎن ﻫـﻤــﻜــﺎر ﻣــﺘــﺨــﺼــﺺ‪ ،‬ﺑــﺎ‬ ‫آﻣﻮزش دﻳﺪه ﺑﺎﺷﻨﺪ( و ﻫﻢ ﺑﻪ ﻣﻌﻨﺎى اﺳﺎﺗﻴـﺪ‬ ‫ﺣﺮﻓﻪ اى اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﻦ‪ ،‬ﻣﻬـﻢ ﺗـﺮﻳـﻦ داﻧﺴﺘﻦ آن ﻣﻄﻠﺐ ﺑﻪﻣﻨﻈـﻮر‬ ‫رﻳــﺎﺿــﻰ ﺑــﻪ ﺻـــﻮرت اﻧــﻔــﺮادى‪ ،‬ﺑــﺪون‬ ‫دﺳـﺘـﺎورد ﺟﻨـﺒـﺶ اﺻـﻼﺣـﺎت ﺣـﺴـﺎﺑـﺎن ﺗﻮﺿﻴﺢ ﺑﻪ ﻳﻚ داﻧـﺶآﻣـﻮز‪،‬‬ ‫ﺣﻤﺎﻳﺖ ﻫﺎى ﺟﻤﻌـﻰ از ﺟـﺎﻧـﺐ ﮔـﺮوه ﻫﺎى‬ ‫ﻣﺤﺴﻮب ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬اﻳﻦ دﺳﺘﺎوردى ﺳﺰاوار‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ و ﻣﺤﻴﻂ ﻫﺎى آﻣﻮزﺷﮕﺎﻫﻰ ﻣﺤﺪود‬ ‫ﻳﻜﺴﺎن ﻧـﻴـﺴـﺖ‪ .‬ﺑـﻪﻋـﻼوه‪،‬‬ ‫ﺣﻤﺎﻳـﺖ و ارﺗﻘﺎ اﺳﺖ و ﺟﺎﻣﻌﻪ ﻣـﻰ ﺗـﻮاﻧـﺪ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺴـﻴـﺎرى از اﺳﺎﺗﻴﺪ رﻳﺎﺿﻰ ﺗـﻤـﺎﻳـﻞ‬ ‫اﻧﺼﺎﻓﺎ ﺑﻪ آن اﻓﺘﺨﺎر ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻼوه‪ ،‬ﺑﻨﺎ ﺑﻪ ﺗـﺠـﺮﺑـﻪى ﻳـﻚ داﻧـﺸـﻤــﻨــﺪ‬ ‫ً‬ ‫دارﻧﺪ ﺗﺎ ﺑﻪ ﻣﺘﺨﺼﺼـﺎن آﻣـﻮزﺷﻰ ﺑﻪ دﻳـﺪه ى‬ ‫ﮔـﺰارش ‪ ACRE‬ﻛﻪ در ﺑﺎﻻ ﺑـﻪ آن اﺳـﺘـﻨـﺎد رﻳــﺎﺿــﻰ ﺑــﻪﻋــﻨـــﻮان ﻳـــﻚ‬ ‫ﺷﻚ ﺑـﻨـﮕـﺮﻧﺪ و ﺑﺎ ﺗﺤﻘـﻴـﺮ ﺑـﻪ آن ﻫـﺎ ﻛـﻨـﺎﻳـﻪ‬ ‫ﺷﺪه‪ ،‬ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ى ‪ JPBM‬در ﻣﻮرد »اﻣﺘﻴﺎزﻫﺎ ﻳـﺎدﮔﻴـﺮﻧﺪه‪ ،‬ﺑـﻬـﺘـﺮﻳـﻦ ﻣـﺪل‬ ‫ﻣﻰ زﻧﻨﺪ؛ اﻳﻦ ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﺳﺎده اى ﻧﻴﺴﺖ ﻛﻪ ﻣﺎ‬ ‫و ﺷـﻨـﺎﺧـﺖ در ﻋـﻠــﻮم رﻳـﺎﺿـﻰ« در اﻳــﻦ ﺑـــــــﺮاى ﻳـــــــﺎدﮔــــــﻴـــــــﺮى‬ ‫اﻛﻨﻮن‪ ،‬ﻧﺎﭼﺎرﻳﻢ از آن ﻫﺎ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻳﺎد ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ‬ ‫ﺟﻬﺖ‪ ،‬ﺣﺮﻛﺖ ﻣﻬﻤﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ وﺳﻴﻠﻪ ى‬ ‫داﻧـﺶﺟـﻮﻳـﺎﻧـﺶ ﻧـﻴــﺴــﺖ‬ ‫و ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﺣﺮﻓﻪ اى آن ﻫﺎ ﻧﻴﺎزﻣﻨﺪﻳﻢ‪ .‬ﭼﻴﺰى‬ ‫ﻫﻤﻜﺎران ﺷﺎن در دﻳﮕﺮ ﻧﻈﺎم ﻫﺎ ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﻃـﻮر‬ ‫ﻛﻪ ﺑﺎﻗﻰ ﻣﻰ ﻣﺎﻧﺪ ﻓﺮاﻫﻢ ﻛﺮدن زﻣﻴﻨﻪ ﻫﺎﻳﻰ ﺑﺮاى‬ ‫ﮔﺴﺘـﺮده‪ ،‬ﺗﺼﺪﻳﻖ و اﺳﺘﻨـﺎد ﺷـﺪه اﺳـﺖ‪.‬‬ ‫ارﺗﺒﺎط ﻫﺎى ﻣﺤﺘـﺮﻣﺎﻧﻪ و ﻣﺸـﺎرﻛﺖ ﺣـﺮﻓﻪ اى‬ ‫ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ اﻓـﺮادى ﺗﻤﺎﻳﻞ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺗﺎ از ﺟﻨﺒﺶ اﺻﻼﺣـﺎت‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﺎن ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﻮردى از ﺑﻬﺒﻮد ﺗﺪرﻳﺲ‪ ،‬ﺑﺪون ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷﮕﺮان ﺑﻴﻦ اﺳﺎﺗﻴﺪ رﻳﺎﺿﻰ و ﻣﺘﺨﺼﺼﺎن آﻣﻮزﺷﻰ ـ از ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﺗﺎ‬ ‫ﺣﺮﻓﻪ اى ﻳﺎد ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﺑـﺮﻋﻜﺲ‪ ،‬ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎﻳﻰ وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﺣﺎﻛـﻰ از ﻣﺤﻘﻘﺎن آﻣﻮزﺷﻰ اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﺴﻴﺮ‪ ،‬اﺳﺎﺳﺎً‪ ،‬ﻳﻚ ﺧﻴﺎﺑﺎن دوﻃﺮﻓﻪ‬ ‫ﻣﺸـﺎوره ﻫﺎى ﻣﻬﻢ ﺑﺎ ﻣﺘـﺨـﺼـﺼـﺎن آﻣـﻮزﺷﻰ اﺳﺖ‪ .‬ﺑـﻪ ﻋـﻼوه‪ ،‬اﺳﺖ ﻛﻪ اﺳﺎﺗﻴﺪ رﻳـﺎﺿـﻰ ﻣـﻰ ﺗـﻮاﻧﻨﺪ ﺑـﻪ ﻗـﺪرﺗﻤﻨﺪ ﺷـﺪن رﺷﺘـﻪ اىِ‬ ‫ﻛﺎﻣﻼ درﮔﻴﺮ ﺑﻮدﻧﺪ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى ﻣﺪرﺳﻪ اى و ﻋﻤﻞ ﺗﺪرﻳﺲ ﻛﻤﻚ ﻛﻨﻨﺪ و در ﻋﻴـﻦ ﺣـﺎل‪،‬‬ ‫ً‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ دان ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ از اوﻟﻴﻦ ﻣﺮاﺣﻞ اﻳﻦ ﺟﻨﺒﺶ‪،‬‬ ‫و آن ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻣﺠﺒﻮر ﺑﻮدﻧﺪ ﺗﺎ ﺑﺮاى اﻳﻦ دوره ﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ‪ ،‬ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎﻳﻰ اﺟﺘﻤﺎﻋﺎت ﻣﻌﻠـﻤـﻰ و ﺗـﺤـﻘـﻴـﻘـﺎت آﻣـﻮزﺷﻰ ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﻨـﺪ آ ﮔﺎﻫـﻰ‬ ‫را ﺑﺮاى آﻣﺎده ﺳﺎزى ﮔﺮوه ﻫﺎى ﺗﺪرﻳﺲ ﻃﺮاﺣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺆﺛﺮى ﭘﺪاﮔﻮژﻳﻜﻰ و ﺻﻼﺣﻴﺖ ﻫﺎى اﺳﺎﺗﻴﺪ رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺸﮕﺎﻫـﻰ را ارﺗﻘﺎ‬ ‫ﺑﻪ ﻣﺘﺨﺼـﺼـﺎن آﻣـﻮزﺷﻰ ﺑﺎ ﺗﺨﺼﺺ ﻫـﺎى ﺣـﺮﻓﻪ اى ﺧﺎص ﺑـﺪل دﻫﻨـﺪ‪ .‬آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿـﻰ‪ ،‬ﺑـﺮﺧﻼف رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻳـﻚ ﻋـﻠـﻢ دﻗـﻴـﻖ‬ ‫ﺷﺪﻧﺪ‪ .‬آن ﻫﺎ‪ ،‬ﻗﺴﻤـﺖ اﻋـﻈـﻢ و ﻗـﺖ ﺷـﺎن را ﺻﺮف اﻳﻦ ﺗـﻮﺳﻌـﻪ ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ‪ ،‬ﺗﺠـﺮﺑـﻰ و ﺑـﻪ ﻃـﻮر ذاﺗـﻰ‪ ،‬ﭼـﻨـﺪرﺷﺘـﻪ اى‬ ‫ﻛﺮدﻧﺪ‪) .‬اﻳﻦ اﺣﺘﻤﺎل را ﻛﻪ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻳﻚ ﻣﺘﺨﺼﺺ آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻤﺎم ﻋﺪم اﻃﻤﻴﻨﺎن و ﻋﺪم ﻗﻄﻌﻴﺖ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ دارد‪ ،‬ﻫﺪف‬ ‫‪١٥‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫آن ﻓﻘﻂ ﭘـﺮداﺧﺘﻦ ﺑﻪ ﻋﻘﻼﻧﻴﺖ ﻧﻴﺴﺖ ﺑﻠﻜﻪ ﻛﻤـﻚ ﺑـﻪ دﻳـﮕـﺮ وﺟﻮه‬ ‫اﻧﺴﺎﻧﻰ اﺳﺖ‪ .‬آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻳﻚ ﻋﻠﻢ اﺟﺘﻤﺎﻋﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺮاى‬ ‫ﺷﻮاﻫﺪ‪ ،‬روش اﺳﺘﺪﻻل و ﻧﻈﺮﻳﻪ ﭘـﺮدازى‪ ،‬ﺑﺤﺚ ﻫﺎى ﺣﺮﻓـﻪ اى و‬ ‫ﻏﻴـﺮه‪ ،‬اﺳﺘـﺎﻧـﺪاردﻫﺎى ﺧـﺎص ﺧـﻮدش را دارد‪ .‬آﻣﻮزش رﻳﺎﺿـﻰ‬ ‫ﻫﻢ ﭼﻨﻴـﻦ‪ ،‬داراى ﻳﻚ ﭘﺎﻳﻪ ى ﺗﺜﺒﻴﺖ ﺷﺪه ى ﺗﺤﻘﻴﻘـﺎﺗـﻰ اﺳـﺖ ﻛـﻪ‬ ‫ﺑﺴﻴﺎرى از آن ﻫﺎ از دﻫﻪ ﻫﺎى ﮔﺬﺷﺘﻪ ﻓـﺮاﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪه اﻧﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﭘﺎﻳﻪ‪،‬‬ ‫ﺗﺄﺛﻴـﺮاﺗﻰ ﺣﻴﺎﺗﻰ ﺑﺮ ﻛـﺎرﻛﺮدﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ دارد ﻛﻪ رﻳﺎﺿﻰ داﻧـﺎن در‬ ‫ﻗﺒﺎل اﻳﻦ ﻛﺎرﻛﺮدﻫﺎ ﻣﺴﺌﻮل ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﭼﻪ ﻧﻮع ﻛﺎرﻫﺎﻳﻰ ﺑﺎﻳﺪ ﺻـﻮرت ﮔﻴﺮﻧﺪ؟ ﺣﺪاﻗﻞ‪ ،‬داﻧﺶ ﺟﻮﻳـﺎن‬ ‫دوره ى ﻓﻮق ﻟﻴﺴﺎﻧﺲ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ‪ TA‬ﻳﺎ آﻣﻮزﮔﺎر‪ ،‬ﻣﺸﻐـﻮل ﺑﻪ ﻛﺎر‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﺑـﺎﻳـﺪ از آﻣـﺎدﮔـﻰ ﺑـﺮاى ﺗﺪرﻳـﺲ ﺑـﺮﺧـﻮردار ﺷﻮﻧـﺪ‪ .‬اﻳـﻦ‬ ‫آﻣﺎده ﺳﺎزى ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺮاى ﺧﺪﻣﺖ ﺷﺎن ]ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﻌﻠﻢ[ ﺣﻴﻦ ﺗﺤﺼﻴﻞ‬ ‫در دوره ى ﻓﻮق ﻟﻴﺴﺎﻧﺲ ﺑﻠﻜﻪ ﺑﺮاى ﻧﻘﺶ ﻫﺎى ﺷﺎن ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﻌﻠﻤﺎن‬ ‫آﻳﻨﺪه در داﻧﺸﮕﺎه ﻳﺎ داﻧﺸﻜﺪه ﻳﺎ ﺣﺘﻰ ﻣﺪرﺳﻪ ﺑﺎﻳﺪ اراﻳﻪ ﺷﻮد‪ .‬ﺣﺘﻰ‬ ‫اﮔﺮ ﻣﺴﻴﺮﻫﺎى ﺷﻐﻠﻰ ﺷﺎن‪ ،‬آن ﻫـﺎ را ﺑﻪ دﻧﻴﺎى داﻧﺸﮕﺎﻫـﻰ رﻫﻨﻤﻮن‬ ‫ﻧﺴﺎزد‪ ،‬ﺑﻴﺶ ﺗﺮ آن ﭼـﻪ را ﻛﻪ در ﻣﻬـﺎرت ﻫﺎى ﺗﺪرﻳﺲ ﻧﻴﺎز دارﻧﺪ ﺗـﺎ‬ ‫ﻳﺎد ﺑﮕﻴﺮﻧﺪ‪ ،‬درﺳﺖ ﻫﻤﺎن ﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﺮاى ﺑﺮﻗﺮارى ارﺗﺒﺎط ﻣﺆﺛﺮ‬ ‫در ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﻫﺎى ﻣﺘﻔﺎوت‪ ،‬ﺿﺮورى اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ اﻣﺮ ﺑﺎﻋﺚ ﻣﻰ ﺷﻮد‬ ‫ﺗﺎ آن ﻫﺎ در ﻛﺎر و ﺟﺎﻣﻌﻪ‪ ،‬ﺳﺨﻦ ﮔﻮﻳﺎن ﺑﻬﺘﺮ و ﻣﺆﺛﺮﺗﺮى ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﺣﺮﻓﻪ اى ﺗﺪرﻳﺲ و ﻣﻬـﺎرت ﻫﺎى ارﺗﺒﺎﻃﻰ‪ ،‬ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان‬ ‫ﻗﺴﻤﺘﻰ از ﻫﺪف ﻋﻤﻮﻣﻰ آﻣﻮزش ﻫﻤﻪ ﺟﺎﻧﺒﻪ ى داﻧﺶ ﺟﻮﻳﺎن دوره ى‬ ‫ﻓﻮق ﻟﻴﺴﺎﻧـﻰ‪ ،‬ﻳـﻚ ﻣـﺆﻟﻔﻪ ى ﺣﻴﺎﺗـﻰ اﺳـﺖ‪ .‬درﺣﻘﻴﻘﺖ‪ ،‬ﭼـﻨـﻴـﻦ‬ ‫ﺗـﻮﺳـﻌـﻪ ى ﺣـﺮﻓﻪ اى ﺑـﺮاى داﻧﺸـﻜـﺪه ﻫـﺎى رﻳـﺎﺿـﻰ و ﻧـﻴـﺰ ﺑـﺮاى‬ ‫داﻧﺶ ﺟﻮﻳـﺎن دوره ى ﻓﻮق ﻟﻴﺴﺎﻧﺲ ﻣﻨﺎﺳﺐ اﺳـﺖ‪ .‬ﻫـﻢ ﭼـﻨـﻴـﻦ‪،‬‬ ‫آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﮔﺰﻳﻨﻪ ى ﻣﻬﻤﻰ در ﻃـﺮاﺣﻰ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎى ﺣﺮﻓﻪ اى‬ ‫ﺟﺪﻳﺪ در دوره ى ﻓﻮق ﻟﻴﺴﺎﻧﺲ در ﮔﺮوه ﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ ﻋﻠﻮم رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﻓﺮاﻫﻢ ﻣـﻰ آورد‪ .‬ﺑﺮاى ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﺣـﺮﻓﻪ اى آﻣﻮزﺷﻰ داﻧﺸﻜﺪه ﻫـﺎى‬ ‫ﻓﻌﻠﻰ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ ﻣﻨﺎﺑﻊ ﺣﺎﻣﻰ ﭼﻨﻴﻦ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎﻳﻰ ﻓﺮاﻫﻢ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﭼﺎﻟﺶ ﻣﻬﻢ ﺑﻌـﺪى‪ ،‬ﻃـﺮاﺣﻰ دوره ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺎ ﻣـﺸـﺎرﻛﺖ‬ ‫اﺳﺎﺗﻴﺪ رﻳﺎﺿﻰ و ﻣﺘﺨـﺼـﺼـﺎن آﻣـﻮزﺷﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﮔـﺮوه ﻫـﺎى‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺮﮔﺰار ﺷﻮﻧﺪ و ﺑﻪ آﻣﺎده ﺳﺎزى رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎن آﻳﻨﺪه‬ ‫اﺧﺘﺼﺎص داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻣﻄﻤﺌﻨﺎً‪ ،‬در اﻳﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﻧﻴﺎز ﻣﻌﻠﻤﺎن‬ ‫دوره ى اﺑﺘﺪاﻳـﻰ را از ﻣﻌﻠﻤـﺎن دوره ى ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ ﺟﺪا ﻛـﺮد‪ .‬دوره ى‬ ‫اﺑﺘﺪاﻳـﻰ‪ ،‬ﻋـﺮﺻﻪ اى اﺳﺖ ﻛـﻪ ﺑـﻪ ﺷـﺪت ﺑـﻪ ﺗـﻮﺳﻌﻪ و ﺗـﺠـﺮﺑـﻪ ى‬ ‫ﻓﻜﻮراﻧﻪ اى ﻧﻴﺎز دارد ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺷﺎﻳﺴﺘﻪ ﺗﻮﺳﻂ اﺳﺎﺗﻴﺪ رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ آن‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫‪١٦‬‬



‫ﭘﺮداﺧﺘﻪ ﻧﺸﺪه اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ دوره‪ ،‬از ﻣﺸﺎرﻛﺖ ﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ و ﺧﻼق‬ ‫ﻣﻤﻜﻦ ـ ﺟﺎﻳﻰ ﻛﻪ روش ﻫﺎى ﻗﺮاردادى ﻓﻜﺮ ﻛﺮدن‪ ،‬ﻣﻜﺮرًا در ﺗﻮﻟﻴﺪ‬ ‫ﻧﺘﺎﻳﺞ ﻣﻄﻠﻮب ﺷﻜﺴﺖ ﺧﻮرده اﺳﺖ ـ اﺳﺘﻘﺒﺎل ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﻼش ﻫﺎﻳـﻰ از ﻧـﻮع ﺑﺎﻻ را ﻣﻰ ﺗـﻮان از ﻃﺮﻳﻖ ﺷﺒﻜـﻪ ﺳـﺎزى ﺑـﺎ‬ ‫ان درﮔﻴﺮ ﺑﺎ ﺗﻼش ﻫﺎى ﻣﺸﺎﺑﻪ در دﻳﮕﺮ داﻧﺸﮕﺎه ﻫﺎ‪ ،‬ﺗﺴﻬﻴﻞ‬ ‫ﻫﻤﻜﺎر ِ‬ ‫ﻧﻤـﻮد‪ .‬ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠـﻔـﻰ ﺑـﻪ وﺳﻴﻠﻪ ى ﺷﺒﻜـﻪ ى اﺻـﻼﺣـﺎت‬ ‫آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ )‪ ،(MER‬ﺳﺎزﻣﺎن دﻫﻰ ﺷﺪه اﻧﺪ‪ .‬در ﻧﺸﺴﺖ ﻫﺎﻳﻰ‬ ‫در ﻓﺼﻞ زﻣﺴﺘﺎن‪ ،‬ﻣﻼﻗـﺎت ﻫـﺎى ‪ AMS/MAA‬ﻛﻪ ﺣﺎﻣﻰ ﭼﻨﻴـﻦ‬ ‫ﺷﺒﻜﻪ ﺳﺎزى ﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺮﮔﺰار ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫وﻗﺘﻰ رﻳﺎﺿﻰ و آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ در ﺳﻄﻮح ﻣﺪرﺳﻪ‪ ،‬داﻧﺸﻜﺪه‬ ‫و دوره ى ﻓﻮق ﻟﻴﺴﺎﻧﺲ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﺗﺎرﻳﺨﻰ در اﻳﺎﻻت ﻣﺘﺤﺪه آﻣﺮﻳﻜﺎ‬ ‫ﺷﻜﺎف ﻫﺎى ﻓﺮﻫﻨﮕﻰ و ﺣﺮﻓﻪ اى دارﻧﺪ ـ ﺷﻜﺎف ﻫﺎى ﻗﺎﺑﻞ ﻣﺸﺎﻫﺪه‬ ‫در ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫـﺎى ﻛـﺎرى و ﻓﺮﻫﻨﮓ ﻫﺎى ﻣـﺘـﻤـﺎﻳـﺰ ‪ AMS‬و ‪ MAA‬و‬ ‫‪ AMATYC‬و ‪



NCTM‬ـ ﺑﺮاى ﺗﻤﺎم ﻛﺴﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻟﺰوم ﺑﻬﺒﻮد آﻣﻮزش‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ در آﻣﺮﻳﻜﺎ ﻣﻰ اﻧﺪﻳﺸﻨـﺪ‪ ،‬ﻣـﺒـﺮﻫﻦ ﻣﻰ ﺷـﻮد ﻛﻪ اﻳﻦ ﻣﺴﺌـﻠـﻪ‬ ‫ﻧﻤﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﻣـﺆﻟﻔﻪ ﻫﺎﻳﻰ ﺑﺮاى ﭼﻬﺎر ﺟﺎﻣﻌﻪ ى ذﻛﺮ ﺷﺪه‪ ،‬ﺗﻘﺴـﻴـﻢ‬ ‫ﺷﻮد و اﻧﺘﻈﺎر داﺷﺖ ﻛﻪ ﻫﺮ ﻛﺪام از اﻳﻦ ﺟـﻮاﻣﻊ‪ ،‬ﻣﺴﺌـﻮﻟﻴﺖ ﻫﺎى‬ ‫ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ و ﻧﺎﻣﺘﻮازن را ﺑﺮﻋﻬﺪه ﺑﮕﻴﺮﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان اﺳﺎﺗﻴﺪ رﻳﺎﺿﻰ‪،‬‬ ‫ﻣﺤﻘﻘﺎن آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻣﻌﻠﻤﺎن در داﻧﺸﮕﺎه ﻫﺎ‪ ،‬داﻧﺸﻜﺪه ﻫﺎ‪،‬‬ ‫داﻧﺸﻜﺪه ﻫﺎى ﻣﻨﻄﻘـﻪ اى و ﻣـﺪارس‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ دﻏﺪﻏﻪ ﻫـﺎى ﻣـﺎن را در‬ ‫دوره ى ﻓﻮق ﻟﻴﺴﺎﻧﺲ‪ ،‬ﻟﻴﺴﺎﻧﺲ و ﭘﻴﺶ دﺑﺴﺘﺎﻧﻰ ﺗﺎ ﭘﺎﻳﻪ ى دوازدﻫﻢ‬ ‫ﺑﺒﻴﻨﻴﻢ و ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻗﺴﻤﺖ ﻫﺎﻳﻰ از ﻳﻚ اﻗﺪام ﺗﻠﻔﻴﻖ ﺷﺪه ى‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ ﺑﻨﮕﺮﻳﻢ ﻛـﻪ در آن ﻣـﺠـﺒـﻮرﻳـﻢ درﺳﺖ ﻫﻤﺎن ﻃـﻮر ﻛـﻪ در‬ ‫ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﻋﻠﻮم رﻳﺎﺿﻰ ﻧﻴﺰ درﺧـﻮاﺳﺖ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ ،‬ارﺗﺒﺎط ﺑﺮﻗﺮار‬ ‫ﻛـﺮدن و ﻣـﺸـﺎرﻛﺖ را در ﻛـﻨـﺎر ﻣـﺮزﻫـﺎى ﻓـﺮﻫﻨـﮕـﻰ‪ ،‬رﺷـﺘـﻪ اى و‬ ‫آﻣﻮزﺷﮕﺎﻫﻰ ﻳﺎد ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ‪.‬‬ ‫ﭘﻰﻧﻮﺷﺖ‬ ‫‪1. Dynamic‬‬ ‫‪2. Core‬‬ ‫‪3. Postsecondary‬‬ ‫‪4. Community‬‬ ‫‪5. Ed Dubinsky‬‬ ‫‪6. Joan Ferrini-Mundy‬‬ ‫‪7. Steve Monk‬‬ ‫‪8. Alan Schoenfeld‬‬ ‫‪9. Cadre‬‬ ‫‪10. Didactic‬‬ ‫‪11. The Right Stuff‬‬



‫ﻣﻨﺒﻌﻰ ﻛﻪ ﺗﺮﺟﻤﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‬ ‫‪Bass, Hyman. (1997), Mathematicians as Educators, Notices of AMS,‬‬ ‫‪Vol 44, No. 1, January 1997, pp. 18-21.‬‬



‫‪x x‬‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮى‬



‫ﺣﺴﺎﺑﺎن‬



‫ﺑﺨﺶ دوم‬



‫در دام ﻣﻔﻬﻮم‬



‫‪x‬‬



‫ﺣﺪوﻧﻤﺎدﻫﺎ‬ ‫ﻳﻮﺳ‪ E‬آذرﻧﮓ‬ ‫ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ و دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ آذرﺑﺎﻳﺠﺎن ﻏﺮﺑﻰ‬



‫اﺷﺎره‬ ‫ﺑـﺨـﺶ اول اﻳـﻦ ﻣـﻘـﺎﻟـﻪ را در ﺷـﻤـﺎره ى ﮔـﺬﺷـﺘـﻪ ى ﻣـﺠـﻠـﻪ‬ ‫ﺧـﻮاﻧﺪه اﻳﺪ‪ .‬در آن ﺑﺨﺶ‪ ،‬ﺑﻪ رﻳﺸـﻪ ﻫـﺎى ﺗـﺎرﻳـﺨـﻰ ﺣـﺴـﺎﺑـﺎن و‬ ‫ﻣﺸﻜﻼت ﻳﺎدﮔﻴﺮى آن ﭘﺮداﺧﺘﻪ ﺷﺪ‪ .‬اﻳﻨﻚ اداﻣﻪ ى ﺑﺤﺚ‪:‬‬



‫ﻧﻤﺎدﻫﺎ و ﻧﻘﺶ آنﻫﺎ در ﺳﺎﺧﺘﺎر ﻣﻔﻬﻮﻣﻰ‬ ‫ﭘﻴﻢ‪ ،(٢٠٠٢) ١‬ﻣﻌﺘﻘﺪ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻫﺮ ﺑﺤﺚ ﻛﻠﻰ در رﻳﺎﺿﻰ‪،‬‬ ‫ﻳﻚ ﻧﻴﺎز اﺳﺎﺳـﻰ ﺑـﺮاى ﻧﻤﺎدﮔﺬارى ﻧﻴـﺰ وﺟﻮد دارد و ﻻزم اﺳﺖ ﻛـﻪ‬ ‫راﺑﻄﻪ ى ﺑﻴﻦ ﻧﻤﺎدﻫﺎ و ﭼﻴـﺰﻫﺎى ﻧﻤﺎدﮔـﺬارى ﺷﺪه اﻳﺠﺎد ﺷﻮد‪ .‬اﻳـﻦ‬ ‫ﻫﻤﺎن ﭼـﻴـﺰى اﺳﺖ ﻛﻪ ﻗﺒـﻼً اﺳﻜﻤـﭗ‪ (١٩٨٩) ٢‬اﺑـﺮاز ﻛﺮده اﺳﺖ‬ ‫»ﻗﺪرت رﻳﺎﺿﻴﺎت در اﻳﺪه ﻫﺎى آن ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ اﻣﺎ دﺳﺘﺮﺳﻰ ﺑﻪ اﻳﻦ اﻳﺪه ﻫﺎ‬ ‫و ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ ﺑﺮاى اﻧﺘﻘﺎل آن ﻫـﺎ‪ ،‬واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﻧﻤﺎدﮔﺬارى رﻳﺎﺿﻰ اﺳﺖ«‬ ‫)ص‪ .(١٠٥‬و ﺑﺮاى اﻳﻦ ﻛﺎر ﻳﻚ ﻧﻈﺎم ﻧﻤﺎدﻳﻦ را ﻛﻪ ﺷﺎﻣﻞ ﻣﻮارد زﻳﺮ‬ ‫ﺑﻮد ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻛﺮد‪:‬‬ ‫ﻛﻪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬



‫ﻳﻚ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از ﻧﻤﺎدﻫﺎ ‪ ←‬ﻳﻚ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ‬



‫ﻫﻤﺮاه ﺑﺎ‬ ‫ﻛﻪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬



‫ﻳﻚ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از رواﺑﻂ ﺑﻴﻦ ﻧﻤﺎدﻫﺎ ‪ ←‬ﻳﻚ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از رواﺑﻂ‬ ‫ﺑﻴﻦ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ‬



‫در اداﻣﻪ اﺳﻜﻤﭗ )‪ (١٩٨٩‬درك ﻧﻤﺎدﻳﻦ را ﺟﺬب ﻣﺘﻘﺎﺑﻞ ﻳﻚ‬ ‫ﻧﻈﺎم ﻧﻤﺎدﻳﻦ و ﻳﻚ ﺳﺎﺧﺘﺎر ﻣﻔﻬﻮﻣﻰ ﻣﻰ داﻧﺪ ﻛﻪ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﻴﺮ ﺳﺎﺧﺘﺎر‬ ‫ﻣﻔﻬﻮﻣﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫روﻧﺪ ﺗﺠﺮﻳﺪ و ﺧﻼﺻﻪ ﺳـﺎزى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻰ اﻫﻤﻴـﺖ زﻳـﺎدى‬ ‫‪٤‬‬ ‫دارد و ﻣﺤﻘﻘﺎن ﺑﺴﻴﺎرى از ﺟﻤﻠﻪ درﻳﻔﻮس‪ ،(١٩٩١) ٣‬دوﺑﻴﻨﺴﻜﻰ‬ ‫)‪ (١٩٩١‬و اﺳــﻔـــﺎرد )‪ (١٩٩١‬و ﺗــﺎل و ﮔـــﺮى )‪ (١٩٩٤‬ﺑـــﻪ آن‬ ‫ﭘﺮداﺧﺘﻪ اﻧﺪ‪ .‬در ارﺗﺒﺎط ﺑﺎ اﻫﻤﻴﺖ آن واﻳﺖ و ﻣﻴﺸﻞ ﻣـﻮر‪(٢٠٠٢) ٥‬‬ ‫ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪» :‬ﺑﺎ اﻳﻦ ﻓﺮض ﻛﻪ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻣﺠﺮد در ﺗﻤﺎم ﻣﺮاﺣﻞ رﺷﺪ و‬ ‫ﺗﻮﺳﻌﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ ـ از اﺑﺘﺪاﻳﻰ ﺗﺮﻳﻦ روﻳﺎروﻳﻰ ﺑﺎ اﻋﺪاد ﺗﺎ ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت‬ ‫ﭘﻴﺸﺮﻓﺘﻪ اى از ﻗﺒﻴﻞ ﺣﺴﺎﺑﺎن ـ وﺟﻮد دارﻧﺪ‪ ،‬ﺿﺮورى اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑـﺮاى‬ ‫درك ﺑﻬﺘﺮ ﻳﺎدﮔﻴﺮى و ﺗﺪرﻳﺲ رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻓﺮآﻳﻨﺪ ﺗﺠﺮﻳﺪ را ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻛﻨﻴﻢ«‬ ‫)ص‪ .(٢٣٥‬در اﻳﻦ ﺟﺎ ﺑﻪ ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ﺗﺒﻴﻴﻦ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ﺗﺎل و ﮔﺮى ﻛﻪ‬ ‫ﺑﻪ ﻧﻘﺶ ﻧﻤﺎدﻫـﺎ و ارﺗﺒﺎط آن ﺑﺎ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺑﺴﺘﮕﻰ ﺑﻴـﺶ ﺗـﺮى‬ ‫دارد اﺷﺎره ﻣﻰ ﻛﻨﻢ‪ .‬ﺗـﺎل )‪ ،(١٩٩٦‬در ﻣﻌﺮﻓﻰ آن‪ ،‬اﻇﻬﺎر ﻣﻰ دارد‬ ‫»ﺑﺎ اﻟﻬﺎم ﮔـﺮﻓﺘﻦ از ﻣﺘﻔـﻜـﺮاﻧﻰ ﭼـﻮن دوﺑﻴﻨﺴﻜﻰ و اﺳـﻔـﺎرد‪ ،‬ﻛـﻪ در‬ ‫‪١٧‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫ﺗﺎل )‪ (١٩٩٦‬ﻣﻌﺘﻘﺪ اﺳﺖ ﻛﻪ روﻳﻪﻫﺎ‪ ،‬ﺑﻪ اﺷﺨﺎص اﻣﻜﺎن‬ ‫اﻧﺠﺎم دادن رﻳﺎﺿﻰ را ﻣﻰدﻫﻨﺪ‪ .‬اﻣﺎ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﺗﻌﺪاد زﻳﺎدى از‬ ‫روﻳﻪﻫﺎ و اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻨﺎﺳﺐﺗـﺮﻳـﻦ آنﻫـﺎ ﺑـﺮاى ﻫﺪف ﺧـﻮاﺳﺘﻪ‬ ‫ﺷﺪه‪ ،‬ﺑـﻪﻃـﻮر ﻓـﺰاﻳﻨﺪهاى ﻣﺸـﻜـﻞآﻓـﺮﻳـﻦ و ﺧـﺴـﺘـﻪ ﻛـﻨـﻨـﺪه‬ ‫ﻣﻰﺷﻮد‪ .‬در ﺣﺎﻟﻰﻛﻪ ﻓﺮﻫﻮم‪ ،‬ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ﺷﺨﺺ اﻣﻜﺎن اﻧﺠﺎم‬ ‫ﮔﺎمﺑﻪﮔﺎم ﻋﻤﻠﻴﺎت )روﻳﻪ( را ﻣﻰدﻫﺪ‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ ﺑﻪ او اﺟﺎزه ﻣﻰدﻫﺪ‬ ‫ﻛﻪ ﻧﻤﺎدﻫﺎ را ﺑﻪﻋﻨﻮان اﺷﻴﺎى ذﻫﻨﻰ ﺑﺒﻴﻨﺪ‬ ‫زﻣﻴﻨـﻪ ى رﺷﺪ ﺷﻨﺎﺧـﺘـﻰ ﻓـﺮآﻳﻨﺪﻫﺎ و ﻣـﻔـﻬـﻮم ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻄـﺎﻟـﻌـﻪ‬ ‫ﻛﺮده اﻧﺪ‪ ،‬ﻣﻦ اﻳﻦ ﺗﻮﻓﻴﻖ را ﻳﺎﻓﺘﻢ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺗﺸﺮﻳﻚ ﻣﺴﺎﻋﻰ ﺑﺎ ادى ﮔﺮى‬ ‫دﻳﺪﮔﺎﻫﻰ را ﺗﻮﺳﻌﻪ دﻫﻢ ﻛﻪ ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺮاى ﺗﺤﻠﻴﻞ ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ اﺳﺘﻔﺎده ى‬ ‫اﻓـﺮاد از ﻧﻤـﺎدﮔـﺬارى‪ ،‬ﺑﻠﻜـﻪ ﺑـﺮاى ﺗﺤﻠـﻴـﻞ ﭼـﮕـﻮﻧﮕـﻰ ﺗـﻌـﺎﻣـﻞ ﺑـﺎ‬ ‫دﺳﺖ ورزى ﻧﻤﺎدﻳﻦ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﻧﻴﺰ ﻣﻔﻴﺪ اﺳﺖ« )ص‪.(١٨‬‬ ‫ﺗﺎل و ﮔﺮى ﻣﻌﺘﻘﺪﻧﺪ ﻧﻤﺎدﻫﺎ‪ ،‬ﻧﻘﺶ دوﮔﺎﻧﻪ اى ﺑﻴﻦ ﻓﺮآﻳﻨﺪ و ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫ﺑﺎزى ﻣﻰ ﻛﻨﻨـﺪ و ﺗـﺮﻛﻴﺐ اﻳﻦ دو‪ ،‬ﻧﻴـﺮوى ﻋﻈﻴﻢ ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى ﻣﻔﺎﻫﻴـﻢ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ را ﻣﻮﺟﺐ ﻣﻰ ﺷﻮد )ﺷﻜﻞ زﻳﺮ(‪.‬‬



‫‪process ‬‬ ‫‪ procept‬‬ ‫‪concept ‬‬



‫‪symbol‬‬



‫ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺷﻜﻞ ﺑﺎﻻ‪ ،‬ﻓﺮﻫﻮم‪ ٦‬از ﺗﺮﻛﻴﺐ دو ﻛﻠﻤﻪ اى ﻓﺮآﻳﻨﺪ و ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻘﻴﺪه ى ﺗﺎل و ﮔﺮى ﻳﺎدﮔﻴﺮى اﻓﺮاد و اﻧﺠﺎم‬ ‫دادن رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﻴﺮ ﻫﺮ ﻳﻚ از ﻣـﻮارد ﺑﺎﻻ اﻧﺠﺎم ﺷﻮد‬ ‫ﻛﻪ اﻳﻦ ﻫﻢ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﺎى ﻣﺘﻔﺎوﺗﻰ را ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﺧﻮاﻫﺪ داﺷﺖ؛ ﻣﺎﻧﻨﺪ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮى در ﺳﻄﺢ روﻳﻪ اى‪ ،‬ﻓﺮآﻳﻨﺪى و ﻓﺮﻫﻮﻣﻰ‪.‬‬ ‫روﻳﻪ‪ ،‬ﻓﺮاﻳﻨﺪ و ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫دﻣـﺎن‬ ‫ﮔـﺮى )‪ ،(٢٠٠٢‬درﻳﺎﻓـﺘـﻪ اﺳـﺖ ﻛـﻪ »ﻧـﻤـﺎدﻫـﺎ ﺑـﺮاى ﻣـﺮ ِ‬ ‫ﻣﺘﻔﺎوت‪ ،‬ﭼﻴﺰﻫﺎى ﻣﺘﻔﺎوﺗﻰ ﻣﻌﻨﻰ ﻣﻰ دﻫﻨﺪ‪ .‬ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﺑﺮاى‬ ‫ﻳﻚ ﺷﺨـﺺ در زﻣﺎن ﻫﺎى ﻣﺨﺘـﻠـ‪ ِt‬ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﺷﻨﺎﺧﺘـﻰ اش ﻧـﻴـﺰ‪،‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻧﻰ ﻣﺨﺘﻠﻔﻰ ﻣﻰ دﻫﻨﺪ‪ .‬ﺑﻌﻀﻰ ﻫﺎ ﻧـﻤـﺎدﻫـﺎ را ﺟﻬﺖ ﻓـﺮاﺧﻮاﻧﺪن‬ ‫روﻳﻪ ﻫﺎى ﻏﻴـﺮﻣﻨﻌﻄ‪ t‬ﺑﺮاى ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺧﺎص ﻣﻰ ﺑﻴﻨﻨﺪ و ﺑﻌـﻀـﻰ‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫‪١٨‬‬



‫دﻳﮕﺮ ﻧﻴـﺮوى ﻋﻈﻴﻢ ﺗﺮ و اﻧﻌﻄﺎف ﭘـﺬﻳـﺮﺗﺮى را در اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﻤﺎدﻫـﺎ‬ ‫ـ ﻫﻢ ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻓﺮآﻳﻨﺪ اﻧﺠﺎم دادن رﻳﺎﺿﻰ و ﻫﻢ ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان ﻣﻔﻬﻮﻣـﻰ‬ ‫ﺑﺮاى ﻓﻜﺮ ﻛـﺮدن در ﻣﻮرد آن ـ در ﺧﻮد اﻳﺠﺎد ﻣﻰ ﻛﻨﻨـﺪ« )ص‪٢٠٥‬و‬ ‫‪ .(٢٠٦‬در ﺟﻤﻼت ﺑﺎﻻ ﮔـﺮى ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ ﺗـﻔـﺎوت ﺗﻔﻜـﺮ روﻳـﻪ‪+‬اى و‬ ‫ﻓﺮﻫﻮﻣﻰ را در ﺑﻪ ﻛﺎرﮔﻴﺮى ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﻋﻨﻮان ﻛﺮده اﺳﺖ‪ .‬ﺗﺎل و ﻫﻤﻜﺎران‬ ‫)‪ (٢٠٠١‬ﻫﻢ در ﺗﻮﺻﻴ‪ t‬روﻳﻪ و ﻓـﺮآﻳﻨﺪ ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ ﻛـﻠـﻤـﻪ ى‬ ‫روﻳﻪ ﺑﻪ ﻣﻌﻨﻰ دﻧﺒﺎﻟﻪ ى ﺧﺎﺻﻰ از ﮔﺎم ﻫـﺎى ﻣـﻮرد اﺳﺘﻔﺎده اﺳﺖ ﻛﻪ‬ ‫در ﻫﺮ زﻣﺎن‪ ،‬ﺗﻨﻬﺎ ﻳﻚ ﮔﺎم را اﺟـﺮا ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬اﻣﺎ اﺻﻄﻼح ﻓﺮآﻳﻨﺪ در‬ ‫ﻣﻔـﻬـﻮم ﻛﻠﻰ ﺗـﺮ ﻣـﻮرد اﺳﺘـﻔـﺎده ﻗـﺮار ﻣﻰ ﮔـﻴـﺮد و ﺷﺎﻣﻞ ﻫـﺮ ﺗـﻌـﺪاد‬ ‫روﻳﻪ ﻫﺎﻳﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ اﺳﺎﺳﺎً »ﻧﺘﻴﺠﻪ ى ﻳﻜﺴﺎﻧﻰ دارﻧﺪ«‪ .‬ﺑﺮاى ﻣﺜﺎل‪،‬‬ ‫‪2‬‬



‫ﻓﺮآﻳﻨﺪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﮔﻴﺮى ﺗﺎﺑﻊ ‪ 1+ x‬ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ وﺳﻴﻠﻪ ى روﻳﻪ ﻫﺎى‬ ‫‪2‬‬



‫‪x‬‬



‫ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن از ﺟﻤﻠﻪ ﻗﺎﻋﺪه ى ﺧـﺎرج ﻗﺴﻤﺖ‪ ،‬ﻗﺎﻋﺪه ى ﺿـﺮب )ﺑﺮاى‬ ‫‪ 12‬و ‪ ( 1+ x2‬ﻳﺎ اﺳـﺘـﺮاﺗﮋى ﻫﺎى دﻳـﮕـﺮى از ﻗﺒﻴﻞ ﺳـﺎده ﻛـﺮدن ﺑـﻪ‬ ‫‪x‬‬



‫ﺻﻮرت ‪ 1+ x −2‬ﻗﺒﻞ از دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﮔﻴﺮى اﻧﺠﺎم ﺷﻮد‪ .‬ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ دﻟﻴﻞ‬ ‫ﺗﺎل )‪ (١٩٩٦‬ﻣﻌﺘﻘﺪ اﺳﺖ ﻛﻪ روﻳﻪ ﻫﺎ‪ ،‬ﺑﻪ اﺷﺨﺎص اﻣﻜﺎن اﻧـﺠـﺎم‬ ‫دادن رﻳﺎﺿﻰ را ﻣﻰ



دﻫﻨﺪ‪ .‬اﻣﺎ ﻳﺎدﮔﻴـﺮى ﺗﻌﺪاد زﻳﺎدى از روﻳﻪ ﻫـﺎ و‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻨﺎﺳـﺐ ﺗـﺮﻳـﻦ آن ﻫـﺎ ﺑـﺮاى ﻫﺪف ﺧـﻮاﺳﺘﻪ ﺷﺪه‪ ،‬ﺑـﻪ ﻃـﻮر‬ ‫ﻓﺰاﻳﻨﺪه اى ﻣﺸﻜﻞ آﻓﺮﻳﻦ و ﺧﺴﺘﻪ ﻛﻨﻨﺪه ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬در ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ ﻓﺮﻫﻮم‪،‬‬ ‫ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ﺷﺨﺺ اﻣﻜﺎن اﻧـﺠـﺎم ﮔـﺎم ﺑـﻪ ﮔـﺎم ﻋـﻤـﻠـﻴـﺎت )روﻳـﻪ( را‬ ‫ﻣﻰ دﻫﺪ‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ ﺑﻪ او اﺟﺎزه ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ ﻧﻤﺎدﻫﺎ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اﺷﻴﺎى ذﻫﻨﻰ‬ ‫ﺑﺒﻴﻨﺪ‪ .‬ﺑﺪﻳﻦ ﺗـﺮﺗﻴﺐ او ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ رﻳﺎﺿـﻰ را اﻧﺠﺎم دﻫﺪ ﺑﻠﻜـﻪ‬ ‫ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ در ﻣﻮرد ﻣﻔﻬﻮم ﻫﺎ ﻧﻴﺰ ﻓﻜﺮ ﻛﻨﺪ‪ .‬دﻣﺎروﻳﺲ‪ (٢٠٠٦) ٧‬ﻫﻢ‬ ‫در ارﺗﺒﺎط ﺑﺎ ﺗﻔـﺎوت ﺗﻔﻜﺮ ﻓﺮﻫـﻮﻣﻰ ﺑﺎ ﺗﻔﻜﺮ روﻳﻪ اى اﻇﻬﺎر ﻣـﻰ دارد‬ ‫»ﺗﻔﻜـﺮ ﻓـﺮﻫﻮﻣﻰ‪ ،‬ﻓﻜـﺮ ﻛـﺮدن در ﻣﻮرد ﻳﻚ ﻣﻔـﻬـﻮم ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺗﺎﺑـﻊ ﻫـﻢ‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻓﺮآﻳﻨﺪ و ﻫﻢ ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان ﺷﻰء اﺳﺖ و در ﻣﻘﺎﺑﻞ آن‪ ،‬ﺗﻔـﻜـﺮ‬ ‫روﻳﻪ اى اﺳﺖ ﻛـﻪ واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ اﻧﺘﺨﺎب و اﻧﺠﺎم روﻳـﻪ ﻫـﺎى ﻣـﻨـﺎﺳـﺐ‬ ‫اﺳﺖ« )ص‪.(٢‬‬ ‫روﻳﻪ‪ ،‬ﻓﺮاﻳﻨﺪ و ﻣﻔﻬﻮم در ﺣﺴﺎب‪ ،‬ﺟﺒﺮ و ﺣﺴﺎﺑﺎن‬ ‫ﺗﺎل )‪ (١٩٩٦‬در ﺗﻮﺻﻴﻔﻰ ﺳﺎده ﺑﺎ ذﻛﺮ ﻣﺜﺎل ﻫﺎﻳﻰ از ﺣﺴـﺎب‪،‬‬



‫ﺟﺒﺮ و ﺣﺴﺎﺑﺎن‪ ،‬ﻓـﺮآﻳﻨﺪ و ﻣﻔﻬﻮم را در ارﺗﺒﺎط ﺑﺎ ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﭼﻨﻴﻦ ﺑـﻴـﺎن‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﺪ »ﻫﻤﻪ ى ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﺑﺎ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻳﻚ ﻓﺮآﻳﻨﺪ رﻳﺎﺿﻰ ﻛﻪ ﺑﺎﻳﺪ اﻧﺠـﺎم‬ ‫ﺷﻮد و ﻧﻴﺰ ﻧﺘﻴﺠـﻪ ى آن ﻓـﺮآﻳﻨﺪ‪ ،‬ﻧـﻘـﺶ دوﮔﺎﻧﻪ اى را اﻳﻔﺎ ﻣﻰ ﻛﻨـﻨـﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل‪ ٥+٤ ،‬ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﺟﻤﻊ را ﺑﺮاى ﭘﺪﻳﺪ آوردن ﻣﻔﻬﻮم ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫‪ ٤+٥‬ﻛﻪ ‪ ٩‬اﺳﺖ ﺗﺪاﻋﻰ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ 3a + 2b ،‬ﻫﻢ ﻳﻚ ﻓﺮآﻳﻨﺪ ارزﺷﻴﺎﺑﻰ‬ ‫و ﻣﻔﻬﻮم ﻳﻚ ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮى اﺳﺖ‪.‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪n2‬‬



‫∞‬



‫‪ ∑n =1‬ﻓﺮآﻳﻨﺪ ارزﺷﻴﺎﺑﻰ ﻳﻚ‬



‫ﻣﺠﻤﻮع ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻰ ﺑـﺮاى ﻳﺎﻓﺘﻦ ﻣﻘﺪار ﺣﺪى اﺳﺖ )ﻛﻪ ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ‬ ‫از ‪) «( π‬ص‪.(١٨‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪6‬‬



‫ﺗﺎل و ﻫﻤﻜﺎران )‪ (٢٠٠١‬ﺑﺎ ذﻛﺮ ﻣﺜﺎﻟﻰ از ﻛﺎر ﺗﺤﻘﻴﻘﻰ دﻣﺎروﻳﺲ‬ ‫)‪ ،(١٩٩٨‬ﺑﻪ ﺗﻔﺎوت ﻫﺎى روﻳﻪ‪ ،‬ﻓﺮآﻳﻨﺪ و ﻓﺮﻫﻮم در ﺟﺒﺮ ﻣﻰ ﭘﺮدازﻧﺪ‪.‬‬ ‫آن ﻫﺎ ﻧﻘﻞ ﻣﻰ ﻛﻨـﻨـﺪ ﻛـﻪ دﻣـﺎروﻳـﺲ )‪ (١٩٩٨‬از ﺳﻪ داﻧﺶ آﻣـﻮز ﺑـﺎ‬ ‫ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ t‬ﺧﻮاﺳﺖ ﺗﺎ ﺑﺎ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﻛﺮﻳﻦ و ﻟﻰ‪،‬‬ ‫ﻓﺮم ﺟﺒﺮى آن ﻫﺎ را ﺑﻨﻮﻳﺴﻨﺪ و ﭘﺎﺳﺦ دﻫﻨﺪ آﻳﺎ دو ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺴﺎوﻳﻨﺪ ﻳﺎ ﺧﻴﺮ‬ ‫و ﻋﻠﺖ آن ﻫﺎ را ﺗﻮﺿﻴﺢ دﻫﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﻘﺪار ورودى‬



‫ورودى را ﺑﺎ ‪ ٢‬ﺟﻤﻊ ﻛﻨﻴﺪ و ﻣﺠﻤﻮع را‬ ‫در ‪ ٣‬ﺿﺮب ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬



‫ﺗﺎﺑﻊ ﻟﻰ‬



‫ﻣﻘﺪار ﺧﺮوﺟﻰ‬



‫ﮔـﺮى )‪ ،(٢٠٠٢‬درﻳﺎﻓـﺘـﻪ اﺳـﺖ ﻛـﻪ »ﻧـﻤـﺎدﻫـﺎ ﺑـﺮاى‬ ‫ﻣﺮدﻣـﺎنِ ﻣﺘﻔـﺎوت‪ ،‬ﭼﻴـﺰﻫﺎى ﻣﺘـﻔـﺎوﺗﻰ ﻣﻌﻨـﻰ ﻣـﻰدﻫـﻨـﺪ‪.‬‬ ‫ﻫﻢﭼﻨﻴﻦ ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﺑﺮاى ﻳﻚ ﺷﺨﺺ در زﻣﺎنﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠﻔﻰِ‬ ‫ﺗﻮﺳﻌﻪى ﺷﻨﺎﺧﺘﻰاش ﻧﻴﺰ‪ ،‬ﻣﻌﺎﻧﻰ ﻣﺨﺘﻠﻔﻰ ﻣﻰدﻫﻨﺪ‬



‫ﺟﺪول ‪ .١‬ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺣﺎﺻﻞ از ﺗﺤﻘﻴﻖ دﻣﺎروﻳﺲ )‪(١٩٩٨‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﻟﻰ‬



‫ﺗﺎﺑﻊ ﻛﺮﻳﻦ‬



‫داﻧﺶ آﻣﻮزان‬



‫ﺑﻠﻪ‪ ،‬اﮔـﺮ ‪ ٣‬را در ﺗﺎﺑﻊ ﻟﻰ‪ ،‬ﭘﺨﺶ ﻛﻨﻴﻢ ﻫـﻤـﺎن ﺗـﺎﺑـﻊ‬ ‫ﻛﺮﻳﻦ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻰ آﻳﺪ‪.‬‬



‫)‪3(x + 2‬‬



‫‪3x + 6‬‬



‫ﻗﻮى‬



‫ﺑﻠﻪ‪ ،‬اﻣﺎ ﻓﺮآﻳﻨﺪﻫﺎ ﻣﺨﺘﻠ‪ t‬اﺳﺖ‪.‬‬



‫‪(x +2)3‬‬



‫‪x3 + 6‬‬



‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬



‫ﺧﻴﺮ‪ ،‬زﻳـﺮا اﮔﺮﭼﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎ ﻳﻜﺴﺎﻧـﻨـﺪ‪ ،‬اﻣـﺎ ﻓـﺮآﻳﻨﺪﻫﺎ‬ ‫ﻣﺘﻔﺎوﺗﻨﺪ‪.‬‬



‫)‪x + 2(3‬‬



‫‪3x + 6‬‬



‫ﺿﻌﻴ‪t‬‬



‫آﻳﺎ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺴﺎوﻳﻨﺪ؟ ﭼﺮا؟‬



‫ﺗﺎل و ﻫﻤﻜﺎران )‪ ،(٢٠٠١‬از اﻳﻦ ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔـﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ ﻛﻪ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮز ﻗﻮى روش دﺳﺖ ورزى ﺟﺒﺮى را داﻧﺴﺘﻪ و ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ دﻟﻴﻞ‪،‬‬ ‫اﻳﻦ داﻧﺶ آﻣﻮز در ﺳﻄـﺢ ﻓـﺮﻫﻮﻣﻰ ﻋﻤﻞ ﻛـﺮده اﺳﺖ‪ .‬در ﺣﺎﻟﻰ ﻛـﻪ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮز ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻧﻤﺎدﮔﺬارى ﺟﺒﺮى ﻏﻴﺮ اﺳﺘﺎﻧﺪارد ـ اﻣﺎ ﺑﻪ وﺿﻮح‬ ‫ﺑﺎ ﻣﻌﻨـﻰ ـ را ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑـﺮده اﺳﺖ اﻣﺎ ﻓـﺮآﻳﻨﺪﻫـﺎ را ﻣﺨﺘﻠ‪ t‬ﻓـﺮض ﻛﺮده‬ ‫اﺳﺖ و ﻋﻤﻠﻜـﺮد وى در ﺳﻄﺢ ﻓـﺮآﻳﻨﺪى اﺳﺖ و ﺑﺎﻻﺧـﺮه ﻋﻤﻠﻜـﺮد‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮز ﺿﻌﻴ‪ t‬در ﺳﻄﺢ روﻳﻪ اى ارزﻳﺎﺑﻰ ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﻣﺎ در ﻣـﻮرد ﺣﺴﺎﺑﺎن‪ ،‬وﺿﻌﻴﺖ ﭘﻴﭽﻴﺪه ﺗﺮ از ﺟـﺒـﺮ و ﺣـﺴـﺎب‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬زﻳـﺮا داﻧﺶ آﻣـﻮزان درﮔﻴـﺮ ﻓـﺮآﻳﻨﺪﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴـﺘـﻨـﺪ ﻛـﻪ ﺑـﺎﻟـﻘـﻮه‬ ‫ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻰ اﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺜﺎل ﮔﺮى )‪ (٢٠٠٢‬ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﺪ »داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫‪2‬‬



‫ﻣﻘﺪار ورودى‬



‫در ‪ ٣‬ﺿﺮب ﻛﻨﻴﺪ و ﺑﻌﺪ ﺑﺎ ‪ ٦‬ﺟﻤﻊ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬



‫ﻣﻘﺪار ﺧﺮوﺟﻰ‬



‫‪π‬‬



‫اﻋﺪاد اﻋﺸﺎرى ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻰ را )ﻣﺜﻼً ‪ ( 6‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻓﺮآﻳﻨﺪﻫﺎﻳﻰ ﻣﻰ ﺑﻴﻨﻨﺪ‬ ‫ﻛﻪ ﭘﻴـﻮﺳﺘﻪ اداﻣـﻪ دارد و ﻫـﺮﮔﺰ ﭘﺎﻳﺎن ﻧﻤﻰ ﻳـﺎﺑـﺪ و آن ﻫـﺎ را ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان‬ ‫ﻛﻤﻴﺖ ﻫﺎى ﻧﺎﻣﻨﺎﺳﺐ ﻛﻪ ﻣﺤﺎﺳﺒـﻪ ى آن ﻫـﺎ ﻫـﺮﮔﺰ ﭘﺎﻳﺎن ﻧﻤﻰ ﻳﺎﺑـﺪ‪،‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﻛﺮﻳﻦ‬



‫ﺗﻠﻘﻰ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ« )ص‪ .(٢١٢‬ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ‪ ،‬ﻧﻤﺎدﻫﺎﻳﻰ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪، dy‬‬ ‫‪dx‬‬



‫از ﻳﻚ ﻃﺮف ﺑﻴﺎﻧﮕﺮ ﻓﺮآﻳﻨﺪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﮔﻴﺮى و از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ ﻧﻤﺎﻳﺎن ﮔﺮ‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم ﻣﺸﺘﻖ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺣـﺮﻛﺖ ﻣﻨﻌﻄ‪ t‬ﺑﻴﻦ اﻳﻦ دو ﺣﺎﻟﺖ )اﻳـﺠـﺎد‬ ‫ﺗﻔﻜﺮ ﻓﺮﻫﻮﻣﻰ( ﺑﺮاى ﺑﺴﻴﺎرى از داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﺸﻜﻞ اﺳﺖ‪ .‬ﻳﺎ ﻧﻤﺎد‬ ‫‪١٩‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫در ﺟﺒﺮ و ﺣﺴﺎﺑﺎن و اﻧﻮاع ﻓﺮﻫﻮمﻫﺎ در اﻳﻦ ﺣﻮزهﻫﺎ و ﺑﺎ‬ ‫داﻧﺴﺘﻦ اﻳﻦﻛﻪ در ﮔﺬر از ﺣﺴﺎب ﺑﻪ ﺟﺒﺮ و ﺟﺒﺮ ﺑﻪ ﺣﺴﺎﺑﺎن‪،‬‬ ‫ﻓﺮﻫﻮمﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ رخ ﻣﻰدﻫـﺪ‪ ،‬ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﮔﺴﺴﺘﮕﻰﻫـﺎى‬ ‫ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ داﻧﺶآﻣﻮزان ﻛﻪ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ در ﻣﺴﻴﺮ اﻳﻦ ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫رخ دﻫﺪ‪ ،‬اﻫﻤﻴﺖ زﻳﺎدى دارد‬ ‫‪ ∫ f (x)dx‬ﻫﻢ ﻣﻌـﺮﻓﻰ ﻛﻨﻨﺪه ى ﻓـﺮآﻳﻨﺪ اﻧﺘـﮕـﺮال ﮔﻴﺮى اﺳﺖ و ﻫـﻢ‬ ‫ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه ى ﻣﻔﻬﻮم اﻧﺘﮕﺮال اﺳﺖ ﻛﻪ دﺳﺘﺮﺳﻰ ﺑﻪ ﻣﻔﻬﻮم آن دﺷﻮارﺗﺮ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬در واﻗﻊ‪ ،‬ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى ﺗﺎل و ﻫﻤﻜﺎران )‪ ،(٢٠٠١‬ﺑﻪ ﻛﺎرﮔﻴﺮى‬ ‫ﻫﺮ دوى ﻓﺮآﻳﻨﺪ و ﻣﻔﻬﻮم در ﻣﻘﺎﺑﻞ روﻳﻪ ﻫﺎ‪ ،‬ﻓﺮد را ﻗﺎدر ﻣﻰ ﺳﺎزد ﻛﻪ‬ ‫روى وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى اﺳﺎﺳﻰ ﻧﻤـﺎدﮔـﺬارى ﺗﺄﻛﻴﺪ ﻛﻨﺪ و ﺑـﺮاى ﻳﺎدﮔﻴـﺮى‬ ‫ﺗﻜﺎﻟﻴ‪ t‬ﺟﺪﻳﺪ‪ ،‬ﻓﺸﺎر زﻳﺎدى ﻣﺘﺤﻤﻞ ﻧﺸﻮد‪.‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻔﺎوت ﻫﺎى ذﻛﺮ ﺷﺪه در ﺟﺒﺮ و ﺣﺴﺎﺑﺎن و اﻧﻮاع ﻓﺮﻫﻮم ﻫﺎ‬ ‫در اﻳﻦ ﺣﻮزه ﻫﺎ و ﺑﺎ داﻧﺴﺘﻦ اﻳﻦ ﻛﻪ در ﮔﺬر از ﺣﺴﺎب ﺑﻪ ﺟﺒﺮ و ﺟﺒﺮ ﺑﻪ‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﺎن‪ ،‬ﻓـﺮﻫﻮم ﻫﺎى ﺟﺪﻳـﺪ رخ ﻣﻰ دﻫﺪ‪ ،‬ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﮔﺴﺴﺘﮕـﻰ ﻫـﺎى‬ ‫ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻛﻪ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ در ﻣﺴﻴﺮ اﻳﻦ ﺣﺮﻛﺖ رخ دﻫﺪ‪،‬‬ ‫اﻫﻤﻴﺖ زﻳﺎدى دارد ﻛﻪ ﺑﻪ ﺑﺮﺧﻰ از آن ﻫﺎ اﺷﺎره ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬ﺗﺎل و ﻫﻤﻜﺎران‬ ‫)‪ (٢٠٠١‬در ﺗﻮﺻﻴ‪ t‬ﮔﺬر از ﺣﺴﺎب ﺑﻪ ﺟﺒﺮ ﺑﻴـﺎن ﻣـﻰ ﻛـﻨـﻨـﺪ »ﺑـﺮاى‬ ‫ﺑﺴﻴـﺎرى از داﻧﺶ آﻣـﻮزان‪ ،‬ﻋﻼﻣﺖ ﺗﺴـﺎوى ﻫﺎ در ﻳﻚ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣـﺎﻧـﻨـﺪ‬ ‫‪ ٣+٢=٥‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻓﺮآﻳﻨﺪى از ﭼﭗ ﺑـﻪ راﺳﺖ دﻳﺪه ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺳﻤﺖ‬ ‫ﭼﭗ‪ ،‬ﺳﻤﺖ راﺳﺖ را ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻰ دﻫﺪ‪ .‬داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺎ ﭼﻨﻴﻦ ﺗﻌﺒﻴﺮى‬ ‫ﺷﺎﻳﺪ ﻗﺎدر ﺑﻪ ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ اى ﻧـﻈـﻴـﺮ ‪ 3x +1= 16‬ﺑﺎﺷﻨﺪ و اﺳﺘـﺪﻻل‬ ‫ﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ ‪ 3x +1‬ﻣﻰ ﺷﻮد ‪ .١٦‬ﭘﺲ ‪ 3x‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ ١٥‬اﺳﺖ و ‪ x‬ﻣﻰ ﺷﻮد‬ ‫‪ .٥‬اﻣﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ‪ 3x +1= 4x − 4‬ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﻗﺒﻠﻰ ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ«‬ ‫)ص‪ .(١٤‬ﮔـﺮى )‪ ،(٢٠٠٢‬در ﺗـﻮﺻﻴـ‪ t‬ﭼـﻨـﻴـﻦ ﻣـﻌـﺎدﻻﺗـﻰ اﺑـﺮاز‬ ‫ﻣﻰ دارد‪» :‬داﻧﺶ آﻣﻮزاﻧﻰ ﻛﻪ ﻋﻤﺪﺗﺎً ﻧﻤﺎدﮔﺬارى را ﻳﻚ ﺣﺮﻛﺖ ﻓﺮآﻳﻨﺪى‬ ‫ﻣﻰ ﺑﻴﻨﻨﺪ ﺷﺎﻳﺪ آن را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان دو ﻓﺮآﻳﻨﺪ ﻣﺨﺘﻠ‪ t‬ﺑﺨﻮاﻧﻨﺪ و ﺗﺼﻮر ﻛﻨﻨﺪ‬ ‫ﻛﻪ آن ﻫﺎ ﺑﺎﻳﺪ ﻣﺴﺎوى ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬اﻣﺎ اﻳﻦ دو‪ ،‬ﻓﺮآﻳﻨﺪﻫﺎﻳﻰ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﻣﺴﺎوى‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ ﻣﻔﺎﻫﻴﻤﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ دو ارزﺷﻴﺎﺑﻰ اﻳﺠﺎد ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ«‬ ‫)ص‪.(٢١٠‬‬ ‫ﺗﺎل و ﻫﻤـﻜـﺎران )‪ ،(٢٠٠١‬در اداﻣﻪ ى اﻳﻦ ﻣﻄـﻠـﺐ ﺗـﻮﺿﻴـﺢ‬ ‫ﻣﻰ دﻫـﻨـﺪ »در روﺑـﻪ رو ﺷـﺪن ﺑـﺎ ﭼـﻨـﻴـﻦ ﻣـﺴـﺎﺋـﻠـﻰ‪ ،‬ﺑـﺴـﻴـﺎرى از‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫‪٢٠‬‬



‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺮ روﻳﻪ ﻫﺎى ﻳﺎدﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪه ﺑﺮاى رﺳﻴﺪن ﺑﻪ ﭘﺎﺳـﺦ‪ ،‬از‬ ‫ﻗﺒﻴﻞ »ﺗﻐﻴﻴـﺮ دو ﻃـﺮف و ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻋﻼﻣـﺖ«‪» ،‬ﺣـﺮﻛﺖ دادن اﻋﺪاد ﺑـﻪ‬ ‫ﺳﻤـﺖ راﺳﺖ« »ﺣﺮﻛﺖ دادن ‪ x‬ﻫﺎ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ« و »ﺗﻘـﺴـﻴـﻢ دو‬ ‫ﻃﺮف ﺑﺮ ﺿﺮﻳﺐ ‪ « x‬ﺗﻤﺮﻛﺰ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬در واﻗﻊ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﻤﻜﻦ‬ ‫اﺳﺖ ﺑﻪ ﻟﺤﺎظ روﻳﻪ اى‪ ،‬ﻗﺎدر ﺑﻪ اﻧﺠﺎم دادن رﻳﺎﺿﻰ ﺑـﺎﺷـﻨـﺪ‪ .‬در‬ ‫ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر راﺑﻄﻪ اى‪ ،‬آن را درك ﻧﻤﻰ ﻛﻨﻨﺪ« )ص‪ ١٤‬و ‪.(١٥‬‬ ‫ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ دﻟﻴﻞ اﺳﺖ ﻛﻪ ﮔﺬر از ﺟـﺒـﺮ ﺑـﻪ ﺣـﺴـﺎﺑـﺎن‪ ،‬ﺑـﺎﻋـﺚ ﺑـﺮوز‬ ‫ﻣﺸﻜﻼت ﺟﺪﻳﺪى ﺑﺮاى آن ﻫﺎ ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬ﻣﺜﻼً ﻧﻤﺎدﻫﺎى‬ ‫‪x2 − 4‬‬ ‫و)‬ ‫‪x −2‬‬



‫∞‬



‫‪1‬‬ ‫‪n =1 n 2‬‬



‫∑‬



‫( ‪ ، lim x→2‬ﻫﻤﻪ ﻓـﺮآﻳﻨﺪﻫﺎى ﺑﺎﻟﻘـﻮه ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻰ دارد و ﺑـﻪ‬



‫ﻧﻈﺮ ﻣﻰ آﻳﺪ ﻛﻪ »ﭘـﻴـﻮﺳﺘﻪ اداﻣـﻪ دارﻧﺪ« و ﺷﺎﻳـﺪ ﻫـﺮﮔﺰ ﺑﻪ ﻣﻘـﺪار ﺣـﺪ‬ ‫ﻧﺮﺳﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻘﻴﺪه ى ﺑﻨﺪر )‪ ،(١٩٩٦‬ﺑﺮاى ﻳﻚ ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮى ﻣﺸﺎﺑﻪ‬ ‫‪ a+b‬اﻳﻦ ﻣﺎﻫﻴـﺖ دوﮔﺎﻧﻪ )ﻳﻌﻨﻰ ﻫﻢ ﻣﺘﻘﺎﺿﻰ ﻓﻌﺎﻟﻴـﺖ ﺑـﻮدن و ﻫـﻢ‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﻪ ى آن ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ( ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه و ﻣﻔﻴﺪ اﺳﺖ‪ .‬اﻣـﺎ زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ اﻳﻦ‬ ‫ﻓﻌﺎﻟـﻴـﺖ ﺷـﺎﻣـﻞ ﻓـﺮآﻳﻨﺪﻫﺎى ﻧـﺎﻣـﺘـﻨـﺎﻫـﻰ ﻣـﻰ ﺷـﻮد‪ ،‬ﺑﻪ ﺷـﻜـﺴـﺖ‬ ‫ﻣﻰ اﻧﺠﺎﻣـﺪ‪ .‬در ﻧـﺘـﻴـﺠـﻪ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان از ﻧﻈـﺮ ﺧـﻮدﺷـﺎن درﺳـﺖ‬ ‫ﻣﻰ ﮔﻮﻳﻨـﺪ ﻛـﻪ از ﭘـﺬﻳـﺮش درﺳﺘﻰ ﺗـﺴـﺎوى‬



‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬



‫= ‪ 0/ 3‬و ‪0/ 9 = 1‬‬



‫اﻣﺘﻨﺎع ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪.‬آن ﻫﺎ ﺑﺨﺶ ﭘﻮﻳﺎى ﻣﺎﻫﻴـﺖ دوﮔﺎﻧﻪ ى ﺣﺪ را ﺟﺪى‬ ‫ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻧﺪ و ﺑﻪ درﺳﺘﻰ‪ ،‬ورود ﺑﻪ ﻳﻚ ﻓﺮآﻳﻨﺪ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻰ را ﻛﻪ در ﻋﺒﺎراﺗﻰ‬ ‫ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ 0/ 9‬وﺟﻮد دارد و ﺑﻪ ﻣﻘﺪار ﺣﺪ ﻣﻨﺠﺮ ﻣﻰ ﺷﻮد‪ ،‬رد ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‬ ‫)ص ‪ .(٧٢‬ﺗـﺎل )‪ ،(١٩٩٦‬درﺗـﻮﺿﻴـﺢ ﺑـﻴـﺶ ﺗـﺮ ﻣـﺎﻫـﻴـﺖ ﻫـﺎى‬ ‫دوﮔﺎﻧﻪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻧﻜﺘﻪ ى ﻇﺮﻳﻔﻰ اﺷﺎره ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ آن ﺣﺎﺋﺰ اﻫﻤﻴﺖ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى وى ﻣﺜﻼً »ﺑﺮاى ﻛـﻮدﻛﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻣﺠﻤﻮع ‪٣+٤=٧‬‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان ﻳﻚ روﻳﻪ ى ﺷﻤـﺎرش ﻧﮕﺎه ﻣﻰ ﻛـﻨـﺪ ﻛـﻪ در آن ‪ ٤‬ﺑﻪ‬ ‫اﺿﺎﻓـﻪ ى ‪ ٣‬ﻋـﺪد ‪ ٧‬را ﻣﻰ ﺳـﺎزد‪ ،‬ﻣﻤﻜـﻦ اﺳـﺖ دﺷـﻮار ﺑـﺎﺷـﺪ از‬ ‫ﻋﻬﺪه ى ﻧﻤﺎدى ﻣﺎﻧﻨـﺪ ‪ ٤+٣x‬ﺑﺮآﻳﺪ ﻛﻪ ﻫﻴﭻ ﭼﻴـﺰى را ﻧﻤﻰ ﺳـﺎزد‪،‬‬ ‫ﻣﮕﺮ اﻳﻦ ﻛﻪ ﺷﺎﻳﺪ ﻗﺴـﻤـﺖ ‪ ٤+٣‬را اﻧﺠﺎم دﻫﺪ ﻛﻪ ﺑـﺮاﻳﺶ ﻣﻌﻨﺎﻳـﻰ‬ ‫دارد و ‪ ٧x‬را ﺑﻪ دﺳﺖ آورد‪ .‬اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﺑﺎﻋﺚ ﺳـﺮدرﮔﻤﻰ ﺷﺪﻳﺪ‬ ‫ﺑﺴـﻴـﺎرى از داﻧﺶ آﻣـﻮزاﻧﻰ ﻣـﻰ ﺷـﻮد ﻛﻪ ﺷـﺮوع ﺑﻪ ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى ﺟﺒـﺮ‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻫﻤـﻴـﻦ ﻃـﻮر‪ ،‬ﺑـﺮاى داﻧﺶ آﻣﻮزى ﻛﻪ ﺑﻪ »اﻧـﺠـﺎم دادن«‬



‫رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺎ ﺗﻌﺪاد ﻣﺘﻨﺎﻫﻰ دﺳﺘـﻮراﻟﻌﻤﻞ ﻋﺎدت دارد‪ ،‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳـﺖ‬ ‫ ﻧﻬﺎﻳﺖ ﺑﺎﻟﻘﻮه در ﻓﺮآﻳﻨﺪ ﺣﺪ ﻛﻨﺎر ﺑﻴﺎﻳﺪ و ﻣﻤﻜﻦ‬ ‫ِ‬ ‫دﺷﻮار ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺑﻰ‬ ‫اﺳﺖ ﻓﻜﺮ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ در ﭘﻨﺎه اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﻫﺎى ﻧﻤﺎدﻳﻦ در ﺣﺴﺎﺑﺎن و اﻧﺠﺎم‬ ‫آن ﻫﺎ‪ ،‬دﺳﺖ ﻛﻢ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﻳﻚ »ﭘﺎﺳﺦ« ﺑﺮﺳﺪ« )ص ‪.(٢٠‬‬ ‫ﺑﻨـﺎﺑـﺮاﻳﻦ ﻧﻤﺎدﻫـﺎ ﻧـﻪ ﺗـﻨـﻬـﺎ ﺑـﺎ ﭼـﻬـﺮه ﻫﺎى ﻣـﺘـﻔـﺎوﺗﻰ از ﻃـﺮف‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺎزﺧﻮاﻧﻰ ﻣﻰ ﺷﻮد ﺑﻠﻜﻪ ﺑﺮاى آن ﻫﺎ ﻣﻌﺎﻧﻰ ﻣﺘﻔﺎوﺗﻰ ﻫﻢ‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ داﺷﺖ‪ .‬ﻟﺬا‪ ،‬درك ﻧﻤﺎدﻳﻦ و اﻧﺠﺎم ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻫﺎى ﻣﻨﺎﺳـﺐ‬ ‫ﺑﺎ ﻧﻤﺎدﻫـﺎ ﺑـﺮاى ﺑﺴﻴـﺎرى از داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ ،‬ﻛﺎر ﺳﺎده اى ﻧﻴـﺴـﺖ‪.‬‬ ‫ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ‪ ،‬ﺑﺎ ﺗﻮﺳﻌﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ و وارد ﺷﺪن ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ و ﻣﻄﺎﻟﺐ‬ ‫ﺟﺪﻳﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﺣﻮزه ى ﻳﺎدﮔﻴﺮى داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻧﻤﺎدﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪى اﺿﺎﻓﻪ‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺑﺮﻗﺮارى ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ اﻳﻦ ﻧﻤﺎدﻫﺎ و ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺟﺪﻳﺪ ﺿﺮورت‬ ‫ﺑﻴﺶ ﺗـﺮى ﭘﻴﺪا ﻣﻰ ﻛﻨﺪ و ﻋﻤﻞ ﻳـﺎدﮔـﻴـﺮى را ﻣﺸﻜﻞ ﺗﺮ ﻣـﻰ ﺳـﺎزد‪.‬‬ ‫ﻫﻤﺎن ﮔـﻮﻧﻪ ﻛﻪ ﻣﻰ ﺑﻴﻨﻴﻢ‪ ،‬داﻧﺶ آﻣـﻮزان اﻋﻤﺎل ﺣﺴﺎﺑـﻰ را ﺑﻬﺘـﺮ از‬ ‫اﻋﻤﺎل ﺟﺒﺮى اﻧﺠﺎم ﻣﻰ دﻫﻨﺪ و در ﻣﺴﻴﺮ ﺣﺮﻛﺖ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﺣﺴﺎﺑﺎن‬ ‫ﺑﺎ دﺷﻮارى ﻫﺎى ﺑﻴﺶ ﺗﺮى ﻣﻮاﺟﻪ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺟﻤﻊﺑﻨﺪى‬ ‫ﻫﻤﺎن ﮔـﻮﻧﻪ ﻛﻪ اﺷﺎره ﺷﺪ‪ ،‬ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻰ از ﺟـﻤـﻠـﻪ‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻣـﺪرﺳﻪ اى )ﺣﺴﺎب‪ ،‬ﺟﺒﺮ‪ ،‬ﺣﺴﺎﺑﺎن و ﻫﻨـﺪﺳـﻪ(‪ ،‬در‬ ‫ﺑﺴﺘﺮﻫﺎى واﻗﻌﻰ ﺷﻜﻞ ﮔﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ و ﺑﻪ ﻣﺮور زﻣﺎن‪ ،‬ﭼﻮن ﺑﻪ ﻛﺎرﮔﻴﺮى‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ در ﻗﺎﻟﺐ ﻛﻠﻤﺎت و اﻟﻔﺎظ و ﺣـﺘـﻰ ﻧـﻤـﻮدارﻫﺎ‪ ،‬ﻣﺸـﻜـﻞ و‬ ‫وﻗﺖ ﮔﻴﺮ ﺑـﻮده اﺳﺖ‪ ،‬اﻓﺮاد ﻣﺨﺘﻠـ‪ t‬در ﻃـﻮل ﺗﺎرﻳﺦ ﻧﻤﺎدﻫـﺎ را ﺑﻪ‬ ‫ﺧﺪﻣﺖ ﮔﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ و ﺑـﺮاى ﺑﻴﺎن ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻰ از ﻧﻤﺎدﻫﺎ اﺳﺘـﻔـﺎده‬ ‫ﻛﺮده اﻧﺪ‪ .‬اﻣﺮوزه ﻗﺪرت رﻳﺎﺿﻰ واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﻧﻤﺎدﮔﺬارى اﺳﺖ و ﺑﺮاى‬ ‫اﻧﺠﺎم دادن رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺠﺒﻮرﻳﻢ زﺑﺎن ﻧﻤﺎدﻫﺎ را ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺒﺮﻳﻢ‪ .‬از ﻃﺮف‬ ‫دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﺑﺎ ﺑﻪ ﻛﺎرﮔﻴﺮى ﻧﻤﺎدﻫﺎ‪ ،‬دﺳﺘﺮﺳﻰ ﺑﻪ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ آن ﻫﺎ‬ ‫ﻫﻢ ﻣﺸﻜﻞ ﻣﻰ ﺷـﻮد و ﺑﻪ راﺣﺘﻰ ﻧﻤﻰ ﺗـﻮان‪ ،‬ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺳﺎدﮔـﻰ ﻛـﻪ‬ ‫ﻧﻤﺎدﻫـﺎ را ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ ﺑﺮﻳﻢ‪ ،‬ﻣﻔﺎﻫﻴـﻢ را درك ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﻟﺬا ﺗﺤﻘﻴـﻘـﺎت‬ ‫ﺑﺴﻴﺎرى از ﻣﺤﻘﻘﺎن ﺣﻮزه ى آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ در اﻳﻦ راﺳﺘﺎ ﺑﻮده اﺳﺖ‬ ‫ﻛﻪ ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻣﻰ ﺗﻮان ﭘﻴﻮﻧﺪ ﻣﻌﻨﺎدار و ﻣﺤﻜﻤﻰ ﺑﻴﻦ ﻧﻤﺎدﻫﺎ و ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ‬ ‫آن اﻳﺠﺎد ﻛﺮد‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮ ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎى ذﻛﺮ ﺷﺪه در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ و ﭘﮋوﻫﺶ ﻫﺎى‬ ‫دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻰ و از ﺟﻤﻠﻪ ﺟﺒﺮ و ﺣﺴﺎﺑﺎن‪ ،‬ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ‬



‫ﻧﻤﺎدﻳﻦ و ﻳﺎ ﺣﺘﻰ زﺑـﺎن رﺳﻤﻰ ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ در آن ﻫﺎ ﻗﺎﺑﻞ دﺳﺘـﺮﺳﻰ‬ ‫ﻧﺨﻮاﻫﺪ ﺑـﻮد و داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ ﺳﺨﺘﻰ ﻣـﻰ ﺗـﻮاﻧﻨﺪ ﺑﺎ ﺻـﻮرت ﻫﺎى‬ ‫ﻧﻤﺎدىِ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻰ ﻛﻨﺎر آﻳﻨﺪ‪ ،‬ﻣﮕﺮ اﻳـﻦ ﻛـﻪ ﺑـﺮاى اﻳﻦ ﻧﻤﺎدﻫـﺎ‬ ‫ﻗﺎﻟﺐ ﻫﺎى ﺳﺎده ﺗﺮ و ﻣﻠﻤﻮس ﺗﺮى ﺗﻮﺻﻴ‪ t‬ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻫﻢ ﭼﻨﺎن ﻛﻪ ﻗﺒـﻼً ذﻛﺮ ﺷـﺪ‪ ،‬روﻧﺪ ﺗﺠﺮﻳـﺪِ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿـﻰ از‬ ‫دﻳﺪﮔﺎه ﻣﺤﻘﻘﺎن ﻣﺨﺘﻠ‪ ،t‬ﻣـﺮاﺣﻞ ﻣﺨﺘﻠﻔـﻰ را ﻃﻰ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ در‬ ‫اﻳﻨﺠﺎ ﺑﻪ اﻳﺪه ى ﻓﺮﻫﻮم از ﺗﺎل و ﮔِﺮى اﺷﺎره ﺷﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻣﻮازات اﻳﻦ



ﻫﺎ‪،‬‬ ‫ﻣﺤﻘﻘﺎن دﻳﮕﺮ ﻫﻢ ﻧﻈﺮﻳﻪ ﻫﺎى ﻣﺸﺎﺑﻬﻰ را ﺗﺒﻴﻴﻦ ﻛﺮده اﻧﺪ ﻛﻪ ﻫﺮ ﻳﻚ‪،‬‬ ‫دﺳﺘﺮﺳﻰ ﺑﻪ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻰ از ﺟﻤﻠﻪ ﺣﺴﺎﺑﺎن را از زواﻳﺎى ﻣﺘﻔﺎوﺗﻰ‬ ‫ﺗﻮﺻﻴ‪ t‬ﻛـﺮده اﻧﺪ و در ﻧﻮع ﺧـﻮد‪ ،‬ﻣﻔﻴﺪ و ﺑﺎ اﻫﻤﻴﺖ ﻫﺴﺘـﻨـﺪ‪ .‬ﺑـﻪ‬ ‫ﻋــﻨــﻮان ﻣـﺜــﺎل‪ ،‬ﻛــﺎﻧــﻔــﺮى و اﺳــﻤــﻴــﺖ )‪ ،(١٩٩٤‬دﻳـﺪﮔــﺎه‬ ‫»ﻣﻌﺮﻓﺖ ﺷﻨﺎﺳﻰ و ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ‪ «٣٠‬را در ارﺗﺒﺎط ﺑﺎ ﺗﺠﺮﻳﺪ‬ ‫ﭘﻴﺸﻨﻬﺎد ﻛﺮده اﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮاﺳﺎس اﻳﻦ دﻳﺪﮔﺎه‪ ،‬رﺷﺪ و ﺗﻮﺳﻌﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫در ﺗﻨﺎﻇﺮ و ﻫﻤﺎﻫﻨﮓ ﺑﺎ ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ ﻗﺮار دارد‪ .‬ﺑﺪﻳﻦ ﻣﻌﻨـﻰ‬ ‫ﻛﻪ داﻧﺴﺘﻦ ﺑﺨﺸﻰ از رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬اﻧﺠﺎم دادن ﻋﻤﻞ رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ‬ ‫ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ و ﺳﭙﺲ ﻫﻢ ﺳﻨﮓ ﻛﺮدن و ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ى‬ ‫اﻳﻦ ﺷﻜﻞ ﻫـﺎ ﺑـﻪ ﻣـﻨـﻈـﻮر ﺑـﺮﻃﺮف ﻛـﺮدن ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﻫـﺎى ﭘـﻴـﭽـﻴـﺪه‬ ‫ﻣﻰ ﺑﺎﺷـﺪ‪ .‬آن ﻫـﺎ اﻳـﻦ وﺿﻌﻴـﺖ را ﻣﺸﺎﺑـﻪ ﺣـﺮﻛﺖ ﻫـﺎى ﭘـﺎﻧـﺪوﻟﻰ‬ ‫ﻣﻰ داﻧﻨﺪ ﻛـﻪ ﻧـﻮﺳﺎن ﻫﺎى زﻳـﺎدى دارد و درﻳﺎﻓﺖ ﻫﺎى ﺗﻜﻤﻴـﻠـﻰ و‬ ‫ﻣﻌﺘﺒﺮﺗﺮى را ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﻋﺮﺿﻪ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫در ﺣﺴﺎﺑﺎن ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ ﻣﻰ ﺗﻮان ﭼﻨﻴﻦ ﺑﺴﺘﺮى را ﻓﺮاﻫﻢ آورد و ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ‬ ‫آن را ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠﻔﻰ در ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻋﺪدى‪ ،‬ﺟﺒﺮى‬ ‫و ﻧﻤﻮدارى ﺑﻴﺎن ﻛﺮد و ﺑﺎ ﺣﺮﻛﺖ ﻣﻨﻌﻄ‪ t‬ﺑﻴﻦ اﻳﻦ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎ و اﻧﻮاع‬ ‫دﻳﮕﺮ آن‪ ،‬ﮔﺎﻣﻰ ﻣﻬﻢ در ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﺮﭼﻪ ﺑﻬﺘﺮ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ آن ﺑﺮداﺷﺖ و‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻛﻠﻴﺪى ﺣﺴﺎﺑﺎن را از دام واﺑﺴﺘﮕﻰ ﺑﻪ ﻧﻤﺎدﻫﺎ رﻫﺎﻳﻰ ﺑﺨﺸﻴﺪ‪.‬‬ ‫ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ‪ ،‬آﺷﻨﺎﻳﻰ ﻫـﺮﭼﻪ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺎ ﻧﻈﺮﻳﻪ ﻫـﺎ و‬ ‫اﻳﺪه ﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ‪ ،‬ﻣﻮﺟﺐ ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ آن ﻫﺎ ﺑﻪ روش ﻫﺎ و ﻗﺎﻟﺐ ﻫـﺎى‬ ‫ﺳﻨﺘﻰ و ﻓﺮﺳﻮده ى ﺑﻪ ﺟﺎﻣﺎﻧﺪه اﻛﺘﻔﺎ ﻧﻜﻨﻨﺪ و در ﻛﻼس ﻫـﺎى درس‪،‬‬ ‫ﻣﻴﺪان ﻓﻜﺮى وﺳﻴﻊ ﺗﺮى را ﺑﺮاى داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺧﻮد ﺗﺮﺳﻴﻢ ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫* اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ از ﻓﺼـﻞ دوم ﭘﺎﻳﺎن ﻧﺎﻣﻪ ﺑﺎ ﻋـﻨـﻮان »ﺑﺴﺘـﺮﻫﺎى ﻻزم ﺑﺮاى ﻳﺎددﻫـﻰ و‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺣﺴﺎﺑﺎن در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﻣﺪرﺳﻪ اى« ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ‬ ‫راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﺧﺎﻧﻢ دﻛﺘﺮ زﻫﺮا ﮔﻮﻳﺎ ﻧﮕﺎرش ﻳﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬



‫‪٢١‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



Understanding Mathematics, 257-271 Post Pressed Flaxton ‫ﭘﻰﻧﻮﺷﺖ‬



Australia. 9. Demarois, P. (2006). Begining Algebra Student's Image



1. Pimm



of Function Concept.



2. Skemp



10. Skemp, R.R. (1989). Mathematics in the Primary School.



3. Drayfus



London: Rout Iedge.



4. Dubinsky



11. Tall, D. (2002). Continuities and Discontinuities in Long



5. White & Mitchelmore



Term Learning Schemas. In D. Tall & M. O.J. Thomas (EDS).



6. Procept



Intelligence Learning and Understanding Mathematics,



‫ )ﻣﻔﻬـﻮم( درﺳـﺖ‬Concept ‫ )ﻓﺮآﻳﻨﺪ( و‬Process ‫ از ﺗـﺮﻛﻴﺐ دو ﻛﻠـﻤـﻪ ى‬،‫اﻳﻦ ﻛﻠﻤﻪ‬ .‫ﺷﺪه اﺳﺖ‬



151-157, Post Pressed, Flaxton Australia. 12. Tall, D. (1994). Cognitive Difficulties in Learning



7. Demarois



Analysis. Mathematics Education Research Centre, Warwick



8. Epistemology & Multiple Representation



University. ‫ﻣﻨﺎﺑﻊ‬



13. Tall. D. (1995). Understanding the Calcules. Mathematics Education Research Centre, Warwick University.



1. Akkoc, Hf. & Tall, D. (2003). The Function Concept:



14. Tall, D. & Gray, E. & Ali, M. B. & Crowley, L. & De



Comprehension And Complication.



Marois, P. & McGrowen, M. & Pitta, D. & Pinto, M. &



2. Bagni, Gt. (2003). Historical Roots of Limit Notion.



Thomas, M. & Yusuf, Y. (2001). Symbols and The



Development, Canadian Journal of Sciene, Mathematics



Bifurcation Between Procedural and Concept Thinking.



and Technology Education.



Mathematics Education Research Centre, Warwick University.



3. Bender, P. (1996). Basic Imagery and Understandings for



15. White, P. & Michelmore, M. (2002). Teaching and



Mathematical Concept, 8th International congress on



Learning Mathematics by Abstraction. In D. Tall & M.O.J.



Mathematics Education (ICME 8). Selected Lecture, Sevilla,



Thomas (EDS). Intelligence Learning and understanding



14-21.



Mathematics, 235-255, Post Pressed, Flaxton Australia.



4. Comfrey, J. &. Smith, E. (1994). Comments on James Kaputs



،‫ آﻣﻮزش و ﻳﺎدﮔﻴـﺮى آﻧﺎﻟﻴﺰ ﻣﻘﺪﻣﺎﺗﻰ‬.(١٩٩٦) ‫ آﻟﻮپ‬،‫ ﻣﻴﺸﻞ؛ دى ﻳﺮم‬،‫ آرﺗﻴﮓ‬.١٦



Chapter "Democratizing Access to Calculus: New Routs to



.‫ى رﺷﺪ آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿـﻰ‬+‫ ﻣﺠﻠـﻪ‬.(١٣٨٠ ‫ ـ‬١٣٧٩) .‫ﺗـﺮﺟﻤﻪ ى ﻋﻠـﻴـﺮﺿﺎ ﻣﺪﻗـﺎﻟـﭽـﻰ‬



Old Roots".



‫ ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و‬،‫ دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣـﻮزﺷﻰ‬،٣١ ‫ ﺗـﺎ‬٢٣ ‫ ﺻﺺ‬،٥٧ ‫ﺷﻤﺎره ى‬ .‫ وزارت آﻣﻮزش وﭘﺮورش‬،‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‬ .‫ ﻧﺸﺮ ﻣﻬﺎﺟﺮ‬.‫( ﺳﺮﮔﺬﺷﺖ رﻳﺎﺿﻴﺎت‬١٣٨٠) ‫ ﭘﺮوﻳﺰ‬،‫ ﺷﻬﺮﻳﺎرى‬.١٧ ‫ ﺗـﺮﺟﻤﻪ ى زﻫﺮا‬.‫ رﻳﺎﺿﻰ ﺟﺪﻳﺪ ﻳﺎ آﻣـﻮزش ﺟﺪﻳﺪ‬.(١٩٧٩) .‫ ﻫﺎﻧـﺲ‬،‫ ﻓﺮودﻧﺘﺎل‬.١٨ ،٧٠ ‫ ﺷﻤﺎره ى‬،‫ى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬+‫ ﻣﺠﻠـﻪ‬.(١٣٨١) ‫ﮔﻮﻳﺎ و ﺳﺤﺮ ﻇﻬﻮرى زﻧﮕﻨﻪ‬ ،‫ ﺳـﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳـﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‬.‫ دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸـﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣـﻮزﺷﻰ‬.٢٩ ‫ص‬



5. Gray, E. (2002). Processes and Concept as "False Friends" In D. Tall & M. O.J. Thomas (EDS). Intelligence, Learning and Understanding Mathematics, 205-217, Post Pressed, Flaxton Australia. 6. Kaput, J. (1994). Democratizing Access to Calculus: New Routes to Old Roots. In Mathematical Thinking and Problem Solving. Edited byt A.H. Schoenfeld. 7. Mc Donald' M.A. Mathews, D.M. & Strobe, K.H. (2000).



.‫وزارت آﻣﻮزش وﭘﺮورش‬



Understanding Sequences: A Tale of Tow Objects. In E.



،‫ اﺷﺘﻴﺎق ﻫـﺎ‬:‫ ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى اﻃﻼﻋﺎت و آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬.(١٩٩٦) .‫ دﻳﻮﻳـﺪ‬،‫ ﺗﺎل‬.١٩



Dubinsky, A.H. Schoenfeld & Kaput (EDS), Research in



،‫ى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬+‫ ﻣﺠﻠﻪ‬.(١٣٧٥) .‫ ﺗﺮﺟﻤﻪ ى ﺷﻴﻮا زﻣﺎﻧﻰ‬،‫اﻣﻜﺎن ﻫﺎ و واﻗﻌﻴﺖ ﻫﺎ‬



Collegiate. Mathematics Education IV, (PP. 77-102),



‫ ﺳﺎزﻣﺎن ﭘـﮋوﻫﺶ و‬،‫ دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸـﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷﻰ‬،٢٣ ‫ ﺗﺎ‬١١ ‫ ﺻـﺺ‬،٤٧ ‫ﺷﻤﺎره ى‬ .‫ وزارت آﻣﻮزش وﭘﺮورش‬،‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‬



Providence, RI: American Mathematical Society. 8. Pimm, D. (2002). The Symbol Is and Isn't The Objects. In D. Tall & M.O.J. Thomas (EDS). Intelligence Learning and



٢٢



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ٢‫ﺷﻤﺎره ى‬ ١٣٨٨ ‫زﻣﺴﺘﺎن‬



‫»ﺗﺼﻮر ﻣﻔﻬﻮم« و »ﺗﻌﺮﻳ‪ 0‬ﻣﻔﻬﻮم«‬ ‫ﺑﺮاى‬



‫ﻣﻔﻬﻮم »ﺗﺎﺑﻊ«‬



‫*‬ ‫ﻣﻬﺪى ﺟﻮادى‬ ‫ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬



‫»ﺗﻌﺮﻳ‪ g‬ﻣﻔﻬﻮم« ﻋﺒﺎرﺗﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ‬ ‫ﺑـﺮاى ﻣﺸﺨـﺺ ﻛـﺮدن آن ﻣﻔـﻬـﻮم‬ ‫ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ﻣﻰﮔﻴﺮد‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﻪ‬ ‫»اوﻟﻴﻦ ﺣﻘﻴﻘﺘﻰ ﻛـﻪ ﺷـﺎﻳـﺪ ﻣـﺎ را ﻣﺘﺤﻴﺮ ﻛـﻨـﺪ )در ﺻـﻮرﺗﻰ ﻛـﻪ‬ ‫ﭘﺬﻳﺮﻓﺘﻦ آن ﺑﺮاﻳﻤﺎن ﻋﺎدى ﻧﺸﺪه ﺑﺎﺷﺪ( اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﭼﻄﻮر ﻣﻤﻜﻦ‬ ‫اﺳﺖ اﻓﺮادى وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛﻪ رﻳﺎﺿﻴﺎت را ﻧﻤﻰ ﻓﻬﻤﻨﺪ؟‬ ‫اﮔﺮ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﭼﻴﺰى ﺟﺰ ﻳﻚ ﺳﺮى ﻗﻮاﻧﻴﻦ ﻣﻨﻄﻘﻰ ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬ﻛﻪ‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ ﻫﺮ اﻧﺴﺎن ﻋﺎﻗﻠﻰ ﭘﺬﻳﺮﻓﺘﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد‪ ،‬و اﮔﺮ اﺳﺘﺪﻻل ﻫﺎى آن‬ ‫ﺑﺮاﺳﺎس ﻳﻚ ﺳـﺮى اﺻﻮل اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑـﺮاى ﻫﻤﻪ ى اﻧﺴﺎن ﻫـﺎ واﺿﺢ‬ ‫اﺳﺖ و ﻫﻴﭻ ﻛﺴﻰ ﻧﻤﻰ ﺗﻮاﻧﺪ آن ﻫﺎ را ﻣﻨﻜﺮ ﺷﻮد ﻣﮕﺮ اﻳﻦ ﻛﻪ دﻳﻮاﻧﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﭘﺲ ﭼﻪ ﻃﻮر ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑﺴﻴـﺎرى از اﻓﺮاد ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛﻪ ﺑـﺮاى‬ ‫آن ﻫﺎ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻛﺎﻣﻼً ﻣﺒﻬﻢ ﺑﺎﺷﺪ و آن را درك ﻧﻜﻨﻨﺪ؟«‬ ‫)ﻫﺎﻧﺮى ﭘﻮاﻧﻜﺎره‪(١٩٠٨ ،‬‬ ‫از ﻧﻈـﺮ ﮔـﻴـﺮاﻟـﺪو )‪ ،(٢٠٠٦‬ﻳﻜـﻰ از ﭼـﺎﻟـﺶ ﺑـﺮاﻧﮕـﻴـﺰﺗـﺮﻳـﻦ‬ ‫ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎى آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻰ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺎﺧﻪ ﻫﺎﻳﻰ از‬ ‫داﻧﺶ را ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺳـﺎز و ﻛـﺎرﻫﺎى ذﻫﻨﻰ اﻧـﺴـﺎن و ﻗـﻮاﻧﻴﻦ ﺑﻰ ﻋﻴـﺐ و‬ ‫ﻣﺴﺘﺪل ﻣﻨﻄﻘﻰ‪ ،‬ﻛﻨﺎر ﻫـﻢ ﻗـﺮار دﻫﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﮔﻔﺘـﻪ ى او‪ ،‬روش ﻫﺎى‬ ‫ﺳﻨﺘﻰ آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿﻰ اﻏﻠـﺐ ﺑـﺮاﺳﺎس ﻓﺮﺿﻴﺎﺗﻰ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﺑـﺪﻳـﻬـﻰ‬ ‫ﭘﺎﻳﻪ رﻳﺰى ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ؛ ﻓﺮﺿﻴﺎﺗﻰ ﻫﻢ ﭼﻮن اﻳﻦ ﻛﻪ »اﮔﺮ اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﺑﺎ‬ ‫وﺿﻮح ﻛﺎﻓﻰ ﺑﻴﺎن ﺷﻮد‪ ،‬داﻧﺶ آﻣﻮزان آن را ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﻓﻬﻤﻴﺪ« ﻳﺎ »اﮔﺮ‬ ‫آن ﻫﺎ ﻣﻌﻨﺎى ﻫﻤﻪ ى ﻛـﻠـﻤـﺎت را در ﻳﻚ ﺗﻌﺮﻳ‪ t‬ﺑﺪاﻧﻨﺪ‪ ،‬ﻣـﻌـﻨـﺎى‬



‫رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺗﻌﺮﻳ‪ t‬ﺷﺪه را ﻧﻴﺰ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﻓﻬﻤﻴﺪ«‪.‬‬ ‫ﭘﻰ آﻣﺪ ﭼﻨـﻴـﻦ روش ﻫﺎﻳﻰ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻌﻀﻰ از ﻧـﻈـﺎم ﻫـﺎى‬ ‫آﻣـﻮزﺷـﻰ‪ ،‬ﺗـﻼش ﻣـﻰ ﻛـﻨـﻨـﺪ ﺗـﺎ ﻳـﻚ ﺳـﺎﺧـﺘـﺎر ﻧـﻈــﺮى رﺳـﻤـﻰِ‬ ‫ﺳﻠﺴـﻠـﻪ ﻣـﺮاﺗﺒـﻰ را ﻛﻪ ﺑﺎ اﺻـﻮل ﻣـﻮﺿﻮع ﺷـﺮوع ﺷﺪه و ﺑﻪ ﺗـﺮﺗﻴـﺐْ‬ ‫ﺗﻌﺎرﻳ‪ ،t‬ﮔﺰاره ﻫﺎ و ﻗﻀﺎﻳﺎ را ﺷﺎﻣﻞ ﻣﻰ ﺷﻮد‪ ،‬اﺟﺮا ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﻮع روﻳﻜﺮد ﺳﻨﺘﻰ ﺑﻪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺷﺎﻳﺪ ﺑﺘﻮان ﻋﻨﻮان‬ ‫روﻳﻜﺮد ﺻﻮرى را اﻃﻼق ﻛﺮد‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى ﻫﻨﺎ‪» ،(١٩٨٣) ١‬در رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻣﺪرﺳﻪ اى‪ ،‬ﺣﺮﻛﺘﻰ‬ ‫ﺑﺎ ﻋﻨﻮان رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺟﺪﻳـﺪ در اواﻳﻞ دﻫﻪ ى ‪ ١٩٥٠‬آﻏﺎز ﺷﺪ و ﺑﻴﻦ‬ ‫ﺳﺎل ﻫﺎى ‪ ١٩٥٥‬و ‪ ،١٩٦٥‬اﻳﻦ ﺣـﺮﻛﺖ ﺑﻪ اوج ﺧﻮد رﺳﻴﺪ‪ .‬اﻳﻦ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‪ ،‬ﻋﻼوه ﺑﺮ ﻗﺮار دادن ﺣﻮزه ﻫﺎى ﺑﺴﻴﺎر ﻣﺠﺮدى از رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﻣﺪرن در رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻣﺪرﺳﻪ اى‪ ،‬ﺗﺄﻛﻴﺪ ﺑﺴﻴﺎر زﻳﺎدى ﺑﺮ رﻳﺎﺿﻴـﺎت‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﺳﺎﺧﺘﺎر اﺻﻞ ﻣﻮﺿﻮﻋﻰ داﺷﺖ و ﺑﺮ ﻣﻨﻄﻖ و اﺛﺒﺎت‪،‬‬ ‫ﺗﺄﻛﻴﺪ وﻳﮋه اى ﻣﻰ ﻧﻤﻮد« )ﻧﻘﻞ ﺷﺪه در ﺧﺴﺮوﺷﺎﻫﻰ‪.(١٣٨٦ ،‬‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل‪ ،‬آﻳﺰﻧﺒﺮگ‪ (١٩٩١) ٢‬ﻧﻘﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ »در دﻫﻪ ى‬ ‫‪ ١٩٦٠‬در ﺟﻨﺒﺶ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺟﺪﻳﺪ‪ ،‬ﭘﻴﺸﻨﻬﺎد ﺷﺪ ﻛﻪ ﻣﻔـﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺘﺤﺪﻛﻨﻨﺪه )ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻧﺦ ﺗﺴﺒﻴـﺢ‪ (٣‬در رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﻣﺪرﺳﻪ اى ﺑﻪ ﻛﺎر ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد‪ .‬اﻣﺎ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺎﻋﺚ ﺷﺪ ﻛﻪ اﺳﺎﺗﻴـﺪ‬ ‫ﺑﺎ ﻧﻔﻮذى ﭼﻮن آدﻟﺮ‪ ،(١٩٦٦) ٤‬ﺑِِﺒﺮﻣﻦ‪ ،(١٩٥٦) ٥‬ﺑﮕﻞ‪(١٩٦٨) ٦‬‬ ‫‪٢٣‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫و ﻓﺮ‪ ،(١٩٦٦) ٧‬ﻳﻚ روﻳـﻜـﺮد ﺻﻮرى )رﺳﻤﻰ( ﺑـﻪ ﺗـﻮاﺑـﻊ را وارد‬ ‫ﻛﻼس ﻫﺎى درس ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻫﺸـﺪارﻫﺎﻳﻰ از ﺟﺎﻧﺐ دﻳـﮕـﺮان ﻫﻢ ﭼﻮن‬ ‫ﻛﻼﻳﻦ‪ ،(١٩٥٨) ٨‬ﻣﻚ ﻻﻧـﺲ‪ ،(١٩٦٥) ٩‬وﻳﻠﺪر‪ (١٩٦٧) ١٠‬و‬ ‫ﺑﺎك‪ ،(١٩٧٠) ١١‬در اﺑﺘﺪا ﺑﺎ ﺑﻰ ﺗـﻮﺟﻬﻰ ﻣﻮاﺟﻪ ﮔﺮدﻳﺪ‪ ،‬ﺗﺎ اﻳﻦ ﻛـﻪ‬ ‫دﻳﺪه ﺷﺪ اﻳﻦ روﻳﻜﺮد ﻣﻨﻄﻘﻰ ﺑﻪ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ‪ ،‬ﻓﺎﻗﺪ ﻛﺎراﻳﻰ اﺳﺖ‬ ‫و ﺑﻪ درد ﻧﻤﻰ ﺧﻮرد« )ص ‪.(١٤٠‬‬ ‫ﺗـﺎل )‪ (١٩٨٨‬ﻣﻌﺘﻘـﺪ اﺳـﺖ ﻛـﻪ اﻳـﻦ‬ ‫روﻳﻜﺮد ﺻﻮرى‪ /‬ﺳﺎﺧﺘﺎرى ﺑﻪ رﻳﺎﺿﻴﺎت‪،‬‬ ‫از ﻧﻈـﺮ ﮔـﻴـﺮاﻟـﺪو ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺎﻋﺚ اﺻﻼح ﻳﺎدﮔﻴـﺮى رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫)‪ ،(٢٠٠٦‬ﻳــﻜـــﻰ از ﻧﺸﺪ‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ ﻣﺸﻜﻼت ﺗـﺸـﺪﻳـﺪ ﺷـﺪﻧـﺪ و‬ ‫ﭼﺎﻟﺶﺑـﺮاﻧﮕﻴﺰﺗﺮﻳﻦ‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻠﻰ دﻗﻴﻖ ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ اﻳﻦ ﻣﺸﻜـﻼت‬ ‫ﺟـﻨـﺒـﻪﻫـﺎى آﻣـﻮزش از ﻛﻨﺪ ذﻫﻨﻰ و ﺑﻰ ﻋﻼﻗﮕﻰ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﻴﺴﺖ؛ ﺑﻠﻜﻪ ﻳﻚ واﻛﻨﺶ ﻃﺒﻴﻌﻰ اﻧﺴﺎﻧـﻰ‬ ‫ﻣــــــﻰﺧـــــــﻮاﻫـــــــﺪ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﻮع ﺗﺠﺮﻳﺪ‪ ،‬اﻳﺠﺎد‬ ‫ﺷـــﺎﺧـــﻪﻫـــﺎﻳـــﻰ از ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫داﻧـــﺶ را ﻣـــﺎﻧـــﻨـــﺪ‬ ‫ﺑـﻪ ﮔـﻔـﺘـﻪ ى ﮔـﻴـﺮاﻟــﺪو‪،(٢٠٠٦) ١٢‬‬ ‫ﺳﺎزوﻛـﺎرﻫﺎى ذﻫﻨـﻰ ﺷـﻜـﺴـﺖ اﻳـﻦ روﻳـﻜــﺮد ﺑـﺎﻋـﺚ ﺷـﺪ ﺗـﺎ‬ ‫اﻧـﺴــﺎن و ﻗــﻮاﻧـﻴــﻦ رﻳﺎﺿﻰ دان ﻫﺎ و ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ‬ ‫ﺑﻰﻋﻴـﺐ و ﻣـﺴـﺘـﺪل ﭘـﺎﺳـﺦ دادن ﺑـﻪ اﻳــﻦ ﺳــﺆال ﺑــﺮوﻧـﺪ ﻛــﻪ‬ ‫ﻣـﻨـﻄـﻘـﻰ‪ ،‬ﻛـﻨـﺎر ﻫـﻢ »ﭼﻪ ﻃﻮر ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ اﻓﺮادى وﺟﻮد داﺷﺘﻪ‬ ‫ﻗﺮار دﻫﺪ‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛﻪ رﻳﺎﺿﻴﺎت را ﻧﻤﻰ ﻓﻬﻤﻨﺪ؟« ﻋﻼوه‬ ‫ﺑﺮ اﻳﻦ‪ ،‬اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻣﻮﺟﺐ ﺷﺪ ﺗﺎ ﻣﺤﻘﻘﺎن‬ ‫و ﺟﺎﻣﻌـﻪ ى آﻣـﻮزﺷﻰ ﺑﻪ دﻧﺒـﺎل ﻣـﺪل ﻫـﺎى ﻣـﺆﺛﺮ ﺟﺎﻳﮕـﺰﻳـﻦ ﺑـﺮاى‬ ‫روﻳﻜـﺮدﻫﺎى ﺗﺪرﻳﺲ ﺑﺎﺷﻨـﺪ‪ ،‬زﻳـﺮا ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى وﻳﻨـﺮ‪،(١٩٩١) ١٣‬‬ ‫»ﺗﺪرﻳﺲ ﺑﺎﻳﺪ ﻓﺮآﻳﻨﺪﻫﺎى روان ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ راﻳﺞ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻳﻚ‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم و ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ اراﺋﻪ ى اﺳﺘﺪﻻل ﻣﻨﻄﻘﻰ ﺗﻮﺳﻂ داﻧﺶ آﻣﻮزان را‬ ‫ﻣﻮرد ﺗﻮﺟﻪ ﻗـﺮار دﻫﺪ‪ .‬ﻟﺬا ﻻزم اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑـﺮاى ﻃﺮاﺣﻰ ﭘﺪاﮔـﻮژى‬ ‫ﻣﻨﺎﺳﺒﻰ ﺑﺮاى ﺗﺪرﻳﺲ رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ اﻳﻦ ﻣﺴﺌـﻠـﻪ را ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻰ‬ ‫ﻗﺮار داد ﻛﻪ اﻧﺘﻈﺎر ﻣﻌﻠﻢ از ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻰ ﭼﻴﺴﺖ‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ‬ ‫ﺿﺮورى اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﺷﻮد ﻛﻪ ﭼﮕﻮﻧﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان اﻳﻦ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ‬ ‫را ﻳﺎد ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻧﺪ«‪.‬‬ ‫ﭘﺮداﺧﺘﻦ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻳﺎد ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻧـﺪ‪،‬‬ ‫ﻣﺤﻘﻘﺎن را ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﺎﺧﺘﺎرﺷﻨﺎﺧﺘﻰ ذﻫﻦ ﻣﻰ ﻛﺸﺎﻧﺪ و ﻧﻴﺎز‬ ‫ﺑﻪ داﺷﺘﻦ ﻣﺪل را ﺑﺮاى ﺗﺒﻴﻴﻦ رﻓﺘﺎر رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻛﻪ ﺑﻪ ﻗﻮل‬ ‫ﻫﺎرل‪ (٢٠٠٤) ١٤‬ﻳﻜـﻰ از ﻣـﻮارد ﺿﺮورى در ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﺑـﻨـﻴـﺎدﻳـﻦ‬ ‫ﺣﻮزه ى آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ ﺷﻤﺎر ﻣﻰ رود‪ ،‬اﻳﺠﺎد ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬در اﻳﻦ‬ ‫راﺳﺘﺎ‪ ،‬ﺗﺎل و وﻳﻨﺮ )‪ (١٩٨١‬ﺑﺎ ﺗﻤﺎﻳﺰ ﻗﺎﺋﻞ ﺷﺪن ﺑﻴﻦ ﻧـﻮع ﺗﻔﻜﺮ ﻓﺮد‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫‪٢٤‬‬



‫ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻣﻔﻬﻮم و ﺗﻌﺮﻳ‪ t‬رﺳﻤﻰ آن‪ ،‬اﻳﺪه ى »ﺗﺼﻮر ﻣﻔﻬﻮم«‬ ‫و »ﺗﻌﺮﻳ‪ t‬ﻣﻔﻬﻮم«‪ ١٦‬را اراﺋﻪ ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻋﻘﻴﺪه ى ﻫﺎرل )‪،(٢٠٠٤‬‬ ‫اﻳﻦ ﻣﺪل اﺑـﺰارى در اﺧﺘﻴﺎر آﻣـﻮزش ﮔﺮان رﻳﺎﺿﻰ ﻗـﺮار ﻣﻰ دﻫﺪ ﺗـﺎ‬ ‫ﺑﻪ ﻛﻤﻚ آن‪ ،‬ﺑﻪ ﺗﻮﺻﻴ‪ t‬ﭘﺎره اى از ﻋﻮاﻣﻠﻰ ﺑﭙﺮدازﻧﺪ ﻛﻪ در ﺗﺪرﻳﺲ‬ ‫و ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻧﻘﺸﻰ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻨﺪه دارﻧﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﺪل‪ ،‬ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫درس ﻫﺎى ﻋـﻤـﺪه اى اﺳـﺖ ﻛـﻪ آﻣـﻮزش ﮔـﺮان رﻳﺎﺿـﻰ از ﻧـﺘـﺎﻳـﺞ‬ ‫ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت دﻫﻪ ﻫﺎى ﮔﺬﺷﺘﻪ ﺑﻪ دﺳﺖ آورده اﻧﺪ‪ .‬وى در اداﻣﻪ ﺗﻮﺿﻴﺢ‬ ‫ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ آن ﻫﺎ ﺑﺎ ﺗﻤﺎﻳﺰ ﻗﺎﺋﻞ ﺷﺪن ﺑﻴﻦ ﻧﻮع ﺗﻔﻜﺮ ﻓﺮد از ﻳﻚ ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫و ﺗﻌﺮﻳ‪ t‬رﺳﻤﻰ آن‪ ،‬در واﻗﻊ ﺑﻴﻦ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫ذﻫـﻨـﻰ و رﻳـﺎﺿـﻴـﺎت ﺑـﻪ ﻋـﻨـﻮان ﻳـﻚ دﺳـﺘـﮕـﺎه ﺻـﻮرى‪ ،‬ﺗـﻤـﺎﻳـﺰ‬ ‫ﻗﺎﺋﻞ ﺷﺪﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮاى روﺷﻦ ﺗﺮ ﺷﺪن اﻳﻦ ادﻋﺎ‪ ،‬از ﺗـﻮﺟﻴﻬﻰ ﻛﻪ ﺗﺎل و‬ ‫وﻳﻨـﺮ )‪ (١٩٨١‬در ﻣﻮرد ﻣﺪل ﻣﻔـﻬـﻮﻣﻰ ﺧـﻮد اراﺋﻪ داده اﻧﺪ ﻛـﻤـﻚ‬ ‫ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻳﻢ‪ .‬آن ﻫﺎ اﺑﺮاز ﻣﻰ دارﻧﺪ ﻛﻪ‬ ‫»ﻣﻐـﺰ اﻧـﺴـﺎن ﻳـﻚ واﺣﺪ ﻣﻨـﻄـﻘـﻰ ﺻـﺮف ﻧﻴﺴـﺖ و ﺷـﻴـﻮه ى‬ ‫ﭘﻴﭽﻴﺪه ى ﻛﺎرﻛﺮد آن ﻏﺎﻟﺒﺎً ﺑﺎ ﻣﻨﻄﻖ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ‪ .‬ﻟﺬا اﻳﻦ‬ ‫ﻣﻨﻄﻖ ﺻِﺮف ﻧﻴﺴﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻣﺎ ﺑﻴﻨﺶ ﻣﻰ دﻫﺪ‪ .‬ﺷﺎﻧﺲ را ﻫﻢ ﻧﻤﻰ ﺗﻮان‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ ﻋﺎﻣﻞ ﺑﺮوز اﺷﺘﺒﺎﻫﺎت ذﻫﻨﻰ ﻗـﻠـﻤـﺪاد ﻛـﺮد… ﻣﺎ از اﺻﻄـﻼح‬ ‫»ﺗﺼﻮر ﻣﻔﻬﻮم« ﺑﺮاى ﺗـﻮﺻﻴ‪ t‬ﺳﺎﺧﺘﺎرﺷﻨﺎﺧﺘﻰ ﻛﻠﻰ اى ﻛﻪ ﺑﺎ ﻳـﻚ‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم در ﭘﻴﻮﻧﺪ اﺳﺖ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺗﻤﺎﻣﻰ ﺗﺼﺎوﻳﺮ ذﻫﻨﻰ و‬ ‫وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎ و ﻓﺮآﻳﻨﺪﻫﺎى ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ آن ﻣﻔﻬﻮم را درﺑﺮﻣﻰ ﮔﻴﺮد‪ .‬ﺗﺼـﻮر‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم ﺑﻪ ﻣﺮور زﻣﺎن و در ﺟﺮﻳﺎن ﻣﻮاﺟﻪ ﺷﺪن ﺑﺎ اﻧﻮاع ﺗﺠﺎرب ﺷﻜﻞ‬ ‫ﻣﻰ ﮔﻴـﺮد و ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﻴﺮ ﻣـﺤـﺮك ﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣـﻰ ﻛـﻨـﺪ و رﺷﺪ‬ ‫ﻣﻰ ﻳﺎﺑﺪ… رﺷﺪ و ﮔﺴﺘـﺮش ﺗﺼﻮر ﻣﻔﻬـﻮم ﻟﺰوﻣﻰ ﻧﺪارد ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃـﻮر‬ ‫ﻣﻨﺴﺠﻢ و ﺑﻪ ﻳﻚ ﺑﺎره اﺗﻔﺎق ﺑﻴﻔﺘﺪ‪ .‬درواﻗﻊ‪ ،‬ﻣﻐﺰﺑﺪﻳﻦ ﺻﻮرت ﻛﺎر‬ ‫ﻧﻤﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬درﻳﺎﻓﺖ ﻫﺎى ﺣﺴﻰ ﻣﺘﻔﺎوت‪ ،‬ﻣﺴﻴﺮﻫﺎى ﻋﺼﺒﻰ ﺧﺎﺻﻰ‬ ‫را ﺑﺮاﻧﮕﻴﺨﺘﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ و در ﻋﻴـﻦ ﺣـﺎل‪ ،‬از ﺑـﺮاﻧﮕﻴﺨﺘﻪ ﺷﺪن ﺳـﺎﻳـﺮ‬ ‫ﻣﺴﻴـﺮﻫﺎ ﻣﻤﺎﻧﻌﺖ ﺑﻪ ﻋﻤـﻞ ﻣـﻰ آورﻧﺪ‪ .‬ﺑﺪﻳﻦ ﺗـﺮﺗﻴﺐ‪ ،‬ﻣﺤـﺮك ﻫﺎى‬ ‫ﻣﺘﻔـﺎوت ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﻓﻌﺎل ﺷﺪن ﺑﺨﺶ ﻫـﺎى ﻣـﺘـﻔـﺎوﺗﻰ از ﺗﺼـﻮر‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻨﺠﺮ ﺷﻮﻧﺪ« )ﺗﺎل و وﻳﻨﺮ‪.(١٩٨١ ،‬‬ ‫ﺑﻪ ﻫﻤـﻴـﻦ دﻟـﻴـﻞ‪ ،‬ﻣـﻤـﻜـﻦ اﺳـﺖ در زﻣﺎن ﻫـﺎى ﻣـﺘـﻔـﺎوﺗـﻰ‪،‬‬ ‫دﻳﺪﮔﺎه ﻫﺎى ﻧﺎﺳﺎزﮔﺎرى در ذﻫﻦ ﻓﺮد ﺑﻪ وﺟﻮد ﺑﻴﺎﻳﺪ ﻛﻪ ﺗﺎ زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ‬ ‫آن ﻫﺎ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻫﻢ زﻣﺎن ﻓـﺮاﺧﻮاﻧﺪه ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬وى از اﻳﻦ ﻧﺎﺳﺎزﮔﺎرى ﻫﺎ‬ ‫آ ﮔﺎه ﻧﻴﺴﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﺎل )‪ (١٩٩١‬ﻣﻌﺘﻘﺪ اﺳﺖ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻣﺪل ﺑﻪ ﻫﻤﺎن اﻧـﺪازه ﻛﻪ در‬ ‫ان در ﺣﺎل ﻳـﺎدﮔـﻴـﺮى و رﺷـﺪ ﻛـﺎرﺑـﺮد دارد‪ ،‬در ﻣـﻮرد‬ ‫داﻧـﺶ آﻣـﻮز ِ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﺣﺮﻓﻪ اى ﻧﻴﺰ ﻛـﺎراﻳﻰ دارد‪ .‬او اﻇﻬﺎر ﻣﻰ دارد ﻛﻪ ﻳﻚ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ دان ﻧﻴﺰ ﻣﺼﻮن از اﻳﻦ ﻧﺎﺳﺎزﮔﺎرى ﻫﺎى دروﻧﻰ ﻧﻴﺴﺖ؛ وﻟﻰ‬ ‫‪١٥‬‬



‫ﻗﺎدر اﺳﺖ ﺑـﺨـﺶ ﻫـﺎى ﺑـﺰرﮔـﻰ از داﻧـﺶ را در دﻧﺒﺎﻟـﻪ اى از ﻳـﻚ‬ ‫اﺳﺘﺪﻻل اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﻰ ﺑـﻪ ﻫـﻢ ﭘـﻴـﻮﻧﺪ دﻫﺪ‪ .‬ﺑـﺮاى ﭼﻨﻴﻦ ﺷﺨـﺼـﻰ‪،‬‬ ‫دﺳﺘﻪ ﺑﻨﺪى اﻳﻦ داﻧﺶ در ﻳـﻚ روش ﺳﺎﺧﺘﺎر ﻳﺎﻓﺘﻪ ى ﻣﻨﻄـﻘـﻰ‪ ،‬ﺑـﻪ‬ ‫ﻧﻈﺮ آﺳﺎن ﻣﻰ آﻳﺪ و اﻳﻦ ﺳﺒﺐ ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ آن رﻳﺎﺿﻰ دان‪ ،‬اﻳﻦ داﻧﺶ‬ ‫را ﻛﻪ در آن ﻣﻨـﻄـﻖْ ﻣﻮﺿـﻮع ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ اى ﻣﻰ ﺑـﺎﺷـﺪ‪ ،‬ﺑـﺮاى اراﺋﻪ ﺑـﻪ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﻔﻴﺪ ﺑﺪاﻧﺪ‪.‬‬ ‫از ﺳﻮى دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﺗﻌﺮﻳ‪ t‬ﻳﻚ ﻣـﻔـﻬـﻮم ﻣﻄﻠﺐ دﻳـﮕـﺮى اﺳﺖ‪.‬‬ ‫»ﺗﻌﺮﻳ‪ t‬ﻣﻔﻬﻮم« ﻋﺒـﺎرﺗﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺮاى ﻣﺸﺨﺺ ﻛﺮدن آن ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔﻴﺮد )ﺗﺎل و وﻳﻨﺮ‪.(١٩٨١ ،‬‬ ‫اﻳﻦ ﺗﻤﺎﻳﺰ واﺿﺢ‪ ،‬زﻣﺎﻧﻰ آﺷﻜﺎر ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻰ ﺷﻨﺎﺧﺘـﻰِ‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم ﻗﺪرﺗﻤﻨﺪى ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻗﺮار ﮔﻴﺮد‪ .‬ﺗﻌﺮﻳ‪ t‬ﻣﻔﻬﻮم ﻳﻚ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ اﻳﻦ ﻃﻮر ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ »ﻳﻚ راﺑﻄﻪ ﺑﻴﻦ دو ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ى ‪A‬‬ ‫و ‪ B‬ﻛﻪ در آن ﻫﺮ ﻋﻀﻮ ‪ A‬ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺎ ﻳﻚ ﻋﻀـﻮ ‪ B‬ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻣﻰ ﺷﻮد«‪ .‬اﻣﺎ‬ ‫ﺑﺮﺧﻮرد ﺑﺎ اﻳﻦ ﻣﻔﻬـﻮم‪ ،‬ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎى دﻳﮕـﺮى را ﻧﻴﺰ درﺑـﺮﻣﻰ ﮔﻴـﺮد‪ .‬ﺑﺮاى‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﻋﻤﻞ ﻛﻪ ﺑﺮاى ﻫﺮ ﻋﻨﺼﺮ ‪x‬‬ ‫در ‪ A‬ﻳﻚ ﻋﻨﺼـﺮ )‪ f(x‬را در ‪ B‬ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ ،‬ﻳـﺎ ﺑـﻪ ﻋـﻨـﻮان ﻳـﻚ‬ ‫ﻧﻤﻮدار‪ ،‬ﻳﺎ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﺟﺪول ﻣﻘﺎدﻳﺮ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺗﺠﺮﺑﻴﺎت و ﺑـﺮﺧﻮردﻫﺎى ﻓﺮد در ﻳﻚ زﻣﻴﻨﻪ ى ﺧﺎص‪ ،‬ﻣﻤﻜـﻦ‬ ‫اﺳﺖ ﺑﺎﻋﺚ ﺷﻮد ﺗﺼﻮرى ﻛﻪ او از ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﺳﺎﺧﺘﻪ اﺳﺖ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪ اى‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ وى‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ را ﻫﻤﻮاره ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﻓﺮﻣﻮل و ﻳﺎ ﺷﺎﻳﺪ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ‬ ‫از ﻳﻚ ﻓﺮﻣﻮل و ﺑﺎ ﺗﻌﺪادى ﻣﺘﻨﺎﻫﻰ ﻓﺮﻣﻮل در ﺑﺨﺶ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪،t‬‬



‫ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﻳﻜـﻰ از‬ ‫اﺳﺎﺳﻰﺗﺮﻳﻦ ﻣـﻔـﺎﻫـﻴـﻢ‬ ‫در رﻳﺎﺿﻴـﺎت ﺟـﺪﻳـﺪ ﺑـﻪ‬ ‫ﺷﻤﺎر ﻣﻰرود ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر‬ ‫ﻛﺎﻣﻞ‪ ،‬در ﺗﻤﺎﻣﻰ ﺣﻮزهﻫﺎ‬ ‫وارد ﺷـﺪه اﺳـﺖ‪ .‬اﻣـﺎ ﺑـﺎ‬ ‫وﺟﻮد ﭘﺎﻳﻪاى ﺑﻮدن اﻳﻦ‬ ‫ﻣـﻔــﻬــﻮم در رﻳــﺎﺿــﻰ‪،‬‬ ‫ﺗــﺤــﻘــﻴــﻘــﺎت ﻧــﺸـــﺎن‬ ‫ﻣـﻰدﻫــﺪ ﻛــﻪ ﻳــﻜــﻰ از‬ ‫ﻣﺸﻜﻞﺗﺮﻳﻦ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ در‬ ‫رﻳﺎﺿـﻴـﺎت ﻣـﺪرﺳـﻪاى‪،‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‬



‫در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮد‪.‬‬ ‫از ﻧﻈﺮ ﺗﺎل )‪ ،(١٩٨٨‬ﻣﻌﻘﻮل ﻧﻴﺴﺖ‬ ‫ﻛﻪ اﻧﺘﻈﺎر داﺷـﺘـﻪ ﺑـﺎﺷـﻴـﻢ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﻛﺎﻣﻼً ﻣﻨﻄﻘﻰ‪ ،‬از ﺗﻌﺎرﻳ‪ t‬ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫ﺻﺤﺒﺖ ﻛﻨـﻨـﺪ‪ ،‬ﺑـﺪون اﻳﻦ ﻛﻪ ﺗﺼـﻮرات‬ ‫ﻣﻔﻬﻮﻣﻰ ﺧﻮد را دﺧﺎﻟﺖ دﻫﻨﺪ‪ .‬او ﺑﻪ ﻧﻘﻞ‬ ‫از وﻳﻨﺮ )‪ (١٩٨٣‬ادﻋﺎ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ؛‬ ‫»‪ (١‬ﺑﺮاى دﺳﺖ ورزى ﺑﺎ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ‪ ،‬ﻓﺮد ﻧﻴﺎز ﺑﻪ ﻳﻚ ﺗﺼﻮر ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫دارد ﻧﻪ ﻳﻚ ﺗﻌﺮﻳ‪ t‬ﻣﻔﻬﻮم‪.‬‬ ‫‪ (٢‬ﺗﻌﺎرﻳ‪ t‬ﻣﻔﻬﻮم )زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﻣﻔﻬـﻮم ﺗﻮﺳﻂ ﻳﻚ ﺗﻌﺮﻳ‪ t‬ﺑﻴﺎن‬ ‫ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ( ﻏﻴـﺮﻓﻌﺎل ﺑﺎﻗﻰ ﺧـﻮاﻫﻨﺪ ﻣﺎﻧﺪ و ﺣﺘﻰ ﻣﻤﻜـﻦ اﺳـﺖ ﺑـﻪ‬ ‫ﻓﺮاﻣﻮﺷﻰ ﺳﭙﺮده ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬اﻣﺎ در ﻓﺮآﻳﻨﺪ ﻓﻜﺮ ﻛﺮدن‪ ،‬اﻳﻦ ﺗﺼﻮر ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﻤﻴﺸﻪ ﻓﺮاﺧﻮاﻧﺪه ﻣﻰ ﺷﻮد« )ص ‪.(٤‬‬ ‫ﺗﺎل )‪ (١٩٨٨‬اﻇﻬﺎر ﻣﻰ دارد ﻛﻪ ﺑﺎ ﭼﻨﻴﻦ ادﻋﺎﻳﻰ‪ ،‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ‬ ‫اﻳﻦ ﺳـﺆال ﻣـﻄـﺮح ﺷﻮد ﻛﻪ »ﭼﻪ ﻃـﻮر در ﺑـﻴـﻦ اﻧـﻮاع ﻣﺨﺘـﻠـﻔـﻰ از‬ ‫ش ﻣﺸﺨﺺ ﻣﻰ ﺗﻮان اراﺋﻪ ﻛﺮد ﻛﻪ ﺑﺎﻋﺚ‬ ‫ﺗﺼﻮرات ﻣﻔﻬﻮم‪ ،‬ﻳﻚ رو ِ‬ ‫رﺷﺪ و ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ در ﻳﺎدﮔﻴﺮى و ﻳﺎددﻫﻰ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺷﻮد؟«‬ ‫وى در ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻴﺎن ﻣـﻰ دارد ﻛﻪ ﺗﻨﻮع ﺗﺼـﻮرات ﻣﻔﻬﻮم در ﻓﺮد‪،‬‬ ‫ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ ﭘﻴﺶ ﺑﺮدن داﻧﺶ رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ ﻳﻚ روش رﺳﻤﻰ‪ ،‬ﺑﻪ‬ ‫ﺳﺎدﮔﻰ اﻣﻜﺎن ﭘﺬﻳﺮ ﻧﻴﺴﺖ و ﺟﺎﻳﮕﺰﻳـﻦ اﻳـﻦ روش‪ ،‬دادن ﻓﺮ ِ‬ ‫ﺻﺖ‬ ‫ﭘﻴﺪا ﻛﺮدن ﺗﺠﺮﺑﻴﺎت ﻏﻨﻰ ﺗﺮ ﺑﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان اﺳﺖ ﺑﻪ ﻃﻮرى ﻛﻪ آن ﻫﺎ‬



‫‪٢٥‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫را ﻗﺎدر ﻛﻨﺪ ﺗﺼﻮرات ﻣﻨﺴﺠﻢ ﺗﺮى را از ﻳﻚ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺸﻜﻴﻞ دﻫﻨﺪ‪.‬‬ ‫از ﻧﻈـﺮ ﺗـﺎل‪ ،‬اﻳـﻦ ﻛـﺎر ﺑـﻪ ﺳـﺎدﮔـﻰ ﻗـﺎﺑـﻞ اﻧـﺠـﺎم ﻧـﻴـﺴـﺖ و‬ ‫درﺑﺮﮔﻴﺮﻧﺪه ى اﻳﺠﺎد ﺗﻌﺎدﻟﻰ ﺑﻴﻦ اﻧﻮاﻋﻰ از ﻣﺜﺎل ﻫﺎ و ﻧﺎﻣﺜﺎل‪١٧‬ﻫﺎﺳﺖ‬ ‫ﻛﻪ ﻫﺮ دو‪ ،‬ﻻزﻣﻪ ى اﻳﺠﺎد ﺗﺼﻮر ﻣﻨﺴﺠﻤﻰ از ﻳﻚ ﻣﻔﻬﻮم اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﭼـﺮا ﺗـﻌـﺮﻳـ‪g‬ﻫـﺎى ﻣـﻔـﻬـﻮم ﺑـﺮاى داﻧـﺶآﻣـﻮزان ﻗـﺎﺑـﻞ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ؟‬ ‫ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى وﻳﻨﺮ و درﻳﻔـﻮس )‪ ،(١٩٨٩‬ﺗﻤﺎم‬ ‫ﻣـﻐـﺰ اﻧــﺴــﺎن‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿـﻰ ﺑـﻪ ﺟـﺰ ﻣـﻔـﺎﻫـﻴـﻢ اوﻟﻴـﻪ‪ ،‬داراى‬ ‫ﻳﻚ واﺣﺪ ﻣﻨﻄﻘـﻰ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ‪ t‬رﺳﻤﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﺴﻴﺎرى از آن ﻫﺎ ﻳﻚ ﻳﺎ‬ ‫ﺻـﺮف ﻧـﻴـﺴــﺖ و‬ ‫ﭼﻨﺪ ﺑﺎر ﺑﻪ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﻣﻌـﺮﻓﻰ ﻣﻰ ﺷـﻮﻧﺪ‪ .‬در‬ ‫ﺷـــــــــﻴــــــــــﻮهى‬ ‫ﻻ داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﺑﺮاى ﺗﺸﺨﻴـﺺ‬ ‫ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ ﻣﻌـﻤـﻮ ً‬ ‫ﭘﻴﭽﻴﺪهى ﻛـﺎرﻛﺮد‬ ‫اﺷﻴﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻳﻚ ﻣﺜﺎل ﻳﺎ‬ ‫آن ﻏﺎﻟﺒـﺎً ﺑﺎ ﻣﻨﻄـﻖ‬ ‫ﻧﺎﻣﺜﺎل از آن ﻣﻔـﻬـﻮم‪ ،‬ﻋﻤـﻼً ﺗﻌﺮﻳـ‪ t‬را اﺳﺘﻔـﺎده‬ ‫رﻳﺎﺿـﻰ ﻣـﺘـﻔـﺎوت‬ ‫ﻧﻤﻰ ﻛﻨﻨﺪ و در ﺑﺴﻴـﺎرى از ﻣﻮارد‪ ،‬ﺑﺮ ﻣﺒﻨﺎى ﻳـﻚ‬ ‫اﺳــﺖ‪ .‬ﻟــﺬا اﻳـــﻦ‬ ‫ﺗﺼﻮر ﻣﻔﻬﻮم‪ ،‬ﺗﺼﻤﻴﻢ ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫ﻣــﻨـــﻄـــﻖ ﺻِـــﺮف‬ ‫آن ﻫﺎ ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ اﻇﻬﺎر ﻣﻰ دارﻧﺪ »ﺗﺼﻮر ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫ﻧﻴـﺴـﺖ ﻛـﻪ ﺑـﻪ ﻣـﺎ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮز‪ /‬داﻧﺸﺠﻮ از ﻳـﻚ ﻣـﻔـﻬـﻮم‪ ،‬ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﺑﻴﻨﺶ ﻣﻰدﻫﺪ‬ ‫ﺗﺠﺮﺑﻪ ى وى ﺑﺎ ﻣﺜﺎل ﻫﺎ و ﻧﺎﻣﺜﺎل ﻫﺎﻳﻰ از آن ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬درﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﺠﻤـﻮﻋﻪ ى اﺷﻴﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﻛـﻪ‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ داﻧﺶ آﻣﻮز‪ /‬داﻧﺸﺠﻮ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ﻫﺎﻳﻰ از ﻣﻔﻬﻮم در ﻧﻈـﺮ‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد‪ ،‬اﻟـﺰاﻣﺎً ﻫﻤﺎن ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ى اﺷﻴﺎء رﻳﺎﺿﻰ ﻛﻪ ﺗـﻮﺳﻂ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ‪ t‬ﻣﻌﻴـﻦ ﻣـﻰ ﺷـﻮد‪ ،‬ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬اﮔﺮ اﻳﻦ دو ﻣﺠـﻤـﻮﻋﻪ ﻳﻜﺴـﺎن‬ ‫ﻧﺒﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ رﻓﺘﺎر ]ذﻫﻨﻰ[ داﻧﺶ آﻣﻮز‪ /‬داﻧﺸﺠﻮ ﺑﺎ آن ﭼﻪ‬ ‫ﻛﻪ ﻣﻮرد اﻧﺘﻈﺎر ﻣﻌﻠﻢ اﺳـﺖ‪ ،‬ﻓـﺮق داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ« )ص ‪ .(٣٥٦‬ﺑﻪ‬ ‫ﻣﻨﻈﻮر اﻳﺠـﺎد ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ اﻳﻦ دو ﻣﺠﻤـﻮﻋﻪ‪ ،‬ﻻزم اﺳﺖ ﺑﺪاﻧﻴﻢ ﻛﻪ‬ ‫ﭼﺮا اﻳﻦ ﻳﻜﺴﺎﻧـﻰ وﺟﻮد ﻧﺪارد‪ .‬درﻧﺘﻴﺠﻪ‪ ،‬ﺑـﺮاى رﻓﻊ اﻳﻦ ﻣﺸﻜـﻞ‪،‬‬ ‫ﺑﺎﻳﺴﺘﻰ ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﭼﺮاﻳﻰ ﭼﻨﻴﻦ اﺗﻔﺎﻗﺎﺗﻰ ﺑﺮوﻳﻢ‪.‬‬ ‫در ﺑﻴﻦ روﻳﻜﺮدﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺑﺮاى ﺷﻨﺎﺧﺖ ﺳﺎز و ﻛـﺎرﻫﺎى ﻏﺎﻟﺐ‬ ‫در ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻰ ﻋـﺮﺿﻪ ﺷﺪه اﻧﺪ‪ ،‬ﻳﻚ ﻣﺪل ﻣﻔﻬﻮﻣﻰ‬ ‫‪١٨‬‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ ﺗﺎل و وﻳﻨـﺮ )‪ (١٩٨١‬اراﻳﻪ ﺷﺪه ﻛﻪ ﺷﺎﻣﻞ دو ﻣﺠﻤـﻮﻋـﻪ‬ ‫»ﺗﺼﻮرِ ﻣﻔﻬﻮم« و »ﺗﻌﺮﻳ‪ t‬ﻣﻔﻬﻮم« ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر اﻳﺠﺎد ﺗﻤﺎﻳﺰ ﺑﻴﻦ اﻳﻦ‬ ‫دو اﺳﺖ‪ .‬اﻟﺒﺘﻪ‪ ،‬ﻫﻢ ﭼﻨﺎن ﻛﻪ وﻳـﻨـﺮ و درﻳـﻔـﻮس )‪ (١٩٨٩‬ﺑﻴﺎن‬ ‫داﺷﺘﻪ اﻧﺪ‪ ،‬ﺑﻌﻀﻰ از ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿـﻰ داراى ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎى ﮔﺮاﻓﻴﻜﻰ‬ ‫ﻗﻮى ﺗﺮى ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﺑﻌﻀﻰ دﻳﮕﺮ ﭼﻨﻴﻦ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ و اﻳﻦ ﺗﻔﺎوت‪ ،‬ﻧﻮع‬ ‫ﺗﺼﻮرات ﻣﻔﻬـﻮم ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ آن ﻫﺎ را ﻣﺘﻔـﺎوت ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﻣﺜـﻼً ﺑﺮاى‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻤﻰ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺟـﺒـﺮى ﻛـﻪ داراى ﺟﻨﺒﻪ ى ﮔﺮاﻓﻴﻜﻰ ﻗـﻮى‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫‪٢٦‬‬



‫ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﺗﺼـﻮرِ ﻣﻔﻬـﻮم ﺷﺎﻣﻞ ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻧﻤﺎدﻳﻦ ﻳـﺎ ﻓـﺮﻣﻮﻟﻰ‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻼوه ى ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اى از ﺗﻤﺎم وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ آن ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫در ﺻﻮرﺗﻰ ﻛﻪ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﻋﻼوه ﺑﺮ ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎى ﮔـﺮاﻓﻴﻜﻰ ﻗﻮى‪،‬‬ ‫داراى ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎى ﻏﻴـﺮ ﮔـﺮاﻓﻴﻜﻰ ﻗـﻮى ﻧﻴﺰ ﻫﺴﺖ و ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان ﻳﻚ‬ ‫ﻣﻔﻬـﻮم زﻳﺮﺑﻨﺎﻳﻰ رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬از ﭘﻴﭽﻴﺪﮔـﻰ ﻫـﺎى زﻳـﺎدى ﺑـﺮﺧﻮردار‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﻔـﻬـﻮم ﺗـﺎﺑـﻊ در رﺷﺘﻪ ى رﻳـﺎﺿـﻰ و ﻓـﻴـﺰﻳـﻚ دﺑـﻴـﺮﺳـﺘـﺎن در‬ ‫ﻛﺘﺎب ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ ‪) ٢‬ﻣﻌﺮﻓﻰ اوﻟﻴﻪ(‪ ،‬ﺣﺴﺎﺑﺎن و ﺣﺴﺎب دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ‬ ‫و اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻰ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫در ﻛـﺘـﺎب ﺣـﺴـﺎﺑـﺎن‪ ،‬ﺑـﺮاى ﺗـﻌـﺮﻳـ‪ t‬ﻣـﻔـﻬـﻮم ﺗـﺎﺑـﻊ‪ ،‬اﺑـﺘـﺪا‬ ‫ﻓﺮﺻﺖ ﻫﺎى ﻣﺘﻌﺪدى ﺑـﺮاى ﺳﺎﺧﺘﻦ ﺗﺼﻮراﺗﻰ از ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﺑـﺮاى‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻓﺮاﻫﻢ ﺷﺪه اﺳﺖ و ﺳﭙﺲ ﺗﻌﺮﻳ‪ t‬رﺳﻤﻰ اراﺋﻪ ﮔﺮدﻳﺪه‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ ﻧﻮع ورود ﺑﻪ ﻣﺒﺤﺚ ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﻫﻢ ﺳﻮ ﺑﺎ ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎى ﺗﺤﻘﻴﻘﻰ‬ ‫در ﻣﻮرد ﭼﮕـﻮﻧﮕﻰ ﺗـﻮﺳﻌﻪ ى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻰ در داﻧـﺶ آﻣـﻮزان‪/‬‬ ‫داﻧﺸﺠﻮﻳﺎن اﺳﺖ و ﺑﺎ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﻘﺶ ﻣـﺮﺟﻌﻰ ﻛﻪ ﻛﺘﺎب درﺳﻰ در‬ ‫ﻧﻈﺎم ﻣﺘﻤـﺮﻛﺰ آﻣﻮزﺷﻰ اﻳـﺮان دارد‪ ،‬ﻣﻰ ﺗﻮان اﻣﻴـﺪوار ﺑﻮد ﻛﻪ ﭼﻨﻴﻦ‬ ‫ورودى ﺑﻪ ﻣﻄﻠﺐ ﺑﺘﻮاﻧﺪ ﺗﺼﻮر ﻣﻔﻬﻮم داﻧﺶ آﻣﻮزان را ﺗﻘﻮﻳﺖ ﻛﻨﺪ‬ ‫و زﻣﻴﻨﻪ ى ﻣﺴﺎﻋﺪى ﺑﺮاى ﻓﻬﻤﻴﺪن ﺗﻌﺮﻳ‪ t‬ﻣﻔﻬﻮم ﻓﺮاﻫﻢ آورد‪ .‬اﻣﺎ‬ ‫ﺗﺠﺮﺑﻪ ى ﺗﺪرﻳﺲ ﻧﮕﺎرﻧﺪه ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ داﻧﺸﺠﻮﻳﺎن در راﺑﻄﻪ ﺑﺎ‬ ‫درك ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ در داﻧﺸﮕﺎه‪ ،‬دﭼﺎر ﻣﺸﻜﻞ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﭼﺮا ﺷﻨﺎﺧﺖ ﺗﺼﻮر ﻣﻔﻬﻮم داﻧﺶآﻣﻮزان‪ ،‬اﻫﻤﻴﺖ دارد؟‬ ‫ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى آﻳﺰﻧﺒﺮگ )‪ ،(١٩٩١‬ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﻳﻜﻰ از اﺳﺎﺳﻰ ﺗﺮﻳﻦ‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ در رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺟﺪﻳﺪ ﺑﻪ ﺷﻤﺎر ﻣﻰ رود ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻛﺎﻣﻞ‪ ،‬در‬ ‫ﺗﻤﺎﻣﻰ ﺣﻮزه ﻫﺎ وارد ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬اﻣﺎ ﺑﺎ وﺟﻮد ﭘﺎﻳﻪ اى ﺑﻮدن اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫در رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ ﻳـﻜـﻰ از ﻣـﺸـﻜـﻞ ﺗـﺮﻳـﻦ‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ در رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻣﺪرﺳﻪ اى‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫درﻳﻔﻮس و آﻳﺰﻧﺒﺮگ‪ (١٩٨٢) ١٩‬ﺑﻪ ﻧﻘﻞ از ﺑﻮﻳﺮ )‪ (١٩٤٦‬ﺑﻴﺎن‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ ﻣﺘﺨﺼﺼﺎن ﺗﺎرﻳﺦ رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻴﺎن داﺷﺘﻪ اﻧﺪ ﻛـﻪ ﻣـﻌـﺮﻓﻰ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ در ﻗـﺮن ‪ ،١٧‬اﺛﺮ ﺑﻰ ﻧﻬـﺎﻳـﺖ ﺳـﻮدﻣﻨﺪى ﺑـﺮ رﺷﺪ و ﮔﺴـﺘـﺮش‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت داﺷﺖ‪ .‬آن ﻫﺎ دﻟﻴﻞ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠـﻪ را ﻣﺎﻫﻴﺖ ﻳﮕﺎﻧﻪ ى ﺗﺎﺑـﻊ‬ ‫ﻣﻰ داﻧﻨﺪ و ﻣﺜﺎﻟﻰ ﻛﻪ ﻣﻰ آورﻧﺪ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺑﺴﻴﺎرى از ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎى‬ ‫درﺳﻰ ﻣﺪرﺳﻪ اى‪ ،‬ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺟﺒﺮ‪ ،‬ﻣﺜﻠﺜﺎت و ﻫﻨﺪﺳﻪ ﮔﺮه ﺧﻮرده‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم در ﺗﻤﺎﻣﻰ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺷﺒﻴﻪ رﻳﺴﻤﺎﻧﻰ‪ ،‬رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﻣﺪرﺳﻪ اى را ﺑﻪ ﻫﻢ ﻣﺘﺼﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ از ﻣﻔﺎﻫﻴﻤﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ از ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎى ﻣﺨـﺘـﻠـ‪t‬‬ ‫ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﻪ آن ﺗـﻮﺟﻪ ﻛﺮد‪ .‬ﻣﺜﻼً در ﺳﻄﺢ ﺗﻌﺮﻳ‪ ،t‬ﻣﻔـﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ را‬



‫ﻣﻰ ﺗﻮان در زﻣﻴﻨﻪ ﻫﺎى ﻣﺘﻌﺪدى از ﻃﺮﻳﻖ ﻧﻤﻮدار‪ ،‬ﺟﺪول‪ ،‬ﺗﻮﺻﻴ‪t‬‬ ‫ﺟﺒﺮى ﻳﺎ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﺟﻌﺒﻪ ى ورودى ـ ﺧﺮوﺟﻰ‪ ،‬ﺟﻔﺖ ﻫﺎى ﻣﺮﺗﺐ‬ ‫و ﻣﺎﻧﻨﺪ اﻳﻦ ﻫﺎ ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻛﺮد‪ .‬ﻟﺬا اﻧﺘﻈﺎر ﻣﻰ رود ﻛﻪ ﺷﻨﺎﺳﺎﻳﻰ ﺗﺼﻮرات‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم و ﺗﻌﺎرﻳ‪ t‬ﻣﻔﻬـﻮم داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ /‬داﻧﺸﺠﻮﻳﺎن‪ ،‬ﺑﻪ ﺷﻨﺎﺧﺖ‬ ‫ﻓﻬـﻢ و درك آن ﻫﺎ از ﺗﺎﺑﻊ ﻛﻤﻚ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﻫﻢ ﭼﻨـﻴـﻦ‪ ،‬ﺑـﻪ ﺳـﺒـﺐ اﻳـﻦ‬ ‫ﺷﻨﺎﺳﺎﻳﻰ‪ ،‬ﻣﻌﻠﻤﺎن و ﻣﺆﻟﻔﺎن ﻛﺘﺎب ﻫـﺎى درﺳﻰ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﻣﺜﺎل ﻫﺎ‬ ‫و ﻧﺎﻣـﺜـﺎل ﻫـﺎى اﻳـﻦ ﻣـﻔـﻬـﻮم را‬ ‫ﻃـﻮرى ﺳﺎزﻣﺎن دﻫﻰ ﻛﻨـﻨـﺪ ﻛـﻪ‬ ‫ﻣــﺎ از اﺻـــﻄـــﻼح‬ ‫ﺗﺼـﻮرات ﻣﻔﻬﻮم داﻧﺶ آﻣـﻮزان‬ ‫»ﺗﺼﻮر ﻣﻔﻬﻮم« ﺑﺮاى‬ ‫ﺗـــــــــﻮﺻـــــــــﻴـــــــــ‪ g‬ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﺗﻌﺮﻳ‪ t‬ﻣـﻔـﻬـﻮم ﺗﺎﺑـﻊ‬ ‫ﻧﺰدﻳﻚ و ﻧﺰدﻳﻚ ﺗﺮ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺳـﺎﺧــﺘــﺎرﺷـﻨـﺎﺧــﺘــﻰ‬ ‫ﺑﻪ اﻋﺘﻘﺎد وﻳﻨﺮ )‪،(١٩٨٣‬‬ ‫ﻛـﻠــﻰاى ﻛــﻪ ﺑــﺎ ﻳــﻚ‬ ‫در اﻫﻤﻴﺖ ﺑﺮرﺳﻰ ﺗﺼﻮرات و‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم در ﭘﻴﻮﻧﺪ اﺳﺖ‬ ‫ﺗﻌﺎرﻳ‪ t‬ﻣﻔـﻬـﻮم‪ ،‬ﻣﻰ ﺗـﻮان ﺑﻪ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ ﻛـﻪ‬ ‫اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ اﺷـﺎره ﻛـﺮد ﻛﻪ ﮔﺎﻫﻰ‬ ‫ﺗﻤﺎﻣﻰ ﺗﺼﺎوﻳﺮ ذﻫﻨﻰ‬ ‫اوﻗﺎت‪ ،‬وﻗﺘﻰ از داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫و وﻳـــــﮋﮔـــــﻰﻫــــــﺎ و‬ ‫ﺧـﻮاﺳﺘﻪ ﻣـﻰ ﺷـﻮد ﺑﻪ ﺗـﻮﺿﻴـﺢ‬ ‫ﻓﺮآﻳﻨﺪﻫـﺎى ﻣـﺮﺗﺒﻂ ﺑـﺎ‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺳﺎده اى ﻣﺎﻧﻨﺪ زاوﻳﻪ ى‬ ‫آن ﻣــــــﻔــــــﻬــــــﻮم را‬ ‫ﻗﺎﺋﻤﻪ‪ ،‬ﻣﺤـﻮر ﻣـﺨـﺘـﺼـﺎت‪،‬‬ ‫درﺑﺮﻣﻰﮔﻴﺮد‬ ‫ارﺗﻔﺎع در ﻳﻚ ﻣﺜﻠﺚ و ﻣﺸـﺎﺑـﻪ‬ ‫آن ﺑﭙﺮدازﻧﺪ‪ ،‬اﻏﻠﺐ اﻳﻦ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ‬ ‫اوﻟﻴﻪ را ﻧﻤﻰ ﺷﻨﺎﺳﻨﺪ ﻳﺎ ﺗﺼﻮرات ﻧﺎدرﺳﺘﻰ از آن ﻫﺎ دارﻧﺪ‪ .‬وﻳﻨﺮ‪،‬‬ ‫در اداﻣﻪ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺗﺼﻮرات ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻧﺘﻴﺠﻪ ى‬ ‫ﺑﺮﺧﻮرد ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪه ﻫﺎ ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ى ﺧﺎﺻﻰ از ﻣﺜﺎل ﻫﺎ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ در‬ ‫آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺪرﺳﻪ اى ﺑﻪ آن ﻫﺎ اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺪﻳﻦ ﺟﻬﺖ‪،‬‬ ‫ﺑﻪ ﺟﺎى اﻳﺠﺎد ﺗﺼﻮرات ﺻﺤﻴﺢ و ﻏﻨﻰ از آن ﻣﻔﻬﻮم‪ ،‬ﺑﺮاى آن ﻫﺎ‬ ‫در ﺣﺪ ﻳﻚ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﺎﻗﻰ ﻣﺎﻧﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ اﻳﻦ دﻟﻴﻞ‪ ،‬آﺷﻜﺎر ﻛﺮدن‬ ‫ﺗـﺼـﻮرات ﻣـﻔـﻬـﻮم داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﺑﺮاى ﺗـﺪرﻳـﺲ ﻣـﻬـﻢ اﺳـﺖ و‬ ‫ﻛﺎرﺑـﺮدﻫﺎى ﻣﺴﺘﻘﻴـﻤـﻰ در آﻣـﻮزش دارد‪ ،‬زﻳﺮا ﻫﻢ ﺑـﺮاى ﻣﻌﻠـﻢ‪،‬‬ ‫ﺷﻨﺎﺧﺖ ﺑﻬﺘـﺮى از داﻧﺶ آﻣـﻮزان و ﻧﻮع ﻓﻬـﻢ و درك آن ﻫﺎ اﻳﺠﺎد‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﺪ و ﻫﻢ ﺑﺎﻋﺚ ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن‪ ،‬اﺻﻼﺣﺎﺗﻰ در ﺗﺪرﻳﺲ‬ ‫ﺧﻮد اﻧﺠﺎم دﻫﻨﺪ ﻛﻪ از ﺷﻜﻞ ﮔﻴﺮى ﭼﻨﻴﻦ ﺗﺼﻮرات ﻣﻔﻬﻮﻣﻰ اﺷﺘﺒﺎه‬ ‫ﺟﻠـﻮﮔﻴـﺮى ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺑﺎﻻﺧـﺮه ﺗـﻮﺟﻪ و دﻗﺖ ﻣﻌﻠـﻢ را ﻧﺴﺒﺖ ﺑـﻪ ﻧـﻮع‬ ‫ﻣﺜﺎل ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻧﻴﺰ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﭘﻰﻧﻮﺷﺖ‬ ‫* اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬از ﭘﺎﻳﺎن ﻧﺎﻣﻪ ى ﻛـﺎرﺷﻨﺎﺳﻰ ارﺷﺪ ﻧﮕﺎرﻧﺪه ﻛﻪ ﺑﺎ راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ دﻛﺘـﺮ زﻫﺮا ﮔﻮﻳﺎ ﺗﺪوﻳﻦ ﺷﺪه‬ ‫اﺳﺖ‪ ،‬اﺳﺘﺨﺮاج ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪1. Hana‬‬ ‫‪2. Eisenberg‬‬



‫‪ .٣‬ﺑﺪﻳﻦ ﻣﻌﻨﻰ ﻛﻪ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ در ﻫﻤﻪ ﺟﺎى رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻣﺪرﺳﻪ اى وﺟﻮد دارد و از دوره ى اﺑﺘﺪاﻳﻰ ﺗﺎ‬ ‫ﭘﻴﺶ داﻧﺸﮕﺎﻫﻰ‪ ،‬ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت ﻣﺨﺘﻠ‪ t‬رﻳﺎﺿﻰ را ﺑﻪ ﻫﻢ ﻣﺘﺼﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪4. Adie‬‬ ‫‪5. Beberman‬‬ ‫‪6. Begle‬‬ ‫‪7. Fehr‬‬ ‫‪8. Kline‬‬ ‫‪9. Mac Lance‬‬ ‫‪10. Wilder‬‬ ‫‪11. Buck‬‬ ‫‪12. Giraldo‬‬ ‫‪13. Vinner‬‬ ‫‪14. Harel‬‬ ‫‪15. Concept Image‬‬ ‫‪16. Concept Definition‬‬ ‫‪ :non-examples .١٧‬ﻣﺜﺎل ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ در ﺗﻌﺮﻳ‪ t‬ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﻧﻤﻰ ﮔﻨﺠﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪ .١٨‬وﻳﻨﺮ )‪ (١٩٨٣‬آن ﻫﺎ را ﺑﺎ ﻋﻨﻮان دو ﺳﻠﻮل در ﻧﻈﺮ ﻣﻰ ﮔﻴﺮد‪.‬‬ ‫‪19. Dreyfus & Eisenberg‬‬ ‫‪20. Boyer‬‬



‫ﻣﻨﺎﺑﻊ‬ ‫‪ .١‬ﺧﺴﺮوﺷﺎﻫﻰ‪ ،‬ﻟﻴﻼ‪ .(١٣٨٦) .‬رﻳﺎﺿﻴﺎت اﺻﻞ ﻣـﻮﺿﻮﻋﻰ؛ ﻗﺎﻟﺒﻰ ﻧﺎﻣﻨﺎﺳﺐ‪ ،‬اﻣﺎ ﻣﻮﺿﻮﻋﻰ‬ ‫ﻣﻨﺎﺳـﺐ ﺑـﺮاى آﻣﻮزش‪ .‬ﻣﺠﻠـﻪ‪+‬ى رﺷﺪ آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿـﻰ‪ .‬ﺷﻤـﺎره ى ‪ ،٨٧‬ﺻﺺ ‪ ٣٩‬ﺗﺎ ‪ .٤٧‬دﻓﺘـﺮ‬ ‫اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬وزارت آﻣﻮزش و ﭘﺮورش‪.‬‬ ‫‪2. Dreyfus, T., & Eisenberg, T. (1982). ‘Intuitive functional concepts:‬‬ ‫‪A baseline study on intuitions’. Journal for Research in Mathematics‬‬ ‫‪Education, Vol. 13, pp. 360-380.‬‬ ‫‪3. Eisenberg, T. (1991). ‘Function and associated learning difficulties’.‬‬ ‫‪in Tall D. (ed.) Advanced Mathematical Thinking., Kluwer: Holand,‬‬ ‫‪pp. 140-152.‬‬ ‫‪4. Giraldo, V. (2006). ‘Concept images, cognitive roots and conflicts:‬‬ ‫‪Building an alternative approach to calculus’. Presented at Charles‬‬ ‫‪University, Prague in Retirement as Process and concept; A festschrift‬‬ ‫‪for Eddie Gray and David Tall, pp. 91-99.‬‬ ‫‪5. Harel, G. (2004). Perspective on "Concept Image and Concept‬‬ ‫‪Definition in Mathematics with Particular Reference to Limits and‬‬ ‫‪Continuity". In Carpenter, T., Dossey, J., Koehler, J (Ed.), Classics in‬‬ ‫‪Mathematics Education Research. The National Council of Teachers‬‬ ‫‪of Mathematics, INC. pp. 98-108.‬‬ ‫‪6. Poincaré, H. (1908) Science et Méthode, Kimé, Paris 1999.‬‬ ‫‪7. Tall D., (1988). ‘Concept Image and Concept Definition’, Senior‬‬ ‫‪Secondary Mathematics Education, (ed. Jan de Lange, Michel‬‬ ‫‪Doorman), OW & OC Utrecht, pp. 37-41.‬‬ ‫‪8. Tall, D. (Ed.), (1991). The Psychology of Advanced Mathematical‬‬ ‫‪Thinking, in Tall D. (ed.) Advanced Mathematical Thinking, Kluwer:‬‬ ‫‪Holand, pp. 3-21.‬‬ ‫‪9. Tall, D. O. & Vinner, S., (1981). ‘Concept image and concept‬‬ ‫‪definition in mathematics with particular reference to limits and‬‬ ‫‪continuity’, Educational Studies in Mathematics, Vol. 12, No. 2, pp.‬‬ ‫‪151-169.‬‬ ‫‪10. Vinner, S. & Dreyfus T., (1989). ‘Images and Definitions for the‬‬ ‫‪Concept of Function’, Journal for Research in Mathematics Education,‬‬ ‫‪Vol. 20, No. 4, pp. 356-366.‬‬ ‫‪11. Vinner, S., (1983), ‘Concept definition, concept image and the‬‬ ‫‪notion of function’, International Journal of Mathematical Education‬‬ ‫‪in Science and Technology, Vol. 14, pp. 239-305.‬‬ ‫‪12. Vinner, S. (1991), ‘The role of definition in the teaching and‬‬ ‫‪learning of mathematics'. in Tall D. (ed.) Advanced Mathematical‬‬ ‫‪Thinking., Kluwer: Holand, pp. 65-81.‬‬



‫‪٢٧‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫● ﻋﻠﻰ ﻏﻼﻣﻴﺎن‬ ‫ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺤﺾ و دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺠﺴﺘﺎن‬



‫)‪(١‬‬ ‫اﺷﺎره‬ ‫ﻣـﻄـﻠـﺐ ﺣـﺎﺿـﺮ ﺿـﻤـﻦ ﻣـﻌــﺮﻓـﻰ ﺗـﻮاﺑـﻊ ﻣـﺤـﺪب‪ ،‬ﺑـﺮﺧـﻰ‬ ‫ﻧﺎﻣﺴﺎوى



ﻫﺎى ﻣﻬﻢ را ﺑﻪ ﻛﻤﻚ اﻳﻦ ﺗﻮاﺑﻊ اﺛﺒﺎت ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ‬ ‫در دو ﺑﺨﺶ ﺗﻨﻈﻴﻢ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑـﺨـﺶ اول آن را در اﻳﻦ ﺷﻤﺎره‬ ‫ﻣﻰ ﺧﻮاﻧﻴﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺤـﺪب اﺑـﺰار ﻗﺪرﺗﻤﻨـﺪى ﺑـﺮاى اﺛﺒـﺎت رده ى ﺑﺰرﮔﻰ از‬ ‫ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻫﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻗﺼﺪ دارﻳﻢ ﺷﻤﺎ را ﺑﺎ اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع‬ ‫ﻨﺴـﻦ‬ ‫آﺷﻨﺎ ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬از اﻳﻦ رو‪ ،‬ﻧﺨﺴﺖ ﺑﻪ ﺑﻴﺎن ﻧـﺎﻣـﺴـﺎوى ﻣﺸﻬـﻮر ِﻳ ِ‬ ‫ﻣﻰ ﭘـﺮدازﻳﻢ و ﺳـﭙـﺲ آن را ﺑﺎ اﺳـﺘـﻔـﺎده از ﺗـﻮاﺑﻊ ﻣﺤـﺪب اﺛـﺒـﺎت‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺤﺪب‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻣﻘـﺪارِ ‪ f‬روى ﺑﺎزه ى ‪ ،I‬ﻣﺤﺪب‪ ١‬ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻰ ﺷﻮد‬ ‫ﻫﺮﮔﺎه ﺑﺮاى ﻫﺮ ‪ y ∈I‬و ‪ x‬و ]‪ λ ∈[0,1‬؛‬ ‫)‪(١‬‬ ‫)‪f (λx + (1− λ)y) ≤ λf (x) + (1− λ)f (y‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬را اﻛﻴﺪاً ﻣﺤﺪب ﻣﻰ ﻧﺎﻣﻴﻢ ﻫﺮﮔﺎه ﺑﺮاى ﻫﺮ ‪ y ∈I‬و ‪ x‬ﻛﻪ‬ ‫‪ x ≠ y‬و )‪ λ ∈(0,1‬؛‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫)‪f (λx + (1− λ)y) < λf (x) + (1− λ)f (y‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺗﻮﺟـﻪ‪ f :‬ﻣﻘﻌﺮ )اﻛﻴـﺪاً ﻣﻘﻌـﺮ ( روى ‪ I‬ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣـﻰ ﺷـﻮد اﮔﺮ ‪ f‬ـ‬ ‫روى ‪ I‬ﻣﺤﺪب )اﻛﻴﺪاً ﻣﺤﺪب( ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬



‫ﻣﻔﻬﻮم ﻫﻨﺪﺳﻰ ﺗﺤﺪّب‬ ‫‪ f‬ﻛﺎﻣـﻼً ﻣﺤﺪب اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨـﻬـﺎ اﮔـﺮ ﺑـﺮاى ﻫﺮ دو ﻧﻘـﻄـﻪ ى‬ ‫))‪ P = (x, f (x‬و ))‪ Q = (y, f (y‬روى ﻧﻤـﻮدار ‪ f‬و ﺑـﻪ ازاى ﻫـﺮ ‪z‬‬ ‫ﺑﻴﻦ ‪ x‬و ‪y‬؛ ﻧﻘﻄﻪ ى ))‪ R = (z, f (z‬زﻳﺮ ﭘﺎره ﺧﻂ ‪ PQ‬ﻗﺮار ﮔﻴﺮد‪.‬‬



‫ﻧﻤﻮدار ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺤﺪب‬



‫ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺤﺪب را ﺑﺪون ﻛﺸﻴﺪن ﻧﻤﻮدار آن‪ ،‬ﺗﺸﺨﻴﺺ‬ ‫دﻫﻴﻢ؟‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫‪٢٨‬‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫ﺑﺮاى ﺗﺸﺨﻴﺺ ﻣﺤـﺪب ﺑـﻮدن ﻳﺎ ﻧﺒـﻮدن ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﻴـﻢ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎً از )‪ (١‬اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬اﻣﺎ آزﻣـﻮن زﻳﺮ اﻏﻠﺐ اوﻗﺎت ﺑﺴﻴﺎر‬ ‫ﻣﻔﻴﺪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫آزﻣﻮن ﺗﺤﺪّب ﺗﻮاﺑﻊ‬ ‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ‪ f‬ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ دو ﺑﺎر ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﻳﺮ روى ﺑﺎزه ى ‪ I‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫در اﻳﻦ ﺻﻮرت‬ ‫● ‪ f‬روى ‪ I‬ﻣﺤﺪب اﺳﺖ‪ ،‬اﮔﺮ ﺑﺮاى ﻫﺮ ‪. f ′′(x) ≥0 ، x ∈I‬‬ ‫اﻛــﻴــﺪا ﻣـﺤــﺪب اﺳــﺖ اﮔــﺮ ﺑــﺮاى ﻫــﺮ ‪ x‬درون ‪،I‬‬ ‫ً‬ ‫● ‪ f‬روى ‪I‬‬ ‫‪. f ′′(x) >0‬‬ ‫ﺗﺒﺼﺮهﻫﺎ‬ ‫● اﮔﺮ ‪ f‬ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ روى ‪ I‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آن ﮔﺎه ‪ f‬ﻣﺤﺪب اﺳﺖ اﮔﺮ‬ ‫و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ﺑﺮاى ﻫﺮ ‪ x2 ∈I‬و ‪ x1‬؛‬ ‫‪x1 + x2‬‬ ‫) ‪f (x1 ) + f (x2‬‬ ‫≤)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬



‫(‪f‬‬



‫و ‪ f‬اﻛﻴﺪاً ﻣﺤﺪب اﺳﺖ و اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔـﺮ ﺑـﺮاى ﻫـﺮ ‪ x2 ∈I‬و‬ ‫‪ x1‬و ‪ x1 ≠ x2‬؛‬ ‫‪x1 + x2‬‬ ‫) ‪f (x1 ) + f (x2‬‬ ‫0 ، f (x) = x r‬و ‪ r >1‬؛‬ ‫‪1‬‬ ‫●‬ ‫‪(x + a) r‬‬



‫= )‪ x > −a ، f (x‬و ‪ r >0‬؛‬ ‫‪ π‬‬



‫● ‪ x ∈ 0,  ، f (x) = tan x‬؛‬ ‫‪ 2‬‬ ‫● ‪. x ∈|R ، f (x) = e x‬‬



‫ﻣﺜﺎلﻫﺎﻳﻰ از ﺗﻮاﺑﻊ اﻛﻴﺪاً ﻣﻘﻌﺮ‬ ‫● ‪ x ∈[0, π ] ، f (x) = sin x‬؛‬ ‫‪π π‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫● ‪ x ∈  − ,  ، f (x) = cos x‬؛‬ ‫‪ 2 2‬‬



‫● ‪ x ∈(0,∞) ، f (x) = Lnx‬؛‬ ‫● ‪ x >0 ، f (x) = x r‬و )‪. r ∈(0,1‬‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ ﺧﻄـﻰ ‪ (x ∈|R) f (x) = ax + b‬ﻫﻢ ﻣﺤﺪب و ﻫﻢ ﻣﻘـﻌـﺮ‬ ‫اﺳﺖ؛‬ ‫● ﺟﻤﻊ دو ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺤﺪب )ﻳﺎ ﺑﻪ ﺗـﺮﺗﻴﺐ ﻣﻘﻌﺮ(‪ ،‬ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺤـﺪب‬ ‫)ﻳﺎ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﻘﻌﺮ( اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻳﻨﺴﻦ‬ ‫ﻧﺎﻣـﺴـﺎوى ﻳِﻨﺴـﻦ ﺗـﻮﺳﻴﻌﻰ از ﻧـﺎﻣـﺴـﺎوى )‪ (١‬اﺳـﺖ‪ .‬ﻳِﻨﺴـﻦ‬ ‫)‪ (١٨٥٩-١٩٢٥‬رﻳﺎﺿﻰ دان داﻧﻤﺎرﻛﻰ‪ ،‬ﻧﺨﺴﺘﻴﻦ ﻛﺴﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ‬ ‫اﻳﻦ ﻧﺎﻣﺴﺎوى را در ﺳﺎل ‪ ١٩٠٥‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﺮد‪.‬‬ ‫ﻧﺎﻣـﺴـﺎوى ﻳﻨﺴـﻦ‪ :‬ﻓـﺮض ﻛﻨﻴـﺪ ‪ f:I →| R‬ﻳﻚ ﺗﺎﺑـﻊ ﻣـﺤـﺪب‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ‪ x1, x2 ,... x n ∈I‬و ‪λ1,..., λ n ≥ 0‬‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮرى ﻛﻪ ‪ . λ1 + λ 2 +... λ n = 1‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت‬ ‫)‪f (λ1x1 + λ 2x2 +... +λ n x n ) ≤ λ1f (x1 ) + λ 2f (x2 ) (٣‬‬ ‫‪٤‬‬



‫) ‪+... +λ n f (x n‬‬



‫اﺛﺒـﺎت‪ :‬از اﺳﺘـﻘـﺮاء رﻳﺎﺿﻰ ﺑـﺮاى اﺛﺒﺎت ﻧـﺎﻣـﺴـﺎوى اﺳﺘﻔـﺎده‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﻪ وﺿﻮح ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﺑﺮاى ﺣﺎﻟﺖ ‪ n = 1‬ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﻛﻨﻮن ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﺑﺮاى ‪ n = k‬درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬در‬ ‫اﻳﻦ ﺻﻮرت ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﻴﻢ ﻛﻪ ﺑـﺮاى ‪ n = k +1‬ﻧﻴﺰ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻓــﺮض ﻛـﻨــﻴــﻢ ‪ x k +1 ∈I‬و ‪ x1,..., x k‬و ‪λ1,..., λ k , λ k +1 ≥ 0‬‬ ‫ﺑـﻪ ﻃـﻮرى ﻛــﻪ ‪ . λ1 + λ 2 +... +λ k + λ k +1 = 1‬در اﻳـﻦ ﺻـﻮرت‬ ‫ﺣﺪاﻗﻞ ﻳﻜـﻰ از ‪ λ i‬ﻫﺎ )‪ (1≤ i ≤ k +1‬ﺑﺎﻳﺪ ﻛﻤﺘﺮ از ﻳـﻚ ﺑـﺎﺷـﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺪون اﻳﻦ ﻛﻪ از ﻛﻠﻴﺖ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻛﻢ ﺷـﻮد ﻓﺮض ﻣﻰ ﻛﻨﻴـﻢ ‪. λ k +1 < 1‬‬ ‫در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﻗﺮار ﻣﻰ دﻫﻴﻢ‬ ‫‪λ1‬‬ ‫‪λk‬‬ ‫=‪u‬‬ ‫‪x1 +... +‬‬ ‫‪xk‬‬ ‫‪1− λ k +1‬‬ ‫‪1− λ k +1‬‬



‫دارﻳﻢ‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫‪٢٩‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫‪λ1‬‬ ‫‪λk‬‬ ‫‪+... +‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪1− λ k +1‬‬ ‫‪1− λ k +1‬‬



‫ﻣﻘـﻌـﺮ‬ ‫ِ‬ ‫اﻛـﻴـﺪا‬ ‫ً‬ ‫ﺣـﻞ‪ .‬ﺑﺎ اﺳـﺘـﻔـﺎده از ﻧـﺎﻣـﺴـﺎوى ) ‪ (4′‬ﺑﺎ ﺗـﺎﺑـﻊ‬ ‫‪ f (x) = (1+ 5 x )5‬روى )∞ ‪(0,‬‬



‫و ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ ‪. λ1x1 +... +λ k +1x k +1 = (1− λ k +1 )u + λ k +1x k +1‬‬ ‫ﺑــﻪ وﺿــﻮح } ‪ min{x1,..., x k } ≤ u ≤ max{x1,..., x k‬در‬



‫)زﻳـــــﺮا ‪ f ′′(x) = 4(1+ 5 1 ) 3 ( −1 ) < 0‬روى )∞ ‪( (0,‬‬ ‫‪5 6‬‬



‫ﻧﺘﻴﺠﻪ ‪ . u ∈I‬اﻛﻨﻮن ﭼﻮن ‪ f‬ﻣﺤﺪب اﺳﺖ‪ ،‬دارﻳﻢ‬



‫‪5 x‬‬



‫‪x‬‬



‫دارﻳﻢ‬



‫) ‪f((1− λ k +1 )u + λ k +1x k +1 ) ≤ (1− λ k +1 )f(u) + λ k +1f(x k +1‬‬



‫‪a+b‬‬ ‫)‪f (a) + f (b‬‬ ‫≥)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬



‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻓﺮض اﺳﺘﻘﺮاء دارﻳﻢ‬ ‫‪λ1‬‬ ‫‪λk‬‬ ‫‪f (x1 )+... +‬‬ ‫) ‪f (x k‬‬ ‫‪1− λ k +1‬‬ ‫‪1− λ k +1‬‬



‫≤ )‪f (u‬‬



‫ﺣﺎل ﺑﺎ ﺗﺮﻛﻴﺐ دو ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﺑﺎﻻ‪ ،‬ﺣﻜﻢ ﺑﺮاى ‪ n = k +1‬ﺑﺮﻗﺮار‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻃﺒﻖ اﺳﺘﻘـﺮاى رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻧﺎﻣﺴـﺎوى ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﺑﺮاى ﻫﺮ‬ ‫ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻣﺜﺒﺖ ‪ n‬ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﺒﺼﺮهﻫﺎ‬ ‫● ﺑﺮاى ﺗﻮاﺑﻊ اﻛﻴﺪاً ﻣﺤﺪب ﺗﺴﺎوى در )‪ (٣‬ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ‬ ‫اﮔﺮ ‪. x1 = x2 =... = x n‬‬ ‫● اﮔـﺮ‬



‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬



‫= ‪ ، λ1 = λ 2 =... = λ n‬آن ﮔـﺎه )‪ (٣‬ﺑـﻪ ﺻـﻮرت زﻳـﺮ‬



‫درﻣﻰ آﻳﺪ‬ ‫)‪(٤‬‬



‫‪x1 +... +x n‬‬ ‫) ‪f (x1 )+... +f (x n‬‬ ‫≤)‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬



‫(‪f‬‬



‫● اﮔﺮ ‪ f‬ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻘﻌﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آن ﮔﺎه ﻧـﺎﻣـﺴـﺎوى ﻫﺎى )‪ (٣‬و )‪(٤‬‬ ‫ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‬ ‫) ‪( 3′‬‬ ‫) ‪(4′‬‬



‫) ‪a + b 5 (1+ 5 a ) + (1+ 5 b‬‬ ‫≥ )‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪5‬‬



‫‪5‬‬



‫‪(1+ 5‬‬



‫ﺣﺎل ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻛـﻪ ‪ ، a + b = 2‬ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻄﻠـﻮب ﺑﺮﻗﺮار‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﺴﺎوى وﻗﺘﻰ اﺗﻔﺎق ﻣﻰ اﻓﺘﺪ ﻛﻪ ‪. a = b = 1‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ .٢‬اﮔﺮ ‪ ، a, b, c > 0‬آن ﮔﺎه‬ ‫‪a + b + c a+b+c‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬



‫( ≥ ‪a a . b b . cc‬‬



‫ﺣﻞ‪ .‬ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﺑﺎﻻ ﻫﻢ ارز اﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫‪a + b + c a+b+c‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬



‫(‪Ln(a a . b b . c c ) ≥ Ln‬‬



‫ﻳﺎ‬ ‫‪a+b+c‬‬ ‫(‪aLna + bLnb + cLnc ≥ (a + b + c)Ln‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬



‫ﻣـﺤـﺪب‬ ‫ِ‬ ‫ﺑـﺎ اﺳـﺘـﻔـﺎده از ﻧــﺎﻣــﺴــﺎوى )‪ (٤‬ﺑـﺎ ﺗـﺎﺑــﻊ اﻛــﻴــﺪاً‬ ‫‪ f (x) = xLnx‬روى‬



‫‪1‬‬ ‫)∞ ‪) (0,‬زﻳﺮا ‪f ′′ (x) = > 0‬‬ ‫‪x‬‬



‫روى )∞ ‪( (0,‬‬



‫دارﻳﻢ‬ ‫)‪f (a) + f (b) + f (c‬‬ ‫‪a+b+c‬‬ ‫(‪≥ f‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬



‫) ‪f (λ1n1 +... +λ n x n ) ≥ λ1f (x1 )+... +λ n f (x n‬‬



‫‪x1 +... +x n‬‬ ‫) ‪f (x1 )+... +f (x n‬‬ ‫≥)‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬



‫(‪f‬‬



‫(‪f‬‬



‫)‪aLna + bLnb + cLnc (a + b + c‬‬ ‫)‪a + b + c‬‬ ‫≥‬ ‫(‪Ln‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬



‫ﻳﺎ‬ ‫ﻣﺜﺎلﻫﺎ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ .١‬اﮔﺮ ‪ a, b > 0‬و ‪ ، a + b = 2‬آن ﮔﺎه‬ ‫‪(1+ 5 a )5 + (1+ 5 b )5 ≤ 26‬‬



‫‪a+b+c‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬



‫(‪aLna + bLnb + cLnc ≥ (a + b + c)Ln‬‬



‫در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻄﻠﻮب ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﺴﺎوى ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ‪. a = b = c‬‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫‪٣٠‬‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫ﻣﺜﺎل ‪ .٣‬اﮔﺮ ‪ a, b, c > 0‬آن ﮔﺎه‬



‫‪xi‬‬



‫= )‪. x ∈(0, s) f (x‬‬ ‫‪2s‬‬



‫‪ x2 = 2b‬و ‪ x 3 = 2c‬در ﻧﺎﻣﺴﺎوى )‪ (٤‬دارﻳﻢ‬ ‫‪2a + 2b + 2c‬‬ ‫)‪f (2a) + f (2b) + f (2c‬‬ ‫≤)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬



‫(‪f‬‬



‫‪2a + 2b + 2c‬‬ ‫‪1 2a‬‬ ‫‪2b‬‬ ‫‪2c ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪≤ ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2a + 2b + 2c 3  s − 2a s − 2b s − 2c ‬‬ ‫‪s−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a+b+c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c ‬‬ ‫‪≤ ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3s − 2(a + b + c) 3  s − 2a s − 2b s − 2c ‬‬



‫ﻳﺎ‬ ‫)‪3(a + b + c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫≤‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3s − 2(a + b + c) s − 2a s − 2b s − 2c‬‬



‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻛﻪ )‪ ، s = 3(a + b + c‬ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻄﻠﻮب ﺑﺮﻗﺮار‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﺴﺎوى وﻗﺘﻰ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ ﻛﻪ ‪.a=b=c‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ .٤‬اﮔﺮ ‪ ، a1, a 2 ,K, a n ≥ 1‬آن ﮔﺎه‬



‫ﺣــﻞ‪.‬ﻓـﺮض ﻛـﻨــﻴــﻢ‬



‫‪1‬‬ ‫‪1+ e x‬‬



‫‪n‬‬



‫‪n‬‬



‫∑‬



‫‪1‬‬ ‫≥‬ ‫‪1+ e x i‬‬ ‫‪i =1‬‬



‫ﺑﺎ ﻗـﺮر دادن ‪ x i = Lna i‬ﺑـﻪ ازاى ‪ ، i = 1,2,K, n‬ﻧﺎﻣـﺴـﺎوى‬ ‫ﺧﻮاﺳﺘﻪ ﺷﺪه ﺑﻪ دﺳـﺖ ﻣـﻰ آﻳـﺪ‪ .‬ﺗـﺴـﺎوى زﻣﺎﻧﻰ ﺑـﺮﻗـﺮار اﺳﺖ ﻛـﻪ‬ ‫‪. a1 = a 2 =L= a n‬‬ ‫ﻣـﺜــﺎل ‪ .٥‬ﺑـﺮاى ﻳـﻚ ﻣـﺜــﻠــﺚ ﺑــﺎ زاوﻳـﻪ ﻫـﺎى ‪ α‬و ‪ β‬و ‪، γ‬‬ ‫ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻫﺎى زﻳﺮ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‬ ‫اﻟ‪(t‬‬



‫‪3 3‬‬ ‫≤ ‪ sin α + sin β + sin γ‬؛‬ ‫‪2‬‬



‫ب(‬



‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬



‫پ(‬



‫‪3 3‬‬ ‫‪8‬‬



‫‪ sin α + sin β + sin γ ≤ 34‬؛‬ ‫≤ ‪ sin α.sin β.sin γ‬؛‬ ‫‪γ‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪α‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪β‬‬ ‫‪2‬‬



‫ت( ‪ sec + sec + sec ≥ 2 3‬؛‬ ‫ث(‬



‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬



‫≤ ‪ cos α. cosβ. cos γ‬؛‬



‫ﺣﻞ‪ .‬ﺑﺮاى ﻗﺴﻤﺖ ﻫﺎى )اﻟ‪) ،(t‬ب( و )پ( ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ از ﺗﻮاﺑﻊ‬ ‫اﻛﻴـﺪا ﻣﻘﻌـﺮ ‪ sin x ،sinx‬و ‪ Lnsinx‬روى )‪ (0, π‬در ﻧﺎﻣﺴـﺎوى‬ ‫ً‬ ‫)‪ (٤‬اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﻛﻨﻴـﻢ و ﺑـﺮاى ﻗﺴﻤﺖ )ت(‪ ،‬از ﻧﺎﻣـﺴـﺎوى )‪ (٤‬ﺑﺎ‬



‫‪∑ 1+ a‬‬



‫= )‪ . x ∈[0, ∞ ) ، f (x‬در اﻳــﻦ‬



‫)ث( اﮔﺮ ‪ β ، α‬و ‪ γ‬ﺣﺎده ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬آن ﮔﺎه از ﻧﺎﻣﺴﺎوى )‪ (٤‬ﺑﺎ ﺗﺎﺑﻊ‬



‫‪1‬‬



‫≥‬ ‫‪k‬‬



‫‪k =1‬‬



‫اﻛﻴﺪا ﻣﺤﺪب اﺳﺖ زﻳﺮا روى )∞ ‪، (0,‬‬ ‫ً‬ ‫ﺻﻮرت ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬روى ) ∞ ‪[0,‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫)‪−1‬‬ ‫‪ . f ′′(x) = e (e‬ﺑـﺎ اﺳـﺘـﻔـﺎده از ﻧـﺎﻣـﺴـﺎوى )‪(٤‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3 >0‬‬



‫)‪(e +1‬‬



‫‪1+ e‬‬



‫‪i =1‬‬



‫ﺗﺎﺑﻊ اﻛﻴﺪاً ﻣﺤﺪب ‪ sec x‬روى )‪ (0, π‬اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬در ﻗﺴﻤﺖ‬



‫‪n‬‬ ‫‪1+ n a1Ka n‬‬



‫دارﻳﻢ‬



‫‪n‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪∑ xi‬‬ ‫‪n i=1‬‬



‫)‪ . f ′′(x) = (s − x) 3 > 0 ، (0,s‬ﺣـﺎل ﺑـﺎ ﻗـﺮار دادن ‪، x1 = 2a‬‬



‫‪i‬‬



‫‪i =1‬‬



‫ﺣـ ـ ـ ــﻞ‪ .‬ﻓــــــــﺮض ﻛـــــــﻨــــــــﻴــــــــﺪ )‪ s = 3(a + b + c‬و‬



‫اﻛﻴﺪا ﻣﺤﺪب اﺳﺖ زﻳﺮا روى‬ ‫ً‬ ‫در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬روى )‪(0,s‬‬



‫‪n‬‬



‫) ‪∑ f (x ) ≥ nf (∑ n‬‬



‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫≥‬ ‫‪a + 3b + 3c 3a + b + 3c 3a + 3b + c 7‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪s−x‬‬



‫‪n‬‬



‫‪2‬‬



‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬



‫اﻛﻴـﺪا ﻣﻌـﻘـﺮ ‪ Lncosx‬روى ) ‪ (0,‬اﺳﺘﻔـﺎده ﻣـﻰ ﻛـﻨـﻴـﻢ؛ در ﻏـﻴـﺮ‬ ‫ً‬ ‫اﻳﻦ ﺻـﻮرت ﺑﺎ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻛﻪ ﻓﻘـﻂ ﻳـﻜـﻰ از زواﻳﺎى ‪ α‬و ‪ β‬و ‪γ‬‬



‫ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﻗﺎﺋﻢ ﻳﺎ ﺑﺰرگ ﺗﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬در ﻧﺘﻴﺠﻪ ‪. cos α cosβ cos γ ≤ 0‬‬ ‫ﻟﺬا ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﺑﻪ وﺿﻮح ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪.‬‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫‪٣١‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫در ﺗﻤﺎم ﻗﺴﻤﺖ ﻫﺎى ﻓﻮق ﺣﺎﻟﺖ ﺗﺴﺎوى وﻗﺘﻰ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ ﻛﻪ‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬



‫= ‪.α = β = γ‬‬ ‫ﻣﺜـﺎل ‪ (India ،١٩٩٥) .+٦‬ﻓﺮض ﻛﻨـﻴـﺪ ‪n(n ≥ 2)x n ,K, x1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Ln(1+ ) + Ln(1+ ) + Ln(1+ ) ≥ 3Ln4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪x‬‬



‫ﻳﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Ln(1+ ) + (1+ ) + (1+ ) ≥ Ln43‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬



‫ﻋﺪد ﻣﺜﺒﺖ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛﻪ ﻣﺠﻤﻮع آن ﻫﺎ ﺑﺮاﺑﺮ ﻳﻚ اﺳﺖ‪ .‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪+L+‬‬ ‫≥‬ ‫‪1− x1‬‬ ‫‪1− x n‬‬



‫‪n‬‬ ‫‪n −1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(1+ )(1+ )(1+ ) ≤ 64‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪x‬‬



‫ﺗﺴﺎوى وﻗﺘﻰ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ ﻛﻪ ‪x = y = z‬‬



‫ﺣـﻞ‪ .‬ﺑﺎ اﺳـﺘـﻔـﺎده از ﻧـﺎﻣـﺴـﺎوى )‪ (٤‬ﺑﺎ ﺗـﺎﺑـﻊ اﻛـﻴـﺪاً ﻣـﺤـﺪب‬ ‫‪x‬‬



‫= )‪ f (x‬روى )‪ (0,1‬دارﻳﻢ‬ ‫‪1− x‬‬



‫ﻣﺜﺎل ‪ .٨‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬اﻋﺪاد ﻣﺜﺒﺖ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺑﻪ ﻃﻮرى ﻛﻪ‬ ‫‪ ab + bc + ca = abc‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت‬ ‫‪a b c (a + b + c) ≥ abc‬‬ ‫‪c‬‬



‫‪b‬‬



‫‪a‬‬



‫ﺣ ــﻞ‪ .‬ﭼـــﻮن ‪ ab + bc + ca = abc‬ﭘــــﺲ ‪. 1 + 1 + 1 = 1‬‬ ‫‪n‬‬



‫)‪∑ n‬‬ ‫‪xi‬‬



‫‪n‬‬



‫( ‪f (x i ) ≥ f‬‬



‫‪i =1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪1−‬‬



‫∑‬ ‫‪i =1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪x1‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪+L+‬‬ ‫≥)‬ ‫‪n 1− x1‬‬ ‫‪1− x n‬‬



‫‪c‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺎ اﻧﺘﺨـﺎب‬



‫‪1‬‬ ‫= ‪، λ1‬‬ ‫‪a‬‬



‫) ‪f (λ1x1 + λ 2x2 + λ 3 x 3‬‬ ‫) ‪≥ λ1f (x1 ) + λ 2f (x2 ) + λ 3 f (x 3‬‬



‫‪x1‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪+L+‬‬ ‫≥‬ ‫‪1− x1‬‬ ‫‪1− x n‬‬



‫‪n‬‬ ‫‪n −1‬‬



‫ﺗﺴﺎوى وﻗﺘﻰ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ ﻛﻪ ‪. x1 = x2 =L= x n‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل ‪ .٧‬ﻓـﺮض ﻛـﻨـﻴـﺪ ‪ x, y, z > 0‬و ‪ . x + y + z = 1‬در اﻳـﻦ‬ ‫ﺻﻮرت ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Ln(a + b + c) ≥ Lnab + Lnbc + Lnca‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬



‫ﻳﺎ‬ ‫‪1‬‬



‫ﺣـﻞ‪ .‬ﺑﺎ اﺳـﺘـﻔـﺎده از ﻧـﺎﻣـﺴـﺎوى )‪ (٤‬ﺑﺎ ﺗـﺎﺑـﻊ اﻛـﻴـﺪاً ﻣـﺤـﺪب‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x +1‬‬ ‫) ‪ f (x) = Ln(1+‬روى )∞ ‪) (0,‬زﻳـﺮا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 >0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪(x + x‬‬



‫ﻳﺎ‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ cb c‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٢‬‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪١٣٨٨‬‬



‫‪x+y+z‬‬ ‫)‬ ‫○ ○ ○ ○‪○ ○ 3‬‬



‫‪1 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ ba b‬‬



‫‪1 1 1‬‬ ‫اﻛﻨﻮن ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻛﻪ ‪+ + = 1‬‬ ‫‪a b c‬‬



‫= )‪f ′′ (x‬‬



‫روى )∞ ‪ ( (0,‬دارﻳﻢ‬



‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫‪Ln(a + b + c) ≥ Ln(ab) a + Ln(bc) b + Ln(ca) c‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(1+ )(1+ )(1+ ) ≥ 64‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬



‫‪٣٢‬‬



‫‪، x1 = ab ،‬‬



‫اﻛﻴﺪا ﻣﻘﻌﺮ‬ ‫ً‬ ‫‪ x 3 = ca ، x2 = bc‬و ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮدن ﻧﺎﻣﺴﺎوى ‪ 3′‬ﺑﺎ ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫‪ f (x) = Lnx‬روى )∞ ‪ (0,‬دارﻳﻢ‬



‫ﻳﺎ‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫‪، λ2 = 1‬‬ ‫‪b‬‬



‫‪1‬‬ ‫= ‪λ3‬‬ ‫‪c‬‬



‫‪b‬‬



‫‪a‬‬



‫‪1 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪aa c‬‬



‫≥‪a+b+c‬‬



‫دارﻳﻢ‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪b . b c .c a‬‬



‫‪1−‬‬



‫‪a+b+c≥a‬‬



‫ﻳﺎ‬ ‫( ‪f (x) + f (y) + f (z) ≥ 3f‬‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫‪a b c‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a cb ac‬‬



‫‪b‬‬



‫≥‪a+b+c‬‬



‫ﻳﺎ‬ ‫‪a . c b . a c (a + b + c) ≥ abc‬‬



‫ﺗﺴﺎوى زﻣﺎﻧﻰ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ ﻛﻪ‬



‫‪b‬‬



‫‪a=b=c‬‬



‫ﻣﺴﺎﺋﻠﻰ ﺑﺮاى ﺣﻞ‬ ‫‪ .١‬اﮔﺮ ‪ ABC‬ﻳﻚ ﻣﺜﻠﺚ ﻳﺎ زواﻳﺎى ‪ α‬و ‪ β‬و ‪ γ‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آن ﮔﺎه‬ ‫‪3 3‬‬ ‫اﻟ‪(t‬‬ ‫‪8‬‬



‫‪γ‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪β‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪γ‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪β‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪α‬‬ ‫‪2‬‬



‫ب(‬



‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬



‫‪α‬‬ ‫‪2‬‬



‫≤ ‪ cos cos cos‬؛‬



‫و ﻧﺎﻣـﺴـﺎوى )‪ (٣‬ﺑﺎ اﻧﺘـﺨـﺎب‬



‫اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٤‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻣﺜﺒﺖ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺑﻪ ﻃﻮرى‬ ‫ﻛﻪ ‪ . a + b + c = 1‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬



‫راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ‪ .‬از ﺗﺎﺑﻊ ﻛﺎﻣﻼً ﻣﻘﻌﺮ ‪ f (x) = Lnx‬روى )∞‪ (0,‬و‬ ‫ﺑﺎ ﺑﻪ ﻛـﺎر ﺑـﺮدن ﻧﺎﻣﺴـﺎوى ) ‪ ( 3′‬ﺑﺎ اﻧﺘﺨـﺎب ‪، λ 2 = b2 ، λ1 = a 2‬‬ ‫‪، x1 = 1 ، λ 6 = 2ca ، λ 5 = 2bc ، λ 4 = 2ab ، λ 2 = c2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b‬‬



‫≤ ‪ sin sin sin‬؛‬



‫ﻫﺴﺘﻨﺪ(‪.‬‬



‫= ‪، x2‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪c‬‬



‫= ‪، x3‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬



‫= ‪، x4‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪b‬‬



‫= ‪ x5‬و‬



‫‪2‬‬



‫‪2‬‬



‫‪2‬‬



‫‪2‬‬



‫‪π‬‬



‫ﺣﺎل ﺑﺎ ﺟﺎﻳـﮕـﺰﻳـﻦ ﻛـﺮدن ‪ α ′‬و ‪ β ′‬و ‪ γ ′‬ﺑـﺠـﺎى ‪ α‬و ‪ β‬و ‪ γ‬در‬ ‫ﻗﺴﻤﺖ ﻫﺎى )پ( و )ث( از ﻣـﺜـﺎل )‪ (٥‬ﺑﻪ ﺗـﺮﺗﻴﺐ )اﻟـ‪ (t‬و )ب(‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﺮاى ﻗﺴﻤﺖ )پ( از ﻧﺎﻣﺴﺎوى )‪ (٤‬ﺑﺎ ﺗﺎﺑﻊ اﻛﻴﺪاً‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬



‫ﻣﺤﺪب ‪ x ∈(0, ) f (x) = tan p x‬و ‪ p ≥ 1‬اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬



‫راﻫـﻨـﻤــﺎﻳــﻰ‪ .‬از ﻧـﺎﻣــﺴــﺎوى )‪ (٤‬ﺑـﺎ ﺗـﺎﺑـﻊ اﻛــﻴــﺪاً ﻣـﺤــﺪب‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬



‫= )‪ f (x‬ﻛﻪ )‪ x ∈(0, s‬و )‪ s = (a + b + c‬اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬



‫‪x +1 x+1‬‬ ‫‪ .٣‬ﺑﺮاى ﻫﺮ ‪ x >0‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ )‬ ‫‪x‬‬



‫( ≥ ‪. xx‬‬



‫راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ‪ .‬از ﺗﺎﺑﻊ اﻛﻴﺪاً ﻣﺤﺪب ‪ f (x) = xLnx‬روى )∞ ‪(0,‬‬



‫‪2‬‬



‫اﻛـﻴـﺪا ﻣﺤـﺪب‬ ‫ً‬ ‫راﻫـﻨـﻤـﺎﻳـﻰ‪ .‬از ﺗـﺎﺑـﻊ‬



‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬



‫‪ f (x) = ( 2x‬روى‬



‫‪s−x‬‬



‫)‪ (0,s‬ﻛـﻪ در آن ‪ s = a + b + c‬اﺳﺖ در ﻧﺎﻣـﺴـﺎوى )‪ (٤‬اﺳﺘﻔـﺎده‬ ‫ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬ ‫ﭘﻰﻧﻮﺷﺖ‬ ‫‪1. Convex‬‬ ‫‪2. Strictly Convex‬‬ ‫)‪3. Concave (Strictly Concave‬‬ ‫‪4. Jensen Inequality‬‬



‫‪ .٢‬اﮔﺮ ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬اﻧﺪازه ى ﺿﻠﻊ ﻫﺎى ﻳﻚ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬آن ﮔﺎه‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪≥3‬‬ ‫‪b+c−a c+a−b a+b−c‬‬



‫‪2‬‬



‫‪2a 3‬‬ ‫‪2b 3‬‬ ‫‪2c 3‬‬ ‫(‬ ‫(‪) +‬‬ ‫(‪) +‬‬ ‫‪) ≥3‬‬ ‫‪b+c‬‬ ‫‪c+a‬‬ ‫‪a+b‬‬



‫‪2‬‬



‫‪ γ ′ = 2 − 2‬آن ﮔـــﺎه )‪ α ′, β ′, γ ′ = (0, π‬و ‪. α ′ + β ′ + γ ′ = π‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬



‫= ‪ x6‬ﻣﺴﺌـﻠـﻪ را‬



‫ﺣﻞ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٥‬ﺑﺮاى اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻣﺜﺒﺖ ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ‬



‫راﻫـﻨـﻤــﺎﻳــﻰ‪ .‬اﮔـﺮ ﻗــﺮار دﻫـﻴــﻢ ‪ β ′ = π − β , α ′ = π − α‬و‬



‫‪x‬‬ ‫‪s−x‬‬



‫≥ )‪a a(a+2b) . b b(b+2c) .c c(c+2a‬‬



‫‪a‬‬



‫پ( ‪ p ≥ 1) tan αp + tan βp + tan γp ≤ 3 3‬و ‪ α‬و ‪ β‬و ‪ γ‬ﺣﺎده‬



‫‪γ‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪ x2 = 1 ، x1 = x‬و‬ ‫‪2‬‬



‫= ‪λ1 = λ 2‬‬



‫ﻣﻨﺎﺑﻊ‬ ‫]‪ [١‬واﻟﺘﺮ رودﻳﻦ‪ ،‬اﺻﻮل آﻧﺎﻟﻴﺰ رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺗـﺮﺟﻤﻪ ى دﻛﺘﺮ ﻋﻠﻰ اﻛﺒﺮ ﻋﺎﻟـﻢ زاده‪ ،‬اﻧﺘﺸـﺎرات ﻋﻠﻤﻰ و‬ ‫ﻓﻨﻰ‪ ،١٣٦٢ ،‬ﺻﻔﺤﻪ ى ‪.١٢٦‬‬ ‫‪[2] Hrimiuc Dragos, Inequalities for convex functions (part I), " π in‬‬ ‫‪the Sky" Magzine, December 2001.‬‬ ‫‪[3] Kedlaya Kiran, A