مجله رشد آموزش ریاضی شماره 99 volume 27 issue 3 [PDF]

Citation preview

‫ﻣﺪﻳﺮ ﻣﺴﺌﻮل ‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ ﻧﺎﺻﺮى‬ ‫ﺳﺮدﺑﻴﺮ‪ :‬زﻫﺮا ﮔﻮﻳﺎ‬ ‫ﻣﺪﻳﺮ داﺧﻠﻰ ‪ :‬ﺳﭙﻴﺪه ﭼﻤﻦ آرا‬ ‫ﻫﻴﺌﺖ ﲢﺮﻳﺮﻳﻪ ‪:‬اﺳﻤﺎﻋﻴﻞ ﺑﺎﺑﻠﻴﺎن‪ ،‬ﻣﻴﺮزا ﺟﻠﻴﻠﻰ‪،‬‬ ‫ﺳﭙﻴﺪه ﭼﻤﻦ‪.‬آرا‪ ،‬ﻣﻬﺪى رﺟﺒﻌﻠﻰ ﭘﻮر‪ ،‬ﻣﺎﻧﻰ رﺿﺎﺋﻰ‪،‬‬ ‫ﺷﻴﻮا زﻣﺎﻧﻰ‪ ،‬ﺑﻴﮋن ﻇﻬﻮرى زﻧﮕﻨﻪ‪ ،‬ﺳﻬﻴﻼ ﻏﻼم آزاد و‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ رﺿﺎ ﻓﺪاﺋﻰ‬ ‫ﻃﺮاح ﮔﺮاﻓﻴﻚ ‪ :‬ﻣﻬﺪى ﻛﺮﻳﻢ‪.‬ﺧﺎﻧﻰ‬



‫‪٩٩‬‬ ‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ و ﻫﻔﺘﻢ‪/‬ﺷﻤﺎرهى‪ /٣‬ﺑﻬﺎر‪١٣٨٩‬‬



‫ﻓﺼﻠﻨﺎﻣﻪى آﻣﻮزﺷﻰ‪،‬ﲢﻠﻴﻠﻰ و اﻃﻼع رﺳﺎﻧﻰ‬



‫ﻓﻬﺮﺳﺖ‬



‫ﺳﺨﻦ ﺳﺮدﺑﻴﺮ ‪٢‬‬ ‫داﺳﺘﺎن ﺟﺒﺮ‪ ،‬ﻣﻨﺎﻓﻊ و دامﻫﺎى ﺷﻰءاﻧﮕﺎرى )ﻗﺴﻤﺖ اول( ‪٤‬‬ ‫ﺑﺎزﻧﮕﺮى ﻳﻚ ﺗﺠﺮﺑﻪ؛ ﺿﺮورت ﺗﻠﻔﻴﻖ در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ‬ ‫درك داﻧﺶآﻣﻮزان از ﻣﻔﻬﻮم اﺻﻠﻰ ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫رواﻳﺖ ﻣﻌﻠﻤﺎن‪ :‬ﺑﺮرﺳﻰ وﻳﮋﮔﻰﻫﺎى ﭼﻬﺎرﺿﻠﻌﻰﻫﺎ‬ ‫ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ اﻧﺘﺨﺎب ﺗﻜﺎﻟﻴ‪ M‬ﺑﺮاى ﻛﻼس درس‬ ‫دﻳﺪﮔﺎه)‪:(١‬ﺗﻌﻠﻢ وﺗﺮﺑﻴﺖ ﻗﺮون وﺳﻄﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﺳﺒﻚ ﺟﺪﻳﺪ!‬ ‫دﻳﺪﮔﺎه)‪:(٢‬درﺑـﺎره دﻳﺪﮔﺎه ﺗﺤﻠﻴـﻞ و روش ﺗﺪرﻳﺲ رﻳﺎﺿﻰ‪ ٢‬ﻣﺘـﻮﺳﻄﻪ و‪...‬‬ ‫اﺛﺒﺎت ﻧﺎﻣﺴﺎوىﻫﺎ ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺤﺪب )ﻗﺴﻤﺖ ‪(٢‬‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده از ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ رﻳﺎﺿﻰ؛ آرى ﻳﺎ ﻧﻪ؟‬ ‫ﺳﺮﮔﺮﻣﻰﻫﺎى ﺗﺎرﻳﺨﻰ در آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻧﺸﺮﻳﻪ‬



‫‪١٥‬‬ ‫‪٢٤‬‬ ‫‪٣٤‬‬ ‫‪٣٨‬‬ ‫‪٤٢‬‬ ‫‪٤٥‬‬ ‫‪٤٧‬‬ ‫‪٥٢‬‬ ‫‪٥٦‬‬ ‫‪٦٤‬‬



‫زﻫﺮا ﮔﻮﻳﺎ‬ ‫آﻧﺎ اﺳﻔﺎرد و ُﻟﻴﺮا ﻟﻴﻨﭽﻮﺳﻜﻰ‬ ‫ﺗﺮﺟﻤﻪ‪ :‬زﻫﺮا ﻛﺎﻣﻴﺎب واﻣﻴﺮﺣﺴﻴﻦ اﺻﻐﺮى‬ ‫ﺳﭙﻴﺪه ﭼﻤﻦ‪.‬آرا‬ ‫ﺑﻰ‪.‬ﺑﻰ‪.‬زﻛﻴﻪ ﭘﺮﻫﻴﺰﮔﺎر و زﻫﺮا ﮔﻮﻳﺎ‬ ‫ﻧﻐﻤﻪ ﺣﺎﺟﻰ‪.‬ﺻﺎدﻗﻰ‬ ‫اﻓﺴﺎﻧﻪ ﺣﻴﺪرى ارﺟﻠﻮ‬ ‫ﻣﺮﻳﻢ ﮔﻮﻳﺎ‬ ‫ﻣﺆﻟﻔﺎن رﻳﺎﺿﻰ ‪٢‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻏﻼﻣﻴﺎن‬ ‫ﻣﺤﺴﻦ ﺗﻨﺪه‬ ‫ﻧﺮﮔﺲ ﻋﺼﺎرزادﮔﺎن‬



‫ﻋﻜﺲ روى ﺟﻠﺪ‪ :‬رﺿﺎ ﺑﻬﺮاﻣﻰ‬ ‫ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻧﻮﺷﺘﻪﻫﺎ و ﮔﺰارش ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮان و ﻣﺘﺨﺼﺼﺎن ﺗﻌﻠﻴﻢ وﺗﺮﺑﻴﺖ‪ ،‬ﺑﻪ وﻳﮋه ﻣﻌﻠّﻤﺎن دورهﻫﺎى ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ ﻣﺨﺘﻠ‪ M‬را در ﺻﻮرﺗﻰ ﻛﻪ در ﻧﺸﺮﻳﺎت ﻋﻤﻮﻣﻰ‬ ‫درج ﻧﺸﺪه و ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ ﻣﻮﺿﻮع ﻣﺠﻠﻪ ﺑﺎﺷﺪ ‪،‬ﻣﻰﭘﺬﻳﺮد ‪ .‬ﻻزم اﺳﺖ در ﻣﻄﺎﻟﺐ ارﺳﺎﻟﻰ ﻣﻮارد زﻳﺮ رﻋﺎﻳﺖ ﺷﻮد‪:‬‬



‫● ﻧﺸﺎﻧﻰ دﻓﺘﺮ ﻣﺠﻠﻪ ‪ :‬ﺗﻬﺮان‪ ،‬اﻳﺮاﻧﺸﻬﺮ‪.‬ﺷﻤﺎﻟﻰ‪ ،‬ﭘﻼك ‪.٢٦٦‬‬ ‫ﺻﻨﺪوق ﭘﺴﺘﻰ‪١٥٨٧٥/٦٥٨٥:‬‬ ‫● ﺗﻠﻔﻦ ‪) ٨٨٨٣١١٦١-٩ :‬داﺧﻠﻰ ‪( ٣٧٤‬‬ ‫● ﻧﻤﺎﺑﺮ‪٨٨٣٠١٤٧٨ :‬‬ ‫●ﭘﺎﻳﮕﺎه اﻳﻨﺘﺮﻧﺘﻰ‪www.roshdmag.ir :‬‬ ‫● راﻳﺎﻧﺎﻣﻪ‪[email protected] :‬‬ ‫● ﺗﻠﻔﻦ ﭘﻴﺎمﮔﻴﺮ ﻧﺸﺮﻳﺎن رﺷﺪ‪٨٨٣٠١٤٨٢ :‬‬ ‫● ﻛﺪ ﻣﺪﻳﺮﻣﺴﺌﻮل‪ ● ١٠٢ :‬ﻛﺪ دﻓﺘﺮ ﻣﺠﻠﻪ‪● ١١٣:‬‬ ‫ﻛﺪ اﻣﻮر ﻣﺸﺘﺮﻛﻴﻦ‪١١٤ :‬‬ ‫● ﻧﺸﺎﻧﻰ اﻣﻮر ﻣﺸﺘﺮﻛﻴﻦ‪:‬ﺗﻬﺮان‪،‬ﺻﻨﺪوق ﭘﺴﺘﻰ‪١٦٥٩٥ /١١١:‬‬ ‫● ﺗﻠﻔﻦ اﻣﻮر ﻣﺸﺘﺮﻛﻴﻦ ‪٧٧٣٣٦٦٥٥-٧٧٣٣٦٦٥٦:‬‬ ‫● ﭼﺎپ‪ :‬ﺷﺮﻛﺖ اﻓﺴﺖ )ﺳﻬﺎﻣﻰ ﻋﺎم(‬ ‫● ﺷﻤﺎرﮔﺎن‪١٢٠٠٠:‬‬



‫ﻣﻄﺎﻟﺐ ﻳﻚ ﺧﻂ در ﻣﻴﺎن و در ﻳﻚ روى ﻛﺎﻏﺬ ﻧﻮﺷﺘﻪ و در ﺻﻮرت اﻣﻜﺎن ﺗﺎﻳﭗ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺷﻜﻞ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺟﺪول ﻫﺎ‪ ،‬ﻧﻤﻮدارﻫﺎ و ﺗﺼﺎوﻳﺮ‪ ،‬ﭘﻴﻮﺳﺖ و در ﺣﺎﺷﻴﻪ‪.‬ى ﻣﻄﻠﺐ ﻧﻴﺰ ﻣﺸﺨﺺ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻧﺜﺮ ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬روان و از ﻧﻈﺮ دﺳﺘﻮر زﺑﺎن ﻓﺎرﺳﻰ درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ و در اﻧﺘﺨﺎب واژه‪.‬ﻫﺎى ﻋﻠﻤﻰ و ﻓﻨﻰ دﻗﺖ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺑﺮاى ﺗﺮﺟﻤﻪ‪.‬ى ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬ﻧﺨﺴﺖ اﺻﻞ ﻣﻘﺎﻟﻪ و ﻣﻨﺒﻊ دﻗﻴﻖ آن‪ ،‬ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه ﺗﺮﺟﻤﻪ‪.‬ى ﻳﻚ ﺑﻨﺪ از آن‪ ،‬ﺑﻪ دﻓﺘﺮ ﻣﺠﻠﻪ ارﺳﺎل ﺷﻮد ﺗﺎ ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻰ‬ ‫ﻫﻴﺌﺖ ﺗﺤﺮﻳﺮﻳﻪ ﻗﺮار ﮔﻴﺮد و ﭘﺲ از ﺗﺼﻮﻳﺐ ﻣﻘﺎﻟﻪ و ﺗﺮﺟﻤﻪ‪.‬ى اراﻳﻪ ﺷﺪه‪ ،‬ﺳﻔﺎرش ﺗﺮﺟﻤﻪ ﺑﻪ ﻓﺮﺳﺘﻨﺪه‪.‬ى ﻣﻘﺎﻟﻪ داده ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪ .‬در ﻏﻴﺮ‬ ‫اﻳﻦ ﺻﻮرت‪،‬ﻣﺠﻠﻪ ﻣﻰ‪.‬ﺗﻮاﻧﺪ ﺳﻔﺎرش ﺗﺮﺟﻤﻪ‪.‬ى ﻣﻘﺎﻟﻪ را ﺑﻪ ﻣﺘﺮﺟﻢ دﻳﮕﺮى ﺑﺪﻫﺪ‪.‬‬ ‫در ﻣﺘﻦ ﻫﺎى ارﺳﺎﻟﻰ ﺗﺎ ﺣﺪ اﻣﻜﺎن از ﻣﻌﺎدل‪.‬ﻫﺎى ﻓﺎرﺳﻰ واژه‪.‬ﻫﺎ و اﺻﻄﻼﺣﺎت اﺳﺘﻔﺎده ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﭘﻰ‪.‬ﻧﻮﺷﺖ ﻫﺎ و ﻣﻨﺎﺑﻊ‪ ،‬ﻛﺎﻣﻞ و ﺷﺎﻣﻞ ﻧﺎم اﺛﺮ‪ ،‬ﻧـﺎم ﻧﻮﻳﺴﻨﺪه‪ ،‬ﻧﺎم ﻣﺘﺮﺟﻢ‪ ،‬ﻣﺤﻞ ﻧﺸﺮ‪ ،‬ﻧﺎﺷﺮ‪ ،‬ﺳﺎل اﻧﺘﺸﺎر و ﺷﻤﺎره‪.‬ى ﺻﻔﺤﻪ‪.‬ى ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﺑـﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﭼﻜﻴﺪه اى از اﺛﺮ و ﻣﻘﺎﻟﻪ‪.‬ى ارﺳﺎل ﺷﺪه در ﺣﺪ اﻛﺜﺮ ‪ ٢٥٠‬ﻛﻠﻤﻪ ‪ ،‬ﻫﻤﺮاه ﻣﻄﻠﺐ ارﺳﺎل ﺷﻮد‪.‬‬ ‫در ﻣﻘﺎﻟﻪ‪.‬ﻫﺎى ﺗﺤﻘﻴﻘﻰ ﻳﺎ ﺗﻮﺻﻴﻔﻰ‪ ،‬واژه‪.‬ﻫﺎى ﻛﻠﻴﺪى در اﻧﺘﻬﺎى ﭼﻜﻴﺪه‪ ،‬ذﻛﺮ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻫﻢﭼﻨﻴﻦ‪:‬‬ ‫ﻣﺠﻠﻪ در ﭘﺬﻳﺮش‪ ،‬رد‪ ،‬وﻳﺮاﻳﺶ ﻳﺎ ﺗﻠﺨﻴﺺ ﻣﻘﺎﻟﻪ‪.‬ﻫﺎى رﺳﻴﺪه ﻣﺠﺎز اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﺐ ﻣﻨﺪرج در ﻣﺠﻠﻪ ‪ ،‬اﻟﺰاﻣﺎ ﻣﺒﻴّﻦ ﻧﻈﺮ دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷﻰ ﻧﻴﺴﺖ و ﻣﺴﺌﻮﻟﻴﺖ ﭘﺎﺳﺦ‪.‬ﮔﻮﻳﻰ ﺑﻪ ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎى ﺧﻮاﻧﻨﺪﮔﺎن‪ ،‬ﺑﺎ‬ ‫ﺧﻮد ﻧﻮﻳﺴﻨﺪه ﻳﺎ ﻣﺘﺮﺟﻢ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﻘﺎﻟﻪ‪.‬ﻫﺎى درﻳﺎﻓﺘﻰ در ‪.‬ﺻﻮرت ﭘﺬﻳﺮش ﻳﺎ رد ‪ ،‬ﺑﺎز‪.‬ﮔﺸﺖ داده ﻧﻤﻰ‪.‬ﺷﻮد‪.‬‬



‫‪١‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﻣﺪرﺳﻪ‪ :‬ﺣﻖ ﻳﺎ اﻣﺘﻴﺎز‬



‫ﻫﺮ ﻛﻪ در اﻳﻦ ﺳﺮا درآﻳﺪ‪ ،‬ﻧﺎﻧﺶ دﻫﻴﺪ‬ ‫ﻧﺎﻧﺶ دﻫﻴﺪ و از ﻧﺎﻣﺶ ﻣﭙﺮﺳﻴﺪ‬ ‫ﭼﻪ آن ﻛﺲ ﻛﻪ ﺑﻪ درﮔﺎه ﺑﺎرى ﺗﻌﺎﻟﻰ ﺑﻪ ﺟﺎن ارزد‪،‬‬ ‫اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺮ ﺧﻮان ﺑﻮاﻟﺤﺴﻦ ﺑﻪ ﻧﺎن ارزد‪.‬‬ ‫ﺷﻴﺦ اﺑﻮاﻟﺤﺴﻦ ﺧﺮﻗﺎﻧﻰ‬ ‫ﻛﺘﺎب ﻧﻮراﻟﻌﻠﻮم‬ ‫ﻗﺮن ﭼﻬﺎرم و اواﻳﻞ ﻗﺮن ﭘﻨﺠﻢ ﻫﺠﺮى‬ ‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫از ﺷﺮوع ﻗﺮن ﺗﻤﺎم ﺷﺪه‪ ،‬ﻣـﺪرﺳﻪ ﺟﺰو ﺣﻘـﻮق اوﻟﻴﻪ ى ﺑﺸـﺮى‬ ‫ﺷﺪ و ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺒﺐ‪ ،‬ﻧﻬﺎدى ﺑﻪ ﻧﺎم آﻣـﻮزش ﻋﻤﻮﻣﻰ و ﺟﺎﻳﮕﺎﻫﻰ ﺑـﻪ‬ ‫ﻧﺎم ﻣﺪرﺳﻪ‪ ،‬ﺗﺄﺳﻴﺲ ﺷﺪ‪ .‬ﻃﺒﻴﻌﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺣـﺮﻛﺖ در ﺗـﺪاوم‬ ‫ﺧﻮد‪ ،‬ﺑﻴﺸﺘﺮ و ﺑﻴﺸـﺘـﺮ ﺑـﻪ وﻇﻴﻔﻪ ى اﺻﻠﻰ اش ﻛﻪ ﻫـﻤـﺎﻧـﺎ آﻣـﻮزش‬ ‫ﻫﻤﮕﺎﻧـﻰ ﺑـﺎﺷـﺪ‪ ،‬ﻧـﺰدﻳﻚ ﺷﺪ‪ .‬ﻣﻬﻢ ﺗـﺮﻳـﻦ ﻋـﻠـﺖ وﺟﻮدى ﺗـﻤـﺎم‬ ‫آﻣﻮزش ﻫﺎى ﻋﻤﻮﻣﻰ‪ ،‬ﺗﺄﻣﻴﻦ اﻳﻦ ﺣﻘﻮق ـ ﻳﻌﻨﻰ ﺣﻖ آﻣﻮزش ـ ﺑﻴﺎن‬ ‫ﺷﺪه اﺳـﺖ و در ﻧـﺘـﻴـﺠـﻪ‪ ،‬در ﺳـﺮاﺳﺮ ﺟـﻬـﺎن‪ ،‬ﺗـﻤـﺎم دوﻟـﺖ ﻫـﺎ‬ ‫ﻣﻮﻇ‪ I‬اﻧﺪ ﻛﻪ ﻣـﺪرﺳﻪ رﻓﺘﻦ اﻓـﺮاد را ﺗﺴﻬﻴﻞ ﻛﻨﻨـﺪ‪ .‬در واﻗﻊ‪ ،‬ﺣـﻖ‬ ‫آﻣﻮزش‪ ،‬وﻇﻴﻔﻪ ى ﻫـﺮ دوﻟﺘﻰ در ﻗﺒﺎل ﺟﺎﻣﻌﻪ ى ﺧـﻮد اﺳﺖ و اﻳﻦ‬ ‫ﺣﻘﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫـﺮ ﺷـﻬـﺮوﻧﺪى ـ در ﻫﺮ ﺟﺎى دﻧﻴﺎ ـ از ﺟـﺎﻣـﻌـﻪ ى‬ ‫ﺧﻮﻳﺶ ﻃﻠﺐ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫‪٢‬‬



‫اﻣﺎ در ﻋﺼﺮ ﺟﺪﻳﺪ‪ ،‬ﻣﻮازﻧﻪ ﻫﺎ ﺑﻪ ﻫﻢ رﻳﺨﺘﻪ اﺳﺖ و ﺑﻪ ﺟﻬـﺖ‬ ‫ﺷﺄﻧﻴﺖ و ﺟﺎﻳﮕﺎه‪ ،‬ﻣﺪرﺳﻪ ﺗﺪاوم آﻣﻮزش در ﮔﺬﺷﺘﻪ ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ ،‬در اﻳﺮان ﻣـﺪارس ﻣﺘﻨﻮﻋﻰ ﺗﺄﺳﻴﺲ ﺷﺪه اﻧﺪ ﻛﻪ اﻓـﺮاد را ﺑﺮاى‬ ‫ﺑﻬﺮه ﻣﻨﺪى از ﺣﻖ ﻃﺒﻴﻌﻰ ﺧﻮد ﻳﻌﻨﻰ آﻣﻮزش دﻳﺪن‪ ،‬ﺳََﺮﻧﺪ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‬ ‫و ﺑﻪ ﺧﻴﺎل ﺧـﻮﻳـﺶ‪ ،‬ﺳـﺮه را از ﻧﺎﺳـﺮه ﺟﺪا ﻣﻰ ﻛﻨـﻨـﺪ و ﺑـﺮاى آن‪،‬‬ ‫ﺗﻮﺟﻴﻬﺎت ﻣﺮدم ﭘﺴﻨﺪاﻧﻪ ﻣﻰ آورﻧﺪ‪ .‬در ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ از ﻣﻨﻈﺮ ﻋﻠﻢ ﺗﻌﻠﻴﻢ‬ ‫و ﺗﺮﺑﻴﺖ ـ ﻧﻪ ﺳﻠﻴﻘﻪ ﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ﻛﻪ اﻏﻠﺐ رﻳﺸـﻪ در آرﻣﺎن ﻫﺎى‬ ‫اﻓﺮاد دارد و ﺑﺴـﻴـﺎرى از آن ﻫﺎ از ﻧﻈﺮ ﻋﻠﻤﻰ ﻗﺎﺑﻞ دﻓﺎع ﻧـﻴـﺴـﺘـﻨـﺪ ـ‬ ‫روش ﻫﺎى ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده در ﺑﺴﻴﺎرى از اﻳﻦ ﻣﺪارس ﻣﺘﻨﻮع‪ ،‬از ﭼﻨﺎن‬ ‫ﻳـﻜـﻨـﻮاﺧﺘـﻰ و ﻛـﻬـﻨـﮕـﻰ ﺑـﺮﺧﻮردارﻧـﺪ ﻛـﻪ ﺷـﮕـﻔـﺖ



آورﻧـﺪ و اﻳـﻦ‬ ‫ﻓﺮﺻﺖ ﺳﻮزى ﻏﺮﻳﺐ اﺳﺖ‪.‬‬



‫واﻗﻌﻴﺘﻰ ﻛﻪ در اﻳـﺮان اﺗﻔﺎق اﻓﺘﺎده اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺣﺘﻰ ﻣـﺪارﺳﻰ‬ ‫ﻛﻪ داراى اﻣﻜﺎﻧﺎت ﻓﺮاوانِ اﺟﺘﻤﺎﻋﻰ و اﻗﺘﺼﺎدى ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺎز ﻫﻢ از‬ ‫ﻧﻈﺮ اﺻـﻮل ﻋﻠﻤـﻰ ـ آﻣـﻮزﺷﻰ‪ ،‬دﭼﺎر ﻣﺸـﻜـﻼت ﻓـﺮاوان اﻧﺪ زﻳـﺮا‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎى اﻳﻦ ﻣﺪارس‪ ،‬از ﻛﻬﻨﮕﻰ دﻳﺪﮔﺎﻫﻰ رﻧﺞ ﻣﻰ ﺑﺮﻧﺪ‪.‬‬ ‫در ﺣﻘﻴﻘﺖ‪ ،‬ﺑﻪ دﻟﻴﻞ ﻓﻘﺪان ﭼﺸﻢ اﻧﺪازﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ ﭘﻴﺸﺮو‪،‬‬ ‫و ﻛﻤﺒﻮد داﻧﺶ ﺗﺨﺼﺼﻰ آﻣﻮزﺷﻰ ﻣﺒﺘﻨﻰ ﺑﺮ ﻣﺪرﺳﻪ‪ ،‬ﺣﺘﻰ ﺑﺴﻴﺎرى‬ ‫از اﻓﺮاد ﺗﻮاﻧﻤﻨﺪ و ﺗﺤﺼﻴﻞ ﻛﺮده ﻧﻴﺰ‪ ،‬ﺟﺰ ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻫﺎى دوران ﺗﺤﺼﻴﻞ‬ ‫ﺧﻮد‪ ،‬ﺑﻪ ﻧﺪرت اﻟﮕﻮى دﻳﮕﺮى دارﻧﺪ و در ﻧﺘﻴﺠﻪ‪ ،‬ﺗﻌﺎﻟﻰ آﻣﻮزﺷﻰ‬ ‫را ﺑﺎ ﺗﻜﺮار آﻣﻮزش دوره ى ﺧﻮدﺷﺎن‪ ،‬اﻧﺘﻈﺎر ﻣﻰ ﻛﺸﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﮔﺎﻫـﻰ ﭘـﺪر و ﻣـﺎدرﻫﺎى ﺗﺤـﺼـﻴـﻞ ﻛـﺮده و آرﻣـﺎن ﺧـﻮاه ﻧﻴـﺰ‪،‬‬ ‫ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ ﺧﻮد را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ اﻟﮕﻮ‪ ،‬ﺑﻪ ﻣﺪارس وﻳﮋه‬ ‫ﺗﺤﻤﻴﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ؛ اﻟﮕـﻮﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺑـﺪون ﻗﻀﺎوت و ﻧﻘﺪ ﻣﻨﺼﻔﺎﻧـﻪ‪،‬‬ ‫اﻧﮕﺎر ﻛﻪ ﺗﻨﻬﺎ اﻟﮕﻮﻫﺎى ﻣﻮﺟﻮد ﺑﻮده اﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى ﮔـﺎردﻧﺮ‪ ،‬اﮔﺮ ﻳﻚ ﻧﻔﺮ از ﻗـﺮن ﻧﻮزدﻫـﻢ وارد ﻣﺪارس‬ ‫ﻛﻨﻮﻧﻰ ﻣﺎ ﺷﻮد‪ ،‬ﺑﻪ راﺣﺘﻰ ﺑﺎ اﻳﻦ ﻣﺪارس ﺳﺎزﮔﺎر ﻣﻰ ﮔﺮدد و اﺣﺴﺎس‬ ‫ﻏﺮﺑﺖ ﻧﻤﻰ ﻛﻨـﺪ و در واﻗﻊ‪ ،‬اﺣﺴﺎس ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ ﻫﻴﭻ ﻣﺸﻜﻠﻰ ﺑـﺎ‬ ‫آن ﻫﺎ ﻧﺨﻮاﻫﺪ داﺷﺖ! زﻳـﺮا ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى وى‪ ،‬در ﻫﻤﻴﻦ ﻛﻼس ﻗـﺮن‬ ‫ﺑﻴﺴﺖ و ﻳﻜﻢ‪ ،‬ﻫﻢ ﭼﻨﺎن ﻣﻌﻠﻢ ﭘﺎى ﺗﺎﺑﻠﻮ ﻣﺸـﻐـﻮل ﻧﻮﺷﺘﻦ اﺳﺖ‪،‬‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮز ﻳﺎدداﺷﺖ ﺑﺮﻣﻰ دارد‪ ،‬درس ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد‪ ،‬آﻣﻮزه ﻫﺎ در‬ ‫ﺳﻜـﻮت ـ و ﮔﺎﻫﻰ ﺑﺎ ﭼﺎﺷﻨﻰ ﺗـﻨـﻮع در ﻗﺎﻟﺐ ﻛـﺎرى در ﮔﺮوه ﻫـﺎى‬ ‫ﻛﻮﭼﻚ ﻳﺎدﮔﻴﺮى! ـ درﻳﺎﻓﺖ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ! ﺗﻤﺮﻳﻦ داده ﻣﻰ ﺷﻮد‪ ،‬ﺗﻜﺮار‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد و داﺳﺘﺎن ﺑﺎ ﻫﻤﻴﻦ ﻳﻜﻨـﻮاﺧﺘﻰ‪ ،‬اداﻣﻪ ﻣﻰ ﻳﺎﺑﺪ‪ .‬ﮔﺎردﻧﺮ در‬ ‫اداﻣﻪ ﻣﻰ ﮔﻮﻳﺪ؛‬ ‫اﻳﻦ در زﻣﺎﻧﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ اﮔـﺮ آن ﻗـﺮن ﻧﻮزدﻫﻤـﻰ وارد ﺟﺎﻣﻌـﻪ ى‬ ‫واﻗﻌﻰ ﺷـﻮد‪ ،‬وﺣﺸـﺖ زده ﻣﻰ ﮔـﺮدد و ﺑﻪ ﺷﺪت اﺣﺴﺎس ﻏـﺮﺑـﺖ‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ ،‬زﻳﺮا ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آن ﭼﻨﺎن ﻣﻮازﻳﻦ ﺟﺎﻣﻌﻪ را زﻳﺮ و رو ﻛﺮده‬ ‫ﻛﻪ ﺑﻴﻦ اﻳﻦ دﻧﻴﺎ و دﻧﻴﺎى ﻗـﺮن ﻧـﻮزدﻫﻢ ﺧﻮد‪ ،‬ﻫﻴﭻ ﻓﺼﻞ ﻣﺸﺘـﺮﻛﻰ‬ ‫ﻧﻤﻰ ﺑﻴﻨﺪ‪ ،‬وﻟﻰ در ﻣﻮاﺟﻬﻪ ﺑﺎ ﻣﺪرﺳﻪ و درون ﺣﺼﺎر ﻣﺪرﺳﻪ‪ ،‬ﻣﺜﻞ‬ ‫آن اﺳﺖ ﻛﻪ دوران ﺧﻮدش را ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ!‬ ‫ﻣﺪرﺳﻪ در ﻣﻮاﺟﻬﻪ ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴـﺮات‪ ،‬ﺑﻴﺸﺘﺮ ﻣﺎﻫﻴﺖ ﻣﺤﺎﻓﻈﻪ ﻛـﺎراﻧﻪ‬ ‫دارد و اﻳﻦ اﻣﺮ‪ ،‬ﻣﻨﺤﺼﺮ ﺑﻪ اﻳﺮان ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬اﻣﺎ ﺷﺪت و ﺿﻌ‪ I‬دارد‪.‬‬ ‫در ﺑﻌﻀﻰ از ﻣﻨﺎﻃﻖ دﻧﻴﺎ‪ ،‬ﺧﻴﻠﻰ ﺷﺪﻳﺪﺗﺮ اﺳﺖ و در ﺑﻌﻀﻰ ﺟﺎﻫﺎ‬ ‫ﺿﻌﻴ‪ I‬ﺗﺮ‪ .‬ﺑﻪ اﻳﻦ ﻋﻠﺖ‪ ،‬ﺗﻼش ﻫﺎى ﺑﺴﻴﺎرى ﻣﻰ ﺷﻮد ﺗﺎ ﻓﺎﺻﻠﻪ ى‬ ‫ﺑﻴﻦ ﻣﺪرﺳﻪ و دﻧﻴﺎى واﻗﻌﻰ ﻛﻤﺘﺮ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺑﺎ اﻳﻦ وﺟﻮد‪ ،‬اﻧﺘﺨـﺎب روش آﻣﻮزﺷﻰ اﻏﻠﺐ ﭼﻨﻴﻦ اﺳﺖ ﻛـﻪ‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻨﻮﻳﻢ و ﻣﻰ ﺑﻴﻨﻴﻢ ﻛـﻪ دﻳـﮕـﺮان ﭼﮕـﻮﻧﻪ ﻋﻤﻞ ﻛـﺮده اﻧﺪ! اﮔﺮ از‬ ‫ﻣﺤﺼﻮل آﻣﻮزش آن ﻫﺎ ﺧﻮﺷﻤﺎن آﻣﺪ‪ ،‬آن روش ﻫﺎ را ﺻﺮف ﻧﻈﺮ از‬



‫ﺗﻨﺎﺳﺒﺸﺎن ﺑﺎ وﻳـﮋﮔﻰ ﻫﺎى داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﺧﻮد‪ ،‬ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ ﺑﻨﺪﻳﻢ ﺗـﺎ‬ ‫ﻣﺤﺼﻮل ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻛﻨﻴﻢ! در ﻧﺘﻴﺠﻪ‪ ،‬ﭼﻮن ﭼﺸﻢ اﻧﺪازﻫﺎى روﺷﻦ‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ و اﻟﮕﻮﻫﺎى ﻛﻼن و ﻣﻨﻌﻄ‪ I‬ﻧﺪارﻳﻢ‪ ،‬ﺗﻘﺮﻳﺒﺎَ ﺑﻪ روزﻣﺮﮔﻰ‬ ‫ﻣﻰ اﻓﺘﻴﻢ و ﻫﺮ اﻟﮕﻮى ﺟﺪﻳﺪى را ﻫﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺑﺪﻧﻪ ى آﻣﻮزﺷﻰ ﺗﺰرﻳﻖ‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬ﻋﻤﻼً ﭘﺎﺳﺦ ﻧﻤﻰ ﮔﻴﺮﻳﻢ‪.‬‬ ‫اﻣﺎ ﺑﺎ وﺟﻮد اﻳﻦ ﻛﻬﻨﮕﻰ دﻳﺪﮔﺎﻫﻰ ﻛﻪ در ﺑﻄﻦ آﻣﻮزش ﻣﺎ وﺟﻮد‬ ‫دارد‪ ،‬ﻣﺤﺼـﻮﻻت ﺧﻮﺑـﻰ ﺗـﻮﻟﻴﺪ ﻣـﻰ ﺷـﻮﻧﺪ زﻳـﺮا ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺧـﺎرج از‬ ‫ﭼﺎرﭼﻮب ﻫﺎى ﺗﻨﮓ ﻣـﺪرﺳﻪ‪ ،‬ﺑﻪ ﺣﻴﺎت ﻃﺒﻴﻌـﻰ ﺧـﻮد و رﺳﻴﺪن ﺑـﻪ‬ ‫ﺗﻌﺎﻟﻰ اداﻣﻪ ﻣﻰ دﻫﺪ‪ .‬ﻫﻢ ﭼﻨﺎن ﻛﻪ اﻧﻜﺎر ﺗـﻜـﻨـﻮﻟـﻮژى ﻣﺎﻧﻨﺪ اﻧﻜـﺎر‬ ‫روﺷﻨﺎﻳﻰ روز اﺳﺖ‪ ،‬ﻧـﺎدﻳـﺪه ﮔـﺮﻓﺘﻦ ﻇـﺮﻓﻴﺖ ﻫﺎى ﭘﻴـﺪا و ﭘـﻨـﻬـﺎن‬ ‫ﺟﻤﻌﻴﺖ ﻋﻈﻴﻢ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻓﻬﻴﻢ و ﻛﻢ ﺑﻬﺮه از آﻣﻮزش ﻫﺎى ﺧﻮب‬ ‫ﻓﻜﺮ ﺷﺪه اﻣﺎ ﺗﻮاﻧﻤﻨﺪ در ﺑﻬﺮه ﺑﺮدن از ﺣﺪاﻗﻞ ﻫﺎى ﻣﻮﺟﻮد و اﻣﻴﺪوار‬ ‫ﺑﻪ آﻳﻨﺪه اى ﻛﻪ ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ آن ﻫﺎﺳﺖ‪ ،‬ﺧﻄﺎﻳﻰ ﺟـﺒـﺮان ﻧﺎﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻴ‪ I‬اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺳﺮﻧﺪ ﻛﺮدن ﻫﺎى ﺑﻪ ﺟﺎ و ﻧﺎﺑﻪ ﺟﺎ‪ ،‬ﺟﺎﻣﻌﻪ ى ﻛﻼن‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزى را از ﻫﻢ ﺗﻔﻜﻴﻚ ﻛﻨﻴﻢ و ﺑـﺮاى ﺟﻤﻊ ﻗﻠﻴﻠﻰ از آن ﻫـﺎ‪،‬‬ ‫آﻣﻮزش ﻫﺎى ﺑﻪ اﺻﻄﻼح وﻳـﮋه ﺗـﺪارك ﺑﺒﻴﻨﻴﻢ‪ .‬ﺣﻴ‪ I‬اﺳـﺖ ﻛـﻪ از‬ ‫ادﺑﻴﺎت و ﻓﺮﻫﻨﮓ ﻏﻨﻰ اﻳﺮاﻧﻰ ـ اﺳﻼﻣﻰ ﺧﻮد ﺑﻬﺮه ﻧﺒﺮﻳﻢ ﻛﻪ در ﻫﺰار‬ ‫ﺳﺎل ﭘﻴﺶ ﻧﻴﺰ‪ ،‬ﺣﻘـﻮق ﻋﻤﻮﻣﻰ اﻓﺮاد را ﻣﺤﺘـﺮم ﻣﻰ ﺷﻤﺮد و از زﺑﺎن‬ ‫ﭘﻴﺮ داﻧﺎ ـ ﺷﻴﺦ اﺑﻮاﻟﺤﺴﻦ ﺧﺮﻗﺎﻧﻰ‪ ،‬ﻧﻬﻴﺐ ﻣﻰ زد ﻛﻪ »ﭼﻪ آن ﻛﺲ ﻛﻪ‬ ‫ﺑﻪ درﮔﺎه ﺑﺎرى ﺗﻌﺎﻟﻰ ﺑﻪ ﺟـﺎن ارزد‪ ،‬اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺮ ﺧﻮان ﺑـﻮاﻟﺤﺴﻦ ﺑﻪ ﻧﺎن‬ ‫ارزد!« اﻳﻦ ﺳﺨـﻦ ﻧـﻐـﺰ ﺧـﺮﻗﺎﻧﻰ‪ ،‬ﺗﻤـﺜـﻴـﻞ زﻳـﺒـﺎﻳـﻰ ﺑـﺮاى آﻣﻮزش‬ ‫ﻣﺪرﺳﻪ اى در اﻳـﺮان اﺳﺖ ﻛﻪ آﻣـﻮزش ﻋﻤﻮﻣﻰ‪ ،‬ﺧـﻮان ﮔﺴﺘـﺮده اى‬ ‫اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﻤﻪ ى داﻧﺶ آﻣﻮزان ـ ﺗﻴﺰﻫﻮش و ﻣﻌﻤﻮﻟﻰ و دﻳﺮ ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪه ـ‬ ‫ﺣﻖ ﺑﻬـﺮه ﺑـﺮدن ﺟﻤﻌـﻰ از آن را دارﻧﺪ و ﺧـﻮﺷﺒﺨﺘﺎﻧﻪ‪ ،‬ﻳـﺎﻓـﺘـﻪ ﻫـﺎى‬ ‫ﭘـﮋوﻫﺸـﻰ ﻓـﺮاواﻧﻰ ﺑﺮ اﻳـﻦ ﻧـﻈـﺮ ﺻـﺤّﻪ ﮔﺬاﺷﺘـﻪ اﻧـﺪ ﻛـﻪ ﺗـﻔـﻜـﻴـﻚ‬ ‫داﻧﺶ آﻣـﻮزان از ﻫﺮ ﻧﻈﺮ ـ اﺳﺘﻌـﺪاد‪ ،‬ﻫـﻮش‪ ،‬ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى‪،‬‬ ‫ﺳﻄﺢ آﻣﻮزﺷﻰ و ﻧﻈﺎﻳﺮ آن ـ و اﻏﻠﺐ ﺑﺎ ﭘﺸﺘﻮاﻧﻪ ى ﻧﺘﺎﻳﺞ آزﻣﻮن ﻫﺎى‬ ‫ﻋﺪﻳﺪه و ﻛـﺜـﻴـﺮه‪ ،‬ﺻﺪﻣﺎﺗـﻰ ﻛـﻪ در درازﻣﺪت ﺑﻪ آﻣـﻮزش ﻋﻤـﻮﻣـﻰ‬ ‫ﻣﻰ زﻧﺪ‪ ،‬ﺑﻴﺶ از اﻧﺪك ﺑﺎرى اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ از دوش آﻣﻮزش‬ ‫ﻋﻤﻮﻣﻰ ﺑﺮدارد‪.‬‬ ‫***‬ ‫ﻫﺮ ﺳﺎل ﺟﺪﻳﺪ‪ ،‬ﻫﻤﻴﺸﻪ ﻧﻮﻳﺪﺑﺨﺶ ﺗﺤﻮل در ﻗﻠﺐ ﻫﺎﺳﺖ ﻛﻪ‬ ‫ﻋﺎﺟﺰاﻧﻪ در ﻣﻮﻗﻊ ﺗﺤﻮﻳﻞ ﺳﺎل‪ ،‬از ﻣﻘﻠﺐ اﻟﻘﻠﻮب ﻃﻠﺐ ﻣﻰ ﻧﻤﺎﺋﻴﻢ‪.‬‬ ‫اﻣﻴﺪوارم ﺳـﺎل ‪ ،١٣٨٩‬ﺳﺎﻟﻰ از ﻫﺮ ﻧﻈﺮ ﭘﺮ ﺑـﺮﻛﺖ و ﻧﺸـﺎط آور و‬ ‫ﻣﻮﻟﺪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در ﺿﻤﻦ‪ ،‬ﺑﻪ ﻣﻌﻠﻤـﺎن ﻋـﺰﻳـﺰ ﻫـﻢ ﻛـﻪ روزﺷﺎن را در‬ ‫ﻫﻤﻴﻦ ﻓﺼﻞ ﺟﺸﻦ ﻣﻰ ﮔـﻴـﺮﻧﺪ ﺗﺒﺮﻳﻚ ﻣﻀﺎﻋ‪ I‬ﮔﻔﺘﻪ و ﺑـﺮاﻳﺸـﺎن‪،‬‬ ‫ﻣﻮﻓﻘﻴﺖ ﺑﻴﺸﺘﺮ را آرزو دارم‪.‬‬ ‫‪٣‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﻣﻨﺎﻓﻊ و دامﻫﺎى ﺷﻰءاﻧﮕﺎرى‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﻟﻴﺮا ﻟﻴﻨﭽِﻮﺳﻜﻰ‬ ‫ﻧﻮﻳﺴﻨﺪﮔﺎن‪ :‬آﻧﺎ اﺳﻔﺎرد و ُ‬ ‫زﻫﺮا ﻛﺎﻣﻴﺎب‬ ‫ﻣﺘﺮﺟﻤﺎن‪:‬‬ ‫داﻧﺸﺠﻮى دﻛﺘﺮى آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ واﺣﺪ ﻋﻠﻮم و ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت داﻧﺸﮕﺎه آزاد اﺳﻼﻣﻰ‬ ‫اﻣﻴﺮﺣﺴﻴﻦ اﺻﻐﺮى‬ ‫داﻧﺸﮕﺎه ﺷﻬﻴﺪ ﺑﻬﺸﺘﻰ‬



‫ﭼﻜﻴﺪه‬ ‫ﻧﻤﺎدﻫﺎى ﺟﺒﺮى ﺑﻪ ﺧﻮدى ﺧـﻮد ﺣﺮﻓﻰ ﺑﺮاى ﮔﻔﺘﻦ ﻧﺪارﻧﺪ‪ .‬درﺣﻘﻴﻘﺖ‪ ،‬آن ﭼﻪ از ﻧﻤﺎدﻫـﺎ درك ﻣﻰ ﺷﻮد‪ ،‬واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﺷﺮاﻳﻂ ﻣﺴﺌﻠﻪ اى‬ ‫اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﺑﺮاى آن ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ اﻧﺪ‪ .‬ﻋـﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ‪ ،‬اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﻪ آن ﭼﻪ ﻓﺮد ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ درك ﻛﻨﺪ و آﻣﺎدﮔﻰ ﺗﻮﺟﻪ ﻛـﺮدن ﺑﻪ آن را دارد‪،‬‬ ‫واﺑﺴﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬آﺧﺮﻳﻦ ﻋـﺒـﺎرت‪ ،‬ﻣـﻮﺿﻮع ﻣﻬﻢ اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ اﺳﺖ‪ ،‬ﻳﻌﻨـﻰ ﺗـﻤـﺮﻛﺰ اﺻﻠﻰ ﺑﺮ ﺗﻐﻴﻴـﺮﭘـﺬﻳـﺮى‪ ١‬و اﻧﻄﺒﺎق ﭘـﺬﻳـﺮى‪ ٢‬داﻧﺶ ﺟﺒﺮى‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ‪ ،‬در درون ﭼﺎرﭼﻮب ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ﺷﻰء اﻧﮕﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ اﻧﺠﺎم ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑـﺮاﺳﺎس اﻳﻦ ﻧﻈﺮﻳﻪ‪ ،‬ﻳﻚ دوﮔﺎﻧﮕﻰ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ـ‬ ‫ﺷﻰء ذاﺗﻰ در ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻰ وﺟﻮد دارد‪ .‬اﺳﺎس ﻧﻈﺮﻳﻪ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ در اﺑﺘﺪا‪ ،‬ﻣﻔﻬﻮم ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ )ﻓﺮاﻳﻨﺪﻣﺤﻮر‪ (٣‬اﻳﺠﺎد ﻣﻰ ﺷﻮد‬ ‫و ﭘﺲ از آن از ﻃﺮﻳﻖ ﺷﻰء اﻧﮕﺎرى ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎ‪ ،‬اﺷﻴﺎى رﻳﺎﺿﻰ )ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺳﺎﺧﺘـﺎرى( اﻳﺠﺎد ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺷﻮاﻫﺪ ﺑﺴﻴﺎرى وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﻧﺸﺎن‬ ‫ﻣﻰ دﻫﻨﺪ رﺳﻴﺪن ﺑﻪ ﺷﻰء اﻧﮕﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ‪ ،‬دﺷﻮار اﺳﺖ‪.‬‬ ‫در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬اﺑﺘﺪا ﻣﺎﻫـﻴـﺖ و رﺷﺪ ﺗﻔﻜﺮ ﺟﺒـﺮى از دﻳﺪﮔﺎه ﺷﻨﺎﺧﺖ ﺷﻨﺎﺳـﻰ ﻣـﻮرد ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴـﻞ ﻗـﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺎﻣـﻰ اﻳـﻦ‬ ‫دﻳﺪﮔﺎه‪ ،‬ﻣﺸﺎﻫﺪات ﺗﺎرﻳﺨﻰ اﺳﺖ‪ .‬درﻧﻬﺎﻳﺖ‪ ،‬رﺷﺪ ﺗﻔﻜﺮ ﺟﺒﺮى ﺑﻪ ﻋﻨﻮان دﻧﺒﺎﻟﻪ اى از اﻧﺘﻘﺎل ﻫﺎى ﻫﻤﻮاره رو ﺑﻪ ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ‪ ،‬از ﻧﮕﺎه ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ‬ ‫ﺑﻪ ﺳﺎﺧﺘﺎرى ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺳﭙﺲ‪ ،‬اﻳﻦ ﻣﺪل ﺑﺮاى ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻓﺮدى ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻤﺮﻛﺰ ﺑﺮ دو اﻧﺘﻘﺎل ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻨﺪه اﺳﺖ‪ :‬اﻧﺘﻘﺎل‬ ‫از ﺟﺒﺮ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﻣﺤﺾ ﺑﻪ ﺟﺒﺮ ﺳﺎﺧﺘﺎرى از »ﻳﻚ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ« )از ﻳﻚ ﻣﺠﻬﻮل( و ﺳﭙﺲ از اﻳﻦ ﺟﺎ ﺑﻪ ﺟﺒﺮ ﺗﺎﺑﻌﻰ )از ﻳﻚ ﻣﺘﻐﻴﺮ(‪ .‬ﺑﻌﺪ از‬ ‫اﻳﻦ‪ ،‬دﺷﻮارى ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن در اﻳﻦ ﻧﻘﺎطِ اﺗﺼﺎل ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از داده ﻫﺎى ﺗﺠﺮﺑﻰ ﺑﻴﺶ ﺗﺮى ﻛﻪ از داﻣﻨﻪ ى وﺳﻴﻌﻰ‬ ‫از ﻣﻨﺎﺑﻊ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه‪ ،‬ﺷﺮح داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻛﻠﻴﺪ واژه‪C‬ﻫـﺎ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﻣﺪرﺳﻪ اى‪ ،‬ﺷﻰء اﻧﮕـﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ‪ ،‬ﺗﻔﻜـﺮ‬ ‫ﺟﺒﺮى‪.‬‬ ‫زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺑـﻪ ﻳـﻚ ﻋـﺒـﺎرت ﺟﺒـﺮى ﻣﺎﻧـﻨـﺪ ‪ 3(x + 5) +1‬ﻧـﮕـﺎه‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫‪٤‬‬



‫ﻣﻰ ﻛﻨﻴﺪ‪ ،‬ﭼﻪ ﭼﻴﺰى ﻣﻰ ﺑﻴﻨﻴﺪ؟ ﺑﺴﺘﮕﻰ دارد‪.‬‬ ‫اﺣﺘﻤﺎﻻ در ﺑﻌﻀﻰ ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﻫﺎ ﺧﻮاﻫﻴﺪ ﮔﻔﺖ‪ ،‬اﻳﻦ ﺗﻮﺻﻴﻔﻰ‬ ‫ً‬ ‫ﻛﻮﺗـﺎه و رﺳﺎ از ﻳﻚ ﻓـﺮاﻳﻨﺪ ﻣﺤﺎﺳﺒـﺎﺗـﻰ اﺳـﺖ‪ .‬در اﻳـﻦ ﺣـﺎﻟـﺖ‬



‫‪ 3(x + 5) +1‬ﻫﻢ ﭼﻮن دﻧﺒﺎﻟﻪ اى از دﺳﺘﻮراﻟﻌﻤﻞ ﻫﺎ اﺳﺖ‪ ٥ :‬را‬ ‫ﺑﻪ ﻋﺪدى ﻛﻪ دارﻳﺪ اﺿﺎﻓﻪ ﻛﻨﻴﺪ‪ ،‬ﻧﺘﻴﺠﻪ را در ‪ ٣‬ﺿﺮب و ﺳﭙﺲ ‪١‬‬ ‫را اﺿﺎﻓﻪ ﻛﻨﻴﺪ‪ .‬در ﻣﻮﻗﻌﻴﺘﻰ دﻳﮕﺮ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ اﻳﻦ ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮى‬ ‫را ﻃﻮر دﻳﮕـﺮى ﺑﺒﻴـﻨـﻴـﺪ‪ 3(x + 5) +1 :‬ﻋﺪد ﻣﻌﻴـﻨـﻰ را ﻧﻤـﺎﻳـﺶ‬ ‫ﻣﻰ دﻫﺪ‪ .‬اﻳـﻦ ﻋـﺒـﺎرت‪ ،‬ﻧﺘﻴﺠﻪ ى ﻣـﺤـﺎﺳـﺒـﺎت اﺳـﺖ ﻧـﻪ ﺧـﻮد‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت‪ .‬اﮔﺮﭼﻪ ﻋﺪد ‪ x‬ﻣﺠﻬﻮل اﺳﺖ و در ﻫﺮ ﻟﺤﻈﻪ ﻧﻤﻰ ﺗﻮان‬ ‫ﻧﺘﻴﺠـﻪ را ﻣﺸﺨﺺ ﻛﺮد‪ ،‬ﺑﺎ اﻳﻦ وﺟـﻮد‪ ،‬اﻳﻦ ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮى ﻫﻨـﻮز‬ ‫ﻳﻚ ﻋﺪد اﺳﺖ و اﻧﺘﻈﺎر ﻣـﻰ رود ﻛﻞ ﻋﺒـﺎرت ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻳﻚ ﻋﺪد‬ ‫ﻋﻤـﻞ ﻛـﻨـﺪ‪ .‬ﺗـﻌـﺒـﻴـﺮ دﻳـﮕـﺮى ﻫـﻢ وﺟـﻮد دارد‪ :‬ﻣﻤـﻜـﻦ اﺳـﺖ‬ ‫‪ 3(x + 5) +1‬را ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ در ﻧﻈـﺮ ﺑـﮕـﻴـﺮﻳـﻢ‪ .‬ﺗـﺎﺑـﻊ‪،‬‬ ‫ﻧﮕﺎﺷﺘﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫـﺮ ﻋـﺪد ‪ x‬را ﺑﻪ ﻋﺪد دﻳﮕﺮى ﻣﻰ ﺑـﺮد‪ .‬در اﻳﻦ‬ ‫ﺣﺎﻟـﺖ‪ ،‬ﻓـﺮﻣﻮل ﻫﻴﭻ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑـﺘـﻰ )ﺣـﺘـﻰ ﻣـﺠـﻬـﻮل( را ﻧﺸـﺎن‬ ‫ﻧﻤﻰ دﻫﺪ‪ .‬در ﻋﻮض‪ ،‬ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه ى ﻳﻚ ﺗﻐﻴﻴﺮ اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ در‬ ‫اﻳﻦ ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮى ﺑﻪ ﺟﺎى ﻳﻜﻰ از ﺿﺮاﻳﺐ ﻋﺪدى )ﻣﺜﻼً ‪ (٣‬ﻳﻚ‬ ‫ﺣﺮف ﻗﺮار ﮔﻴﺮد )ﻣﺜﻼً ‪ ،(a‬ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮى ﺣﺎﺻﻞ ‪، a(x + 5) +1‬‬ ‫ﭘﻴﭽﻴﺪه ﺗﺮ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣـﻰ رﺳﺪ‪ .‬در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻋﺒـﺎرت‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﺧﺎﻧﻮاده اى از ﺗـﻮاﺑﻊ از ‪ |R‬ﺑﻪ ‪ |R‬در ﻧﻈﺮ ﮔـﺮﻓﺘﻪ ﺷـﻮد‪.‬‬ ‫ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ‪ ،‬ﺗﻌﺒﻴﺮ دﻳﮕﺮى ﻧﻴﺰ وﺟﻮد دارد‪ :‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻓﺮدى‬ ‫ادﻋﺎ ﻛﻨﺪ آن ﭼﻪ در ﭘﺲ ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﭘﻨﻬﺎن ﺷﺪه‪ ،‬ﺗﺎﺑﻌﻰ از دو ﻣﺘﻐﻴﺮ‪،‬‬ ‫از ‪ |R 2‬ﺑﻪ ‪ |R‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﻟﺒﺘﻪ ﺷﻴﻮه ى ﺳﺎده ﺗﺮى ﻧﻴﺰ ﺑﺮاى ﻣﺸﺎﻫﺪه ى ‪ 3(x + 5) +1‬وﺟﻮد‬ ‫دارد‪ :‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ اﻳﻦ ﻋﺒـﺎرت‪ ،‬ﺑﺮاﺳﺎس ﺷﻜﻞ ﻇﺎﻫـﺮى آن ﺻﺮ ً‬ ‫ﻓﺎ‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻨﻮان رﺷﺘﻪ اى از ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﻛﻪ ﭼﻴﺰى را ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻧﻤﻰ دﻫﻨﺪ‪ ،‬در ﻧﻈﺮ‬ ‫ﮔﺮﻓﺘـﻪ ﺷـﻮد‪ .‬اﻳﻦ ﻋﺒـﺎرت ﺟﺒـﺮى ﺑﻪ ﺧﻮدى



ﺧـﻮد ﻳﻚ ﺷﻰء ﺟﺒـﺮى‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬اﮔـﺮﭼﻪ اﻳﻦ ﻋﺒـﺎرت از ﻧﻈﺮ ﻣﻌﻨﺎﻳﻰ ﺗﻬﻰ اﺳﺖ‪ ،‬اﻣـﺎ ﻫـﻨـﻮز‬ ‫ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑﺎ آن دﺳﺖ ورزى ﺷﻮد و ﺑﺮاﺳﺎس ﻗﻮاﻋﺪ ﻣﺸﺨﺼﻰ ﻛﻪ‬ ‫ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﻧﺸﺪه اﻧﺪ‪ ،‬ﺑﺎ ﺳﺎﻳﺮ ﻋﺒﺎراﺗﻰ از اﻳﻦ ﻧﻮع ﺗﺮﻛﻴﺐ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫در اﻳﻦ ﺟﺎ ﻣﻰ ﺗﻮان ﭘﺮﺳﻴﺪ ﻛﻪ آﻳﺎ در ﻋﻤﻞ ﻧﻴﺰ‪ ،‬ﻣﺸﺎﻫﺪات ﺑـﺎﻻ‬ ‫از ﻣﻌﺎﻧﻰ ﺟﺒﺮ ﻣﻬﻢ ﻫﺴﺘﻨﺪ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان ﻣﺜﺎل‪،‬‬ ‫زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻻﺗﻰ از ﻗﺒﻴﻞ ‪(p + 2q)x2 + x = 5x2 (3p − q)x‬‬ ‫ﻣﻮاﺟﻪ ﻣﻰ ﺷﻮﻳﻢ‪ ،‬ﺑﺪون داﻧﺴﺘﻦ اﻳﻦ ﻛﻪ آﻳﺎ ﺗﺴﺎوى ﻣﺮﺑﻮط‪ ،‬ﻋﺪدى‬ ‫ﻳﺎ ﺗﺎﺑﻌﻰ اﺳﺖ‪ ،‬ﻧﻤﻰ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺣﻞ ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬در اﻳﻦ ﺟﺎ اﻳﻦ ﺳﺆال‬ ‫ﻣـﻄـﺮح اﺳـﺖ ﻛـﻪ آﻳـﺎ ﻫـﺪف‪ ،‬ﺑــﻪ دﺳــﺖ آوردن ﻣـﻘـﺪار ‪ x‬اﺳـﺖ‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮرى ﻛﻪ ﺗﺴـﺎوى ﺑﺮﻗـﺮار ﺑﺎﺷﺪ )اﻳﻦ ﻣﻘﺪار ﺑﺎﻳﺪ ﺑـﺮﺣﺴـﺐ ‪ p‬و ‪q‬‬ ‫ﺑﻴﺎن ﺷـﻮد(؟ ﻳﺎ ﻫﺪف‪ ،‬ﺑﻪ دﺳـﺖ آوردن ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﭘﺎراﻣﺘـﺮﻫﺎى ‪ p‬و ‪q‬‬ ‫اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮرى ﻛﻪ دو ﺗﺎﺑﻊ ‪ (p + 2q)x2 + x‬و ‪5x2 (3p − q)x‬‬ ‫ت درﮔﻴﺮ ﺷﺪن‬ ‫ﻣﺴﺎوى ﺑﺎﺷﻨﺪ؟ ﺗﻔﺎﺳﻴﺮ ﻣﺨﺘﻠ‪ ،I‬ﺷﻴﻮه ﻫﺎى ﻣﺘﻔﺎو ِ‬



‫ﺑﺎ ﻣﺴﺌﻠﻪ و راه ﺣﻞ ﻫﺎى ﻣﺘﻔﺎوت را ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻰ دﻫﺪ‪ :‬در ﺣﺎﻟﺖ اول‪،‬‬ ‫ﻓـــﺮد رﻳــﺸــﻪ ﻫــﺎى ﻣـــﻌـــﺎدﻟـــﻪ را ﺑــﺎ ﺑـــﻪ ﻛـــﺎر ﺑـــﺮدن ﻓــﺮﻣـــﻮل‬ ‫‪ x1, x2 = (−b ± ∆ ) / 2a‬ﭘﻴﺪا ﻣﻰ ﻛـﻨـﺪ و در ﺣـﺎﻟـﺖ دوم‪ ،‬ﺑﺎ‬ ‫ﻣﺴـﺎوى ﻗـﺮار دادن ﺿـﺮاﻳﺐ ﺗـﻮان ﻫﺎى ﻳـﻜـﺴـﺎن ‪ x‬در دو ﻋـﺒـﺎرت‬ ‫) ‪ p + 2q = 5‬و ‪،( 3p − q = 1‬‬ ‫ﻣﻘـﺎدﻳـﺮ ﭘـﺎراﻣـﺘـﺮﻫﺎى ‪ p‬و ‪ q‬ﺑـﻪ دﺳـﺖ‬ ‫رﻳـــــــــﺎﺿـــــــــﻰدان‬ ‫ﻣﻰ آﻳﻨﺪ‪ .‬ﺣﺎﻟﺖ دﻳﮕﺮى ﻫﻢ وﺟﻮد دارد‬ ‫ﻓﺮاﻧﺴﻮى ﻓـﺮﻧﻜﻮﺋﻴـﺰ‬ ‫ﻛﻪ ﻣـﻤـﻜـﻦ اﺳـﺖ ﻧـﻤـﺎدﻫـﺎ ﺑـﺮاى ﻓﺮد‬ ‫وﻳـــــــــــﺖ )‪-١٦٠٣‬‬ ‫ﻣﻌﻨﺎﻳﻰ ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ دﻳﺪﮔﺎه در‬ ‫‪ (١٥٤٠‬اوﻟﻴﻦ ﻛﺴﻰ‬ ‫اﺑﺘﺪا‪ ،‬ﻛﻤﻜﻰ ﺑﻪ ﺣﻞ ﻣﺴﺄﻟﻪ ﻧﻤﻰ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻮد ﻛﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﻌﻴـﻦ‬ ‫اﻣﺎ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻓﺮد ﻳﻚ ﻋﻜﺲ اﻟﻌﻤﻞ‬ ‫ﻋـﺪدى را ﺑـﺎ ﻧـﻤـﺎدﻫـﺎ‬ ‫ﻏﻴـﺮ ارادى ﻧﺸﺎن دﻫـﺪ‪ .‬او اﺣـﺘـﻤـﺎﻻً‬ ‫ﺟﺎﻳﮕﺰﻳـﻦ ﻛـﺮد‪ .‬اﻳـﻦ‬ ‫ﺑـﻪ ﻃـﻮر ﻏـﻴــﺮ ارادى ﻛـﺎرى را اﻧـﺠــﺎم‬ ‫اﺑــﺪاع‪ ،‬ﻣــﻨــﺠــﺮ ﺑــﻪ‬ ‫ﻣـﻰ دﻫـﺪ ﻛـﻪ ﺑــﺮاى آن ﺷــﺮﻃـﻰ ﺷـﺪه‬ ‫ﻣـﻰ‬ ‫ﺗﻐـﻴـﻴـﺮات ﻣﻔـﻬـﻮ ِ‬ ‫اﺳـﺖ‪ ،‬ﻳـﻌـﻨـﻰ در ﻣــﻮاﺟـﻬـﻪ ﺑـﺎ ﻳــﻚ‬ ‫دور از دﺳﺘﺮس در‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى درﺟﻪ ى دوم‪ ،‬ﺑﺪون ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ‬ ‫ﺟﺒﺮ ﺷﺪ‬ ‫ﺳـﺆاﻟﻰ ﻛﻪ ﭘـﺮﺳﻴﺪه ﺷـﺪه‪ ،‬ﺑـﻪ ﻓـﺮﻣـﻮل‬ ‫رﻳﺸﻪ ﻫﺎ ﻣﺘﻮﺳﻞ ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺗﻌﺪد دﻳﺪﮔﺎه ﻫﺎ ﻧﺴﺒـﺖ ﺑـﻪ ﺷـﻰ‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﺘﺎ ﮔﻴﺞ ﻛﻨﻨﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ً‬ ‫ﻇﺎﻫﺮًا ﺳﺎده اى ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪، 3(x + 5) +1‬‬ ‫در ﺑﺨﺶ ﻫﺎى ﺑﻌﺪى ﺧـﻮاﻫﻴﻢ ﮔﻔﺖ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬ﻫﻢ ﭼـﻨـﻴـﻦ‬ ‫ﻣﻨﺸﺄ ﻗﺪرت ﺟﺒﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .١‬ﻣﻘﺪﻣﺎت‪ :‬ﺟﺒﺮ از ﻧﮕﺎه ﻧﻈﺮﻳﻪى ﺷﻰءاﻧﮕﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ‬ ‫ﻧﻤﺎدﻫـﺎى ﺟـﺒـﺮى ﺑﻪ ﺧـﻮدى ﺧـﻮد ﺣﺮﻓﻰ ﺑـﺮاى ﮔﻔـﺘـﻦ ﻧـﺪارﻧﺪ‪.‬‬ ‫درﺣﻘﻴﻘـﺖ‪ ،‬آن ﭼـﻪ از ﻧـﻤـﺎدﻫـﺎ درك ﻣﻰ ﺷـﻮد‪ ،‬واﺑﺴﺘـﻪ ﺑـﻪ ﺷـﺮاﻳـﻂ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ اى اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﺑﺮاى آن ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ اﻧﺪ‪ .‬ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ‬ ‫ﺑﻪ ﻫـﺮﭼﻪ ﻛﻪ ﻓـﺮد ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ درك ﻛﻨﺪ و آﻣﺎدﮔـﻰ ﺗـﻮﺟﻪ ﻛﺮدن ﺑـﻪ آن را‬ ‫دارد‪ ،‬واﺑﺴﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬آﺧﺮﻳﻦ ﻋﺒﺎرت‪ ،‬ﻣﻮﺿﻮع ﻣﻬﻢ اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗـﻤـﺮﻛﺰ اﺻﻠـﻰ ﺑـﺮ ﺗـﻐـﻴـﻴـﺮﭘـﺬﻳـﺮى و اﻧﻄـﺒـﺎق ﭘـﺬﻳـﺮى داﻧﺶ ﺟـﺒـﺮى‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان اﺳﺖ‪ .‬ﺳﺆاﻟﻰ ﻛﻪ در اﻳﻦ ﺟﺎ ﻣﻄﺮح اﺳﺖ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ‬ ‫ﻳﺎدﮔـﻴـﺮﻧﺪه ﺗﺎ ﭼـﻪ اﻧـﺪازه ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ ﺗﻔﺎﺳـﻴـﺮ ﮔـﻮﻧﺎﮔـﻮن ﻣﺤﺘـﻤـﻠـﻰ از‬ ‫ﺳﺎﺧﺖ ﻫﺎى ﺟﺒﺮى را درك ﻛﻨﺪ و ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮد‪ .‬ﻗﺒـﻞ از درﮔﻴﺮ ﺷﺪن ﺑﺎ‬ ‫اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬ﺑﺮ ﻧﻮع ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻠﻰ ﻛﻪ در اﻳﻦ ﺟﺎ اﻧﺠﺎم ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪،‬‬ ‫ﺗﺄﻣﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺎﻳﺰﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ در ﻣﺜﺎل ﻫﺎى اﺑﺘﺪاى ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻣﻄﺮح ﻛﺮدﻳﻢ‪ ،‬ﺑﺴﻴﺎر‬ ‫ﻇﺮﻳ‪ I‬ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﺑﻪ آن ﭼﻪ ﻛﻪ در ذﻫﻦ اﻓﺮاد رخ ﻣﻰ دﻫﺪ اﺷﺎره دارد‪،‬‬ ‫‪٥‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﻧﻪ ﺑﻪ آن ﭼﻪ ﻛﻪ روى ﻛﺎﻏﺬ ﻣﻰ ﻧﻮﻳﺴﻨﺪ و ﺑﻪ ﻣﻌﻠﻢ ﺗﺤﻮﻳﻞ ﻣﻰ دﻫﻨﺪ‪.‬‬ ‫درواﻗـﻊ‪ ،‬ﺗــﻔــﺎوت ﺑـﻴـﻦ ﺗــﻔــﺎﺳــﻴــﺮ ﻣــﺨــﺘــﻠــ‪ I‬ﻣــﻌــﺎدﻟــﻪ ى‬ ‫‪ (p + 2q)x2 + x = 5x2 (3p − q)x‬ﻫـﻤـﻴــﺸــﻪ در ﻳــﻚ آزﻣــﻮن‬ ‫اﺳﺘﺎﻧﺪارد ﻧﺸﺎن داده ﻧﻤﻰ ﺷـﻮد‪ .‬ﻋﻠﺖ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣـﻮز‪،‬‬ ‫ﭼﻪ ﻋﺒﺎرت را ﻳﻚ ﺗﺴﺎوى ﻋﺪدى ﺗﺼﻮر ﻛﻨﺪ‪ ،‬ﭼﻪ آن را ﻓﻘﻂ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان‬ ‫رﺷﺘﻪ اى از ﻧﻤﺎدﻫﺎ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕـﻴـﺮد‪ ،‬اﺣﺘﻤـﺎﻻً ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎى ﻳﻜﺴﺎﻧـﻰ‬ ‫ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ ﺑـﺮد و دﺳﺖ ورزى ﻫﺎى ﻳﻜﺴﺎﻧﻰ اﻧﺠﺎم ﻣـﻰ دﻫـﺪ‪ .‬ﻳـﻚ‬ ‫ﺑـﺮرﺳﻰ ﺑﺴـﻴـﺎر دﻗـﻴـﻖ و ﺑـﺎ ﺟـﺰﺋﻴـﺎت از‬ ‫رﻓﺘﺎرﻫﺎ و اﻇﻬﺎرات داﻧﺶ آﻣﻮز ﻻزم اﺳﺖ‬ ‫ﺗﺎ ﺑﺘﻮاﻧﻴﻢ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺗﻔﻜﺮ او ﺑﺼﻴﺮﺗﻰ ﭘﻴﺪا‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﻳﻚ ﺳﺎﺧﺘـﺎر‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ )ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ﺷﻮﻧﻔﻴﻠﺪ و ﻫﻤﻜﺎران‬ ‫ﭼﻨﺪﺳﻄـﺤـﻰ اﺳـﺖ‪،‬‬ ‫را ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ‪١٩٩٣ ،‬؛ ﻧﻮﻳﺴﻨﺪﮔﺎن اﻳﻦ ﻧـﻮع‬ ‫ﻣـﻮﺿﻮﻋﻰ ﻛـﻪ در آن‬ ‫‪٥‬‬ ‫از ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗـﺤـﻠـﻴـﻞ را ﻣﻴـﻜـﺮوژﻧﺘﻴـﻚ‬ ‫اﻳــﺪهﻫــﺎى اﺳــﺎﺳـــﺎً‬ ‫ﻣﻰ ﻧﺎﻣﻨﺪ(‪.‬‬ ‫ﻳـــﻜـــﺴـــﺎن اﮔــــﺮ از‬ ‫ﻣﺎ در اﻳﻦ ﺟﺎ ﺳﻌﻰ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ ﺗﺠﺰﻳﻪ و‬ ‫ﻣـــﻮﻗـــﻌـــﻴـــﺖﻫـــﺎى‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ دﻗﻴﻖ و ﻫﻤﺮاه ﺑﺎ ﺟﺰﺋﻴﺎت را ﺑﺎ اﺗﻜﺎ‬ ‫ﻣـﺨـﺘـﻠـ‪ O‬ﻣـﺸـﺎﻫــﺪه‬ ‫ﺑﻪ ﻳﻚ ﭼـﺎرﭼـﻮب ﻧﻈﺮى ﻣﻌﻴـﻦ ﻛـﻪ آن را‬ ‫ﺷــﻮﻧــﺪ‪ ،‬ﻣــﺘــﻔـــﺎوت‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ﺷﻰء اﻧﮕﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻣﻰ ﻧﺎﻣﻴﻢ‪،‬‬ ‫ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻮد‬ ‫اﻧﺠﺎم دﻫﻴﻢ )ﻳﺎدآور ﻣﻰ ﺷﻮﻳﻢ ﻛﻪ ﻣﻤﻜﻦ‬ ‫اﺳﺖ ﺳﺎﻳﺮ ﻧﻮﻳﺴﻨﺪﮔﺎن‪ ،‬اﺻﻄـﻼﺣـﺎت‬ ‫ﻋﻠﻤﻰ ﻣﺘﻔﺎوﺗﻰ ﺑﺮاى اﻳﺪه ﻫﺎى ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻳﻜﺴﺎن ﻳﺎ ﺗﻘﺮﻳﺒﺎً ﻳﻜﺴﺎن ﺑﻪ ﻛﺎر‬ ‫ﺑﺮده ﺑﺎﺷﻨﺪ؛ ﻓـﻬـﺮﺳﺖ ﻧﺎم ﻫﺎى اﺣﺘﻤﺎﻟـﻰ را در ﻫـﺮل‪ ٦‬و ﻛﺎﭘﻮت‪، ٧‬‬ ‫‪ ١٩٩١‬ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ(‪ .‬ﺑﺎ ﻛـﻤـﻚ اﻳـﻦ ﭼـﺎرﭼـﻮب‪ ،‬ﺣﻘﺎﻳﻖ ﺑﻰ ﻗـﺎﻋـﺪه ى‬ ‫ﻓﺮاواﻧﻰ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻛﻞ ﻣﻌﻨﺎدار و ﻗﺎﺑﻞ ﻛﻨـﺘـﺮل ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﻣﺎﻧﻨـﺪ‬ ‫ﻫﺮ ﻣﺪل ﻧـﻈـﺮى دﻳﮕـﺮى‪ ،‬اﻳﻦ ﻣﺪل ﻧﻴﺰ ﺑﺮ ﺟﻨـﺒـﻪ ﻫـﺎى ﺧـﺎﺻـﻰ از‬ ‫ﺣـﻮزه ى ﻣﻮرد ﺟﺴﺖ و ﺟﻮ ﺗـﺄﻛـﻴـﺪ دارد و ﺳﺎﻳﺮ ﺟـﻨـﺒـﻪ ﻫـﺎ را ﻛﻨـﺎر‬ ‫ﻣﻰ ﮔﺬارد‪ .‬ﺑﺎ اﻳﻦ وﺟﻮد‪ ،‬اﻳﻦ ﻣﺪل ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان اﺑﺰارى ﺑﺮاى ﺗﺠﺰﻳﻪ و‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺗـﻮﺳﻌﻪ ى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﮔـﻮﻧﺎﮔﻮن رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺑﻪ ﺧﺼـﻮص ﻣﻔﻬـﻮم‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﻣﻮرد ﺗﻮﺟﻪ اﺳﺖ )اﺳﻔﺎرد‪ ١٩٩٢ ،‬؛ ﺑﺮﻳﺪﻧﺒﺎخ‪ ٨‬و ﻫﻤﻜﺎران‪،‬‬ ‫‪ .(١٩٩٢‬ﻫﻢ ﭼﻨﻴـﻦ‪ ،‬اﻳـﻦ ﻣـﺪل ﺑـﺮاى ﻧﻈﻢ ﺑﺨﺸـﻴـﺪن ﺑـﻪ ﺑـﺨـﺶ‬ ‫ﻋﻤﺪه اى از ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎى روﺑـﻪ رﺷﺪ در ﻣﻮرد ﺗﻔﻜﺮ ﺟﺒـﺮى ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘـﻪ‬ ‫اﺳﺖ )ﻛـﻴـﻴِﺮن‪ .(١٩٩٢ ، ٩‬در ﻗﺴﻤﺖ ﻫـﺎى ﺑـﻌـﺪى‪ ،‬ﺟـﺒـﺮ را از‬ ‫درﻳﭽﻪ ى اﻳﻦ ﻣﺪل ﺧﻮاﻫﻴﻢ دﻳﺪ‪.‬‬ ‫در ﺑـﺎﻗـﻰ ﻣـﺎﻧـﺪه ى اﻳـﻦ ﺑـﺨـﺶ‪ ،‬اﻳـﺪه ى اﺻـﻠـﻰ ﻧـﻈــﺮﻳــﻪ ى‬ ‫ﺷﻰء اﻧﮕﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴـﻢ را اراﺋﻪ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﻛـﺮد‪ .‬ادﻋﺎﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ دارﻳـﻢ‪،‬‬ ‫ﻧﻈﺎﻣﻰ را ﺷﻜﻞ ﻣﻰ دﻫﻨﺪ‪ .‬در ﺳﺮﺗﺎﺳﺮ اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﺨﺘﻠ‪I‬‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫‪٦‬‬



‫اﻳﻦ ﻧﻈﺎم‪ ،‬ﻣـﻮرد ﺑﺤـﺚ ﻗـﺮار ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﮔـﺮﻓﺖ‪ .‬ﺗـﻮﺻﻴﻪ ﻣﻰ ﺷـﻮد‪،‬‬ ‫ﺧﻮاﻧﻨـﺪه ﺑـﺮاى ﺷﻨﺎﺧﺖ ﺟﺎﻣﻊ ﺗﺮ اﻳﺪه ﻫﺎى اﺻـﻠـﻰ اﻳـﻦ ﻣـﺪل‪ ،‬ﺑـﻪ‬ ‫اﺳﻔﺎرد )‪ (١٩٩١‬و ﻛﻴﻴِﺮن )‪ (١٩٩١‬ﻣـﺮاﺟﻌﻪ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ‪،‬‬ ‫دوﺑﻴﻨﺴﻜـﻰ‪ (١٩٩١) ١٠‬و ﻫﺮل و ﻛﺎﭘـﻮت )‪ ،(١٩٩١‬ﻣﺪل ﺗﻘﺮﻳﺒـﺎً‬ ‫ﻣﺸﺎﺑﻬﻰ را ﺗﻮﺻﻴ‪ I‬ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬اﻳﺪه ﻫﺎى دوﺑﻴﻨﺴﻜﻰ‪ ،‬ﺗﻌﻤﻴـﻤـﻰ از‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ﺗﺠﺮﻳﺪ ﺑـﺎزﺗﺎﺑـﻰ‪ ١١‬ﭘﻴﺎژه اﺳﺖ )ﺑﺖ‪ ١٢‬و ﭘﻴـﺎژه‪.(١٩٦٦ ،‬‬ ‫ﻣﺸﺎﻫـﺪات ﻛـﺎﭘـﻮت و ﻫﺮل ﺑـﺮاﺳﺎس ﻣﻔـﻬـﻮم ﮔﺮﻳـﻨـﻮ‪ ١٣‬از ﻫﺴﺘـﻰ‬ ‫ﻣﻔﻬـﻮﻣـﻰ‪ ١٤‬اﺳﺖ )ﮔﺮﻳﻨـﻮ‪ .(١٩٨٣ ،‬ﺧﺎﻃﺮ ﻧﺸﺎن ﻣـﻰ ﺳـﺎزﻳـﻢ‪،‬‬ ‫اﻳﺪه ى دوﻳﻴﺖ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ـ ﺷﻰ اﺷﻴﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﻛﻪ در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻧـﻘـﺶ‬ ‫اﺳﺎﺳـﻰ دارد‪ ،‬دوﮔﺎﻧﮕﻰ اﺑـﺰار ـ ﺷﻰء دوآدى‪ (١٩٨٥) ١٥‬را ﺑﻪ ﻳـﺎد‬ ‫ﻣﻰ آورد‪.‬‬ ‫در ﻣﺜﺎل اﺑﺘﺪاى ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬اﺷﻴـﺎى رﻳـﺎﺿـﻰ ﮔـﻮﻧﺎﮔﻮﻧﻰ ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان‬ ‫ﻣﺼﺪاق ﻫﺎى ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮى ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺷﺪه اﻧﺪ‪ .‬ﻣﺜﻼً ﻳﻚ ﻋﺪد‪ ،‬ﻳﻚ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﻳﻚ ﺧﺎﻧﻮاده )ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ( از ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺼﺪاق ﻫﺎﻳﻰ از ﻋﺒﺎرت ﻫﺎى‬ ‫ﺟﺒﺮى ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬اﻣﺎ ﻳﻜﻰ از ﺗﻌﺎﺑﻴﺮ ﻋـﺒـﺎرت ﺟﺒﺮى ﻣﺎﻫﻴﺖ ﻣﺘﻔـﺎوﺗﻰ‬ ‫داﺷﺖ؛ زﻣﺎﻧﻰ ﻛـﻪ ‪ 3(x + 5) +1‬ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻳﻚ ﺳﺮى از ﻋﻤﻠﻴـﺎت‬ ‫ﺧﻮاﻧﺪه ﺷﺪ‪ ،‬اﻳﻦ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻰ ﺑـﻮد ﻛﻪ ﺑﻪ ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﻣﻌﻨﺎ ﺑﺨﺸﻴﺪ‬ ‫ﻧﻪ ﻫﺮ ﺷﻰء ﻣﺠﺮد دﻳﮕﺮى )اﻟﺒﺘﻪ ﺻﺮف ﻧﻈﺮ از اﻋﺪادى ﻛﻪ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ‬ ‫ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ اﻧﺪ(‪ .‬ﭼﻴـﺰى ﻛﻪ در اﻳﻦ ﻣﺜﺎل ﻣﺸﺎﻫﺪه ﺷﺪ‪ ،‬ﻇـﺎﻫـﺮًا در‬ ‫ﻛﻞ رﻳﺎﺿﻰ ﺷﺎﻳﻊ اﺳﺖ‪ :‬ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻳـﻜـﺴـﺎن و ﻣـﻔـﺎﻫـﻴـﻢ رﻳـﺎﺿـﻰ‬ ‫ﻳﻜﺴﺎن‪ ،‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﮔﺎﻫﻰ ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎ و ﮔﺎﻫﻰ ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺗﻔﺴﻴﺮ ﺷﻮﻧﺪ؛ ﻳﺎ‪ ،‬ﺑﻪ ﺑﻴﺎن اﺳﻔﺎرد )‪ ،(١٩٩١‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ‬ ‫ﻫﻢ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ و ﻫﻢ ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى درك ﺷـﻮﻧﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪ ،‬ﺷﻴـﻮه ﻫﺎى‬ ‫ﺑﻪ ﻇﺎﻫـﺮ ﻧـﺎﺳـﺎزﮔـﺎر در درك ﺳﺎﺧﺖ ﻫﺎى رﻳـﺎﺿـﻰ‪ ،‬در ﻫـﺮ ﻧـﻮع‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ رﻳﺎﺿﻰ ﺣﻀﻮر دارﻧﺪ و ﻣﻜﻤﻞ ﻳﻚ دﻳﮕﺮﻧﺪ‪ .‬اﻳﻦ واﻗﻌﻴﺖ‪،‬‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ ى ﺷﺮوع ﻣﺪل ﻳﺎدﮔﻴـﺮى و ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ ﻣـﺎ را ﺷﻜﻞ‬ ‫ﻣﻰ دﻫﺪ‪ .‬ﻣﻔـﻬـﻮم ﻣﻜﻤﻞ ﺑﻪ ﻫﻤﺎن ﺷـﻴـﻮه اى ﻛﻪ در ﻓﻴﺰﻳﻚ ﺑـﻪ ﻛـﺎر‬ ‫ﻣﻰ رود )ﺑﺮاﺳﺎس اﻳﺪه ﻫﺎى ﻧﻴﻞ ﺑﻮﻫﺮ‪ ،(١٦‬در اﻳﻦ ﺟﺎ ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬در ﻓﻴـﺰﻳـﻚ ﺑـﺮاى ﺗﻮﺟﻴـﻪ ﺑـﺮﺧﻰ ﻣﺸـﺎﻫـﺪات‪ ،‬ﻣـﻮﺟﻮدات‬ ‫درون اﺗﻤﻰ را ﻫﻢ ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ذره ﻫﺎى ﻣﺎدى و ﻫﻢ ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان ﻣﻮج در‬ ‫ﻧﻈﺮ ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻳﻢ‪.‬‬ ‫ﻣﺪل ﻫﺎى ﺗﻔﻜﺮ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ و ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى‪ ،‬ﺗﻔـﺎوت ﻫﺎى ﻇﺮﻳﻔﻰ‬ ‫دارﻧﺪ و ﺗﻤﺎﻳﺰ ﻗﺎﺋﻞ ﺷﺪن ﺑﻴﻦ آن ﻫـﺎ ﺳـﺎده ﻧـﻴـﺴـﺖ‪ .‬ﺗـﻮاﻧﺎﻳﻰ درك‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺷﻴﻮه ى دوﮔﺎﻧﻪ‪ ،‬ﺟﻬﺎن اﻳﺪه ﻫﺎى ﻣﺠﺮد را ﺑﻪ ﺗﺼﻮﻳﺮى‬ ‫از ﺟﻬﺎن ﻣﺎدى ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ :‬ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺟﻬـﺎن واﻗﻌﻰ‪ ،‬اﻋﻤﺎﻟﻰ ﻛـﻪ‬ ‫در اﻳﻦ ﺟﺎ اﻧﺠﺎم ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪» ،‬ﻣﻮاد ﺧﺎم« و ﻣﺤﺼﻮﻻﺗﻰ دارﻧﺪ‪ .‬اﻳﻦ‬



‫ﻣـــﻮاد ﺧــﺎم و ﻣـــﺤـــﺼـــﻮﻻت‪،‬‬ ‫ﻣﻔـﻬـﻮم ﺳﺎﺧﺘـﺎرى اﺳﺖ‪ ،‬ﻣـﻰ ﺗـﻮان‬ ‫زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ اﻳﺪهﻫﺎى ﺟﺒﺮى ﻓﻘـﻂ ﺑـﺎ ﻛـﻼم ﺑـﻴـﺎن‬ ‫ﻣـﻮﺟـﻮداﺗـﻰ ﻫـﺴـﺘـﻨـﺪ ﻛـﻪ ﺑـﺎ آن ﻫـﺎ‬ ‫ﺷـﺪهاﻧــﺪ‪ ،‬ﺑــﻪ دﺷــﻮارى ﻣــﻰﺗــﻮان روﻳــﻜــﺮد ﺑﺤﺚ ﻫﺎى ﻧﻈـﺮى و ﺗﺠﺮﺑﻰ ﺑﺴﻴـﺎرى‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اﺷﻴﺎى اﺻﻴﻞ و ﭘﺎﻳﺪار رﻓﺘﺎر‬ ‫ﺑـﻪ ﻛـﺎر ﺑـﺮد‪ .‬آن ﭼـﻪ در ﻳـﻚ ﺳـﻄـﺢ‬ ‫ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى ﭘـﻴـﺸـﺮﻓﺘـﻪﺗـﺮى را ﺗـﺼـﻮر ﻛـﺮد‪ .‬در‬ ‫ﻣﻰ ﺷـﻮد‪ .‬ﺑﺎ اﻳﻦ وﺟـﻮد‪ ،‬ﺑﺮﺧﻼف‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﻓﺮاﻳﻨﺪ درك ﻣﻰ ﺷﻮد‪ ،‬در‬ ‫روﻳﻜـﺮد ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى‪ ،‬ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﻣﺤـﺎﺳـﺒـﺎﺗـﻰ‬ ‫زﻧﺪﮔﻰ واﻗﻌﻰ‪ ،‬ﻳﻚ ﻧﮕﺎه دﻗﻴﻖ ﺗﺮ ﺑﻪ‬ ‫ﺑﻪﻃﻮر ﻛﻠﻰ از دﻳﺪ ﺑﺎﻻﺗﺮى ﻣـﻮرد ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻗﺮار ﺳﻄﺢ ﺑﺎﻻﺗﺮ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﺷﻰء درك‬ ‫اﻳﻦ ﻣـﻮﺟﻮدات آﺷﻜﺎر ﻣﻰ ﻛﻨـﺪ ﻛـﻪ‬ ‫ﻣـﻰﮔـﻴــﺮﻧـﺪ‪ ،‬اﻣـﺎ روﻳــﻜــﺮدﻫـﺎى ﻋـﻤـﻠـﻴــﺎﺗــﻰ و ﻣﻰ ﺷـﻮد )ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻣﺜﺎل؛ اﺳﻔـﺎرد‪،‬‬ ‫ﻧــﻤــﻰ ﺗــﻮان آن ﻫــﺎ را ﺑــﻪ ﻋــﻨــﻮان‬ ‫ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى‪ ،‬ﺑـﺎزﻧﻤـﺎﻳـﻰﻫـﺎى ﻳـﻜـﺴـﺎﻧـﻰ دارﻧـﺪ‪ ١٩٩١ .‬و ‪ ١٩٩٢‬را ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ(‪ .‬ﺑﻪ ﻧـﻈـﺮ‬ ‫ﺑﻪﻋـﺒـﺎرت دﻳﮕـﺮ‪ ،‬ﻛﻠﻤﺎت‪ ،‬ﻣﺎﻧﻨـﺪ ﻧـﻤـﺎدﻫـﺎ ﻗـﺎﺑـﻞ ﻣﻰ رﺳﺪ زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﻛﺎﭘـﻮت )‪(١٩٨٩‬‬ ‫ﻣﻮﺟﻮدات ﻗﺎﺋﻢ ﺑﻪ ذات‪ ١٧‬ﻛﻪ ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ‬ ‫دﺳﺖورزى ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻗﺎﺑﻞ دﺳـﺖورزى ﺑـﻮدن ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ »ﻣﻮﺟﻮدات ذﻫﻨﻰ ﻛﻪ‬ ‫از ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎ ﺟﺪا ﺑـﺎﺷـﻨـﺪ‪ ،‬در ﻧـﻈـﺮ‬ ‫اﺳﺖ ﻛﻪ اﻳﻦ اﻣﻜﺎن را ﻓﺮاﻫﻢ ﻣﻰﻛﻨﺪ ﺗﺎ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ از ﻃﺮﻳﻖ ﺷﻰء اﻧﮕﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ )دﻳﺪن‬ ‫ﮔـﺮﻓﺖ‪ .‬اﺷـﻴـﺎى ﻣـﺠـﺮدى ﻣـﺎﻧـﻨـﺪ‬ ‫ﺟﺒﺮى‪ ،‬ﻛﻴﻔﻴﺖ ﺷﻰء ﻣﺎﻧﻨﺪى داﺷﺘـﻪ ﺑـﺎﺷـﻨـﺪ‪ .‬اﻋﻤﺎل‪ ،‬روﻳﻪ ﻫﺎ و ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان‬ ‫‪ −1‬و ‪ -٢‬ﻳﺎ ﺗﺎﺑـﻊ ‪3(x + 5) +1‬‬ ‫اﺷﻴـﺎى ﭘـﺪﻳـﺪارﺷﻨـﺎﺧـﺘـﻰ( ﺳـﺎﺧـﺘـﻪ‬ ‫ﻧﺘﻴـﺠـﻪ ى ﻧـﮕـﺎه ﻫـﺎى ﻣـﺘـﻔـﺎوت ﺑﻪ‬ ‫اﻣـﻜـﺎن اﻧـﺠـﺎم ﻓـﺮاﻳـﻨـﺪﻫـﺎى ﺳـﻄـﺢ ﺑـﺎﻻﺗـﺮ در‬ ‫روﻳﻪ ﻫﺎى ﺑﻪ دﺳـﺖ آوردن رﻳﺸﻪ ى‬ ‫ﺷـﺪه اﻧـﺪ‪ ،‬ﻣــﻰ ﺗــﻮاﻧـﻨـﺪ ﺑـﻪ ﻋــﻨــﻮان‬ ‫ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻋﺒـﺎرات ﻓﺸﺮده ﻧﻤﺎﻳﺶ داده‬ ‫دوم از ‪ ،-١‬ﻣــﻨــﻔـــﻰ ﻛـــﺮدن ‪ ٢‬و‬ ‫ﭘﺎﻳﻪ ﻫﺎﻳـﻰ ﺑـﺮاى اﻋﻤﺎل‪ ،‬روﻳـﻪ ﻫـﺎ و‬ ‫ﺷﺪهاﻧﺪ‪ ،‬ﺗﻔﻜﺮ ﺳﺎﺧﺘﺎرى را ﺗﺮﻏﻴﺐ ﻣﻰﻛﻨﺪ‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺟﺪﻳﺪ در ﺳﻄﺢ ﺑـﺎﻻﺗـﺮى از‬ ‫ﻧـﮕـﺎﺷـﺖ اﻋـﺪاد ﺣـﻘــﻴــﻘــﻰ روى‬ ‫ﺧﻮدﺷﺎن از ﻃﺮﻳﻖ ﻳﻚ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺧـﻄـﻰ اﺳـﺖ‪ .‬ﺑـﻨـﺎﺑـﺮاﻳﻦ‪ ،‬اﺷـﻴـﺎى ﺳﺎزﻣﺎن دﻫﻰ ﺑـﻪ ﻛـﺎر روﻧﺪ« )ص‪ ،(١٦٨ .‬ﻣﺸﺎﻫﺪات ﻣﺸـﺎﺑـﻬـﻰ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﻧﺘﻴﺠﻪ اى از ﺷـﻰ اﻧـﮕـﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﺷـﻰ اﻧـﮕـﺎرى داﺷﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﻫﺮﭼﻨﺪ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻧﻘﻄﻪ ى ﺷﺮوع ﺑﺮاى ﻣﺎ و ﻛﺎﭘﻮت‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺣﺎﺻـﻞ ﺗـﻮاﻧﺎﻳﻰ ذﻫﻨﻰ ﻣـﺎ ﺑـﺮاى دﻳﺪن ﻧﺘﻴﺠـﻪ ى ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫـﺎ‬ ‫ﻛﺎﻣﻼ ﻣﺘﻔـﺎوت ﺑﺎﺷﺪ )ﺑﻪ ﻧﻈـﺮ ﻣـﻰ رﺳﺪ اﻳﺪه ﻫﺎى ﻛﺎﭘـﻮت ﺑﺮاﺳﺎس‬ ‫ً‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ﺗﺠﺮﻳﺪ ﺑـﺎزﺗﺎﺑﻰ ﭘﻴﺎژه ﺑﻮده اﺳﺖ(‪ ،‬اﻣﺎ اﺗﻔﺎق ﻧﻈﺮ اﺳﺎﺳـﻰ‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﻮﺟﻮدات ﭘﺎﻳﺪار ﻗﺎﺋﻢ ﺑﻪ ﺧﻮد اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﻳﻦ ﻣـﺸـﺎﻫـﺪه ى ﻫﺴﺘﻰ ﺷﻨـﺎﺳـﺎﻧـﻪ‪ ،‬ﻧـﺘـﺎﻳـﺞ ﻧـﻈـﺮى ﻣﺘـﻌـﺪدى در ﻣﻮرد ﻧﻘﺶ ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎ و اﺷﻴﺎى رﻳﺎﺿﻰ و واﺑﺴﺘﮕﻰ ﻣﺘﻘﺎﺑﻞ آن ﻫـﺎ‬ ‫درﺑﺮدارد‪ ،‬ﻧﻈﺎم ﻛﺎﻣﻠﻰ از ادﻋﺎﻫـﺎ در ﻣـﻮرد ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ى رﻳﺎﺿـﻰ وﺟﻮد دارد‪ .‬ﻓﺮودﻧﺘﺎل ﻳﻜﻰ از ﺻﺮﻳﺢ ﺗﺮﻳﻦ ﻃﺮﻓﺪاران ﺗﺼﻮر رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﺗﺪارك ﻣﻰ ﺑﻴﻨﺪ و ﻣﺪﻟﻰ از ﺷﻜﻞ ﮔﻴﺮى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ را ﺑﻪ وﺟﻮد ﻣﻰ آورد‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺳﻠﺴﻠﻪ ﻣـﺮاﺗﺒﻰ از دﻳﺪﮔﺎه ﻫﺎى ﻣﺘﻨـﺎوب اﺳﺖ‪» :‬ﺗﺠﺰﻳﻪ و‬ ‫اﻳﻦ ﻣﺪل‪ ،‬ﻫﻢ ﭼﻨﺎن ﻛﻪ ﺑـﺮاى درك ﺗﺤـﻮل ﺗﺎرﻳﺨﻰ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺑﻪ ﻛـﺎر ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﻦ از ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳﺎﺿﻰ ﺳﻄﻮﺣﻰ را در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى‬ ‫ﻣﻰ رود‪ ،‬ﺑـﺮاى ﻳﺎدﮔﻴـﺮى ﻓﺮدى ﻧﻴﺰ ﻣـﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗـﺮار ﻣﻰ ﮔﻴـﺮد و آﺷﻜﺎر ﺳﺎﺧﺘﻪ اﺳﺖ‪ ،‬ﺟﺎﻳﻰ ﻛﻪ رﻳﺎﺿﻴﺎﺗﻰ ﻛﻪ در ﻳﻚ ﺳﻄﺢ اﻧﺠﺎم‬ ‫دﻻﻳﻠﻰ ﺑﺮاى دﺷﻮارى ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣﻮز در ﻓﻬﻤﻴﺪن ﻳﻚ اﻳـﺪه ى ﻣـﻰ ﺷـﻮد‪ ،‬رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺸـﺎﻫـﺪه ﺷـﺪه در ﺳـﻄـﺢ ﺑـﻌـﺪى ﻣـﻰ ﺷـﻮد«‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﺟﺪﻳﺪ ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻣﻰ ﻛﻨـﺪ‪ ،‬اراﺋﻪ ﻣﻰ دﻫﺪ‪ .‬در اداﻣﻪ‪ ،‬ﻫﻤـﻪ ى )ﻓﺮودﻧﺘﺎل‪ ،١٩٧٨ ،‬ص ‪ .(٣٣‬ﻫﺮﭼﻨﺪ اﻳﻦ ادﻋﺎ ﺑﺮاﺳﺎس ﺗﺠﺰﻳﻪ‬ ‫اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت را ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ ﻗﺮار ﻣﻰ دﻫﻴﻢ‪ .‬در ﺑﺨﺶ ‪ ،٢‬ﺑﺤﺚ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻫﺎى ﻣﺘـﻔـﺎوﺗﻰ ﺑﻨﺎ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ ،‬اﻣﺎ ﻣﺎﻧﻨـﺪ ﻧـﻈـﺮﻳـﻪ ى ﻣـﺎ‪،‬‬ ‫را ﺑﺎ ﻳﻚ ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣـﻌـﺮﻓﺖ ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ ﻛـﻪ ﺗـﻮﺳﻂ ﻣﺸﺎﻫﺪات ﺑﻪ وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى اﺳﺎﺳﻰ ﻳﻜﺴﺎﻧﻰ از ﺳﺎﺧﺖ ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ اﺷﺎره دارد؛‬ ‫ﺗﺎرﻳﺨﻰ ﺣﻤﺎﻳـﺖ ﻣـﻰ ﺷـﻮد‪ ،‬آﻏﺎز ﻣﻰ ﻛﻨﻴـﻢ‪ .‬در ﺑـﺨـﺶ ‪ ،٣‬ﻳـﻚ ﻳﻌﻨﻰ ﺑﺮ اﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﺖ ﺗﺄﻛﻴﺪ دارد ﻛﻪ رﻳﺎﺿﻰ ﻳﻚ ﺳﺎﺧﺘﺎر ﭼﻨﺪﺳﻄﺤﻰ‬ ‫دﻳﺪﮔﺎه روان ﺷﻨﺎﺳﻰ ﻣﻄـﺮح ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ و ﺗﻼش ﺧـﻮاﻫﻴﻢ ﻛـﺮد ﻧﺸﺎن اﺳـﺖ‪ ،‬ﻣـﻮﺿـﻮﻋﻰ ﻛـﻪ در آن اﻳـﺪه ﻫـﺎى اﺳـﺎﺳـﺎً ﻳﻜـﺴـﺎن اﮔـﺮ از‬ ‫دﻫﻴﻢ ﻛﻪ ﻣﺪل ﺷﻜﻞ ﮔﻴﺮى ﺟﺒﺮ ﻛﻪ از ﻃﺮﻳﻖ ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺗﺎرﻳﺨﻰ ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬ﻣﺸﺎﻫﺪه ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﻣﺘﻔﺎوت ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻮد‪.‬‬ ‫ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﻛﻪ ﻗﺒـﻼً ﮔﻔﺘﻴﻢ‪ ،‬ﺳﺎﺧﺖ ﻫﺎى ﺟـﺒـﺮى ﺑﺎﻳﺪ دوﻳﻴﺖ‬ ‫و ﻣﻌـﺮﻓﺖ ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ ﺳﺎﺧـﺘـﻪ ﺷـﺪه‪ ،‬ﺗـﺎ ﺣـﺪود زﻳﺎدى ﻣﺘﻨـﺎﺳـﺐ ﺑـﺎ‬ ‫ﻓﺮاﻳﻨﺪ ـ ﺷﻰء را اﻧﺘﻘﺎل دﻫﻨﺪ‪ .‬اﻣﺎ اﻧﻌﻄﺎف ﭘﺬﻳﺮى در ﻫﺴﺘﻰ ﺷﻨﺎﺳﻰ‬ ‫ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎﻳﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﻤﺮاه ﺑﺎ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻓﺮد رخ ﻣﻰ دﻫﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﻮﺟﺐ ﻣﻰ ﺷﻮد ﺗﺎ رﺳﻴﺪن ﺑﻪ ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ درك ﺟﻨﺒﻪ ى ﺳﺎﺧﺘﺎرى‪ ،‬ﺳﺎده‬ ‫ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪ ،‬ﻧﻘﺎط اﺗﺼـﺎلِ ﻣﻬﻢ در رﺷﺪ رﻳﺎﺿﻰ ﺟﺎﻳﻰ اﺳﺖ‬ ‫‪ .٢‬ﺟﺒﺮ ﭼﻴﺴﺖ و ﭼﮕﻮﻧﻪ ﺗﻮﺳﻌﻪ ﻳﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ؟‬ ‫ﺑﺮاى ﻧﺸﺎن دادن اﻳﻦ ﻛﻪ در رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻣﻔﻬﻮم ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﻣﻘﺪم ﺑﺮ ﻛﻪ اﻧﺘﻘﺎل از ﻳﻚ ﺳﻄﺢ ﺑﻪ ﺳﻄـﺢ دﻳـﮕـﺮ رخ ﻣﻰ دﻫﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻧﻘـﺎط‪،‬‬ ‫‪٧‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫دﺷﻮارﺗﺮﻳﻦ و ﺟﺎﻟﺐ ﺗﺮﻳﻦ ﻧﻘﺎط ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﺎر دﻳﮕﺮ ﻋﺒﺎرات ﻓﺮودﻧﺘﺎل‬ ‫را ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ ﺑﺮﻳﻢ؛ »اﮔﺮ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى را ﻣﻮرد ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻗﺮار دﻫﻴﻢ‪،‬‬ ‫ﻟﺤـﻈـﺎت ﻣـﻬـﻢ و ارزﺷﻤﻨـﺪ‪ ،‬ﻧـﺎﭘـﻴـﻮﺳﺘﮕـﻰ ﻫـﺎ ﻫـﺴـﺘـﻨـﺪ‪ .‬آن ﻫـﺎ‬ ‫ﺟﻬﺶ ﻫﺎﻳﻰ اﻧﺪ ﻛﻪ در ﻓـﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴـﺮى رخ ﻣﻰ دﻫﻨـﺪ« )ص ‪.(٧٨‬‬ ‫ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺒﺐ‪ ،‬در ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻠﻰ ﻛﻪ در اداﻣﻪ ﻣﻰ آﻳﺪ‪ ،‬ﺗـﻤـﺮﻛﺰ ﺑـﺮ‬ ‫ﻧﻘﺎط ﻣﻨﻔـﺮد در رﺷﺪ ﻣﻔﺎﻫﻴـﻢ ﺟـﺒـﺮى اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮاى آن ﻛﻪ ﭘﻴﺸـﺮﻓـﺖ‬ ‫ﺑﻴﺶ ﺗﺮى ﺻﻮرت ﮔﻴﺮد‪ ،‬دﻳﺪﮔﺎه ﻫﺴﺘﻰ ﺷﻨﺎﺳﻰ ﺑﺎﻳﺪ اﻧﻄﺒﺎق )ﻓﺮاﻳﻨﺪ ـ‬ ‫ﺷﻰء( را در اﻳﻦ ﻧﻘﺎط ﺑﭙﺬﻳﺮد‪.‬‬ ‫ﻗﺒﻞ از ﺗﻮﺿﻴﺢ رﺷﺪ ﺟﺒﺮ‪ ،‬ﻣﺎﻫﻴﺖ ﺗﺤﻘﻴﻖ ﻣﺎن را ﻣﻮرد ﻣﻼﺣﻈﻪ‬ ‫ﻗﺮار ﻣﻰ دﻫﻴﻢ‪ .‬ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻫﺮ ﺣﻮزه ى دﻳﮕﺮى‬ ‫از داﻧﺶ ﺑﺸﺮى‪ ،‬اﻣﻜﺎن دارد ﺳﺎﺧﺖ ﺟﺒﺮ‬ ‫ﮔـﺮوﻫـﻰ از ﺻــﻮرتﮔــﺮاﻳـﺎن‬ ‫از دﻳﺪﮔﺎه ﻫﺎى ﮔـﻮﻧﺎﮔـﻮﻧﻰ ﻣﻮرد ﺑـﺮرﺳﻰ‬ ‫اﻧـﮕـﻠـﻴـﺴـﻰ )اِى‪ .‬دﻣـﻮرﮔـﺎن‪،‬‬ ‫ﻗﺮار ﮔﻴﺮد‪ .‬ﻓـﺮد ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑﺮ ﺳﺎﺧﺘـﺎر‬ ‫ﺟــﻰ‪ .‬ﭘـــﻰﻛـــﺎت و دى‪.‬اِف‪.‬‬ ‫ﻣﻨﻄﻘﻰ ﻣـﻮﺿﻮع ﺗﻤﺮﻛﺰ ﻛﻨﺪ و ﺑﭙـﺮﺳﺪ ﻛـﻪ‬ ‫ﮔﺮﻳﮕﻮرى( ﭘﻴﺸﻨـﻬـﺎد ﻛـﺮدﻧﺪ‬ ‫ﭼﮕﻮﻧﻪ ﺑﺨﺶ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬داﻧﺶ ﺑﻪ ﻳﻚ‬ ‫ﻛﻪ ﺟﺒﺮ ﺑـﺎﻳـﺪ از ﺑـﺎر ﺗـﻔـﺴـﻴـﺮ‬ ‫ﻧﻈﺎم ﻣﻨﺴﺠﻢ ﻣـﺮﺗﺒﻂ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ؟ اﻳﻦ ﻧﻮع‬ ‫اوﻟﻴﻪاش رﻫﺎ ﺷﻮد‪ .‬از اﻳﻦ ﺑﻪ‬ ‫ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴـﻞ را ﻣﻨﻄﻘﻰ‪ ١٨‬ﻣﻰ ﻧﺎﻣﻴـﻢ‪.‬‬ ‫ﺑﻌﺪ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺎ ﻳﻚ ﻓﺮﻣﻮل ﺟﺒﺮى‬ ‫دﻳﺪﮔﺎه دﻳﮕﺮ‪ ،‬روﻳﻜـﺮد ﺗﺎرﻳﺨﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﺧﻮدى ﺧﻮد ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻳﻚ‬ ‫اﻳﻦ روﻳﻜﺮد ﺗﻼش ﻫﺎى ﺟﻤﻌـﻰ را ﻛﻪ در‬ ‫ﺷﻰء رﻓﺘﺎر ﻛﺮد‪ .‬ﺷﻴﺌﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ‬ ‫ﻃﻮل زﻣﺎن ﺑـﺮاى ﺳﺎﺧﺖ ﻧﻈﺎم ﻣـﻔـﺮوض‬ ‫ﺷـﻴـﻮهﻫـﺎى ﻣـﺨـﺘـﻠـ‪ O‬ﻗـﺎﺑــﻞ‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ اﻧـﺠـﺎم ﺷـﺪه‪ ،‬ﻣـﻮرد ﺗـﻮﺟﻪ ﻗـﺮار‬ ‫ﺗـﻔـﺴـﻴـﺮ اﺳـﺖ اﻣــﺎ ﺧــﻮدش‬ ‫ﻣﻰ دﻫـﺪ‪ .‬درﻧﻬﺎﻳـﺖ‪ ،‬ﻣـﻤـﻜـﻦ اﺳـﺖ‪،‬‬ ‫ﻣﻌﻨﺎﻳﻰ ﻧﺪارد‬ ‫ﻣﺤﻘﻖ ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﺷﻨﺎﺧﺘـﻰ را ﻛﻪ ﺑﺎﻋﺚ‬ ‫ﺷﻜﻞ ﮔﻴـﺮى ﻳﺎدﮔﻴـﺮى ﻓﺮدى ﻣﻰ ﺷـﻮﻧﺪ‪،‬‬ ‫ﻧﻤﺎدﻫﺎى ﺟﺒﺮى ﺑﻪ ﺧﻮدى‬ ‫ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻰ ﻗﺮار دﻫﺪ‪ .‬ﻓﺮد ﻗﻄﻌﺎً اﻧﺘﻈﺎر‬ ‫ﺧـﻮد ﺣـﺮﻓﻰ ﺑـﺮاى ﮔـﻔـﺘـﻦ‬ ‫ﻧﺪارد ﻛﻪ اﻳﻦ ﺳـﻪ ﻧـﻮع ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤـﻠـﻴـﻞ‬ ‫ﻧﺪارﻧﺪ‪ .‬درﺣﻘﻴﻘﺖ‪ ،‬آنﭼﻪ‬ ‫ﻧﺘـﺎﻳـﺞ ﻳـﻜـﺴـﺎﻧـﻰ درﺑـﺮداﺷﺘـﻪ ﺑـﺎﺷـﻨـﺪ‪.‬‬ ‫از ﻧﻤـﺎدﻫـﺎ درك ﻣﻰﺷـﻮد‪،‬‬ ‫ﻫﻤﺎن ﻃـﻮرى ﻛﻪ ﺑـﺮﺧﻰ از ﻧﻮﻳﺴـﻨـﺪﮔـﺎن‬ ‫واﺑــﺴــﺘـــﻪ ﺑـــﻪ ﺷـــﺮاﻳــﻂ‬ ‫ﻧﻮﺷﺘﻪ اﻧﺪ‪ ،‬اﻳﻦ‪ ،‬ﻳﻚ اﻓﺴـﺎﻧـﻪ اﺳـﺖ ﻛـﻪ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪاى اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﻤﺎدﻫﺎ‬ ‫»ﺳﺎﺧﺘﺎر ]ﻣﻨﻄﻘﻰ[ رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ ﻃﻮر دﻗﻴﻖ‬ ‫ﺑﺮاى آن ﺑﻪﻛﺎر رﻓﺘﻪاﻧﺪ‬ ‫ﺗـﺎرﻳـﺦ آن را ﻣﻨﻌـﻜـﺲ ﻛـﻨـﺪ« )ﻛـﺮوِ‪، ١٩‬‬ ‫‪ .(١٩٨٨‬ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ‪ ،‬ﻓـﺮد ﺑﺎﻳﺪ دﻗﺖ‬ ‫ﻛﻨﺪ ﻛـﻪ روان ﺷﻨﺎﺳﻰ‪ ،‬ﻧﺴﺨـﻪ ى دوﺑـﺎره ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه اى از ﺗـﺎرﻳـﺦ‬ ‫ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﺒـﺎرت دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻫﺪاﻳﺖ ﻋﺎﻣﺪاﻧﻪ ى دوﺑـﺎره ﺳﺎزى‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺟﺒﺮى ﻫﻤﺎن ﻣﺴﻴﺮ ﭘﺮﭘﻴﭻ و ﺧـﻢ اوﻟﻴﻦ ﻧﻮﻳﺴﻨﺪﮔﺎﻧﻰ ﻛﻪ اﻳﻦ‬ ‫راه ﻧﺮﻓﺘﻪ را ﻃﻰ ﻛﺮده اﻧﺪ‪ ،‬ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬ﺑﺎ اﻳـﻦ وﺟﻮد‪ ،‬ﻓﺮد ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫‪٨‬‬



‫اﻧﺘﻈﺎر داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺷﺒـﺎﻫـﺖ ﻫـﺎى ﺑـﺮﺟﺴﺘﻪ اى ﺑﻴﻦ ﻧﺘـﺎﻳـﺞ اﻧـﻮاع‬ ‫ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺑﺒﻴﻨﺪ‪ .‬ﮔﺎرﺳﻴﺎ‪ ٢٠‬و ﭘﻴﺎژه )‪ ،(١٩٨٩‬ﺑﺮاى‬ ‫ﻣﻘﺎﻳﺴـﻪ ى ﺗـﺤـﻮﻻت ﺗﺎرﻳﺨـﻰ و روان ﺷﻨﺎﺳـﻰ‪ ،‬ﻣـﻮرد وﻳـﮋه اى را‬ ‫ﺑﺮرﺳﻰ ﻛﺮدﻧﺪ‪ .‬ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ اﺣﺘﻴﺎط ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬اﻣﺎ ﻧﺒﺎﻳﺪ ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ‬ ‫ﻣﻨﻄﻘﻰ را ﻛﻨﺎر ﺑﮕﺬارﻳﻢ‪ ،‬زﻳـﺮا ﻣﻨﻄﻖ ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ ﻳﻚ ﻣﻨﺸﺄ ﺑﺎﻟﻘﻮه ى‬ ‫اﻳﺠﺎد ﺑﺼﻴﺮت در ﻣﻮرد ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳﺎﺿﻰ اﺳﺖ‪ .‬رﻳﺎﺿﻰ ﻳﻚ‬ ‫ﺳﺎﺧﺘﺎر ﺳﻠﺴﻠﻪ ﻣـﺮاﺗﺒﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ در آن‪ ،‬ﺑﻌﻀﻰ از ﻻﻳﻪ ﻫﺎ ﻗﺒـﻞ از‬ ‫ﻛﺎﻣﻞ ﺷﺪن ﺑﻘﻴﻪ‪ ،‬ﺳﺎﺧﺘﻪ ﻧـﻤـﻰ ﺷـﻮﻧـﺪ‪ .‬درﻧﺘﻴﺠﻪ‪ ،‬ﺑﻌﺪ از اﻳـﻦ ﻛـﻪ‬ ‫ﺑﺮاﺳﺎس ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻫﺎى ﻣﻨﻄﻘﻰ‪ ،‬ﻫﺴﺘﻰ ﺷﻨﺎﺳﻰ و ﺗﺎرﻳﺨﻰ‪،‬‬ ‫ادﻋﺎﻫﺎﻳﻰ در راﺑﻄﻪ ﺑﺎ ﺗـﻮﺳﻌﻪ ى ﺟﺒـﺮ اراﺋﻪ ﻛﺮدﻳﻢ‪ ،‬ﻧﺸﺎن ﺧـﻮاﻫﻴﻢ‬ ‫داد ﻛﻪ اﻳﻦ ﻣﺮاﺣﻞ‪ ،‬در ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻓﺮدى ﻧﻴﺰ وﺟﻮد دارﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪ .١.٢‬ﺟﺒﺮ ﺑـﻪﻋـﻨـﻮان ﺣﺴﺎب ﺗﻌـﻤـﻴـﻢﻳـﺎﻓـﺘـﻪ‪ :‬ﺟـﻨـﺒـﻪى‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ‬ ‫در ﺗﻤﺎم ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ‪ ،‬ﻧـﻮﻋﻰ از ﺟﺒـﺮ را »ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ« و ﻧـﻮع‬ ‫دﻳﮕﺮ را »ﺳﺎﺧﺘﺎرى« ﻣﻰ ﻧﺎﻣﻴﻢ‪ .‬اﻳﻦ ﺑﺪﻳﻦ ﻣﻌﻨﺎ ﻧﻴﺴﺖ ﻛﻪ در ﮔﺎم ﻫﺎى‬ ‫ﻣﺘﻔﺎوت‪ ،‬در ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﺟﺒﺮ‪ ،‬ﻓﻘﻂ ﻳﻜﻰ از اﻧﻮاع ﺟﺒﺮ )ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﻳـﺎ‬ ‫ﺳﺎﺧﺘـﺎرى( ﺣﻀﻮر دارد‪ .‬ﻣﺎﻫﻴﺖ ﻣﻜﻤـﻞ ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎ و اﺷﻴﺎ ﻧـﺸـﺎن‬ ‫ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ ﺣﻀﻮر ﻳﻜـﻰ ﺑـﺪون دﻳﮕﺮى ﻣﻤﻜﻦ ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬ﻋـﻼوه ﺑـﺮ‬ ‫اﻳﻦ‪ ،‬روﺷﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ اﮔﺮ ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎ )ﻣـﺆﻟﻔﻪ ﻫﺎى ﻋﻤﻠﻴﺎﺗـﻰ( ﻣـﻮرد‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ ﻗـﺮار ﮔﻴﺮﻧﺪ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ اﺷﻴﺎى ﻣﻌﻴﻨـﻰ )ﻋـﻮاﻣﻞ ﺳﺎﺧﺘـﺎرى( وﺟـﻮد‬ ‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎ ﺑﺮاى آن ﻫﺎ ﺑﻪ ﻛﺎر روﻧﺪ‪ .‬ادﻋﺎﻫﺎى ﻣﺎ‬ ‫ﻣﺒﻨﻰ ﺑﺮ اﻳﻦ ﻛﻪ اﻧﻮاع ﻣﻌﻴﻨﻰ از ﺟﺒﺮ وﻳﮋﮔﻰ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ دارﻧﺪ درﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ‬ ‫اﻧﻮاع دﻳﮕﺮ ﺳﺎﺧﺘﺎرى ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﺪ ﺗﻤـﺮﻛﺰ اوﻟﻴﻪ ﺑﺮ ﻛﺪام‬ ‫ﻧﻮع ﺟﺒﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل‪ ،‬اﻳﻦ ﻋﺒﺎرت ﻛﻪ »ﺟﺒﺮ در اﺑﺘﺪا وﻳﮋﮔﻰ‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ دارد« ﻳﻌﻨﻰ؛ ﭘﻴﺸﺮﻓﺘﻪ ﺗﺮﻳﻦ و اﺻﻠﻰ ﺗﺮﻳﻦ اﻳﺪه ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ در‬ ‫اﻳﻦ ﻣـﺮﺣﻠﻪ ﻣـﻮرد ﺗـﻮﺟﻪ ﻗـﺮار ﻣﻰ ﮔﻴـﺮﻧﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻋﻤـﻠـﻴـﺎﺗـﻰ درك‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ ﻧﻪ ﺳﺎﺧﺘﺎرى‪.‬‬ ‫ﺗﺎرﻳﺦ ﺟﺒﺮ‪ ،‬ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻣﺆﻳﺪ اﻳﻦ ﻓﺮﺿﻴﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ روﻳﻜﺮد ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ‬ ‫ﻣﻘﺪم ﺑﺮ روﻳﻜـﺮد ﺳﺎﺧﺘﺎرى اﺳﺖ زﻳـﺮا ﻃﻰ ﭼﻨﺪ ﻫـﺰار ﺳﺎل‪ ،‬ﺟﺒﺮ‬ ‫ﭼﻴﺰى ﺑﻴﺶ از ﻋﻠﻢ روﻳﻪ ﻫﺎى ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻰ ﻧﺒﻮد‪.‬‬ ‫از ﻧﻘﻄﻪ ﻧﻈﺮ ﺗـﻮﺳﻌﻪ اى‪ ،‬ﺟﺒﺮ اداﻣﻪ ى ﺣﺴﺎب اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺸـﺎﺑـﻪ‬ ‫ﺣﺴﺎب )ﺣﺪاﻗـﻞ در ﻣـﺮاﺣﻞ اوﻟﻴﻪ اش( ﺑﺎ اﻋﺪاد و ﺑﺎ ﻣﺤـﺎﺳـﺒـﺎت‬ ‫ﻋﺪدى ﻛﺎر ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ ،‬اﻣﺎ ﻧﻮع ﺳﺆاﻻﺗﻰ ﻛﻪ ﻣﻰ ﭘﺮﺳﺪ ﻣﺘﻔـﺎوت اﺳﺖ‬ ‫و اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﻫـﺎ را ﺑﻪ ﺷﻴـﻮه ى ﻋﻤـﻮﻣﻰ ﺗـﺮى ﻣﻮرد دﺳﺖ ورزى ﻗﺮار‬ ‫ﻣﻰ دﻫﺪ‪ .‬آن ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻧﻤﺎدﻳﻦ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان وﻳـﮋﮔﻰ ﻻزم ﺟﺒﺮ‬



‫ﻧﻤﻰ داﻧﻨﺪ‪ ،‬اﺗﻔﺎق ﻧﻈﺮ دارﻧﺪ ﻛﻪ ﻫﻢ در ﺗﺎرﻳﺦ و ﻫﻢ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺗﻔﻜﺮ ﺟﺒﺮى ﺧﻴﻠﻰ زودﺗﺮ از ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻫﺮ ﻧﻤﺎد ﺧﺎﺻﻰ ﻇﺎﻫﺮ‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﺗﻔﻜﺮ ﺟﺒﺮى ﺑﺎ اوﻟﻴﻦ ﺗﻼش ﺑﺮاى ﭘﻴﺪا ﻛﺮدن‬ ‫ﻋﺪد ﻣﺠﻬﻮل ﺷـﺮوع ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬ﻋﺪد ﻣﺠﻬﻮل ﻋﺪدى اﺳﺖ ﻛﻪ ﻳـﻚ‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺎت ﻣـﺸـﺨـﺺ روى آن اﻧﺠﺎم ﺷﺪه و ﻳﻚ ﻧﺘـﻴـﺠـﻪ ى ﻣـﻌـﻴـﻦ‬ ‫ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه اﺳﺖ‪ .‬در اﻳﻦ ﻧﻮع ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‪ ،‬ﺷﻴﻮه ى ﻣﺘﺪاول ﺣﺴﺎب‬ ‫ﻛﻪ ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮدن ﻳﻚ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻰ ﺑﺮاى ﻳﻚ ﻋﺪد ﻣﺤﺴـﻮس‬ ‫اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﻌﻜﻮس اﻧﺠﺎم ﺷﻮد‪ :‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل‪ ،‬در ﻳﻚ‬



‫ﻣﻌﺎدﻻت درﺟﻪ ى دوم ﻫﺴﺘﻨﺪ )ﻳﺎ ﺣﺪاﻗﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺣﻞ ﻛـﻦ اﻣـﺮوزى‬ ‫از ﭼﻨﻴـﻦ روﺷﻰ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﻛـﻨـﺪ(‪ .‬در ﻫـﺮ دو ﻧـﻤـﻮﻧﻪ‪ ،‬ﺑـﻪ ﺟـﺎى‬ ‫ﺿﺮاﻳﺐ ﻋﻤﻮﻣﻰ‪ ،‬از اﻋﺪاد ﻣﺤﺴﻮس اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﺷﻮد و راه ﺣﻞ ﺑﻪ‬ ‫ﺷﻜﻞ ﺗـﻮﺻﻴ‪ I‬ﻛﻼﻣـﻰ ﺑـﺮاى ﭘﻴﺪا ﻛﺮدن ﻣﺠﻬـﻮل اراﺋﻪ ﻣﻰ ﮔـﺮدد‪.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪ ،‬روﻳﻜـﺮدى ﻛﺎﻣﻼً ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ اﺳﺖ؛ ﺗﻤـﺮﻛﺰ ﺑﺮ ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫـﺎى‬ ‫ﻋﺪدى اﺳﺖ و ﻫﻴﭻ اﺷﺎره اى ﺑﻪ اﺷﻴﺎ ﻣﺠﺮد ﻏﻴﺮ از اﻋﺪاد ﻧﻴﺴﺖ‪.‬‬ ‫از اوﻟﻴـﻦ دوران ﻫﺎ ﺗـﺎ ﻗـﺮن ﺷﺎﻧـﺰدﻫﻢ‪ ،‬ﺟﺒﺮ ﻟـﻔـﻈـﻰ‪) ٢٤‬آن ﭼـﻪ‬ ‫ﻣﻮرﺧﻴﻦ ﺑﺮاى اﺷـﺎره ﺑﻪ ﺟﺒﺮ ﻛﻼﻣﻰ ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ ﺑـﺮﻧﺪ( ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده‬



‫ﺟﺪول ‪١‬‬ ‫ﺟﺒﺮ ﻟﻔﻈﻰ‪C‬ـ ﻣﺜﺎل‪C‬ﻫﺎ‬ ‫‪ .١‬ﺑﺎﺑﻠﻰ‪C‬ﻫﺎ‪ ،‬دو )؟( ﻫﺰار ﺳﺎل ﻗﺒﻞ از ﻣﻴﻼد )ﺑﺮﮔﺮﻓﺘﻪ از ﺑﻮﻳﺮ‪ ،١٩٨٥ ، ٢٢‬ص ‪(٣٤‬‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ :‬اﮔﺮ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﻨﻬﺎى ﺿﻠﻊ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ١٤:٣٠‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺿﻠﻊ ﻣﺮﺑﻊ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﻳﺪ )اﻋﺪاد در ﻣﺒﻨـﺎى ‪ ٦٠‬ﻧﻤﺎﻳﺶ‬ ‫داده ﺷﺪه اﻧﺪ(‪.‬‬ ‫راه‪C‬ﺣﻞ‪ :‬ﻧﺼ‪ I‬ﻳﻚ را ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ﻛﻪ ‪ ٠:٣٠‬اﺳﺖ‪ ،‬ﺳﭙﺲ ‪ ٠:٣٠‬را در ‪ ٠:٣٠‬ﺿﺮب ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد ‪ ٠:١٥‬اﻳﻦ را ﺑﻪ‬ ‫‪ ١٤:٣٠‬اﺿﺎﻓﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﺗﺎ ‪ ١٤:٣٠:١٥‬را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﻳﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻋﺪد ﻣﺮﺑﻊ ‪ ٢٩:٣٠‬اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺎل ‪ ٠:٣٠‬را ﺑﻪ‬ ‫‪ ٢٩:٣٠‬اﺿﺎﻓﻪ ﻛﻨﻴﺪ‪ .‬ﻧﺘﻴﺠﻪ ‪ ٣٠‬اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﻤﺎن ﺿﻠﻊ ﻣﺮﺑﻊ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .٢‬ﺧﻮارزﻣﻰ‪ ٨٢٥ ،‬ﺑﻌﺪ از ﻣﻴﻼد‪) ،‬ﺑﺮﮔﺮﻓﺘﻪ از اﺳﺘﺮوﺋﻴﻚ‪ ،١٩٨٦ ، ٢٣‬ص ‪(٥٨‬‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ :‬ﻣﺠﺬورى ﻛﻪ اﮔﺮ ﺑﺎ ده ﺑﺮاﺑﺮ رﻳﺸﻪ اش ﺟﻤﻊ ﺷﻮد ﻋﺪد ‪ ٣٩‬ﺑﻪ دﺳﺖ آﻳﺪ‪ ،‬ﭼﻨﺪ اﺳﺖ؟‬ ‫راه‪C‬ﺣﻞ‪ … :‬ﻧﺼ‪ ١٠ I‬را ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ ٥ ،‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻰ آﻳﺪ ﻛﻪ اﮔﺮ در ﺧﻮدش ﺿﺮب ﺷﻮد ‪ ٢٥‬ﻣﻰ ﺷﻮد‪ ،‬ﻣﻘﺪارى ﻛﻪ اﮔﺮ ﺑﻪ‬ ‫‪ ٣٩‬اﺿﺎﻓﻪ ﻛﻨﻴﺪ‪ ٦٤ ،‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻰ آﻳﺪ‪ ٨ .‬رﻳﺸﻪ ى دوم ‪ ٦٤‬اﺳﺖ‪ .‬ﻋﺪد ‪ ٥‬را از ‪ ٨‬ﻛﻢ ﻛﻨﻴﺪ‪ ٣ ،‬ﺑﺎﻗﻰ ﻣﻰ ﻣﺎﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪ ،‬ﻋﺪد ﺳﻪ ﻳﻚ رﻳﺸﻪ از اﻳﻦ ﻣﺠﺬور اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪ ،‬ﻣﺠﺬور ‪ ٩‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬ﻓﺮد ﺑﺎﻳﺪ ﻗﻴﻤﺖ ﺗﻌﺪاد ﻣﻌﻴﻨﻰ ﻣﺪاد و ﻳﻚ دﻓﺘﺮ ﻳﺎدداﺷﺖ را‬ ‫ﺑﻪ دﺳـﺖ آورد‪ ،‬در ﻣﺴﺌﻠﻪ اى دﻳﮕـﺮ‪ ،‬ﻓـﺮد ﺑﺎﻳﺪ ﺗﻌﺪاد ﻣﺪادﻫـﺎ را ﺑـﺎ‬ ‫»ﻣﻌﻜﻮس اﻧﺠﺎم دادن«‪ ٢١‬آن ﭼﻪ ﺑﺮاى ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ى ﻗﻴﻤﺖ ﻣﺪادﻫـﺎ و‬ ‫دﻓﺘﺮ اﻧﺠﺎم ﺷﺪه‪ ،‬ﺑـﻪ دﺳـﺖ آورد‪ .‬اﮔﺮﭼﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﻜـﻮس ﺳﺎزى در‬ ‫اﺑﺘﺪا ﻛﺎﻣـﻼً ﺳﺎده و ﺷﻬﻮدى اﺳﺖ‪ ،‬اﻣـﺎ زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻛﻼﻣـﻰ‬ ‫ﻧﺴﺒﺘﺎ دﺷﻮار ﻇﺎﻫﺮ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬اﻳﻦ اﻣﺮ ﺑﺪﻳﻬﻰ ﻧﺨﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬ ‫ً‬ ‫ﻣﺮاﺣﻞ اوﻟﻴﻪ در ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﺟﺒﺮ را ﻣﻮرد ﺗﻮﺟﻪ ﻗﺮار ﻣﻰ دﻫﻴﻢ‪ .‬دو‬ ‫ﻧﻤـﻮﻧﻪ از ﺟﺒﺮ ﻛﻬﻦ و ﺟـﺒـﺮ ﻗـﺮون وﺳﻄـﺎﻳـﻰ را در ﻧﻈﺮ ﻣﻰ ﮔﻴـﺮﻳـﻢ‬ ‫)ﺟﺪول‪ ١‬را ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ(‪.‬‬ ‫ﻫﺮﭼﻨﺪ اﻳﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎ از ﻟﺤﺎظ زﻣﺎﻧﻰ ﺳﻪ ﻫﺰار ﺳﺎل ﺑﺎ ﻫﻢ ﻓﺎﺻﻠﻪ‬ ‫دارﻧﺪ‪ ،‬اﻣﺎ وﻳـﮋﮔﻰ ﻫﺎى اﺻﻠﻰ آن ﻫﺎ ﻳﻜـﺴـﺎن اﺳـﺖ زﻳـﺮا ﻫﺮ دو‪،‬‬



‫ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔـﺮﻓﺖ‪ .‬اﻳﻦ ﺟﺒﺮ‪ ،‬ﻫﻤﺎن ﺟـﺒـﺮى اﺳﺖ ﻛﻪ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان‬ ‫ﻣﺪرﺳﻪ اى اﻣﺮوز‪ ،‬ﻗﺒﻞ از اﻳﻦ ﻛﻪ ﻫﺮ ﻧﻤﺎد ﺻـﻮرى ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﻣﻌـﺮﻓﻰ‬ ‫ﮔﺮدد‪ ،‬ﺑﺎ آن ﻣﻮاﺟﻪ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﻃﺒﻴﻌﺘـﺎً آن ﭼﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ ﻃﻮر‬ ‫ﻟﻔﻈﻰ ﺣﻞ ﻣﻰ ﻛﻨـﻨـﺪ‪ ،‬ﺳـﺎده ﺗـﺮ اﺳـﺖ و ﻋـﺒـﺎراﺗﻰ ﻛﻪ آن ﻫـﺎ ﺑـﺮاى‬ ‫راه ﺣﻞ ﻫﺎﻳﺸﺎن ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣـﻰ ﺑـﺮﻧﺪ‪ ،‬ﻛﺎﻣﻼً ﻣﺘﻔـﺎوت اﺳﺖ‪ ،‬اﻣﺎ ﻫﻨـﻮز‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮر اﺳﺎﺳﻰ ﻧﻮع ﻳﻜﺴﺎﻧﻰ از رﻳﺎﺿﻴﺎت را ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﻨﺪ‪ :‬ﻛﻼﻣﻰ‬ ‫ﻳﺎ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ‪.‬‬ ‫در اﻳﻦ ﺟﺎ ﺑﺎﻳﺪ ﺗﺄﻛﻴﺪ ﺷـﻮد ﻛﻪ وﻳـﮋﮔﻰ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﺟﺒﺮ‪ ،‬ﺟـﺪا از‬ ‫ﻛﻼﻣﻰ ﺑـﻮدن آن ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ اﻳﺪه ﻫﺎى ﺟـﺒـﺮى ﻓﻘﻂ ﺑﺎ ﻛـﻼم‬ ‫ﺑﻴﺎن ﺷﺪه اﻧﺪ‪ ،‬ﺑﻪ دﺷﻮارى ﻣﻰ ﺗﻮان روﻳﻜﺮد ﺳﺎﺧﺘﺎرى ﭘﻴﺸﺮﻓﺘﻪ ﺗﺮى‬ ‫را ﺗﺼﻮر ﻛﺮد‪ .‬در روﻳﻜﺮد ﺳﺎﺧﺘﺎرى‪ ،‬ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻰ ﺑﻪ ﻃﻮر‬



‫‪٩‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﻛﻠﻰ از دﻳﺪ ﺑﺎﻻﺗﺮى ﻣﻮرد ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻧﺪ‪ ،‬اﻣﺎ روﻳﻜﺮدﻫﺎى‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ و ﺳﺎﺧﺘـﺎرى‪ ،‬ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻳﻜﺴﺎﻧـﻰ دارﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﺒـﺎرت‬ ‫دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﻛﻠﻤﺎت‪ ،‬ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﻗـﺎﺑـﻞ دﺳـﺖ ورزى ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻗﺎﺑـﻞ‬ ‫دﺳﺖ ورزى ﺑﻮدن اﺳﺖ ﻛﻪ اﻳﻦ اﻣﻜﺎن را ﻓﺮاﻫﻢ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﺗﺎ ﻣﻔﺎﻫﻴـﻢ‬ ‫ﺟﺒﺮى‪ ،‬ﻛﻴﻔﻴﺖ ﺷﻰ ﻣﺎﻧﻨﺪى داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬اﻣﻜﺎن اﻧﺠﺎم ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى‬ ‫ﺳﻄﺢ ﺑﺎﻻﺗـﺮ در ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎﻳﻰ ﻛـﻪ ﺑـﺎ ﻋـﺒـﺎرات ﻓﺸـﺮده ﻧﻤﺎﻳـﺶ داده‬ ‫ﺷﺪه اﻧﺪ‪ ،‬ﺗﻔﻜﺮ ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى را ﺗـﺮﻏﻴﺐ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺑﻨـﺎﺑـﺮاﻳﻦ‪ ،‬ﺑﻪ ﻧﻈـﺮ‬ ‫ﻣﻰ رﺳﺪ‪ ،‬ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻳﻚ ﻧﻤﺎدﮔﺬارى ﺑﺮاى ﺷﻰء اﻧﮕﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴـﻢ ﻻزم‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﻣﺎ اﻳﻦ ﻧﻤﺎدﮔـﺬارى ﺑﺮاى اﻧﺘﻘﺎل ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﺳﺎﺧﺘـﺎرى ﻛﺎﻓﻰ‬ ‫ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﻛﻪ ﻗﺒﻼً در ﻣﺜﺎل اول ذﻛﺮ ﺷﺪ‪ ،‬ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ‬ ‫از ﻃﺮﻳﻖ ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻧﻤﺎدﻳـﻦ ﻫـﻢ‬ ‫ﮔﺮﻳﮕﻮرى ﻣﻰﻧﻮﻳﺴﺪ‪ ،‬ﺟﺒﺮ اﻧﺘﻘـﺎل ﻣـﻰ ﻳـﺎﺑـﻨـﺪ‪ .‬اﻣـﺎ‪ ،‬اﺑـﺰارﻫـﺎى‬ ‫در ﺣـﺎل ﺗـﺒـﺪﻳـﻞ ﺷـﺪن ﺑـﻪ ﻛﻼﻣﻰ‪ ،‬ﺗﻔﻜﺮ ﻋﻤـﻠـﻴـﺎﺗـﻰ را داﺋﻤـﻰ‬ ‫داﻧﺸﻰ ﺑـﻮد ﻛﻪ »ﻣـﻮﺿـﻮع ﻣﻰ ﺳﺎزﻧﺪ‪ .‬ﺷﺎﻳﺪ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬ﻳـﻜـﻰ‬ ‫آن ﺗﺮﻛﻴﺐ ﻋﻤﻠﻴﺎت اﺳـﺖ؛ از دﻻﻳﻠﻰ ﺑﺎﺷﺪ ﻛـﻪ ﺣـﻮزه ى ﺟﺒـﺮى‬ ‫در ﺣﺎﻟﻰﻛﻪ‪ ،‬اﻳﻦ ﻋﻤﻠﻴﺎت ﺑﺎ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﭼﻨﺪ ﻫﺰار ﺳﺎل ﻃﻮل ﻛﺸﻴﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺎﻫﻴـﺖ ﺧـﻮدﺷﺎن‪ ،‬ﻳـﻌـﻨـﻰ‬ ‫آنﭼﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻳـﺎ آنﭼـﻪ را ‪ .٢.٢‬ﺟﺒـﺮ ﺑـﻪ ﻋـﻨـﻮان ﺣﺴـﺎب‬ ‫ﻛــﻪ اﻧــﺠــﺎم ﻣــﻰدﻫــﻨــﺪ‪ ،‬ﺗﻌﻤﻴﻢﻳﺎﻓﺘﻪ‪ :‬ﺟﻨﺒﻪى ﺳﺎﺧﺘﺎرى‬ ‫ﻗﺒﻞ از اﻳﻦ ﻛﻪ ﮔﺎم ﻫﺎى ﺑﻴﺶ ﺗﺮى‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ‪ O‬ﻧـﺸـﺪهاﻧـﺪ‪ ،‬ﺑـﻠـﻜـﻪ‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ ﻗـﻮاﻋﺪ ﺗـﺮﻛﻴﺒﻰ ﻛـﻪ را در ﺗﺎرﻳﺦ ﺟﺒﺮ ﺑﺮدارﻳﻢ‪ ،‬ﻻزم اﺳﺖ‬ ‫روى آنﻫﺎ اﻋﻤﺎل ﻣﻰﺷﻮد ﺑﻌﻀـﻰ ﻣـﻘـﺪﻣـﺎت ﻧـﻈـﺮى را روﺷـﻦ‬ ‫ﺳﺎزﻳﻢ‪.‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ‪ O‬ﺷﺪهاﻧﺪ«‬ ‫ﻻ‪ ،‬ﻻزم اﺳﺖ ﺑﺮ آﺧﺮﻳﻦ ﺗﺬﻛﺮ‬ ‫او ً‬ ‫ﺑﺨﺶ ﻗﺒﻞ ﺗﺄﻛﻴﺪ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺗﺎرﻳﺦ ﺟﺒﺮ‪ ،‬ﺗﺎرﻳﺦ ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﻧﻴﺴـﺖ‪ ،‬ﻫـﺮ‬ ‫ﭼﻨﺪ از ﻣـﺮﺣﻠﻪ اى ﺑﻪ ﺑﻌﺪ‪ ،‬ﻣﻔﺎﻫﻴـﻢ ﺟـﺒـﺮى از ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﺟﺪاﻧﺎﭘـﺬﻳـﺮ‬ ‫ﺷﺪﻧﺪ‪ .‬اﻳـﻦ درﺳﺖ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﻔﻬـﻮم ذﻫﻨﻰ ﻫﻨـﺮﻣﻨﺪ از ﻳﻚ ﺗﺼﻮﻳﺮ ﻳـﺎ‬ ‫ﻳﻚ ﻣﺠﺴﻤﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ از آن ﻣﺠﺴﻤﻪ ﻳﺎ ﺗﺼﻮﻳﺮ‪ ،‬ﺟﺪاﻧﺎﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫در واﻗﻊ‪ ،‬ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺟﺒﺮ ﺟﺪﻳﺪ را ﺑﻪ ﺳﺨﺘﻰ ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﺎ ﻫﺮ وﺳﻴﻠﻪ اى‬ ‫ﻏﻴﺮ از ﻧﻤﺎدﻫﺎى ﺟـﺒـﺮى اﻧﺘﻘﺎل داد‪ .‬ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ‪ ،‬داﻧﺶ ﺟﺒـﺮى‬ ‫ﺟﺪﻳﺪ از ﻃﺮﻳﻖ دﺳﺖ ورزى و ﺑﺮرﺳﻰ ﻋﺒﺎرات ﺻﻮرى ﺳﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه‬ ‫اﺳﺖ و ﺑﺪﻳﻦ ﺟﻬﺖ‪ ،‬ﺗﻐﻴـﻴـﺮات در ﻧﻤﺎدﮔـﺬارى ﺑﻪ ﻣـﻮازات ﺗﻐﻴﻴـﺮ‬ ‫ﺷﻜﻞ ﻫﺎى ﻣﻔﻬﻮﻣﻰ ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﮔﺮﭼﻪ ﺗﺎرﻳﺦ ﺟﺒﺮ و ﺗﺎرﻳﺦ ﻧﻤﺎدﻫـﺎ‬ ‫ﻣﺠﺰا ﺑﻮدﻧﺪ‪ ،‬اﻣﺎ از ﻟﺤﻈﻪ اى ﻛﻪ ﻧﻤﺎدﮔـﺬارى ﺟﺒﺮى ﺟﺪﻳﺪ ﻣﻌـﺮﻓﻰ‬ ‫ﺷﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣـﺎﻫـﺮاﻧﻪ اى درﻫﻢ آﻣﻴﺨﺘﻨﺪ‪ ،‬ﺑـﻪ ﻃـﻮرى ﻛﻪ از ﻟﺤـﺎظ‬ ‫ﻋﻤﻠﻰ‪ ،‬ﺑﻴﺎن ﺗﺎرﻳﺦِ ﻳﻜﻰ از آن ﻫﺎ ﺑﺪون دﻳﮕﺮى‪ ،‬ﻏﻴﺮﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫‪١٠‬‬



‫ﻣﻮﺿﻮع ﻣﻬﻢ دﻳﮕـﺮى ﻛﻪ در اﻳﻦ ﺟﺎ ﻣﻄـﺮح اﺳﺖ‪ ،‬ارﺗﺒﺎط ﺑﻴـﻦ‬ ‫ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ از ﺟﺒﺮ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﺑﻪ ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى و دﺷﻮارى ﻫﺎﻳﻰ اﺳﺖ ﻛـﻪ‬ ‫اﻳﺪه ﻫﺎى ﺟﺒﺮى ﺑﺮاى ﻓﺮد اﻳﺠﺎد ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻧﻜﺘﻪ اى ﻛﻪ ﻣﻰ ﺧـﻮاﻫﻴﻢ‬ ‫ﺑﮕﻮﻳﻴﻢ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎﻻ رﻓﺘﻦ از ﺳﻠﺴﻠﻪ ﻣﺮاﺗﺐ اﻳﺪه ﻫﺎى ﺟﺒﺮى‪،‬‬ ‫ﻣﺎ ﻣﻌﺎدل ﺑﺎ ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻰ ﺗﻔﻜﺮ ﻓﺮد ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬ﺣﺘﻰ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻓﺮدى‬ ‫ﻟﺰو ً‬ ‫ﺑﮕﻮﻳﺪ ﻛﻪ اﻧﺘﻘﺎل از ﺟﺒﺮ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﺑﻪ ﺟﺒﺮ ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى‪ ،‬اﮔـﺮﭼﻪ ﻳﻚ‬ ‫ﮔﺎم رو ﺑﻪ ﺟﻠﻮ در اﻓﺰاﻳﺶ درﺟﻪ ى ﺗﺠﺮﻳﺪ و ﺗﻌﻤﻴﻢ اﺳﺖ‪ ،‬ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ‬ ‫ﺑﺮ دﺷﻮارى ﻧﻤﻰ اﻓﺰاﻳﺪ‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ ﺗﺴﻬﻴﻞ در ﻋﻤﻠﻜﺮد را ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻰ دﻫﺪ‪.‬‬ ‫ﻫﺮ ﭼﻨﺪ رﺳﻴﺪن ﺑﻪ ﺷﻰ اﻧﮕﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ دﺷﻮار اﺳﺖ‪ ،‬اﻣﺎ زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ‬ ‫رخ دﻫﺪ‪ ،‬ﻣﻨﺎﻓﻊ آن ﻓﻮرًا آﺷﻜﺎر ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬ﺗﺎ ﺣﺪود زﻳﺎدى دﺷﻮارى‬ ‫ﻛﺎﻫﺶ ﻣﻰ ﻳﺎﺑﺪ و ﻗﺎﺑﻠﻴـﺖ دﺳـﺖ ورزى اﻓﺰاﻳﺶ ﻣﻰ ﻳﺎﺑﺪ‪ .‬ﻣﻤـﻜـﻦ‬ ‫اﺳﺖ آن ﭼﻪ در ﭼﻨﻴﻦ اﻧﺘﻘـﺎﻟـﻰ رخ ﻣﻰ دﻫﺪ‪ ،‬ﺑﺎ روﻳﺪادى ﻣﻘﺎﻳـﺴـﻪ‬ ‫ﺷﻮد ﻛﻪ در آن‪ ،‬ﻓـﺮدى اﺷﻴﺎى ﻣﺘـﻔـﺎوت زﻳـﺎدى را ﺑﺎ دﺳﺖ ﺣﻤـﻞ‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬او ﺗﺼﻤﻴﻢ ﻣﻰ ﮔﻴﺮد ﻫﻤﻪ ى آن ﻫﺎ را در ﻳﻚ ﻛﻴ‪ I‬ﺑﮕﺬارد و‬ ‫ﻛﻴ‪ I‬را ﺣﻤﻞ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺑـﺮاى آن ﻛﻪ ﻛﺎﻣﻼً ﻗﺪردان اﺛﺮ ﺗﺴﻬﻴﻞ ﻛﻨﻨـﺪه ى‬ ‫ﺷﻰ اﻧﮕﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺑﺎﺷﻴﻢ )ﻛﻪ از ﻃﺮﻳﻖ ﻳﻚ ﻧﻤﺎدﮔـﺬارى ﻣﻨﺎﺳﺐ‬ ‫ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه اﺳﺖ( ﻛﺎﻓﻰ اﺳﺖ ﻧﮕﺎﻫﻰ اﺟﻤﺎﻟﻰ ﺑﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪ ى ﺟﺒﺮ‬ ‫ﻟﻔﻈﻰ اراﺋﻪ ﺷﺪه در ﺟﺪول)‪ (١‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ .‬اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﻫﺎ‪ ،‬زﻣﺎﻧﻰ‬ ‫ِ‬ ‫ﻛﻪ از ﻃﺮﻳﻖ دﺳﺖ ورزى ﻫﺎى ﺻﻮرى روى ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎى ﻛﻮﺗﺎه اﻧﺠﺎم‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﺑﺴﻴﺎر ﺳﺎده و آﺷﻜﺎر ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﻰ رﺳﻨﺪ‪ ،‬اﻣﺎ زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺑﺎ‬ ‫اﻗﻌﺎ دﺷﻮارﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﻓﺎ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ روﻧﺪ‪ ،‬و ً‬ ‫ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻛﻼﻣﻰ و ﺻﺮ ً‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪ ،‬رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﻗﺮون وﺳﻄﻰ ﺳﺰاوار ﺑﻴﺶ ﺗﺮﻳﻦ ﻗﺪر و اﻋﺘﺒﺎر‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ زﻳﺮا اﻗﺪام ﺑﻪ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﭘﻴﺸﺮﻓﺘﻪ و ﭘﻴﭽﻴﺪه اى ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫درﺟﻪ دو و ﺳﻪ ﻣﻰ ﻛـﺮدﻧﺪ‪ ،‬ﺑﺪون آن ﻛﻪ اﺑـﺰارﻫﺎى ﻣﺒﺘﻜـﺮاﻧﻪ ى ﺟﺒﺮ‬ ‫ﻧﻤﺎدﻳﻦ ﺳـﺎﺧـﺘـﺎرى را در اﺧﺘﻴﺎر داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷـﻨـﺪ )اﻟـﮕـﻮرﻳـﺘـﻢ ﻫـﺎى‬ ‫‪٢٧‬‬ ‫ﭘﻴﭽﻴﺪه اى ﻛﻪ در ﺣﺎﻟﺖ ﻟﻔﻈﻰ ﺑﻪ وﺳﻴﻠﻪ ﻛﺎردان‪ ٢٦‬در اﺛﺮ ﻣﻌﺮوﻓﺶ‬ ‫در ﺳﺎل ‪ ١٥٤٥‬اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ(‪ .‬ﺗﺎ آن ﺟﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ و ﺗﻜﺎﻣﻞ‬ ‫ﺗﻔـﻜـﺮ آن ﻫـﺎ ﻣـﻮرد ﺗـﻮﺟـﻪ اﺳـﺖ‪ ،‬ﻣـﻰ ﺗـﻮان آن ﻫـﺎ را ﺑﻪ ﺑـﻬـﺘـﺮﻳـﻦ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن اﻣـﺮوزى ﻛﻪ ﺑﺎ ﭘﻴﺸـﺮﻓﺘﻪ ﺗﺮﻳﻦ ﻣﺴﺎﺋﻞ رﻳـﺎﺿـﻰ ﻣـﺪرن‬ ‫ﺳﺮوﻛﺎر دارﻧﺪ‪ ،‬ﻣﻘﺎﻳﺴـﻪ ﻛـﺮد‪ .‬زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺑﺮ ﺟﺮﻳﺎن ﻫﺎى ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى‬ ‫ﻓﺮدى و ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺗـﻤـﺮﻛﺰ دارﻳﻢ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ ﻫﻤﻪ ى اﻳﻦ ﺣﻘـﺎﻳـﻖ را در‬ ‫ذﻫﻦ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪.١.C٢.C٢‬ﺟﺒﺮ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑـﺖ‪) ٢٨‬از ﻳﻚ ﻣﺠﻬـﻮل(‪ .‬ﻫﻤﺎن ﻃﻮر‬ ‫ﻗﺒﻼ ﮔﻔﺘﻪ ﺷﺪ‪ ،‬ﻧﻤﺎدﮔﺬارى ﺟﺒﺮى در ﻗﺪرﺗﺶ ﺑﺮاى ﻣﺨﺘﺼﺮ ﻛﺮدن‬ ‫ﻛﻪ ً‬ ‫‪٢٩‬‬ ‫اﻳﺪه ﻫﺎى ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ و ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﺮدن آن ﻫﺎ ﺑﻪ ﻗﻄﻌﻪ ﻫﺎى ﻓﺸﺮده و در‬



‫ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ ﺑﺎﻟﻘﻮه اش ﺑﺮاى ﺗﺴﻬﻴﻞ درك و اﻳﺪه ﻫﺎ و دﺳﺖ ورزى ﺑﺎ آن ﻫﺎ‬ ‫ﺑﻰ ﻧﻈﻴﺮ اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ﺻﺮﻓﻪ ﺟﻮﻳﻰ ﻧﻤﺎدﻳـﻦ زودﺗﺮ ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺷﺪه ﺑﻮد‪،‬‬ ‫ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺴﺖ ﻣﻴﺰان ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﺟﺒـﺮ را ﺗﻐﻴﻴﺮ دﻫﺪ و ﺑﻪ داﻧﺸﻤﻨﺪان در‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻛﻤﻚ ﻛﻨﺪ‪ .‬در ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺑﺎ ﻫﻨﺪﺳﻪ‪ ،‬ﺟﺎﻳﻰ ﻛﻪ اﺑـﺰارﻫﺎى‬ ‫ﺗﻔﻜﺮ ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﺗﺼﻮﻳـﺮى ﺑﻪ ﺳﺎدﮔـﻰ در‬ ‫دﺳﺘﺮس ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ ﺟﺒﺮ ﺑﺴﻴﺎر ﻛﻨﺪ و ﺑﺎ ﺷﻚ و ﺗـﺮدﻳﺪ ﺑﻮد‪.‬‬ ‫ﺗﺎ آﺧﺮ ﻗﺮن ﺷﺎﻧﺰدﻫﻢ‪ ،‬ﺟﺒﺮ ﺑﻪ درﺟﻪ اى از دﺷـﻮارى رﺳﻴﺪ ﻛﻪ ﺑﺪون‬ ‫اﻧﺘﻘﺎل ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﺳـﺎﺧـﺘـﺎرى‪ ،‬ﭘﻴﺸـﺮﻓﺖ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ آن ﻣﻤﻜـﻦ ﻧـﺒـﻮد‪.‬‬ ‫ﻣﻮرﺧﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﻏﺎﻟﺒﺎً ﺗﻌﺠﺐ ﻛﺮده اﻧﺪ ﻛﻪ ﭼﺮا ﻣﺘﻔﻜﺮان ﮔﺬﺷﺘﻪ ﻛﻪ‬ ‫اﻧﮕﻴﺰه ى ﻗﻮى ﺑﺮاى ﻳﻚ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺑﻨﻴﺎدﻳـﻦ در روش داﺷﺘﻪ اﻧﺪ‪ ،‬زودﺗـﺮ‬ ‫از اﻳﻦ ﻫﺎ ﺑﻪ اﻳﺪه ى ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻏﻴﺮﻛﻼﻣﻰ دﺳﺖ ﻧﻴﺎﻓﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫اﮔﺮﭼﻪ ﻣﻔﻬـﻮم ﻋﻼﻣﺖ ﮔـﺬارى ﻧﻤﺎدﻳﻦ ﺑﺮاى ﻣﺎ ﺧﻴﻠﻰ ﻃﺒﻴـﻌـﻰ‬ ‫اﺳﺖ‪ ،‬اﻣﺎ از ﻗﺮار ﻣﻌﻠـﻮم‪ ،‬ﺑﺮاى آن ﻫﺎ اﺻﻼً آﺷﻜﺎر ﻧﺒـﻮده اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻓﺎ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ اﻳﺪه ى ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮدن ﺣﺮوف ﺑﻪ‬ ‫در ﺣﻘﻴﻘﺖ‪ ،‬دﺷﻮارى ﺻﺮ ً‬ ‫ﺟﺎى اﻋﺪاد و ﻋﻼﻣﺖ ﻫﺎ ﻧﻴﺴﺖ )اﻳﻦ ﻣﻄـﻠـﺐ‪ ،‬از زﻣﺎﻧﻰ ﺑـﻪ زﻣﺎن‬ ‫دﻳﮕﺮ در ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻫﺎى ﻗﺪﻳﻤﻰ دﻳﺪه ﺷﺪه اﺳﺖ(‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ ﻧﻴﺎز‬ ‫ﺑﻪ ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎى ﻧﻤﺎدﻳﻦ ﺑﺎ دو ﻣﻌﻨﻰ روﻳﻪ ﻫﺎى ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻰ و اﺷﻴﺎﺋـﻰ‬ ‫ﻛﻪ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﺷﺪه اﻧﺪ ﻧﻴﺰ ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در ﺣﺴﺎب‪ ،‬ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﻰ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻴﻢ‬ ‫اﻳﻦ دو ﻣﻌـﻨـﻰ را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از دو ﻋـﺒـﺎرت‪ ،‬ﻣﺠـﺰا ﺳﺎزﻳﻢ‪٢+٣ :‬‬ ‫ﻋﻤﻠـﻴـﺎت را ﻧﺸﺎن ﻣـﻰ دﻫـﺪ و ‪ ٥‬ﻧﺘﻴﺠﻪ اﺳﺖ‪ .‬در ﺟـﺒـﺮ‪ ،‬ﭼـﻨـﻴـﻦ‬ ‫ﻣﺠـﺰاﺳﺎزى در ﻋﺒـﺎرﺗﻰ ﻣﺎﻧـﻨـﺪ ‪ a+b‬ﻳﺎ ‪ 3(x + 5) +1‬اﻣﻜﺎن ﭘـﺬﻳـﺮ‬ ‫ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬در اﻳﻦ ﺟﺎ‪ ،‬ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻧﻤﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﻃﻮر واﻗﻌﻰ ﺷﻜﻞ ﺑﮕﻴﺮد؛‬ ‫از ﻋﻤﻠﻴﺎت ﻫﻴﭻ ﻣﻘﺪار دﻳﮕﺮى ﺑﻪ دﺳﺖ ﻧﻤﻰ آﻳﺪ‪ .‬ﻓﺮﻣﻮل ﺑﺎ ﺟﻨﺒﻪ ى‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ )ﺷﺎﻣﻞ ﻋﻼﺋﻢ و ﻧﺸﺎﻧﻪ ﻫﺎﻳﻰ‪ ٣٠‬ﺑﺮاى ﻋﻤﻞ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ‬ ‫ﻋﻤﻠﮕﺮ اﺳﺖ(‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﺘﻴﺠﻪ ى ﻓﺮاﻳﻨﺪى ﻛﻪ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻣﻰ دﻫﺪ‬ ‫ﻧﻴﺰ ﺗﻔﺴﻴﺮ ﺷﻮد‪ .‬ﺣﺘﻰ ﻣﺠﺮدﺗﺮﻳﻦ ﺗﻔﻜﺮ ﻣﺎ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﺳﺘﻌﺎره ﻫﺎﻳﻰ‬ ‫‪٣١‬‬ ‫ﺷﻜﻞ ﮔﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﺗﺠﺮﺑﻪ ى ﺣﺴﻰ اﻳﺠﺎد ﺷﺪه اﻧﺪ )ﻻﻛ‪I‬‬ ‫و ﺟﺎﻧﺴﻦ‪ .(١٩٨٠ ، ٣٢‬اﻳﻦ ﺗﺠﺎرب ﺣﺴﻰ‪ ،‬ﺑﺮﺧﻼف اﻳﺪه ى ﻓﺮاﻳﻨﺪ‬ ‫اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﻴﭻ ﻣﻘﺪار دﻳﮕﺮى اﺿﺎﻓﻪ ﻧﻤﻰ ﻛﻨﺪ و ﻃﻮرى ﻋﻤﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‬ ‫ﻣﺜﻞ اﻳﻦ ﻛﻪ ﺧﻮدش ﻧﺘﻴﺠﻪ اﺳﺖ‪ .‬در واﻗﻊ‪ ،‬ﻫﻴﭻ ﭼﻴﺰى ﻣﺎﻧﻨﺪ اﻳﻦ‬ ‫در زﻧﺪﮔﻰ واﻗﻌﻰ اﻣﻜﺎن ﭘﺬﻳﺮ ﻧﻴﺴﺖ‪ :‬ﻣﺎ ﻧﻤﻰ ﺗـﻮاﻧﻴﻢ دﺳﺘﻮرﭘﺨﺖ‬ ‫ﻳﻚ ﻛﻴـﻚ را ﺑﺨﻮرﻳﻢ و ﺗﻈﺎﻫﺮ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺧـﻮد ﻛﻴﻚ اﺳﺖ )اﮔـﺮﭼﻪ‬ ‫ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﻴﻢ ﻛﻴﻚ ﻳﺎ اﻳﻦ ﻛـﻪ ﻛـﻴـﻚ را ﻣﻰ ﺧـﻮرﻳـﻢ را ﺗﺼﻮر ﻛﻨـﻴـﻢ(!‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪ ،‬ﺣﺪاﻗﻞ در اﺑﺘﺪا ﺷﻬﻮد ﻣﺎ در ﻣﻘﺎﺑﻞ دوﮔﺎﻧﮕﻰ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ـ‬ ‫ﺳﺎﺧﺘﺎرى ﻧﻤﺎدﻫﺎى ﺟﺒـﺮى ﻣﻘﺎوﻣﺖ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪) .‬اﻧﻮاع ﺟﺪﻳﺪ اﻋﺪاد‬ ‫ﻫﻤﻮاره در ﻃﻮل ﺗﺎرﻳﺦ ﺑﺎ ﻋﺪم ﺑﺎورﭘﺬﻳﺮى ﻣﻮاﺟﻪ ﺷﺪه اﻧﺪ‪ .‬در اﻳﻦ ﺟﺎ‬



‫ﻣﺜﺎل دﻳـﮕـﺮى از ﭘﺪﻳﺪه اى ﻛـﻪ اﺣـﺘـﻤـﺎﻻَ ﺑﻪ ﻧﺎﻫﻤﺎﻫﻨـﮕـﻰ ﻫـﺴـﺘـﻰ‬ ‫ﺷﻨﺎﺳﺎﻧﻪ ى ﻳﻜﺴﺎﻧﻰ ﻧﺴﺒﺖ داده ﻣﻰ ﺷﻮد‪ ،‬ﻣﻰ آورﻳﻢ‪ :‬اﺷﻴﺎﻳﻰ ﻣﺎﻧﻨﺪ‬ ‫‪ -٢ ، 3 4‬ﻳﺎ ‪ −1‬از ﻋﻤﻠﻴﺎت ﺗﻘﺴﻴﻢ‪ ،‬ﺗﻔﺮﻳﻖ و ﺑﻪ دﺳﺖ آوردن‬ ‫رﻳﺸـﻪ ى دوم ﺑﻪ وﺟﻮد آﻣﺪﻧﺪ‪ ،‬در ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻧﻈـﺮ ﻧـﻤـﻰ رﺳﻴﺪ اﻳـﻦ‬ ‫اﻋﻤﺎل‪ ،‬ﻫﺮﮔﺰ ﭼﻴﺰى ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻛﻨﻨﺪ‪(.‬‬ ‫درﺳﺖ اﺳﺖ ﻳﻚ ﺑﺎر ﻣـﻮﻓﻖ ﺷﺪﻳﻢ ﺑﺮ اﻳﻦ ﻣﺸﻜـﻞ )دوﮔﺎﻧﮕـﻰ‬ ‫ﻓﺮاﻳﻨﺪ ـ ﺷﻰء( ﻏﻠﺒﻪ ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬اﻣﺎ ﺑﻪ ﺳﺮﻋﺖ آن را ﻓﺮاﻣﻮش ﻛﺮدﻳﻢ‪ .‬ﺑﺮاى‬ ‫آن ﻫﺎﻳﻰ ﻛـﻪ در دﺳـﺖ ورزى ﻫﺎى ﺟﺒـﺮى ﺑﺴﻴﺎر ﻣـﺘـﺒـﺤـﺮﻧﺪ )ﻣﺜـﻼً‬ ‫ﻣﻌﻠﻤﺎن(‪ ،‬اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺧﻴﻠﻰ زود ﻋﺎدى ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬در واﻗﻊ‪ ،‬ﻋﺎدت‬ ‫و ﺑﺎورﻫﺎى ﻫﺴﺘﻰ ﺷﻨﺎﺳﺎﻧﻪ ى ﻣـﺎ ﺑـﻪ ﺳـﺎدﮔـﻰ ﭼـﺸـﻤـﻤـﺎن را ﻛـﻮر‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﻳﻦ ﺣﺎل‪ ،‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ در‬ ‫ﻛــﻼس ﻫــﺎى اﻣـــﺮوزى‪ ،‬ﺷـــﻮاﻫــﺪ‬ ‫ﻣـــﺪلﻫـــﺎى ﺗـــﻔـــﻜـــﺮ‬ ‫ﺑﻴﺶ ﺗـﺮى ﺑـﺮاى دﺷﻮارى ﺷﻰ اﻧـﮕـﺎرى‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ و ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى‪،‬‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻳﺎﻓﺖ ﺷﻮد‪ ،‬ﻣﺸﺮوط ﺑﺮ اﻳﻦ ﻛﻪ‬ ‫ﺗـﻔـﺎوتﻫـﺎى ﻇـﺮﻳـﻔــﻰ‬ ‫ﻛـﺴـﺎﻧـﻰ ﻛـﻪ ﺑـﻪ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﮔـﻮش‬ ‫دارﻧــــﺪ و ﺗـــــﻤـــــﺎﻳـــــﺰ‬ ‫ﻣﻰ دﻫﻨﺪ‪ ،‬ﺑﻪ اﻧﺪازه ى ﻛﺎﻓﻰ ﺑﻰ ﺗﻌﺼﺐ‬ ‫ﻗﺎﺋﻞﺷﺪن ﺑﻴﻦ آنﻫﺎ‬ ‫ﺑﺎﺷـﻨـﺪ ﺗـﺎ ﺷـﻜـﺎف ﺑـﻴـﻦ ﺧـﻮدﺷـﺎن و‬ ‫ﺳﺎده ﻧﻴﺴﺖ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن ﻛﻢ ﺗﺠﺮﺑﻪ را درك ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫در ﺑﺨـﺶ ‪ ٢. ٣‬و ‪)٣. ٣‬در ﺷﻤﺎره ى‬ ‫آﻳﻨﺪه ى ﻣﺠﻠﻪ(‪ ،‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣـﺜـﺎل ﻫـﺎﻳـﻰ‪ ،‬اﻳـﻦ ادﻋـﺎ را ﻣﺴﺘـﻨـﺪ‬ ‫ﻣﻰ ﺳﺎزﻳﻢ‪.‬‬ ‫ﺣﻘﺎﻳﻖ ﺗﺎرﻳﺨﻰ ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ اﻳﺪه ى دوﮔﺎﻧﮕﻰ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ـ‬ ‫ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى ﺑـﺮاى ﻧﺴﻞ رﻳﺎﺿـﻰ داﻧـﺎن ﻧـﻴـﺰ دﺷـﻮار ﺑـﻮد‪ .‬اﺣﺘـﻤـﺎﻻً‬ ‫دﻳﻮﻓﺎﻧﺘـﻮس‪) ٣٣‬ﺳﺎل ‪ ٢٥٠‬ﺑﻌﺪ از ﻣﻴـﻼد( اوﻟﻴﻦ ﮔﺎم ﻣﻌﻨـﺎدار را در‬ ‫ﺟﻬﺖ ﻳﻚ روﻳﻜﺮد ﺳﺎﺧﺘﺎرى ﺑﺮاى روﻳﻪ ﻫﺎى ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻰ ﺑﺮداﺷﺖ‪.‬‬ ‫او ﺑﺎ ادﻏﺎم ﻧﻈﺎم ﻣﻨﺪ ﺣﺮوف ﺑﺎ ﻛﻠﻤﺎت‪ ،‬ﺑﺮاى ﺧﻮدش ﻧﻮع ﺧﺎﺻﻰ‬ ‫از ﺟﺒﺮ اﺑﺪاع ﻛﺮد ﻛﻪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان »ﻣﺨﺘﺼﺮﻛﻨﻨﺪه ى واژه ﻫﺎ«‪ ٣٤‬ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬در ﻫﻨﮕﺎم ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻫﺎى ﻛﻼﻣﻰ‪ ،‬دﻳﻮﻓﺎﻧﺘﻮس ﻋﺒﺎراﺗﻰ‬ ‫ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ 10− x‬و ‪ 10+ x‬ﺳﺎﺧﺖ )اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺣﺮوف ﻳﻮﻧﺎﻧﻰ‬ ‫ﻧﻮﺷﺖ( و ﻣﺎﻧﻨﺪ اﻋﺪاد واﻗﻌﻰ‪ ،‬آن ﻫﺎ را ﻣﻮرد دﺳﺖ ورزى ﻗﺮار داد‬ ‫)ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل‪ ،‬او ﻋﺒﺎرت ﻫﺎ را ﺿﺮب ﻛﺮد و ‪ 100− x2‬را ﺑﻪ دﺳﺖ‬ ‫آورد )ﻓـﺎول‪ ٣٥‬و ﮔـﺮى‪ ،١٩٨٧ ، ٣٦‬ص ‪ (٢١٨‬را ﺑﺒـﻴـﻨـﻴـﺪ(‪ .‬اﻳـﻦ‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻛﻪ ﺳـﻴـﺰده ﻗﺮن ﭘﺲ از دﻳـﻮﻓﺎﻧﺘـﻮس‪ ،‬رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﻫﻨـﻮز‬ ‫ﻃﻮﻻﻧﻰ ﻧﻮﻳﺴﻰ ﺟﺒﺮ ﻟﻔﻈﻰ را ﺗﺮﺟﻴﺢ ﻣﻰ دادﻧﺪ‪ ،‬ﺣﺎﻛﻰ از دﺷﻮارى‬ ‫ذاﺗﻰ ﺷﻴﻮه ى ﺗﻔﻜﺮ دﻳﻮﻓﺎﻧﺘﻮس اﺳﺖ‪.‬‬ ‫در ﻋﺒﺎرات ﺟﺒﺮى ﻛﻪ دﻳﻮﻓﺎﻧﺘﻮس ﺑﻪ ﻛﺎرﺑﺮد‪ ،‬ﻳﻚ ﺣﺮف ﺑﻪ ﻋﻨﻮان‬ ‫‪١١‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﻳﻚ ﻣﺠـﻬـﻮل ﺑﺎ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑـﺖ اﺳـﺖ‪ .‬ﺑـﺮاى او ﻋﺒـﺎرات ﺣﺎﺻـﻞ‪،‬‬ ‫اﻋﺪادى ﻫﺴﺘﻨـﺪ ﻛـﻪ از ﺗـﺮﻛﻴﺐ ﻣﺠـﻬـﻮل ﺑﺎ ﺳﺎﻳﺮ اﻋـﺪاد ﺑـﻪ دﺳـﺖ‬ ‫آﻣﺪه اﻧﺪ‪ .‬ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﮔﻔﺖ آن ﭼﻪ ﺑﻪ وﺟﻮد آورد‪ ،‬ﺟﺒﺮ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻮد‬ ‫ﻛﻪ در ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺟﺒـﺮ ﺗـﺎﺑـﻌـﻰ‪ ٣٧‬ﻗـﺮار دارد‪ .‬در ﺟﺒﺮ ﺗﺎﺑﻌـﻰ‪ ،‬ﺣـﺮوف‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮات را ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﻨﺪ ﻧﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﺛﺎﺑﺖ را‪ .‬اﻳﺪه ى ﺣﺮف ﺑﻪ ﻋﻨﻮان‬ ‫ﻣﺘﻐﻴﺮ )ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﻤﺎدى ﻛﻪ ﺑﻪ ﺟﺎى آن ﻫﺮ ﻋﺪدى ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻗﺮار‬ ‫ﮔﻴـﺮد( اﻣﺮوزه ﺑﺮاى ﻣﺎ ﺑﺴﻴـﺎر روﺷﻦ اﺳﺖ‪ ،‬اﻣﺎ ﺑـﺮاى دﻳـﻮﻓﺎﻧﺘـﻮس‬ ‫آﺷﻜﺎر ﻧﺒﻮد‪ .‬در اداﻣﻪ‪ ،‬راه ﺣﻞ او را ﺑﺮاى ﻣﺴﺌﻠﻪ اى ﻣﺎﻧﻨﺪ »ﭘﻴﺪا ﻛﺮدن‬ ‫دو ﻋﺪد ﺑﺎ داﺷـﺘـﻦ ﺟـﻤـﻊ و ﺿـﺮب آن ﻫﺎ« ﻣـﻰ آورﻳـﻢ‪ .‬او اﻋـﺪاد‬ ‫ﻣﺤﺴـﻮس را ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﻌﻴﻦ ﺑـﻪ ﻛـﺎر ﻣـﻰ ﺑُـﺮد‪ .‬اﻳﺪه ى ﻳﻚ‬ ‫ﻋﺒـﺎرت ﺟﺒﺮى ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻳﻚ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ى ﻧﻬـﺎﻳـﻰ اﻳـﺪه ى‬ ‫ﺑﻪ ﻛﺎرﺑﺮدن ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﻮﻗﺖ و دﺳﺖ ورزى ﻫﺎ‬ ‫روى ﻣﺠﻬﻮل اﺳﺖ‪ ،‬ﻛﺎﻣﻼً ﻣﺘﻔﺎوت و ﭘﺬﻳﺮﻓﺘﻦ آن دﺷﻮارﺗﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﻳﻦ اﻳﺪه ـ اﻳﻦ ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻓﺮﻣﻮل ﭘﺎراﻣﺘﺮى ﺑﺎﻻ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ ﻋﺪد‬ ‫در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد و ﻧﻪ ﻋﺒﺎرﺗﻰ ﻛﻪ اﻣﻜﺎن اﻧﺠﺎم ﻋﻤﻠﻰ ﺑﺎ آن ﻧﻴﺴﺖ‬ ‫ـ ﻗﻄﻌﺎً ﻧﻴﺎز ﺑﻪ ﻳﻚ دﻳﺪﮔﺎه ﺳﺎﺧﺘﺎرى ﺗﻤﺎم و ﻛﻤﺎل ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻋﺒﺎرات‬ ‫ﺟﺒﺮى دارد‪.‬‬ ‫‪ .٢.C٢.C٢‬ﺟ ـﺒــﺮ ﺗــﺎﺑـ ـﻌ ــﻰ )از ﻳ ــﻚ‬ ‫ﺟــﺒــﺮ ﻳــﻚ ﺳــﺎﺧــﺘـــﺎر‬ ‫ﺳﻠﺴﻠـﻪ ﻣـﺮاﺗﺒﻰ اﺳﺖ؛ ﻣـﺘـﻐـﻴـﺮ(‪ .‬از ﻗـﺮن ﺷـﺎﻧـﺰدﻫـﻢ ﺑـﻪ ﺑـﻌـﺪ‪،‬‬ ‫آنﭼـﻪ در ﻳـﻚ ﺳــﻄــﺢ ﻋﺒﺎرات ﺟﺒﺮى ﺑﺮاى ﻧﺸﺎن دادن ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﻪ‬ ‫ﺑﻪﻃﻮر ﻋﻤـﻠـﻴـﺎﺗـﻰ درك ﻛﺎر رﻓﺖ ﻧﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﺛﺎﺑـﺖ‪ .‬ﻛـﺸـﻔـﻴـﺎت‬ ‫ﻣــﻰﺷــﻮد‪ ،‬در ﺳــﻄــﺢ ﻣﻬﻤﻰ در ﮔﺎم ﻫﺎى ﻣﺘﻌـﺪدى رخ داد ﻛﻪ‬ ‫ﺑـﺎﻻﺗـﺮ ﺑــﺎﻳــﺪ ﺑــﻪﻃــﻮر اوﻟﻴﻦ آن ﻫﺎ‪ ،‬ﻣـﻌـﺮﻓﻰ ﻧﻤﺎدﻫﺎى ﺧـﺎص‬ ‫ﺳـﺎﺧـﺘـﺎرى درك ﺷﻮد‪ .‬ﺑﺮاى ﻋﻤﻠﻴﺎت و رواﺑﻂ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺑﺎ اﻳﺪه ى‬ ‫درك ﺗﻔـﺎﺳـﻴـﺮ ﻋـﺒـﺎرات ﻳﻚ ﺣـﺮف ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻳﻚ ﭘـﺎراﻣﺘﺮ )ﻳـﻚ‬ ‫ﺟـﺒــﺮى و ارﺗـﺒـﺎطﻫـﺎى ﻣﻘﺪار ﻣﻌﻴﻦ( دﻧﺒﺎل ﺷﺪ‪.‬‬ ‫رﻳﺎﺿـﻰ دان ﻓـﺮاﻧـﺴـﻮى ﻓـﺮﻧﻜـﻮﺋـﻴـﺰ‬ ‫ﻣﺘﻘﺎﺑﻞ آنﻫﺎ ﺑﺴﻴﺎر‬ ‫‪٣٨‬‬ ‫وﻳﺖ )‪ (١٥٤٠-١٦٠٣‬اوﻟﻴﻦ ﻛﺴـﻰ‬ ‫ﻣﻬﻢ اﺳﺖ‬ ‫ﺑﻮد ﻛﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﻌﻴﻦ ﻋﺪدى را ﺑﺎ ﻧﻤﺎدﻫـﺎ‬ ‫ﺟﺎﻳﮕﺰﻳـﻦ ﻛـﺮد‪ .‬اﻳﻦ اﺑﺪاع‪ ،‬ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﺗـﻐـﻴـﻴـﺮات ﻣﻔﻬـﻮﻣﻰِ دور از‬ ‫ﻻ‪ ،‬دوﮔﺎﻧﮕﻰ ﻓـﺮاﻳﻨﺪ ـ ﻧﺘﻴﺠﻪ ى ﻋـﺒـﺎرت‬ ‫دﺳﺘـﺮس در ﺟﺒﺮ ﺷﺪ‪ :‬او ً‬ ‫ﺟﺒـﺮى‪ ،‬ﻫﻢ زﻣﺎن ﺑﺎ اﻳﺪه ى ﺑـﻪ ﻛـﺎر ﺑـﺮدن ﺣـﺮوف ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان اﻋـﺪاد‬ ‫ﻣﺜﻼ‬ ‫ﻧﺎﻣﻌﻴﻦ‪ ،‬ﺑﻪ رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﺗﺤﻤﻴﻞ ﺷﺪ )ﻋﻤﻠﻴﺎت روى ﺣﺮوف‪ً ،‬‬ ‫‪ ، 3(x + 5) +1‬ﻧﻤﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ در ﻋﻤﻞ اﻧﺠﺎم ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﭘﺲ ﺑﺮاى اﻳﻦ ﻛﻪ‬ ‫ﻓﺮد ﭘﻴﺶ رود و روى ﻋﺪد ﻧﻬﺎﻳﻰ ﻛﺎرى اﻧﺠﺎم دﻫﺪ‪ ،‬اﻧﺘﺨﺎﺑﻰ ﻧﺪارد‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫‪١٢‬‬



‫ﻣﮕﺮ اﻳﻦ ﻛﻪ ﻓـﺮﻣﻮل را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﺘﻴﺠﻪ ى ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕـﻴـﺮد(‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ‪ ،‬زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎى ﺣﺮﻓﻰ ﺑﺮاى ﻧﻤﺎﻳﺶ اﺷﻴﺎى ﻣﻌﻴﻦ ﭘﺬﻳﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ً‬ ‫ﺷﺪﻧﺪ‪ ،‬ﻳﻚ ﺣـﺴـﺎب ﻧـﻤـﺎدﻳـﻦ ﺟـﺒـﺮى اﺑﺪاع ﺷﺪ ﻛـﻪ ﺷـﻴـﻮه ﻫـﺎى‬ ‫دﺳﺖ ورزى ﻣﻌـﺎدﻻت را ﻣﺸﺨﺺ ﻣﻰ ﻛـﺮد و ﻳﻚ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣـﺆﺛـﺮ در‬ ‫ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺑـﺎ ﺟـﺒـﺮ ﻋـﻤـﻠـﻴـﺎﺗـﻰ ﺑـﻮد‪ ،‬ﺟﺎﻳﻰ ﻛـﻪ ﻣـﺴـﺎﺋـﻞ ﻋـﻤـﺪﺗـﺎً ﺑﺎ‬ ‫ﻣﻌﻜﻮس ﻛﺮدن ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻰ ﺣﻞ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺛﺎﻟﺜﺎً‪ ،‬ﺑﻌﺪ از‬ ‫اﻳﻦ ﻛﻪ اﺧﺘﺮاع ﺟﺪﻳﺪ )ﻋﻤﺪﺗﺎً ﺗﻮﺳﻂ دﻛﺎرت و ﻓﺮﻣﺎ( ﺑﻪ ﻫﻨﺪﺳﻪ اﻧﺘﻘﺎل‬ ‫ﻳﺎﻓﺖ ﺗﺎ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﻮع دﻳﮕﺮى از ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﺗﺼﻮﻳﺮى اﺳﺘﺎﻧـﺪارد‬ ‫ﺑﻪ ﻛﺎر رود و ﺳﭙﺲ در ﻋﻠـﻮم‪ ،‬ﺑﺮاى ﻧﻤﺎﻳﺶ ﭘﺪﻳﺪه ﻫﺎى ﻃﺒﻴـﻌـﻰ‪،‬‬ ‫ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ﮔﻴﺮﻧﺪ )ﺗﻮﺳﻂ ﮔﺎﻟﻴﻠﻪ‪ ،‬ﻧﻴﻮﺗﻦ و ﻻﻳﺐ ﻧﻴﺘﺰ(‪ ،‬ﺟﺒﺮ‬ ‫ﻧﻬﺎﻳﺘﺎ از ﻳﻚ ﻋﻠﻢ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻪ ﻋﻠﻢ اﻧﺪازه ﻫﺎى ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺷﺪ‪.‬‬ ‫ً‬ ‫از اﻳﻦ زﻣﺎن ﺑﻪ ﺑﻌﺪ‪ ،‬ﺗـﻼش ﺑـﺮاى اﺻﻮل ﻣﻨﻄﻘﻰ ﺟﺒـﺮ آﻏـﺎز ﺷـﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﻨﺎى ﻋﺒﺎرات ﺟﺒﺮى و اﺟﺰاى ﻧﻤﺎدﻳﻦ آن ﻫﺎ ﺑﻪ ﮔـﻮﻧﻪ اى ﺑﻮد ﻛﻪ ﺑﻪ‬ ‫دﺳﺖ آوردن ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺮاﻳﺸﺎن دﺷـﻮار ﺑﻮد‪ .‬ﻧﺎم ﻫﺎﻳﻰ ﻣﺎﻧﻨﺪ‬ ‫»ﻋﺪد ﺗﻌﻤﻴﻢ ﻳﺎﻓﺘﻪ« ﻳﺎ »ﻋﺪد ﻣﺘﻐـﻴـﺮ« ﺑـﻪ زودى ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ ﻋﺪم دﻗـﺖ‬ ‫ﻣﺮدود ﺷﺪﻧـﺪ )ﻓـﺮِﮔﻪ ‪ ١٩٧٠ ،‬را ﺑﺒﻴﻨـﻴـﺪ(‪ .‬ﺳـﺮاﻧﺠﺎم‪ ،‬ﻣﺴـﺌـﻠـﻪ ﺑـﺎ‬ ‫رﻫﺎﻛﺮدن ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬اﻳﺪه ى ﻣﺘﻐـﻴـﺮ و اراﺋﻪ ى ﺗﻔﺴﻴـﺮى ﻛﻠﻰ ﺑـﺮاى ﻳﻚ‬ ‫ﻓﺮﻣﻮل ﺟﺒﺮى‪ ،‬ﺣﻞ ﺷﺪ‪ .‬ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﻮع ﺟﺪﻳﺪى از ﺷﻰء رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﻣﺠـﺮد‪ ،‬اﺑﺪاع ﺷﺪ ﺗـﺎ ﺑـﻪ ﺻـﻮرت ﻣﺼﺪاﻗـﻰ ﺑـﺮاى ﻋﺒـﺎراﺗﻰ ﻣﺎﻧـﻨـﺪ‬ ‫‪ 3(x + 5) +1‬ﻳﺎ ‪ x2 + 2y + 5‬ﺑﻪ ﻛﺎر رود‪.‬‬ ‫ﻣﺎﻫﻴﺖ دﺷﻮار ﻣﻔﻬﻮم ﺟﺪﻳﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺟـﺰﺋﻴﺎت‪ ،‬ﻣﻮرد ﻣﻼﺣﻈﻪ و‬ ‫ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴـﻞ ﻣـﻮرﺧﺎن و روان ﺷﻨﺎﺳﺎن ﻗـﺮار ﮔـﺮﻓﺖ )ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﻛﻠﻴﻨﺮ‪١٩٨٩ ، ٣٩‬؛ دوﺑﻴﻨﺴﻜﻰ و ﻫﺮل‪ ١٩٩٢ ،‬را ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ(‪،‬‬ ‫ﻣﻮﺿـﻮع ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ اى اﺳﺖ و در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟـﻪ‪ ،‬ﺑـﻪ آن ﻧـﻤـﻰ ﭘـﺮدازﻳﻢ‬ ‫)ﻣﻘﺎﻟﻪ ى دﻳـﮕـﺮى ﻣﻨﺤﺼـﺮًا ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣـﻮﺿﻮع اﺧﺘﺼـﺎص داده ﺷـﺪه‬ ‫اﺳﺖ(‪ .‬ﺑﺎ اﻳﻦ وﺟﻮد‪ ،‬درك دﺷـﻮارى ﻫﺎى ذاﺗﻰ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﺑـﺮاى‬ ‫آن ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻣﻰ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻴﻨﺶ ﻋﻤﻴﻘﻰ ﺳﺒﺐ ﺑﻪ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى داﺷﺘﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﻻزم اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .٣.٢‬ﺟـﺒـﺮ ﻣــﺠــﺮد‪ :‬ﺟـﺒـﺮ ﻋـﻤـﻠــﻴــﺎت ﺻــﻮرى و ﺟــﺒــﺮ‬ ‫ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎى ﻣﺠﺮد‬ ‫در ﻧﻘﺎط اﺗﺼﺎل رﺷﺪ داﻧﺶ رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺟﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺑﺮﺧﻰ ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى‬ ‫ﺟﺪﻳﺪ ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬اﺷﻴﺎى ﻣﺠﺮد ﻣﺎﻧﻨﺪ اﻧﻮاع ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬اﻋﺪاد و‬ ‫ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺪﻳﺪ ﻣﻰ آﻳﻨﺪ‪ .‬اﻳـﻦ ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ ﺑﺎﻳﺪ ﺑـﺮاى ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى‬ ‫ﻣﻌﻴﻦ دﻳﮕـﺮى ﺑﻪ ﻛﺎر روﻧﺪ ﻛﻪ از ﻗﺒﻞ ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه ﻫﺴﺘـﻨـﺪ‪ .‬ﻳـﻚ‬ ‫ﺷﻰء ﻣﺠـﺮد ﺑﻴﻦ دو ﺗﺎى دﻳﮕـﺮ واﺳﻄﻪ ﻣﻰ ﺷـﻮد‪ ،‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑـﻪ‬



‫دﻣــﻮرﮔــﺎن‪ ،‬ﺟــﻰ‪ .‬ﭘـــﻰ ﻛـــﺎت‪ ٤٣‬و دى‪.‬اِف‪.‬‬ ‫ﻋﻨﻮان ﻧﺘﻴﺠـﻪ اى از ﻓـﺮاﻳﻨﺪ ﺳﻄﺢ ﭘﺎﻳﻴﻦ ﺗﺮ در ﻧـﻈـﺮ‬ ‫ﮔﺮﻳﮕـﻮرى( ﭘﻴﺸﻨـﻬـﺎد ﻛـﺮدﻧﺪ ﻛﻪ ﺟﺒﺮ ﺑﺎﻳـﺪ از ﺑـﺎر‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺑﺮاى دﺳﺖ ورزى ﻫﺎى ﺳﻄﺢ ﺑﺎﻻﺗﺮ‬ ‫اﮔﺮ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى را‬ ‫ﺗﻔﺴﻴﺮ اوﻟﻴـﻪ اش رﻫﺎ ﺷﻮد‪ .‬از اﻳﻦ ﺑﻪ ﺑﻌﺪ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺎ‬ ‫ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣـﻰ رود‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪ ،‬در ارﺗﺒﺎط ﺑﺎ ﻳﻚ ﺷـﻰء‬ ‫ﻣـﻮرد ﻣـﺸـﺎﻫــﺪه ﻗــﺮار‬ ‫ﻳﻚ ﻓﺮﻣﻮل ﺟﺒﺮى ﺑﻪ ﺧﻮدى ﺧﻮد ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﺷﻰء‬ ‫ﻣﻔﺮوض‪ ،‬ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﺳﻄﺢ ﭘﺎﻳﻴﻦ ﺗﺮ و ﺑﺎﻻﺗﺮ را ﺑﻪ‬ ‫دﻫﻴﻢ‪ ،‬ﻟﺤﻈﺎت ﻣﻬﻢ و‬ ‫رﻓﺘﺎر ﻛﺮد‪ .‬ﺷﻴﺌﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺷـﻴـﻮه ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬ﻗﺎﺑـﻞ‬ ‫ﺗﺮﺗﻴﺐ اوﻟﻴﻪ‪ ٤٠‬و ﺛﺎﻧﻮﻳﻪ‪ ٤١‬ﻣﻰ ﻧﺎﻣﻴﻢ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل‪،‬‬ ‫ارزﺷــــــــﻤــــــــﻨــــــــﺪ‪،‬‬ ‫ﺗﻔﺴﻴﺮ اﺳﺖ اﻣﺎ ﺑـﺮاى ﺧﻮدش ﻣﻌﻨﺎﻳﻰ ﻧـﺪارد‪ .‬در‬ ‫اﻳﺪه ى اﻋﺪاد ﮔﻮﻳﺎ‪ ،‬رﻳﺸﻪ در ﺗﻘﺴﻴﻢ اﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫ﻧــﺎﭘــﻴـــﻮﺳــﺘــﮕــﻰﻫــﺎ‬ ‫واﻗﻊ‪ ،‬ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮى ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﻪ ﻳﻚ وﺳﻴﻠﻪ ى ﻧﻘﻠﻴﻪ ى‬ ‫ﺑﺮ اﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺢ دارد )ﻓﺮاﻳﻨﺪ اوﻟﻴﻪ(‪ ،‬اﻣﺎ ﻣﻮﺟﻮدى‬ ‫ﻫـــﺴـــﺘـــﻨـــﺪ‪ .‬آنﻫــــﺎ‬ ‫ﺗﻬﻰ ﺷﺪ ﻛﻪ ﻣﻨﺘﻈﺮ اﺳﺖ ﻳﻚ ﺑﺎر ﻣﻌﻨﺎﻳـﻰ را ﺣﻤﻞ‬ ‫ﻣـﺎﻧـﻨـﺪ ‪ 3 4‬ﺑﻪ ﺧـﻮدى ﺧـﻮد ﻳـﻚ ﻋـﺪد را ﺷـﻜـﻞ‬ ‫ﺟﻬﺶﻫﺎﻳﻰاﻧﺪ ﻛﻪ در‬ ‫ﻛﻨﺪ‪ .‬ﻣﻜـﺘـﺐ ﺻـﻮرت ﮔـﺮاﻳﻰ ﺑﻪ اﻧـﺪازه اى ﻛﻪ ﺑـﻪ‬ ‫ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ ﻣـﻮرد دﺳـﺖ ورزى ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔﻴـﺮد و ﺑـﺎ‬ ‫ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى رخ‬ ‫ﻗﻮاﻋﺪ ﺣﺎﻛـﻢ ﺑـﺮ ﺣـﺮﻛﺖ وﺳﻴﻠﻪ ى ﻧﻘﻠـﻴـﻪ ﻋـﻼﻗـﻪ‬ ‫ﺳﺎﻳﺮ اﻋﺪاد ﺗﺮﻛﻴﺐ ﻣﻰ ﺷﻮد )ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﺛﺎﻧﻮﻳـﻪ(‪.‬‬ ‫ﻣﻰدﻫﻨﺪ‬ ‫داﺷﺖ ﺑﻪ »ﺑﺎر‪ «٤٤‬ﺑﺎﻟﻘﻮه اﻧﺪ وﺳﻴﻠﻪ ﻋﻼﻗﻪ ﻧﺪاﺷﺖ‪.‬‬ ‫در ﺟﺒﺮ‪ ،‬ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫـﺎى اوﻟﻴﻪ ﻋﻤﻠﻴﺎت ﺣﺴﺎﺑـﻰ روى‬ ‫اﻋﺪادﻧﺪ و ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﺛﺎﻧﻮﻳﻪ آن ﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴـﺘـﻨـﺪ ﻛـﻪ ورودى آن ﻫﺎ‪ ،‬ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﻛﻪ ﮔﺮﻳﮕﻮرى ﻣﻰ ﻧﻮﻳﺴﺪ‪ ،‬ﺟﺒﺮ در ﺣﺎل ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺷﺪن ﺑﻪ‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺎت ﺣﺴﺎﺑﻰ اﺳﺖ‪ .‬ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﺛﺎﻧﻮﻳﻪ در دﺳـﺖ ورزى روى داﻧﺸﻰ ﺑﻮد ﻛﻪ »ﻣﻮﺿﻮع آن ﺗﺮﻛﻴﺐ ﻋﻤﻠﻴﺎت اﺳﺖ؛ در ﺣﺎﻟﻰ ﻛـﻪ‪،‬‬ ‫ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎى ﺟﺒـﺮى ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ روﻧﺪ‪ .‬ﭘﺲ اﻳﺪه ى ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﻳﻚ ﭘـﻴـﻮﻧﺪ اﻳﻦ ﻋﻤﻠﻴﺎت ﺑﺎ ﻣﺎﻫﻴﺖ ﺧـﻮدﺷﺎن‪ ،‬ﻳﻌﻨﻰ آن ﭼﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻳﺎ آن ﭼـﻪ را‬ ‫ﻣﻔﻬﻮﻣﻰ را ﺑﻴﻦ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻋﺪدى و دﺳﺖ ورزى ﻫﺎى ﺟﺒﺮى ﻧﻤﺎدﻳﻦ ﻛﻪ اﻧﺠﺎم ﻣﻰ دﻫﻨﺪ‪ ،‬ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﻧﺸﺪه اﻧﺪ‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻗﻮاﻋﺪ ﺗـﺮﻛﻴﺒﻰ‬ ‫ﺷﻜﻞ ﻣﻰ دﻫﺪ‪ .‬اﻳﻦ اﻳﺪه‪ ،‬ﺑـﻪ ﻋـﻨـﻮان اﺗﺼﺎﻟﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ از ﻃـﺮﻳـﻖ ﻛـﻪ روى آن ﻫﺎ اﻋﻤﺎل ﻣـﻰ ﺷـﻮد ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﺷﺪه اﻧـﺪ« )ﮔـﺮﻳـﮕـﻮرى‪،‬‬ ‫آن‪ ،‬داﻧﺶ ﺟﺒﺮى ﺟﺪﻳﺪ ﺑﻪ ﻧﻈﺎم ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺣﺴﺎﺑﻰ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻣﻰ ﺷﻮد‪١٨٤٠ .‬؛ ﻧﻘـﻞ ﻗـﻮل ﺷﺪه ﺗـﻮﺳﻂ ﻧـﻮى‪ ،١٩٧٣ ،‬ص ‪ .(١٩٤‬در‬ ‫ﺑﻌﺪ از اﻳﻦ ﻛﻪ ﺟﺒﺮ وﻳﺖ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﻪ اﺑﺰار ﻣﻬﻤﻰ ﺑﺮاى اﻧﺠﺎم دادن اﻳﻦ ﺟﺎ‪ ،‬ﻛﻠﻤﻪ ى ﻋﻤﻠﻴﺎت ﺑﺮاى ﻧﺸﺎن دادن ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى اوﻟﻴﻪ ﺑﻪ ﻛﺎر‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﺷﺪ‪ ،‬ﻣﺮﺣﻠﻪ ى ﺑﻌﺪى‪ ،‬ﺑﺎﻻ رﻓﺘﻦ ﺑﻪ ﻧﻘﻄﻪ ى ﺑﺎﻻﺗﺮى اﺳﺖ رﻓﺘﻪ اﺳﺖ در ﺣﺎﻟﻰ ﻛـﻪ ﺗـﺮﻛﻴﺐ ﻫﺎ ﺑـﻪ وﺿﻮح‪ ،‬ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﺛﺎﻧﻮﻳـﻪ‬ ‫ﻛﻪ از آن ﺟﺎ ﺑﺘﻮان ﻋﻤﻠﻴﺎت ﺛﺎﻧﻮﻳﻪ اى را ﻛﻪ روى ﺗﻮاﺑﻊ اﺟﺮا ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﺪﻳﻦ دﻟﻴﻞ‪ ،‬ﺻﻮرت ﮔﺮاﻳﺎن اﻧﮕﻠﻴﺴﻰ‪ ،‬ﻣﺮﺣﻠﻪ ى ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ‬ ‫و ﺑﺮ دﺳﺖ ورزى ﻫﺎ روى ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎ دﻻﻟﺖ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬ﻣﻮرد ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﺳﻄﺢ ﺑﺎﻻﺗﺮى را در ﺟﺒﺮ آﻏﺎز ﻛﺮدﻧﺪ‪ .‬اﻳﻦ اوﻟﻴﻦ ﮔﺎم در رﺷﺪ ﺟﺒﺮ‬ ‫ﻗﺮار داد )ﻳﻚ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻛﻪ در ﻳﻚ ﺳﻄﺢ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﺛﺎﻧﻮﻳﻪ اﺳﺖ‪ ،‬در ﺳﻄﺢ ﻣﺠﺮد ﺑﻮد‪.‬‬ ‫اﮔﺮﭼﻪ داﺳﺘﺎن ﺟﺒﺮ در اﻳﻦ ﺟﺎ ﭘﺎﻳﺎن ﻧﻤﻰ ﻳﺎﺑﺪ‪ ،‬اﻣﺎ ﺟﺎﻳﻰ اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺎﻻﺗﺮ‪ ،‬ﻓﺮاﻳﻨﺪ اوﻟﻴﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد(‪.‬‬ ‫اﻳﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ از رﺷﺪ ﺟﺒﺮ در دﻫﻪ ى ﺳﻮم ﻗﺮن ﻧﻮزدﻫﻢ در اﻧﮕﻠﻴﺲ ﻛﻪ ﺗﻮﺿﻴﺤﺎت ﺗﺎرﻳﺨﻰ ﻣﺎ ﻣﺘﻮﻗ‪ I‬ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬ﻋﻠﻢ اﺷﻴﺎى ﻣﺠﺮد ﻣﺎﻧﻨﺪ‬ ‫ﺷﺮوع ﺷﺪ‪ .‬در اداﻣﻪ‪ ،‬داﺳﺘـﺎﻧـﻰ را ﻣﻄﺮح ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ دﻻﻳـﻠـﻰ ﮔﺮوه ﻫﺎ‪ ،‬ﺣﻠﻘﻪ ﻫﺎ‪ ،‬ﻣﻴﺪان ﻫﺎ ﻳﺎ اﻳﺪه آل ﻫﺎ ﻛﻪ در اﺑﺘﺪا در ﻗﺮن ﻧﻮزدﻫﻢ‬ ‫ارزش ﮔـﻔـﺘـﻦ دارد‪ .‬اﻳـﻦ دﻻﻳـﻞ زﻣـﺎﻧـﻰ روﺷـﻦ ﺧـﻮاﻫـﺪ ﺷـﺪ ﻛـﻪ ﺗﻮﺳﻌﻪ ﻳﺎﻓﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﻣﻮﺿﻮع ﻣﺎ ارﺗﺒﺎﻃﻰ ﻧﺪارد‪ ،‬ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﻛﻪ در ﺳﻄﺢ‬ ‫دﻳﺪﮔﺎه ﻫﺎى اﻣﺮوزه ى داﻧﺶ آﻣﻮزان در ﻣﻮرد ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎ و ﻣﻌﺎدﻻت دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن ﻧﻴﺰ ﺗﺪرﻳﺲ ﻧﻤﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﻓﻘﻂ ﺑﺮاى ﻛﺎﻣﻞ ﻛﺮدن اﻳﻦ ﺗﺼﻮﻳﺮ‬ ‫ﻳﺎدآور ﻣﻰ ﺷﻮﻳﻢ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻇـﻬـﻮر ﻧـﻈـﺮﻳـﻪ ى ﮔـﺮوه ﻫﺎ‪ ،‬ﻳﻚ ﺟـﻨـﺒـﻪ ى‬ ‫ﻧﻤﺎدﻳﻦ‪ ،‬ﻣﻮرد ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻗﺮار ﮔﻴﺮد )ﺑﺨﺶ ‪.(٣. ٣‬‬ ‫ﺗﺎ ﻗﺮن ﻧﻮزدﻫﻢ‪ ،‬ﺟﺒﺮ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان »ﺣﺴﺎب ﻛﻠﻰ‪ «٤٢‬در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺳﺎﺧﺘﺎرى آﻏﺎز ﻣﻰ ﺷـﻮد ﻛﻪ ﺟﺎﻧﺸﻴﻨﻰ ﻃﺒﻴﻌـﻰ ﺑـﺮاى ﺟﺒﺮ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗـﻰ‬ ‫ﻣﻰ ﺷﺪ‪ ،‬ﻣـﻮﺿﻮﻋﻰ ﻛﻪ ﻣﺨﺘﺺ ﺑـﻴـﺎن ﻗـﻮاﻋﺪ ﺣﺎﻛﻢ ﺑﺮ روﻳﻪ ﻫـﺎى ﺳﻄﺢ ﺑﺎﻻﺗﺮ ﺻﻮرت ﮔﺮاﻳﺎن اﻧﮕﻠﻴﺴﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﺮاﺣﻞ ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن در ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﺟﺒﺮ در ﺟﺪول)‪ (٢‬ﺧﻼﺻﻪ ﺷﺪه‬ ‫ﺣﺴﺎب ﺑﻪ ﻳﻚ ﺷﻴﻮه ى ﻋﻤﻮﻣﻰ ﺑﻮد‪ .‬اﻳﻦ ﺗﻔﺴﻴﺮ ﺗﺎ ﺣﺪ زﻳﺎدى ﻫﺪف‬ ‫و ﻛﺎراﻳﻰ ﻋﻤﻠﻴﺎت در ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎى ﺟﺒﺮى را ﻣﺤﺪود ﻣﻰ ﻛﻨﺪ )ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اﺳﺖ و ادﻋـﺎى اوﻟﻴﻪ ى ﻣﺎ را ﺗﻘﻮﻳﺖ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ :‬ﺟﺒﺮ ﻳﻚ ﺳـﺎﺧـﺘـﺎر‬ ‫ﺳﻠﺴﻠﻪ ﻣﺮاﺗﺒﻰ اﺳﺖ؛ آن ﭼﻪ در ﻳﻚ ﺳﻄﺢ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻋﻤﻠﻴﺎﺗـﻰ درك‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﻣﺤﺪودﻳﺖ ‪ a > b‬ﻳﻚ ﻣﻜﻤـﻞ ﻻزم ﺑﺮاى ﻋﺒﺎرت ‪a − b‬‬ ‫اﺳﺖ‪ (.‬ﺣﺎﻻ زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺗﻤﺮﻛﺰ ﺑﺮ دﺳـﺖ ورزى ﻫﺎى ﺻﻮرى ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻰ ﺷﻮد‪ ،‬در ﺳﻄﺢ ﺑﺎﻻﺗﺮ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺳﺎﺧﺘﺎرى درك ﺷﻮد‪ .‬درك‬ ‫ﻛـﺮده اﺳﺖ‪ ،‬رﻳﺎﺿـﻰ داﻧـﺎن اﺻـﺮار ﺑﺮ ﺗﻨﻈﻴـﻢ ﺟـﺒـﺮ‪ ،‬ﺟـﺪا از ﻫـﺮ ﺗﻔﺎﺳﻴﺮ ﻋﺒﺎرات ﺟﺒﺮى و ارﺗﺒﺎط ﻫﺎى ﻣﺘﻘﺎﺑﻞ آن ﻫﺎ ﺑﺴﻴﺎر ﻣﻬﻢ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﺤـﺪودﻳﺘـﻰ دارﻧﺪ‪ .‬ﮔـﺮوﻫﻰ از ﺻـﻮرت ﮔﺮاﻳﺎن اﻧﮕﻠـﻴـﺴـﻰ )اِى‪ .‬در ﺑﺤﺚ ﻫﺎى ﺑﻌﺪى‪ ،‬ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﺟﺒﺮ ﺗﻮﺳﻂ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﺪرﺳﻪ اى‬ ‫‪١٣‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﻣﻮرد ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻗﺮار ﺧﻮاﻫﺪ ﮔﺮﻓﺖ‪.‬‬ ‫)اداﻣﻪ ى ﻣﻄﻠﺐ در ﺷﻤﺎره ﻫﺎى آﻳﻨﺪه…(‬



‫ﺟﺪول ‪٢‬‬ ‫ﻣﺮاﺣﻞ ﺗﻮﺳﻌﻪ‪C‬ى ﺟﺒﺮ‬ ‫ﻧﻮع‬



‫ﻣﺮﺣﻠﻪ‬



‫ﺗﻤﺮﻛﺰ ﺟﺪﻳﺪ‬



‫‪ .١. ١‬ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ‬



‫‪ .١ . ١. ١‬ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت‬ ‫ﻋﺪدى‬



‫‪ .١‬ﺣﺴﺎب ﺗﻌﻤﻴﻢ ﻳﺎﻓﺘﻪ‬



‫‪ .٢. ١‬ﺳﺎﺧﺘﺎرى‬



‫‪ .١. ٢‬ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ‬



‫ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ‬



‫ﻧﻜﺎت ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ‪C‬ى ﺗﺎرﻳﺨﻰ‬



‫ﻛﻼﻣﻰ )ﻟﻔﻈﻰ(‬



‫ﭘﺎﭘﻴﺮوس راﻳﻨﺪ‬ ‫ﺳﺎل ‪ ١٦٥٠‬ﻗﺒﻞ از ﻣﻴﻼد‬



‫ادﻏﺎم ﻛﻼﻣﻰ ـ ﻧﻤﺎدﻳﻦ‬ ‫)ﻣﺨﺘﺼﺮﻛﻨﻨﺪه ى واژه ﻫﺎ(‬



‫دﻳﻮﻓﺎﻧﺘﻮس‬ ‫ﺳﺎل ‪ ٢٥٠‬ﺑﻌﺪ از ﻣﻴﻼد‬



‫‪) .١. ٢. ١‬ﻋﺪدى(‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﻪ‪C‬ى ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت )ﺟﺒﺮ‬ ‫ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ(‬



‫ﻧﻤﺎدﻳﻦ )ﺣﺮف ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ‬ ‫ﻣﺠﻬﻮل(‬



‫‪) .٢. ٢. ١‬ﻋﺪدى(‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ )ﺟﺒﺮ ﺗﺎﺑﻌﻰ(‬



‫ﻧﻤﺎدﻳﻦ )ﺣﺮف ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺘﻐﻴﺮ(‬



‫ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎ روى ﻧﻤﺎدﻫﺎ‬ ‫)ﺗﺮﻛﻴﺐ ﻋﻤﻠﻴﺎت(‬



‫ﻧﻤﺎدﻳﻦ )ﺣﺮف ﺑﺪون ﻫﻴﭻ‬ ‫ﻣﻌﻨﺎﻳﻰ(‬



‫‪ .٢‬ﺟﺒﺮ ﻣﺠﺮد‬ ‫‪ .٢. ٢‬ﺳﺎﺧﺘﺎرى‬



‫ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎى ﻣﺠﺮد‬



‫ﺗﻮﺿﻴﺤﺎت ﺗﻜﻤﻴﻠﻰ ﺑﺮاى ﺧﻮاﻧﻨﺪه ى اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ‪:‬‬ ‫‪ .١‬ﻣﺘﻦ ﺣﺎﺿﺮ ﺗﺮﺟﻤﻪ ى دو ﺑﺨﺶ اول ﻣﻘﺎﻟﻪ اﺳﺖ‪ ،‬دو ﺑﺨﺶ‬ ‫اﻧﺘﻬﺎﻳﻰ در ﺷﻤﺎره ﻫﺎى ﺑﻌﺪى ﺧﻮاﻫﺪ آﻣﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٢‬ﻣﺘﺮﺟﻤﺎن ﺑﻪ ﻣﺘﻦ اﺻﻠﻰ ﭘﺎى ﺑﻨﺪ ﺑﻮده اﻧﺪ وﻟﻰ ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬ﻣﻘﺎﻟﻪ ى‬ ‫اﺣﺘﻤﺎﻻ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻴﺸﺘﺮ از ﻳﻚ ﺑﺎر ﺧﻮاﻧﺪه ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ً‬ ‫»ﺳﺨﺘﻰ« اﺳﺖ ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬ ‫‪ .٣‬اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺑﻪ دﻟـﻴـﻞ ارﺗﺒﺎط ﺑﺎ ﻣﻘﺎﻻت دﻳﮕـﺮى ﻛﻪ در ﻣـﻮرد‬ ‫ﺟﺒﺮ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه‪ ،‬ﺗﺮﺟﻤﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﺧﺼﻮص ﺗﻮﺻﻴﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد‬ ‫اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ در ﻛﻨﺎر »‪ a‬ﭼﻪ ﺳﺎﻛﺖ اﺳﺖ« ﺧﻮاﻧﺪه ﺷﻮد ﭼﺮا ﻛﻪ اﻳﻦ دو‬ ‫ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺑﻪ دو ﺟﻨﺒﻪ ى ﻛﺎﻣﻼً ﻣﺘﻔﺎوت »ﺳﻜﻮت ﻧﻤﺎدﻫﺎ« اﺷﺎره دارﻧﺪ‪.‬‬



‫ﭘﻰﻧﻮﺷﺖ‬ ‫‪1. Versatility‬‬ ‫‪2. Adaptability‬‬ ‫‪3. Process-Oriented‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫‪١٤‬‬



‫ﻗﺮن ﺷﺎﻧﺰدﻫﻢ از ﻫﻤﻪ ﻣﻬﻢ ﺗﺮ وﻳﺖ‬ ‫)‪(١٥٤٠ -١٦٠٣‬‬ ‫وﻳﺖ‪ ،‬ﻻﻳﺐ ﻧﻴﺘﺰ‬ ‫)‪(١٦٤٦-١٧١٦‬‬ ‫ﻧﻴﻮﺗﻦ‬ ‫)‪(١٦٤٢-١٧٢٧‬‬ ‫ﻣﻜﺘﺐ ﺻﻮرت ﮔﺮاﻳﻰ اﻧﮕﻠﻴﺴﻰ‬ ‫)دﻣﻮرﮔﺎن‪ ،‬ﭘﻰ ﻛﺎك‪ ،‬ﮔﺮﻳﮕﻮرى(‬ ‫از ﺳﺎل ‪١٨٣٠‬‬



‫ﻧﻤﺎدﻳﻦ‬



‫‪25. Cardrn‬‬ ‫‪26. Ars Magna‬‬ ‫‪27. Algebra of a Fixed Value‬‬ ‫‪28. Compact Chunks‬‬ ‫‪29. Prompts‬‬ ‫‪30. Lakeoff‬‬ ‫‪31. Johnson‬‬ ‫‪32. Diophantus‬‬ ‫‪33. Syncopaed‬‬ ‫‪34. Fauvel‬‬ ‫‪35. Grey‬‬ ‫‪36. Functional Algebra‬‬ ‫‪37. Francois Viete‬‬ ‫‪38. Kleiner‬‬ ‫‪39. Primary‬‬ ‫‪40. Secondary‬‬ ‫‪41. Universal Arithmetic‬‬ ‫‪42. Peacock‬‬ ‫‪43. Cargo‬‬ ‫‪44. Novy‬‬ ‫* ﻣﻨﺎﺑﻊ و ﻣﺮاﺟﻊ اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ را در ﺷﻤﺎره ى‬ ‫آﻳﻨﺪه ﺧﻮاﻫﻴﺪ دﻳﺪ‪.‬‬



‫ﻗﺮن ‪ ١٩‬و ‪:٢٠‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ﮔﺮوه ﻫﺎ‪ ،‬ﺣﻠﻘﻪ ﻫﺎ‪،‬‬ ‫ﻣﻴﺪان ﻫﺎ و ﻏﻴﺮه و ﺟﺒﺮ ﺧﻄﻰ‬



‫‪4. Schoenfeld‬‬ ‫‪5. Microgenetic‬‬ ‫‪6. Harel‬‬ ‫‪7. Kaput‬‬ ‫‪8. Breidenbach‬‬ ‫‪9. Kieran‬‬ ‫‪10. Dubinsky‬‬ ‫‪11. Reflective Abstraction‬‬ ‫‪12. Beth‬‬ ‫‪13. Greeno‬‬ ‫‪14. Conceptual Entity‬‬ ‫‪15. Douady‬‬ ‫‪16. Niels Bohr‬‬ ‫‪17. Self-sustained‬‬ ‫‪18. Logical‬‬ ‫‪19. Crowe‬‬ ‫‪20. Garcia‬‬ ‫‪21. Undo‬‬ ‫‪22. Boyer‬‬ ‫‪23. Struik‬‬ ‫‪24. Rhetoric Algebra‬‬



‫ﺑﺎزﻧﮕﺮى ﻳﻚ ﺗﺠﺮﺑﻪ‬



‫ﺿﺮورت ﺗﻠﻔﻴﻖ در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ‬ ‫ﺳﭙﻴﺪه ﭼﻤﻦآرا‬ ‫ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ و ﻣﻌﻠﻢ رﻳﺎﺿﻰ راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﻣﻨﻄﻘﻪ‪.‬ى ‪ ٢‬ﺗﻬﺮان‬ ‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫ﻣﻘﺎﻟﻪى اراﺋﻪ ﺷﺪه در دﻫﻤﻴﻦ ﻛﻨﻔﺮاﻧﺲ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ اﻳﺮان‪ ،‬ﻳﺰد‪ ،‬ﻣﺮداد ‪١٣٨٧‬‬



‫ﭼﻜﻴﺪه‬ ‫در ﻣـﻘـﺎﻟـﻪ‪C‬ى ﺣـﺎﺿـﺮ‪ ،‬ﺿـﻤـﻦ ﻣــﺮورى ﺑـﺮ روﻳـﻜـﺮد ﺗـﻠـﻔـﻴـﻘــﻰ در‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ‪C‬ى درﺳﻰ‪ ،‬ﻳﻚ ﺗﺠﺮﺑﻪ‪C‬ى ﻋﻤﻠﻰ در ﺗﺪرﻳﺲ ﻣﺒﺤﺚ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‪C‬ى‬ ‫ﺧـﻂ راﺳﺖ و ﻣـﻔـﻬـﻮم ﺷﻴـﺐ و ﻋـﺮض از ﻣﺒﺪأ ﺧـﻂ در ﭘـﺎﻳـﻪ‪C‬ى ﺳـﻮم‬ ‫راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ اراﺋﻪ ﻣﻰ‪C‬ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻛﻠـﻴـﺪ واژه‪C‬ﻫـﺎ‪ :‬ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪ ى درﺳﻰ ﺗﻠـﻔـﻴـﻘـﻰ‪ ،‬ﺑـﺮﻧـﺎﻣـﻪ ى درﺳﻰ‬ ‫ﺑﻴـﻦ رﺷﺘﻪ اى‪ ،‬ﺗﺪرﻳﺲ رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺗﺪرﻳﺲ ﻣﺒﺤﺚ ﻣﻌـﺎدﻟـﻪ ى ﺧـﻂ‬ ‫راﺳﺖ‪ ،‬رﻳﺎﺿﻰ ﺳﻮم راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ‪.‬‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﻪ‬ ‫ﻫﻤﻮاره ﻳﻜﻰ از اﻫﺪاف آﻣﻮزش وﭘﺮورش‪ ،‬ﺗﺮﺑﻴﺖ اﻓﺮادى ﺑﺮاى‬ ‫اﺣﺮاز ﺷﻐﻞ ﻫﺎى آﻳﻨﺪه ﺑـﻮده اﺳﺖ‪ .‬در ﺳﺎل ﻫﺎى ﺧﻴﻠـﻰ دور ـ آن‬ ‫زﻣﺎن ﻛﻪ »آﻣـﻮزش« در »ﻣـﺪرﺳﻪ«‪ ،‬اوﻟﻴﻦ ﺳـﺎل ﻫـﺎى ﺗـﻮﻟﺪ ﺧـﻮد را‬ ‫ﻣﻰ ﮔﺬراﻧﺪ‪ ،‬ﺷﺎﻳﺪ ﺗﻨﻬﺎ ﻫﺪف از آن‪ ،‬ﻫﻤﻴﻦ ﺗﺮﺑﻴﺖ ﺑﺮﮔﺰﻳﺪﮔﺎن ﺑﺮاى‬ ‫ﻣﻨﺎﺻﺐ و ﻣﺸﺎﻏﻞ ﺧﺎﺻﻰ ﺑﻮد ﻛﻪ در ﺟﻮاﻣﻊ آن زﻣﺎن ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﺷﺪه‬ ‫ﺑﻮدﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻣﺮور ﻛﻪ آﻣﻮزش رﺳﻤﻰ ﻋﻤﻮﻣﻰ ﺗﺮ ﺷﺪ و ﻃﻴ‪ I‬وﺳﻴﻊ ﺗﺮى‬



‫از اﻓﺮاد ﺟﺎﻣﻌﻪ را ﺗﺤﺖ ﭘﻮﺷﺶ ﺧﻮد ﻗﺮار داد‪ ،‬اﻫﺪاف ﻋﻤﻮﻣﻰ ﺗﺮى‬ ‫ﻧﻴﺰ ﺑﻪ اﻳﻦ اﻫﺪاف ﺧﺎص اﺿﺎﻓﻪ ﺷﺪﻧﺪ و اﻣﺮوزه ﻛﻪ در ﺑﺴﻴﺎرى از‬ ‫ﻛﺸﻮرﻫﺎ‪ ،‬آﻣﻮزش رﺳﻤﻰ‪ ،‬اﺟﺒﺎرى اﺳﺖ و ﺟﺰو وﻇﺎﻳ‪ I‬دوﻟﺖ ﻫﺎ‬ ‫ﻣﺤﺴﻮب ﻣﻰ ﺷﻮد و ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺷﺮاﻳﻂ و وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﻗﺮن ﺣﺎﺿﺮ ـ‬ ‫ﻛﻪ ﺣﺪود ﻳﻚ دﻫﻪ از آن را ﭘﺸﺖ ﺳﺮ ﮔﺬاﺷﺘﻪ اﻳﻢ ـ ﻋﻼوه ﺑﺮ ﺗﺮﺑﻴﺖ‬ ‫اﻓﺮادى ﺑـﺮاى ﻣﻬﺎرت ﻫﺎ و ﺷﻐﻞ ﻫﺎى آﻳﻨﺪه‪ ،‬ﺗﺮﺑﻴـﺖ ﺷـﻬـﺮوﻧﺪاﻧـﻰ‬ ‫ﺗﻮاﻧﻤﻨﺪ ﺑﺮاى زﻧﺪﮔﻰ در ﻗﺮن ﺑﻴﺴﺖ وﻳﻜﻢ و ﻣﻮاﺟﻪ ﺷﺪن ﺑﺎ ﻣﺴﺎﺋﻞ‬ ‫و ﻣﺸﻜﻼت ﻣﺨﺘﺺ آن ﻧﻴﺰ ﻫﺪف ﻣﻬﻢ ﺗﺮى ﺑﺮاى آﻣﻮزش وﭘﺮورش‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺳﺎزﻣﺎن ﻫﺎى ﺑﻴﻦ اﻟﻤـﻠـﻠـﻰ‪ ،‬ﺑـﺮاى اﻧﺴﺎن ﻗـﺮن ﺑﻴﺴﺖ وﻳـﻜـﻢ‪،‬‬ ‫وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎﻳﻰ را ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬و ﻣﺸﺨﺺ ﻛﺮده اﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﺴﻴﺎر ﭘﻴﭽﻴﺪه ﺗـﺮ از‬ ‫وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﻻزم ﺑﺮاى زﻧﺪﮔﻰ در ‪ ٣٠٠٠‬ﺳﺎل ﭘﻴﺶ اﺳﺖ ـ زﻣﺎﻧﻰ‬ ‫ﻛﻪ »ﻣﺪرﺳﻪ« ﺗﺎزه در ﺟﺎﻣﻌﻪ ﻣﻮﺟﻮدﻳﺖ ﻣﻰ ﻳﺎﻓﺖ‪.‬‬ ‫اﻳﻦ اﻣﺮ‪ ،‬رﺳﺎﻟﺖ ﻣﺎ ﻣﻌﻠﻤـﺎن را ﺑﺴﻴﺎر ﺳﻨﮕﻴﻦ ﺗﺮ از ﺣﺘـﻰ ﻗـﺮن‬ ‫ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﻣـﻌـﻠـﻤـﺎن اﻳـﻦ ﻧـﺴـﻞ ﺑـﺎﻳـﺪ ﺗـﻮﺟﻪ ﻛﻨﻨـﺪ ﻛـﻪ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان اﻣﺮوز آن ﻫﺎ‪ ،‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﺑﻴﺴﺖ ـ ﺳـﻰ‬ ‫ﺳﺎل ﭘﻴـﺶ‪ ،‬ﺑـﺮاى زﻧﺪﮔﻰ آﻳـﻨـﺪه ى ﺧـﻮد در ﺟﺎﻣﻌﻪ‪ ،‬ﺑـﺎ ﻣـﺴـﺎﺋـﻞ‬ ‫‪١٥‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﺑــــــﺮﻧــــــﺎﻣــــــﻪى درﺳــــــﻰ‬ ‫ﺑـﻴـﻦرﺷـﺘـﻪاى‪ ،‬ﺑــﺮﻧـﺎﻣـﻪاى‬ ‫اﺳــﺖ ﻛــﻪ ﭼــﻨــﺪ ﻣــﻮﺿــﻮع‬ ‫ﻣـﺪرﺳـﻪاى را ﺑﺎﻫـﻢ ﺗـﺮﻛـﻴـﺐ‬ ‫ﻣﻰﻛﻨﺪ و ﻳﻚ ﭘﺮوژهى ﻓﻌﺎل‬ ‫از آنﻫــــﺎ ﻣــــﻰﺳــــﺎزد و در‬ ‫ﻧـﺘـﻴـﺠـﻪى آن‪ ،‬ﭼـﮕــﻮﻧـﮕــﻰ‬ ‫ﺑــــﺮﺧــــﻮرد ﻛــــﻮدﻛــــﺎن ﺑــــﺎ‬ ‫ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت دﻧﻴﺎى واﻗﻌﻰ‬ ‫ﺷﻜﻞ ﻣﻰﮔﻴﺮد‬



‫ﭘﻴﭽـﻴـﺪه ﺗـﺮى ﻣﻮاﺟﻪ ﺧـﻮاﻫﻨﺪ ﺷﺪ و ﻟـﺬا ﻧـﻘـﺶ‬ ‫ﺧﻮﻳﺶ در ﺗﺮﺑـﻴـﺖ و آﻣـﺎده ﺳـﺎزى اﻳﻦ ﻧﺴـﻞ را‬ ‫ﻫﺮﮔﺰ ﻧﺒﺎﻳﺪ از ﺧﺎﻃﺮ ﺑﺒﺮﻧﺪ‪.‬‬ ‫از ﺳﻮى دﻳﮕﺮ ﻧﻈﺮﻳﻪ ﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ ﻳﺎددﻫـﻰ ـ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮى )ﺑﻪ وﻳﮋه ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ﺳﺎﺧﺖ و ﺳﺎزﮔﺮاﻳﻰ(‬ ‫ﻛﻪ ﻣﺘﻨﺎﺳﺐ ﺑﺎ ﻧﻴﺎزﻫﺎى داﻧﺶ آﻣﻮزان و ﺟﺎﻣﻌﻪ‪،‬‬ ‫روش ﻫﺎى ﺟﺪﻳـﺪى ﺑـﺮاى ﻳﺎددﻫﻰ و ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى‬ ‫ﭘﻴﺸﻨﻬﺎد ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ و رو ش ﻫﺎى ﺳﻨﺘﻰ ﺗﺪرﻳﺲ را‬ ‫در رﺳـﻴـﺪن ﺑـﻪ اﻫــﺪاف آﻣــﻮزﺷـﻰ اﻳــﻦ دوره‪،‬‬ ‫ﻧﺎﻛـﺎرآﻣﺪ و ﻧﺎﻗﺺ ﻣﻰ داﻧﻨﺪ‪ ،‬ﺿﻤـﻦ ﺗـﻜـﻴـﻪ ﺑـﺮ‬ ‫ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻫﺎى ﺷﺨﺼﻰ و ﻋﻤﻠـﻰ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان‪،‬‬ ‫ﻳﻜﻰ از ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎى ﻣﻬﻢ ﻳﺎدﮔﻴـﺮى ﻋﻤﻴﻖ و ﻣﻌﻨـﺎدار را اﻳﺠﺎد ارﺗﺒﺎط ‬ ‫ﻣﻴﺎن ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬ـ اﻋﻢ از ﻳﻚ ﺣﻮزه ﻳﺎ از ﺣﻮزه ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪I‬‬ ‫ـ ﻣﻰ داﻧﻨﺪ‪.‬اﻳﻦ روﻳﻜﺮد درﺳﺖ در ﻧﻘﻄﻪ ى ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺳﻨﺖ ﻫﺎى ﻋﻠﻤﻰ‬ ‫ـ آﻣﻮزﺷﻰ ﻗﺮون ﮔﺬﺷﺘﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺷﺘﺎب ﺑـﻪ ﺳـﻮى ﺷﺎﺧﻪ ﺷﺎﺧـﻪ‬ ‫ﺷﺪن ﻋﻠﻮم و ﺗﺨﺼﺼﻰ ﺷـﺪن رﺷﺘﻪ ﻫﺎى درﺳﻰ ﺣﺮﻛﺖ ﻣﻰ ﻛـﺮد‪.‬‬ ‫اﻣﺮوزه ﻋﻠﻮِم ﺑﻴﻦ رﺷﺘﻪ اى‪ ،‬در ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت و آﻣﻮزش ﻫﺎى دوره ﻫﺎى‬ ‫ﻋﺎﻟﻰ‪ ،‬ﺣﺮف اول را ﻣﻰ زﻧﻨﺪ‪ .‬ﻟﺬا اﻳﻦ ﺗﻠﻔﻴﻖ و ﻧﺰدﻳﻚ ﺷﺪن ﻣﺠﺪد‬ ‫ﻋﻠﻮم ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬ﺑﻪ ﻫﻢ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ دوره ﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ ﭘﺎﻳﻴﻦ ﺗﺮ ـ از دوره ى‬ ‫ﭘﻴﺶ دﺑﺴﺘﺎن ﺗﺎ دﻳﭙﻠﻢ ـ ﻧﻴﺰ وارد ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ‪ ،‬ﺑﻪ ﻧـﻈـﺮ ﻣـﻰ رﺳﺪ ﺑﺎ ﭘﻴـﺸـﺮﻓﺖ روزاﻓـﺰون ﻋﻠـﻮم‬ ‫ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬و وارد ﺷﺪن آن ﻫﺎ ﺑﻪ آﻣﻮزش ﻣﺪرﺳﻪ اى‪ ،‬ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ‬ ‫روز ﺑﻪ روز ﺳﻨﮕﻴﻦ ﺗﺮ ﻣﻰ ﺷﻮد و اﻳﻦ اﻣﺮ‪ ،‬ﺿﺮورت ﺣﺮﻛﺖ ﺑﻪ ﺳﻮى‬ ‫ﻳﻚ ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﺗﻠﻔـﻴـﻘـﻰ را ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﻛﺎﻫـﺶ ﻓـﺸـﺎر از دوش‬ ‫ﻣﻌﻠﻤﺎن و ﻣﺠﺮﻳﺎن اﻳﻦ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ‪ ،‬دوﭼﻨﺪان ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ]ﻧﻘﻞ ﺑﻪ ﻣﻀﻤﻮن‬ ‫از ﻟِﻴﻚ )‪ ، ١٩٩٤ ،(Kathy Lake‬ص ‪[٥‬‬ ‫ِﻟﻴﻚ )‪ (١٩٩٤‬ﺑﻪ ﻧﻘﻞ از ﺑﻨﺠﺎﻣﻴﻦ )‪ (Benjamin, 1989‬دﻻﻳﻞ‬ ‫ﺿـﺮورت ﺑـﺮﻧـﺎﻣـﻪ ى درﺳﻰ ﺗـﻠـﻔـﻴـﻘـﻰ و ﺑـﻴـﻦ رﺷـﺘـﻪ اى را ﭼـﻨـﻴـﻦ‬ ‫ﺑﺮﻣﻰ ﺷﻤﺎرد‪» :‬ﮔﺮاﻳﺶ ﺑﻪ واﺑﺴﺘﮕﻰ‪ ١‬و درﻫﻢ ﺗﻨﻴﺪﮔﻰ‪ ٢‬ﺳﺮاﺳﺮى در‬ ‫ﺳﻴـﺴـﺘـﻢ ﻫـﺎى ﭘـﻴـﭽـﻴـﺪه‪ ،‬رﺷﺪ آﻫـﻨـﮕـﻴـﻦ ﻗـﺮن ﺑﻴـﺴـﺖ وﻳـﻜـﻢ و‬ ‫ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻰ ﻫﺎى آن‪ ،‬ﺑﺪﻧﻪ ى در ﺣﺎل ﺗﻮﺳﻌﻪ ى داﻧﺶ و ﻧﻴﺎز ﺑﻪ اﻓﺮاد‬ ‫ﺷﺎﻏﻠﻰ ﻛﻪ در ﺑـﺴـﻴـﺎرى از ﺣﻮزه ﻫﺎ ﺗـﻮاﻧﻤﻨـﺪ ﺑـﻮده و ﺗﻮاﻧﺎﻳـﻰ ﺣـﻞ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻫﺎﻳﻰ را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛﻪ ﺷﺎﻣﻞ ﻋﻮاﻣﻞ ﻣﺘﻌﺪد ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎﺷﺪ‪«.‬‬ ‫وى از ﭘﺮﻛﻴـﻨـﺰ )‪ (Perkins, 1991‬ﻧﻴﺰ ﻧﻘﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ »ﺗـﻤـﺎﻳـﻞ ﺑـﻪ‬ ‫ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺳﺎﺧﺘﻦ اﺷﻴﺎ ﺑﺎﻫﻢ‪ ،‬ﺗﻠﻔﻴﻖ اﻳﺪه ﻫﺎى ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ ﻳﻚ ﻣﻮﺿﻮع ﻳﺎ‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫‪١٦‬‬



‫ﻣـﻮﺿﻮﻋﺎت ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬ﺑـﺎ ﻳـﻜـﺪﻳـﮕـﺮ‪ ،‬و ارﺗﺒـﺎط‬ ‫ﻋﻨـﺎﺻـﺮ زﻧﺪﮔـﻰ ﺧـﺎرج از ﻣﺪرﺳﻪ‪ ،‬ﻓﻰ ﻧـﻔـﺴـﻪ‬ ‫ﻣﺘﻘﺎﺿﻰ درك و ﻓﻬﻢ وﺳﻴﻊ ﺗﺮ و ﻋﻤﻴﻖ ﺗﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﻋـﻼوه اﺗﺤﺎد ﻃﺒﻴﻌﻰ ﻣﻴﺎن ﻛﺴـﺎﻧـﻰ ﻛـﻪ ﺑـﺮاى‬ ‫ﺗﺪرﻳﺲ ﺑـﺮاى درك و ﻓﻬـﻢ ﺗﻼش ﻫـﺎى وﻳـﮋه اى‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ ﺑﺎ ﻛﺴﺎﻧﻰ ﻛـﻪ ﺑـﺮاى آﻣﻮزش ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ در‬ ‫ﺣﺎل ﺗﻼش ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬وﺟﻮد دارد« ]‪.[٣‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻫﻤﻪ ى اﻳﻦ ﺷﻮاﻫﺪ‪ ،‬و ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ‬ ‫اﻳﻦ ﻛﻪ در ﺣﺎل ﺣﺎﺿﺮ در ﺑﻌـﻀـﻰ از ﻛـﺸـﻮرﻫﺎ‬ ‫ﻣﺎﻧﻨﺪ آﻣﺮﻳﻜﺎ و ﻛﺎﻧﺎدا‪ ،‬ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎ ى درﺳﻰ ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ‬ ‫و ﺑﻴـﻦ رﺷﺘﻪ اى در ﺣﺎل ﺗﺪوﻳـﻦ و اﺟـﺮا اﺳﺖ‪،‬‬ ‫ﺿﺮورى اﺳﺖ ﻣﺎ ﻣﻌﻠﻤﺎن اﻳﺮاﻧﻰ ﻧﻴﺰ ﺑﺎ اﻳﻦ ﻣﻘﻮﻟﻪ آﺷﻨﺎ ﺷﻮﻳﻢ و ﺳﻌﻰ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ آن را در روش ﻫﺎى ﺗﺪرﻳﺲ ﺧﻮد وارد ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﭼﻴﺴﺘﻰ ﺗﻠﻔﻴﻖ‬ ‫»ﭘﺸﺘﻴﺒﺎﻧﻰ ﺣﺮﻛﺖ از روﻳﻜﺮدى ﻛﻪ ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت را ﺟﺪا از ﻫﻢ‬ ‫ﻣﻰ ﺑﻴﻨﺪ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﻳﻚ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﻛﻞ ﻧﮕﺮاﻧﻪ‪ ،‬ﺳﻨﺘﻰ ﻃﻮﻻﻧﻰ‬ ‫دارد‪ .‬اواﻳﻞ ﺳﺎل ‪ ١٨٩٩‬ﻣﻴﻼدى‪ ،‬ﺑﺨﺶ ﺷﻴﻜﺎﮔﻮ در اﻧـﺠـﻤـﻦ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ آﻣﺮﻳﻜﺎ‪ ٣‬از ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى »ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻰ ﻛﺎرى‪ «٤‬ﺑﻴﻦ ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت‬ ‫ﺣﺴﺎب و ﻫﻨﺪﺳـﻪ و ﺟـﺒـﺮ‪ ،‬ﺣـﻤـﺎﻳـﺖ ﻛـﺮد‪ .‬در دﻫﻪ ى ‪١٩٢٠‬‬ ‫س ﺗﺮﻛﻴﺒﻰ‪ ،‬دروس ﻋﻤﻮﻣﻰ‪،‬‬ ‫ﻣﻴﻼدى‪ ،‬ﺑﺎ ﻧﺎم ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬درو ِ‬ ‫ﻳﺎ دروس ﻳﻚ ﭘﺎرﭼﻪ‪ ،‬ﺣﺮﻛﺖ ﺑﻪ ﺳﻮى رﻳﺎﺿﻰ ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ ﺑﺎ ﻃﺮاﺣﻰ‬ ‫ﺳﺎل ﻫﺎى اوﻟﻴﻪ ى دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن‪ ،‬ﺷﺪت ﮔـﺮﻓﺖ‪ .‬در اﺛﺮ اﺻﻼﺣﺎت‬ ‫در دوره ى راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ در دﻫﻪ ﻫﺎى ‪ ١٩٧٠‬و ‪ ،١٩٨٠‬ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺑﻮدن‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ ﺑـﺮاى ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن ﻧﻮﺟـﻮان‪ ،‬ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ ﺑﻴﺶ ﺗﺮى‬ ‫ﻛﺮد‪ .‬روﻳﻜﺮد ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ ﺑﻪ رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ دو ﻣﺆﻟﻔﻪ در ﻓﻠﺴﻔﻪ ى آﻣﻮزش‬ ‫دوره ى راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ واﺑﺴﺘﻪ اﺳﺖ‪ :‬ﺗﺪرﻳﺲ ﺑﻴﻦ رﺷﺘﻪ اى و ﻳﺎدﮔﻴﺮى‬ ‫ﻣﺸﺎرﻛﺘﻰ« ]‪.[٤‬‬ ‫زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ ﻣﻰ ﭘﺮدازﻳﻢ‪ ،‬ﻻزم‬ ‫اﺳﺖ ﺑـﻪ واژﮔﺎن واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ آن‪ ،‬ﻣﺎﻧـﻨـﺪ ﺗـﺪرﻳـﺲ ﺑـﻴـﻦ رﺷﺘـﻪ اى؛‬ ‫ﺗﺪرﻳﺲ ﻣـﻮﺿـﻮﻋﻰ؛ آﻣﻮزش از ﻃﺮﻳﻖ ﻫـﻤـﻴـﺎرى؛… ﻧﻴﺰ ﺗـﻮﺟﻪ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﻫﻢ ﭼﻨـﻴـﻦ آ ﮔﺎﻫﻰ از ﺗﻌﺎرﻳ‪ I‬اﻓـﺮاد ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬از ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪ ى‬ ‫درﺳﻰ ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ‪ ،‬ﺑﻪ ﻣﺎ ﻛﻤﻚ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ از زاوﻳﻪ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬ﺑﻪ اﻳﻦ‬ ‫ﻣﻮﺿﻮع ﺑﻨﮕﺮﻳﻢ و ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬آن را درﻳﺎﺑﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﻫﻤﻔـﺮى‪ ،‬ﭘُﺴـﺖ و اِﻟﻴﺲ‪ ،‬ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬اﺳـﺎﺳـﻰ زﻳـﺮ را ﭘﻴﺸﻨـﻬـﺎد‬



‫ﻣﻄﺎﻟـﻌـﻪى ﺗـﻠـﻔـﻴـﻘـﻰ‪،‬‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﻌﻪاى اﺳﺖ ﻛﻪ در‬ ‫آن داﻧـــــﺶآﻣـــــﻮزان‬ ‫ﺑﻪﻃﻮر وﺳﻴﻌﻰ داﻧﺶ‬ ‫را در ﻣــــﻮﺿــــﻮﻋــــﺎت‬ ‫ﻣـﺨـﺘـﻠــ‪ O‬ﻣــﺮﺗـﺒـﻂ ﺑــﺎ‬ ‫ﺟﻨـﺒـﻪﻫـﺎﻳـﻰ ﺧـﺎص از‬ ‫ﻣﺤﻴﻂ اﻃﺮاف ﺧﻮد‪،‬‬ ‫ﻛﺸ‪ O‬ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ‬



‫ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪:‬‬ ‫»ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ى ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ‪ ،‬ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ اى اﺳﺖ ﻛﻪ در‬ ‫آن داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﺑـﻪ ﻃـﻮر وﺳﻴـﻌـﻰ داﻧـﺶ را در‬ ‫ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎﻳﻰ ﺧﺎص‬ ‫از ﻣـﺤـﻴـﻂ اﻃـﺮاف ﺧـﻮد‪ ،‬ﻛﺸـ‪ I‬ﻣـﻰ ﻛـﻨـﻨـﺪ«‬ ‫)ﻫﻤﻔـﺮى‪ ،‬ﭘُﺴﺖ و اِﻟﻴـﺲ‪ ،١٩٨١،‬ﻧﻘﻞ ﺷﺪه‬ ‫در ﻟِﻴﻚ ]‪(.[٣‬‬ ‫ﻴﻜﺮ )‪ (١٩٨٩‬ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ‬ ‫ﺷﻮِﻣ ِ‬ ‫را ﭼﻨﻴﻦ ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪:‬‬ ‫»آﻣﻮزش ﺗﻠﻔﻴـﻘـﻰ‪ ،‬آﻣـﻮزﺷﻰ اﺳﺖ ﻛـﻪ ﺑـﻪ‬ ‫ﮔـﻮﻧﻪ اى ﺳـﺎزﻣﺎن دﻫﻰ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻛـﻪ ﺧـﻄـﻮط‬ ‫ﻣﻮﺿﻮع ـ ﻣﺤﻮر را ﻗﻄﻊ ﻛﺮده‪ ،‬ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﺗﻤﺮﻛﺰ ﺑﺮ روى ﺣﻮزه ﻫﺎى‬ ‫وﺳﻴﻊ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ‪ ،‬ﺟﻨﺒـﻪ ﻫـﺎى ﻣـﺨـﺘـﻠـ‪ I‬ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪ ى درﺳﻰ را در ﻳـﻚ‬ ‫واﺑﺴﺘﮕﻰ ﻣﻌﻨﺎدار‪ ،‬ﻛﻨﺎر ﻫـﻢ ﻗـﺮار ﻣﻰ دﻫﺪ« )ﺷﻮﻣﻴﻜـﺮ‪١٩٨٩ ،‬؛‬ ‫ﻧﻘﻞ ﺷﺪه در ﻟِﻴﻚ ]‪(.[٣‬‬ ‫ﺳﻞ در ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﺧـﻮد‪ ،‬از ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻛﺮدن ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت ﻣﺨﺘﻠـ‪I‬‬ ‫ِدِر ِ‬ ‫ﺑﺮاى ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﺪل ﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪى از درك و ﻓﻬﻢ دﻧﻴﺎ‪ ،‬ﻓﺮاﺗﺮ ﻣﻰ رود‪.‬‬ ‫وى ﻣﻌﺘﻘﺪ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫»در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ‪ ،‬ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻫﺎى ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻃﺮاﺣﻰ ﺷﺪه‬ ‫ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ )ﺑﺎ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻣﺪل ﻫﺎ و ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻫﺎ و ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎى ﻓﺮﻫﻨﮕﻰ( ﺑﻪ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن ﻳﻚ ﻧﮕﺎه ﻳﻚ ﭘـﺎرﭼﻪ ﺑﻪ داﻧﺶ ﻣﻰ دﻫﺪ‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪه ﺑﺮاى درﻳﺎﻓﺖ ارﺗﺒﺎط ﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ و در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺧﻠﻖ ﻣﺪل ﻫﺎ‬ ‫و ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻫﺎ و ﺳﺎﺧـﺘـﺎرﻫﺎى ﺟﺪﻳـﺪ را ﺗـﻮﺳﻌﻪ ﻣﻰ دﻫـﺪ« )درﺳﻞ‪،‬‬ ‫‪١٩٥٨‬؛ ﻧﻘﻞ ﺷﺪه در ِﻟﻴﻚ ]‪(.[٣‬‬ ‫ِاِوِرت ﻧﻴﺰ ﻣﻌﺘﻘﺪ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫»ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﺑﻴﻦ رﺷﺘﻪ اى‪ ،‬ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ اى اﺳﺖ ﻛﻪ ﭼﻨﺪ ﻣﻮﺿﻮع‬ ‫ﻣﺪرﺳـﻪ اى را ﺑﺎﻫﻢ ﺗـﺮﻛﻴﺐ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ و ﻳـﻚ ﭘـﺮوژه ى ﻓﻌﺎل از آن ﻫـﺎ‬ ‫ﻣﻰ ﺳﺎزد و در ﻧﺘﻴﺠﻪ ى آن‪ ،‬ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ ﺑﺮﺧﻮرد ﻛﻮدﻛﺎن ﺑﺎ ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت‬ ‫دﻧﻴﺎى واﻗﻌﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﻰ ﮔﻴﺮد« )اورت‪ ،‬ﻧﻘﻞ ﺷﺪه در ﻟﻴﻚ ]‪(.[٣‬‬ ‫ﻟﻴـﻚ ﻳـﺎدآورى ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ ﻫﻤـﻪ ى ﺗـﻌـﺎرﻳـ‪ I‬اراﺋﻪ ﺷـﺪه ﺑـﺮاى‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ ﻳﺎ ﺑﻴﻦ رﺷﺘﻪ اى‪ ،‬ﺷﺎﻣﻞ ﻣﻮارد زﻳﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫● ﺗﺮﻛﻴﺒﻰ از ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت؛‬ ‫● ﺗﺄﻛﻴﺪ ﺑﺮ ﭘﺮوژه ﻫﺎ؛‬ ‫● ﻣﻨﺎﺑﻌﻰ ﻓﺮاﺗﺮ از ﻛﺘﺎب ﻫﺎى درﺳﻰ؛‬ ‫● ارﺗﺒﺎط ﻣﻴﺎن ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻣﺨﺘﻠ‪I‬؛‬



‫● واﺣـﺪﻫـﺎى ﻣــﻮﺿـﻮﻋـﻰ ﺑـﻪ ﻋــﻨــﻮان اﺻـﻮل‬ ‫ﺳﺎزﻣﺎن دﻫﻨﺪه؛‬ ‫● ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎى اﻧﻌﻄﺎف ﭘﺬﻳﺮ؛‬ ‫● ﮔﺮوه ﺑﻨﺪى اﻧﻌﻄﺎف ﭘﺬﻳﺮ داﻧﺶ آﻣﻮزان ]‪.[٣‬‬



‫ﻳﻚ ﺗﺠﺮﺑﻪ‪ :‬ﺗﺪرﻳﺲ ﻣـﺒـﺤـﺚ ﻣـﻌـﺎدﻟـﻪى ﺧـﻂ راﺳـﺖ و‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم ﺷﻴﺐ ﺧﻂ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان اﻳﺮاﻧﻰ ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ راﺳﺖ ﻧﺨﺴﺘﻴﻦ ﺑﺎر در ﻧﻴﻢ‬ ‫ﺳﺎل دوم ﭘﺎﻳﻪ ى ﺳـﻮم راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ آﺷﻨﺎ ﻣـﻰ ﺷـﻮﻧﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻣـﻮﺿﻮع در‬ ‫ﺻﻔﺤـﻪ ﻫـﺎى ‪ ١٠٤‬ﺗﺎ ‪ ١٢٠‬ﻛﺘﺎب رﻳـﺎﺿـﻰ ﺳـﻮم راﻫﻨﻤﺎﻳـﻰ آﻣـﺪه‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬در راﻫﻨﻤﺎى ﻣﻌﻠﻢ اﻳﻦ ﻛـﺘـﺎب‪ ،‬ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت اﻳﻦ ﺑﺨـﺶ در‬ ‫ﻳﻚ ﻧﮕﺎه ﭼﻨﻴﻦ ذﻛﺮ ﺷﺪه اﺳﺖ‪:‬‬ ‫»درس ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ ﻣﻬﻢ ﺗﺮﻳﻦ درس در ﻛﻼس ﺳﻮم راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺎ اﻳﻦ درس ﺑﺮاى اوﻟﻴﻦ ﺑﺎر ﻣﻮاﺟﻪ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ؛‬ ‫‪١٧‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﮔـﺮاﻳـﺶ ﺑــﻪ واﺑـﺴـﺘـﮕــﻰ و‬ ‫درﻫﻢﺗﻨﻴﺪﮔﻰ ﺳﺮاﺳـﺮى در‬ ‫ﺳﻴﺴﺘﻢﻫﺎى ﭘﻴﭽﻴﺪه‪ ،‬رﺷﺪ‬ ‫آﻫﻨﮕﻴﻦ ﻗﺮن ﺑﻴﺴﺖوﻳـﻜـﻢ‬ ‫و ﭘــﻴــﭽــﻴــﺪﮔــﻰﻫــﺎى آن‪،‬‬ ‫ﺑﺪﻧـﻪى در ﺣـﺎل ﺗـﻮﺳﻌـﻪى‬ ‫داﻧــﺶ و ﻧــﻴــﺎز ﺑـــﻪ اﻓـــﺮاد‬ ‫ﺷﺎﻏﻠﻰ ﻛـﻪ در ﺑـﺴـﻴـﺎرى از‬ ‫ﺣﻮزهﻫﺎ ﺗـﻮاﻧﻤﻨﺪ ﺑﺎﺷﻨـﺪ‪ ،‬از‬ ‫ﺟــﻤــﻠـــﻪ دﻻﻳـــﻞ ﺿـــﺮورت‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ و‬ ‫ﺑﻴﻦرﺷﺘﻪاى اﺳﺖ‬



‫ﺑﻨﺎﺑـﺮاﻳﻦ ﺗﻤـﺮﻛﺰ و ﺗﺄﻛﻴﺪ ﺑـﺮ آن ﺿـﺮورى ﺑﻪ ﻧﻈﺮ‬ ‫ﻣﻰ رﺳﺪ‪ .‬در اﺑﺘﺪا ﺑﺎ ﺑﻴـﺎن راﺑﻄﻪ ى ﺑﻴـﻦ ﻃـﻮل و‬ ‫ﻋـﺮض ﻧﻘﺎط ﻣﻌـﺎدﻟـﻪ ى ﺧـﻂ ﻫـﺎى ﻣـﺒـﺪأ ﮔـﺬر‬ ‫ﻣﻌـﺮﻓﻰ و ﭼـﮕـﻮﻧﮕـﻰ رﺳﻢ آن ﻫـﺎ آﻣـﻮزش داده‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬ﭘﺲ ﺑﺎ ﺑﻴﺎن ﺧﻂ ﻫﺎى ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺪأ ﮔﺬر‪،‬‬ ‫ﺷﻴﺐ و ﻋـﺮض از ﻣﺒﺪأ آﻣﻮزش داده ﻣﻰ ﺷـﻮد‪.‬‬ ‫در ﭘﺎﻳﺎن ﺑـﺎ ﻃـﺮح ﺷﻜﻞ ﻛﻠﻰ ﻣﻌـﺎدﻟـﻪ ى ﺧـﻂ‪،‬‬ ‫ﺧـﻂ ﻫـﺎى ﻣــﻮازى ﺑـﺎ ﻣـﺤــﻮرﻫـﺎ آﻣـﻮزش داده‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ« ]‪ [١‬ص ‪.١٩٩‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﭘﺎراﮔﺮاف اﺧﻴﺮ و ﺑﺎ ﺑﺮرﺳﻰ ﻛﺘﺎب‬ ‫درﺳﻰ‪ ،‬ﻣﺘﻮﺟﻪ ﻣﻰ ﺷﻮﻳﻢ ﻛﻪ ﻧﮕﺎه ﻣﺆﻟﻔﺎن ﺑﻪ اﻳﻦ‬ ‫ﻣﻮﺿﻮع‪ ،‬ﺟﺰءﻧﮕﺮاﻧﻪ ﺑﻮده اﺳﺖ‪:‬‬ ‫اﺑﺘﺪا در ﻳﻚ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ و ﻛﺎر در ﻛـﻼسِ ﭘﺲ‬ ‫از آن‪ ،‬داﻧـﺶ آﻣــﻮزان ﺑـﺎ ﺣـﺎﻟـﺖ ﺧــﺎﺻــﻰ از‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﻘﺎﻃﻰ ﻛﻪ روى ﻳﻚ ﺧﻂ راﺳﺖ ﻗﺮار دارﻧﺪ‪ ،‬آﺷﻨﺎ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‬ ‫ﻛﻪ در ﻫﻤﻪ ى آن ﻫﺎ‪ ،‬ﻣﺨﺘـﺼـﻪ ى دوم ﻣﻀﺮﺑﻰ از ﻣﺨﺘـﺼـﻪ ى اول‬ ‫اﺳﺖ و اﻳـﻦ راﺑﻄﻪ ﻫﺎى ﺿﺮﺑـﻰ را ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧـﻂ راﺳـﺖ‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻨﺎﺳﻨـﺪ‪ .‬ﭘـﺲ از آن‪ ،‬رﺳﻢ ﺧﻄﻰ ﻛﻪ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ى آن داده ﺷـﺪه‬ ‫اﺳﺖ ﺑﺎ ﻣﺜﺎل ﻫﺎى ﺧﺎص )ﺑﻪ ﻗﻮل ﻛﺘﺎب؛ ﻓﻘﻂ ﺧﻄﻮط ﻣﺒﺪأ ﮔﺬر(‬ ‫آﻣﻮزش داده ﻣﻰ ﺷﻮد و ﺳﭙﺲ ﺑﺎ ﻧﻤﻮدار ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اى از ﻧﻘﺎط ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫آﺷﻨﺎ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬وﻟﻰ در اﻳﻦ ﻗﺴﻤﺖ‪ ،‬ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﻘﺎط ﮔﺴﺴﺘـﻪ و‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻫﻰ در ﺻﻔﺤﻪ ﻣـﻮاﺟﻪ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﻫﻴﭻ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻳﺎ ﺗﻤﺮﻳﻨﻰ اﻳـﻦ‬ ‫دو ﻣﻮﺿﻮع را ﺑﻪ ﻫﻢ ﻣـﺮﺗﺒﻂ ﻧﻤﻰ ﻛﻨﺪ و ﻫﻴﭻ ﺟﺎ ﺑﻪ ﺗﻔـﺎوت ﺑﻴﻦ ﻳﻚ‬ ‫ﺧﻂ راﺳﺖ ﻛﻪ از ﺑﻰ ﻧﻬﺎﻳﺖ ﻧﻘﻄﻪ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺷﺪه اﺳﺖ و ﻣﺜﺎل ﻫـﺎى‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻫﻰ اراﺋﻪ ﺷﺪه‪ ،‬اﺷﺎره ﻧﻤﻰ ﺷـﻮد؛ ﺣﺘﻰ ﻫﻴﭻ ﭘﺮﺳﺸﻰ ﻣﺒﺘﻨﻰ ﺑﺮ‬ ‫اﻳﻦ ﻛﻪ آﻳﺎ ﻧﻘﺎط ﻫﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ روى ﻳﻚ ﺧﻂ راﺳﺖ ﻗﺮار دارﻧﺪ ﻳﺎ ﻧﻪ و‬ ‫اﮔﺮ ﭼﻨﻴﻦ اﺳﺖ‪ ،‬ﺳﺎﻳﺮ ﻧﻘﺎط آن ﺧﻂ ﻛﺠﺎ ﻫﺴﺘﻨـﺪ و ﭼـﻪ راﺑﻄﻪ اى‬ ‫ﺑﻴﻦ ‪ x‬و ‪ y‬آن ﻧﻘﺎط وﺟﻮد دارد‪ ،‬ﻧﻤﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻣﻄﻠﺐ ﺑﻌﺪى‪ ،‬ﺧﻂ ﻫﺎى ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺪأ ﮔﺬر اﺳﺖ ﻛـﻪ ﺑـﺪون ﻫﻴﭻ‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴـﺖ آﻣـﻮزﺷﻰ و ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺎ دو ﻣﺜﺎل ﻣـﻌـﺮﻓﻰ ﻣﻰ ﺷـﻮد ﻛﻪ در ﻣﺜـﺎل‬ ‫ﻧﺨﺴﺖ‪ ،‬ﺗﻌﺪادى ﻧﻘﻄﻪ روى ﻳﻚ ﺧﻂ راﺳﺖ ﻣﺸﺨﺺ ﺷﺪه و از‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮز ﺧـﻮاﺳﺘﻪ ﺷﺪه راﺑﻄﻪ ى ﺑﻴﻦ ﻣﺨﺘﺼـﺎت آن ﻫـﺎ را ﺑﻴﺎﺑﺪ و‬ ‫ﺑـﻼﻓـﺎﺻـﻠـﻪ ﺑـﻴـﺎن ﺷـﺪه‪» :‬ﻣـﻌـﺎدﻟـﻪ ى ﺧــﻂ ‪ l‬ﻋـﺒـﺎرت اﺳـﺖ از‬ ‫‪ ،[٢]« y = x +1‬ص ‪ .١١١‬در ﻣﺜﺎل دوم‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ‪y = 2x + 4‬‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫‪١٨‬‬



‫داده ﺷﺪه و ﺑﺎ اﺳﺘـﻔـﺎده از ﺟـﺪول ﻧﻘﻄﻪ ﻳـﺎﺑـﻰ‪،‬‬ ‫ﻧﻤﻮدار آن رﺳﻢ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺴﻴﺎر ﻃﺒﻴﻌﻰ اﺳﺖ‬ ‫ﻛﻪ ﺑﺎ اﻳﻦ ﺷﻴﻮه ى ﺗﺪرﻳﺲ‪ ،‬اﻏﻠﺐ داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫ﻧﺘﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻴﻦ اﻳﻦ دو ﻧﻮع ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ )ﻣﺒﺪأ ﮔﺬر‬ ‫و ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺪأ ﮔﺬر( ارﺗﺒﺎط ﻣﻌﻨﺎدار ﺑﺮﻗﺮار ﺳﺎزﻧﺪ و‬ ‫اﺳﺎﺳﺎ ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ را ﺑﻪ درﺳﺘﻰ و ﻋﻤﻴﻖ‬ ‫ً‬ ‫درك ﻧﻤﻰ ﻛﻨﻨﺪ!‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم ﺷﻴﺐ ﺧﻂ ﻧﻴﺰ ﺑﺎ ﻫﻤﻴﻦ ﻧﮕﺮش ﻣﻌﺮﻓﻰ‬ ‫ﺷﺪه اﺳﺖ‪» :‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻛﻠﻰ اﮔﺮ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ى ﺧـﻄـﻰ‬ ‫ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ y = ax + b‬ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷـﻮد‪ ،‬ﺿﺮﻳﺐ ‪x‬‬ ‫)ﻳﻌﻨﻰ ‪ (a‬ﺷﻴﺐ ﺧﻂ ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻰ ﺷﻮد« ]‪ ،[٢‬ص‬ ‫‪.١١٣‬‬ ‫ﺑﺎﻻﺧـﺮه ﺷـﻴـﻮه ى ﻣﻌـﺮﻓـﻰ »ﺻـﻮرت دﻳﮕـﺮ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧـﻂ راﺳﺖ« و ﺑﺎز ﻫﻢ ﻓﻘـﺪان ارﺗﺒﺎط‬ ‫ﻣﻴﺎن ﻣﻄﻠﺐ ﺟﺪﻳﺪ ﺑﺎ آن ﭼﻪ از ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ راﺳﺖ در ﺣﺎﻟﺖ ﻫﺎى‬ ‫ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬ﭘﻴﺶ از آن ﮔﻔﺘﻪ ﺷﺪه‪ ،‬ﻣﺸﻜﻼت ﻣﻮﺟﻮد در اﻳﻦ ﺑﺨﺶ را‬ ‫ﺗﻜﻤﻴﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ! ﺑﻪ اﻋﺘﻘﺎد ﻣﻦ‪ ،‬ﻣﺴﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ راﺳﺖ‬ ‫در ﻛﺘـﺎب درﺳﻰ‪ ،‬درﺳﺖ ﻋﻜﺲ ﻣـﺴـﻴـﺮى اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻳﻚ ﻧـﮕـﺎه‬ ‫ش اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﻣﻰ ﺗﻮان ﻃﻰ ﻛﺮد‪ .‬در‬ ‫ﺳﺎﺧﺖ و ﺳﺎزﮔﺮاﻳﺎﻧﻪ ﺑﻪ آﻣﻮز ِ‬ ‫واﻗﻊ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺎﻳﺪ اﺑﺘﺪا ﺑﺎ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻛﻠﻰ‪ ،‬ﻳﻌﻨﻰ ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى‬ ‫ﭼﻨﺪ ﻧﻘﻄﻪ ﻛﻪ ﺑﻴﻦ ﻣﺨﺘﺼﻪ ى اول و دوم ﺗﻚ ﺗﻚ آن ﻫﺎ‪ ،‬ﻳﻚ راﺑﻄﻪ ى‬ ‫ﻣﺸﺘﺮك وﺟﻮد دارد‪ ،‬آﺷﻨﺎ ﺷـﻮﻧﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﺣﺎﻟﺖ ﺧﺎص آن‪ ،‬ﻳﻌﻨـﻰ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ راﺳﺖ و وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى آن و ﺷﻜﻞ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬آن را‬ ‫ﺑﺸﻨﺎﺳﻨﺪ و ﺑﻴﻦ اﻳﻦ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﺟﺒـﺮى ﺑﺎ ﺗﺼﻮﻳﺮ ﻫﻨﺪﺳﻰ ﺧﻂ‪،‬‬ ‫ارﺗﺒﺎط ﻣﻌﻨﺎدار ﺑـﺮﻗﺮار ﺳﺎزﻧﺪ‪ .‬ﺑﺎﻻﺧـﺮه ﺑﺎ ﻣﻔﻬـﻮم ﺷﻴﺐ ﺑﻪ ﺻﻮرت‬ ‫ﻋﻴﻨﻰ و ﻓﻴﺰﻳﻜﻰ آﺷﻨﺎ ﺷﻮﻧﺪ و از ﻃﺮﻳﻖ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﺳﺎده ى ﺟﺒﺮى‪،‬‬ ‫ﻧﻘﺶ آن را در ﻣﻌﺎدﻟﻪ اى ﻛﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ y = ax + b‬اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻴﺎﺑﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺮاى دﺳﺖ ﻳﺎﺑﻰ ﺑﻪ اﻳﻦ روﻳﻜﺮد در ﺗﺪرﻳﺲ اﻳﻦ ﻣﺒﺤﺚ‪ ،‬ﻋﻼوه‬ ‫ﺑﺮ ﺟﺎﺑﻪ ﺟﺎﻳﻰ در ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﻄﺎﻟﺐ و ادﻏﺎم ﺑﺮﺧﻰ از آن ﻫﺎ ﺑﺮاى رﺳﻴﺪن‬ ‫ﺑﻪ دﻳﺪ ﻛﻠﻰ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﻮﺿﻮع‪ ،‬ﺑﻪ اﻋﻤﺎل زﻳﺮ ﻧﻴﺰ ﻣﺒﺎدرت ﻛﺮدم‪:‬‬ ‫ـ ﺑﺮاى آﻏﺎز ﻣﺒﺤﺚ‪ ،‬ﻳﻚ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻛﺘﺒﻰ ﮔﺮوﻫﻰ ﻃﺮاﺣﻰ ﻛﺮدم‬ ‫)ﭘﻴـﻮﺳﺖ ‪ .(١‬اﻳﺪه ى اﺻﻠـﻰ آن را از ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ اﺑﺘﺪاى ﻣﺒـﺤـﺚ در‬ ‫ﻛﺘﺎب ﮔﺮﻓﺘﻢ ﻟﻴﻜﻦ آن را ﺗﻮﺳﻌﻪ دادم و ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎ و دﻗﺖ در‬ ‫ﻛﻠﻤﺎت ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ در آن ﻫﺎ‪ ،‬ﺳﻌﻰ ﻛﺮدم ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﭼﻨﺪ ﻧﻘﻄﻪ‬



‫در ﺣﺎل ﺣﺎﺿﺮ در ﺑﻌﻀﻰ‬ ‫از ﻛﺸﻮرﻫﺎ ﻣﺎﻧﻨﺪ آﻣﺮﻳﻜـﺎ‬ ‫و ﻛـﺎﻧـﺎدا‪ ،‬ﺑـﺮﻧـﺎﻣـﻪﻫــﺎى‬ ‫درﺳــﻰ ﺗــﻠــﻔـــﻴـــﻘـــﻰ و‬ ‫ﺑﻴﻦرﺷﺘﻪاى در ﺣﺎل‬ ‫ﺗﺪوﻳﻦ و اﺟﺮا اﺳﺖ‬



‫را ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻳﻚ راﺑﻄﻪ ى ﻣﺸـﺘـﺮك ﻣﻮﺟـﻮد ﺑﻴـﻦ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﻪ ى اول و دوم اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎ ﻣﻌـﺮﻓﻰ ﻛﻨﻢ‬ ‫و ﺿﻤﻨﺎً ﺑﺎ ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﻣﺜﺎل ﻫﺎ‪ ،‬داﻧﺶ آﻣـﻮزان را‬ ‫ﺑﺎ اﻧـﻮاع ﺧﻂ )اﻋﻢ از ﻣﺒﺪأ ﮔﺬر ﻳـﺎ ﻏـﻴـﺮ ﻣـﺒـﺪأ‬ ‫ﮔـﺬر؛ ﺑـﻪ ﺟﺰ ﺧـﻄـﻮط ﻣـﻮازى ﻣـﺤـﻮرﻫﺎ( در‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ ى ﻣﺨـﺘـﺼـﺎت ﻣـﻮاﺟﻪ ﺳـﺎزم‪ .‬اﻏﻠـﺐ‬ ‫ﮔﺮوه ﻫﺎ در اﻧﺘﻬﺎى ﭘﺮﺳﺶ ‪ ٦‬در اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴـﺖ‪،‬‬ ‫اﻳﻦ ﺗﺼﻮر ﻧـﺎدرﺳﺖ را دارﻧﺪ ﻛـﻪ وﺟﻮد ﻫﺮ ﻧﻮع‬ ‫راﺑﻄﻪ ى ﺟﺒﺮى ﺑﻴﻦ ‪ x‬و ‪ y‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اى از ﻧﻘﺎط‪ ،‬ﻣﺘﻀﻤﻦ اﻳﻦ اﺳﺖ‬ ‫ﻛﻪ آن ﻧﻘﺎط روى ﻳﻚ ﺧـﻂ راﺳﺖ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬از اﻳﻦ رو در ﭘـﺮﺳﺶ ‪٧‬‬ ‫در اﻧﺘﻬﺎى ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‪ ،‬ﺑﺎ اراﺋﻪ ى ﻣﺜﺎﻟﻰ از ﻧﻘﺎط روى ﺳﻬﻤﻰِ ‪y = x2‬‬ ‫)ﺑﺪون ذﻛﺮ ﻧﺎم ﺳﻬﻤﻰ(‪ ،‬ﻣﻮﻗﻌﻴﺘﻰ اﻳﺠﺎد ﻛﺮدم ﻛﻪ ﺗﺠﺮﺑﻪ اى داﺷﺘﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛﻪ ﻣﺘﻮﺟﻪ اﻳﻦ ﺑﺪﻓﻬﻤﻰ ﻳﺎ ﺗﻌﻤﻴﻢ ﻧﺎدرﺳﺖ ﺧﻮد ﺑﺸﻮﻧﺪ و ﻧﻬﺎﻳﺘﺎً‬ ‫در ﺟﻤﻊ ﺑﻨﺪى ﻛﻼﺳﻰ‪ ،‬ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﺘـﻴـﺠـﻪ ﺑـﺮﺳﻴﻢ ﻛﻪ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ى ﺧـﻂ‬ ‫راﺳﺖ ﺑﺎﻳﺪ داراى وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎﻳﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﭘﺲ از رﺳﻴﺪن ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ‪،‬‬ ‫وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ى ﺧـﻂ راﺳﺖ را ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﻣـﻌـﺮﻓﻰ ﻛﺮدم و ﻓـﺮم‬ ‫ﻛﻠﻰ آن را ﻛﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى دوﻣﺠﻬﻮﻟﻰ درﺟﻪ ﻳﻚ اﺳﺖ‬ ‫)داﻧﺶ آﻣﻮزان را ﺑﺎ اﻳﻦ واژه ﻫﺎ در ﻣﺒﺤﺚ ﻋﺒـﺎرات ﺟﺒﺮى ﺑﻪ ﺧﻮﺑـﻰ‬ ‫آﺷﻨﺎ ﻛـﺮده ام( و ﻧﻴﺰ ﺣﺎﻟﺖ ﺳﺎده ﺷﺪه ﻳـﺎ ﺑـﻪ ﻗـﻮﻟﻰ‪ ،‬اﺳﺘـﺎﻧـﺪارد آن‬ ‫‪ y = ax + b‬را ﺑﻴﺎن ﻛﺮدم‪.‬‬ ‫ـ ﭘﺲ از اﻳﻦ ﻛﻪ ﻃﻰ اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴـﺖ‪ ،‬داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳـﻰ‬ ‫ﺟﺒﺮى ﺧﻂ راﺳﺖ )ﻳﻌﻨﻰ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى آن( آﺷﻨﺎ ﺷﺪﻧـﺪ‪ ،‬روى ارﺗﺒـﺎط‬ ‫ﺑﻴﻦ ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﺟﺒـﺮى و ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﻨﺪﺳﻰ )ﻳﻌﻨـﻰ ﻧـﻤـﻮدار ﺧﻂ در‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ ى ﻣﺨـﺘـﺼـﺎت( ﺗـﻤـﺮﻳـﻦ ﻛـﺮدﻳﻢ و ﺿﻤﻦ اﻳـﻦ ﻣـﺜـﺎل ﻫـﺎ و‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻫﺎ‪ ،‬ﻋﺮض از ﻣﺒﺪأ و ﻃﻮل از ﻣﺒﺪأ ﺧﻂ را ﻧﻴﺰ روى ﻧﻤﻮدارﻫﺎ‬ ‫ﻣﻌـﺮﻓﻰ ﻛﺮدم و ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ ﻧﻘﺶ ﻫـﻨـﺪﺳـﻰ و ﻣـﻘـﺪارﻫﺎى آن ﻫﺎ در‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺟـﺒـﺮى ﺧﻂ ﺗـﻮﺳﻂ ﺧـﻮد داﻧﺶ آﻣـﻮزان در ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻫـﺎى‬ ‫ﻣﺨﺘﻠ‪ ،I‬ﻛﺸ‪ I‬ﺷﺪ‪.‬‬ ‫ـ ﺑﺮاى درك ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻣﻔﻬﻮم راﺑﻄﻪ ى ﺧﻄﻰ و ﻧﻴﺰ آﺷﻨﺎﻳﻰ ﺗﺠﺮﺑﻰ‬ ‫ﺑﺎ ﻣﻔﻬﻮم ﺷﻴﺐ‪ ،‬ﺑﺎ ﻳﻜﻰ از ﻫﻤﻜﺎراﻧﻢ در ﺑﺨﺶ ﻋﻠﻮم ﻣﺸﻮرت ﻛﺮدم‬ ‫و ﺑﺎ ﻣﻄﺮح ﻛﺮدن اﻳﺪه ام ﻣﺒﻨﻰ ﺑﺮ اﺳﺘﻔﺎده از اﻋﺪاد واﻗﻌﻰ و ﻣﻠﻤﻮس‬ ‫ﺑﺮاى ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎى روى ﻳﻚ ﺧﻂ راﺳﺖ‪ ،‬وى راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ام ﻛﺮد ﻛﻪ ﮔﺮم‬ ‫ﺷﺪن آب‪ ،‬ﻳﻚ ﭘﺪﻳﺪه ى ﺧﻄﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺷﻴﺐ ﻣﺜﺒـﺖ دارد و اﻟﺒﺘﻪ‬ ‫ﻳﺎدآورى ﻛﺮد ﻛﻪ ﺳﺮد ﺷﺪن آن ﺗﻨﻬﺎ در ﻳﻚ ﻣﺤﺪوده ى دﻣﺎﻳﻰ‪ ،‬ﺧﻄﻰ‬



‫)ﺑﺎ ﺷﻴﺐ ﻣﻨﻔﻰ( اﺳﺖ‪ .‬ﻫﻢ ﭼـﻨـﻴـﻦ در ﻃـﺮاﺣﻰ‬ ‫آزﻣﺎﻳﺶ ﻫﺎﻳﻰ ﺑﺮاى ﻣﺸﺎﻫﺪه ى ﭘﺪﻳﺪه ﻫﺎى ﺧﻄﻰ‬ ‫ﺑﺎ ﺷﻴﺐ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪)I‬درواﻗﻊ ﺑﻪ زﺑﺎن دﻗﻴﻖ ﺗـﺮ؛‬ ‫ﺑﺎﻧﺮخ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﺘﻔﺎوت( از وى ﻛﻤﻚ ﮔﺮﻓﺘﻢ‪.‬‬



‫ـ ﺑـﺮاى اداﻣﻪ ى ﺗﺪرﻳـﺲ‪ ،‬داﻧـﺶ آﻣـﻮزان در‬ ‫ﻳﻚ ﻓﻌﺎﻟـﻴـﺖ ﮔـﺮوﻫﻰ ﻋﻤﻠـﻰ و ﺑـﺎ اﺳـﺘـﻔـﺎده از‬ ‫ﺗﺮﻣﻮﻣﺘﺮ دﻳﺠﻴﺘﺎﻟﻰ‪ ،‬در ﺟﺪول ﻣﻨﺎﺳﺒﻰ )ﺷﻜﻞ ‪(٢‬‬ ‫دﻣـﺎى آب و زﻣﺎن را ﺑـﺮاى آﺑﻰ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻳـﻚ ﮔـﺮم ﻛـﻦ )‪ (Heater‬ﮔـﺮم‬ ‫ﻣﻰ ﺷﺪ‪ ،‬ﺛﺒﺖ ﻛـﺮده )ﺷﻜﻞ ‪ (١‬و آن ﻫﺎ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﻘﺎط روى ﻳـﻚ‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ ى ﻣﺨﺘﺼﺎت رﺳﻢ ﻛﺮدﻧﺪ و ﺧﻂ ﺑﺮازش آن ﻫﺎ را ﺗﺮﺳﻴﻢ ﻛﺮدﻧﺪ‬ ‫)ﺷﻜﻞ ‪.(٣‬‬ ‫ﺑﺤﺚ ﺧﻄﺎ در آزﻣﺎﻳﺶ و اﻧﻮاع آن ﺑﻪ ﻃﻮر ﻛﻠﻰ و ﺧﻄﺎﻫﺎى‬ ‫ﻣﺤﺘﻤﻞ در آزﻣﺎﻳﺸﻰ ﻛﻪ اﻧﺠﺎم ﺷﺪ؛ ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ ﺗـﻜـﺮار آزﻣﺎﻳﺶ‬ ‫ﺑﺮاى ﮔـﺮوه ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ داده ﻫﺎى ﭘـﺮﺧﻄﺎﻳﻰ داﺷﺘﻨﺪ ﻧـﻴـﺰ ﺻـﻮرت‬ ‫ﮔـــﺮﻓــﺖ‪ .‬ﺑــﻌـــﻀـــﻰ از ﮔـــﺮوه ﻫــﺎ ﻛــﻪ داده ﻫـــﺎﻳـــﺸـــﺎن را‬ ‫ ﻛﺎﻣﻼ ﻳﻚ ﺧﻂ راﺳﺖ درآوردﻧﺪ‪.‬‬ ‫ً‬ ‫ﺑﻪ دﻗﺖ ﺟﻤﻊ آورى ﻛﺮده ﺑﻮدﻧﺪ‪،‬‬ ‫ـ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ﺗﺠﺮﺑﻪ ى ﻋﻤﻠﻰ و از روى ﻧﻤﻮدار ﮔﺮوه ﻫﺎى‬ ‫ﻣﺨﺘﻠ‪ ،I‬ﻣﻔﻬﻮم ﺷﻴﺐ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﺴﺒﺖ ﺗﻐﻴﻴﺮات دﻣﺎ ﺑﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮات زﻣﺎن‬ ‫در اﻳﻦ آزﻣﺎﻳﺶ و ﺳﭙﺲ در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻰ ﺑﺮاى دو ﻣﺘﻐﻴﺮ‪ ،‬ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺷﺪ‬ ‫و داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻫﺮ ﮔﺮوه‪ ،‬ﺷﻴﺐ ﺧﻂ ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه ى آزﻣﺎﻳﺶ ﮔﺮوه‬ ‫ﺧﻮد را ﺑﻪ دﺳﺖ آوردﻧﺪ‪.‬‬ ‫ـ ﺑﺮاى ﺗﻌﻤﻴﻖ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻣﻔﻬﻮم ﺷﻴﺐ‪ ،‬دو آزﻣﺎﻳﺶ دﻳﮕﺮ ﻧﻴﺰ اﻧﺠﺎم‬ ‫ﺷﺪ‪ :‬ﮔﺮم ﻛﺮدن آب ﺑﺎ دو ﮔﺮم ﻛﻦ؛ ﮔﺮم ﻛﺮدن اﻟﻜﻞ )ﻳﺎ ﻣﺤﻠﻮل آب‬ ‫و اﻟﻜﻞ( ﺑـﺎ ﻳـﻚ ﮔـﺮم ﻛﻦ‪ .‬ﻣﻘﺎﻳـﺴـﻪ ى داده ﻫـﺎى ﺣـﺎﺻـﻞ از اﻳـﻦ‬ ‫آزﻣﺎﻳﺶ ﻫﺎ و ﺷﻜﻞ ﺧﻂ ﻫﺎ و ﺷﻴﺐ آن ﻫﺎ ﺑﺎ ﻫـﻢ‪ ،‬ﻣـﻮﺿﻮع را ﺑﺮاى‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ زﻳﺒﺎﻳﻰ روﺷﻦ ﻣﻰ ﻛﺮد‪.‬‬ ‫ـ ﭘﺲ از اﻳﻦ ﻛﻪ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﺑﺎ ﻣﻔـﻬـﻮم ﺷﻴﺐ و ﻧﻘـﺶ آن در‬ ‫ﻧﻤﻮدار ﺧـﻂ راﺳﺖ آﺷﻨﺎ ﺷﺪﻧﺪ‪ ،‬ﻧﻘﺶ ﻣﻘﺪار ﺷﻴﺐ در ﻣﻌـﺎدﻟـﻪ ى‬ ‫ﺧﻂ ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺷﺪ )ﺿﺮﻳﺐ ‪ x‬در ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ى ‪ ( y = ax + b‬و‬ ‫ﺣﺘﻰ در ﻛﻼس ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣـﻮزان آن از ﺗﻮان ذﻫﻨﻰ ﺑﻴﺶ ﺗـﺮى‬ ‫ﺑﺮﺧﻮردار ﺑﻮدﻧﺪ‪ ،‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻔﻬﻮم ﺷﻴﺐ‪ ،‬ﻣﻘﺪار آن از ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى‬ ‫‪) y = ax + b‬ﻛﻪ ﻫﻤﺎن ‪ a‬ﺑﻮد( ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ دو ﺟﻠﺴﻪ ﺑـﻪ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻛﺘﺒﻰ و ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺮاى ﺗﺴﻠﻂ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﺑﺮ ﻣﻮﺿﻮع و آﺷﻨﺎﻳﻰ‬ ‫‪١٩‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﮔﺮم ﻛﻦ ﺑﺮﻗﻰ‬ ‫ﺗﺮﻣﻮﻣﺘﺮ دﻳﺠﻴﺘﺎﻟﻰ‬



‫ﺣﺴﮕﺮ ﮔﺮﻣﺎ‬ ‫ِ‬



‫ﻛﺎﻟﺮى ﻣﺘﺮ‬ ‫ﺣﺎوى آب‬ ‫ﺷﻜﻞ ‪ .١‬آزﻣﺎﻳﺶ ﮔﺮم ﺷﺪن آب ﺑﺎ ﻳﻚ ﮔﺮم ﻛﻦ‬



‫)‪t(s‬‬



‫)‪T( o C‬‬



‫)‪m (gr‬‬



‫‪T o =L‬‬



‫ﺷﻜﻞ ‪ .٢‬ﺟﺪول ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ آزﻣﺎﻳﺶ ﮔﺮم ﺷﺪن آب ﺑﺎ ﻳﻚ ﮔﺮم ﻛﻦ‬



‫)‪T( o C‬‬



‫ﺷﻜﻞ ‪ .٣‬ﻧﻤﻮدار ﺧﻂ ﺑﺮازش ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ آزﻣﺎﻳﺶ ﮔﺮم ﺷﺪن آب ﺑﺎ ﻳﻚ ﮔﺮم ﻛﻦ‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫‪٢٠‬‬



‫ﺑﺎ ﺧﻄﻮط ﻣﻮازى ﻣﺤﻮرﻫﺎ‪ ،‬اﺧﺘﺼﺎص ﻳﺎﻓﺖ‪.‬‬ ‫ـ آﺧﺮﻳﻦ ﺟﻠﺴﻪ ى اﻳﻦ ﻣﺒـﺤـﺚ‪ ،‬داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﻳﻚ ﺗﻜﻠـﻴـ‪I‬‬ ‫ﮔﺮوﻫﻰ اﻧﺠﺎم دادﻧﺪ )ﭘﻴﻮﺳﺖ ‪ (٢‬ﻛﻪ ﻫﺪف آن‪ ،‬ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺴﺘﻦ داﻧﺶ‬ ‫و آﻣﺎدﮔﻰ ﺑﺮاى ﻣﻮﺿﻮع ﺑﻌﺪى )دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻫﺎى ﺧﻄﻰ و ﺣـﻞ‬ ‫آن ﻫﺎ( ﺑﻮد‪.‬‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﻪﮔﻴﺮى‬ ‫در ﻳﻚ ﺟﻤﻊ ﺑﻨﺪى ﻛﻠﻰ‪ ،‬ﻣﻰ ﺗـﻮان ﺗﺠﺮﺑﻪ ى ﺗﺪرﻳﺲ ﺗﻠﻔﻴـﻘـﻰ‬ ‫ﻣﺒﺤﺚ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ى ﺧـﻂ راﺳﺖ در ﭘﺎﻳﻪ ى ﺳﻮم راﻫﻨﻤﺎﻳـﻰ را در ‪١٠‬‬ ‫ﺟﻠﺴﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺧﻼﺻﻪ ﻛﺮد‪:‬‬ ‫✓ ﺟﻠـﺴـﻪ‪C‬ﻫـﺎى ‪ ١‬و ‪ :٢‬ﻓﻌـﺎﻟـﻴـﺖ ﮔـﺮوﻫﻰ ﻛـﺘـﺒـﻰ؛ درك ﻣﻔـﻬـﻮم‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اى از ﻧﻘﺎط و ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺷﻜﻞ ﻛﻠﻰ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ‬ ‫راﺳﺖ )‪ (y = ax + b‬و وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى آن‪.‬‬ ‫✓ ﺟﻠﺴـﻪ‪C‬ى ‪ :٣‬ﺗﺪرﻳﺲ رﺳﻢ ﺧـﻂ راﺳﺖ ﺑﺎ داﺷﺘﻦ ﻣﻌـﺎدﻟـﻪ ى آن‬ ‫ﺑﺮاى اﻳﺠﺎد ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﺟﺒﺮى و ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﻨﺪﺳﻰ ﺧﻂ؛‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻋـﺮض از ﻣﺒﺪأ ﺧﻂ راﺳﺖ و ﻧﻘﺶ آن در ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ى ﺧـﻂ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻃﻮل از ﻣﺒﺪأ ﺧﻂ راﺳﺖ‪.‬‬ ‫✓ ﺟﻠﺴﻪ‪C‬ى ‪ :٤‬ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﮔـﺮوﻫﻰ ﻋﻤﻠﻰ‪ :‬ﺑـﺮرﺳﻰ ﺗﻐﻴﻴـﺮات دﻣﺎى‬ ‫آب در ﺣﺎل ﮔﺮم ﺷﺪن ﺑﺎ ﻳﻚ ﮔﺮم ﻛﻦ؛ ﺑﺮداﺷﺖ داده ﻫﺎى واﻗﻌﻰ و‬ ‫رﺳﻢ ﻧﻤﻮدار ﺧﻂ ﺑﺮازش آن ﻫﺎ و ﺑﺮرﺳﻰ ﺧﻄﻰ ﺑﻮدن آن ﻫﺎ‪.‬‬ ‫✓ ﺟﻠﺴﻪ‪C‬ى ‪ :٥‬اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﺠﺮﺑﻪ و ﻧﺘﺎﻳﺞ آزﻣﺎﻳﺶ اﻧﺠﺎم ﺷﺪه ﺑﺮاى‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺷﻴﺐ ﺧﻂ راﺳﺖ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﺴﺒﺖ ﺗﻐﻴﻴﺮات ‪ y‬ﺑﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮات ‪ x‬و‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻧﻘﺶ آن در ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ‪ .‬ﻧﻮﺷﺘﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ داده ﻫﺎى‬ ‫ﺑﺮداﺷﺖ ﺷـﺪه از آزﻣﺎﻳﺶ و ﻣﺸﺎﻫﺪه ى ﺷﻴﺐ در ﺗﻐﻴـﻴـﺮات داده ﻫﺎ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻫﻢ‪.‬‬ ‫✓ ﺟﻠﺴﻪ‪C‬ﻫﺎى ‪ ٦‬و ‪ :٧‬دو ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﮔﺮوﻫﻰ ﻋﻤﻠﻰ‪ :‬ﺑﺮرﺳﻰ ﺗﻐﻴﻴﺮات‬ ‫دﻣﺎى آب در ﺣﺎل ﮔﺮم ﺷﺪن ﺑﺎ دو ﮔﺮم ﻛﻦ؛ ﺑﺮرﺳﻰ ﺗﻐﻴﻴﺮات دﻣﺎى‬ ‫اﻟﻜﻞ در ﺣﺎل ﮔﺮم ﺷﺪن ﺑﺎ ﻳﻚ ﮔﺮم ﻛﻦ؛ ﺑﺮداﺷﺖ داده ﻫﺎى واﻗﻌﻰ‬ ‫و رﺳﻢ ﻧـﻤـﻮدار ﺧﻂ ﺑـﺮازش آن ﻫﺎ و ﺑـﺮرﺳﻰ ﺧﻄـﻰ ﺑـﻮدن آن ﻫـﺎ و‬ ‫ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ى ﺷﻴﺐ ﻫﺎ و ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻫﺎى ﺧﻄﻮط آن ﻫﺎ و ﻣﺸﺎﻫﺪه ى ﻋﻴﻨﻰ‬ ‫ﻧﻘﺶ ﺷﻴﺐ در داده ﻫﺎ‪.‬‬ ‫✓ ﺟﻠﺴﻪ‪C‬ﻫـﺎى ‪ ٨‬و ‪ :٩‬آﺷﻨﺎﻳﻰ ﺑﻴﺶ ﺗـﺮ ﺑـﺎ ﺻـﻮرت ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠـ‪I‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ راﺳﺖ؛ ﻛﺴﺐ ﻣﻬـﺎرت ﺑﻴﺶ ﺗﺮ در اﻋﻤﺎل ﺟﺒـﺮى و‬ ‫آﺷﻨﺎﻳﻰ ﺑﺎ ﺧﻄﻮط ﻣﻮازى ﻣﺤﻮرﻫﺎ و ﺑﻪ دﺳﺖ آوردن ﺷﻴﺐ ﻫﺮﻳﻚ ﺑﺎ‬



‫اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﺷﻴﺐ‪.‬‬ ‫✓ ﺟﻠﺴﻪ‪C‬ى ‪ :١٠‬ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﮔـﺮوﻫﻰ ﻛﺘﺒﻰ؛ ﺗﻌﻤﻴﻖ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻗﺒﻠـﻰ و‬ ‫ورود ﺑﻪ ﻣﺒﺤﺚ ﺟﺪﻳﺪِ دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻻت و ﺣﻞ آن‪.‬‬ ‫ﻧﻜﺘﻪ ى ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻮﺟﻪ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ در اﻳﻦ ﻃﺮح درس‪ ،‬ﺑﻪ ﺟﺰ ﺗﻌﺮﻳ‪I‬‬ ‫ﺷﻴﺐ و ﻣﺸﺎﻫﺪه ى ﺷﻬـﻮدى آن در ﭼﻨﺪ آزﻣﺎﻳﺶ‪ ،‬ﻫﻴﭻ ﻓـﺮﻣﻮل ﻳﺎ‬ ‫راﺑﻄﻪ ى دﻳﮕﺮى ﺑﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﮔﻔﺘﻪ ﻧﻤﻰ ﺷﻮد و در ﻋﻴﻦ ﺣﺎل آن ﻫﺎ‬ ‫ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ راﺣﺘﻰ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﺷﻴﺐ‪ ،‬ﻫﻤﻪ ﻧﻮع ﻣﺴﺌﻠﻪ از‬ ‫اﻳﻦ ﻣﺒﺤﺚ را ﺑﺎ ﻫﺮ ﻧﻮع داده و ﻣﺠﻬﻮﻟﻰ ﺣﻞ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻣﻬﻢ ﺗﺮﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ‬ ‫اﻳـﻦ ﻛــﻪ ﻧــﻘــﺶ رﻳــﺎﺿــﻴــﺎت را در ﻣـﺪل ﺳــﺎزى ﭘــﺪﻳــﺪه ﻫــﺎى‬ ‫ﻓﻴﺰﻳﻜﻰ اﻃﺮاف ﺧﻮد ﻣﻰ ﺑﻴﻨﻨﺪ و ﺑﻴﺶ از ﭘﻴﺶ‪ ،‬ﻗﺪردان رﻳﺎﺿﻰ و آن ﭼﻪ ﻳﺎد ﮔﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺳﺨﻦ آﺧﺮ اﻳﻦ ﻛﻪ‪:‬‬ ‫ﺑﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزاﻧﻤﺎن ﻛﻤﻚ ﻛﻨﻴﻢ ﺑﺮاى زﻧﺪﮔﻰ در ﻗﺮن ﺑﻴﺴﺖ و ﻳﻜﻢ‬ ‫آﻣﺎده ﺗﺮ ﺷﻮﻧﺪ!‬ ‫ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﻓﺮﺻﺖ دﻫﻴﻢ از ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳﺎﺿﻰ ﻟﺬت ﺑﺒﺮﻧﺪ…‬ ‫ﺑﺮاى ﺗﺤﻘﻖ اﻳﻦ اﻫﺪاف و اﻫﺪاف ﻣﺸﺎﺑﻪ‪ ،‬ﺑﺎ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ و اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫از ﻧﻈﺮات آﻣﻮزﺷﻰ ﺟﺪﻳﺪ‪ ،‬ﺑﺎ ﺗﻌﺪاد ﻛﻢ در ﻳﻚ ﺳﺎل ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ آﻏﺎز‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ و ﺿﻤﻦ ﺑﺎزﺧﻮرد ﮔﺮﻓﺘﻦ از آن‪ ،‬ﺑﻪ ﻣﺮور آن را ﺗﻮﺳﻌﻪ دﻫﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﺗﺸﻜﺮ و ﻗﺪرداﻧﻰ‬ ‫ﻻزم ﻣﻰ داﻧﻢ در اﻳﻦ ﺟﺎ از ﻫﻤﻜﺎرى ﻫﺎى ﻫﻤﻜـﺎراﻧﻢ در ﺑﺨﺶ‬ ‫ﻋﻠﻮِم ﻣﺪرﺳﻪ‪ ،‬ﻛﻪ اﻳﺪه ﻫﺎى ﻣﻦ در ﺧﺼﻮص ﺟﻤﻊ آورى داده ﻫﺎى‬ ‫واﻗﻌﻰ ﺧﻄﻰ ﺑﺮاى ﻣﻠﻤﻮس ﺳﺎﺧﺘﻦ اﻳﻦ ﻣﺒﺤﺚ ﺑﺮاى داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫را ﺟﺎﻣﻪ ى ﻋﻤﻞ ﭘـﻮﺷﺎﻧﺪﻧـﺪ و آن را ﺑﻪ ﻳﻚ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻋـﻤـﻠـﻰ واﻗﻌﻰ‬ ‫ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﺮدﻧﺪ؛ ﻗﺪرداﻧﻰ ﻛﻨﻢ‪.‬‬ ‫ﻣﻨﺎﺑﻊ‬ ‫‪ .١‬داودى‪ ،‬ﺧﺴﺮو؛ ﭘﻨـﺪى‪ ،‬زﻫﺮه؛ دﻟﺸﺎد‪ ،‬ﻛﺒـﺮى؛ وزﻳﺮى ﺣﺎﻣﺎﻧﻪ‪ ،‬ﺳﻴﺪ ﺣـﺎﻣـﺪ‪ .‬ﻛﺘﺎب ﻣﻌﻠـﻢ‬ ‫)راﻫﻨﻤﺎى ﺗﺪرﻳﺲ( رﻳﺎﺿﻰ ﺳﺎل ﺳﻮم راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ؛ ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬وزارت‬ ‫آﻣﻮزش و ﭘﺮورش‪.١٣٨٤ ،‬‬ ‫‪ .٢‬ﻓﺮزان‪ ،‬ﻣﺴﻌﻮد؛ ﺑﺎﻫﻤﺖ ﺷﻴـﺮواﻧﻪ ده‪ ،‬ﺻﻔﺮ؛ دﻳﺒﺎﻳﻰ‪ ،‬ﻣﺤﻤﺪﺗﻘﻰ؛ ﻓـﺮﻫﻮدى ﻣﻘﺪم‪ ،‬ﭘﺮوﻳـﺰ‪.‬‬ ‫ﻛﺘـﺎب درﺳﻰ رﻳـﺎﺿـﻰ ﺳـﺎل ﺳـﻮم راﻫﻨﻤـﺎﻳـﻰ؛ ﺳـﺎزﻣﺎن ﭘـﮋوﻫﺶ و ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪ رﻳـﺰى آﻣـﻮزﺷـﻰ‪ ،‬وزارت‬ ‫آﻣﻮزش و ﭘﺮورش‪.١٣٨٤ ،‬‬ ‫‪3. Lake, Kathy, Integrated Curriculum; available at: http://‬‬ ‫‪www.nwrel.org/scpd.sirs/8/c016.html‬‬ ‫‪4. Berlin; Danna F. Integrated Mathematics for Middle School:‬‬ ‫‪Internatinal Impressions, available at: http://www.nctm.org/resources/‬‬ ‫‪content.aspx?id=1696.‬‬



‫‪5. Integrated Curriculum Guide; available at: http://‬‬ ‫‪www.archeworks.org/projects/tcsp/ic-guide.html.‬‬



‫ﭘﻴﻮﺳﺖ ‪ :١‬ﺑﺮﮔﻪى ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﮔﺮوﻫﻰ )ﺟﻠﺴﻪى اول(‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‪ :‬ﻫﻤﺮاه اﻳﻦ ﺑﺮﮔﻪ ﻫﺎ‪ ،‬ﭼﻨﺪ ﺑﺮگ ﻛﺎﻏﺬ ﺷﻄﺮﻧﺠﻰ در اﺧﺘﻴﺎر‬ ‫ﺷﻤﺎ ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔﻴﺮد‪ .‬در ﺻﻮرت ﻟﺰوم‪ ،‬از آن ﻫﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬ ‫ﺳﺎﻳـﺮ وﺳـﺎﻳـﻞ ﻻزم‪ :‬ﺧﻂ ﻛﺶ‪ ،‬ﻣﺎﺷـﻴـﻦ ﺣـﺴـﺎب‪ ،‬ﻣـﺪاد ﻳـﺎ‬ ‫ﺧﻮدﻛﺎر رﻧﮕﻰ‪.‬‬ ‫ﻫﺪف از اﻧﺠﺎم اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴـﺖ‪ ،‬ﺑـﺮﻗﺮار ﻛﺮدن ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ ﻣﻔﻬـﻮم‬ ‫ﺧﻂ راﺳﺖ در ﻫﻨﺪﺳﻪ‪ ،‬ﺑﺎ اﻋﺪاد و ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت در ﺣﺴﺎب اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ‪ ،‬ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎى ﻳﻚ ﺻﻔﺤﻪ )در ﻫﻨﺪﺳﻪ( و ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫)ﻳﻌﻨﻰ ﻳﻚ ﺟﻔﺖ ﻋﺪد در ﺣﺴﺎب(‪ ،‬ارﺗﺒﺎط ﺑﺮﻗﺮار ﻛﺮده اﻳﻢ‪.‬‬ ‫‪ (١‬ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ را )ﺑﺎدﻗﺖ(‪ ،‬در ﻳﻚ دﺳﺘﮕﺎه ﻣﺨﺘﺼﺎت رﺳﻢ‬ ‫ﻛﻨﻴﺪ‪:‬‬



‫‪5 ‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ −1‬‬ ‫‪ −1‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪ −2 1 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ −2 1 ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬



‫اﮔﺮ اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻫـﺎ را ﺑﻪ ﺗـﺮﺗﻴﺐ ﺑﻪ ﻫﻢ وﺻﻞ ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬آﻳﺎ ﻳـﻚ ﺧـﻂ‬ ‫راﺳﺖ ﺑﻪ وﺟﻮد ﻣﻰ آﻳﺪ ﻳﺎ ﻳﻚ ﺧﻂ ﺷﻜﺴﺘﻪ؟‬ ‫آﻳﺎ در اوﻟﻴﻦ ﻧﻘﻄﻪ‪ ،‬راﺑﻄﻪ اى ﻣﻴﺎن ﻣﺨﺘﺼﻪ ى اول و ﻣﺨﺘﺼﻪ ى‬ ‫دوم وﺟﻮد دارد؟‬ ‫آﻳﺎ اﻳﻦ راﺑﻄﻪ‪ ،‬در ﺗﻚ ﺗﻚ ﻧﻘﺎط دﻳﮕﺮ ﻧﻴﺰ ﻣﻴﺎن ﻣﺨﺘﺼﻪ ى اول‬ ‫و ﻣﺨﺘﺼﻪ ى دوم وﺟﻮد دارد؟‬ ‫اﮔﺮ ‪ ،x‬ﺑﻪ ﺟﺎى ﻣﺨﺘﺼﻪ ى اول و ‪ y‬ﺑﻪ ﺟﺎى ﻣﺨﺘﺼﻪ ى دوم اﻳﻦ‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻳﺎ ﻣـﻰ ﺗـﻮاﻧﻴﺪ راﺑﻄﻪ ى ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه ﺑـﺮاى ﻫﻤﻪ ى‬ ‫ﻧﻘﺎط در ﻗﺴﻤﺖ ﻗﺒﻞ ]در ﺻﻮرت وﺟﻮد[ را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ ﻋﺒﺎرت‬ ‫ﺟﺒﺮى ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ‪ x‬و ‪ ،y‬ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﺪ؟‬ ‫‪ (٢‬ﻫﻤﺎن ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎ را ﺑﺮاى اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎ‪ ،‬دوﺑﺎره ﭘﺎﺳﺦ دﻫﻴﺪ‪:‬‬ ‫‪ −2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪ −1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪− 2 ‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪ 3 ‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ 1‬‬ ‫‪ −1‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪ 3‬‬ ‫‪ −3 ‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪ (٣‬ﻫﻤﺎن ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎ را ﺑﺮاى اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎ‪ ،‬دوﺑﺎره ﭘﺎﺳﺦ دﻫﻴﺪ‪:‬‬ ‫‪٢١‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫‪ −1‬‬ ‫‪ −5‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪− 1 ‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ −1‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪1 ‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 1‬‬



‫‪ (٤‬ﻫﻤﺎن ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎ را ﺑﺮاى اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎ‪ ،‬دوﺑﺎره ﭘﺎﺳﺦ دﻫﻴﺪ‪:‬‬ ‫‪ −3 ‬‬ ‫‪ −6 ‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪− 1 ‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪− 1 ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ 1‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1 ‬‬



‫‪1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪2 ‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪ (٥‬ﻫﻤﺎن ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎ را ﺑﺮاى اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎ‪ ،‬دوﺑﺎره ﭘﺎﺳﺦ دﻫﻴﺪ‪:‬‬ ‫‪ −4‬‬ ‫‪ −2‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪ −2‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪ −1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪0 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪1 ‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪2 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪ 3‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪ (٦‬ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﺷﻤﺎ‪ ،‬آﻳﺎ در ﻫﺮﻳﻚ از ﻣﻮارد ﺑﺎﻻ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺴﺘﻴﻢ ﺑﺪون‬ ‫ﺗﺮﺳﻴﻢ ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎ‪ ،‬در ﻳﻚ دﺳﺘﮕﺎه ﻣﺨﺘﺼﺎت‪ ،‬و ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺎ اﺳﺘﻔـﺎده از‬ ‫ﻋﺒﺎرت ﻫﺎى ﺟﺒﺮى ﻛﻪ ﻳﺎﻓﺘﻪ اﻳﻦ‪ ،‬ﺑﻔﻬﻤﻴﻢ ﻛﻪ ﻧﻘﺎط ﻣـﻮرد ﻧﻈﺮ روى‬ ‫ﻳﻚ ﺧﻂ راﺳﺖ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻳﺎ ﻧﻪ؟‬ ‫‪ (٧‬اﮔﺮ ﭘﺎﺳﺦ ﺷﻤﺎ ﺑﻪ ﺳـﺆال ‪ ٦‬ﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ‪ ،‬ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ﺧﻮد را‬ ‫ﺑﺮاى ﻫﺮﻳﻚ از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﻘﺎط زﻳﺮ اﻣﺘﺤﺎن ﻛﻨﻴﺪ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ −1 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2 ,  ,  ,  ,   ‬‬ ‫‪  0  −3   −6  −9 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪  −2  −1‬‬ ‫‪  ,  ,‬‬ ‫‪ 6   3‬‬ ‫‪‬‬



‫‪  −2   −1  0  1 2  3  ‬‬ ‫‪  ,  ,  ,  ,  ,   ‬‬ ‫‪  −3   −2  −1 0 1  2  ‬‬



‫‪ ،٦‬درﺳﺖ ﺑﻮد؟ ﭼﺮا؟‬ ‫‪ (٩‬ﺑﺎ ﻣﺮور ﻣـﺮاﺣﻠﻰ ﻛﻪ ﻃﻰ ﺷﺪ‪ ،‬اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴـﺖ را ﺟﻤﻊ ﺑﻨـﺪى‬ ‫ﻛﻨﻴﺪ‪:‬‬ ‫ﭘﻴﻮﺳﺖ ‪ :٢‬ﺑﺮﮔﻪى ﺗﻜﻠﻴ‪ O‬ﮔﺮوﻫﻰ )ﺟﻠﺴﻪى ‪(١٠‬‬ ‫‪ .١‬داده ﻫﺎى ﺟﺪول ﻫﺎى زﻳﺮ‪ ،‬ﻣﺮﺑـﻮط ﺑﻪ دو آزﻣﺎﻳﺶ ﻫﺴﺘﻨـﺪ‬ ‫ﻛﻪ ﻫﻢ زﻣﺎن ﺻـﻮرت ﮔﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ‪ .‬در ﻫﺮ دو آزﻣﺎﻳﺶ‪ ،‬ﻣﺎﻳﻌـﻰ درون‬ ‫ﻛﺎﻟـﺮى ﻣﺘﺮ ﺑـﺎ ‪ heater‬ﮔﺮم ﺷﺪه اﺳﺖ و دﻣﺎى ﻣﺎﻳـﻊ‪ ،‬ﺑـﺎ ﮔـﺬﺷـﺖ‬ ‫زﻣﺎن‪ ،‬در ﻓـﻮاﺻﻞ زﻣﺎﻧﻰ ﻣﻌﻴﻦ‪ ،‬ﺛﺒﺖ ﺷـﺪه اﺳـﺖ‪ .‬از آن ﺟـﺎ ﻛـﻪ‬ ‫ﻣﺎﻳﻊ ﻫﺎى درون دو ﻛﺎﻟـﺮى ﻣﺘﺮ‪ ،‬ﻣﺘﻔﺎوت ﺑﻮده و دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ ﻫـﺎ در‬ ‫آﻏﺎز آزﻣﺎﻳﺶ ﻳﻜﺴﺎن ﻧﺒﻮده اﺳﺖ‪ ،‬داده ﻫﺎى دو آزﻣﺎﻳﺶ‪ ،‬ﻣﺘﻔﺎوت‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ اﻃﻼﻋﺎت‪ ،‬ﺑﻪ ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎى زﻳﺮ ﭘﺎﺳﺦ دﻫﻴﺪ‪:‬‬ ‫ـ در زﻣﺎن ‪ ١٥‬ﺛﺎﻧﻴﻪ‪ ،‬دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ دوم ﭼﻨﺪ درﺟﻪ ﺑﻮده اﺳﺖ؟‬ ‫ـ در ﭼﻪ زﻣﺎﻧﻰ دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ اول‪ ٥٥ ،‬درﺟﻪ ﺑﻮده اﺳﺖ؟‬ ‫ـ آﻳﺎ زﻣﺎﻧـﻰ وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﻛﻪ دﻣﺎى دو ﻣﺎﻳﻊ‪ ،‬در آن ﻟـﺤـﻈـﻪ از‬ ‫زﻣﺎن‪ ،‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﻮده ﺑﺎﺷﺪ؟ ﭼﺮا؟‬



‫)‪t(s‬‬



‫)‪T(oC‬‬



‫‪٠‬‬



‫‪٤٠/٠‬‬



‫‪٤‬‬



‫‪٤٣/٢‬‬



‫‪٨‬‬



‫‪٤٦/٤‬‬



‫‪١٢‬‬



‫‪٤٩/٨‬‬



‫‪١٦‬‬



‫‪٥٣/٠‬‬



‫‪٢٠‬‬



‫‪٥٦/٢‬‬ ‫‪٥٩/٤‬‬



‫‪ −1 0 +4 ‬‬ ‫‪ 1 ,  ,   ‬‬ ‫‪  0  2  ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪  −4  −2‬‬ ‫‪  ,  ,‬‬ ‫‪  −2  −1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪‬‬



‫‪  −2‬‬ ‫‪  ,‬‬ ‫‪ 4 ‬‬



‫‪٢٤‬‬



‫‪ (٨‬ﭼﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ اى از ﺳﺆال ‪ ٧‬ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻳﺪ؟ آﻳﺎ ﺣﺪس ﺷﻤﺎ در ﺳﺆال‬



‫‪٢٨‬‬



‫‪٦٢/٦‬‬



‫‪٣٢‬‬



‫‪٦٥/٨‬‬



‫‪٣٦‬‬



‫‪٦٩/٠‬‬



‫‪ 3 ‬‬ ‫‪9  ‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪2 ‬‬ ‫‪4,‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ −1‬‬ ‫‪ 1 ,‬‬ ‫‪ ‬‬



‫داده ﻫﺎى ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮات دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ اول‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫‪٢٢‬‬



‫)‪t(s‬‬



‫)‪T(oC‬‬



‫‪٠‬‬



‫‪٢٥/٠‬‬



‫‪٤‬‬



‫‪٣٠/٦‬‬



‫‪٨‬‬



‫‪٣٦/٢‬‬



‫‪١٢‬‬



‫‪٤١/٨‬‬



‫‪١٦‬‬



‫‪٤٧/٤‬‬



‫‪٢٠‬‬



‫‪٥٣/٠‬‬



‫‪٢٤‬‬



‫‪٥٨/٦‬‬



‫‪٢٨‬‬



‫‪٦٤/٢‬‬



‫‪٣٢‬‬



‫‪٦٩/٨‬‬



‫ﺗﻜـﻠـﻴـ‪ .٢ h‬داده ﻫـﺎى ﺟـﺪول ﻫﺎى زﻳﺮ ﻧـﻴـﺰ‪ ،‬ﻣـﺮﺑـﻮط ﺑـﻪ دو‬ ‫آزﻣﺎﻳﺶ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﻫﻢ زﻣﺎن ﺻﻮرت ﮔﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ‪ .‬در ﻫﺮ دو آزﻣﺎﻳﺶ‪،‬‬ ‫ﻣﺎﻳﻌﻰ درون ﻛﺎﻟﺮى ﻣﺘﺮ ﺑﺎ ‪ heater‬ﮔﺮم ﺷﺪه اﺳﺖ و دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ‪ ،‬ﺑﺎ‬ ‫ﮔﺬﺷﺖ زﻣﺎن‪ ،‬در ﻓﻮاﺻﻞ زﻣﺎﻧﻰ ﻣﻌﻴﻦ‪ ،‬ﺛﺒﺖ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﻪ اﻳﻦ اﻃﻼﻋﺎت‪ ،‬آﻳﺎ زﻣﺎﻧﻰ وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﻛﻪ دﻣﺎى دو ﻣﺎﻳﻊ‪ ،‬در آن‬ ‫ﻟﺤﻈﻪ از زﻣﺎن‪ ،‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﻮده ﺑﺎﺷﺪ؟ ﭼﺮا؟‬



‫‪٧٥/٤‬‬ ‫‪٣٦‬‬ ‫داده ﻫﺎى ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮات دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ دوم‬



‫ﭘﺲ از ﺟﻤﻊ ﺑﻨﺪى ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻓﻮق در ﻛﻼس‪ ،‬ﺗﻜﺎﻟﻴ‪ I‬زﻳﺮ را در‬ ‫ﮔﺮوه اﻧﺠﺎم دﻫﻴﺪ‪:‬‬ ‫ﺗﻜـﻠـﻴـ‪ .١ h‬داده ﻫـﺎى ﺟـﺪول ﻫﺎى زﻳﺮ ﻧـﻴـﺰ‪ ،‬ﻣـﺮﺑـﻮط ﺑـﻪ دو‬ ‫آزﻣﺎﻳﺶ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﻫﻢ زﻣﺎن ﺻﻮرت ﮔﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ‪ .‬در ﻫﺮ دو آزﻣﺎﻳﺶ‪،‬‬ ‫ﻣﺎﻳﻌﻰ درون ﻛﺎﻟـﺮى ﻣﺘﺮ ‪ heater‬ﮔﺮم ﺷﺪه اﺳﺖ و دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ‪ ،‬ﺑـﺎ‬ ‫ﮔﺬﺷﺖ زﻣﺎن‪ ،‬در ﻓﻮاﺻﻞ زﻣﺎﻧﻰ ﻣﻌﻴﻦ‪ ،‬ﺛﺒﺖ ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ اﻃﻼﻋﺎت‪ ،‬ﺑﻪ ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎى زﻳﺮ ﭘﺎﺳﺦ دﻫﻴﺪ‪:‬‬ ‫ـ در زﻣﺎن ‪ ١٠‬ﺛﺎﻧﻴﻪ‪ ،‬دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ دوم ﭼﻨﺪ درﺟﻪ ﺑﻮده اﺳﺖ؟‬ ‫ـ در ﭼﻪ زﻣﺎﻧﻰ دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ اول‪ ٦٥ ،‬درﺟﻪ ﺑﻮده اﺳﺖ؟‬ ‫ـ آﻳﺎ زﻣﺎﻧـﻰ وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﻛﻪ دﻣﺎى دو ﻣﺎﻳﻊ‪ ،‬در آن ﻟـﺤـﻈـﻪ از‬ ‫زﻣﺎن‪ ،‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﻮده ﺑﺎﺷﺪ؟ ﭼﺮا؟‬ ‫)‪t(s‬‬



‫)‪T(oC‬‬



‫‪٠‬‬



‫‪٤٠/٠‬‬



‫‪٤‬‬



‫‪٤٥/٦‬‬



‫‪٨‬‬



‫‪٥١/٢‬‬



‫‪١٢‬‬



‫‪٥٦/٨‬‬



‫‪١٦‬‬



‫‪٦٢/٤‬‬



‫‪٢٠‬‬



‫‪٦٨/٠‬‬



‫داده ﻫﺎى ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮات دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ اول‬



‫)‪t(s‬‬



‫)‪T(oC‬‬



‫‪٨‬‬



‫‪٥٣/٠‬‬



‫‪١٢‬‬



‫‪٥٧/٨‬‬



‫‪١٦‬‬



‫‪٦٢/٦‬‬



‫‪٢٠‬‬



‫‪٦٧/٤‬‬



‫‪٢٤‬‬



‫‪٧٢/٢‬‬



‫‪٢٨‬‬



‫‪٧٧/٠‬‬



‫‪٣٢‬‬



‫‪٨١/٨‬‬



‫داده ﻫﺎى ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮات دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ اول‬



‫)‪t(s‬‬



‫)‪T(oC‬‬



‫‪٨‬‬



‫‪٤٣/٢‬‬



‫‪١٢‬‬



‫‪٤٨/٠‬‬



‫‪١٦‬‬



‫‪٥٢/٨‬‬



‫‪٢٠‬‬



‫‪٥٧/٦‬‬



‫‪٢٤‬‬



‫‪٦٢/٤‬‬



‫)‪t(s‬‬



‫)‪T(oC‬‬



‫‪٢٨‬‬



‫‪٦٧/٢‬‬



‫‪٠‬‬



‫‪٢٥/٠‬‬



‫‪٣٢‬‬



‫‪٧٢/٠‬‬



‫‪٤‬‬



‫‪٢٨/٢‬‬



‫‪٨‬‬



‫‪٣١/٤٤‬‬



‫‪١٢‬‬



‫‪٣٤/٦‬‬



‫‪١٦‬‬



‫‪٣٧/٨‬‬



‫‪٢٠‬‬



‫‪٤١/٠‬‬



‫داده ﻫﺎى ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮات دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ دوم‬



‫داده ﻫﺎى ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮات دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ دوم‬



‫ﭘﻰﻧﻮﺷﺖ‬ ‫‪1. Interdependence‬‬ ‫‪2. Interconnectedness‬‬ ‫‪3. American Mathematical Society‬‬ ‫‪4. Correlation of Work‬‬



‫‪٢٣‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﺗﺎﺑﻊ‬



‫درك داﻧﺶآﻣﻮزان از ﻣﻔﻬﻮم اﺻﻠﻰ‬



‫ﺑﻰﺑﻰ زﻛﻴﻪ ﭘﺮﻫﻴﺰﮔﺎر‬ ‫ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫زﻫﺮا ﮔﻮﻳﺎ‬ ‫داﻧﺸﮕﺎه ﺷﻬﻴﺪ ﺑﻬﺸﺘﻰ‬



‫ﻣﻘﺪﻣﻪ‬ ‫دﻧﻴﺎ از ﻛﻬﻜﺸﺎن ﻫﺎ‪ ،‬ﻛﻮه ﻫﺎ‪ ،‬ﻣﺨﻠﻮﻗﺎت‪ ،‬ﻣﺎﺷﻴﻦ ﻫﺎ و ﭼﻴﺰﻫﺎﻳﻰ‬ ‫ﺳﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه ﻛﻪ ﻫﺮ ﻳﻚ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﻨﺤﺼﺮ ﺑﻪ ﻓﺮد ﻣﻰ آﻳﻨﺪ‪ .‬ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ‪،‬‬ ‫دﻧﻴﺎ ﻳﻚ اﻣﺮ آﺷﻮﺑﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ در آن‪ ،‬ﻫﻤﻪ ى آن ﭼﻴـﺰﻫﺎ ﺑﻪ راه ﻫﺎى‬ ‫ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن و اﻏﻠﺐ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺧﺸـﻮﻧﺖ ﺑﺎر اﻣﺎ ﮔﺎﻫﻰ ﻫﻢ ﺑﺴﻴﺎر ﻧﺎﻓـﺬ‪،‬‬ ‫در ﻛﺎر ﻫﻢ دﺧﺎﻟﺖ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬در ﭼﻨﻴﻦ اوﺿﺎﻋﻰ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ از رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﻣﻤﻨﻮن ﺑﻮد ﻛﻪ ﻣﺮدم را ﻗﺎدر ﺳﺎﺧﺘﻪ اﺳﺖ ﺗﺎ درﺑﺎره ى دﻧﻴﺎى اﺷﻴﺎء و‬ ‫رﺧﺪادﻫﺎ ﻓﻜﺮ ﻛﻨﻨﺪ و ﺑﺎ آن اﻓﻜﺎر‪ ،‬ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪ اى ﻛﻪ وﺣﺪت و ﻧﻈﻢ را‬ ‫آﺷﻜﺎر ﻣﻰ ﺳـﺎزد‪ ،‬ارﺗﺒﺎط ﺑـﺮﻗﺮار ﻛﻨﻨـﺪ )ﭘـﺮوژه ى ﻋﻠﻮم ﺑـﺮاى ﺗﻤﺎم‬ ‫آﻣﺮﻳﻜﺎﻳـﻰ ﻫـﺎ‪ ،١٩٩٧ ،‬ﺗـﺮﺟﻤﻪ ى ﮔﻮﻳـﺎ و ﻣـﺮﺗﺎﺿﻰ ﻣﻬـﺮﺑـﺎﻧـﻰ‪،‬‬ ‫‪ ،١٣٨٣‬ص ‪.(٤‬‬ ‫اﻳﻦ ﭘﺮوژه در اداﻣﻪ‪ ،‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻫﺪف ﻫﺎى ﺳﻮادآﻣﻮزى ﻋﻤﻮﻣﻰ‬ ‫ﻋﻠﻮم‪ ،‬ﺗﺄﻛﻴﺪ ﻛﺮده اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺮاى داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﻬﻢ اﺳﺖ ﻛﻪ‬ ‫‪ (١‬ﺑﻔﻬﻤﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ ﭼﻪ ﻣﻌﻨﺎ‪ ،‬رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ى اﻟﮕﻮﻫﺎ و رواﺑﻂ‬ ‫اﺳﺖ؛‬ ‫‪ (٢‬ﺑﺎ ﺑﻌﻀﻰ از آن اﻟﮕﻮﻫﺎ و رواﺑﻂ آﺷﻨﺎ ﺷﻮﻧﺪ؛‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫‪٢٤‬‬



‫‪ (٣‬ﻳﺎد ﺑﮕﻴﺮﻧﺪ ﻛﻪ از آن ﻫﺎ در زﻧﺪﮔﻰ روزاﻧﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻳﻚ راﺑﻄﻪ‪ ،‬ﻋﺒﺎرﺗﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ دو ﺷﻰء ﻳﺎ‬ ‫ﺑﻴﺶ ﺗﺮ را ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﺪ و ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠﻔﻰ ﺑﻪ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﮔﺬاﺷﺘﻪ‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد‪ ،‬ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺟﺪول و ﻧﻤﻮدار و ﺗﺼﻮﻳﺮ‪ .‬اﻟﮕﻮﻫﺎ ﻧﻴﺰ اﻳﻦ راﺑﻄﻪ ﻫﺎ‬ ‫را ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬راﺑﻄﻪ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ از ﺗﻐﻴﻴﺮ اﺷﻴﺎء ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫اﻣﺎ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻜﻰ از ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ اﺳﺎﺳﻰ رﻳﺎﺿﻴﺎت‪ ،‬ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ‬ ‫اﻳﻦ اﻣﺮ را ﻛﻪ رﻳﺎﺿﻰ ﻋﻠﻢ اﻟﮕﻮﻫﺎ و رواﺑﻂ اﺳﺖ ﺗﻮﺟﻴﻪ ﻛﻨﺪ‪ ،‬ﭼﺮا‬ ‫ﻛﻪ ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﺧﻮد ﻳﻚ راﺑﻄﻪ اﺳﺖ و اﻟﮕﻮﻳﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺴﻴﺎرى از رواﺑﻂ‬ ‫ﭘﻴﭽﻴﺪه ى ﭘﺪﻳﺪه ﻫﺎى ﺟﻬﺎن واﻗﻌﻰ را روﺷﻦ ﻣﻰ ﺳﺎزد‪.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪ ،‬درك ﺻﺤﻴﺢ و ﻫﻤﻪ ﺟﺎﻧﺒﻪ ى داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ در ﺟﻬﺖ ﺗﺤﻘﻖ اﻫﺪاف ﺳﻮادآﻣﻮزى ﻋﻠﻮم‪ ،‬ﺑﺴﻴﺎر‬ ‫ﻣﻬﻢ و اﺳﺎﺳﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﻛﻠﻴﺪ واژه‪C‬ﻫﺎ‪ :‬ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬درك‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﻓﺮﻫﻮم‪.‬‬



‫اﺳﺘﻔﺎده از ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰﻫﺎى ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ در ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳﺎﺿﻰ و ﺑﻪوﻳﮋه ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﻳﻌﻨﻰ اﺗﺼﺎل‪ ،‬ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ و ﺗﺒﺪﻳﻞ‬ ‫از ﻳﻚ ﺣﺎﻟﺖ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ دﻳﮕﺮ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﺑﻪ داﻧﺶآﻣﻮزان ﻛﻤﻚ ﻣﻰﻛﻨﺪ ﺗﺎ ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ ﻣﻬﺎرتﻫﺎى ﻧﻤﺎﻳﺶ و ﺗﺸﺨﻴﺺ‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ر ا در ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ O‬ﻛﺴﺐ ﻛﻨﻨﺪ و ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻴﻦ آنﻫﺎ‪ ،‬اﺗﺼﺎل و ارﺗﺒﺎط ﺑﺮﻗﺮار ﻧﻤﺎﻳﻨﺪ‬



‫داﻧﺶآﻣﻮزان و ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﻣﻔﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﻳﻜﻰ از اﺳﺎﺳﻰ ﺗﺮﻳﻦ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳـﺎﺿـﻰ اﺳـﺖ ﻛـﻪ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴـﺮﻧﺪه ﻫﺎ از دوران اﺑﺘﺪاﻳﻰ ﺗﺎ داﻧﺸﮕﺎه‪ ،‬ﺑﺎ آن ﺳـﺮوﻛـﺎر دارﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﻻ ﺑﺎ ﻳﻚ ﺗﻌـﺮﻳـ‪I‬‬ ‫آﻣﻮزش اﻳﻦ ﻣﻔﻬـﻮم ﻧﻴﺰ در ﺗﻤﺎم ﺳـﻄـﻮح‪ ،‬ﻣﻌﻤﻮ ً‬ ‫رﺳﻤﻰ آﻏـﺎز ﻣـﻰ ﺷـﻮد و ﺳﭙـﺲ‪ ،‬ﺑـﺮاى ﺑﻬﺘﺮ ﻓﻬـﻤـﻴـﺪن آن ﺗـﻮﺳـﻂ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ ،‬ﻣﺜﺎل ﻫﺎﻳﻰ ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬اراﺋﻪ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‬ ‫ﻛﻪ از آن ﺟﻤﻠﻪ‪ ،‬ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﻪ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺗﺼﻮﻳﺮى ﻣﺎﻧﻨﺪ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﻤﻮدار‬ ‫ون‪ ،‬ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﺟﺪول ﻣﻘﺎدﻳﺮ‪ ،‬ﻧﻤﻮدار ﻣﺨﺘﺼﺎﺗﻰ و ﻓﺮﻣﻮل اﺷﺎره‬ ‫ﻛﺮد ﻛﻪ ﻫﺮ ﻛﺪام از اﻳـﻦ ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎ‪ ،‬وﻳـﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﺧﺎص ﺧـﻮد را‬ ‫دارﻧﺪ و ﺑﺮاى درك ﻋﻤﻴﻖ ﺗﺮ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﺗﻮﺳﻂ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ ﻛﺎر‬ ‫ﻣﻰ روﻧﺪ‪ .‬اﺳﺘﻔﺎده از ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ ﺑﺮاى ﻳﻚ اﻳﺪه ى ﻣﺸﺎﺑﻪ‬ ‫و اﻧﺘﻘﺎل از ﻳﻚ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﺑﻪ درك ﻋﻤﻴﻖ ﺗﺮ ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫ﻛﻤﻚ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ ،‬ﭼﻮن زﻣﺎﻧﻰ ﻣﻰ ﺗﻮان ﻣﻄﻤﺌﻦ ﺷﺪ داﻧﺶ آﻣﻮز ﻣﻌﻨﺎى‬ ‫واﻗـﻌـﻰ راﺑـﻄـﻪ اى را درك ﻛـﺮده اﺳﺖ ﻛـﻪ ﺑـﺘـﻮاﻧـﺪ آن راﺑـﻄـﻪ را در‬ ‫ﺟﺪول ﻫﺎ‪ ،‬ﻧﻤﻮدارﻫﺎ‪ ،‬ﻧﻤﺎدﻫﺎ و ﻛﻠﻤﺎت ﻧﺸﺎن دﻫﺪ )ﭘﺮوژه ى ﻋﻠﻮم‬ ‫ﺑـﺮاى ﺗﻤﺎم آﻣﺮﻳﻜـﺎﻳـﻰ ﻫـﺎ‪ ،١٩٩٧ ،‬ﺗـﺮﺟﻤﻪ ى ﮔـﻮﻳـﺎ و ﻣـﺮﺗﺎﺿـﻰ‬ ‫ﻣﻬﺮﺑﺎﻧﻰ‪ ،١٣٨٣ ،‬ص ‪ .(٤‬از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎى ﺗﺤﻘﻴﻘـﻰ‬ ‫ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﻨﺪ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان در دﻳﺪن ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى‬ ‫ﭼﻨﺪﮔـﺎﻧـﻪ‪ ،‬ﻧـﺎﺗـﻮان ﻫﺴﺘـﻨـﺪ )ﻛـﺎرﻟﺴـﻮن‪ .(١٩٩٩ ،‬ﻫﻢ ﭼﻨـﻴـﻦ‪،‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪه اى ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺮاى ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ رود‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬رﺳﻤﻰ اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم ـ ﺣﺘﻰ ﺑﺮاى داﻧﺶ آﻣﻮزاﻧﻰ ﻛﻪ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ‬ ‫اﻳﻦ ﺗﻌـﺮﻳـ‪ I‬را ﺑﻪ ﻛـﺎر ﺑـﺮﻧﺪ ـ ﻣﺘـﻔـﺎوت اﺳﺖ )ﻣﺪﻗـﺎﻟـﭽـﻰ‪ ٨٠ ،‬ـ‬ ‫‪ ،١٣٧٩‬ص ‪ ٢٤‬ﺑﻪ ﻧﻘﻞ از وﻳﻨﺮ و درﻳﻔﻮس‪ .(١٩٨٩ ،‬اﻳﻦ ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎ‬ ‫ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﻨﺪ ﻛﻪ آ ﮔﺎﻫﻰ از ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ و ﻣﺸﻜﻼﺗﻰ ﻛﻪ ﺣﻴﻦ اﺳﺘﻔﺎده از ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ ﺑﺮاى‬ ‫ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى ﺗﺎﺑـﻊ ﺑـﻪ



وﺟﻮد ﻣﻰ آﻳﺪ‪ ،‬ﺣﺎﺋـﺰ اﻫـﻤـﻴـﺖ زﻳـﺎدى اﺳـﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﺧﺼﻮص ﺑﺎ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻛﺎرﺑﺮدﻫﺎى وﺳﻴﻌﻰ ﻛﻪ ﺗﺎﺑـﻊ در زﻣﻴﻨﻪ ﻫـﺎى‬ ‫ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬رﻳﺎﺿﻰ دارد‪ ،‬اﻧﺠﺎم ﺗﺤﻘﻴﻘﺎﺗﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻗﺼﺪ ﺑﻬﺒﻮد آﻣﻮزش‬ ‫اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم اﻧﺠﺎم ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﺿﺮورى اﻧﺪ‪.‬‬



‫اﻫﻤﻴﺖ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪرﻳﺰى درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺪرﺳﻪاى‬



‫ﻳﻜﻰ از اوﻟﻴﻦ ﻛﺴﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺑﺮ اﻫﻤﻴﺖ و ﻧﻘﺶ اﺳﺎﺳﻰ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫در ﻛﻞ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺗﺄﻛﻴﺪ زﻳﺎدى داﺷﺖ‪ ،‬ﻓﻠﻴﻜـﺲ‬ ‫ﻛـﻼﻳـﻦ ﺑـﻮد )ﻫـﻤـﻠـﻰ‪ .(١٩٣٤ ، ١‬وى در ﺳـﺎل ‪ ١٨٩٣‬در ﻳـﻚ‬ ‫ﺳﺨﻨـﺮاﻧﻰ ﻗﺒـﻞ از ﺷـﺮوع ﻛﻨﮕـﺮه ى ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻠﻠﻰ رﻳـﺎﺿـﻴـﺎت ﻛـﻪ در‬ ‫ﺷﻴﻜﺎﮔﻮ ﺑـﺮﮔـﺰار ﺷﺪ‪ ،‬ﺗﻮﺟﻪ ﺗﻤﺎم ﻣﻌﻠﻤـﺎن رﻳـﺎﺿـﻰ را ﺑﻪ اﻫﻤﻴـﺖ‬ ‫اﺳﺎﺳﻰ آن ﭼﻪ ﻛﻪ او آن را »ﺗﻔﻜﺮ ﺗﺎﺑﻌﻰ« ﻧﺎﻣﻴﺪه ﺑـﻮد‪ ،‬ﺟﻠﺐ ﻛـﺮد‪.‬‬ ‫ﻛﻼﻳﻦ ﺑﺎرﻫﺎ در ﻛﻨﻔﺮاﻧﺲ ﻫﺎى ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻠﻠﻰ اﻇﻬﺎر داﺷﺖ ﻛﻪ »ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ« ﺑﺎﻳﺪ ﻳﻚ ﻣﻔﻬـﻮم ﻣﺤـﻮرى در آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﺎﺷـﺪ‪ .‬وى‬ ‫ﻣﺠﺪداً در اراﺋﻪ ى ﮔﺰارﺷﻰ ﺑﻪ ﻛﻨﮕﺮه ى ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻠﻠﻰ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻛﻪ در‬ ‫ﺳﺎل ‪ ١٩٠٨‬در رم ﺑﺮﮔﺰار ﺷﺪ‪ ،‬دوﺑـﺎره ﺑﺮ روى ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﺗﺄﻛﻴـﺪ‬ ‫ﻛﺮده و اﻋﻼم ﻧﻤﻮد ﻛﻪ »ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﻣﻌﻠﻤﺎن ﺑﺎﻳﺪ اﻳﻦ ﻣﻔﻬـﻮم را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان‬ ‫ﻳﻚ روش رﻳﺎﺿﻰ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻧﺪ‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ ﺑﺎﻳﺪ آن را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻗﻠﺐ و‬ ‫روح آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ ﺷﻤـﺎر آورﻧﺪ‪ .‬وى در اداﻣﻪ اﻇﻬﺎر داﺷـﺖ‬ ‫ﻛﻪ »اﻳﻦ اﻋﺘﻘﺎد ﻣﻦ اﺳﺖ« ﻛﻪ ﻣـﻔـﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ روح ﻣﻄﺎﻟﻌـﻪ ى‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت در ﻣـﺪارس ﺑﺎﺷﺪ« )ﻧﻘﻞ ﺷﺪه در ﻫﻤـﻠـﻰ ‪ ،١٩٣٤‬ص‬ ‫‪١٧٠‬ـ‪.(١٦٩‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى ﻫﺪرﻳﻚ )‪ ،(١٩٣٨‬ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ در ﻣﺮاﺣﻞ اﺑﺘﺪاﻳﻰ‪،‬‬ ‫ﺑﺎ اﻳﺪه ى ﺗﻨﺎﻇﺮ ﻣﺘﻐﻴـﺮﻫﺎ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻣﻰ ﺷـﻮد‪ .‬وى ﺗﻮﺿﻴﺢ ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ‬ ‫ﻣﺜﻼ در ﻣﺒﺤﺚ اﺛﺮ ﻣﻘﺎوﻣﺖ ﻫﻮا ﺑﺮ ﺣﺮﻛﺖ ﻳﻚ اﺗﻮﻣﺒﻴﻞ‪ ،‬ﻫﻨﮕﺎﻣﻰ‬ ‫ً‬ ‫ﻛﻪ ﻣﻰ ﮔﻮﻳﻴﻢ ﻣﻘﺎوﻣﺖ ﺑﻪ ﺳﺮﻋﺖ ﺑﺴﺘﮕﻰ دارد‪ ،‬ﺗﻔﻜﺮ ﺗﺎﺑﻌﻰ ﻇﺎﻫﺮ‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﺮاى ﺗﻔﻜﺮ ﺗﺎﺑﻌﻰ‪ ،‬اﻟﺰاﻣﺎً ﻧﻴﺎز ﺑﻪ داﺷﺘﻦ ﻳﻚ ﻓﺮﻣﻮل دﻗﻴﻖ‬ ‫ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬ﻫـﺮﮔﻮﻧﻪ ﻣﺸﺎﻫﺪه اى ﻣﺎﻧﻨﺪ اﻳﻦ ﻛـﻪ اﻓـﺰاﻳﺶ ﺳﺮﻋﺖ ﺑﺎﻋـﺚ‬ ‫اﻓﺰاﻳﺶ ﻣﻘﺎوﻣﺖ ﻣﻰ ﺷﻮد‪ ،‬در ﺣﻮزه ى ﺗﻔﻜﺮ ﺗﺎﺑﻌﻰ ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔﻴﺮد‪.‬‬ ‫ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ‪ ،‬ﻫﺪرﻳﻚ اﻇﻬﺎر ﻣﻰ دارد ﻛﻪ ﺗﺤﻘﻴﻖ درﺑﺎره ى داده ﻫﺎى‬ ‫ﺗﺠﺮﺑﻰ ﻧﻴﺰ‪ ،‬ﻳﻜﻰ دﻳﮕﺮ از ﻣﺮاﺣﻞ ﺗﻔﻜﺮ ﺗﺎﺑﻌﻰ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺜﻼً ﺑﺮرﺳﻰ‬ ‫اﻃﻼﻋﺎت آﻣﺎرى ﻛﻪ ﺑﺮاى ﻣﻘﺎوﻣﺖ در ﺳﺮﻋﺖ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬ﺑﻪ دﺳﺖ‬ ‫ﻣﻰ آﻳﺪ و ﻛﺸـﻴـﺪن ﻧـﻤـﻮدارى ﻛﻪ اﻃﻼﻋﺎت ﺻـﺮﻳـﺢ ﺗـﺮى درﺑﺎره ى‬ ‫ﻣﺎﻫـﻴـﺖ راﺑﻄـﻪ اراﺋﻪ ﻣﻰ دﻫﺪ ﻧﻴﺰ ﺟﺰو ﺗـﻔـﻜـﺮ ﺗـﺎﺑـﻌـﻰ ﻣـﺤـﺴـﻮب‬ ‫‪٢٥‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬وى در اداﻣﻪ‪،‬ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ ﺣﺘﻰ در ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ اى از‬ ‫ﺣﺴﺎب اﺑﺘﺪاﻳﻰ‪ ،‬ﺗﻔﻜﺮ ﺗﺎﺑﻌﻰ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻇﺎﻫﺮ ﺷﻮد؛ ﻣﺜﻞ وﻗﺘﻰ‬ ‫ﻛﻪ ﺑﺎ داﻧﺴﺘﻦ ﻗﻴﻤﺖ ﻳﻚ واﺣﺪ از ﻫﺮ ﺷﻰء‪ ،‬ﻗﻴﻤﺖ ﭼﻨﺪ واﺣﺪ دﻳﮕﺮ‬ ‫را ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻰ آورﻳﻢ ﻛﻪ ﺑﺎ ﭼﻨﻴﻦ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻰ‪ ،‬اﻳﺪه ى راﺑﻄﻪ ى ﺑﻴـﻦ‬ ‫ﻣﺘﻐﻴﺮﻫﺎ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ذﻫﻦ داﻧﺶ آﻣﻮز ﺧﻄﻮر ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ‪،‬‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ و ﺗﻔﻜﺮ ﺗﺎﺑﻌﻰ در ﺗﻤﺎم ﺣﻮزه ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺟﺒﺮ‪،‬‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﻪ‪ ،‬ﺣﺴﺎﺑﺎن‪ ،‬ﻣﺜﻠﺜﺎت و رﻳﺎﺿﻴﺎت ﭘﻴﺸﺮﻓﺘﻪ ﻇﺎﻫﺮ ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ‬ ‫ﻫﻤﻪ ى آن ﻫﺎ‪ ،‬ﻧﻴﺎزﻣﻨﺪ درك ﺻﺤﻴﺤﻰ از ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻰ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪ ،‬ﺑﺎ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ در ﻛﻞ رﻳﺎﺿﻴﺎت ـ از اوﻟﻴﻦ ﮔﺎم ﻫﺎ در‬ ‫ﺣﺴﺎب اﺑﺘﺪاﻳﻰ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺗﺎ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﭘﻴﺸﺮﻓﺘﻪ در ﺳﻄﺢ داﻧﺸﮕﺎﻫﻰ‪،‬‬ ‫ﺳﺮوﻛﺎر دارﻳﻢ زﻳـﺮا ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى ﻫﺪرﻳـﻚ )‪ ،(١٩٣٨‬ﻣﻔﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ‪،‬‬ ‫ﻣﻮﺿﻮﻋﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺴﺘﻌﺪ ﻫﻤﺎﻫﻨﮓ ﻛﺮدن ﻛﻞ رﻳﺎﺿﻴﺎت اﺳـﺖ و‬ ‫رﻳﺎﺿﻴـﺎت را ﺑـﺎ زﻧﺪﮔﻰ و ﻋﻠﻢ ﺗﻠﻔﻴﻖ ﻣﻰ ﻛﻨـﺪ‪ .‬در ﺗـﺄﻳـﻴـﺪ ﭼـﻨـﻴـﻦ‬ ‫دﻳﺪﮔﺎﻫﻰ‪ ،‬آﻛﻮك و ﺗﺎل )‪ (٢٠٠٦‬ﺑﻪ ﻧﻘﻞ از اﺳﺘﺎﻧﺪاردﻫﺎى ﺷﻮراى‬ ‫ﻣﻠﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ )‪ (١٩٨٩) (NC TM‬ﺑﻴﺎن ﻣﻰ دارﻧﺪ‪:‬‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﻳﻚ اﻳﺪه ى ﻫﻤﺎﻫﻨﮓ ﻛﻨـﻨـﺪه‪ ٣‬و ﻣﻬﻢ در رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻮاﺑﻊ ﻛﻪ ﺗﻨـﺎﻇـﺮﻫﺎى ﺧﺎصِ ﺑﻴﻦ دو ﻣﺠﻤـﻮﻋﻪ ﻫﺴﺘﻨـﺪ‪،‬در‬ ‫ﺳﺮاﺳﺮ ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﻣﺸﺘـﺮك اﻧﺪ‪ .‬در ﺣﺴﺎب‪ ،‬ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺎت ﻣﻔﻴﺪ ﺑﺮ روى اﻋﺪاد ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺷﺪن ﻳﻚ ﺟﻔﺖ ﻋﺪد ﺑﻪ‬ ‫ﻳﻚ ﻋﺪد ﺧﺎص و ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺟﻤﻊ دو ﻋﺪد ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﻰ رﺳﻨﺪ؛ در ﺟﺒﺮ‪،‬‬ ‫ﺗﻮاﺑﻊ رواﺑﻄﻰ ﺑﻴﻦ ﻣﺘﻐﻴـﺮﻫﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ اﻋـﺪاد را اراﺋﻪ ﻣﻰ دﻫﻨﺪ؛ در‬ ‫ﻫﻨﺪﺳـﻪ‪ ،‬ﺗـﻮاﺑﻊ ﻣـﺠـﻤـﻮﻋﻪ اى از ﻧـﻘـﺎط را ﺑﻪ ﺗﺼـﻮﻳـﺮﺷﺎن ﺗـﺤـﺖ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ ﻫﺎﻳﻰ ﻣﺎﻧـﻨـﺪ ﺑـﺮﮔﺮداﻧﺪن ﻫـﺎ‪ ،٤‬ﺳﺮﻳﺪن ﻫـﺎ‪ ٥‬و ﭼـﺮﺧﺶ ﻫﺎ‪،‬‬ ‫ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ؛ و در اﺣﺘﻤﺎل‪ ،‬ﺗﻮاﺑﻊ‪ ،‬ﭘﻴﺸﺎﻣﺪﻫﺎ را ﺑﻪ اﺣﺘﻤﺎﻻت‬ ‫آن ﻫﺎ ﻣﺮﺑﻮط ﻣﻰ ﺳﺎزﻧﺪ‪ .‬ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ‪ ،‬اﻫﻤﻴﺖ دﻳﮕﺮ ﺗﺎﺑﻊ اﻳﻦ اﺳـﺖ‬ ‫ﻛﻪ ﺗﺎﺑـﻊ‪ ،‬راﺑﻄﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺘـﺸـﻜـﻞ از ﻣـﻮﻗﻌﻴـﺖ ﻫـﺎى ورودى و‬ ‫ﺧﺮوﺟﻰ ﺟﻬﺎن واﻗﻌﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ‪ ،‬ﻛـﺎرﻟﺴﻮن )‪ (١٩٩٩‬ﻣﻌﺘﻘﺪ اﺳﺖ ﻛﻪ داﺷـﺘـﻦ درك‬ ‫ﺑﺎﻻ و ﻗﻮى از ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﺑﺮاى ﻫﺮ داﻧﺶ آﻣﻮزى ﺿﺮورى اﺳﺖ ﺗﺎ‬ ‫ﺑﺘﻮان اﻣﻴﺪوار ﺑﻮد ﻛﻪ وى‪ ،‬ﺣﺴﺎﺑـﺎن را درك ﻛﻨﺪ‪ .‬از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ‪،‬‬ ‫ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى ﺳﺎﺟﻜﺎ )‪ ،(٢٠٠٣‬ﺗﺎﺑﻊ ﻳﻜﻰ از ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ اﺳﺎﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫اﺳﺖ ﻛﻪ در ﮔﻮﻧﺎﮔﻮﻧﻰ ﺗﻔﺴﻴﺮﻫﺎ و ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎﻳﺶ ﺷﮕﻔﺖ آور اﺳﺖ‬ ‫و ﺗﻮﺟـﻪ و زﻣﺎن زﻳﺎدى در ﻓﺮآﻳﻨﺪﻫﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ﺑـﺮ روى آن ﺻﺮف‬ ‫ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ اﻳﻦ ﺣﺎل‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻢ ﭼﻨﺎن ﻣﻔﻬﻮﻣﻰ ﭘﻴﭽﻴﺪه و ﻣﺸﻜﻞ‬ ‫ﺑﺎﻗﻰ ﻣﺎﻧﺪه اﺳـﺖ‪ ،‬زﻳـﺮا ﺑﺎ وﺟﻮدى ﻛـﻪ دوﮔﺎﻧﮕﻰ ﻓـﺮآﻳﻨﺪ ـ ﺷـﻰء و‬ ‫ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ ،I‬ﻇـﺮاﻓﺖ و ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻰ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ را ﻧﺸﺎن‬ ‫ﻣﻰ دﻫﺪ‪ ،‬داﻧﺶ آﻣﻮزان اﻏﻠﺐ ﺑﺮ اﻳﺪه ﻫﺎى ﺷﻬﻮدى و ﻏﻴﺮﻣﺘﻔﻜﺮاﻧﻪ‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫‪٢٦‬‬



‫از رواﺑﻂ ﺗﺎﺑﻌﻰ ﻣﺘﻜﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺒﺐ و ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﻛﻪ دﻳﻮﻳﺲ‬ ‫و ﻣﻚ ﮔـﺎن )‪ ،(٢٠٠٢‬ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻛـﺮده اﻧﺪ‪ ،‬ﻣﻔﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﻃـﻴـ‪I‬‬ ‫وﺳﻴﻌﻰ از ﻧﻤﺎدﻫﺎﻳﺶ ﺑﺎ ﺑﺪﻓﻬﻤﻰ ﻫﺎى ﮔﺴﺘﺮده اى ﻫﻤﺮاه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻫﻤﻴﺖ ﻗﺎﺑﻞ ﻣﻼﺣﻈﻪ اى ﻛﻪ ﺗﺎﺑﻊ در رﻳﺎﺿﻰ و ﺣﺘﻰ‬ ‫ﺳﺎﻳﺮ ﻋﻠﻮم دارد‪ ،‬ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﻰ رﺳﺪ ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﺑﺮ روى آﻣﻮزش و درك‬ ‫اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم ﺿﺮورى اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ وﻳﮋه اﻳﻦ ﻛﻪ ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﻨﺪ‬ ‫درك ﻣـﻔـﻬـﻮم ﺗـﺎﺑـﻊ ﺑـﺮاى داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﺳـﺨـﺖ اﺳـﺖ و ﺣـﺘــﻰ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزاﻧﻰ ﻛﻪ ﻧﻤﺮه ﻫﺎى ﺑﺎﻻﻳﻰ در ﺣﺴﺎﺑﺎن دارﻧﺪ‪ ،‬درك ﺿﻌﻴﻔﻰ‬ ‫از اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم دارﻧﺪ )ﺑﺮدﻧﺒﺎخ‪ ،٦‬دوﺑﻴﻨﺴﻜﻰ‪ ،‬ﻫـﺎوس‪ ٧‬و ﻧﻴﻜﻮﻟﺰ‪، ٨‬‬ ‫‪١٩٩٢‬؛ ﻛﺎرﻟﺴﻮن‪.(١٩٩٩ ، ٩‬‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻳﻚ ﭘﮋوﻫﺶ‬ ‫ﺑﺎ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﻘﺶ و اﻫﻤﻴﺖ ﺗﺎﺑﻊ در رﻳﺎﺿﻰ و ﻣﺸـﻜـﻼﺗـﻰ ﻛـﻪ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان در ﻳﺎدﮔﻴـﺮى اﻳﻦ ﻣﻔﻬـﻮم ﻣﺤﻮرى دارﻧﺪ‪ ،‬ﺗﺤﻘﻴﻘﻰ ﺑـﺎ‬ ‫ﺗﺒﻴﻴﻦ اﻫﺪاف زﻳﺮ ﻃﺮاﺣﻰ ﺷﺪ‪:‬‬ ‫‪ (١‬ﺷـﻨـﺎﺧـﺖ دﺷــﻮارى ﻫـﺎ و ﭘـﻴـﭽـﻴـﺪﮔـﻰ ﻫـﺎى اﺣـﺘـﻤـﺎﻟــﻰ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان در ﺑﺮﺧﻮرد ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ ى ﺗﺎﺑﻊ؛‬ ‫‪ (٢‬ﺑﺮرﺳﻰ ﺗﺼﻮرات داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ؛‬ ‫‪ (٣‬ﺑﺮرﺳﻰ ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ اﺳﺘﻔﺎده ى داﻧﺶ آﻣـﻮزان از وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاى ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪.I‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻫﺪاف ﺑﺎﻻ‪ ،‬ﻳﻜﻰ از ﺳﺆال ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ در اﻳﻦ ﭘﮋوﻫﺶ‬ ‫ﻃﺮاﺣﻰ ﺷﺪ‪ ،‬ﭼﻨﻴﻦ ﺑﻮد‪:‬‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان در ﺑﺮﺧﻮرد ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﭼﮕﻮﻧﻪ‬ ‫از ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ؟‬ ‫ﭼﺎرﭼﻮب ﻧﻈﺮى اﻳﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ‪ ،‬ﺑﺮاﺳﺎس دﻳﺪﮔﺎه ﺗﺎﻣﺴﻮن از ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫اﺻﻠﻰ ﺗﺎﺑﻊ ﺷﻜﻞ ﮔﺮﻓﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﺎﻣﺴﻮن )‪ (١٩٩٤‬اﻇﻬﺎر ﻣﻰ دارد ﻛﻪ ﻣﻔﻬﻮم اﺻﻠﻰ ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﺗﻨﻬـﺎ‬ ‫از ﻃﺮﻳﻖ اراﺋﻪ ى ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ ﺣﺎﺻﻞ ﻧﻤﻰ ﺷﻮد ﺑﻠﻜﻪ ﻻزم‬ ‫اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺟﺎى ﺗﻤﺮﻛﺰ ﺑﺮ اﻳﻦ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺠﺮد‪ ،‬اﺑﺘﺪا ﻳﻚ ﺣﺲ‬ ‫ذﻫﻨﻰ ﻏﻴﺮﻣﺘﺰﻟﺰل در داﻧﺶ آﻣﻮزان اﻳﺠﺎد ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﻫﻢ ﭼﻨﻴـﻦ‪ ،‬آﻛـﻮك و ﺗﺎل )‪ ،(٢٠٠٣‬ﺑﺎ اﺳﺘﻨﺎد ﺑﻪ ﻳـﺎﻓـﺘـﻪ ﻫـﺎى‬ ‫ﺗﺎﻣﺴـﻮن ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ ﺿـﺮورى اﺳﺖ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﻫﻨﮕﺎم‬ ‫ﻛﺎر ﻛﺮدن ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬اﻳﺪه ﻫﺎى ﻧﻬﻔﺘﻪ در آن ﻫﺎ‬ ‫را درك ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬در ﻏﻴﺮ اﻳـﻦ ﺻـﻮرت ﺑﺮاى داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ ،‬ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳـﻰ‬ ‫ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﻪ ﻣﻮﺿﻮﻋﻰ ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﻳﺎد ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻣﻌﻠﻤـﺎن‪ ،‬ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰان درﺳﻰ و ﻣـﺆﻟﻔﺎن ﻛﺘﺎب ﻫﺎى رﻳـﺎﺿـﻰ‬ ‫ﻣﺨﺎﻃﺒﺎن اﺻﻠﻰ اﻳﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ از‬



‫ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه در اﻳﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ ﺑـﺮاى ارﺗﻘﺎى ﻛﻴﻔﻴﺖ ﺗﺪرﻳﺲ و‬ ‫ﺑﻬﺒﻮد ﻳﺎدﮔﻴـﺮى داﻧﺶ آﻣﻮزان اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰان درﺳﻰ و‬ ‫ﻣﺆﻟﻔﺎن ﻛﺘﺎب ﻫـﺎى درﺳﻰ ﻧﻴﺰ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﺎ ﺑﻬـﺮه ﮔﻴﺮى از ﻧﺘﺎﻳﺞ اﻳﻦ‬ ‫ﺗﺤﻘﻴﻖ‪ ،‬ﻫﻢ در اﻧﺘﺨﺎب ﻣﺤﺘﻮاى ﻛﺘﺎب ﻫﺎى درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰ و ﻫﻢ‬ ‫در ﺳﺎزﻣﺎن ﻫﺎى ﺗﺄﻟﻴ‪ ،I‬از ﺑـﻪ ﻛـﺎرﮔﻴﺮى آن ﭼﻪ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺳﺎﺧﺘـﺎرﻫـﺎى‬ ‫ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﻐﺎﻳﺮت دارد‪ ،‬اﺟﺘﻨﺎب ورزﻧﺪ‪.‬‬ ‫اﻳﻦ ﺗﺤﻘـﻴـﻖ ﺗـﻤـﺮﻛﺰ ﺧـﻮد را ﺗﻨﻬـﺎ ﺑـﺮ روى درك داﻧﺶ آﻣـﻮزان‬ ‫ﭘﺎﻳﻪ ﻫﺎى دوم و ﺳﻮم دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن از ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﻗﺮارداد و ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﻪ دﺳﺖ‬ ‫آﻣـﺪه درﺑـﺎره ى درك داﻧﺶ آﻣـﻮزان از ﻣﻔـﻬـﻮم ﺗـﺎﺑـﻊ‪ ،‬ﻣـﺤـﺪود ﺑﻪ‬ ‫ﺷﺮﻛﺖ ﻛﻨﻨﺪﮔﺎنِ در اﻳﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ اﺳﺖ‪ .‬ﻫﺮﭼﻨﺪ ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮ ﺑﺮاى رﻓﻊ‬ ‫ﺑﻌﻀﻰ اﺑﻬﺎﻣﺎت و ﺳﺆاﻻت ذﻫﻨﻰ‪ ،‬در ﻣﻨﻄﻘﻪ ى دﻳﮕﺮ از ﻛﺸﻮر‪،‬‬ ‫ﻫﻤﻴﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ را ﻋﻴﻨﺎً ﺗﻜﺮار ﻛﺮد و ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه ﺗﺎ ﺣﺪ زﻳﺎدى‬ ‫ﻣﺆﻳﺪ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﺑﻮدﻧﺪ‪.‬‬ ‫در اﻳـﻦ ﭘـﮋوﻫـﺶ‪ ،‬واژه ﻫﺎى ﺗـﺎﺑـﻊ‪ ،‬ﺑـﺎزﻧـﻤـﺎﻳـﻰ ‪،‬ﻓـﺮ ﻫـﻮم ﺑـﺎ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﻫﺎى ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ زﻳﺮ اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪ‪:‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ؛ ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از ﻳﻚ ﺗﻨﺎﻇﺮ ﺑﻴﻦ دو ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ى ﻧﺎﺗﻬﻰ ﻛﻪ‬ ‫ﺑﻪ ﻫﺮ ﻋﻨﺼـﺮ از ﻣـﺠـﻤـﻮﻋﻪ ى اول )داﻣﻨﻪ( دﻗـﻴـﻘـﺎً ﻳﻚ ﻋﻨـﺼـﺮ در‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ى دوم )ﻫﻢ داﻣﻨﻪ( ﻧﺴﺒﺖ داده ﻣﻰ ﺷﻮد )ﻣﻔﻬﻮم درﻳﻜﻠﻪ ـ‬ ‫ﺑﻮرﺑﺎﻛﻰ(‪.‬‬ ‫ﮔﺎﻫـﻰ اوﻗﺎت‪ ،‬ﺑـﺮاى اﺟﺘﻨـﺎب ﻛـﺮدن از واژه ى ﺗﻨﺎﻇـﺮ‪ ،‬ﺗـﺎﺑـﻊ‬ ‫ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اى از زوج ﻫﺎى ﻣﺮﺗﺐ ﻛﻪ ﺷﺮاﻳﻂ ﺧﺎﺻﻰ دارﻧﺪ‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ )وﻳﻨﺮ و درﻳﻔﻮس‪.(١٩٨٩ ، ١٠‬‬ ‫ﺑﺎزﻧﻤـﺎﻳـﻰ؛ روﺷﻰ ﺑـﺮاى اراﺋﻪ ى ﻳﻚ ﻣﻔـﻬـﻮم رﻳﺎﺿـﻰ اﺳـﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﺜـﻼً‪ ،‬ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻋﺪدى‪ ،‬روﻳـﻪ اى ﻋـﺪدى ﺑـﺮاى ﻣﺤﺎﺳﺒـﻪ ى ﻳـﻚ‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﻪ ى ﻋﺪدى اﺳﺖ؛ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻧﻤﻮدارى وﻗﺘﻰ ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣـﻰ رود ﻛﻪ‬ ‫ورودى و ﺧـﺮوﺟﻰ ﻣﺤـﺎﺳـﺒـﺎت ﺑـﺎ ﻧـﻤـﻮدار ﻧﻤﺎﻳـﺶ داده ﺷـﻮد و‬ ‫ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻧﻤﺎدﻳﻦ ﻫﻨﮕﺎﻣﻰ اﺳـﺖ ﻛـﻪ ﺑـﺮﺣﺴﺐ ﻧﻤﺎدﮔـﺬارى ﺟﺒـﺮى‬ ‫ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﺷﻮﻧﺪ )ﺳﺮﺷﺘﻰ‪.(١٣٨٤ ،‬‬ ‫ﻓﺮﻫﻮم‪١١‬؛ ﺗﺮﻛﻴﺒﻰ از ﻓﺮآﻳﻨﺪ‪ ،‬ﻣﻔﻬﻮم و ﻧﻤﺎد اﺳﺖ‪ ،‬ﺗﺎل ‪،١٩٩٧‬‬ ‫ﺑﻪ ﻧﻘﻞ از ﮔﺮى و ﺗـﺎل ‪ ،١٩٩٤‬در ﺗﻮﺿﻴﺢ ﻓﺮﻫﻮم ﻣﺜﺎل زﻳﺮ را ﺑﻴـﺎن‬ ‫ﻛﺮده اﻧﺪ‪:‬‬ ‫ﻳﻚ ﻓﺮآﻳﻨﺪ )ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺟﻤـﻊ ‪ ٣‬و ‪ ،(٤‬ﻳﻚ ﻣﻔﻬﻮم )ﻛﻪ ﺑـﻪ وﺳﻴﻠﻪ ى‬ ‫ﻓﺮآﻳﻨﺪ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﻰ ﺷﻮد ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻋﻤﻞ ﺟﻤﻊ( و ﻳﻚ ﻧﻤﺎد ﻛﻪ ﻓﺮآﻳﻨﺪ ﻳﺎ ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫را ﻓﺮاﻣﻰ ﺧﻮاﻧﺪ )ﻳﻌﻨﻰ ‪.(٣+٤‬‬ ‫در اﻳﻦ ﺑﺨﺶ‪ ،‬ﺑﻌﻀﻰ از ﻧﺘﺎﻳﺞ اﻳﻦ ﭘﮋوﻫﺶ ﺑﻪ اﺟﻤﺎل ﺑﺮرﺳﻰ‬



‫آ‬ ‫ﺷﻨﺎﻳﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎن ﺑﺎ ﺗ‬ ‫ﺼـ‬ ‫ﻮر‬ ‫ﻫﺎ‬ ‫ى‬ ‫د‬ ‫اﻧ‬ ‫ﺶ‬ ‫آ‬ ‫ﻣـﻮزان ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﺑﻪ ﻣﻔﻬﻮم ﺗ‬ ‫ﺎﺑﻊ‪ ،‬ﻣﻰﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﺑﺮ‬ ‫ﻃﺮ‬ ‫ف‬ ‫ﻛﺮ‬ ‫د‬ ‫ن‬ ‫ﻣ‬ ‫ﺸ‬ ‫ﻜ‬ ‫ﻼت‬ ‫و ﭘﻴﭽﻴ‬ ‫ﺪﮔﻰﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻣﻤﻜ‬ ‫ﻦ‬ ‫ا‬ ‫ﺳ‬ ‫ﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺗﻌ‬ ‫ﺮﻳ‬ ‫‪O‬‬ ‫رﺳﻤـﻰ‬ ‫ﻣﻔﻬﻮ‬ ‫م ﺗﺎﺑﻊ در ذﻫﻦ آن‬ ‫‬ ‫ﻫﺎ‬ ‫ﺷ‬ ‫ﻜ‬ ‫ﻞ‬ ‫ﮔ‬ ‫ﻴﺮ‬ ‫د‪،‬‬ ‫ﻛﻤﻚ ﻛﻨﺪ‬ ‫ﻣﻰ ﺷـﻮد‪ .‬اﻳـﻦ ﺑـﺮرﺳﻰ ﺑـﺮاﺳﺎس وﻳـﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﺗـﺎﺑـﻊ اﺳـﺖ ﻛـﻪ از‬ ‫ﻛﺘﺎب ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ ‪ *٢‬و ﺣﺴﺎﺑﺎن اﺳﺘﺨﺮاج ﺷﺪه اﻧﺪ‪ .‬اﻳﻦ وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎ‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ‪ A‬و ‪ B‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻧﻤﺎﻳﺎﻧﮕﺮ داﻣﻨﻪ و ﻫﻢ داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑـﻊ ‪f‬‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آن ﮔﺎه‪:‬‬ ‫‪ .١‬ﺑﻪ ازى ﻫﺮ ‪ y ، x ∈A‬اى ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ ‪ B‬وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻪ‬ ‫ﻃﻮرى ﻛﻪ ‪ (x, y) ∈f‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٢‬اﮔﺮ ‪ (x, y1 ) ∈f‬و ‪ (x, y2 ) ∈f‬ﺑﺎﺷﻨـﺪ‪ .‬آن ﮔـﺎه ‪y1 = y2‬‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .٣‬ﻋﻀﻮﻫﺎى ﻣﺘﻔـﺎوت در ‪ A‬ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻋﻀﻮ ﻳﻜﺴـﺎن‬ ‫در ‪ B‬ﻧﺴﺒﺖ داده ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٤‬ﺑﺮﺧﻰ ﻋﻀﻮﻫﺎ در ‪ B‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻧﻈﻴﺮ ﻫﻴﭻ ﻋﻀـﻮى از‪A‬‬ ‫ﻧﺸﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺟﻤﻊﺑﻨﺪى ﭘﺎﺳﺦﻫﺎى ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻧﻤﻮدارﻫﺎى وِن‬ ‫ﺳﺆال ‪ .١‬آﻳﺎ ﻧﻤﻮدار وِن زﻳﺮ‪،‬ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﺧـﻮد را ﺷﺮح‬ ‫دﻫﻴﺪ‪.‬‬



‫ﻫﺪف اﻳﻦ ﺳـﺆال‪ ،‬ﺑﺮرﺳـﻰ درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از اﻳﻦ وﻳـﮋﮔـﻰ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺑﻪ ﻫﺮ ﻋﻀﻮ در داﻣﻨﻪ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ ﻋﻀﻮى در ﻫﻢ داﻣﻨﻪ ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫داده ﺷﻮد‪ .‬ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ ﻣﻌﺮف ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎىِ داﻧﺶ آﻣﻮزان اﺳﺖ‪.‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪ ،‬ﭼﻮن ﻫﺮ ‪ x‬ﺑﻪ ﻳﻚ ‪ y‬ﻣﻰ‪C‬رود‪.‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪ ،‬ﭼﻮن ﻣﺆﻟﻔﻪ‪C‬ﻫﺎى اول ﺑﺎ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ و ﺑﻪ ﻫﺮ‬ ‫ﻳﻚ از ﻣﺆﻟﻔﻪ‪C‬ﻫﺎى اول ﻋﺪدى ﺧﺎص ﺗﻌﻠﻖ ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪٢٧‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﺶآﻣـﻮزان ﻧﺸﺎن داد‬ ‫ﻠﻴﻞ ﭘﺎﺳﺦﻫﺎى داﻧ‬ ‫ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤ‬ ‫ن در ﺣﻴﻦ ﻛﺎر ﻛﺮدن‬ ‫ﻛﻤﻰ از داﻧﺶآﻣﻮزا‬ ‫ﻛﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺗﻌﺪاد‬ ‫روى وﻳـﮋﮔﻰﻫـﺎى‬ ‫ى ﻣﺨﺘﻠ‪ O‬ﺗﺎﺑـﻊ‪ ،‬ﺑـﺮ‬ ‫ﺑﺎ ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰﻫﺎ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺘﻤﺮﻛﺰ ﺷﺪﻧﺪ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ‪O‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴـﺖ‪ ،‬زﻳـﺮا ﺑﻪ ازاى ﻫﺮ ﻋﻀـﻮ در ‪ B‬ﻋﻀـﻮى در ‪ B‬وﺟـﻮد‬ ‫ﻧﺪارد‪.‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬زﻳﺮا ﺑﻪ ازاى ﻫﺮ ﻋﻀﻮ در ‪ A‬ﻋﻀﻮى در ‪ B‬وﺟﻮد ﻧﺪارد‪.‬‬ ‫ﺳـﺆال ‪ .٢‬آﻳﺎ ﻧﻤـﻮدار زﻳﺮ‪،‬ﺗﺎﺑﻊ اﺳـﺖ؟ ﭘـﺎﺳـﺦ ﺧـﻮد را ﺷﺮح‬ ‫دﻫﻴﺪ‪.‬‬



‫ﻫﺪف اﻳﻦ ﺳﺆال‪ ،‬ﺑﺮرﺳﻰ درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از اﻳﻦ وﻳﮋﮔﻰ ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﺑﻮد ﻛﻪ ﺑﺮﺧﻰ ﻋﻨﺎﺻﺮ در ﻫﻢ داﻣﻨﻪ‪ ،‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻧﻈﻴﺮ ﻫﻴﭻ ﻋﻀﻮى‬ ‫از داﻣﻨﻪ ﻧﺸـﻮﻧﺪ‪ .‬ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ ﻣﻌـﺮف ﭘﺎﺳﺦ ﻫـﺎىِ داﻧﺶ



آﻣﻮزان‬ ‫اﺳﺖ‪:‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪ ،‬ﭼﻮن دو ‪ x‬ﻣﻰ‪C‬ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﻳﻚ ‪ y‬ﺑﺮود‪.‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪ ،‬زﻳﺮا ﻣﺆﻟﻔﻪ‪C‬ﻫﺎﻳﺸﺎن ﻳﻜﻰ اﺳـﺖ و ‪y‬ﻫﺎﻳﺸﺎن ﻫﻢ ﺑﺎﻳـﺪ‬ ‫ﻳﻜﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬وﻟﻰ اﻳﻦ‪C‬ﺟﺎ ‪ x‬ﻫﺎ ﻣﺘﻔﺎوت‪C‬اﻧﺪ‪ ،‬اﺷﻜﺎﻟﻰ ﻧﺪارد ‪y‬ﻫﺎﻳﺸﺎن‬ ‫ﻳﻜﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴـﺖ‪ ،‬زﻳـﺮا ﺑﻪ ازاى ﻫﺮ ﻋﻀـﻮ در ‪ B‬ﻋﻀـﻮى در ‪ A‬وﺟﻮد‬ ‫ﻧﺪارد‪.‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬زﻳﺮا ﺑﻪ ازاى ﻫﺮ ﻋﻀﻮ در ‪ A‬ﻋﻀﻮى در ‪ B‬وﺟﻮد ﻧﺪارد‪.‬‬ ‫ﺳﺆال ‪ .٣‬آﻳﺎ ﻧﻤﻮدار ون زﻳﺮ‪،‬ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﺧـﻮد را ﺷﺮح‬ ‫دﻫﻴﺪ‪.‬‬



‫ﻫﺪف اﻳﻦ ﺳـﺆال‪ ،‬ﺑﺮرﺳـﻰ درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از اﻳﻦ وﻳـﮋﮔـﻰ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﺑـﻮد ﻛﻪ ﻋﻀﻮﻫﺎى ﻣﺘﻔـﺎوت در داﻣﻨﻪ ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻋـﻀـﻮ‬ ‫ﻳﻜﺴﺎن در ﻫﻢ داﻣﻨﻪ ﻧﺴﺒﺖ داده ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ ﻣﻌﺮف ﺗﻨﻮع‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎىِ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال اﺳﺖ‪:‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪ ،‬ﭼﻮن دو ‪ x‬ﻣﻰ‪C‬ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﻳﻚ ‪ y‬ﺑﺮود‪C.‬‬ ‫● ﺗـﺎﺑـﻊ اﺳـﺖ‪ ،‬ﭼــﻮن ﻣـﺆﻟـﻔـﻪ‪C‬ﻫــﺎى اول ﻫـﺮ ﻛـﺪام ﻓـﻘـﻂ ﺑـﻪ ﻳ ـﻜــﻰ از‬ ‫ﻣﺆﻟﻔﻪ‪C‬ﻫﺎى دوم وﺻﻞ‪C‬اﻧﺪ‪ ،‬ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﻮرد )‪.(٢‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ اﺳـﺖ‪ ،‬ﭼـﻮن ﻣـﺆﻟﻔﻪ‪C‬ﻫـﺎى ‪ x‬ﺷﺎن ﻣﺘـﻔـﺎوت وﻟـﻰ ‪y‬ﻫﺎﻳـﺸـﺎن‬ ‫ﻳﻜﻰ اﺳﺖ‪ ،‬اﺷﻜﺎﻟﻰ ﻧﺪارد‪.‬‬ ‫ﺳﺆال ‪ .٤‬آﻳﺎ ﻧﻤﻮدار وِن زﻳﺮ‪،‬ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﺧﻮد را ﺷﺮح‬ ‫دﻫﻴﺪ‪.‬‬



‫ﻫﺪف اﻳﻦ ﺳـﺆال‪ ،‬ﺑﺮرﺳـﻰ درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از اﻳﻦ وﻳـﮋﮔـﻰ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺑﻪ ﻫﺮ ﻋﻀﻮ داﻣﻨﻪ‪ ،‬ﻋﻀﻮ ﻣﻌﻴﻦ و ﻣﻨﺤﺼﺮ ﺑﻪ ﻓﺮدى از‬ ‫ﻫﻢ داﻣﻨﻪ ﻧﺴﺒﺖ داده ﻣﻰ ﺷـﻮد‪ .‬ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ ﻣﻌـﺮف ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎىِ‬ ‫ﻣﺘﻨﻮع داﻧﺶ آﻣﻮزان اﺳﺖ‪:‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬ﭼﻮن ﻳﻚ ‪ x‬ﻧﻤﻰ‪C‬ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ دو ‪ y‬ﺑﺮود‪.‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬ﭼﻮن ﺑﻪ ‪ A‬ﻳﻚ دﻓﻌﻪ ‪ ١‬و ﻳﻚ دﻓﻌﻪ ‪ ٣‬داده اﺳﺖ‪.‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬ﻣﺆﻟﻔﻪ‪C‬ﻫﺎى ‪x‬ﺷﺎن ﻳﻜﻰ اﺳـﺖ‪y ،‬ﻫﺎﻳﺸﺎن ﻫﻢ ﺑﺎﻳﺪ‬ ‫ﻳﻜﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫● ﻃﺒﻖ ﺗـﻌـﺮﻳـ‪ h‬در ﺗـﺎﺑـﻊ ﻧـﺒـﺎﻳـﺪ ﻫـﻴـﭻ دو زوج داراى ﻣـﺆﻟﻔـﻪ‪C‬ى )‪(x‬‬ ‫ﻳﻜﺴﺎن ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ داده ﻫﺎى ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻧﻤﻮدارﻫﺎى وِن ﻧﺸﺎن‬ ‫داد ﻛﻪ ‪ %٦٢/٥‬و ‪ %٥٦/٢٥‬از داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ‪ ،‬ﺑﻪ ﺳﺆال‬ ‫ﻳﻚ و دو ﭘﺎﺳﺦ ﻧﺎدرﺳﺖ دادﻧﺪ و ﺗﻤﺎم داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ ،‬ﺑﻪ ﺳﺆال ﻫﺎى‬ ‫‪ ٣‬و ‪ ٤‬ﭘﺎﺳﺦ درﺳﺖ دادﻧﺪ‪ .‬در واﻗﻊ‪ ،‬ﻣﻰ ﺗﻮان ﻋﻮاﻣﻞ ﻣﺤﺘﻤﻠﻰ ﻛﻪ‬ ‫ﺳﺒﺐ ﺷﺪ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻫﺎى ﻧﻤﻮدار ون اول و دوم ﭘﺎﺳﺦ‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫‪٢٨‬‬



‫درﺳﺖ دﻫﻨﺪ را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺟﻤﻊ آورى ﻧﻤﻮد‪.‬‬ ‫● آ ﮔﺎﻫﻰ ﻧﺪاﺷﺘﻦ و ﻳﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﻧﻜﺮدن ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ ﻛﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ازاى ﻫﺮ‬ ‫ﻋﻀﻮ در داﻣﻨﻪ‪ ،‬ﻳﻚ ﻋﻀﻮ در ﻫـﻢ‪C‬داﻣـﻨـﻪ ﻧـﺴـﺒـﺖ داده ﺷـﻮد‪ ،‬ﻳﻌـﻨـﻰ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎﻳـﺪ ﺑـﻪ ازاى ﺗﻤﺎم اﻋﻀﺎى داﻣﻨﻪ ﺗﻌـﺮﻳـ‪ h‬ﺷـﺪه ﺑـﺎﺷـﺪ )وﻳـﮋﮔـﻰ‬ ‫)‪.((١‬‬ ‫● آ ﮔﺎﻫﻰ ﻧﺪاﺷﺘﻦ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ ﻛﻪ ﺑﺮﺧﻰ ﻋﻨﺎﺻﺮ در ﻫﻢ‪C‬داﻣﻨﻪ‬ ‫ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻧﻈﻴﺮ ﻫﻴﭻ ﻋﻀﻮى از داﻣﻨﻪ ﻧﺸﻮﻧﺪ )وﻳﮋﮔﻰ )‪.((٤‬‬ ‫ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ‪ ،‬داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ وﻳـﮋﮔﻰ ﻫﺎى )‪ (٣‬و )‪ (٢‬از‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﺗﺎﺑﻊ‪» ،‬ﻳﻌﻨﻰ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﺘﻔﺎوت در داﻣﻨﻪ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﻋﻨﺼﺮ‬ ‫ِ‬ ‫ﻳﻜﺴﺎﻧﻰ از ﺑُﺮد ﻧﺴﺒﺖ داده ﺷﻮﻧﺪ« و »اﮔﺮ دو زوج داراى ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻫﺎى‬ ‫اول ﻳﻜﺴﺎن ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬آن ﮔﺎه ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻫﺎى دوم آن ﻫﺎ ﻧﻴﺰ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺎﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫ﺑﺎﺷﻨـﺪ«‪ ،‬آ ﮔﺎﻫﻰ ﻛﺎﻓﻰ داﺷﺘﻨﺪ و ﺑﻪ ﺳﺎدﮔـﻰ ﺗـﻮاﻧﺴﺘﻨﺪ آن ﻫﺎ را در‬ ‫دﻳﺎﮔﺮام ﻫﺎ وِن ﺑﺒﻴﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫در ﻣﺠﻤـﻮع‪ ،‬ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﭘﺎﺳﺦ ﻫـﺎى اﻳـﻦ ﻗـﺴـﻤـﺖ اﻳـﻦ‬ ‫ﺣﺪﺳﻴﻪ را ﺗﻘﻮﻳﺖ ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ آ ﮔﺎﻫﻰ ﻧﺪاﺷﺘﻦ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ وﻳـﮋﮔﻰ ﻫﺎى‬ ‫)‪ (١‬و )‪ ،(٤‬ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﻳﻚ ﻋﺎﻣﻞ ﺟﺪى ﺑﺮاى اﻳﺠﺎد ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻰ ﻫﺎى‬ ‫ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ در ذﻫﻦ داﻧﺶ



آﻣﻮزان ﺷﻮد ﻛﻪ اﻳﻦ ﻋﺎﻣﻞ‪ ،‬ﺣﺘﻰ ﻣﺎﻧﻊ ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎﻳﻰ ﺷﺪ ﻛﻪ از آن ﻫﺎ آ ﮔﺎﻫﻰ داﺷﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻳﺎﻓﺘﻪﻫﺎى ﺣـﺎﺻـﻞ از ﺗـﺠـﺰﻳـﻪ و ﺗـﺤـﻠـﻴـﻞ ﻣـﺠـﻤـﻮﻋـﻪى‬ ‫ﺟﻔﺖﻫﺎى ﻣﺮﺗﺐ‬ ‫ﺳﺆال‪ :‬آﻳﺎ ﻧﻤﺎﻳﺶ زوج ﻣﺮﺗﺒﻰ زﻳﺮ ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﺧـﻮد را‬ ‫ﺷﺮح دﻫﻴﺪ‪.‬‬ ‫‪f: {1,2, 3, 7,9} →|R‬‬



‫})‪f = {(1, 3), (2,5), ( 3,2), ( 7, −1), (9,1‬‬



‫ﻫﺪف از ﻃﺮح اﻳﻦ ﺳﺆ ال‪ ،‬ﺑﺮرﺳﻰ درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﺗﻌﺮﻳ‪I‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ زوج ﻣﺮﺗﺒﻰ ﺑﻮد‪ .‬ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ ﻣﻌﺮف ﺗﻨﻮع‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎىِ ﻣﺘﻔﺎوت داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال اﺳﺖ‪:‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪ ،‬ﭼﻮن ﻫﻴﭻ زوج ﻣﺮﺗﺒﻰ را ﻧﻤﻰ‪C‬ﺗﻮان ﻳﺎﻓﺖ ﻛﻪ ﻣﺆﻟﻔﻪ‪C‬ﻫﺎى‬ ‫اول آن ﻳﻜﺴﺎن ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪ ،‬ﭼﻮن اﻋﺪاد ‪ f‬ﺑﺎﻫﻢ ﻳﻜﻰ ﻧﻴﺴﺖ و ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ‪.‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪ ،‬ﭼﻮن ﺑﻪ ازاى ﻫﺮ ‪ x‬ﻳﻚ ‪ y‬وﺟﻮد دارد‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺎم داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻧﻴﺰ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال‪ ،‬ﺑﺎ ﺗﻜﻴﻪ ﺑﺮ وﻳﮋﮔﻰ )‪ (٢‬ﭘﺎﺳﺦ‬ ‫ﺻﺤﻴﺢ اراﺋﻪ دادﻧﺪ‪ .‬داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﺷﻮﻧﺪه ﻧﻴﺰ‪ ،‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔـﺎده‬ ‫از وﻳﮋﮔﻰ )‪ (٢‬اﺳﺘﺪﻻل ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ »اﮔﺮ ﻳﻚ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ ،‬دو ﻣﻘﺪار‬ ‫ﺑﺮاى ﻳﻚ ﻧﺪارﻳﻢ«‪ .‬در ﻧﺘﻴﺠﻪ‪ ،‬ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال ﭘﺎﺳﺦ ﺻﺤﻴﺢ دادﻧﺪ‪.‬‬



‫اﻳﻦ ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎ ﻧﺸﺎن دادﻧﺪ ﻛﻪ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان‪ ،‬ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳـﻰ زوج ﻣﺮﺗﺒـﻰ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ را ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ ﻣﻰ ﺷﻨﺎﺧﺘﻨﺪ و ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ اﺳﺘﻔﺎده از آن را داﺷﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ِﻳﺎﻓﺘﻪﻫﺎى ﺣﺎﺻﻞ از ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﺆاﻻت ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻧﻤﻮدارى‬ ‫ﺳﺆال ‪ .١‬آﻳﺎ ﻧﻤﻮدار زﻳﺮ ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﺧﻮد را ﺷﺮح دﻫﻴﺪ‪.‬‬



‫ﻫﺪف اﻳﻦ ﺳﺆال‪ ،‬ﺑﺮرﺳﻰ درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ در‬ ‫ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻧﻤﻮدارى و ﺑﻪ ﺧﺼﻮص ﻣﻔﻬﻮم داﻣﻨﻪ ﺑﻮد‪ .‬اﻟﺒﺘﻪ‪ ،‬اﻳﻦ ﻧﻤﻮدار‬ ‫ﺑﺎ ﻣﺜﺎل ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ آن ﻫﺎ آﺷﻨـﺎ ﺑـﻮدﻧﺪ‪،‬‬ ‫ﻣﺘـﻔـﺎوت ﺑﻮد و ﻫﻤﻴﻦ‪ ،‬ﻋـﺎﻣـﻠـﻰ ﺑـﺮاى اﻧﺘﺨـﺎب اﻳـﻦ ﺳـﺆال ﺑﻮد‪.‬‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ ﻣﻌﺮف ﺗﻨﻮع ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎىِ ﻣﺘﻔﺎوت داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ اﻳﻦ‬ ‫ﺳﺆال اﺳﺖ‪:‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪ ،‬زﻳﺮا داﻣﻨﻪ ﺗﻤﺎم اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪ ،‬زﻳﺮا در اﻳﻦ داﻣﻨﻪ ﻫﺮ ﺧﻂ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر ‪y‬ﻫﺎ‪ ،‬آن را‬ ‫در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﺧﻮاﻫﺪ ﻛﺮد‪.‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪ ،‬ﭼﻮن داﻣﻨﻪ‪C‬ى ﻧﻤﻮدار آن ﺗﻤﺎم اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ اﺳﺖ و‬ ‫در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻫﺮ ﺧﻂ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر ‪y‬ﻫﺎ آن را در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﻛﺮد‪.‬‬ ‫اﻳﻦ ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎ ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﻨﺪ ﻛﻪ اﻛﺜﺮ داﻧﺶ آﻣﻮزان در ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪ‬ ‫اﻳﻦ ﺳـﺆال‪ ،‬ﻣﻮﻓﻖ ﻧﺒـﻮدﻧﺪ‪ .‬ﻳﻜﻰ از داﻧـﺶ آﻣـﻮزان‪ ،‬ﺑﺎ ﻣﻘﺎﻳﺴـﻪ ى‬ ‫ﻧﻤﻮدار ﺷﻤﺎره ى )‪ (١‬و ﻧﻤﻮدار ﺷﻤﺎره ى )‪ (٢‬ﺑﺎﻫﻢ‪ ،‬ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﺘﻴﺠـﻪ‬ ‫رﺳﻴﺪ ﻛﻪ »ﺗﺎﺑﻊ ﻧـﻤـﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ داﻣﻨﻪ ﻫﺎى ﻗﻄﻌﻪ ﻗﻄﻌﻪ داﺷـﺘـﻪ ﺑـﺎﺷـﺪ‪،‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪ ،‬ﭼﻮن داﻣﻨﻪ ى اﻳﻦ ﻧﻤﻮدار ﺗﻤﺎم اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ اﻳﻦ ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎﺷﺪ« )اﻟﺒﺘﻪ داﻣﻨﻪ ﺗﻤﺎم اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻧﻴﺴﺖ(‪.‬‬ ‫ﺑﻌﻀﻰ از داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ ،‬ﺑﻪ اﺳﺘﻨﺎد ﻣﻼك ﺗﺸﺨﻴﺺ ﺗﺎﺑﻊ از روى‬ ‫ﻧﻤﻮدار ﺑﻪ راﺣﺘﻰ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔـﺮﻓﺘﻨﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪ .‬در ﺣﺎﻟﻰ‬ ‫ﻛﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ ى ﻣﻬﻤﻰ ﻛﻪ در اﻳﻦ ﺳـﺆال ﻣﻄـﺮح ﺑﻮد‪ ،‬ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﻘﺎﻃﻰ از‬ ‫داﻣﻨﻪ ﺑﻮد ﻛﻪ ﻫﻴﭻ ‪y‬اى ﺑﺮاى آن ﻫﺎ ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﻧﺸﺪه ﺑـﻮد و داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫ﺑﻪ اﻳﻦ ﺷﺮط ﻣﻬﻢ ﺗﻮﺟﻪ ﻧﻜﺮده ﺑﻮدﻧﺪ ﻛﻪ »ﻣﻼك ﺗﺸﺨﻴﺺ ﺗﺎﺑﻊ از روى‬ ‫ﻧﻤﻮدار« در داﻣﻨﻪ ى ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﺷﺪه ﻣﻌﻨﺎ دارد ﻧﻪ ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ ى دﻟﺨﻮاه‪.‬‬ ‫‪٢٩‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫از اﻳﻦ ﮔﺬﺷﺘﻪ‪ ١٢ ،‬ﻧﻔـﺮ )‪ (%٧٥‬از داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ ،‬دو دﻟﻴﻞ‬ ‫ﺑﺮاى ﺗﺎﺑﻊ ﺑـﻮدن اراﺋﻪ دادﻧﺪ و دﻟـﻴـﻞ دوم را ﻧﺘﻴﺠﻪ ى دﻟـﻴـﻞ اول‪،‬‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻛـﺮدﻧﺪ‪ .‬از اﻳﻦ دو دﻟﻴﻞ‪ ،‬دو ﺑـﺮداﺷﺖ ﻣﺘﻔـﺎوت ﻣﻰ ﺗﻮان‬ ‫داﺷﺖ؛ ﻳﻜﻰ اﻳﻦ ﻛﻪ از ﻃﺮﻳﻖ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ى دو ﻧـﻤـﻮدار ﺣﺪس زده‬ ‫ﺑﻮدﻧﺪ ﻛﻪ اﮔﺮ داﻣﻨﻪ ﺗﻤﺎم اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬اﻣﻜﺎن آن ﺑﻴﺶ ﺗـﺮ‬ ‫اﺳـﺖ ﻛـﻪ آن ﻧـﻤـﻮدار‪ ،‬ﺗﺎﺑـﻊ ﺑـﺎﺷـﺪ و ﺑـﺮداﺷـﺖ دﻳـﮕـﺮ اﻳـﻦ ﻛـﻪ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ ،‬ﺧﻂ ﻣـﻮازى ﻣﺤﻮر ‪y‬ﻫـﺎ را در ﻧﻘﺎﻃﻰ ﻛﻪ ﺗﺎﺑـﻊ در‬ ‫آن ﻫﺎ ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﻧﺸﺪه ﺑﻮد ﻧﻴﺰ رﺳﻢ ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺧﻂ‪ ،‬در ﻫﺮ ﺻﻮرت‬ ‫داﻣﻨﻪ را در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﻣﻰ ﻛـﺮد و ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺒﺐ‪ ،‬ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔـﺮﻓﺘﻨﺪ‬ ‫ﻛﻪ اﻳﻦ ﻧﻤـﻮدار‪ ،‬در ﺗﻤﺎم ﻧﻘﺎط داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ ﺣـﺪس از‬ ‫آن ﺟﺎ ﺗﻘﻮﻳﺖ ﻣﻰ ﺷـﻮد ﻛﻪ اﻛﺜﺮ داﻧﺶ آﻣـﻮزان‪ ،‬ﺑﺪون اﻳﻦ ﻛﻪ اﻳـﻦ‬ ‫ﺧﻂ را رﺳﻢ ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬ﭼﻨﻴﻦ اﺳﺘـﺪﻻﻟـﻰ اراﺋﻪ ﻛﺮدﻧﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﭘﺎﺳﺦ ﻫـﺎ‬ ‫ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﻨﺪ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣـﻮزان درﻛﻰ ﻋﻤﻴﻖ از ﻣﻔﻬـﻮم داﻣﻨـﻪ ى‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﻧﺪاﺷﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺳﺆال‪ .٢‬آﻳﺎ ﻧﻤﻮدار زﻳﺮ‪،‬ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﺧﻮد را ﺷﺮح دﻫﻴﺪ‪.‬‬



‫اﮔﺮﭼﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال‪ ،‬ﻫﻤﺎن اﻫﺪاف ﺳﺆال ﻗﺒﻞ را دﻧﺒﺎل ﻣﻰ ﻛﺮد‪،‬‬ ‫اﻣﺎ اﻳﻦ ﺗﻔﺎوت را داﺷﺖ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻧﻤﻮدار‪ ،‬ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮد و ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﻰ‬ ‫ﻋﻤﻴﻖ ﺗﺮ درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﻣﻔﻬﻮم داﻣﻨﻪ ﻣﻰ ﭘﺮداﺧﺖ‪ .‬ﭘﻴﺶ ﺑﻴﻨﻰ‬ ‫ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮ اﻳﻦ ﺑﻮد ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ ،‬از ﺗﻜﻨﻴﻚ ﺧﻂ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر‬ ‫‪y‬ﻫﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻨﺪ و ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ داﻣﻨـﻪ ﺗـﻮﺟﻪ ﻛﻤﺘـﺮى داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨـﺪ‪.‬‬ ‫ﻧﻤـﻮﻧﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ ﻣﻌـﺮف ﭘﺎﺳﺦ ﻫـﺎىِ ﮔﻮﻧﺎﮔـﻮن داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﺑﻪ اﻳﻦ‬ ‫ﺳﺆال اﺳﺖ‪:‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬ﭼﻮن داﻣﻨﻪ‪C‬ى اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻣﺤﺪود اﺳﺖ و ﻗﺴﻤﺘﻰ‬ ‫از اﻋﺪاد ‪ x‬ﻣﻰ‪C‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬زﻳﺮا داراى داﻣﻨﻪ‪C‬ﻫﺎى ﻣﺘﻔﺎوﺗﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴـﺖ‪ ،‬ﭼـﻮن داﻣﻨﻪ‪C‬ى ﻧـﻤـﻮدار آن ﻣﺤـﺪود اﺳﺖ و ﻣﻰ‪C‬ﺗـﻮان‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫‪٣٠‬‬



‫ﺧﻄﻰ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر ‪y‬ﻫﺎ رﺳﻢ ﻛﺮد ﻛﻪ ﺗﺎﺑﻊ را در ﻫﻴﭻ ﻧﻘﻄﻪ‪C‬اى ﻗﻄﻊ‬ ‫ﻧﻜﻨﺪ و آن ﺧﻂ ﺗﺎﺑﻊ را ﺑﺎﻳﺪ ﺣﺪاﻛﺜﺮ در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫● ﻧﻤﻰ‪C‬داﻧﻴﻢ‪ ،‬ﭼﻮن ﺗﺸﺨﻴﺺ ﺗﺎﺑﻊ در ﺻﻮرﺗﻰ ﻛﻪ داﻣﻨﻪ‪C‬ﻫﺎى ﻣﺘﻔﺎوت‬ ‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ در ﺣﻮزه‪C‬ى ﺗﻌﻠﻴﻤﺎت ﻣﺎ ﻧﻤﻰ‪C‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫و ﺗﻨﻬﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺻﺤﻴﺢ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال اﻳﻦ ﺑﻮد ﻛﻪ‪:‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪ ،‬ﭼﻮن ﻫﺮ ﺧﻄﻰ ﻛﻪ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر ‪y‬ﻫﺎ ﺑﻜﺸﻴﻢ‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫را ﻓﻘﻂ در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﺧﻮاﻫﺪ ﻛﺮد‪.‬‬ ‫در ﻣﺠﻤـﻮع‪ ،‬از ﺑـﺮرﺳﻰ ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎى داﻧـﺶ آﻣـﻮزان اﺳﺘﻨـﺒـﺎط‬ ‫ﻣـﻰ ﺷـﻮد ﻛـﻪ اﻏـﻠـﺐ آن ﻫـﺎ‪ ،‬ﻧـﻤـﻮدارى را ﻛـﻪ داراى داﻣـﻨـﻪ ﻫـﺎى‬ ‫ﻗﻄﻌﻪ ﻗﻄﻌـﻪ ﺑـﺎﺷـﺪ‪ ،‬ﺗـﺎﺑـﻊ ﻧـﻤـﻰ داﻧـﺴـﺘـﻨـﺪ‪ .‬ﻫـﻢ ﭼـﻨـﻴـﻦ‪ ،‬اﻛـﺜـﺮ‬ ‫داﻧﺶ



آﻣـﻮزان از ﺗﻜﻨﻴﻚ ﺧـﻂ ﻣـﻮازى ﻣﺤـﻮر ‪y‬ﻫﺎ ﺑـﺮاى ﻗﻀـﺎوت‬ ‫دن ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮدﻧﺪ و ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﺮﻓﺘﻨﺪ ﻛﻪ‬ ‫راﺟﻊ ﺑﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮدن ﻳﺎ ﻧﺒﻮ ِ‬ ‫»اﻳﻦ ﻧﻤﻮدار ﻧﻤﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎﺷـﺪ«‪ .‬در واﻗﻊ‪ ،‬آن ﻫﺎ ﺧﻂ ﻣﻮازى‬ ‫ﻣﺤﻮر ‪y‬ﻫﺎ را در ﺑﻴﻦ ﻗﻄﻌﻪ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬ﻧﻤﻮدار رﺳﻢ ﻛﺮدﻧﺪ و ﭼﻮن‬ ‫ﻧﻤﻮدار را در ﻫﻴﭻ ﻧﻘﻄﻪ اى ﻗﻄﻊ ﻧﻜـﺮد‪ ،‬آن را دﻟﻴﻞ ﻣﺤﻜﻤﻰ ﺑـﺮاى‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﻧﺒﻮدن داﻧﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺷﺎﻳﺪ ﻋﻠﺖ اﻳﻦ ﻧﻮع اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻜﻨﻴﻚ ﺧـﻂ‬ ‫ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر ‪y‬ﻫﺎ‪ ،‬اﻳﻦ ﺗﻮﺻﻴﻪ ى ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻰ ﺳﺎل دوم‪ ،‬ص‪٢٤‬‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ‪:‬‬ ‫»از ﻧﻈﺮ ﻧـﻤـﻮدارى‪ ،‬راﺑﻄﻪ اى ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ ﻛـﻪ ﻫـﺮ ﺧـﻂ ﻣـﻮازى‬ ‫ﻣﺤﻮر‪y‬ﻫﺎ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ ،x=a‬ﻧﻤﻮدار آن را ﺣﺪاﻛﺜﺮ در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ‬ ‫ﻛﻨﺪ«‪.‬‬ ‫در ﻧﺘﻴﺠﻪ‪ ،‬داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﺑﻪ دﻧﺒﺎل اﻳـﻦ ﺑـﻮدﻧﺪ ﻛﻪ ﺧـﻂ‬ ‫ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر ‪y‬ﻫﺎ‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ را در ﺑﻴﺶ ﺗﺮ از ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﻧﻜﻨﺪ‪ .‬در‬ ‫ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ اﻛﺜﺮ آن ﻫﺎ‪ ،‬ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﻜﺘـﻪ ﺗـﻮﺟﻬﻰ ﻧﺪاﺷﺘﻨﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺧـﻂ‪،‬‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ در ﻣﺤﺪوده‪C‬ى ﻧﻤﻮدار رﺳﻢ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫اﮔﺮﭼﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان‪،‬ﻇﺎﻫﺮًا از ﺗﻜﻨﻴﻚ ﺧﻂ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر ‪y‬ﻫﺎ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮدﻧﺪ‪ ،‬وﻟﻰ ﭼﻮن اﻳﻦ ﻧﻤﻮدارﻫﺎ را ﺑﺎ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎ و ﻣﺜﺎل ﻫﺎﻳﻰ‬ ‫ﻛـﻪ ﻗـﺒـﻼً ﺗـﺠـﺮﺑـﻪ ﻛـﺮده ﺑـﻮدﻧـﺪ ﻣـﻘـﺎﻳـﺴـﻪ ﻣـﻰ ﻛـﺮدﻧـﺪ‪ ،‬ﭼـﻨـﻴـﻦ‬ ‫اﺳﺘﺪﻻل ﻫﺎﻳﻰ را اراﺋﻪ ﻛﺮدﻧﺪ‪ .‬ﺷﺎﻳﺪ ﻋﺪم ﺳﺎزﮔﺎرى داﻧﺶ ﻣﻮﺟﻮد‬ ‫ﺑﺎ ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻫﺎى ﻗﺒﻠـﻰ‪ ،‬ﻳـﻜـﻰ از دﻻﻳـﻠـﻰ ﺑـﻮد ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣـﻮزان‪،‬‬ ‫»ﻣﺤـﺪود ﺑﻮدن داﻣﻨـﻪ« را »دﻟﻴﻠﻰ ﺑـﺮاى ﺗﺎﺑﻊ ﻧـﺒـﻮدن« ﺑﻪ ﺣﺴـﺎب‬ ‫آوردﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﻳﻜﻰ از داﻧﺶ آﻣﻮزان ﭘﺎﻳﻪ ى دوم‪ ،‬ﺑﻪ ﻋﺪم آﺷﻨﺎﻳﻰ‬ ‫ﺑﺎ ﻧﻤﻮدارى ﻛﻪ داراى داﻣﻨﻪ ﻫﺎى ﻣﺠﺰاﺳﺖ‪ ،‬اﺷﺎره ﻧﻤﻮد‪ .‬در ﺣﺎﻟﻰ‬ ‫ﻛﻪ در ﺻﻔﺤﻪ ى ‪ ٢٤‬ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿـﻰ ‪ ،٢‬ﻧﻤﻮدارى اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‬ ‫ﻛﻪ ﻧﻤﻮدار ﻧﻘﻄﻪ اى اﺳﺖ‪.‬‬



‫ﻗﺎ‬ ‫ﻋﺪهاى ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ داﻧ‬ ‫ﺶ‬ ‫‬ ‫آﻣ‬ ‫ﻮز‬ ‫ا‬ ‫ن‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ا‬ ‫ى‬ ‫ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻳﻚ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪﻛﺎر‬ ‫ﻣﻰرود ﺑﺎ ﺗﻌﺮﻳـ‪ O‬ر‬ ‫ﺳﻤ‬ ‫ﻰ‬ ‫اﻳ‬ ‫ﻦ‬ ‫ﻣﻔ‬ ‫ﻬﻮ‬ ‫م‬ ‫ـ‬ ‫ﺣﺘﻰ ﺑﺮا‬ ‫ى داﻧﺶآﻣﻮزاﻧﻰ ﻛﻪ‬ ‫ﻣ‬ ‫ﻰ‬ ‫‬ ‫ﺗﻮ‬ ‫اﻧ‬ ‫ﻨﺪ‬ ‫اﻳ‬ ‫ﻦ‬ ‫ﺗﻌ‬ ‫ﺮﻳ‪O‬‬ ‫را ﺑﻪﻛﺎر‬ ‫ﺑﺮﻧﺪ ـ ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ اﺳﺘﺪﻻل اﻳﻦ داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ ﭼﻨﺪ ﭘﻴﺎم داﺷﺘـﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﻳﻜﻰ ﻋـﺪم ﺗـﻮﺟﻪ و دﻗـﺖ وى ﺑﻪ ﻣﺜﺎل ﻫـﺎى اراﺋﻪ ﺷـﺪه در‬ ‫ﻛﺘﺎب درﺳﻰ و دﻳﮕﺮى ﻋﺪم اﺳﺘﻔﺎده ى ﻣﻌﻠﻢ از ﻛﺘﺎب ﻫﺎى درﺳﻰ‬ ‫ﻳﺎ ﻋﺪم ﺗﺄﻛﻴﺪ ﻣﻌﻠﻢ ﺑﻪ ﻣﺜﺎل ﻫﺎى ﺧﺎص اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻨﺠﺪ ﺑﻪ ﻧﺎﺳﺎزﮔﺎرى‬ ‫داﻧﺶ ﻣﻮﺟﻮد ﺑﺎ ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻫﺎى ﻗﺒﻠﻰ داﻧﺶ آﻣﻮز ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻫﻤـﻪ



ى‬ ‫اﻳﻦ دﻻﻳﻞ و دﻻﻳﻞ دﻳﮕـﺮى ﻛﻪ ﺷﺎﻳـﺪ وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ و ﻫـﻨـﻮز‬ ‫ﺑﺮاى ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮ ﻧﺎﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺎﻋﺚ ﺷﺪ ﺗﺎ ﻫﻤﻪ ى داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫ﺑﻪ ﺟﺰ ﻳﻚ ﻧﻔﺮ‪ ،‬ﻧﺘﻮاﻧﻨﺪ در ﺑﺮﺧﻮرد ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال ﭘﺎﺳﺦ درﺳﺖ دﻫﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ ﻓﺮدى ﻫﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال ﭘﺎﺳﺦ درﺳﺖ داد‪ ،‬ﺑﻪ ﻗﻄﻌﻪ ﻗﻄﻌﻪ‬ ‫ﺑﻮدن داﻣﻨﻪ ى ﻧﻤﻮدار ﺗﻮﺟﻬﻰ ﻧﻜـﺮده ﺑﻮد‪ .‬ﺑﺎ اﻳﻦ ﺣﺎل‪ ،‬اﻳﻦ ﻓﺮد در‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪ ﻧﻤﻮدار ﺷﻤﺎره ى )‪ (١‬دﭼﺎر اﺷﺘﺒﺎه ﺷﺪ‪ .‬ﻳﻌﻨﻰ ﺑﺎ وﺟـﻮدى‬ ‫ﻛﻪ وى ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال ﭘﺎﺳـﺦ داد‪ ،‬وﻟﻰ ﭘﺎﺳﺦ ﻧﺎدرﺳﺖ او ﺑﻪ ﻧﻤﻮدار‬ ‫ﺷﻤﺎره ى ﻳﻚ‪ ،‬ﻋﺪم ﺗﻮﺟﻪ و درك داﻣﻨﻪ را ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﺪ‪ .‬ﻛﻪ اﻳـﻦ‬ ‫ﻗﻀﺎوت‪ ،‬ﻧﻴﺎزﻣﻨﺪ ﺑﺮرﺳﻰ ﻫﺎى ﻋﻤﻴﻖ ﺗﺮ ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﭼﻬﺎر داﻧﺶ آﻣﻮز ﺷﺮﻛﺖ ﻛﻨﻨﺪه در ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﻧﻴﺰ‪ ،‬اﻳﻦ دو ﻧﻤﻮدار‬ ‫را ﺗﺎﺑﻊ داﻧﺴﺘﻨﺪ‪ .‬آن ﻫﺎ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻜﻨﻴﻚ ﺧﻂ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر ‪y‬ﻫﺎ‪،‬‬ ‫اﺳﺘﺪﻻل ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺧﻂ‪ ،‬ﻧﻤﻮدار را در دو ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﻧﻤﻰ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻫﻢ ﭼﻨﻴـﻦ‪ ،‬وﻗﺘﻰ از آن ﻫﺎ در ﻣﻮرد ﻧﻘﺎﻃﻰ از داﻣﻨﻪ ى ﻧـﻤـﻮدارِ )‪(١‬‬ ‫ﺳﺆال ﺷﺪ‪ ،‬ﭘﺎﺳﺦ دادﻧﺪ ﻛﻪ »ﻫﻴﭻ ﻣﻘﺪارى ﺑﺮاى آن ﻫﺎ وﺟﻮد ﻧﺪارد«‬ ‫وﻟﻰ در ﻧﻬﺎﻳﺖ ﮔﻔﺘﻨﺪ ﻛﻪ »ﻧـﻤـﻮدارﻫﺎ ﻫﺮ دو ﺗﺎﺑﻊ اﻧﺪ«‪ .‬ﺷﺎﻳﺪ دﻟﻴـﻞ‬ ‫اﻳﻦ اﻣﺮ‪ ،‬اﻳﻦ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ آن ﻫـﺎ در ﻣـﻮاﺟﻪ ﺷﺪن ﺑﺎ ﻧﻤـﻮدار‪ ،‬ﺗﻌﺮﻳـ‪I‬‬ ‫ﺗﺎﺑـﻊ را ﻓﺮاﻣﻮش ﻛـﺮدﻧﺪ و ﻓﻘﻂ ﺳﻌـﻰ ﻛـﺮدﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔـﺎده از اﻳـﻦ‬ ‫ﺗﻜﻨﻴﻚ‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮدن ﻧﻤﻮدارﻫﺎ را ﺗﺸﺨﻴﺺ دﻫﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎى اﻳﻦ ﺑﺨﺶ ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ﻧـﻤـﻮدارﻫﺎ ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻳﻜﻰ از‬ ‫ﻣﻬﻢ ﺗﺮﻳﻦ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﻫﻤﻴﺸﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺎ اﻳﺪه ى ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫در ذﻫﻦ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣـﺮﺗﺒﻂ ﻧﻤﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬داﻧﺶ آﻣـﻮزان در ﺗﻔﺴﻴﺮ‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻧﻤﻮدارى‪ ،‬ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﺟﺪى ﻣﺸﻜﻞ‬



‫دارﻧﺪ‪ .‬از ﻃـﺮف دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﺗﻌﺒﻴﺮ و ﺗﻔـﺴـﻴـﺮ درﺳﺖ ﻧﻤـﻮدارﻫﺎ ﺗـﻮﺳﻂ‬ ‫داﻧﺶ آﻣـﻮزان‪ ،‬ﺑـﻪ درك آن ﻫﺎ از ﻣﻔـﻬـﻮم ﺗﺎﺑـﻊ واﺑﺴﺘـﻪ اﺳـﺖ‪ .‬در‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‪ ،‬ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎى اﻳﻦ ﺑﺨـﺶ را ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺧﻼﺻـﻪ‬ ‫ﻛﺮد ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان‪:‬‬ ‫ـ ﺑﻪ ﻧﻘﺎﻃﻰ از داﻣﻨـﻪ ﻛـﻪ ‪y‬اى ﺑﺮاى آن ﻫﺎ ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﻧﺸـﺪه ﺑـﻮد‪،‬‬ ‫ﺗﻮﺟﻬﻰ ﻧﻜﺮدﻧﺪ‪.‬‬ ‫ـ ﺗﻜﻨﻴﻚ ﺧﻂ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر ‪y‬ﻫﺎ را ﺑﻪ راﺣﺘﻰ ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ ﺑﺮدﻧﺪ‪،‬‬ ‫وﻟﻰ از اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ ﻏﺎﻓﻞ ﺑﻮدﻧﺪ ﻛﻪ ﺧﻂ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر ‪y‬ﻫﺎ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ ﻧﻤﻮدار‬ ‫را ﺣﺪاﻛﺜﺮ در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗـﻄـﻊ ﻛـﻨـﺪ‪ .‬در واﻗﻊ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان درك‬ ‫ﺻﺤﻴﺤﻰ از داﻣﻨﻪ ﻧﺪاﺷﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ـ ﻧﻤﻮدارى ﻛﻪ داراى داﻣﻨﻪ ى ﻣﺤﺪود ﻳﺎ ﻗﻄﻌﻪ ﻗﻄﻌﻪ ﺑﺎﺷﺪ را ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﻧﻤﻰ داﻧﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ـ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻛﻠﻰ‪ ،‬آن ﻫـﺎ اﺳـﺘـﺪﻻل ﻫـﺎى ﻗـﺎﻧـﻊ ﻛـﻨـﻨـﺪه اى ﺑـﺮاى‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎﻳﺸﺎن اراﺋﻪ ﻧﻜﺮدﻧﺪ و اﻳﻦ ﻧﺎﺗﻮاﻧﻰ ﺗﺎ ﺣﺪى‪ ،‬ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ درك‬ ‫ﺿﻌﻴ‪ I‬داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﻣﻔﻬﻮم داﻣﻨﻪ و ﻋﺪم ﺳﺎزﮔﺎرى اﻳﻦ داﻧﺶ ﺑﺎ‬ ‫ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻫﺎى ﻗﺒﻠﻰ آن ﻫﺎ ﺑﻮد‪.‬‬ ‫اﻳﻦ ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎ ﺑﻴﺎﻧﮕﺮ اﻳﻦ ﺣﻘﻴـﻘـﺖ ﺑـﻮدﻧﺪ ﻛﻪ ﺑـﺮاى درك ﻣﻔﻬـﻮم‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﻧﻴﺎزﻣﻨﺪ ﻓﻬﻢ ﻋﻤﻴﻖ ﺗـﺮى از ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻧﻤـﻮدارى‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻳﺎﻓﺘﻪﻫﺎى ﺣﺎﺻﻞ از ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﺆاﻻت ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ‬ ‫ﻓﺮﻣﻮلﻫﺎ‬ ‫ﺳﺆال ‪ .١‬آﻳﺎ ﻓﺮﻣﻮل زﻳﺮ‪،‬ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﺧﻮد را ﺷﺮح دﻫﻴﺪ‪.‬‬ ‫‪f:R → R‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x‬‬



‫ ‬



‫ﻫﺪف اﻳﻦ ﺳﺆال‪ ،‬ﺑﺮرﺳﻰ درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ در‬ ‫ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻓﺮﻣﻮﻟﻰ ﺑﻮد و ﺳﻌﻰ ﺷﺪ اﻳﻦ ﺳـﺆال ﺟﺰو ﻣﺜﺎل ﻫﺎﻳﻰ ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻛﻪ ﺑﺮاى داﻧﺶ آﻣﻮزان آﺷﻨﺎ اﺳﺖ‪ .‬ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ ﻣﻌﺮف ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎىِ‬ ‫‪٣١‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ ،‬روش ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠﻔﻰ را ﻣﻰ داﻧﺴﺘﻨﺪ و آن ﻫﺎ را ﺑﻪ ﻛﺎر‬ ‫ﻣﻰ ﺑﺮدﻧﺪ‪ ،‬وﻟﻰ ﺳﺮاﻧﺠﺎم در اراﺋﻪ ى درﺳﺖ ﻧﺎﻣﻮﻓﻖ ﻣﺎﻧﺪﻧﺪ‪.‬‬



‫ى اﻳﺠﺎد ﺗﺼـﻮرات‬ ‫ﺗﺎ ﻓـﺮﺻﺖ ﻛﺎﻓﻰ ﺑـﺮا‬ ‫ﻻزم اﺳﺖ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ و زﻣﻴﻨﻪﺳﺎزى‬ ‫ن ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫داﻧﺶآﻣﻮزا‬ ‫ﻰ ﺗﺎﺑﻊ اﻳﺠﺎد ﺷﻮد‬ ‫ى درك ﻣﻔﻬﻮم اﺻﻠ‬ ‫ﺑﺮا‬



‫ﻳﺎﻓﺘﻪﻫﺎى ﺣﺎﺻﻞ از ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﺆاﻻت ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﺛﺎﺑﺚ‬ ‫ﺳﺆال‪ :‬آﻳﺎ ﻋﺒﺎرت ﻫﺎى زﻳﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﻫﺴﺘﻨﺪ؟ دﻻﻳﻞ ﺧـﻮد را ﺷﺮح‬ ‫دﻫﻴﺪ‪.‬‬ ‫‪y=4‬‬



‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال اﺳﺖ‪:‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬ﭼﻮن ﺗﻌﺮﻳ‪ h‬ﻧﺸﺪه‪ ،‬ﺑﻰ‪C‬ﻣﻌﻨﻰ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ازاى ‪x =0‬‬ ‫ﻣـﻘـﺪارى ﺑﺮاى ‪ y‬ﺑﻪ دﺳـﺖ ﻧـﻤـﻰ‪C‬آﻳـﺪ )‪ ، f (0‬اﮔﺮ داﻣـﻨـﻪ‪ C‬ﺑـﻪ ﺻـﻮرت‬ ‫→‪ f:R >0‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ‪. x =0 ، R − {0} ،‬‬ ‫● ﺗـﺎﺑـﻊ اﺳـﺖ‪ ،‬زﻳـﺮا ﻃﺒـﻖ ﺗـﻌـﺮﻳـ‪ h‬و ﻫـﻢ از روى ﻧـﻤـﻮدار و ﻫـﻢ از‬ ‫داﻣﻨﻪ‪C‬ى آن ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺤﺴﻮب ﻣﻰ‪C‬ﺷﻮد‪.‬‬ ‫● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪،‬‬ ‫‪f (x) = 2 f (x) = 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و ‪1‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪.‬‬



‫ﺳﺆال ‪ .٢‬آﻳﺎ ﻓﺮﻣﻮل زﻳﺮ ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﺧﻮد را ﺷﺮح دﻫﻴﺪ‪.‬‬ ‫ ‬



‫‪f:R → R‬‬ ‫‪f (x) = x‬‬



‫ـ اﻛﺜﺮ داﻧﺶ آﻣﻮزاﻧﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺳﺆاﻻت ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻓﺮﻣﻮل‪،‬‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ درﺳﺖ دادﻧﺪ‪ ،‬ﺑﻪ راﺣﺘﻰ ﺗﻮاﻧﺴﺘﻨﺪ اﻋﻀﺎﻳﻰ از داﻣﻨﻪ ى داده ‬ ‫ﺷﺪه را ﻛﻪ ﺗﺎﺑﻊ در آن ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﻧﺸﺪه ﺑﻮد‪ ،‬ﺑﺒﻴﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ـ ﻳﻜﻰ از دﻻﻳﻠﻰ ﻛﻪ ﺑﺎﻋﺚ ﺷـﺪ ﺑـﺮﺧﻰ از داﻧﺶ آﻣﻮزان ﭘﺎﺳـﺦ‬ ‫ﻧﺎدرﺳﺖ دﻫﻨﺪ‪ ،‬ﻋﺪم ﺗﻮﺟﻪ آن ﻫﺎ ﺑﻪ ﻧﻤﺎد ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺗﺎﺑﻊ )‪(f:R → R‬‬ ‫ﺑﻮد‪ .‬در واﻗﻊ‪ ،‬ﺑﻌﻀـﻰ از داﻧـﺶ آﻣـﻮزان‪ ،‬ﻗﺒـﻼً ﺑﺎ اﻳـﻦ دو ﻓـﺮﻣﻮل‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ﻫﺎى اوﻟﻴﻪ از ﺗﺎﺑﻊ ﻛﻪ داﻣﻨﻪ ﻫﺎى ﺻﺤﻴﺢ داﺷﺘﻨﺪ‪ ،‬آﺷﻨﺎ‬ ‫ﺷﺪه ﺑـﻮدﻧﺪ و ﺑﺪﻳﻦ ﺟﻬـﺖ‪ ،‬اﻳـﻦ ﻫـﺎ را ﺗﺎﺑﻊ داﻧﺴﺘـﻨـﺪ‪ .‬ﻣـﺜـﻼً اﻳـﻦ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ ،‬ﺑﺎ رﺳﻢ ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ‪ x‬ﺑﺮاى‪ x ≥0‬و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از‬ ‫ﺗﻜﻨﻴﻚ ﺧﻂ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر ‪y‬ﻫﺎ‪ ،‬اﺳﺘﺪﻻل ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻓﺮﻣﻮل ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ـ ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ ﻫﺎ‪ ،‬ﻫﻴﭻ ﻳﻚ از ﭼﻬﺎر ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﺷﻮﻧﺪه‪ ،‬ﺑﻪ اﻳﻦ‬ ‫ﺳﺆال ﭘﺎﺳـﺦ درﺳﺘﻰ ﻧﺪادﻧﺪ و اﻳﻦ ﻧﻜـﺘـﻪ ﻗـﺎﺑـﻞ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑـﻮد ﻛﻪ اﻳـﻦ‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫‪٣٢‬‬



‫)ﺑﺮاى ﻫﻤﻪ ى ﻣﻘﺎدﻳﺮ ‪y = 4 (x‬‬ ‫)‪y = 4(x ≥ 2‬‬



‫ﻫﺪف اﻳﻦ ﺳـﺆال‪ ،‬ﺑﺮرﺳﻰ درك داﻧﺶ آﻣـﻮزان از ﻣﻔﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ در ﻋﺒﺎرت ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬و ﺷﻨﺎﺳﺎﻳﻰ ﻣﺸﻜﻼت اﺣﺘﻤﺎﻟﻰ آن ﻫﺎ‬ ‫در ﺣﺮﻛﺖ از ﻳﻚ ﺣﺎﻟﺖ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ دﻳﮕﺮ ﺑﻮد‪.‬‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪ ﺳﺆال اﺻﻠﻰ ﺗﺤﻘﻴﻖ‬ ‫ﻳﻜﻰ از اﻫﺪاف اﻳﻦ ﺗﺤﻘـﻴـﻖ‪ ،‬ﺑـﺮرﺳﻰ و ﺗﺤﻠﻴـﻞ ﭼـﮕـﻮﻧﮕـﻰ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ى داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﻫﺎى رﺳﻤﻰ ﺗﺎﺑﻊ و ﺗﺼﻮرﻫﺎى‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم ﺷﻜﻞ ﮔﺮﻓﺘﻪ در ذﻫﻦ آن ﻫﺎ ﺑﻮد‪ .‬ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎى‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺗﻌﺪاد ﻛﻤﻰ از داﻧﺶ آﻣﻮزان در ﺣﻴﻦ‬ ‫ﻛﺎر ﻛـﺮدن ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬ﺗـﺎﺑـﻊ‪ ،‬ﺑـﺮ روى وﻳﮋﮔﻰ ﻫـﺎى‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺘﻤﺮﻛﺰ ﺷﺪﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻛﻠﻰ‪ ،‬ﻣﻰ ﺗﻮان ﮔﻔﺖ ﻛﻪ اﻛﺜﺮ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان در ﺑﺮﺧﻮرد ﺑﺎ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻧﻤـﻮدارﻫﺎى ون و ﻧﻤﺎﻳﺶ زوج‬ ‫ﻣﺮﺗﺒﻰ‪ ،‬ﺗـﻮاﻧﺴﺘﻨﺪ وﻳـﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﺗﺎﺑـﻊ را ﺑﻪ وﺿﻮح ﺑﺒﻴﻨﻨـﺪ‪.‬‬ ‫داﻧﺶ آﻣـﻮزان در ﺑـﺮﺧﻮرد ﺑﺎ ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫـﺎى ﻧـﻤـﻮدارى و ﻓـﺮﻣﻮل‪،‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﺗﺎﺑﻊ را ﻛﻨﺎر ﮔﺬاﺷﺘﻨﺪ و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻜﻨﻴﻚ ﻫﺎﻳـﻰ ﻛـﻪ در‬ ‫دﺳﺖ داﺷﺘﻨﺪ ﺑﻪ اﺳﺘﺪﻻل ﺗﺸﺨﻴﺺ ﺗﺎﺑﻊ ﺑـﻮدن ﭘﺮداﺧﺘﻨﺪ‪ .‬ﻫﻤﻴﻦ‬ ‫اﻣﺮ‪ ،‬ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻰ ﻫـﺎى ﻣـﺘـﻔـﺎوﺗـﻰ را در ﺑﺮﺧﻮرد ﺑﺎ ﻫﺮ ﻛـﺪام از اﻳـﻦ‬ ‫ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫـﺎ ﺑـﺮاى آن ﻫﺎ ﺑﻪ وﺟﻮد آورد‪ .‬ﻋﻠﺖ اﻳﻦ اﻣﺮ اﻳـﻦ ﺑـﻮد ﻛﻪ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﺑﻪ ﺗﺠﺎرب ﻗﺒﻠﻰ ﺧﻮد ﺗﻜﻴﻪ داﺷﺘﻨﺪ ﺗﺎ ﺗﻌﺮﻳ‪I‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮرى ﻛﻪ در ﺑـﺮﺧﻮرد ﺑﺎ ﻳﻚ ﻧﻤﻮدار ﻧﺎآﺷﻨﺎ دﭼﺎر ﻣﺸﻜـﻞ‬ ‫ﻣﻰ ﺷﺪﻧﺪ و ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺧﻮاص ﻣﺜﺎل ﻫﺎى اوﻟﻴﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎى آﺷﻨﺎ ﺑﻪ‬ ‫اﻳﻦ ﻧﻮع ﺳﺆال ﻫﺎ ﭘﺎﺳﺦ دادﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻛﻠﻰ‪ ،‬ﻣﻰ ﺗـﻮان ﭼﮕﻮﻧﮕـﻰ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ى داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﺗﺎﺑﻊ را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺧﻼﺻﻪ‬ ‫ﻛﺮد‪:‬‬ ‫● ﺑـﻴـﺶ ﺗـﺮ داﻧـﺶ آﻣــﻮزان ﻗـﺎدر ﺑـﻮدﻧـﺪ ﺗـﻌـﺮﻳـ‪ I‬ﺗـﺎﺑــﻊ را ﺑــﺮاى‬ ‫ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﺳﺎده از ﺟﻤﻠﻪ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺻﻮرت زوج ﻣﺮﺗﺐ ﻳﺎ‬ ‫ﻧﻤﺎﻳﺶ آن ﺑﻪ ﺻـﻮرت ﻧﻤـﻮدارﻫﺎى ون ﻛﻪ ﺟﺰو ﻧﻤـﻮﻧﻪ ﻫﺎى اوﻟﻴﻪ ى‬



‫ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺗﺎﺑﻊ ﻫﺴﺘﻨﺪ اراﺋﻪ دﻫﻨﺪ؛‬ ‫● زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان از وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬ﺗﺎﺑﻊ اﺳـﺘـﻔـﺎده‬ ‫ﻧﻤﻰ ﻛﺮدﻧﺪ‪ ،‬ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﺑﻪ ﻣﺜﺎل ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻗﺒﻼً ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻛـﺮده ﺑﻮدﻧﺪ ﺗﻜﻴﻪ‬ ‫داﺷﺘﻨﺪ و ﺑﻪ ﻃـﻮر ﻛـﻠـﻰ‪ ،‬درك ﻛﻠﻰ و ﻣﺒﻬﻤـﻰ از ﺗـﻌـﺮﻳـ‪ I‬ﺗـﺎﺑـﻊ‬ ‫داﺷﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺳﺨﻦ ﭘﺎﻳﺎﻧﻰ‪ :‬ﭼﻨﺪ ﺗﻮﺻﻴﻪى آﻣﻮزﺷﻰ‬ ‫ﺑﺮاﺳﺎس ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎى اﻳﻦ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ‪ ،‬ﺗﻮﺻﻴﻪ ﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ زﻳﺮ اراﺋﻪ‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫● ﻻزم اﺳﺖ ﺗﺎ ﻓﺮﺻﺖ ﻛﺎﻓﻰ ﺑـﺮاى اﻳﺠﺎد ﺗﺼﻮرات داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﻔﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ و زﻣﻴﻨﻪ ﺳﺎزى ﺑﺮاى درك ﻣﻔﻬـﻮم اﺻﻠﻰ ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫اﻳﺠﺎد ﺷﻮد‪.‬‬ ‫● آﺷﻨﺎﻳﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎن ﺑﺎ ﺗﺼﻮرﻫﺎى داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ‪،‬‬ ‫ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﺑـﺮﻃﺮف ﻛﺮدن ﻣﺸﻜﻼت و ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻰ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻣﻤـﻜـﻦ‬ ‫اﺳﺖ ﺑﺎ ﺗﻌﺮﻳ‪ I‬رﺳﻤﻰ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ در ذﻫﻦ آن ﻫﺎ ﺷﻜﻞ ﮔﻴﺮد‪ ،‬ﻛﻤﻚ‬ ‫ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫● ﻓـﺮاﻫﻢ آوردن ﻣﺠـﻤـﻮﻋﻪ اى از ﻣﺜﺎل ﻫـﺎى ﻣـﺘـﻨـﻮع از ﺗﺎﺑـﻊ ﻫـﺎى‬ ‫ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬ﺗﻮﺳﻂ ﻣﻌﻠﻤﺎن‪ ،‬ﺑﺮاى ﺗﻘﻮﻳﺖ ﺗﺼﻮرات داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﻔﻴﺪ‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫● اﺳﺘﻔﺎده از ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ در ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳﺎﺿﻰ و ﺑﻪ وﻳﮋه‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﻳﻌﻨﻰ اﺗﺼﺎل‪ ،‬ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ و ﺗﺒﺪﻳﻞ از ﻳﻚ ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ دﻳﮕﺮ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﺑﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻛﻤﻚ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﺗﺎ‬ ‫ﺑﺘـﻮاﻧﻨـﺪ ﻣـﻬـﺎرت ﻫﺎى ﻧﻤﺎﻳﺶ و ﺗـﺸـﺨـﻴـﺺ ﻣـﻔـﻬـﻮم ﺗـﺎﺑـﻊ ر ا در‬ ‫ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ I‬ﻛﺴﺐ ﻛﻨﻨﺪ و ﺑﺘـﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻴﻦ آن ﻫﺎ‪ ،‬اﺗﺼﺎل و‬ ‫ارﺗﺒﺎط ﺑﺮﻗﺮار ﻧﻤﺎﻳﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﭘﻰﻧﻮﺷﺖ‬ ‫‪1. Hamley‬‬ ‫‪2. Hedrick‬‬ ‫‪3. Unifying‬‬ ‫‪4. Flips‬‬ ‫‪5. Slides‬‬ ‫‪6. Bredenbach‬‬ ‫‪7. Hawks‬‬ ‫‪8. Nichols‬‬ ‫‪9. Carlson‬‬ ‫‪10. Dreyfus‬‬ ‫*‪11. Procept‬‬ ‫* ﻓﺮﻫﻮم از دو ﻛﻠﻤﻪ ى ‪ process‬ﺑﻪ ﻣﻌﻨﻰ ﻓﺮآﻳﻨﺪ و ‪ concept‬ﺑﻪ ﻣﻌﻨﻰ ﻣﻔﻬﻮم ﺳﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه‬ ‫اﺳ ﺖ ‪.‬‬



‫ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﻳ‬ ‫ﻜﻰ از اﺳﺎﺳﻰﺗﺮﻳ‬ ‫ﻦ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫اﺳﺖ ﻛﻪ ﻳﺎد‬ ‫ﮔﻴﺮﻧﺪهﻫﺎ از دوران‬ ‫ا‬ ‫ﺑﺘ‬ ‫ﺪ‬ ‫اﻳ‬ ‫ﻰ‬ ‫ﺗﺎ‬ ‫د‬ ‫اﻧ‬ ‫ﺸ‬ ‫ﮕﺎه‪،‬‬ ‫ﺑﺎ آن ﺳﺮوﻛﺎر دارﻧﺪ‬ ‫ﻣﻨﺎﺑﻊ‬ ‫اﻟ‪ (O‬ﻓﺎرﺳﻰ‬ ‫‪ .١‬ﺳﺮﺷﺘﻰ‪ ،‬ﺣﻤﻴـﺪه‪ .(١٣٨٤) .‬ﻧﻘﺶ ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى در ارﺗﻘﺎء ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻰ ﻋـﻤـﻮﻣﻰ‪ ،‬ﭘﺎﻳﺎن ﻧﺎﻣﻪ‬ ‫ﺑﺮاى درﻳﺎﻓﺖ درﺟﻪ ﻛﺎرﺷﻨﺎﺳﻰ ارﺷﺪ در آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬داﻧﺸﮕﺎه ﺷﻬﻴﺪ ﺑﻬﺸﺘﻰ‪.‬‬ ‫‪ .٢‬ﮔﻮﻳﺎ‪ ،‬زﻫﺮا؛ ﻣﺮﺗﺎﺿﻰ ﻣﻬﺮﺑﺎﻧﻰ‪ ،‬ﻧـﺮﮔﺲ‪ .(١٣٨٣) .‬ﻣﺎﻫﻴﺖ رﻳﺎﺿﻰ‪ .‬ﻣﺠﻠﻪ‪C‬ى رﺷﺪ آﻣﻮزش‬ ‫رﻳﺎﺿـﻰ‪ ،‬ﺷﻤـﺎره ى ‪ ،٧٦‬ﺻﺺ ‪٣٦‬ـ‪ ،٢٨‬دﻓﺘﺮ اﻧﺘـﺸـﺎرات ﻛﻤـﻚ آﻣـﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﺳـﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫـﺶ و‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬وزارت آﻣﻮزش وﭘﺮورش‪.‬‬ ‫‪ .٣‬ﻣﺪﻗﺎﻟﭽﻰ‪ ،‬ﻋﻠـﻴـﺮﺿﺎ‪ ٨٠) .‬ـ ‪ ،(١٣٧٩‬ﭼﺎﻟﺶ ﻫـﺎى آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿﻰ در ﺣـﻮزه ى ﺣﺴﺎﺑﺎن‪.‬‬ ‫ﻣﺠﻠـﻪ‪C‬ى رﺷﺪ آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿـﻰ‪ ،‬ﺷﻤـﺎره ى ‪ ،٦١‬ﺻﺺ ‪١٠‬ـ‪ ،٤‬دﻓﺘﺮ اﻧﺘـﺸـﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣـﻮزﺷﻰ‪،‬‬ ‫ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬وزارت آﻣﻮزش وﭘﺮورش‪.‬‬



‫ب( اﻧﮕﻠﻴﺴﻰ‬ ‫‪4. Akkoc, H. & Tall, D. (2006). AMismatch Between Curriculum‬‬ ‫‪Design and Student Learning: The Case of the Function Concept,‬‬ ‫‪Proceedings of the sixth British Congress of Mathematics Education‬‬ ‫‪held at University of Warwick, pp.1-8.‬‬ ‫‪5. Breidenbach, D., Dubinsky, E., Hawks, J. & Nichols, D. (1992).‬‬ ‫‪Development of the process Conception of Function, Educational‬‬ ‫‪Studies in Mathematics, 23, (3), pp. 247-285.‬‬ ‫'‪6. Carlson, M. (1999). A Study of Second Semester Calculus Students‬‬ ‫‪Function Conceptions. Published in Proceeding of PME 23.‬‬ ‫‪7. Davis, Gray E; Mc Gowen, Mercedes A. (2002). Function Machines‬‬ ‫‪& Flexible Algebraic Thought. Proceeding of the 26th International‬‬ ‫‪Group for the psychology of Mathematics Education, University of‬‬ ‫‪East Anglia, Norwich, U.K.‬‬ ‫‪8. Hamley, H. R. (1934). The Function Concept in School Mathematics.‬‬ ‫‪The Mathematical Gazette, Vol. 18, No. 229. pp. 169-179.‬‬ ‫‪9. Hedrick, E.R. (1938). The Function Concept in Dlementary Teaching‬‬ ‫‪and in Advanced Mathematics, The American Mathematical Monthly,‬‬ ‫‪Vol. 45, No. 7. pp. 448-455.‬‬ ‫‪10. Sajka, M. (2003). A Secondary School Students' Understanding‬‬ ‫‪of the Concept of Function: A Case Study, Educational Studies in‬‬ ‫‪Mathematics, 53, (3), pp. 229-254.‬‬ ‫‪11. Tall, D. (1997). Function and Calculus, In A. J. Bishop et al (Eds),‬‬ ‫‪International Handbook of Mathematics Education, pp. 289-325.‬‬ ‫‪12. Tall, D. & Vinner, S. (1981). Concept Image and Concept Defintion‬‬ ‫‪in Mathematics with Particular Reference to Limit and Continuity.‬‬ ‫‪Educational Studies in Mathematics, 12, pp. 151-169.‬‬ ‫‪13. Vinner, S. & Dreyfus, T. (1989). Images and Definitions for the‬‬ ‫‪Concept of Function. Journal for Research in Mathematics Education,‬‬ ‫‪20. (4), pp. 356-366.‬‬



‫‪٣٣‬‬



‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﻧﻐﻤﻪ ﺣﺎﺟﻰ ﺻﺎدﻗﻰ‬ ‫ﻛﺎرﺷﻨﺎس رﻳﺎﺿﻰ و ﻣﻌﻠﻢ رﻳﺎﺿﻰ اﺑﺘﺪاﻳﻰ‪ ،‬ﻣﻨﻄﻘﻪى ‪ ٢‬ﺗﻬﺮان‬



‫ﺑﺮرﺳﻰ وﻳﮋﮔﻰﻫﺎى‬



‫ﻫﺎ‬ ‫ﭼﻬﺎرﺿﻠﻌﻰ‬



‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬



‫ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره‪٨٩‬ى‪٣٤ ٣١٣‬‬



‫ﺑﻪدﻟﻴﻞ اﻫﻤﻴﺖ ﻧﻘﺶ ﻣﻌﻠﻢ‪ ،‬ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪﻫﺎى آﻣـﻮزش ﻣﻌﻠﻤﺎن‬



‫ﺗﺪرﻳـﺲ ﻛـﻪ از دل ﻛـﻼس درس و ﻋﻤﻞ ﻣـﻌـﻠـﻢ ﻣـﻰﺟـﻮﺷـﺪ‪،‬‬



‫از اﻫﻤﻴـﺖ وﻳـﮋهاى ﺑـﺮﺧـﻮردار اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺠـﻠـﻪى رﺷﺪ آﻣـﻮزش‬



‫ﺑﭙﺮدازﻧﺪ‪ .‬آنﮔﺎه ﻧﻈﺮﻳﻪﻫﺎ ﺑﻪ ﻋـﻤـﻞ درﻣﻰآﻳﻨﺪ و ﻣﺠـﺪداً ﻋﻤﻞ‬



‫رﻳﺎﺿﻰ در ﻧﻈﺮ دارد ﻛﻪ اﻳﻦ ﻣﻬـﻢ را ﺑﻪﻋﻨﻮان ﻳﻜﻰ از وﻇﺎﻳ‪2‬‬



‫ﺑﻪ ﻧﻈﺮﻳﻪ ﻛﺸﺎﻧﺪه ﻣﻰﺷﻮد و اﻳﻦ ﻓﺮآﻳﻨﺪ ﻫﻢﭼﻨﺎن اداﻣﻪ ﭘﻴﺪا‬



‫اﺻﻠﻰ ﺧﻮﻳﺶ ﺑﺪاﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪﻫﻤﻴـﻦﻣـﻨـﻈـﻮر‪ ،‬ﺳﺘـﻮﻧﻰ در ﻣﺠﻠـﻪ ﺑـﺎ‬



‫ﻣﻰﻛﻨﺪ‪.‬‬



‫ﻋﻨﻮان رواﻳﺖﻫﺎى ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺎز ﺷﺪه اﺳﺖ ﺗﺎ از ﻃﺮﻳﻖ‬



‫از ﻫﻤﻜـﺎران ﮔﺮاﻣﻰ اﻧﺘﻈـﺎر ﻣـﻰرود ﻛـﻪ رواﻳﺖﻫﺎى ﺧـﻮد را ﺑﺮاى ﻣﺎ‬



‫آن‪ ،‬ﺑﺘـﻮاﻧﻴﻢ راﺑﻄﻪى ﻧـﺰدﻳﻚﺗﺮى ﺑﺎ ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳـﺎﺿـﻰ ﺑـﺮﻗﺮار‬



‫ﺑﻔﺮﺳﺘﻨﺪ‪ .‬ﻋﻠﻢ زﻣﺎﻧﻰ ارزﺷﻤﻨﺪ اﺳﺖ ﻛﻪ در اﺧﺘﻴﺎر ﻋﻤﻮم ﻗﺮار ﮔﻴﺮد‪ ،‬زﻳﺮا‬



‫ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬اﻳﻦ رواﻳﺖﻫﺎ ﺑـﺮاى ﻣﺤﻘﻘﺎن و ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻣﺤﻘﻖ ﻓﺮﺻﺖ‬



‫ﻛﻪ زﻛﺎت ﻋﻠﻢ ﻧﺸﺮ آن اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻋﺰﻳﺰ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ اﻫﻤﻴﺖ ﺗﺠﺮﺑﻪﻫـﺎى‬



‫ارزﻧﺪهاى ﺑﻪوﺟﻮد ﻣﻰآورد ﺗﺎ ﺑﻪ ﺗﺒﻴﻴﻦ ﻧﻈﺮﻳﻪﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ و‬



‫ﺧﻮد واﻗ‪ 2‬ﺷﻮﻧﺪ و ﺑﺎ ﭘﻮﻳﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﻏﻨﻰﺗﺮ ﻛﺮدن آنﻫﺎ ﺑﭙﺮدازﻧﺪ‪.‬‬



‫ﻣﻘﺪﻣﻪ‬ ‫رواﻳﺘﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﻣﻰآﻳﺪ‪ ،‬ﺗﺠﺮﺑﻪى ﺟﺪﻳﺪى را در اﻳﺮان ﻣﻄﺮح‬ ‫ﻣﻰﻛﻨﺪ؛ ﺗﺠﺮﺑﻪاى ﻛﻪ ﺑﺎ وﺟﻮد ﻗﺪﻣﺘﺶ در ﺧﺎرج از اﻳﺮان و رواﺟﺶ‬ ‫در ﻣﺠﺎﻣﻊ ﺗﺤﻘﻴﻘـﻰ‪ ،‬در ﺣـﻮزهى آﻣﻮزش ﻣﻌﻠﻤﺎن در اﻳـﺮان‪ ،‬ﻣﻮرد‬ ‫ﻛﻢﺗـﻮﺟﻬـﻰ ﻗـﺮار ﮔـﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ ﺗﺠـﺮﺑـﻪ‪ ،‬ﻓـﻴـﻠـﻢﺑـﺮدارى ﺗﺪرﻳـﺲ‬ ‫ﻛﻼس درﺳﻰ ﺗـﻮﺳﻂ ﺧﻮد ﻣﻌﻠﻢ‪ ،‬و ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر آﻣـﻮزش وى اﺳﺖ‪.‬‬ ‫از ﻃـﺮف ﻫﻴﺄت ﺗﺤﺮﻳﺮﻳﻪى ﻣﺠـﻠـﻪ ﺑـﻪ اﻳـﺸـﺎن ﺗـﺒـﺮﻳـﻚ ﻣـﻰﮔـﻮﻳـﻢ ﻛـﻪ‬ ‫ﺟﺴﺎرت ﺧﻮدﻧﻘﺪى را ﻛﻪ ﻣﻘﺪﻣﻪاى ﺑﺮ ﻳﺎدﮔﻴﺮىﻫﺎى ﻋﻤﻴﻖﺗﺮ اﺳﺖ‪،‬‬ ‫در ﺧﻮد اﻳﺠﺎد ﻧﻤﻮدهاﻧﺪ‪.‬‬ ‫اﻣـﻴـﺪوارﻳﻢ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺗـﺠـﺮﺑـﻪﻫـﺎ‪ ،‬ﺑـﻪ ﺗـﺪرﻳـﺞ ﻣـﻮﺿـﻮع ﺗﺤـﻘـﻴـﻘـﺎت‬ ‫اﺛﺮﺑﺨﺶ و ﻣﺘﻨﻮﻋﻰ در اﻳﻦ ﺣﻮزه ﮔﺮدد‪.‬‬ ‫ﺳﺮدﺑﻴﺮ‬



‫ﻗﺴﻤﺘﻰ از ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪى آﻣﻮزش درس ﻫﻨﺪﺳﻪ در ﺳﺎل ﭼﻬـﺎرم‬ ‫دورهى اﺑﺘﺪاﻳﻰ ﺑﺮ ﻣﺒـﻨـﺎى ﻳـﺎدﮔـﻴـﺮى ﻓـﻬـﺮﺳﺘﻰ از ﺗﻌـﺎرﻳـ; و‬ ‫وﻳﮋﮔﻰﻫﺎى ﭼﻬﺎرﺿﻠﻌﻰﻫﺎ ﺗﻮﺳﻂ داﻧﺶآﻣﻮزان اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮرﺳﻰ‬ ‫و اﺛﺒﺎت وﻳﮋﮔﻰﻫﺎى ﭼﻬﺎرﺿﻠﻌﻰﻫﺎ در ﺳﺎل دوم راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﻫﻢ‬ ‫ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ و ﺑﺮرﺳﻰ ﻗﺮار ﻣﻰﮔﻴﺮد‪ .‬زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ دورهى ﻛﺎرآﻣﻮزى‬ ‫ﺧﻮد را در ﺳﺎل دوم راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﻣﻰﮔﺬراﻧﺪم‪ ،‬ﻣﺘﻮﺟﻪ ﺷﺪم ﻛﻪ ﺑﻪ‬ ‫ﺧﺎﻃﺮ ﺳـﭙـﺮدن اﻳـﻦ وﻳـﮋﮔﻰﻫﺎ و ﺗﻌﺎرﻳـ;‪ ،‬ﺑـﻴـﺶﺗـﺮ ﻣـﻮﺟﺐ‬ ‫ﮔﻤﺮاﻫﻰ داﻧﺶآﻣﻮزان ﺷﺪه و ﭼﻪ ﺑﺴﺎ ﺗﻌﺪاد زﻳﺎدى از آنﻫﺎ اﻳﻦ‬ ‫ﺧﻮاص را ﻓـﺮاﻣﻮش ﻛﺮده ﺑـﻮدﻧﺪ‪ .‬در ﺣﻘﻴﻘـﺖ‪ ،‬ﺷـﻮاﻫﺪ ﻧﺸـﺎن‬ ‫ﻣﻰدادﻧﺪ ﻛـﻪ اﮔـﺮ داﻧـﺶآﻣـﻮزان‪ ،‬ﻓﻘﻂ ﺑـﺎ ﺗـﻜـﺮار و ﺑﻪ ﺷـﻜـﻞ‬ ‫ﻃﻮﻃـﻰوار ﺑﺨﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻪ ﺣﻔـﻆ ﻛـﺮدن اﻳﻦ وﻳـﮋﮔﻰﻫﺎ ﺑﭙـﺮدازﻧﺪ‪،‬‬ ‫ﺑﺮاﻳﺸﺎن ﻣﺸﻜﻞ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺷﺒﺎﻫﺖﻫﺎ و ﺗﻔﺎوتﻫﺎى ﭼﻬﺎر‬ ‫ﺿﻠﻌﻰﻫـﺎ را ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻨﺪ و در ﺳـﺎل دوم راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﻫﻢ ﺑﻪ ﺧﻮﺑـﻰ‬ ‫ﻧﻤﻰﺗﻮاﻧﻨﺪ دوﺑﺎره ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺑـﺮﮔﺸﺘﻪ و درك ﻋﻤﻴﻖﺗﺮى از‬ ‫اﻳﻦ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ ﻛﻪ ﻣﺸﺎﻫﺪه و ﻣﻘﺎﻳﺴﻪى دﻗﻴـﻖ اﺷـﻜـﺎل‪،‬‬ ‫وﺳﻴﻠﻪى ﺑﺴﻴﺎر ﻣـﻨـﺎﺳـﺒـﻰ ﺑـﺮاى ﻛﺸـ; و درك ﺣﻘـﺎﻳـﻖ و رواﺑﻂ‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﻰ اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ از ﺑﺮرﺳﻰ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫﺎى ﻣﺮﺑـﻮط ﺑﻪ آﺷﻨﺎﻳﻰ ﺑﺎ‬ ‫ﺧـﻮاص ﭼـﻬـﺎرﺿـﻠـﻌـﻰﻫـﺎ در ﻛـﺘــﺎب درﺳـﻰ ﺑـﺎ اﻳـﻦ ﻫـﺪف ﻛـﻪ‬



‫داﻧﺶآﻣﻮزان ﺑﻪﻃﻮر ﺷﻬﻮدى ﺑﺎ اﻧﺪازهﮔﻴﺮى و ﺗﺠﺮﺑﻪ‪ ،‬ﺑﻪ ﺧﻮاص‬ ‫ﻣﻮﺟﻮد در ﭼﻬﺎرﺿﻠﻌﻰﻫﺎ ﭘﻰ ﺑﺒﺮﻧﺪ و از آن ﺧﻮاص ﺑﺮاى رﺳﻢ ﺷﻜﻞ‬ ‫آنﻫﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬ﻓﻌﺎﻟﻴﺘﻰ را ﺑﺮاى ﭘﺎﻳﻪى ﭼﻬﺎرم اﺑﺘﺪاﻳﻰ ﻃﺮاﺣﻰ‬ ‫ﻛﺮدم‪.‬‬ ‫در ﻛﻼس ﻣﻦ‪ ،‬ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫﺎى ﮔﺮوﻫﻰ ﻣﺨﺘﻠﻔﻰ از اﺑﺘﺪاى ﺳﺎل‬ ‫اﺟﺮا ﺷﺪه ﺑﻮد‪ ،‬داﻧﺶآﻣﻮزان ﺑﺎ ﻛﺎر ﮔﺮوﻫﻰ آﺷﻨﺎ ﺑﻮدﻧﺪ و از آﻧﺠﺎ‬ ‫ﻛﻪ ﻧﻘﺶ ﻣﻦ در ﻛﻼس ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻫﺪاﻳﺖﻛﻨﻨﺪهى داﻧﺶآﻣـﻮزان‬ ‫ﺑﻮد‪ ،‬اﻧﺘﻈﺎر ﻧﺪاﺷﺘﻨﺪ ﻛﻪ در ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ آنﻫﺎ دﺧﺎﻟﺖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻛﻨﻢ و‬ ‫ﻣﻦ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﻌﻠﻤﻰ ﻛﻪ ﻓﻘﻂ ﻣﻮﺿﻮﻋﻰ را ﺗﺪرﻳﺲ و ﺗﻤﺮﻳﻦﻫﺎى‬ ‫ﻣﺮﺑـﻮط ﺑﻪ آن ﻣـﻮﺿﻮع را ﺣﻞ ﻛﻨﻢ ﻧﻤﻰﺷﻨﺎﺧـﺘـﻨـﺪ‪ .‬ﺑـﻨـﺎﺑـﺮاﻳﻦ‪،‬‬ ‫داﻧﺶآﻣـﻮزان درﮔﻴﺮ ﻓﻌـﺎﻟـﻴـﺖﻫـﺎ ﻣـﻰﺷـﺪﻧـﺪ و ﺑـﻪ ﻛـﻤـﻚ ﻫـﻢ‬ ‫ﮔﺮوهﻫﺎى ﺧﻮد‪ ،‬ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫﺎ را ﭘﻴﺶ ﺑﺮده و اﮔﺮ ﺑﺎ ﻣﺸﻜﻠﻰ روﺑﻪرو‬ ‫ﻣﻰﺷﺪﻧﺪ‪ ،‬ﺗﻼش ﻣﻰﻛﺮدﻧﺪ ﺧﻮدﺷﺎن در ﮔﺮوه آن را ﺣﻞ ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻃﺒﻖ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى ﻗﺒﻠﻰ‪،‬ﻗﺮار ﺑﻮد ﻳﻜﻰ از ﻫﻤﻜﺎران ﺑﺮاى ﻓﻴﻠﻢﺑﺮدارى‬ ‫ﺑﻪ ﻛﻼس ﻣﻦ ﺑﻴﺎﻳﻨﺪ‪ .‬از اﻳﻦﻛﻪ ﻣﻰﺧﻮاﺳﺘﻢ در ﻣﻘﺎﺑﻞ دورﺑﻴﻦ ﻛﻼس‬ ‫را اداره و ﻓﻌﺎﻟﻴﺘﻰ را ﻛﻪ ﺗﺎ ﺑﻪ ﺣﺎل ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻧﻜﺮده ﺑﻮدم ﺑﺮاى اوﻟﻴﻦ ﺑﺎر‬ ‫اﺟﺮا ﻛﻨﻢ‪ ،‬ﺑﺎ ﻫﻴﺠﺎن و ﺗﭙﺶ ﻗﻠﺐ وارد ﻛﻼس ﺷﺪه و ﻣﺮاﺣﻞ زﻳﺮ را‬ ‫ﺑﺮاى اﺟﺮاى ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ اﻧﺠﺎم دادم‪.‬‬ ‫اﺑﺘﺪا داﻧﺶآﻣـﻮزان در ﮔﺮوهﻫﺎى ‪ ٥‬ﻳﺎ ‪ ٦‬ﻧﻔﺮى ﺧﻮد ﻧﺸﺴﺘﻨـﺪ‪.‬‬ ‫ﺳﭙﺲ ﻳﻚ ﭘﺎﻛﺖ ﺷﺎﻣﻞ ﺷﻜـﻞﻫـﺎى ﻣـﻘـﻮاﻳﻰ ﻣـﺘـﻮازىاﻻﺿﻼع‪،‬‬ ‫ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‪ ،‬ﻟـﻮزى و ﻣﺮﺑﻊ‪ ،‬ﮔـﻮﻧﻴﺎ و ﺧﻂﻛﺶ در اﺧﺘﻴﺎر ﻫـﺮ ﮔـﺮوه‬ ‫ﮔﺬاﺷﺘﻢ‪.‬‬ ‫اﺳﺎﻣﻰ ﺷﻜﻞﻫﺎى ﻫﻨﺪﺳـﻰ اﮔـﺮﭼﻪ ﺑﺎ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺻﻔﺎت ﺷﻜـﻞ‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪهاﻧﺪ‪ ،‬وﻟﻰ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺟﻨﺒﻪى ﻗﺮاردادى داﺷﺘﻪ و در ﺟﻠﺴﺎت‬ ‫ﻗﺒﻞ ﺑﺎ ﻧﺸﺎن دادن ﺷﻜﻞﻫﺎ‪ ،‬ﻧﺎم آنﻫـﺎ را ﺑﻪ داﻧﺶآﻣﻮزان ﻣﻌﺮﻓﻰ و‬ ‫ﻳﺎدآورى ﻛﺮده ﺑﻮدم‪.‬‬ ‫داﻧﺶآﻣـﻮزان ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﺧـﻮد را آﻏﺎز ﻛـﺮده و از آنﻫﺎ ﺧﻮاﺳﺘـﻢ‬ ‫اﺑﺘـﺪا درﺳﺘﻰ ﻳﺎ ﻧـﺎدرﺳﺘﻰ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻧـﻮﺷﺘﻪ ﺷـﺪه را ﺣﺪس ﺑﺰﻧﻨـﺪ‪.‬‬ ‫ﺳﭙﺲ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﺑـﺰار ﻣﻮﺟﻮد‪ ،‬درﺳﺘﻰ ﺣﺪس ﺧـﻮد را ﺑﺮرﺳﻰ‬ ‫ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺟﺪوﻟﻰ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺟﺪول ﻛﺸﻴﺪه ﺷﺪه در ﺑﺮﮔﻪى ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ را در ﭘﺎى‬ ‫ﺗﺨﺘﻪ ﻛﺸﻴﺪم‪ .‬ﻧﻤﻮﻧﻪاى از ﺑﺮﮔﻪى ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ در زﻳﺮ آﻣﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪٣٥‬‬



‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎرهى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﺑﻪﻧﺎم ﺧﺪا‬ ‫درس‪ :‬رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﭼﻬﺎر ﺿﻠﻌﻰﻫﺎ‬



‫ﻛﻼس‪ :‬ﭼﻬﺎرم‬



‫ﺗﺎرﻳﺦ‪:‬‬



‫ﻧﺎم اﻋﻀﺎى ﮔﺮوه‪:‬‬ ‫در ﺟﺪول زﻳﺮ‪ ،‬وﻳﮋﮔﻰﻫﺎى ﭼﻬﺎر ﺿﻠﻌﻰﻫﺎ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺮاى ﻫﺮ ﺷﻜﻞ‪ ،‬وﻳﮋﮔﻰ را ﺑﺮرﺳﻰ ﻛﻦ و آن را ﻋﻼﻣﺖ ﺑﺰن‪.‬‬ ‫وﻳﮋﮔﻰﻫﺎ‬



‫ﻣﺘﻮازىاﻻﺿﻼع ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻟﻮزى ﻣﺮﺑﻊ‬



‫ﺿﻠﻊﻫﺎى روﺑﻪرو ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺴﺎوى ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺿﻠﻊﻫﺎى روﺑﻪرو ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﻮازى ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫زاوﻳﻪﻫﺎى روﺑﻪرو ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺴﺎوى ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻗﻄﺮﻫﺎ ﻫﻤﺪﻳﮕﺮ را ﻧﺼ; ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫اﻧﺪازهى دو ﻗﻄﺮ ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺴﺎوﻳﻨﺪ‪.‬‬



‫ﺗﺎ ﻛﻤﺘﺮﻳﻦ ﺧﻄﺎى اﻧﺪازهﮔﻴﺮى را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﮔﺎﻫﻰ ﮔﺮوهﻫﺎ ﺑﺮاى‬ ‫اﻃﻤﻴﻨﺎن ﺑﻴﺸﺘﺮ‪ ،‬از دو ﻳﺎ ﺳﻪ ﺧﻂﻛﺶ ﻣﺨﺘﻠـ; اﺳـﺘـﻔـﺎده ﻛـﺮده و‬ ‫درﺳﺘﻰ ﺣﺪس ﺧﻮد را ﺑـﺮرﺳﻰ ﻣﻰﻛﺮدﻧﺪ‪ .‬ﭘﺲ از ‪ ٢٠‬دﻗﻴﻘﻪ‪ ،‬ﻛـﺎر‬ ‫ﮔﺮوهﻫﺎ ﭘﺎﻳﺎن ﻳﺎﻓﺖ و ﺟﺪول ﻛﺸﻴﺪه ﺷﺪه روى ﺗﺨﺘﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻳﻜﻰ از‬ ‫اﻋﻀﺎى ﻫﺮ ﮔﺮوه ﻛﺎﻣﻞ ﺷﺪ‪ ،‬و ﺿﻤﻦ آن‪ ،‬داﻧﺶآﻣﻮز ﻣﺮاﺣﻞ ﻛﺎر‬ ‫و ﺣﺪس ﮔﺮوه ﺧﻮد را ﺑﻴﺎن ﻣﻰﻛﺮد‪.‬‬ ‫در اﻳﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ‪ ،‬از داﻧﺶآﻣـﻮزان ﻫﺮ ﮔـﺮوه ﺧﻮاﺳﺘﻢ ﺗﺎ ﺑﺎ ﻣـﺪاد‬ ‫رﻧﮕﻰ‪ ،‬دور ﻋﻼﻣﺖﻫﺎى ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻫﺮ وﻳﮋﮔﻰ را ﻛﻪ ﺑﺎ ﺷﻜﻞ دﻳﮕﺮى‬ ‫ﺷﺒﺎﻫﺖ دارﻧﺪ‪ ،‬ﺧﻂ ﺑﻜﺸﻨـﺪ و ﻫـﻢزﻣﺎن‪ ،‬ﻫﻤﺎنﻛﺎر روى ﺗﺨﺘـﻪ‪،‬‬ ‫ﺗـﻮﺳﻂ ﻳﻜـﻰ از داﻧـﺶآﻣـﻮزان در ﺟـﺪول ﻣﺸﺎﺑﻪ‪ ،‬ﺑـﺎ اﺳـﺘـﻔـﺎده از‬ ‫ﮔﭻﻫﺎى رﻧﮕﻰ اﻧﺠﺎم ﺷﺪ‪.‬‬ ‫در زﻳﺮ‪ ،‬ﻧﻤـﻮﻧﻪاى از ﺟـﺪول ﻛﺎﻣﻞ ﺷﺪه ﺗـﻮﺳﻂ ﮔﺮوهﻫـﺎ اراﻳﻪ‬ ‫ﻣﻰﺷﻮد‪:‬‬ ‫راﻫـﻨـﻤـﺎى ﺟــﺪول‪ ← ❍:‬رﻧـﮓ ﻗــﺮﻣـﺰ‪ ← ❐ ،‬رﻧـﮓ آﺑــﻰ‪،‬‬ ‫∆ ← رﻧﮓ ﺳﺒﺰ‬



‫ﻫﻤﻪى زاوﻳﻪﻫﺎ ﻗﺎﺋﻤﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻗﻄﺮﻫﺎ ﺑﺮﻫﻢ ﻋﻤﻮد ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻫﻤﻪى ﺿﻠﻊﻫﺎ ﻫﻢ اﻧﺪازه ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫از اﻧﺠﺎم اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﺑﻪ ﭼﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻳﺎ ﻧﺘﺎﻳﺠﻰ ﻣﻰرﺳﻴﺪ؟ ﺗﻮﺿﻴﺢ دﻫﻴﺪ‪.‬‬



‫در ﺣﻴﻦ اﻧﺠﺎم ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﮔﺮوهﻫﺎ ﺳﺮزده و ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻛﺮدم ﻛﻪ‬ ‫ﺑﺮﺧﻰ از ﮔﺮوهﻫﺎ‪ ،‬وﻳﮋﮔﻰ اول )ﺗﺴﺎوى ﺿﻠﻊﻫﺎى روﺑﻪرو( را ﺑﺮاى‬ ‫ﻫﺮ ﭼﻬﺎر ﺷﻜﻞ ﺑﺮرﺳﻰ ﻣﻰﻛﺮدﻧﺪ و ﺑﺮﺧﻰ دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﻫﻤﻪى وﻳﮋﮔﻰﻫﺎ‬ ‫را ﺑﺮاى ﻳﻚ ﺷﻜﻞ )ﺳﺘﻮن اول( ﺑﺮرﺳﻰ ﻛﺮده و ﺳﭙﺲ ﺷﻜﻞ ﺑﻌـﺪى‬ ‫را ﻣﻮرد ﻣﻄﺎﻟﻌـﻪ ﻗـﺮار ﻣﻰدادﻧﺪ‪ .‬ﻳﻚ ﺳـﺆال ﻣﻮﺟﺐ ﺗﻌﺠﺐ اﻛـﺜـﺮ‬ ‫ﮔﺮوهﻫﺎ ﺷﺪه ﺑﻮد ﻛﻪ ﭼﺮا ﺑﺮﺧﻰ از وﻳﮋﮔﻰﻫﺎ را ﻫﺮ ﭼﻬﺎر ﺷﻜﻞ دارا‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ؟ ﺑﺎ ﻣﻄـﺮح ﻛﺮدن اﻳﻦ ﭘﺮﺳﺶ‪ ،‬ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣـﻰرﺳﻴﺪ ﻛﻪ ﮔﺮوهﻫﺎ‬ ‫در ﺟﻬﺖ ﻣﻨﺎﺳﺒﻰ ﺣﺮﻛﺖ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ‪ .‬داﻧﺶآﻣﻮزان ﺑﺎ ﻫﻢ ﺗﺒﺎدلﻧﻈﺮ‬ ‫ﻛﺮده و از اﺑـﺰار ﻣﺮﺑـﻮﻃﻪ اﺳﺘﻔـﺎده ﻣـﻰﻛـﺮدﻧﺪ و ﺑﺎ اﻓـﺰاﻳﺶ ﻣﻬـﺎرت‬ ‫اﻧﺪازهﮔﻴﺮى ﻛﻪ ﻳﻜﻰ از اﻫﺪاف اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﺑﻮد‪ ،‬درﮔﻴﺮ ﺷﺪه ﺑﻮدﻧﺪ‬ ‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬



‫ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره‪٨٩‬ى‪٣٦ ٣١٣‬‬



‫وﻳﮋﮔﻰﻫﺎ‬



‫ﻣﺘﻮازىاﻻﺿﻼع ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻟﻮزى ﻣﺮﺑﻊ‬



‫ﺿﻠﻊﻫﺎى روﺑﻪرو ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺴﺎوى ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬



‫×‬



‫×‬



‫×‬



‫×‬



‫ﺿﻠﻊﻫﺎى روﺑﻪرو ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﻮازى ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬



‫×‬



‫×‬



‫×‬



‫×‬



‫زاوﻳﻪﻫﺎى روﺑﻪرو ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺴﺎوى ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬



‫×‬



‫×‬



‫×‬



‫×‬



‫ﻗﻄﺮﻫﺎ ﻫﻤﺪﻳﮕﺮ را ﻧﺼ; ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬



‫×‬



‫×‬



‫×‬



‫×‬



‫اﻧﺪازهى دو ﻗﻄﺮ ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺴﺎوﻳﻨﺪ‪.‬‬



‫×‬



‫×‬



‫ﻫﻤﻪى زاوﻳﻪﻫﺎ ﻗﺎﺋﻤﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬



‫×‬



‫×‬



‫ﻗﻄﺮﻫﺎ ﺑﺮﻫﻢ ﻋﻤﻮد ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬



‫×‬



‫×‬



‫ﻫﻤﻪى ﺿﻠﻊﻫﺎ ﻫﻢ اﻧﺪازه ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬



‫×‬



‫×‬



‫ﭘﺲ از ﺗﻜﻤﻴﻞ ﺟﺪول‪ ،‬اﻳﻦ ﺳﺆال ﺗﻮﺳﻂ ﻳﻚ داﻧﺶآﻣﻮز ﭘﺮﺳﻴﺪه‬ ‫ﺷﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺟﺪول‪ ،‬آﻳﺎ درﺳﺖ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺮﺑﻊ‪ ،‬ﻫﻤـﻪى‬ ‫وﻳﮋﮔﻰﻫﺎى ﻟﻮزى‪ ،‬ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ و ﻣﺘـﻮازىاﻻﺿﻼع را دارد؟ ﺑﺎ ﻃﺮح‬



‫اﻳﻦ ﭘـﺮﺳﺶ‪ ،‬داﻧﺶآﻣـﻮزان ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻴﺸـﺘـﺮى ﺑـﻪ‬ ‫راﺑﻄﻪى ﺧﻂﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻣﺪاد رﻧﮕﻰ ﻛﺸﻴﺪه ﺑﻮدﻧﺪ‬ ‫ﭘﻰ ﺑﺮدﻧﺪ و دﺳﺖﻫﺎى زﻳﺎدى ﺑـﺮاى ﻃﺮح ﺳـﺆال‬ ‫ﺑﺎﻻ رﻓﺖ‪ .‬آنﮔﺎه‪ ،‬ﺑﻪ ﮔﺮوهﻫﺎ ﻓﺮﺻﺖ دادم ﺗﺎ ﺑﺎ‬ ‫ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﺑﺤﺚ ﻛﻨﻨﺪ و ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه از اﻳﻦ‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ را در ﺑﺮﮔﻪى ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﺧﻮد‪ ،‬ﺛﺒﺖ ﻧﻤﺎﻳﻨﺪ‪.‬‬ ‫در ﭘﺎﻳﺎن‪ ،‬ﻧﺘﻴﺠﻪﮔﻴﺮى و ﺳﺆالﻫﺎى ﻫﺮ ﮔﺮوه‬ ‫ﻣـﻄــﺮح ﺷـﺪ‪ .‬ﺳـﺆالﻫـﺎﻳـﻰ از ﻗـﺒـﻴــﻞ اﻳــﻦﻛــﻪ‬ ‫وﻳﮋﮔﻰﻫﺎى ﻫﺮ ﺷﻜﻞ ﻛﺪاﻣﻨﺪ؟‬ ‫ـ ﺷﺒﺎﻫﺖﻫﺎ و ﺗﻔﺎوتﻫﺎى ﭼﻬﺎر ﺿﻠﻌﻰﻫـﺎ‬ ‫ﭼﻴﺴﺖ؟‬ ‫ـ آﻳـﺎ ﻣـﺮﺑـﻊ‪ ،‬ﻟـﻮزى و ﻣﺴـﺘـﻄـﻴـﻞ‪ ،‬ﻧـﻮﻋـﻰ‬ ‫ﻣﺘﻮازىاﻻﺿﻼع ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻳﺎ ﺧﻴﺮ؟‬ ‫ـ آﻳﺎ ﻣﻰﺗﻮان ذوزﻧﻘﻪ را ﻧﻴﺰ ﻧﻮﻋﻰ ﻣﺘﻮازىاﻻﺿﻼع ﻧﺎﻣﻴﺪ؟‬ ‫آﻳﺎ ﻣﺮﺑﻊ ﻧﻮﻋﻰ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ اﺳﺖ ﻳﺎ ﻣﺮﺑﻊ ﻧﻮﻋﻰ ﻟﻮزى اﺳﺖ؟‬ ‫و…‬ ‫ﻫﻤﻪى اﻳﻦ ﺳﺆالﻫﺎ ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ ﻗـﺮار ﮔﺮﻓﺘﻨﺪ و ﺑﻪ ﭘﺮﺳﺶﻫﺎى‬ ‫ﻣﻄﺮح ﺷﺪه در ﻛﻼس‪ ،‬ﺑﺎ ﻣﺸﺎرﻛﺖ ﻫﻤﻪى داﻧﺶآﻣـﻮزان‪ ،‬ﭘﺎﺳﺦ‬ ‫داده ﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻻﺧﺮه‪ ،‬ﺟﻤﻊﺑﻨﺪى ﻧﻬﺎﻳﻰ ﺗـﻮﺳﻂ ﻳﻜﻰ از داﻧﺶآﻣـﻮزان و ﺑﺎ‬ ‫ﻛﻤﻚ ﻣﻦ اﻧﺠﺎم ﺷﺪ و اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﺑﻪ ﭘﺎﻳﺎن رﺳﻴﺪ‪.‬‬ ‫اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﺑـﺮاى ﻳﻚ ﺟﻠﺴﻪ ﺗﻨﻈﻴـﻢ ﺷـﺪه ﺑـﻮد و در ﺟﻠﺴـﻪى‬ ‫ﺑﻌﺪى‪ ،‬ﻣﻄﺎﻟﺐ ﻣـﺮﺑـﻮط ﺑﻪ ﭼﻬﺎر ﺿﻠﻌﻰﻫﺎ ﻛـﻪ در ﻛـﺘـﺎب درﺳﻰ‬ ‫آﻣﺪه‪ ،‬ﻣﺮور ﺷﺪ‪ .‬ﭼـﻮن داﻧﺶآﻣـﻮزان ﺧﻮد ﺿﻤﻦ اﻧـﺪازهﮔﻴﺮى و‬ ‫ﺗﺠﺮﺑﻪى ﻋﻤﻠﻰ ﺑـﻪ ﺧـﻮاص ﭘﻰ ﺑـﺮده ﺑﻮدﻧﺪ‪ ،‬ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫـﺎى ﻛـﺘـﺎب‬ ‫درﺳـﻰ را ﻛﺎﻣﻞ و ﺑـﺪون ﻣﺸﻜﻞ اﻧﺠـﺎم ﻣـﻰدادﻧـﺪ و ﻫـﻨـﮕـﺎم رﺳﻢ‬ ‫ﭼﻬﺎرﺿﻠﻌﻰﻫﺎ‪ ،‬ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ از ﺗﺠﺮﺑﻪﻫﺎى ﺧﻮد اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰﻛﺮدﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺎ ﺑﺎزﺑﻴﻨﻰ در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﻰرﺳﺪ اﮔﺮ زﻣـﺎن‬ ‫ﺑﻴﺸﺘـﺮى ﺑـﺮاى اﻧﺠﺎم ﻓﻌﺎﻟﻴـﺖ ﺗـﻮﺳﻂ داﻧﺶآﻣـﻮزان در ﻧﻈﺮ ﮔـﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ﻣﻰﺷﺪ‪ ،‬ﺑـﺎ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﮔﻔـﺘـﮕـﻮﻫﺎى ﭘـﺮﭼﺎﻟﺸـﻰ ﻛـﻪ ﺑـﺮاى ﭘﺎﺳـﺦ ﺑـﻪ‬ ‫ﺳﺆالﻫﺎى داﻧﺶآﻣﻮزان در ﻛﻼس و ﻫﻨﮕﺎم ﻧﺘﻴﺠﻪﮔﻴﺮى اﻧﺠﺎم ﺷﺪ‪،‬‬ ‫ﻣﻰﺗﻮاﻧﺴﺘﻴﻢ ﺣﺘﻰ ﭼﻬـﺎرﺿﻠﻌﻰﻫﺎ )ﻣﺘﻮازىاﻻﺿﻼع‪ ،‬ﻣﺴﺘﻄﻴـﻞ‪،‬‬



‫ﺷﻮاﻫﺪ ﻧﺸﺎن ﻣﻰدﻫﺪ ﻛﻪ‬ ‫اﮔﺮ داﻧﺶآﻣﻮزان‬ ‫ﺑﺨﻮاﻫﻨﺪ ﺑﺎ ﺗﻜﺮار و ﺑﻪ‬ ‫ﺷﻜﻞ ﻃﻮﻃﻰوار ﺑﻪ ﺣﻔﻆ‬ ‫ﻛﺮدن وﻳﮋﮔﻰﻫﺎى‬ ‫ﭼﻬﺎرﺿﻠﻌﻰﻫﺎ ﺑﭙﺮدازﻧﺪ‪،‬‬ ‫ﻣﺸﻜﻞ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﻛﻪ‬ ‫ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ ﺷﺒﺎﻫﺖ و‬ ‫ﺗﻔﺎوتﻫﺎى ﭼﻬﺎرﺿﻠﻌﻰﻫﺎ‬ ‫را ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻨﺪ‬



‫ﻣﺮﺑـﻊ و ﻟـﻮزى( را ﺑﻪ ﻛﻤـﻚ ﺧـﻮد داﻧﺶآﻣـﻮزان‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ‪ R‬ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫در ﭘﺎﻳﺎن ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ و ﺧﺎﺗﻤﻪى ﻓﻴﻠـﻢﺑـﺮدارى‪،‬‬ ‫ﺧﻮﺷﺤﺎل ﺑﻮدم‪ .‬ﻫﺮ ﭼﻨﺪ اﻳﻦ ﻛﻼس ﺑﺪون ﻧﻘﺺ‬ ‫ﻧﺒـﻮد‪ ،‬وﻟﻰ ﺣﺪاﻗﻞ ﺑﺎ دﻳﺪن ﻓﻴـﻠـﻢ ﻣـﻰﺗـﻮاﻧﺴـﺘـﻢ‬ ‫ﻋﻴﺐﻫﺎى ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ و ﻛﻼﺳﻢ را ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻛﻨﻢ و از‬ ‫آن ﺑـﻪ ﻋـﻨـﻮان ﺗﺠـﺮﺑـﻪاى در ﺳـﺎلﻫـﺎى ﺑـﻌـﺪى‬ ‫ﺗﺪرﻳﺴﻢ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻢ‪.‬‬



‫‪٣٧‬‬



‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎرهى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ اﻧﺘﺨﺎب ﺗﻜﺎﻟﻴ ﺑﺮاى ﻛﻼس درس‬



‫درﺟﺴﺘﺠﻮى راﻫﻰ ﺑﺮاى‬ ‫ﻛﺸ اﻳﺪه ﻫﺎى ﺑﺰرگ ﺑﺎﺷﻴﻢ‬ ‫اﻓﺴﺎﻧﻪ ﺣﻴﺪرى ارﺟﻠﻮ‬ ‫داﻧﺸﺠﻮى ﻛﺎرﺷﻨﺎﺳﻰ ارﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ و دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ‬



‫ﺑﺸﺮ ﺑﺮاى اﻳﻦ ﻧﻴﺎﻣﺪه ﻛﻪ ﻛﻮرﻛﻮراﻧﻪ و از روى ﻧﺎداﻧﻰ ﻛﺎر ﻛﻨﺪ‪،‬‬ ‫ﺑـﻠـﻜـﻪ ﺑـﺎﻳـﺪ ﭘـﻴـﻮﺳـﺘـﻪ ﺑـﺎ آنﭼـﻪ ﻧـﺎدرﺳـﺖ اﺳـﺖ در ﺟـﺪال و ﺑـﺎ آنﭼـﻪ‬ ‫ﻧﺎرواﺳﺖ در ﺟﻨﮓ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫»ژوزف ارﻧﺴﺖ رﻧﺎن«‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﻪ‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﻌﻪى ﭼـﮕـﻮﻧﮕﻰ ﺗﻮﺳﻌﻪى ﺣـﺮﻓﻪاى ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿـﻰ ﻳـﻚ‬ ‫ﻫﺪف ﺗﺤﻘﻴﻘﻰ ﻣﻬﻢ در آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻴﺎن ﺷﺪه و در اﻳﻦ راﺳﺘﺎ‪،‬‬ ‫ﺗ ـﺤ ـﻠ ـﻴــﻞ اﻧــﻮاع ﻧ ـﮕ ــﺮشﻫــﺎ و ﻣ ـﻄــﺎﻟ ـﻌ ـﻪى روشﻫــﺎى ﺗــﺪرﻳــﺲ‪،‬‬ ‫ﺳﺎزﻣﺎﻧﺪﻫﻰ ﮔﻔﺘﻤﺎن ﻛﻼﺳﻰ و ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫﺎى داﻧﺶآﻣﻮزان از اﻫﻤﻴﺖ‬ ‫وﻳﮋهاى ﺑـﺮﺧﻮردار اﺳﺖ‪ .‬ﻳﻜﻰ از ﻧﺘﺎﻳﺞ اﻳﻦ ﻣﻄـﺎﻟـﻌـﺎت اﻳـﻦ اﺳـﺖ‬ ‫ﻛﻪ ﺑﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﻛﻤﻚ ﻛﻨﻴﻢ ﺗﺎ در ﻃﺮح و اﻧﺘﺨﺎب ﻳﻚ ﺗﻜﻠﻴ‪R‬‬ ‫ﺧﻮب‪ ،‬ﻣﺎﻫﻴﺖ اﻳﻦ ﮔﻔﺘﻤﺎنﻫﺎ و ﻣﻬﺎرتﻫﺎى اﻳﺠﺎد آن را ﺑﻪﺧﻮﺑﻰ‬ ‫درﻳﺎﺑﻨﺪ‪ .‬ﻟﺬا ﺗﻮﺻﻴﻪ ﻣﻰﺷـﻮد ﻛﻪ اﻳﻦ ﺗﻮﺳﻌﻪ‪ ،‬از ﻃﺮﻳﻖ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪﻫﺎى‬ ‫آﻣـﻮزش ﺿﻤﻦﺧﺪﻣﺖ و ﻗـﺒـﻞ از ﺧـﺪﻣـﺖ ﺻـﻮرت ﭘﺬﻳـﺮد‪ .‬در اﻳـﻦ‬ ‫ﻧﻮﺷﺘﻪ‪ ،‬ﻧﻤﻮﻧﻪاى از روش ﺗﺪرﻳﺲ ﻳﻚ ﺗﻜﻠﻴ‪ R‬در ﻳﻚ ﻛﻼس درس‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ اراﺋﻪ ﻣﻰﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻃﺒﻖ ﺗﻌـﺮﻳـ‪ ،R‬ﺗـﻜـﻠـﻴـ‪R‬ﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ﺗـﻮﺳﻂ ﻛـﺴـﻰ ﻃـﺮاﺣـﻰ‬ ‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬



‫ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره‪٨٩‬ى‪٣٨ ٣١٣‬‬



‫ﻣﻰﺷﻮد ﺗﺎ ﺗﻮﺳﻂ ﻛﺲ دﻳﮕﺮى‪ ،‬اﺟﺮا ﺷﻮد؛ آنﻫﺎ ﺑﺮاى ﻫﺪﻓﻰ ﺑﺎ اﺛﺮ‬ ‫ﻗﺼﺪ ﺷﺪه‪ ،‬ﻃﺮاﺣﻰ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ« )ﺗﺎﻣﭙﺴﻮن و ﻫﻤﻜﺎران‪.(٢٠٠٧ ،‬‬ ‫ﻛﻠﻴﺪ واژهﻫﺎ‪ :‬ﺗﻜﻠﻴ; رﻳﺎﺿﻰ‪.‬‬ ‫ﻻ‪ ،‬ﺗﻜﻠﻴ; ﺑﻪﻋـﻨـﻮان ﻛـﺎرى ﺗﻜﻤﻴﻠﻰ از ﺳـﻮى ﻣـﺆﻟﻔﺎن‬ ‫ﻣﻌﻤـﻮ ً‬ ‫ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ ﻳﺎ ﻣﻌﻠﻤﺎن‪ ،‬ﺑـﺮاى داﻧﺶآﻣﻮزان ﺗﻬﻴﻪ ﻣﻰﺷـﻮد ﺗﺎ‬ ‫آﻧﺎن در ﻛﻼس ﻳﺎ در ﺧﺎﻧﻪ‪ ،‬ﺑﻪ اﻧـﺠـﺎم آنﻫـﺎ ﺑـﭙـﺮدازﻧﺪ‪ .‬ﻃﺮاﺣـﻰ‪،‬‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب و اﻧﺠﺎم ﺗﻜﻠﻴـ;‪ ،‬وﻗﺖ زﻳﺎدى از داﻧﺶآﻣﻮز و ﻣﻌﻠﻢ راـ‬ ‫ﭼﻪ در ﺧﺎﻧﻪ و ﭼـﻪ در ﻣـﺪرﺳﻪـ ﺑﻪ ﺧـﻮد اﺧﺘﺼﺎص ﻣـﻰدﻫـﺪ و در‬ ‫ﺻﻮرت اﺳﺘﻔﺎدهى ﻣﻨﺎﺳﺐ‪ ،‬ﻣﻰﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎﻋﺚ ﺗﻮﺳﻌﻪى ﻓﻜﺮ و ﺗﻌﻤﻴﻖ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮى داﻧﺶآﻣﻮزان ﺷﻮد‪ .‬ﻟﺬا ﺿﺮورت آﻣﻮزش ﻣﻌﻠﻤﺎن در اﻳﻦ‬ ‫زﻣﻴﻨﻪ‪ ،‬اﻣـﺮى اﺟﺘﻨﺎبﻧﺎﭘﺬﻳﺮ اﺳـﺖ‪ .‬آﻣـﻮزﺷﮕﺮان رﻳﺎﺿﻰ ﺗـﻮﺻﻴﻪ‬ ‫ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ ﺗﻜﺎﻟﻴ; ﻳﺎ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪاى ﻃﺮاﺣﻰ ﺷﻮﻧﺪ ﺗﺎ داﻧﺶآﻣﻮز‬ ‫را درﮔﻴﺮ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﭘﻴﺶﺑﻴﻨﻰﺷﺪه در ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰاﺷﺎن‬ ‫ﻛﻨﻨﺪ )ﻧﻘﻞ ﺑﻪ ﻣﻀﻤﻮن از ﭼﻤﻦآرا‪.(١٣٨٢ ،‬‬ ‫ﭼﻨﻴﻦ ﺗﻜﺎﻟـﻴـﻔـﻰ ﻣـﻰﺗـﻮاﻧﻨﺪ داﻧﺶآﻣﻮز و ﻣـﻌـﻠـﻢ را ﻧﺴﺒـﺖﺑـﻪ‬ ‫ﻫﻤﺎﻫﻨﮕﻰ رﻳﺎﺿﻰ آ ﮔﺎهﺗﺮ ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬زﻳﺮا ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﻛﻪ ﮔﻮﻳﺎ )‪(١٣٨٤‬‬ ‫ﺑﻪ ﻧﻘﻞ از ﻫﻮو )‪ (٢٠٠١‬اﻇﻬﺎر داﺷﺘﻪ اﺳﺖ‪» ،‬ﻣﻌﻠﻤﻰ ﻛﻪ ﻧﺴﺒﺖﺑﻪ‬



‫ﻫﻤﺎﻫﻨﮕﻰ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻧﺎﺑﻴﻨﺎ اﺳﺖ‪ ،‬ﻧﻤﻰﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ داﻧﺶآﻣﻮزان ﻛﻤﻚ‬ ‫ﻛﻨﺪ ﺗﺎ آن را ﺑﺒﻴﻨﻨﺪ‪ «.‬ﺑﺮاى اﻳﺠﺎد ﭼﻨﻴﻦ ﺑﺼﻴـﺮﺗﻰ در ﻣﻌﻠﻤﺎن‪ ،‬ﻻزم‬ ‫اﺳﺖ ﻛﻪ داﻧﺶ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻮرد ﻧﻴﺎز ﺗﺪرﻳﺲ ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه و ﺑﻪدﻧﺒﺎل‬ ‫آن‪ ،‬ﺑﺮﻧﺎﻣﻪﻫﺎى آﻣﻮزشﻫﺎى ﻗﺒﻞ و ﺑﻌﺪ از ﺧﺪﻣﺖ ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻃﺮاﺣﻰ‬ ‫و اﺟﺮا ﮔﺮدﻧﺪ‪ .‬ﻳﺎدﮔﻴـﺮى رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺶآﻣﻮزان‪ ،‬در ﮔﺮو ﻳﺎدﮔﻴﺮى‬ ‫ﻣﻌﻠﻤﺎن اﺳﺖ و اﻳﻦ ﻫﺮ دو ﻳﺎدﮔﻴﺮى‪ ،‬از ﻇﺮاﻓﺖﻫﺎ و ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻰﻫﺎى‬ ‫ژرﻓﻰ ﺑﺮﺧﻮردار اﺳﺖ‪ .‬ﺗﺎﻣﭙﺴـﻮن و ﻫﻤﻜﺎران )‪ ،(٢٠٠٧‬ﺑﺮاى ﻫﺮ‬ ‫ﺗﻜﻠﻴ;‪ ،‬ﻳﻜﻰ از ﺳﻪ ﻫﺪف زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﻣﻰﮔﻴﺮﻧﺪ‪:‬‬ ‫‪ .١‬ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن را ﻣﺸﻐﻮل ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫﺎى ﺗﻜﺮارى ﻣﻰﻛﻨﺪ‪) ١‬ﻛﻪ‬ ‫ﮔﺎﻫﻰ ﺑﻪﻋﻨﻮان ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ‪(.‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ .٢‬ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن را درﮔﻴﺮ ﺑﺎزﺗﺎب اﻧﺘﺰاﻋﻰ ﻣﻰﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٣‬ﺗﻤﺎﻳﻼت‪ ٣‬ﻣﺪرﺳﺎن ﺑﺮاى اﻳﺠﺎد ﺑﺤﺚﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن و‬ ‫ﻣﻌﻠﻤﺎن‪ ،‬ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ در ﺣﺎل اﻧﺠـﺎم ﺧـﻮد را ﺑﻪﻋﻨـﻮان ﻫﺪف ﮔﻔﺘﻤﺎن در‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻧﻈﺮ ﻣﻰﮔﻴﺮﻧﺪ‪ ،‬ﺣﻤﺎﻳﺖ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮﭼﻪ اﻳﻦ ﺳﻪ ﻫﺪف در ﻃﻮل زﻣﺎن‬ ‫درﻫﻢ ﺗﻨﻴﺪه ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ‪ ٥‬اﻣﺎ در ﻫﺮ ﻟﺤﻈﻪ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻤﻴﺰ ﻫﺴﺘﻨﺪ« )ص ‪.(٤١٦‬‬ ‫آنﻫﺎ در اداﻣﻪ‪ ،‬ﺑﺎ اﺷﺎره ﺑﻪ ﺿﺮورت آﻣﻮزش ﻃﺮاﺣﻰ و اﻧﺘﺨﺎب‬ ‫ﺗﻜﻠﻴ; ﺑﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ‪ ٩ ،‬ﺗﻜﻠﻴ; را از دو ﺟﻨﺒﻪ‪ ،‬در ﺗﻮﺳﻌﻪى‬ ‫ﺣﺮﻓﻪاى ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻬﻢ ﻣﻰداﻧﻨﺪ‪:‬‬ ‫اﻟ;( ﺑﻪ داﻧﺸﺠﻮـ ﻣﻌﻠﻤﺎن و ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﻛﻤﻚ ﻣﻰﻛﻨﻨـﺪ‬ ‫ﺗﺎ ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻴﺎﺗﺘﻰ ﻛﻪ ﻳﺎد ﮔﺮﻓﺘﻪاﻧﺪ‪ ،‬اﻧﺴﺠﺎم ﺑﺨﺸﻨﺪ؛‬ ‫ب( ﻣﻰﺗﻮاﻧﻨﺪ زﻣﻴﻨﻪاى اﻳﺠﺎد ﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ در آنﻫﺎ‪ ،‬ﻓﺮﺻﺖ ﺑﺤﺚ‬ ‫و ﺑﻪﻛﺎرﮔﻴﺮى و اﺳﺘﻔﺎده از ﻓﻬﻢ و درك ﻣﻨﺴﺠﻤﻰ ﻛﻪ در داﻧﺶآﻣﻮزان‬ ‫اﻳﺠﺎد ﺷﺪه ﻓﺮاﻫﻢ ﺷﻮد )ﺗﺎﻣﭙﺴﻮن‪ ،‬ﻛﺎرﻟﺴﻦ و ﺳﻴﻠﻮرﻣﻦ‪.(٢٠٠٧ ،‬‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ اﻧـﻮاع ﺗﻜﺎﻟﻴ; رﻳﺎﺿﻰ و ﺳـﺎزﻣﺎﻧﺪﻫـﻰ درﺳﺖ آنﻫﺎ و‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﻌـﻪى ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ آن ﺗﻜﺎﻟﻴ; و ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫـﺎى داﻧـﺶآﻣـﻮزان‪،‬‬ ‫اﺳﺎس ﻃﺮح و اﻧﺘﺨﺎب ﻫﺮ ﺗﻜﻠﻴ; رﻳـﺎﺿـﻰ را ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻰدﻫـﺪ و‬ ‫ﺑﺮاى اﻳﻦﻛﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻨﺎﺳﺒﻰ اﻳﺠﺎد ﺷﻮد‪ ،‬ﻻزم اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن‪،‬‬ ‫اﻳﻦ ارﺗﺒﺎط را اﻳﺠﺎد ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻨﻈﻮر در ﺳﺎلﻫﺎى اﺧﻴﺮ‪ ،‬ﻣﻘﺎﻟﻪﻫﺎى زﻳـﺎدى در زﻣﻴﻨﻪى‬ ‫ﻃﺮح ﺗﻜﺎﻟﻴ; رﻳﺎﺿﻰ در ﺳﻄﺢ ﺟﻬﺎﻧﻰ ﻣﻨﺘﺸﺮ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﺮﻳـﻚ‬ ‫ﺑﻪ ﻧﺤﻮى‪ ،‬ﻣﻰﺗﻮاﻧـﺪ راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﻣﻔﻴﺪى ﺑﺮاى ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺎﺷـﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﭘﺮسﺗﻴﺞ و ﭘﺮﻛﺰ‪ (٢٠٠٧) ٦‬ﻣﺪﻟﻰ در زﻣﻴﻨﻪى ﻃﺮاﺣﻰ‬ ‫ﺗﻜﺎﻟﻴ; در ﻛـﻼس درس رﻳﺎﺿـﻰ اراﺋﻪ دادهاﻧﺪ و ﺑﻴﺎن داﺷﺘﻪاﻧـﺪ ﻛـﻪ‬ ‫ﺳﺎﺧﺘﺎر آن ﺑـﺮاى آﻣﻮزش ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻣﻰﺗـﻮاﻧﺪ ﻣـﺆﺛﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻣـﺪل‪،‬‬ ‫ﻣﻄﺎﺑﻖ ﻧﻘـﺸـﻪاى ﺑـﺮاﺳﺎس ﻣـﻮﺿﻮع اﺻﻠﻰ ﺗﺸﻜﻴـﻞدﻫـﻨـﺪهى داﻧـﺶِ‬



‫ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻛﻪ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ اﺗﻔﺎﻗﺎت ﻛﻼس درس ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﻣﻄﺮح ﺷﺪه اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪ .١‬ﺧﺮد ﻋﻤﻠﻰ‪ :٧‬ﺧﺮدى ﻛﻪ در اﺛﺮ ﺑﻮدن و ﺣﻀﻮر در ﻛﻼس‬ ‫درس ﻛﺴﺐ ﻣﻰﺷﻮد؛‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪ .٢‬ﺳﻨﺖﻫـﺎى ﺣـﺮﻓـﻪاى ‪ :‬داﻧﺸﻰ ﻛـﻪ از ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪﻫـﺎى درﺳﻰ‬ ‫ﻣﻮﺟﻮد ﻣﺪارس و ﺗﺠﺮﺑﻪﻫﺎ و ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﺣﺎﺻﻞ ﻣﻰﺷﻮد؛‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪.٣‬داﻧ ــﺶِﺧ ــﻮد داﻧ ــﺶآﻣ ــﻮزازرﻳ ــﺎﺿ ــﻰ داﻧ ــﺶ ﻳ ــﺎدﮔـ ـﻴـ ــﺮﻧ ــﺪه‬ ‫)ص ‪.(٣٨٢‬‬



‫ﻧﻤﻮﻧﻪاى از ﻃﺮاﺣﻰ ﻳﻚ ﺗﻜﻠﻴ‪ 2‬ﺑﺮاى آﻣﻮزش ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﺗﺎﻣﭙﺴﻮن و ﻫﻤﻜﺎران )‪ ،(٢٠٠٧‬درﺳﻰ را ﺑﺮاى آﻣﻮزش ﻣﻌﻠﻤﺎن‬ ‫ﻃﺮاﺣﻰ ﻛﺮدﻧﺪ و در آن از ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫﺎﻳﻰ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن‪،‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗﺠﺮﺑﻪﻫﺎى ﺷﺨﺼﻰ ﺧﻮد‪ ،‬ﻧﻴﺎز ﺑﻪ اﻧﺠﺎم ﺗﻜﻠﻴ; را درك ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪﻃﻮر ﻣﺜﺎل‪ ،‬آنﻫﺎ ﺗﺎﺑﻊ ‪ mod‬را ﻃﺮاﺣﻰ ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ ﺣﺪس ﻣﻰزدﻧﺪ‬ ‫ﻣﻌﻠﻤﺎن‪ ،‬راهﻫﺎى ﺣﺎ ﺿﺮ و آﻣﺎدهاى ﺑﺮاى ﻓﻜﺮ ﻛﺮدن ﺑﻪ آن ﻧﺪارﻧﺪ‪.‬‬ ‫آنﭼﻪ ﻛﻪ درﭘﻰ ﻣﻰآﻳﺪ‪ ،‬ﺧﻼﺻﻪاى از اﻧﺠﺎم اﻳﻦ ﺗﻜﻠﻴـ; ﺗـﻮﺳـﻂ‬ ‫آﻧﺎن اﺳﺖ ﻛﻪ در آن ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺑﻪ آن اﺷﺎره ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻻ ﻓﻜﺮ ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ‪ a‬و ‪ b‬در ﺗﻌﺮﻳ;‬ ‫ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪى آن ﻫﺎ‪» ،‬ﻣﻌﻤﻮ ً‬ ‫» ‪ « a mod b‬ﺑﺮاى اﻋﺪاد ﺣﺴﺎﺑﻰ ﺑـﺮﻗـﺮار اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺜﻼً ‪27 mod 3‬‬ ‫ﺻﻔﺮ اﺳﺖ زﻳﺮا اﮔﺮ ‪ ٢٧‬را ﺑﺮ ‪ ٣‬ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪهاش ﺻﻔـﺮ‬ ‫ﻣﻰﺷﻮد و ‪ ٢ ، 27 mod 5‬اﺳﺖ زﻳﺮا اﮔﺮ ‪ ٢٧‬را ﺑﺮ ‪ ٥‬ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴـﻢ‬ ‫ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧـﺪهى آن ‪ ٢‬اﺳﺖ‪ .‬اﻣﺎ ﻣﻰﺗﻮاﻧﻴﻢ اﻳﻦ اﻳـﺪه را ﺑﺮاى ﻛﺴﺮﻫﺎ و‬ ‫اﻋﺪاد ﮔﻨﮓ ﻧﻴﺰ ﺗﻌﻤﻴﻢ دﻫﻴﻢ‪ .‬ﺗﻌﺮﻳ; » ‪ « a mod b‬ﻛﻪ اﺟﺎزهى اﻳﻦ‬ ‫ﺗﻌﻤﻴﻢ را ﻣﻰدﻫﺪ اﻳﻦ اﺳـﺖ‪ a mod b .‬ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪهاى اﺳﺖ ﻛﻪ از‬ ‫ﻛﻢﻛﺮدن ‪ mb‬از ‪ a‬ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻰآﻳﺪ‪ .‬وﻗﺘﻰ ﻛﻪ ‪ ،m‬ﺑﺰرگﺗﺮﻳﻦ ﻋﺪد‬ ‫ﺻـﺤـﻴـﺢ ﻛـﻮﭼـﻚﺗـﺮ ﻳـﺎ ﻣـﺴـﺎوى ‪ a‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑـﺎ اﻳـﻦ ﺗـﻌـﺮﻳـ;‪،‬‬ ‫‪b‬‬



‫‪ 6 / 5 mod2 / 1= 0/ 2‬زﻳــﺮا ‪ ،٣‬ﺑـﺰرگﺗـﺮﻳـﻦ ﻋــﺪد ﺻــﺤــﻴــﺢ‬ ‫ﻛـﻮﭼﻚﺗﺮ ﻳـﺎ ﻣـﺴـﺎوى ‪ 6 / 5‬اﺳـﺖ و ‪. 6 / 5 − 3(2 / 1) = 0/ 2‬‬ ‫‪2 /1‬‬



‫ﺑﻪﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ‪ 6 / 5 mod(−2 / 1) = −1/ 9 ،‬زﻳﺮا ‪ -٤‬ﺑﺰرگﺗﺮﻳﻦ‬ ‫ﻋـــﺪد ﺻـــﺤـــﻴــــﺢ ﻛــــﻮﭼـــﻚﺗـــﺮ ﻳـــﺎ ﻣــــﺴــــﺎوى ‪ 6 / 5‬و‬ ‫‪−2 / 1‬‬



‫‪ 6 / 5 − (−4)(−2 / 1) = −1/ 9‬اﺳﺖ‪) «.‬ص ‪ ١١‬و ‪(١٢‬‬ ‫در ﻛﻼس‪ ،‬ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻛﺮدﻳﻢ ﻛﻪ ﭼﮕﻮﻧﻪ ‪ a mod b‬را ﺑﺮاى ﻣﻘﺎدﻳﺮ‬ ‫ﻣﺨﺘﻠ; ‪ a‬و ‪ b‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﻣﻌﻠﻤﺎن ‪ ١٧‬دﻗﻴﻘﻪ ‪ ٦‬ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﺨﺘﻠ;‬ ‫ﻛﺎر ﻛﺮدﻧﺪ ﺗﺎ ﺑﺎﻻﺧـﺮه ﻳﻚ ﺗﺼﻮﻳﺮ ذﻫﻨﻰ ﭘـﻴـﺪا ﻛـﺮدﻧﺪ ﻛﻪ ﻓﺮد ﻣـﻮﻗﻊ‬ ‫‪٣٩‬‬



‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎرهى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪى ‪ ، a mod b‬اﺑﺘﺪا ﺑﺰرگﺗﺮﻳﻦ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻛﻮﭼﻚﺗﺮ ﻳﺎ‬ ‫ﻣﺴﺎوى‬



‫‪ a‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻰﻛﻨﺪ )آن را ‪ g‬ﺑﻨﺎﻣﻴﺪ( و ﺳﭙﺲ‪a − gb ،‬‬ ‫‪b‬‬



‫را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻰﻛﻨﺪ‪ .‬درﺿﻤﻦ اﻳﻦ ‪ ١٧‬دﻗﻴﻘﻪ‪ ،‬ﻣﻌﻠﻤﺎن ﺑﺎ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت‬ ‫ﻣﺨﺘﻠ;‪ ،‬اول ﺗﻌﺮﻳ; ‪ mod‬را ﺑﺮاى ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻏﻴﺮﺻﺤﻴﺢ ‪ a, b‬دروﻧﻰ‬ ‫ﻛﺮدﻧﺪ و در ﭘﺎﻳﺎن‪ ،‬ﺑﺮاى ﺗﻌﻤﻴﻢﻫﺎى ﺧـﻮد‪ ،‬ﺑﻪﻃﻮر ﻛﻠﻰ اﺳﺘﺪﻻل‬ ‫ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ ‪ a mod b ≤ 0‬وﻗﺘﻰ ﻛـﻪ ‪ b < 0‬و ‪ a mod b ≥ 0‬وﻗﺘﻰ ﻛﻪ‬ ‫‪ b > 0‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬آنﻫﺎ اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ را ﺑﺎ اﻳﻦ ﺳـﺆال اداﻣﻪ دادﻧﺪ ﻛﻪ »ﺑﺎ‬ ‫داﺷﺘﻦ اﻳﻦ ﺗﻌﺮﻳ; از ‪ mod‬در ذﻫﻦ‪ ،‬ﻧﻤﻮدار )‪ y = mod(x2 ,2‬را‬



‫‪ y = x2‬و ﺑـﺮاى ‪ ، 2 < x < 2‬ﻧﻤـﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺎﻧـﻨـﺪ ﻧـﻤـﻮدار ﺗﺎﺑـﻊ‬ ‫‪ y = x2 − 2‬و ﺑﺮاى ‪ ، 2 < x < 6‬ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫‪ y = x − 6‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ و ﺑﻪﻫﻤﻴﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ‪ ،‬ﻣﻰﺗﻮاﻧﻴﻢ اداﻣﻪ دﻫﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪2‬‬



‫ﺣﺪس ﺑـﺰﻧﻴﺪ‪ «.‬ﻫﻨﮕﺎﻣﻰ ﻛـﻪ ﻣـﻌـﻠـﻮم ﺷﺪ ﺗﻜﻠﻴـ; درﺑـﺎرهى ﺗﺎﺑـﻊ‬ ‫اﻗﻌﺎ ﻓﺮاﻳﻨﺪ درك ‪ mod‬را ﻣﻰﺳﺎﺧﺘﻨﺪ‬ ‫)‪ mod(x2 ,2‬اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﻌﻠﻤﺎن و ً‬ ‫ﺑﻪ ﮔـﻮﻧﻪاى ﻛﻪ ﻓـﺮد‪ ،‬ﻫﻢزﻣﺎن ﺑﺘـﻮاﻧﺪ ﺗﻐﻴـﻴـﺮات )‪ x, mod(x2 ,2‬را‬ ‫ﺗﺼﻮر ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﺑﺤﺚ ﻛـﺮدﻳﻢ ﻛﻪ ﻧﻤﻮدار )‪ mod(a 2 ,2‬ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫ﺟﺰﻳﻰ ﻣﻘﺪار ‪ a‬ﭼﻪ ﺷﻜﻠﻰ ﺧـﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬ﻣﻌﻠﻤﺎن ﺑﺎﻳﺪ ﻫﻢﭼﻨﻴﻦ ﺑـﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻰ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺮدن ‪ x‬آﺷﻨﺎ ﺷﻮﻧﺪ ﺗﺎ ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ ﻣﻘﺪار )‪mod(x2 ,2‬‬



‫را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻣﺎ ﻫﻢﭼﻨﻴﻦ‪ ،‬ﺑﺤـﺚ ﻛـﺮدﻳﻢ ﻛﻪ ﭼﺮا و ﻛﺠﺎ ﺗﺎﺑـﻊ‬ ‫ﺷﻜﺴﺘﻪ ﻣﻰﺷﻮد‪ ،‬ﺑﻌﺪ از ﻣﺪﺗﻰ‪ ،‬آنﻫﺎ اﺳﺘﺪﻻل ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ ﻫﺮوﻗﺖ‬ ‫‪ x2‬ﻋﺪدى زوج‪ ،‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﻘﺪار ﺗﺎﺑﻊ ﺻﻔﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪،‬‬ ‫ﺑﺮاى ‪ ، 0< x < 2‬رﻓﺘﺎر ﻛﻠـﻰ ﻧـﻤـﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺎﻧﻨـﺪ ﻧـﻤـﻮدار ﺗﺎﺑـﻊ‬



‫ﺷـﻜــﻞ ‪ :٢‬ﻧـﻤـﻮدار ﺗـﻮاﺑــﻊ ))‪، y = mod(x2 , cos(x‬‬ ‫ﺷﻜﻞ ‪ :١‬ﻧﻤﻮدار )‪ y = mod(x2 ,2‬و‬



‫)‪ y = mod(x2 , x‬و )‪y = mod(x 3 ,2‬‬



‫‪y = x2 − a, a = 0,2.4L‬‬



‫در ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ‪ ،‬از ﻣﻌﻠﻤﺎن درﺧﻮاﺳﺖ ﻛﺮدﻳﻢ ﻛﻪ ﺷﺮح دﻫﻨﺪ ﻛﻪ‬ ‫در ﻫـﺮ ﻣـﻮرد‪ ،‬ﻧﻤـﻮدارﻫـﺎ ﭼـﻪ رﻓـﺘـﺎرى دارﻧﺪ و اﺻـﺮار داﺷـﺘـﻴـﻢ از‬ ‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬



‫ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره‪٨٩‬ى‪٤٠ ٣١٣‬‬



‫ﺗﻮﺿﻴﺤﺎﺗﺸﺎن‪ ،‬رﻳﺸﻪ در درك آنﻫﺎ از ﻣﻔﻬﻮم )‪ mod(a, b‬و اﻳﻦﻛﻪ‬ ‫ﻣﻘﺪار )‪ mod(x2 ,2‬ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻘـﺪار ‪ x‬ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻰﻛﻨﺪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺪﻳﻦﺗﺮﺗﻴﺐ‪ ،‬ﻓﺮﺻﺘﻰ ﺑﺮاى ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻓﺮاﻫﻢ ﻛﺮدﻳﻢ ﺗﺎ ﺗﺼﻮرﺷﺎن را از‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ‪ mod‬ﻋﻤﻴﻖﺗﺮ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﺗﻜﻠﻴﻔﻰ ﺑﻪ آنﻫﺎ دادﻳﻢ و از اﻳﺸﺎن‬ ‫ﺧـﻮاﺳـﺘـﻴـﻢ ﻛـﻪ رﻓـﺘـﺎرﻫﺎى ﺗـﺎﺑـﻊﻫـﺎى ))‪، y = mod(x2 , cos(x‬‬ ‫)‪ y = mod(x2 , x‬و )‪ y = mod(x 3 ,2‬را اﺑـﺘــﺪا ﺑــﺎ ﺣــﺪسزدن‬ ‫ﻧﻤﻮدار آن ﻣﺸﺨﺺ ﻛﻨﻨﺪ و ﺳﭙﺲ‪ ،‬ﺗﻮﺿﻴﺤﺎﺗﺸﺎن را ﺑﺎ دﻳﺪن ﻧﻤﻮدار‪،‬‬ ‫دﻗﻴﻖﺗﺮ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﺑﺎﻻﺧﺮه‪ ،‬از آنﻫﺎ ﺧﻮاﺳﺘﻴﻢ ﻛﻪ رﻓﺘﺎر ﻧﻤﻮدار را ﺷﺮح‬ ‫دﻫﻨﺪ و ﺑﮕﻮﻳﻨﺪ ﻧﻤﻮدار ﭼﺮا و در ﻛﺠﺎ ﺷﻜﺴﺘﻪ ﻣﻰﺷﻮد‪) .‬ﺷﻜﻞ ‪(٢‬‬ ‫ﻫﻤـﻪى ﻣـﻌـﻠـﻤـﺎن ﺑـﻪﺟـﺰ ﻳـﻚ ﻧـﻔـﺮ‪ ،‬درﺑـﺎرهى دو ﺗـﺎﺑـﻊ اول‬ ‫ﺗﻮﺿﻴﺤـﺎت رﺿﺎﻳﺖﺑﺨﺸﻰ دادﻧﺪ‪ ،‬اﻣﺎ ﻓﻘﻂ ﻳﻜـﻰ از ﺗـﻮﺿﻴﺤـﺎت‬ ‫درﺑﺎرهى ﺗﺎﺑﻊ ﺳﻮم رﺿﺎﻳﺘﺒﺨﺶ ﺑﻮد‪ .‬در اﻳﻦ ﺗﻮﺿﻴﺤﺎت‪ ،‬ﻫﻢ ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ‪ mod‬ﺑﻪﻛﺎر ﺑﺮده ﺷﺪه ﺑﻮد و ﻫﻢ ﻣﻔﻬﻮم ﻫﻢﺗﻐﻴﻴﺮى‪ ١١‬ﻧﺸﺎن داده‬ ‫ﺷﺪه ﺑـﻮد‪ ،‬اﮔﺮﭼﻪ ﻫﻤﻪى ﻣﻌﻠﻤﺎن‪ ،‬ﺑﻪﻃـﻮر ﺻـﺮﻳـﺢ‪ ،‬از ﻣـﻔـﻬـﻮم‬ ‫ﻫﻢﺗﻐﻴﻴﺮى اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻜﺮده ﺑﻮدﻧﺪ‪.‬‬ ‫اﻟﺒﺘﻪ اﻣﻴـﺪوارﻳﻢ ﻛﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن ﺑﺎ در ﻧﻈﺮ ﮔـﺮﻓﺘﻦ ﺗﺠﺮﺑﻪ ﺷﺨﺼـﻰ‬ ‫ﺧﻮد از اﻳﻦ ﺗﻜﺎﻟﻴ;‪ ،‬اﺑـﺘـﺪا داﻧـﺶآﻣـﻮزان را در ﻣـﺮﺣﻠﻪى اﻧﺠـﺎم‬ ‫ﺗﻜﻠﻴ; و ﺗﻤﺮﻳـﻦ ﻗـﺮار دﻫﻨﺪ و ﺳﭙﺲ آنﻫـﺎ را ﺑﻪ ﻣﺮﺣﻠﻪى ﺗﺠﺮﻳـﺪ‬ ‫ﺳﻮق دﻫﻨﺪ‪.‬‬ ‫اﻟﺒﺘﻪ ﺗـﻮﺿﻴﺢ اﻳﻦ ﻧﻤـﻮدارﻫﺎ‪ ،‬ﺗﻨﻬﺎ ﭘﺎﻳﺎﻧـﻰ ﺑـﺮاى ﻳﻚ ﻣـﺮﺣﻠﻪى‬ ‫اﻗﻌﺎ ﻣﻰﺧﻮاﺳﺘﻴﻢ ﻣﻌﻠﻤﺎن آن را در‬ ‫آﻣﺎدهﺳﺎزى ﺑﺮاى ﺳﺆاﻟﻰ ﺑﻮد ﻛﻪ و ً‬ ‫ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻧﺪ و آن ﺳﺆال اﻳﻦ ﺑﻮد ﻛﻪ‪:‬‬ ‫از اﻳﻦ ﺗﻜﻠﻴ;‪ ،‬ﺑﺮاى اﻳﻦﻛﻪ ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑﻪ داﻧﺶآﻣﻮزان‬ ‫ﻛﻤﻚ ﻛﻨﻴﺪ ﺗﺎ ﻓـﺮاﻳﻨﺪ ﺗﺼﻮرات ﺧﻮد را از ﺗﻌﺮﻳ;ﻫﺎى ﺗﺎﺑـﻊ و درك‬ ‫ﻫﻢﺗﻐﻴﻴﺮى ﺗﻮﺳﻌﻪ دﻫﻨﺪ‪ ،‬ﭼﻪ ﻳﺎد ﮔﺮﻓﺘﻴﺪ؟ )ﺧﻼﺻﻪاى از ﺻﻔﺤﺎت‬ ‫‪ ٤٢٥‬ﺗﺎ ‪ ٤٢٧‬ﻣﻘﺎﻟﻪﻫﺎى ﺗﺎﻣﭙﺴﻮن و ﻫﻤﻜﺎران‪.(٢٠٠٧ ،‬‬ ‫ﺑﺤﺚ و ﻧﺘﻴﺠﻪﮔﻴﺮى‬ ‫زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺗﻜﻠﻴﻔـﻰ را ﺑﺮاى داﻧﺶآﻣـﻮزان ﻣﻄﺮح ﻣﻰﻛﻨﻴـﻢ‪،‬‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ ﺑـﻪ داﻧـﺶآﻣـﻮزان ﻓﺮﺻﺖ دﻫﻴﻢ ﺗﺎ ﻫـﻢ ﺑـﺎ اﻳـﻦ ﺗـﻜـﺎﻟـﻴـ;‬ ‫ﺑﻪﺻـﻮرت اﻧﻔـﺮادى ﻳﺎ ﮔﺮوﻫﻰ دﺳﺖوﭘﻨـﺠـﻪ ﻧـﺮم ﻛﻨﻨﺪ و ﻫـﻢ‬ ‫راهﺣﻞﻫﺎ و اﺳﺘﺮاﺗﮋىﻫﺎى ﺧﻮد را ﺑﺎ ﺗﻤﺎم ﻛﻼس درﻣﻴﺎن ﺑﮕﺬارﻧﺪ‬ ‫و درﺑﺎرهى آنﻫﺎ ﺑﺤﺚ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬اﻧﺘﺨﺎب ﺗﻜﺎﻟﻴ; ﺧﻮب ﻣﺴﺘﻠﺰم‬



‫آن اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣـﻌـﻠـﻤـﺎن‪ ،‬ﻫـﺮ روز ﺑـﻪ ﺷـﻴـﻮهﻫﺎى ﻓـﻜـﺮ ﻛـﺮدن‬ ‫داﻧﺶآﻣﻮزان درﺑﺎرهى رﻳﺎﺿﻴﺎﺗﻰ ﻛﻪ در ﺣﺎل ﺑﺤﺚ ﻛﺮدن روى‬ ‫آن ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﮔـﻮش ﻓﺮادﻫﻨﺪ‪ .‬اﻧﺘﺨﺎب ﺗﻜﻠﻴ; ﺑـﺮاى روز ﺑﻌـﺪ‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ ﭼﻨـﺎن ﺻـﻮرت ﮔﻴﺮد‪ ،‬ﻛﻪ ﺑﻪ داﻧـﺶآﻣـﻮزان در ﺑﺎزﺗﺎب ﺑـﺮ‬ ‫آنﭼﻪ ﻛﻪ ﺷﻤﺎ ﻗﺼﺪ اﻳﺠـﺎد و ﺗـﻮﺳﻌﻪى آنﻫـﺎ را دارﻳﺪ ﻛﻤـﻚ‬ ‫ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺳﻌـﻰ ﻛـﻨـﻴـﺪ‪ ،‬در ﺟـﺴـﺖوﺟـﻮى راﻫـﻰ ﺑـﺮاى ﻛﺸـ;‬ ‫اﻳﺪهﻫﺎى ﺑﺰرگ ﺑﺎﺷﻴﺪ‪ .‬در ﻳﻚ ﺗﻜﻠﻴ; ﺧﻮب‪ ،‬داﻧﺶآﻣﻮزان‬ ‫ﺑﻪ درون رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻣﻬﻤﻰ ﻛﻪ ﻗﺼﺪ دارﻳﺪ آنﻫﺎ ﻳﺎد ﺑـﮕـﻴـﺮﻧـﺪ‪،‬‬ ‫ﺧﻮاﻫﻨﺪ اﻓﺘﺎد )ﻻﭘﺎن و ﺑﺮاﻳﻮز‪ ،١٩٩٥ ،‬ﻧﻘﻞ ﺷﺪه در ﭼﻤﻦآرا‬ ‫زﻣﺴﺘﺎن ‪.(١٣٨٢‬‬ ‫اﻟﺒﺘﻪ ﻻزم اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن‪ ،‬ﻣﺤﺘﻮاى رﻳﺎﺿﻰ درﺳﻰ را ﻛﻪ‬ ‫ﺗﺪرﻳﺲ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ ﻛﺎﻣﻞ ﺑﺪاﻧﻨﺪ ﺗﺎ ﺑـﺘـﻮاﻧﻨﺪ آن را ﺑﻪﻃﻮر واﺿﺢ ﺑﻪ‬ ‫داﻧﺶآﻣﻮزان اراﺋﻪ دﻫﻨﺪ و اﻳﺪهﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ را ﺑﺮاى ﻃﻴ; وﺳﻴﻌﻰ‬ ‫از داﻧﺶآﻣﻮزان‪ ،‬ﻗﺎﺑﻞ دﺳﺘﺮﺳﻰ ﻧﻤﺎﻳﻨﺪ و داﻧﺶآﻣﻮزان را درﮔﻴﺮ‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫﺎى ﭼﺎﻟﺶآور رﻳﺎﺿﻰ ﻛﻨﻨﺪ )ﮔﻮﻳﺎ‪ ،‬ﺗﺎﺑﺴﺘﺎن ‪.(٨٤‬‬ ‫ﭘﻰﻧﻮﺷﺖ‬ ‫‪1. Repetitive‬‬ ‫‪2. Reflective Abstraction‬‬ ‫‪3. Intention‬‬ ‫‪4. Overtime‬‬ ‫‪5. Intertwined‬‬ ‫‪6. Prestage and Perks‬‬ ‫‪7. Practical Wisdom‬‬ ‫‪8. Professional Traditions‬‬ ‫‪9. Learner Knowledge‬‬ ‫‪10. Adaptation‬‬ ‫‪11. Covariation‬‬



‫ﻣﻨﺎﺑﻊ‬ ‫‪ .١‬ﮔﻮﻳﺎ‪ ،‬زﻫﺮا‪ .(١٣٨٣) .‬داﻧﺶ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻮرد ﻧﻴﺎز ﺑﺮاى ﺗﺪرﻳﺲ در دورهﻫﺎى اﺑﺘﺪاﻳﻰ‪ .‬ﻣﺠﻠﻪى‬ ‫رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ .‬ﺷﻤﺎرهى ‪ .٨٠‬ﺗﺎﺑﺴﺘﺎن ‪ .٨٤‬اراﺋﻪ ﺷﺪه در ﻫﻔﺘﻤﻴﻦ ﻛﻨﻔﺮاﻧﺲ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪.‬‬ ‫‪ .٢‬ﻫﻴﺒﺮت و ﻫﻤﻜﺎران‪ .(١٩٩٦) .‬ﺗﻮﺳﻌﻪ و ﻓﻬﻢ درك رﻳﺎﺿﻰ‪ .‬ﺗﺮﺟﻤﻪى ﺳﭙﻴﺪه ﭼﻤﻦآرا‪ .‬ﻣﺠﻠﻪى‬ ‫رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ .‬ﺷﻤﺎرهى ‪ .٧٤‬زﻣﺴﺘﺎن ‪.٨٢‬‬ ‫‪3. Prestage. S., & Perks. P. (2007). Developing teacher knowledge‬‬ ‫‪using a tool for creating tasks for the classroom. Journal of Math‬‬ ‫‪ematics Teacher Education, 10: 381-390. Springer.‬‬ ‫‪4. Thompson, P. W.; Carlson, M. P.; Silverman, J. (2007). The design‬‬ ‫‪of tasks in support of teachers’ development of coherent mathematied‬‬ ‫‪meanings. Journal of Mathematics Teacher Education. 10: 415‬‬‫‪432. Springer.‬‬



‫‪٤١‬‬



‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎرهى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﺗﻌﻠﻴﻢ و ﺗﺮﺑﻴﺖ ﻗﺮون وﺳﻄﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﺳﺒﻚ ﺟﺪﻳﺪ!!‬



‫ﭼﻪﻛﺴﻰ ﭘﺎﺳﺦﮔﻮى‬ ‫اﻳﻦ رﻓﺘﺎرﻫﺎدرﻣﺪارساﺳﺖ؟‬ ‫ﻣﺮﻳﻢ ﮔﻮﻳﺎ‬ ‫دﺑﻴﺮ ﺑﺎزﻧﺸﺴﺘﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ‬



‫اﺷﺎره‬ ‫ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺗـﺪاوم ﻣﻌﻨﺎدار ﺧﻮد را ﻣﺪﻳﻮن ﺗﻌﺎﻣـﻞ‬ ‫و ﺗـﺒـﺎدلﻧـﻈـﺮ داﺋـﻤـﻰ ﺑـﺎ ﻣـﺨـﺎﻃـﺒـﺎن اﺻـﻠــﻰ ﺧــﻮد ﻛـﻪ ﻣـﻌـﻠـﻤـﺎن رﻳـﺎﺿــﻰ و‬ ‫دﺳﺖاﻧـﺪرﻛﺎران آﻣـﻮزش ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﻫﺴﺘﻨـﺪ‪ ،‬ﻣـﻰداﻧـﺪ‪ .‬ﺑـﻪ ﻫـﻤـﻴـﻦ‬ ‫دﻟﻴﻞ‪ ،‬ﺑﻴﺶﺗﺮﻳﻦ ﺗﻼش اﻋﻀﺎى ﻫﻴﺌﺖ ﺗﺤﺮﻳﺮﻳﻪى ﻣﺠﻠﻪ‪ ،‬ﺟﺴﺖوﺟـﻮ‬ ‫ﺑﺮاى ﭘﻴﺪا ﻛـﺮدن راهﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ R‬اﻳﺠﺎد ﭼﻨﻴﻦ ﺗﻌﺎﻣﻞ و ﺗـﺒـﺎدلﻧـﻈـﺮى ﺑـﻮده‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺧـﻮﺷﺒﺨﺘﺎﻧـﻪ از ﺳـﺎل ‪ ١٣٨١‬ﻛﻪ ﺑﻪ ﻫﻤﺖ ﻣـﺴـﺌـﻮﻻن ﻣﺤﺘـﺮم دﻓﺘـﺮ‬ ‫اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻤﻚآﻣـﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﺗﻮﻟﻴﺪ و ﺗﻮزﻳﻊ ﻣﺠﻠﻪ‪ ،‬ﻧﻈﻢ ﺑﻴﺶﺗـﺮى ﻳﺎﻓﺘﻪ و‬ ‫ﺗﻴﺮاژ آن ﻧﻴﺰ ﺑﺎﻻﺗﺮ رﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻣﺤﺘﺮم ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﺶﺗﺮى ﺑﺎ ﻣﺠﻠﻪى‬ ‫ﺧﻮدﺷﺎن ﺑـﺮﻗﺮار ﻛﺮدهاﻧﺪ و ﺑﻴﺶﺗﺮ از ﮔﺬﺷﺘﻪ‪ ،‬دﻳﺪﮔـﺎهﻫـﺎى ﺧـﻮد را ﺑﺮاى‬ ‫ﭼﺎپ‪ ،‬ارﺳـﺎل دارﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻫﻤﻴـﻦ دﻟـﻴـﻞ‪ ،‬آرزوى دﻳﺮﻳﻨﻪى دﻓﺘﺮ اﻧـﺘـﺸـﺎرات‬ ‫ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ و ﻫﻴﺌﺖ ﺗﺤﺮﻳﺮﻳﻪى ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻰرود‬ ‫ﺗﺎ ﺗﺤﻘﻖ ﻳـﺎﺑـﺪ‪ .‬درﻧﺘﻴﺠﻪ‪ ،‬ﺑﺎ ﻧﻈﺮ ﻫﻴﺌﺖ ﺗﺤـﺮﻳـﺮﻳـﻪى ﻣـﺠـﻠـﻪ‪ ،‬ﻗـﺮار ﺷﺪ ﺗﺎ‬ ‫دﻳﺪﮔـﺎهﻫـﺎى ارﺳﺎﻟـﻰ ﻋـﻴـﻨـﺎً و ﺑـﺪون وﻳﺮاﻳـﺶ ﭼـﺎپ ﺷـﻮﻧﺪ‪ .‬درﺿـﻤـﻦ‪ ،‬از‬ ‫ﺧﻮاﻧﻨﺪﮔﺎن ﻣﺤﺘﺮم اﺳﺘﺪﻋﺎ دارﻳﻢ ﻛﻪ ﭘﺎﺳﺦﮔﻮ و ﻣﻨﺘﻘﺪ دﻳﺪﮔﺎهﻫﺎ ﺑﺎﺷﻨﺪ و‬ ‫ﺗﻌﺎﻣﻞ و ﺗﺒﺎدلﻧﻈﺮ را از ﻃﺮﻳﻖ ﺑﺎزﺗﺎب ﺑﺮ آنﻫﺎ‪ ،‬ﻣﻌﻨﺎدارﺗﺮ و ﻛﺎرآﺗﺮ ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫اﻣﺎ ﻫﻢﺳﻮ‬ ‫اﻟﺒﺘﻪ ﻻزم ﺑﻪ ﺗﻮﺿﻴﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ دﻳﺪﮔﺎهﻫﺎى ﻣﻄﺮحﺷﺪه‪ ،‬اﻟﺰ ً‬ ‫ﺑﺎ ﺳﻴﺎﺳـﺖﻫـﺎ و دﻳـﺪﮔـﺎهﻫـﺎى دﻓـﺘـﺮ اﻧـﺘـﺸـﺎرات ﻛﻤـﻚآﻣـﻮزﺷﻰ و ﻫـﻴـﺌـﺖ‬ ‫ﺗﺤﺮﻳﺮﻳﻪى ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬



‫اﻳﻦ روزﻫﺎ ﺑﺎزار اﻧﻮاع و اﻗﺴﺎم ﻧـﻮآورىﻫﺎ در زﻣﻴﻨﻪﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ;‬ ‫ﮔـﺮم اﺳـﺖ و اﺧـﺘـﺮاع و اﺑﺘـﻜـﺎر و… رواج ﻓـﺮاوان دارد؛ ﺑـﻪوﻳـﮋه در‬ ‫آﻣﻮزشوﭘـﺮورش ﻛﻪ ﻇﺎﻫـﺮًا دﻳـﻮارش از ﻫﻤﻪ ﻛـﻮﺗﺎهﺗﺮ اﺳﺖ و ﻫـﻤـﻪ‬ ‫ﻣﻰﺗـﻮاﻧﻨﺪ ﺑـﻪ ﻧـﻮﻋﻰ از آن ﺑﺎﻻ ﺑـﺮوﻧﺪ‪ .‬ﻃﺒﻴﻌﻰ اﺳـﺖ ﺑـﻴـﺶ از ﻫـﻤـﻪ‬ ‫ﻗﺪﻛـﻮﺗﺎﻫﺎن ﻣﺸﺘـﺎق ﭘـﻴـﻤـﻮدن ﭼﻨﻴـﻦ دﻳـﻮارﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴﺘـﻨـﺪ‪،‬ﭼـﻮن ﻫـﻢ‬ ‫ﻣﻰﺗﻮاﻧﻨﺪ و ﻫﻢ ﭘﺲ از ﺑـﺎﻻ رﻓﺘﻦ اﺣﺴﺎس ﺑﻠﻨﺪى و ﺑﺮﺗﺮى ﻣﻰﻛﻨﻨـﺪ‪.‬‬ ‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬



‫ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره‪٨٩‬ى‪٤٢ ٣١٣‬‬



‫ﻣﺘﺄﺳﻔﺎﻧﻪ ﻧﻴﺮوﻫﺎى ﻧﻈﺎرﺗﻰ ﻳﺎ ﻧﻤﻰﺑﻴﻨﻨﺪ ﻳﺎ ﻧﻤﻰﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﺒﻴﻨﻨﺪ‪ .‬ﭼﺮا ﻛﻪ‬ ‫ﮔﺬر از ارﺗﻔﺎﻋﻰ ﭼﻨﻴـﻦ ﻛـﻮﺗﺎه ﺟﺮم ﻣﺤﺴـﻮب ﻧﻤﻰﺷﻮد و در ﺻـﻮرت‬ ‫ﻣﺸﺎﻫﺪه‪ ،‬ﻛﺴﺮ ﺷﺄن ﻧﺎﻇﺮﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﮔﻮﻧﻪ ﺗﺨﻠﻔﺎت ﺑﻬﺎ ﺑﺪﻫﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﮕﺬرﻳﻢ ﻛﻪ ﻗﺼﻪ ﻓﺮاوان اﺳﺖ و ﻫﺮ روز ﻣﺎﺟﺮاﻳﻰ ﺗﺎزه ـ آن ﻫﻢ از‬ ‫ﻧﻮع اﺑﺘﻜﺎرى و ﺷﻜﻮﻓﺎ ﺷﺪهاش! ـ در اﻳﻦ دﻳﺎر ﺑﻪ وﻗﻮع ﻣﻰﭘﻴﻮﻧﺪد‪ .‬ﺑﻪ‬ ‫ﻧﻤـﻮﻧﻪاى از روشﻫﺎى ﺧﻼق! و در ﻋﻴﻦ ﺣﺎل ﻣﻔـﻴـﺪ!! ﻛـﻪ ﻧـﺘـﺎﻳـﺞ‬ ‫درﺧﺸﺎﻧﻰ در اﻣﺮ ﻳﺎدﮔﻴﺮى داﺷﺘﻪ و ﺑﺎﻋﺚ رﺗﺒﻪﻫﺎى دورﻗﻤﻰ در ﻛﻨﻜﻮر‬ ‫ﺳﺮاﺳﺮى و ﻧﺨﺒﻪﭘـﺮورى و رﺷﺪ و ﺷﻜـﻮﻓﺎﻳﻰ و ﺧﻼﻗﻴﺖ! و… ﺷـﺪه‬ ‫اﺳﺖ اﺷﺎره ﻣﻰﻛﻨﻢ‪.‬‬ ‫و اﻣﺎ ﺑﺸﻨﻮﻳﺪ ـ ﺑﺒﺨﺸﻴﺪ؛ ﺑﺨﻮاﻧﻴﺪ ـ ﻗﺼﻪى اﻣﺮوز را‪:‬‬ ‫ﺑﺨﺶ ﻧﺨﺴﺖ )ﺳﺎل ‪ :(١٣٨٧‬ﻳﻜﻰ ﺑﻮد‪ ،‬ﻳﻜﻰ ﻧﺒﻮد‪ .‬ﻏﻴﺮ از ﺧﺪا‬ ‫ﻫﻴﭻﻛﺲ ﻧﺒﻮد‪ .‬در ﺷﻬﺮ رﻧﮕﺎرﻧﮓ و ﭘﺮدود و ﻏﺒﺎرآﻟﻮد و ﭘﺮﺳﺮوﺻﺪاى‬ ‫ﻣﺎ؛ ﻗﺮار ﺷﺪ ﺑﺮاى ﻛﻤﻚ ﺑﻪ ﺑﻮدﺟﻪى دوﻟﺖ‪ ،‬ﺑﺨﺶ ﺧﺼﻮﺻﻰ ﻓﻌﺎل‬ ‫ﺷﻮد و ﻫﻤﺎنﻃﻮر ﻛﻪ ﻣﻰداﻧﻴﺪ ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ ﺟﺎ و ﭘﺮﺑﺎزدهﺗﺮﻳﻦ ﺣﻮزهﻫﺎ در‬ ‫زﻣﻴـﻨـﻪى ﺳـﻮددﻫـﻰ‪ ،‬آﻣـﻮزشوﭘـﺮورش ﺑﻮد‪ .‬ﺑﻪ ﻫـﻤـﻴـﻦ ﺟـﻬـﺖ ﺑـﺎ‬ ‫ﺣﻤﺎﻳﺖﻫﺎى ﺑﻰدرﻳـﻎ ﻣـﺴـﺌـﻮﻻن و ﻛﺎرﺷﻨﺎﺳﺎن از ﺟﻨﺒـﻪى ﻣـﺎﻟـﻰ و‬ ‫ﻏﻴﺮﻣﺎﻟﻰ؛ ﻣﺪارس ﻏﻴﺮاﻧﺘﻔﺎﻋﻰ ـ ﻏﻴﺮاﻧﺘﻔﺎﻋﻰ ﺑﺮاى ﻛﺎرﺑﺮان ﻧﻪ ﻣﺆﺳﺴﺎن‬ ‫ـ ﻳﻜﻰ ﭘﺲ از دﻳﮕﺮى ﺑﻪ ﺛﺒﺖ رﺳﻴﺪﻧﺪ و ﺻﺎﺣﺐ اﻣﺘﻴﺎزان آنﻫﺎ ﺑﺎ ﻫﺪف‬ ‫ﭘﺮورش ﻧﺴﻠﻰ ﺧـﻼق و زﺑـﺪه و ﺑـﺎ ﻓـﺮﻫﻨﮓ و ﺑﺎ… و ﺑﺎ… و ﺑـﺎ… ﺑـﻪ‬ ‫اراﺋﻪى اﻳﺪهﻫﺎى ﻣﺒﺘﻜﺮاﻧﻪى ﺧﻮد ﭘﺮداﺧﺘﻨﺪ‪ .‬اﺑﺘﻜﺎرات ﻫﻢ در ﺗﺮﺑﻴﺖ‬ ‫ﺑﻮد و ﻫﻢ در ﺗﻌﻠﻴﻢ و در اﻳﻦ ﻣﻮرد ﻫﺮ ﻛﺲ ﺳﻌﻰ ﻣﻰﻛﺮد ﮔﻮى ﺳﺒﻘﺖ‬ ‫را از دﻳﮕﺮى ﺑﺮﺑﺎﻳﺪ و روى دﺳﺖ دﻳﮕﺮان ﺑﻠﻨﺪ ﺷﻮد‪ .‬ﻣﺪرﺳﻪى »اﻟ;«‪،‬‬ ‫ﻛﻼس ﺗﺴﺖ ﻣـﻰﮔـﺬاﺷـﺖ‪ ،‬ﻣـﺪرﺳﻪى »ب« ﻋـﻼوه ﺑـﺮ آن‪ ،‬اردوى‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ ﺑﺮﮔﺰار ﻣﻰﻛﺮد‪.‬‬ ‫ﻣﺪرﺳﻪى »پ« ﺑﻪ ﻏﻴﺮ از ﻣﻮارد ﻓﻮق‪ ،‬ﺑﻪ اﻳﺠﺎد ﻛﻼسﻫﺎى ﻫﻮش‬ ‫ﻫﻴﺠﺎﻧﻰ و ﻣﺪﻳﺮﻳـﺖ زﻣﺎن‪ ،‬ﻫـﻮش اﺟﺘﻤﺎﻋﻰ و… ﻣﺒـﺎدرت ﻣﻰﻛﺮد‪.‬‬



‫ﻣﺪرﺳﻪى ﺗﺎزهﺗﺄﺳﻴﺲ دﻳﮕﺮى ﺑﻪ ﻏﻴﺮ از ﺑﻬﺮهﮔﻴﺮى از اﺑﺘﻜﺎرات دﻳﮕﺮان‪،‬‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى زﻣﺎنﺑﻨﺪى در ﺧﺎﻧﻪ و ﺧﺎرج از ﻣﺪرﺳﻪ ﺑﺮاى داﻧﺶآﻣﻮزان در‬ ‫ﻧﻈﺮ ﻣﻰﮔـﺮﻓﺖ ﻛﻪ ﺑﺘﻮاﻧﺪ ﻫﻤﻪى ﺳﺎﻋﺎت ﺷﺒﺎﻧﻪروز داﻧـﺶآﻣـﻮزان را‬ ‫ﺗﺤﺖ ﻛﻨﺘﺮل داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ و ﻣﻄﻤﺌﻦ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﻣﻌﺠﻮﻧﻰ ﻛﻪ ﺗﺪارك دﻳﺪه‬ ‫ﺣﺘﻤﺎ ﭘﺨﺘﻪ ﻣﻰﺷﻮد و ﻃﺮﺣﻰ ﻧﻮ درﻣﻰاﻧﺪازد‪ .‬ﺑﻪ ﻫﺮ ﺣﺎل روزﻫﺎ ﻳﻜﻰ‬ ‫ً‬ ‫ﭘﺲ از دﻳﮕﺮى اﻣﺎ ﺑﺎ ﺷﺘﺎب ﻣﻰﮔﺬﺷﺖ و روزﺑﻪروز‪ ،‬ﻫﻢ ﺑﻪ ﺗﻌﺪاد و‬ ‫ﻫﻢ ﺑﻪ اﺑﺘﻜﺎرات ﭼﻨﻴﻦ ﻣﺪارﺳﻰ اﻓﺰوده ﻣﻰﮔﺸﺖ‪ .‬ﻧﻤﻰﺧﻮاﻫﻢ ﺳﺮﺗﺎن‬ ‫را درد ﺑـﻴــﺎورم ﻛـﻪ ﭘـﻴــﻪ اﻳــﻦ ﻃــﺮح و ﻻﻳـﺤـﻪ و ﻗــﺎﻧــﻮنﻫـﺎ در اﻣــﺮ‬ ‫ﺗﻘﺮﻳﺒـﺎ ﺑﻪ ﺗﻦ ﻫﻤﻪ ﺧـﻮرده اﺳﺖ و ﻫﻤﻪ ﺑﻪ ﻧﻮﻋﻰ از‬ ‫ً‬ ‫آﻣﻮزشوﭘﺮورش‬ ‫ﻣﺰاﻳﺎى ﺑﻰﺷـﻤـﺎر روشﻫﺎى ﺧـﻮدﺳﺮاﻧﻪ و ﻣﺒﺘـﻜـﺮاﻧﻪ و ﭼـﻪ و ﭼـﻪ در‬ ‫ﺗﻌﻠﻴﻢوﺗﺮﺑﻴﺖ ﺑﻬﺮهﻣﻨﺪ ﺷﺪهاﻧﺪ و ﻧﺘﺎﻳﺞ درﺧﺸﺎن ﭼﻨﻴﻦ اﻗﺪاﻣﺎﺗﻰ را در‬ ‫ادﺑﻴﺎت ﻛﻼﻣﻰ و رﻓﺘﺎر و ﻛﺮدار ﻧﺴﻞ ﺟﻮان ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﺑﮕﺬرﻳﻢ‬ ‫از ﭘﺸﺖ ﺻﺤﻨﻪى اﻳـﻦ روشﻫﺎ و آﻣـﻮزشﻫﺎ ﻛﻪ ﺑﺎ اﻧﺪﻛﻰ ﺗﺤـﻤـﻞ و‬ ‫ﺗﻌﻘﻞ ـ آن ﻫﻢ ﺗﻨﻬﺎ اﻧﺪﻛﻰ و ﻧﻪ ﺑﻴـﺸـﺘـﺮ! ـ ﻣﻰﺗﻮان اﻧﻮاع ﺑﻴﻤـﺎرىﻫﺎى‬



‫رواﻧﻰ‪ ،‬اﻓﺴﺮدﮔﻰﻫﺎ‪ ،‬ﭘﺸﺖ ﭘﺎ زدن ﺑﻪ ﻫﻤﻪى اﺻﻮل و ﺗﻌﺎﻟﻴﻢ و… را‬ ‫در ﮔﺮوﻫﻰ از ﻧﺴﻞ ﺟـﻮان ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻛـﺮد‪ .‬در ﻫﻤﻴﻦ آﺷﻔﺘﻪﺑـﺎزارى ﻛـﻪ‬ ‫ذﻛﺮ آن رﻓﺖ؛ ﭘﺪر و ﻣﺎدر ﻋﺰﻳﺰى ﻛﻪ ﺧﻮاﻫﺎن ﻗﺒﻮﻟﻰ ﻓﻮرى و ﺑﻰﻗﻴﺪ و‬ ‫ﺷﺮط ﻓﺮزﻧﺪ ﻧـﺎزﻧﻴﻨﺸﺎن در ﻛﻨﻜﻮر ﺳـﺮاﺳﺮى ﺑﻮدﻧﺪ و ﻣﻰﺧﻮاﺳﺘﻨﺪ ﻫـﺮ‬ ‫آنﭼﻪ از دﺳﺘﺸﺎن ﺑﺮﻣﻰآﻳﺪ اﻧﺠﺎم دﻫﻨﺪ ﺗﺎ ﺑﻪ وﻇﺎﻳ; ﺷﺮﻋﻰ و ﻗﺎﻧﻮﻧﻰ‬ ‫و ﻋﺮﻓﻰ و… ﺧـﻮد ﻋﻤﻞ ﻛﺮده ﺑﺎﺷﻨﺪ و ﻛﻢ ﻧﮕﺬاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷـﻨـﺪ؛ ﭘـﺲ از‬ ‫ﻣﺎهﻫﺎ ﺟﺴﺖوﺟﻮ و ﭘﻰﮔﻴـﺮى و ﭘﺮﺳﺶ از اﻓﺮاد ﻣﺨﺘﻠ; ﺑﺎﻻﺧﺮه ﻧﺎم‬ ‫او را در ﻳﻜﻰ از ﻣـﺪارس ﻏﻴـﺮاﻧﺘﻔﺎﻋﻰ ﺑـﺮاى دورهى ﭘﻴﺶداﻧﺸﮕـﺎﻫـﻰ‬ ‫ﻧﻮﺷﺘﻨﺪ و ﻧﻔﺲ راﺣﺘﻰ ﻛﺸﻴﺪﻧﺪ‪ .‬ﻋﻠﺖ اﻳﻦﻫﻤﻪ ﺗﻼش ﻫﻢ در ﻇﺎﻫﺮ‬ ‫ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ ﻧﺎﻛﺎﻣﻰ ﻓـﺮزﻧﺪﺷﺎن در ﺳﻪ ﺳـﺎل دورهى دﺑﻴﺮﺳﺘـﺎن دوﻟﺘﻰ‬ ‫ﺑﻮد ﻛﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪى ﻣﻄﻠﻮﺑﻰ ﻋﺎﻳﺪﺷﺎن ﻧﺸـﺪه ﺑـﻮد‪ .‬اﻳﻦ ﻣﺮﻛﺰ از ﻫﻤﺎن‬ ‫اﺑﺘﺪا ﺑﻪ آنﻫﺎ اﻃﻤﻴﻨﺎن داد ﻛﻪ ﻓﺮزﻧﺪﺷﺎن ﺑﺴﻴﺎر ﺑﻬﺘﺮ از ﺗﺼﻮر آنﻫﺎ‬



‫اﺳﺖ و ﺑﺎ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪﻫﺎى وﻳﮋهى ﻣﺪرﺳﻪ ﺣﺘﻤﺎً در ﻛﻨﻜﻮر ﺳﺮاﺳﺮى ﻗﺒﻮل‬ ‫ﻣﻰﺷﻮد؛ ﺑﻪ ﺷﺮط آنﻛﻪ ﻧﻌﻞ ﺑﻪ ﻧﻌﻞ ﻣﻄﺎﺑﻖ روشﻫﺎ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪﻫﺎى‬ ‫ﻣـﺪرﺳـﻪ ﻋـﻤـﻞ ﻛــﻨــﺪ‪ .‬ﻛــﻼس و درس ﻣـﻄـﺎﺑـﻖ ﺳـﺎﻳــﺮ ﻣــﺮاﻛـﺰ‬ ‫ﭘﻴﺶداﻧﺸﮕﺎﻫﻰ ﻏﻴﺮاﻧﺘﻔﺎﻋﻰ از ﺗﺎﺑﺴﺘﺎن ﺷﺮوع ﺷﺪ و رﻓﺖ و آﻣﺪ در‬ ‫روزﻫﺎى ﮔﺮم اداﻣﻪ داﺷﺖ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﺮﻛﺰ ﻧﻴﺰ ﻧﺘﻮاﻧﺴﺖ در داﻧﺶآﻣـﻮز‬ ‫ﻣﺬﻛﻮر رﺿﺎﻳﺖ ﺧﺎﻃـﺮى اﻳﺠﺎد ﻛﻨﺪ زﻳﺮا ﺗﺤﻤﻞ ﻗـﻮاﻧﻴﻦ و ﻣﻘﺮرات‬ ‫ﻣﺪرﺳﻪ ـ ﻣﻨﻈﻮر ﻫﻤﺎن ﻣﺮﻛﺰ ﭘﻴﺶداﻧﺸﮕﺎﻫﻰ اﺳﺖ ـ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪﻫﺎى‬ ‫ﺗﺤﻤﻴﻠﻰ و اﻃﺎﻋﺖ ﻛﻮرﻛﻮراﻧﻪ و ﺑﻰﻗﻴﺪ و ﺷﺮط از اوﻟﻴﺎء ﻣﺪرﺳﻪ را‬ ‫ﻧﺪاﺷﺖ و ﻫـﺮ روز دلزدهﺗﺮ و ﻧﺎراﺿﻰﺗﺮ ﻣﻰﺷﺪ ـ ﺷﺎﻳﺪ دﻟﻴـﻠـﺶ‬ ‫ﺗﺸﺎﺑﻪ او ﺑﺎ ﺑﻘﻴﻪ اﻓـﺮاد ﺧﺎﻧـﻮادهى ﺑﺰرگ ﭘﺪرى و ﻣﺎدرىاش ﺑﻮد ﻛﻪ‬ ‫ﺗـﻘـﺮﻳـﺒـﺎ ﻏﻴـﺮﻣـﺘـﻌـﺎرف ﺑﻮدﻧـﺪ و در ﻗـﺎﻟـﺐ ﻋـﺮف ﺗﺤﻤـﻴـﻠـﻰ‬ ‫ً‬ ‫ﻫﻤـﻪ‬ ‫ﻧﻤﻰﮔﻨﺠﻴﺪﻧﺪ و رﻓﺘﺎرﻫﺎى ﻏﻴﺮﻣﻌﻘـﻮل ـ از ﻧﻈﺮ ﺗﻌﺮﻳ; اﺟﺘﻤﺎﻋﻰ ـ‬ ‫داﺷﺘﻨﺪ‪ .‬در ﭼﻨﻴﻦ ﺣﺎل و ﻫﻮاﻳﻰ از ﺑﺪ ﺣﺎدﺛﻪ‬ ‫ﻳﻚ روز ﺻﺒﺢ ﻛﻪ ﺑـﺎﻳـﺪ ﺑـﻪ ﻣـﻮﻗﻊ ﺑﻪ ﻣـﺪرﺳﻪ در ﻋﺼﺮ ﭘﺮﺷﺘﺎب اﻣﺮوز‬ ‫ﻣﻰرﺳﻴﺪ و ﺳﺮ ﻛﻼس ﺣﺎﺿﺮ ﻣﻰﺷﺪ و اﺗﻔﺎﻗﺎً در ﻛــــﺠــــﺎى دﻧــــﻴــــﺎ‪،‬‬ ‫از روزﻫﺎى ﺑﺴﻴﺎر ﺧﺴﺘﻪﻛﻨﻨﺪه ﻫﻢ ﺑﻮد ـ از ﻧﻈﺮ ﺳـﺎﻋــﺖﻫــﺎ ﺟــﻮاﻧـﻰ را‬ ‫ﺧﻮدش ـ ﺣﺎل ﺑﺴﻴﺎر ﺑﺪى داﺷﺖ و ﺑﺪﻧﺶ ﺑﻪ ﺳﺮﭘﺎ ﻧـﮕـﻪ ﻣـﻰدارﻧـﺪ و‬ ‫ﺷﺪت درد ﻣﻰﻛـﺮد‪ .‬ﺑﻪ اﻳـﻦ درد آن ﺑﻴـﺰارى و ﺗـﺤـﻘـﻴـﺮ ﻣـﻰﻛـﻨـﻨـﺪ ﺗــﺎ‬ ‫دلزدﮔﻰ از ﭼﻨﻴﻦ روزى ﻧﻴﺰ اﺿﺎﻓﻪ ﺷﺪه ﺑﻮد آنﻛﻪ ﻣﺘﻨﺒﻪ ﺷﻮد‬ ‫و ﺑﺎ ﺑﻰﻣﻴﻠﻰ و ﺳﺨﺘـﻰ و درد و… ﻫﻤﺮاه ﭘﺪر ﻣـــــــﺸــــــــﻜــــــــﻼت و‬ ‫ﺧﻮد راﻫﻰ ﻣﺪرﺳﻪ ﺷﺪ زﻳﺮا اﻧﺪﻛﻰ از ﺳﺎﻋـﺖ ﮔـﺮﻓﺘﺎرىﻫـﺎى روﺣـﻰ‪،‬‬ ‫ﻛﻼس ﮔﺬﺷﺘﻪ ﺑﻮد و اﺟﺎزهى ورود ﺑﻪ ﻣﺪرﺳﻪ رواﻧﻰ و رﻓﺘﺎرى ﺟﻮاﻧﺎن‬ ‫را ﺑـﺪون وﻟـﻰ ﺧـﻮد ﻧـﺪاﺷـﺖ‪ .‬ﭼـﻮن دﻳـﺮ ﺑـﻪ ﻛـﻢ اﺳـﺖ ﻛـﻪ ﭼـﻨــﻴــﻦ‬ ‫ﻛﻼس رﺳﻴﺪه ﺑﻮد‪ ،‬ﻣﺸﻤﻮل ﻗﺎﻧﻮِن ﺧﺎﻧﻢ دﺑﻴﺮ ﻣـﺸـﻜـﻼﺗــﻰ را ﻫـﻢ ﺑــﻪ‬ ‫ﺷﺪ )ﻗـﺎﻧـﻮﻧﻰ ﻛﻪ ﻃﺒﻖ ﮔـﻔـﺘـﻪى ﺧـﻮد دﺑﻴـﺮ و آنﻫﺎ اﺿﺎﻓﻪ ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ؟‬ ‫ﻣﺴﺌﻮﻟﻴﻦ ﻣﺪرﺳﻪ در ﻣﺪارس دﻳﮕﺮ ﻫﻢ‪ ،‬ﺑﺎﻋﺚ‬ ‫ﺷﺪه داﻧﺶآﻣﻮزان اﻳﺸﺎن ﺑﺎ رﺗﺒﻪﻫﺎى دورﻗﻤﻰ ﺑﻪ داﻧﺸﮕﺎهﻫﺎى ﻣﻌﺘﺒﺮ‬ ‫راه ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻨﺪ( و اﻣﺎ ﻗﺎﻧﻮن اﻳﻦ دﺑﻴﺮ ﮔﺮاﻣﻰ ﻛﻪ ﻇﺎﻫﺮًا ﺧﻮدﺷﺎن ﻃﺮﺣﺶ‬ ‫را داده و ﺧﻮدﺷﺎن در ذﻫﻦِ ﺧﻮدﺷﺎن ﺗﺼﻮﻳﺒﺶ ﻛﺮدهاﻧﺪ؛ اﻳﻦ اﺳﺖ‬ ‫ﻛﻪ ﻫﺮ ﻛﺲ دﻳﺮ ﺑﻪ ﻛﻼس ﺑﻴﺎﻳﺪ ﺗﺎ آﺧﺮ ﺳﺎﻋﺖ ﺑﺎﻳﺪ ﺳﺮﭘﺎ ﺑﺎﻳﺴﺘـﺪ و‬ ‫ﺣﻖ ﻧﺸﺴﺘﻦ روى ﺻﻨﺪﻟﻰ ﻳﺎ ﻧﻴﻤﻜﺖ را ﻧﺪارد‪ .‬ﻣﻮﺿﻮع ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦﺟﺎ‬ ‫ﺧﺘﻢ ﻧﺸﺪ‪ .‬ﻫﻤﺎنﻃـﻮر ﻛـﻪ ذﻛـﺮ ﺷـﺪ اﻳـﻦ روز از روزﻫﺎى ﺑﺴﻴـﺎر‬ ‫ﺧﺴﺘﻪﻛﻨﻨﺪه ﺑﻮد زﻳﺮا از ‪ ٧:٣٠‬اﻟﻰ ‪ ١٦:٣٠‬ﻻﻳﻨﻘﻄﻊ رﻳﺎﺿﻰ درس‬ ‫داده ﻣﻰﺷـﻮد آن ﻫﻢ ﺑﺎ ﻫﻤﺎن دﺑﻴﺮ و ﻫـﺮ ﺳـﻪ درس رﻳﺎﺿﻰ )اﻟﺒـﺘـﻪ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪﻫﺎى ﻣـﺪرﺳﻪ از ﻧﻈﺮ ﻣﺴﺌﻮﻟﻴﻦ از ﭘﺸﺘـﻮاﻧﻪى ﻏﻨﻰ آﻣﻮزﺷﻰ و‬ ‫اﺳﺘﺤﻜﺎم ﻛﺎﻓﻰ ﺑﺮﺧﻮردار ﻣﻰﺑﺎﺷﺪ(‪ .‬ﺣﺎل ﺗﺼﻮر ﻛﻨﻴﺪ دﺧﺘﺮى ﻛﻪ‬ ‫ﻣﺮﻳﺾ اﺳﺖ و ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ دﻟﻴﻞ دﻳﺮ ﺑـﻪ ﻛـﻼس رﺳﻴﺪه‪ ،‬در ﻃـﻮل ‪٨‬‬ ‫‪٤٣‬‬



‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎرهى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﺳﺎﻋﺖ ﺳﺮﭘﺎ ﺑﺎﻳﺴﺘﺪ و ﻫﺮ ﻟﺤﻈﻪ ﺑﻪ ﻣﻴﺰان درد و ﺑﻴﺰارىاش اﻓﺰوده‬ ‫ﺷﻮد‪ .‬ﻣﺴﺄﻟﻪى ﺟﺪىﺗﺮ اﻳﻦﻛﻪ ﺑﻘﻴﻪى داﻧﺶآﻣﻮزان ﻫﻴﭻ اﻋﺘﺮاﺿﻰ‬ ‫ﻧﻤﻰﻛﻨـﻨـﺪ و از روش ﺗﺮﺑﻴﺘﻰ و ﺗﺪرﻳﺲ ﺧﺎﻧﻢ دﺑﻴﺮ ﺑﺴﻴـﺎر اﺳـﺘـﻘـﺒـﺎل‬ ‫ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ و ﻣﻌﺘﻘﺪﻧﺪ ﻛﻪ ﭼﻨﻴﻦ روشﻫﺎﻳﻰ ﺑﺎﻋﺚ ﻣﻰﺷﻮد آنﻫﺎ ﻣﻨﻀﺒﻂ‬ ‫ﺷﺪه و وﻗﺘﺸﺎن ﺑﻴﻬﻮده ﺗﻠ; ﻧﺸﻮد‪.‬‬ ‫اﻳﻦ داﻧﺶآﻣﻮز ﻋﺰﻳـﺰ آن روز را ﺑﺎ ﻫـﺮ زﺣﻤﺖ و ﻣﺸﻘﺘﻰ ﻛـﻪ ﺑـﻮد‬ ‫ﺗﺤﻤﻞ ﻣﻰﻛﻨﺪ و وﻗﺘﻰ ﻧﺎﻻن و اﺷﻚرﻳﺰان ﺑﻪ ﺧﺎﻧﻪ ﻣﻰرﺳﺪ‪ ،‬ﭘﺎﻫﺎﻳﺶ‬ ‫دﻳﮕﺮ ﺗﺤﻤﻞ ﻛﺸﻴﺪن ﺑﺪﻧﺶ را ﻧﺪارد و ﺑﻪ زﻣﻴﻦ ﻣﻰاﻓﺘﺪ و از درد ﺟﺴﻤﻰ‬ ‫و ﺑﻴﺸﺘﺮ از آن درد روﺣﻰ و ﺗﺤﻘﻴﺮى ﻛﻪ ﺷﺪه و دﻳﮕـﺮان ﺣﺘﻰ ﻛَﻜﺸﺎن‬ ‫ﻫﻢ ﻧﮕﺰﻳﺪه اﺳﺖ‪ ،‬ﺳﺎﻋـﺖﻫـﺎ ﺑـﻪ ﺧـﻮد ﻣﻰﭘﻴﭽﺪ و ﻣﺴـﺌـﻮل ﻫﻤـﻪى‬ ‫ﻛﺞرﻓﺘﺎرىﻫﺎى دﻳﮕﺮان و ﻧﺎﻛﺎﻣﻰ و درد ﺧﻮد را ﭘﺪر و ﻣﺎدرش ﻣﻰداﻧﺪ‬ ‫ﻛﻪ ﺑﻪ ﺧﻮاﺳﺘﻪﻫﺎ و ﺣﺮفﻫﺎى او ﺗﻮﺟﻬﻰ ﻧﻜﺮده و ﻋﻠﻰرﻏﻢ ﻧﻖزدنﻫﺎ‬ ‫و ﻧﺎﻟﻴﺪنﻫﺎ و اﻋﺘﺮاضﻫﺎى او در ﻣـﻮرد ﻣﺪرﺳﻪ‪ ،‬ﺣﺎﺿﺮ ﻧﺸﺪه ﺑﻮدﻧﺪ‬ ‫ﻣﺪرﺳـﻪى او را ﺗﻐﻴﻴﺮ دﻫـﻨـﺪ و او را از اﻳﻦ ﻫﻤـﻪ‬ ‫ﻋﺪهاى از ﭼﻨﻴﻦ ﺟﻮاﻧﺎن‪ ،‬ﻣﺼﻴﺒﺖ ﻧﺠﺎت دﻫﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﭼﻨﺪ روزى از اﻳﻦ ﻣﺎﺟﺮا ﮔﺬﺷﺖ و اﻳﻦ ﻧﺎزﻧﻴﻦ‬ ‫ﻳـﺎ ﺳــﺮﻛـﺶ و ﻋــﺎﺻــﻰ و‬ ‫ﻟـــﺠــــﻮج و ﺧــــﻮدﺧــــﻮاه ﺳﺮﺧﻮرده و دﻟﺨﻮر ﺣﺘﻰ اﺟﺎزه ﻧﺪاد ﻫﻴﭻﻛﺲ از‬ ‫ﻣـﻰﺷــﻮﻧـﺪ ﻳـﺎ ﻣــﻄــﻴــﻊ و ﻣﺪرﺳﻪ و دﺑﻴﺮ و ﭼﻨﻴﻦ روشﻫﺎﻳﻰ ﺷﻜﺎﻳﺖ ﻛﻨﺪ ﻳﺎ‬ ‫ﺑـﻠـﻪﻗـﺮﺑـﺎنﮔـﻮ و ﺧــﻮار و ﺑﺎ آنﻫﺎ ﺣـﺮف ﺑـﺰﻧﺪ‪ .‬در ﻧﻬﺎﻳـﺖ ﺧـﻮد را ﻣﻘـﺼـﺮ‬ ‫ذﻟﻴﻞ؛ ﻛﺴﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﭼﺸﻢ ﺑﻪ داﻧﺴﺖ و ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔـﺮﻓﺖ ﻛﻪ اﺷﻜﺎل از او اﺳـﺖ‪.‬‬ ‫ﺑـﺰرگﺗـﺮﻫـﺎ و ﺗــﻮاﻧـﮕـﺮﻫـﺎ ﭼﻮن دﻳﮕﺮان ﻫﻢ درس را ﺧﻮب ﻣﻰﻓﻬﻤﻨﺪ و ﻫـﻢ‬ ‫ﻣـﻰدوزﻧـﺪ ﺗــﺎ ﺑــﺮاﻳـﺸــﺎن از دﺑﻴﺮ و روﺷـﺶ راﺿﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ و او ﻛﻪ ﺗﺤـﻤـﻞ‬ ‫ﭼـﻨـﻴـﻦ روش ﻳـﺎ روشﻫـﺎﻳـﻰ را ﻧـﺪارد و درس را‬ ‫ﺗﺼﻤﻴﻢ ﺑﮕﻴﺮﻧﺪ‬ ‫آنﻫـﺎ ﻛـﻪ آﮔـﺎﻫــﺎﻧــﻪ و ﻳــﺎ ﻧﻤﻰﻓﻬﻤﺪ ﺣﺘﻤﺎً ﻏﻴﺮﻋﺎدى و ﻏﻴﺮﻣﺘﻌﺎرف و ﺧِﻨﮓ‬ ‫ﻧــﺎآﮔــﺎﻫــﺎﻧــﻪ در ﺟـــﻬـــﺖ و ﺿﻌﻴ; اﺳﺖ! و ﻣﺪرﺳﻪ و ﻣﻌﻠﻢ و… ﺗﻘﺼﻴﺮى‬ ‫ﺗـﺨــﺮﻳــﺐ ﻧــﺴــﻞ ﺟــﻮان ﻧﺪارﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﻗﺼﻪى ﻣﺎ در ﻫﻤﻴﻦ ﺣﺪ ﺑﺎﻗﻰ ﻣﺎﻧﺪه اﻣﺎ ﺗﻤﺎم‬ ‫ﻣﻰﻛﻮﺷﻨﺪ ﺑﺎﻳﺪ در دﻧﻴـﺎ و‬ ‫ﻧﺸﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻘﻴـﻪى داﺳـﺘـﺎن و ﺳـﺮاﻧﺠـﺎم اﻳـﻦ‬ ‫آﺧﺮت ﭘﺎﺳﺦﮔﻮ ﺑﺎﺷﻨﺪ‬ ‫ﻗﺼﻪى ﭘﺮﻏﺼﻪ‪ ،‬ﺑﺎﺷﺪ ﺑـﺮاى ﺳﺎل ﺑﻌﺪ ﻛﻪ ﻧﺘﺎﻳﺞ‬ ‫ﻛﻨﻜﻮر اﻋﻼم ﻣﻰﺷﻮد‪.‬‬ ‫در ﺣﺎل ﺣﺎﺿـﺮ روى ﺳﺨﻨﻢ ﺑﺎ ﭘـﺪرﻫﺎ و ﻣﺎدرﻫﺎ‪ ،‬ﺑﺎ ﻣﺴﺌـﻮﻟﻴـﻦ و‬ ‫دﺳﺖاﻧﺪرﻛﺎران وﺑﺎ ﻫﻤﻪى ﻛﺴﺎﻧﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﻨﻮز داراى ﺧﺮد و ﺗﻌﻘﻞ‬ ‫و اﺣﺴﺎس و ﻋﺎﻃﻔﻪاﻧﺪ‪ .‬ﭼـﺮا ﺑﻪ ﺧـﻮد ﻧﻤﻰآﻳﻴﻢ؟ ﭼـﺮا ﺗﻔﻜﺮ و ﺗﻌﻘـﻞ‬ ‫ﺟﺎى ﺧـﻮد را ﺑﻪ روشﻫﺎى ﺧﻠﻖاﻟـﺴّﺎﻋﻪ و ﻗـﺮون وﺳﻄﺎﻳـﻰ داده؟ در‬ ‫زﻣﺎن ﺣﺎﺿﺮ‪ ،‬در ﻋﺼﺮ ﭘـﺮﺷﺘﺎب اﻣﺮوز در ﻛﺠﺎى دﻧﻴﺎ‪ ،‬ﺳـﺎﻋـﺖﻫـﺎ‬ ‫ﺟﻮاﻧﻰ را ﺳﺮﭘﺎ ﻧﮕﻪ ﻣـﻰدارﻧﺪ و ﺗﺤﻘﻴﺮ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ ﺗﺎ آنﻛﻪ ﻣﺘﻨﺒـﻪ ﺷـﻮد ﺗﺎ‬ ‫ﭘﺲ از اﻳﻦ‪ ،‬ﭼﻨﻴﻦ ﻋـﻤـﻞ ﺑـﺪ و زﺷﺘﻰ!! ـ دﻳﺮ آﻣﺪن ﺑـﻪ ﻛـﻼس! ـ را‬ ‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬



‫ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره‪٨٩‬ى‪٤٤ ٣١٣‬‬



‫اﻧﺠﺎم ﻧﺪﻫﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﺑﺎ ﻧﻴﻢﺳـﺎﻋـﺖ دﻳـﺮﻛـﺮد ﺑﺨﺶ ﻛـﻮﭼﻜﻰ از درس را‬ ‫ﻣﺘﻮﺟﻪ ﻧﻤﻰﺷﺪ‪ ،‬ﺑﺎ اﻳـﻦ روش ﺗﻤﺎم ﻫﺸﺖ ﺳﺎﻋﺖ ﻛﻼس ﻳﻌﻨﻰ ﻳـﻚ‬ ‫روز ﻛﺎﻣﻞ درﺳﻰ را از دﺳﺖ داد‪.‬‬ ‫اﻗﻌﺎ ﭼﻪ ﻛﺴﻰ ﭘﺎﺳﺦﮔﻮ اﺳﺖ؟ ﭼﻪ ﻛﺴﻰ ﻣﺴﺌﻮل ﭼﻨﻴﻦ اﻗﺪاﻣﺎت‬ ‫و ً‬ ‫ﺧﻮدﺳﺮاﻧﻪاى اﺳﺖ؟‬ ‫ﭼﻪ ﻛﺴﻰ ﻣﺴﺌﻮﻟﻴﺖ ﻧﺎﺷﻰ از ﻋﻮاﻗﺐ ﭼﻨﻴﻦ روش ﻳﺎ روشﻫﺎﻳﻰ از‬ ‫اﻳﻦ دﺳـﺖ را ﺑﻪﻋﻬﺪه ﻣﻰﮔﻴـﺮد؟ ﻣﺸﻜـﻼت و ﮔـﺮﻓﺘﺎرىﻫـﺎى روﺣﻰ‪،‬‬ ‫رواﻧﻰ و رﻓﺘـﺎرى ﺟﻮاﻧﺎن ﻛﻢ اﺳﺖ ﻛﻪ ﭼﻨﻴﻦ ﻣﺸﻜـﻼﺗـﻰ را ﻫﻢ ﺑﻪ آنﻫﺎ‬ ‫اﺿﺎﻓﻪ ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ؟ ﺑﺎ اﻳﻦ روشﻫﺎ ﺑﻪ ﻛﺠﺎ ﻣﻰﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺑﺮﺳﻴﻢ؟ اﻳﻦ ﻋﺰﻳﺰان‬ ‫در ﻛﺠﺎ ﺑﺎﻳﺪ آﻣﻮزش زﻧﺪﮔﻰ ﺑﺒﻴﻨﻨﺪ؟ ﭼﻨﺪ درﺻﺪ آنﻫﺎ ﭘﺲ از ورود ﺑﻪ‬ ‫دﻧﻴﺎى واﻗﻌﻰ‪ ،‬ﻛﺎر‪ ،‬ازدواج و… از ﭘﺲ ﻣﺸﻜﻼت واﻗﻌﻰ ﺑﺮﻣﻰآﻳﻨﺪ و‬ ‫ﺗﻮان ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ و ﺗﻄﺒـﻴـﻖ دادن ﺧـﻮد ﺑﺎ ﺷﺮاﻳﻂ ﻧﺎﻫﻤﺎﻫـﻨـﮓ را دارﻧﺪ؟‬ ‫ﻋﺪهاى از ﭼﻨﻴـﻦ ﺟـﻮاﻧﺎن‪ ،‬ﻳﺎ ﺳﺮﻛﺶ و ﻋﺎﺻﻰ و ﻟـﺠـﻮج و ﺧﻮدﺧـﻮاه‬ ‫ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ ﻳﺎ ﻣﻄﻴﻊ و ﺑﻠﻪﻗﺮﺑﺎنﮔﻮ و ﺧـﻮار و ذﻟﻴﻞ؛ ﻛﺴﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﭼﺸﻢ ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺰرگﺗـﺮﻫﺎ و ﺗﻮاﻧﮕـﺮﻫﺎ ﻣـﻰدوزﻧﺪ ﺗﺎ ﺑـﺮاﻳﺸﺎن ﺗﺼﻤﻴﻢ ﺑـﮕـﻴـﺮﻧـﺪ‪ .‬زﻣﺎن‬ ‫ﻣﻰﮔـﺬرد و ﻣﺎ ﺑﺎﻳﺪ ﭘـﺎﺳـﺦﮔـﻮى آﻳﻨﺪﮔﺎن ﺑﺎﺷـﻴـﻢ و درﺑـﺎرهى ﻋـﻮاﻗﺐ‬ ‫ﺗﺼﻤﻴﻤﺎﺗﻰ ﻛﻪ ﻣﻰﮔﻴﺮﻳﻢ‪ ،‬ﺑﻴﻨﺪﻳﺸﻴﻢ‪.‬ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺪاﻧﻴﻢ ﻫﻴﭻ ﻋﻤﻠﻰ از ذﻫـﻦ‬ ‫ﺗﺎرﻳﺦ ﭘﺎك ﻧﻤﻰﺷﻮد و ﻫﻤﻪى ﺗﺼﻤﻴﻢﻫﺎ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪرﻳﺰىﻫﺎ‪ ،‬ﭼﻪ ﺧﻮب‬ ‫و ﭼﻪ ﺑﺪ‪ ،‬در ﺳﺎﺑﻘﻪى ﺗﺎرﻳﺨﻰ ﻳﻚ ﻣﻠﺖ ﺛـﺒـﺖ ﻣـﻰﺷـﻮد‪ .‬ﺑﻪوﻳـﮋه در‬ ‫دﻧﻴﺎى اﻣﺮوز ﻛﻪ ﻫﻴـﭻ ﺣـﺮف و ﺣـﺮﻛﺘﻰ در ﻫﻴﭻ ﻛﺠﺎى دﻧﻴـﺎ از ﭼـﺸـﻢ‬ ‫دﻳﮕﺮان ﭘﻮﺷﻴﺪه ﻧﻤﻰﻣﺎﻧﺪ و ﺑـﺮاى اﺑﺪ ﺛﺒﺖ و ﺿﺒﻂ ﺧـﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪ .‬آنﻫﺎ‬ ‫ﻛﻪ آ ﮔﺎﻫﺎﻧﻪ و ﻳﺎ ﻧﺎآ ﮔﺎﻫﺎﻧﻪ در ﺟﻬﺖ ﺗﺨﺮﻳﺐ ﻧﺴﻞ ﺟﻮان ﻣﻰﻛﻮﺷﻨﺪ ﺑﺎﻳﺪ‬ ‫در دﻧﻴﺎ و آﺧﺮت ﭘﺎﺳﺦﮔﻮ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑـﻪ ﺧـﻮد آﻳﻴﻢ و ﺑﻴﺶ از اﻳﻦ ﻋﺎﻗﺒـﺖ‬ ‫ﺧﻮد را ﺗﺒﺎه ﻧﺴﺎزﻳﻢ‪ .‬زﻣﺴﺘﺎن ﻣﻰﮔﺬرد و ﻣﺎ ﻣﻰﻣﺎﻧﻴﻢ و روﺳﻴﺎﻫﻰ زﻏﺎل‪.‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪ :١٣٨٨‬ﺳﺎل ﺟﺪﻳﺪ )‪ (١٣٨٨‬آﻏﺎز ﻣﻰﺷﻮد‪ .‬ﻣﺪرﺳﻪ دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ اﺑﺘﻜﺎر ﺗـﺎزهاى ﻣﻰزﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮاى داﻧﺶآﻣﻮزان ﻛﻼسﻫﺎى ﺟﻤﻊﺑﻨـﺪى‬ ‫در ﺗﺎﻻرِ … ﺑﺮﮔﺰار ﻣﻰﻛﻨﺪ و ﻫﺮ داﻧﺶآﻣﻮز ﺑﺮاى ﺷﺮﻛﺖ در ﻛﻼسﻫﺎ‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ ﻣﺒﻠﻐﻰ ﺑﭙـﺮدازد‪ .‬اﻳﻦ ﻛﻼسﻫﺎ ﺑﻨﺎ ﺑﻪ اﻇـﻬـﺎرﻧﻈﺮ ﻣﺴﺌـﻮﻻن ﻣﺪرﺳﻪ‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ دﺑـﻴـﺮان اداره ﻣﻰﺷﻮد ﺑﻪ اﻳﻦ ﺗـﺮﺗﻴﺐ ﻛﻪ ﻛﻞ ﻣﻄﺎﻟـﺐ ﻫـﺮ‬ ‫درس از اﺑﺘـﺪا ﺗـﺎ ﭘـﺎﻳـﺎن دورهى ﭘﻴـﺶداﻧـﺸـﮕـﺎﻫـﻰ‪ ،‬در ﻳـﻚ روز )‪٨‬‬ ‫ﺳﺎﻋﺖ(‪ ،‬ﻣﺮور و ﺟﻤﻊﺑﻨﺪى ﻣﻰﺷﻮد‪ .‬اﻳﻦ اﺑﺘﻜﺎر‪ ،‬ﻫﻢ ﻣﺮورى اﺳﺖ‬ ‫ﺑـﺮ درسﻫـﺎى ﮔـﺬﺷـﺘـﻪ و ﻫـﻢ در اﻳـﺎم ﻋـﻴـﺪ و دﻳـﺪ و ﺑـﺎزدﻳـﺪ ﺣـﻮاس‬ ‫داﻧﺶآﻣﻮزان ﭘﺮت ﻧﻤﻰﺷﻮد و وﻗﺘﺸﺎن ﺑﻴﻬﻮده ﺗﻠ; ﻧﻤﻰﮔﺮدد و…‬ ‫اﻣﺎ ﺑﺸﻨﻮﻳﺪ ﭘﺎﻳﺎن ﻣﺎﺟﺮا را… ‪.‬‬ ‫ﺷﻬﺮﻳﻮر ‪ :٨٨‬ﻗﺼﻪى ﻣﺎ ﺑﻪ ﺳـﺮ رﺳﻴﺪ وﻟﻰ دﺧﺘﺮ ﻋﺰﻳﺰ ﻣﺎ ﻧﻪ ﺗﻨـﻬـﺎ‬ ‫رﺗﺒﻪى دورﻗﻤﻰ ﻧﻴﺎورد ﻛﻪ ﺑﺎ رﺗﺒﻪى ﭘﻨﺞرﻗﻤﻰ در ﻫﻴﭻ رﺷﺘﻪاى در ﻛﻨﻜﻮر‬ ‫ﺳﺮاﺳﺮى ﻣﻮﻓﻖ ﻧﺸﺪ و اﻳﻦ ﻗﺼﻪﻫﺎ ﻫﻢﭼﻨﺎن اداﻣﻪ دارد و ﻗﺮﺑﺎﻧﻰ ﻣﻰﮔﻴﺮد‪.‬‬



‫درﺑﺎرهى دﻳﺪ ِ‬ ‫ﮔﺎه‬



‫»دورهى ﺗﺤﻠﻴﻞ و روش ﺗﺪرﻳﺲ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ‪٢‬ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ و ﺑﺎزآﻣﻮزى ﻋﻠﻤﻰآن«‬ ‫ﻣﺆﻟﻔﺎن ﻛﺘﺎبِ رﻳﺎﺿﻰ )‪(٢‬‬



‫در ﺑﺨﺶ دﻳﺪﮔﺎه ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ ﺷﻤـﺎرهى ‪ ،٩٨‬ﻣﻘﺎﻟﻪاى ﺑﺎ ﻧﺎم‬ ‫ﺑﺎﻻ ﺑﻪ ﭼﺎپ رﺳﻴﺪه اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺆﻟﻔﺎن ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻰ ‪ ٢‬را ﺑﺮ آن داﺷﺖ‬ ‫ﻛﻪ ﺗﻮﺿﻴﺤﺎﺗﻰ را اراﺋﻪ ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫اﺑﺘﺪا ﺑﺎﻳﺪ ﺑﮕﻮﻳﻴﻢ ﻛﻪ ﻧﻘﺪ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ‪ ،‬ﻋﻤﻠﻰ ﻧﻴﻜﻮ و ﭘـﺴـﻨـﺪﻳـﺪه‬ ‫اﺳﺖ ﺑﻪ ﺷﺮط آنﻛﻪ در ﺟﻬﺖ رﻓﻊ ﻧﻘﺺﻫﺎ و رﺷﺪ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﺑﺎﺷﺪ و‬ ‫اﻳﻦ ﻧﻤـﻮﻧﻪاى از ﻫﻤﺎن ﻓﺮﻳﻀﻪى اﻣﺮ ﺑﻪ ﻣـﻌـﺮوف و ﻧﻬﻰ از ﻣﻨـﻜـﺮ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺎ ﺑﺎ ﻫﻤﻴﻦ ﻧﮕﺎه‪ ،‬ﻧﻘﺪﻫـﺎى اﻧـﺠـﺎم ﺷـﺪه در آن ﻣـﻘـﺎﻟـﻪ را‬ ‫ﺧﻮاﻧﺪﻳﻢ و اﻣﻴﺪوارﻳﻢ ﺧﻮاﻧﻨﺪﮔﺎن ﻧﻴﺰ ﺑﺎ ﻫﻤﻴﻦ ﻧﮕﺎه‪ ،‬ﻧﻘﺪﻫﺎى ﻣﺎ را‬ ‫ﺑﺨﻮاﻧﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺨﺸﻰ از ﻧﻘﺪﻫﺎى اﻧﺠﺎم ﺷﺪه در آن ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ دورهى‬ ‫ﺗﺄﻣﻴﻦ ﻣﺪرﺳﻰ ﺑﻮد ﻛﻪ ﻧﻴـﺎزى ﺑﻪ ﺳﺨﻦ ﮔﻔﺘﻦ درﺑﺎرهى آن ﻧﻴﺴﺖ و‬ ‫ﺑﺨﺶ دﻳﮕﺮ اﻳﻦ ﻧﻘﺪﻫﺎ‪ ،‬ﻣـﺮﺑـﻮط ﺑﻪ ﻛﺘﺎب ﺑﻮد ﻛﻪ ﻧﻴـﺎزﻣﻨﺪ ﺑﺮرﺳﻰ‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﭘﻴﺸﺎﭘﻴﺶ‪ ،‬ﮔﺮوه ﻣﺆﻟﻔﺎن اذﻋﺎن ﻣﻰدارﻧﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻛﺘﺎب داراى‬ ‫ﻧﻘﺎﻳﺺ ﻓﺮاواﻧﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺨﺸﻰ از آن ﺑﻪ ﻃﻮر ﻃﺒﻴﻌﻰ در ﻫﺮ ﺗﺄﻟﻴ;‬ ‫ﺟﺪﻳـﺪى رخ ﻣﻰدﻫﺪ و ﺑﺨﺶ دﻳـﮕـﺮى ﻧﻴﺰ ﻣـﺮﺑـﻮط ﺑﻪ ﻣﺸﻜـﻼت‬ ‫ﻓﺮاواﻧﻰ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺑﻪﻃﻮر ﻏﻴﺮﻃﺒﻴﻌﻰ ﺑﺮ ﻣﺆﻟﻔﺎن ﺗﺤﻤﻴﻞ ﺷﺪ‪ .‬اﻧﺘﻈﺎر ﻣﺎ‬ ‫از ﻫﻤﻪى ﻣﻌﻠﻤﺎن و ﻛﺎرﺷﻨﺎﺳﺎن آﻣﻮزﺷﻰ آن اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪى‬ ‫ﺳﻨﺠﻴﺪهى ﻛﺘﺎب‪ ،‬ﻣﺎ را ﺑﺎ اﻳﻦ ﻧﻘﻴﺼﻪﻫﺎ آﺷﻨﺎ ﻛﻨﻨﺪ ﺗﺎ اﺻﻼﺣـﺎت‬ ‫ﻻزم در آن ﺻﻮرت ﺑﮕﻴﺮد‪.‬‬ ‫اﻣﺎ ﻣﻨﺎﺳﺐ اﺳﺖ ﻧﻘﺪﻫﺎى ﻧﺎﻗﺪ ﻣﺤـﺘـﺮم را ﻳﻚﺑﻪ ﻳﻚ ﺑـﺮرﺳﻰ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪ .١‬ﻧﺎﻗﺪ‪ :‬در ﻓﺼﻞ »ﻫﻨﺮ ﺷﻤﺎرش«‪ ،‬ﻣﻘﺪﻣﻪاى ﻃﻮﻻﻧﻰ ﺑﺮاى‬ ‫ﻣﻔﻬـﻮم ﺳﺎدهى اﺻﻞ ﺿـﺮب آﻣﺪه اﺳﺖ و ﻧﻬـﺎﻳـﺘـﺎً‪ ،‬ﺑﺎ ﻣﺜﺎلﻫـﺎى‬ ‫اﺑﺘﺪاﻳﻰ اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﻮﺿﻴﺢ داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬



‫ﻳﻜﻰ از ﻣﺸﻜﻼت ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻓﻌﻠﻰ ﻣﺎ آن اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ در‬ ‫زﻣﻴﻨﻪﻫﺎى ﻣﻨﺎﺳﺐ و ﻃﺒﻴﻌﻰ ﻋـﺮﺿﻪ ﻧﻤﻰﺷﻮﻧﺪ و داﻧﺶآﻣﻮزان در‬ ‫ﻣﺮﺗﺒـﻂﻛـﺮدن ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳـﺎﺿـﻰ ﺑـﺎ زﻧﺪﮔـﻰ روزﻣﺮهى ﺧـﻮد‪ ،‬دﭼﺎر‬ ‫ﻣﺸﻜﻞ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﻋﺮﺿﻪى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ در زﻣﻴﻨﻪﻫﺎى ﻃﺒﻴﻌﻰ از اﺻﻮل‬ ‫آﻣﻮزش اﺳﺖ و اﺗﻔـﺎﻗـﺎً ﺑﺎ ﻧﺸﺴﺖﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻣﻌـﻠـﻤـﺎن در ﻧـﻘـﺎط‬ ‫ﻣﺨﺘﻠ; ﻛﺸﻮر داﺷﺘﻪاﻳﻢ‪ ،‬ﻫﻤﮕﻰ از اﻳﻦ ﻓﺼﻞ اﺣﺴﺎس رﺿﺎﻳﺖ‬ ‫ﻣﻰﻛﺮدﻧﺪ‪ .‬ﻧﺎﮔﻔﺘﻪ ﻧﻤﺎﻧﺪ ﻛﻪ در ﻧﺴﺨﻪى ﻧﻬﺎﻳﻰ ﻛﺘﺎب‪ ،‬ﻋﻨﻮان »ﻫﻨﺮ‬ ‫ﺷﻤﺎرش« وﺟﻮد ﻧﺪارد و ﻇﺎﻫﺮًا ﻧﺎﻗﺪ ﻣﺤﺘـﺮم‪ ،‬ﻧﻘﺪ ﺧﻮد را ﺑﺮ ﻣﺒﻨﺎى‬ ‫ﻧﺴﺨـﻪى ﻋـﺮﺿﻪ ﺷـﺪه در دورهى ﺗﺄﻣﻴـﻦ ﻣـﺪرﺳﻰ ﮔﺬاﺷـﺘـﻪاﻧـﺪ‪.‬‬ ‫ﻫﻢﭼﻨﻴﻦ‪ ،‬ﻧﺎﻗﺪ ﻣﺤﺘﺮم ﻧﻘﺪﻫﺎﻳﻰ ﻫﻢ در ﻣﻮرد »ﺑﺮدار« اﻧﺠﺎم دادهاﻧﺪ‬ ‫ﻛﻪ آن ﻧﻴﺰ در ﻧﺴﺨﻪى ﻧﻬﺎﻳﻰ وﺟﻮد ﻧﺪارد‪.‬‬ ‫‪ .٢‬ﻧﺎﻗﺪ‪ :‬ﻣﺆﻟﻔﺎن ﺑﺮ ﺧﻮدآﻣﻮز ﻧﺒﻮدن ﻛﺘﺎب ﺗﺄﻛﻴﺪ داﺷﺘﻪاﻧﺪ در‬ ‫ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ ﻗﺴﻤﺖﻫﺎى ﺑﺴﻴﺎرى از ﻛﺘﺎب ﺧﻮدآﻣﻮز اﺳﺖ‪.‬‬ ‫آنﭼﻪ ﻛﻪ ﻣﺆﻟﻔﺎن ﺗﺄﻛﻴﺪ داﺷﺘﻪاﻧﺪ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻛﺘﺎب درﺳﻰ ﺑﻪ‬ ‫ﺻﻮرت ﻛﺘﺎب ﺧـﻮدآﻣﻮز ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻧﻤـﻰﺷـﻮد و اﮔﺮ اﺣﻴﺎﻧﺎً در ﺑـﺮﺧﻰ‬ ‫ﻣﻮارد ﻛﺘﺎب ﺗﻮاﻧﺴﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻄﻠﺒـﻰ را ﺧﻮب ﭘـﺮورش داده ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ‬ ‫ﺑﺪون ﻫﺪاﻳﺖ و ﻛﻤﻚ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﻔﻬﻮم ﻳﺎد ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد‪ ،‬اﺗﻔﺎق ﻣﺒﺎرﻛﻰ‬ ‫اﺳﺖ و آن را ﺑﺎﻳﺪ ﺣُﺴﻦ ﻛﺘﺎب ﻣﺤﺴﻮب ﻛﺮد‪.‬‬ ‫‪ .٣‬ﻧﺎﻗﺪ‪ :‬ﻣﺆﻟﻔﺎن ﮔﻔﺘﻪاﻧﺪ روﻳﻜﺮد ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ را در ﻛﺘﺎب ﭘﻴﺎده‬ ‫ﻛﺮدهاﻧﺪ‪ .‬در ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻣﺮورى ﺑﺮ ﻛﺘﺎب‪ ،‬اﻳﻦ ادﻋﺎ رﻧﮓ ﻣﻰﺑﺎزد‪.‬‬ ‫روﻳﻜﺮد ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻳﻜﻰ از روشﻫﺎى ﻧﻮﻳﻦ آﻣﻮزﺷﻰ اﺳﺖ و‬ ‫ﻣﺤﻮر اﺻﻠﻰ ﺗﺄﻟﻴ; ﻛﺘﺎبﻫـﺎى درﺳﻰ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬اﻣﺎ اﻳﻦﻛﻪ ﺗـﺎ‬ ‫ﭼﻪ ﺣﺪ در اﻳـﻦ ﻛـﺎر ﻣـﻮﻓﻖ ﺑﺎﺷﻴـﻢ‪ ،‬ﺑـﺴـﺘـﮕـﻰ ﺑـﻪ ﻣـﻮﺿﻮﻋـﺎت و‬ ‫ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ ﻣـﺎ دارد‪ .‬روﻳﻜﺮد ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻣﻮرد ﺗﻮﺟﻪ ﻣـﺎ‬ ‫‪٤٥‬‬



‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎرهى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﺑﻮده اﺳﺖ و ﻫﺮ ﻛﺠﺎ ﺗﻮاﻧﺴﺘﻪاﻳﻢ آن را ﭘﻴﺎده ﻛﺮدهاﻳﻢ و رﮔﻪﻫﺎى آن‬ ‫در ﻛﺘﺎب ﻗﺎﺑﻞ ﻣﺸﺎﻫـﺪه اﺳـﺖ‪ .‬وﻟﻰ ﻗﺒـﻮل ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﻫـﻨـﻮز در‬ ‫ﭘﻴﺎدهﺳﺎزى اﻳﻦ روش‪ ،‬در اول راه ﻗﺮار دارﻳﻢ‪.‬‬ ‫‪ .٤‬ﻧﺎﻗﺪ‪ :‬ﺑﺮﺧﻰ ﺗﻌﺮﻳ;ﻫﺎ ﻏﻴﺮدﻗﻴﻖ‪ ،‬در ﺑﺮﺧﻰ ﻣﻮارد ﻏﻴﺮﻋﻠﻤﻰ‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻛﺴﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺑـﺎ آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺟـﺪى ﺳـﺮوﻛـﺎر دارﻧﺪ‬ ‫ﻣﻰداﻧﻨﺪ ﻛﻪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻳﻚ ﻣﻔﻬﻮم ﺑﺎ ﺗﻌﺮﻳ; دﻗﻴﻖ و ﻣﻨﻄﻘﻰ آن آﻏﺎز‬ ‫ﻧﻤﻰﺷﻮد‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ اﺑﺘﺪا دركﻫﺎى ﺷﻬﻮدى رخ ﻣﻰدﻫﻨﺪ ﺑﻌﺪ ارﺗﺒﺎﻃﺎت‬ ‫ﻛﺸ; ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ و ﺑﻌﺪ در زﻣﻴﻨﻪﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ; ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ و‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ; دﻗﻴﻖ ﻣﻔﻬـﻮم آﺧﺮﻳﻦ ﻣـﺮﺣﻠﻪى آﻣﻮزش اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑـﺮاﻳﻦ‪،‬‬ ‫ﻫﺮﺟﺎ ﻛﻪ ﻗﺮار اﺳﺖ داﻧﺶآﻣﻮزان را ﺑﺎ ﻣﻔﻬﻮم ﺟﺪﻳﺪى آﺷﻨﺎ ﻛﻨﻴﻢ‪،‬‬ ‫آن ﺳﺨﻦﻫﺎى ﻏﻴﺮدﻗﻴﻖ و ﺗـﻮﺻﻴ;ﻫﺎى ﻏﻴﺮدﻗﻴﻖ رخ ﻣﻰدﻫﻨﺪ ﻛﻪ‬ ‫دﻗﻴﻖﺷﺪن آنﻫﺎ ﺷﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﺳﺎلﻫﺎى ﺑﻌـﺪ ﻫـﻢ ﻣـﻮﻛـﻮل ﺷﻮد‪ .‬اﻟﺒﺘـﻪ‬ ‫رﻋﺎﻳﺖ دﻗﺖ در ﺗﻌﺎرﻳ; ﺗﺎ ﺣﺪ اﻣﻜـﺎن ﻛـﻪ ﻣـﻮﺟﺐ ﻏﺎﻣﺾﺷﺪن‬ ‫ﻛﺎﻣﻼ ﺿﺮورى اﺳﺖ و ﺣﺘﻤﺎً‬ ‫ً‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم ﻧﺸﻮد و آﻣﻮزش را ﻣﺨﺘﻞ ﻧﺴﺎزد‬ ‫اﻧﺠﺎم ﺷﺪه اﺳﺖ و اﮔـﺮ ﻣـﻮارد ﺧﺎﺻﻰ ﺧﻼف آن ﺑـﺎﺷـﺪ ﻣـﺆﻟﻔﺎن‬ ‫ﺧﻮﺷﺤﺎل ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻣﻮارد ﺑﺮاى ﮔﺮوه ﺗﺄﻟﻴ; ﻓﺮﺳﺘﺎده ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٥‬ﻧﺎﻗﺪ‪ :‬ﺑﺮﺧﻰ ﻣﻄﺎﻟﺐ از ﻣﻨﺎﺑﻌﻰ آﻣﺪه اﺳﺖ و ﻫﻴﭻ ارﺟﺎﻋﻰ‬ ‫ﺑﻪ آنﻫﺎ ﻧﺸﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫در ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ رﺳﻢ ﺑﺮ آن ﻧﻴﺴﺖ ﻛﻪ ﻣـﺮﺟﻊ ﻫﺮ ﻣﻄﻠﺒـﻰ‬ ‫ﻻ در آﺧﺮ ﻛﺘﺎب اﻳﻦ ﻣﺮاﺟﻊ ﻣﻰآﻳﻨﺪ و‬ ‫ﺑﻼﻓﺎﺻﻠﻪ ذﻛﺮ ﺷﻮد و ﻣﻌﻤﻮ ً‬ ‫در اﻳﻦ ﻛﺘﺎب ﻧﻴﺰ ﻫﻤﻴـﻦ ﻋـﻤـﻞ اﻧـﺠـﺎم ﺷـﺪ وﻟﻰ ﺑﻪ ﺧﺎﻃـﺮ ﺑـﺮﺧـﻰ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺎت در ﺗﻌﺪاد ﺻﻔﺤﺎت ﻛﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﻣـﻀـﺮب ‪ ٨‬ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺻﻔﺤـﻪ‬ ‫ﻣﺮاﺟﻊ ﺣﺬف ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻄﻤﺌﻨﺎً ﻫﻴﭻ ﻋﻤﺪى در ﻛﺎر ﻧﺒﻮده اﺳﺖ‬ ‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬



‫ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره‪٨٩‬ى‪٤٦ ٣١٣‬‬



‫و ﺑﺪﻳﻬﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﻧﻮﺷﺘﻦ ﺑﺴﻴﺎرى از ﻣﻄﺎﻟﺐ از ﻣﺮاﺟﻊ ﻣﺨﺘﻠ;‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬



‫‪ .٦‬ﻧﺎﻗـﺪ‪ :‬ﻛﺘﺎبﻫﺎى رﻳـﺎﺿـﻰ ‪ ١‬و ‪ ٢‬ﻗﺒﻠﻰ ﺗﺠﺮﻳـﺪ ﺑـﺎﻻﻳـﻰ‬ ‫داﺷﺘﻨﺪ و ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻓﻌﻠـﻰ ﺷـﻬـﻮد زﻳـﺎدى دارﻧﺪ و داﻧﺶآﻣﻮزان‬ ‫داﻧﺸﻤﻨﺪ ﻓﺮدا را از ﺟﺬاﺑﻴﺖﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺤﺮوم ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﮔﺰﻳﻨﺶ ﻣـﻮاد درﺳﻰ و ﺷﻴـﻮهﻫﺎى اراﻳﻪ و اﻫﺪاف ﻛﺘﺎبﻫـﺎى‬ ‫درﺳﻰ‪ ،‬در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ و ﻣﺎ ﻧﻤﻰﺗﻮاﻧﻴﻢ از ﭘﻴﺶ‬ ‫ﺧﻮد ﻫﺪفﻫﺎى ﺳﻠﻴﻘﻪاى ﺑـﺮاى ﺧﻮد اﻧﺘﺨﺎب ﻛﻨﻴﻢ و ﻛﺘﺎبﻫـﺎ را‬ ‫ﻃﺒﻖ ذوق و ﺳﻠﻴﻘﻪى ﺧﻮد ﺗﺄﻟﻴ; ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﻛﺘﺎبﻫـﺎى درﺳﻰ ﺑﺮاى‬ ‫ﻛﻞ داﻧﺶآﻣﻮزان ﻛﺸﻮر و ﺗﺤﺖ اﻫﺪاف ﻣﺸﺨﺺ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ‬ ‫و ﻣﺨﺼﻮص ﻗﺸﺮ ﻧﺨﺒﻪى داﻧﺶآﻣـﻮزان ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑـﺮاﻳﻦ‪ ،‬اﮔـﺮ‬ ‫ﻗـﺮار اﺳﺖ در ﻣـﻮرد ﻣـﻮاد و روشﻫـﺎى اراﺋﻪ و ﻫـﺪفﻫـﺎ ﻧـﻘـﺪى‬ ‫ﺻﻮرت ﺑﭙﺬﻳـﺮد ﺑﺎﻳﺪ راﻫﻨﻤﺎى ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳـﻰ را ﻧﻘﺪ ﻛﺮد‪ .‬ﺷﺎﻳـﺪ‬ ‫ﻗﺒﻼً در ﺗﺄﻟﻴ; ﻛﺘﺎبﻫـﺎى درﺳﻰ ذوق و ﺳﻠﻴﻘﻪى ﻣـﺆﻟﻔﻴﻦ ﻧﻘـﺶ‬ ‫اﺻﻠﻰ را در ﺗﺄﻟﻴ; ﻛﺘﺎب ﺑﺎزى ﻣﻰﻛﺮده اﺳﺖ و ﻓﺮض ﺷﺪه اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺆﻟﻔﻴﻦ ﺟﺪﻳﺪ ﻫﻢ ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ ﺳﻠﻴﻘﻪﻫﺎى ﺷﺨـﺼـﻰ ﺧـﻮد ﺑﻪ ﭼﻨﻴـﻦ‬ ‫روﻧﺪﻫﺎﻳﻰ در ﺗﺄﻟﻴـ; روى آوردهاﻧﺪ‪ .‬اﻣﺎ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻋﻤﻴﻖﺗـﺮ از اﻳـﻦ‬ ‫ﺣﺮفﻫﺎ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .٧‬ﻧﺎﻗﺪ‪ :‬ﺗﺄﻟﻴ; ﻛﺘﺎبﻫـﺎى درﺳﻰ ﺣﺴﺎﺳﻴﺖﻫﺎى ﺑﺎﻻﺗـﺮى‬ ‫را ﻣﻰﻃﻠﺒﺪ و ﻧﺒﺎﻳﺪ ﻛﻮﭼﻚﺗﺮﻳﻦ اﺷﻜﺎﻟﻰ در آنﻫﺎ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫در اﻳﻦ ﻣﻮرد ﻛﺎﻣﻼً ﺑﺎ ﻧﺎﻗﺪ ﻣﺤﺘﺮم ﻫﻢ ﻋﻘﻴﺪهاﻳﻢ وﻟﻰ ﻛﺠﺎﺳﺖ‬ ‫آن ﺷﺮاﻳﻂ و ﻣﺤﻴﻂ ﻣﻄﻠﻮﺑﻰ ﻛﻪ ﭼﻨﻴﻦ اﻣﻜـﺎﻧـﻰ را ﺑﻪ ﻣﺎ ﺑﺪﻫﺪ‪ .‬در‬ ‫ﺣﺎل ﺣﺎﺿﺮ ﺗﺄﻟﻴﻔـﺎت ﺟـﺪﻳـﺪ در ﺷـﺮاﻳﻄﻰ ﺳﺨﺖ و ﺑﺎ ﻛـﻤـﺘـﺮﻳـﻦ‬ ‫اﻣﻜﺎﻧﺎت ﺻﻮرت ﻣﻰﮔﻴﺮد و ﻣﺎ ﻧﻴﺰ ﻣﺘﺄﺳﻔﻴﻢ‪.‬‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫● ﻋﻠﻰ ﻏﻼﻣﻴﺎن‬ ‫ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺤﺾ و دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺠﺴﺘﺎن‬



‫اﺛﺒﺎت ﻧﺎﻣﺴﺎوىﻫﺎﺑﻪﻛﻤﻚ‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫اﺷﺎره‬ ‫در ﻗﺴﻤـﺖ اول اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺑﻪ ﻣـﻌـﺮﻓﻰ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺤﺪب و ﻫﻢﭼﻨـﻴـﻦ‬ ‫ﺑﻴﺎن و اﺛﺒﺎت ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻳﻨﺴﻦ ﭘﺮداﺧﺘﻴﻢ‪ .‬ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻳﻨﺴﻦ ﻛﺎرﺑﺮدﻫﺎى‬ ‫ﻣﺘﻨﻮﻋﻰ دارد و از آن ﻣﻰﺗﻮان در اﺛﺒﺎت ﺗﻌﺪاد زﻳﺎدى از ﻧﺎﻣﺴﺎوىﻫﺎى‬ ‫ﻛﻼﺳﻴﻚ و ﻣﻬﻢ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮد‪ .‬در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬ﻗﺼﺪ دارﻳﻢ دﻧﺒﺎﻟﻪاى‬ ‫از ﻧﺎﻣﺴﺎوىﻫﺎى ﻛﻼﺳﻴﻚ و ﻣﺸﻬﻮر را ﺑﻪدﺳﺖ آورﻳﻢ‪.‬‬ ‫ﻳﺎدآورى‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺤﺪب‪ .‬ﺗﺎﺑﻊ ﺣﻘﻴﻘـﻰ ﻣـﻘـﺪار ‪ f‬روى ﺑﺎزهى ‪ I‬ﻣﺤـﺪب‬ ‫اﺳﺖ ﻫﺮﮔﺎه ﺑﺮاى ﻫﺮ ‪ y ∈ I‬و ‪ x‬و ]‪ λ ∈[0,1‬؛‬



‫● اﮔﺮ ‪ f‬ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻘﻌﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آنﮔﺎه‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫) ‪f (λ1x1 +...+λ n x n ) ≥ λ1f (x1 )+...+λ n f (x n‬‬ ‫● اﮔﺮ ‪ f‬ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ اﻛﻴﺪاً ﻣﺤﺪب )اﻛﻴﺪاً ﻣﻘﻌﺮ( ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آنﮔﺎه وﻗﺘﻰ‬ ‫‪ x1 =...= x n‬ﺗﺴﺎوى در )‪ (١‬و )‪ (٢‬ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪.‬‬ ‫دى ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﺗﻮاﻧﻰ وزندار‪ ،‬دو‬ ‫ﻗﺒﻞ از ﺑﻴﺎن ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻬﻢ و ﻛﺎرﺑﺮ ِ‬ ‫ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻛﻼﺳﻴﻚ را ﺑﻴﺎن و اﺛﺒﺎت ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬



‫‪١‬‬



‫)‪f (λx + (1− λ)y) ≤ λf (x) + (1− λ)f (y‬‬



‫ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬اﻛﻴﺪاً ﻣﺤﺪب ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻰﺷﻮد ﻫﺮﮔﺎه‬ ‫ﺑﺮاى ﻫﺮ ‪ x ≠ y ، x, y ∈I‬و )‪ λ ∈(0,1‬؛‬



‫ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﺣﺴﺎﺑﻰ ـ ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﻫﻨﺪﺳﻰ وزندار‬ ‫ﻓـﺮض ﻛـﻨـﻴـﺪ ‪ x1,..., x n ≥0‬و ‪ w1,..., w n >0‬ﺑـﺎﺷـﻨـﺪ‪ .‬در‬ ‫اﻳﻦﺻﻮرت؛‬ ‫‪٥‬‬



‫‪1‬‬



‫)‪(٣‬‬



‫)‪f (x + (1− λ)y) < f (x) + (1− λ)f (y‬‬



‫ﺗﻮﺟﻪ‪ f .‬ﻣﻘﻌﺮ )اﻛﻴـﺪاً ﻣﻘﻌـﺮ( روى ‪ I‬ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻰﺷـﻮد اﮔﺮ‬ ‫روى ‪ I‬ﻣﺤﺪب )اﻛﻴﺪاً ﻣﺤﺪب( ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﻧﺎﻣﺴـﺎوى ﻳﻨﺴـﻦ‪ .٤‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴـﺪ ‪ f:I → IR‬ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﻣـﺤـﺪب‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻫﻢﭼـﻨـﻴـﻦ ﻓـﺮض ﻛﻨـﻴـﺪ ‪ x1..., x n ∈I‬و ‪λ1,..., λ n ≥ 0‬‬ ‫ﺑﻪﻃﻮرى ﻛﻪ ‪ . λ1 + λ 2 +... +λ n = 1‬در اﻳﻦﺻﻮرت‬ ‫)‪(١‬‬ ‫) ‪f (λ1x1 +...+λ n x n ) ≤ λ1f (x1 )+...+λ n f (x n‬‬ ‫‪-f‬‬



‫‪w1x1 +...+w n x n‬‬ ‫‪≥ (x1w1 x2w2 ...x wn n ) w1 +...+w n‬‬ ‫‪w1 +...+w n‬‬



‫ﺣﺎﻟﺖ ﺗﺴﺎوى ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ‪. x1 = x2 =...= x n‬‬ ‫اﺛﺒـﺎت‪ .‬ﻓـﺮض ﻛﻨـﻴـﻢ ‪) x1,..., x n >0‬در ﻏﻴـﺮ اﻳـﻦﺻـﻮرت‪،‬‬ ‫ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﺑﻪوﺿـﻮح ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪ (.‬در اﻳﻦﺻﻮرت‪ ،‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔـﺎده از‬ ‫اﻛـﻴـﺪا ﻣﻘﻌـﺮ ‪ f (x) = Lnx‬روى )∞‪ (0,‬ﺑـﺎ‬ ‫ً‬ ‫ﻧﺎﻣـﺴـﺎوى )‪ (٢‬ﺑﺎ ﺗﺎﺑـﻊ‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب‬



‫‪wi‬‬ ‫‪w1 +...+w n‬‬



‫= ‪ (1≤ i ≤ n)λ i‬دارﻳﻢ‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫‪٤٧‬‬



‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎرهى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫‪w1x1 +...+w n x n‬‬ ‫‪w Lnx1 +...+w n Lnx n‬‬ ‫‪)≥ 1‬‬ ‫‪w1 +...+w n‬‬ ‫‪w1 +...+w n‬‬



‫(‪Ln‬‬



‫ﻳﺎ‬ ‫‪1‬‬



‫‪w1x1 +...+w n x n‬‬ ‫‪) ≥ Ln(x1w1 ...x wn n ) w1 +...+w n‬‬ ‫‪w1 +...+w n‬‬



‫‪ ، x n ,..., x1‬ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻰآﻳﺪ‪.‬‬ ‫❐‬ ‫ﺑـﺎ ﻗــﺮار دادن ‪ w1 = w2 =... = w n = 1‬در ﻧـﺎﻣـﺴــﺎوى )‪(٥‬‬ ‫دارﻳﻢ‪:‬‬



‫(‪Ln‬‬



‫ﭼـﻮن ‪ f (x) = Lnx‬ﻳﻚ ﺗـﺎﺑـﻊ اﻛـﻴـﺪاً اﻓـﺰاﻳـﺸـﻰ روى ) ∞ ‪(0,‬‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬از اﻳﻦرو‬



‫ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﻫﻨﺪﺳﻰ ـ ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﻫﺎرﻣﻮﻧﻴﻚ ) ‪:(GM-HM‬‬ ‫اﮔﺮ ‪ ، x1,..., x n > 0‬آنﮔﺎه‬ ‫)‪(٦‬‬



‫‪1‬‬



‫‪w1x1 +...+w n x n‬‬ ‫‪≥ (x1w1 ...x wn n ) w1 +...+w n‬‬ ‫‪w1 +...+w n‬‬



‫ﺗﺴﺎوى ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ‪. x1 = x2 =... = x n‬‬



‫❐‬ ‫ﺑﺎ ﻗﺮار دادن ‪ w1 =...= w n = 1‬در ﻧﺎﻣﺴﺎوى )‪ (٣‬دارﻳﻢ‬ ‫ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﺣﺴﺎﺑﻰ ـ ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﻫﻨﺪﺳﻰ ) ‪:(AM-GM‬‬ ‫اﮔﺮ ‪ ، x1,..., x n ≥0‬آنﮔﺎه‬ ‫‪x1 +...+x n n‬‬ ‫‪≥ x1...x n‬‬ ‫‪n‬‬



‫)‪(٤‬‬



‫ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﺗﻮاﻧﻰ وزندار‬ ‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ‪ x1, x2 ,..., x n‬و ‪ w1,..., w n‬اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻣﺜﺒﺖ‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬در اﻳﻦﺻﻮرت ﺑﺮاى ﻫﺮ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻰ‪ ، t ≠ 0‬ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﺗﻮاﻧﻰ‬ ‫وزندار از ﻣﺮﺗﺒﻪى ‪ t‬را ﺑﻪﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳ; ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪٧‬‬



‫ﺗﺴﺎوى ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ‪. x1 =...= x n‬‬



‫‪1‬‬



‫)‪(٥‬‬



‫‪w1 +...+w n‬‬ ‫‪≤ (x1w1 ...x wn n ) w1 +...+w n‬‬ ‫‪wn‬‬ ‫‪w1‬‬ ‫‪+...+‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪xn‬‬



‫ﺗﺴﺎوى ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ‪. x1 =...= x n‬‬ ‫اﺛﺒﺎت‪.‬‬ ‫راه اول‪ .‬ﺑﻪﻃﻮر ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ از ﻧﺎﻣﺴﺎوى )‪ (١‬ﺑﺎ ﺗﺎﺑﻊ اﻛﻴﺪاً ﻣﺤﺪب‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬



‫‪ f (x) = Ln‬روى )∞ ‪ (0,‬ﺑـﺎ اﻧــﺘــﺨــﺎب‬



‫‪wi‬‬ ‫‪w1 +... +w n‬‬



‫= ‪λi‬‬



‫)‪ ، (1≤ i ≤ n‬ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﺣﺎﺻﻞ ﻣﻰﺷﻮد‪.‬‬ ‫راه دوم‪ .‬ﺑﺎ ﺟﺎىﮔﺬارى ‪ 1 ,..., 1‬در ﻧﺎﻣﺴﺎوى )‪ (٣‬ﺑﻪ ﺟﺎى‬ ‫‪x1‬‬



‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬



‫ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره‪٨٩‬ى‪٤٨ ٣١٣‬‬



‫‪xn‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪w x t +... +w n x tn t‬‬ ‫‪( 1 1‬‬ ‫)‬



‫)‪(٧‬‬



‫ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻴﺎﻧﮕﻴـﻦ ﻫـﻨـﺪﺳـﻰ ـ ﻣـﻴـﺎﻧـﮕـﻴـﻦ ﻫـﺎرﻣﻮﻧﻴـﻚ‬ ‫‪٦‬‬ ‫وزندار‬ ‫ﻓـﺮض ﻛﻨﻴـﺪ ‪ x1,..., x n‬و ‪ w1,..., w n‬اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘـﻰ ﻣـﺜـﺒـﺖ‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬در اﻳﻦﺻﻮرت؛‬



‫‪n‬‬ ‫‪≤ n x1x2 ...x n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+...+‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪x1‬‬



‫‪w1 +... +w n‬‬



‫= ) ‪M t (x1,..., x n‬‬



‫ﺑﻌﻀﻰ از ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦﻫﺎى وزندار اﺳﺎﻣﻰ ﺧﺎص دارﻧﺪ‪:‬‬ ‫‪w1x1 +... +w n x n‬‬ ‫●‬ ‫‪w1 +... +w n‬‬



‫= ) ‪ M1(x1,..., x n‬ﻣﻴـﺎﻧـﮕـﻴـﻦ ﺣـﺴـﺎﺑـﻰ‬



‫وزندار‪(WHM) ٨‬‬ ‫‪w +... +w n‬‬ ‫● ‪w‬‬ ‫‪+... + n‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪xn‬‬



‫‪ M −1(x1,..., x n ) = w 1‬ﻣﻴﺎﻧـﮕـﻴـﻦ ﻫـﺎرﻣـﻮﻧـﻴـﻚ‬ ‫‪1‬‬



‫وزندار‪(WHM) ٩‬‬ ‫●‬



‫‪w1x12 +... +w n x2n‬‬ ‫‪w1 +... +w n‬‬



‫= ) ‪ M2 (x1,..., x n‬ﺟـﺬر ﻣـﻴـﺎﻧـﮕـﻴــﻦ‬



‫ﻣﺮﺑﻌﺎت وزندار )‪(WRMS‬‬ ‫‪١٠‬‬



‫● اﮔـﺮ ﻗــﺮار دﻫـﻴــﻢ ) ‪M t (x1,..., x n‬‬ ‫‪، M0(x1,..., x n ) = lim‬‬ ‫‪t→0‬‬



‫آنﮔﺎه ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﻮاص ﺗﺎﺑﻊ ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ و ﻗﺎﻋﺪهى ﻫﻮﭘﻴﺘﺎل دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪w1x1t +... +w n x tn‬‬ ‫)‬ ‫‪w1 +... +w n‬‬ ‫‪t‬‬



‫(‪Ln‬‬ ‫‪LnM0(x1,..., x n ) = lim‬‬



‫‪t→0‬‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫ﻫـ‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫‪w1x1t Lnx1 +... +w n x tn Lnx n‬‬ ‫‪w1 +... +w n‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪t→0‬‬ ‫‪w1x1t +... +w n x tn‬‬ ‫‪w1 +... +w n‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪w Lnx1 +... +w n Lnx n‬‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪= Ln(x1w1 ... x wn n ) w1+...+ wn‬‬ ‫‪w1 +... +w n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪w1‬‬ ‫‪w n w1 +...+ w n‬‬ ‫) ‪(x1 ... x n‬‬



‫= ) ‪ M0(x1,..., x n‬اﺳـﺖ‬ ‫از اﻳـﻦرو‬ ‫ﻛﻪ ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﻫﻨﺪﺳﻰ وزﻧﻰ‪ (WAM) ١١‬ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻰﺷﻮد‪.‬‬ ‫● اﮔـﺮ ﻗـﺮار دﻫـﻴــﻢ ) ‪lim M t (x1,..., x n‬‬ ‫∞→‪، M ∞ (x1,..., x n ) = t‬‬



‫ﻣﺮﺗﺒـﻪ ‪ t‬و‪ M2 ، M −1 ، M1‬و ‪ M0‬را ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﺣﺴـﺎﺑـﻰ‬ ‫)‪ ،(AM‬ﻣﻴﺎﻧﮕﻴـﻦ ﻫـﺎرﻣﻮﻧﻴـﻚ ) ‪ ،(HM‬ﺟﺬر ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﻣﺮﺑـﻌـﺎت‬ ‫)‪ (RMS‬و ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﻫﻨﺪﺳﻰ )‪ (EM‬ﻣﻰﻧﺎﻣﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﺣﺎل ﻣﻰﺧﻮاﻫﻴﻢ ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦﻫﺎى ﻛﻼﺳﻴﻚ را ﺑﻪدﺳﺖ‬ ‫ﻣﻰآورﻳﻢ‪.‬‬ ‫ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﺗﻮاﻧﻰ وزندار‬ ‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ‪ x n ,..., x2 , x1‬و ‪ w n ,..., w1‬اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻣﺜﺒﺖ‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬در اﻳـﻦﺻـﻮرت اﮔﺮ ‪ s‬و ‪ t‬اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻣﺨﺎﻟـ; ﺻـﻔـﺮ‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﺑﻪﻃﻮرى ﻛﻪ ‪ ، s < t‬آنﮔﺎه‬



‫آنﮔﺎه‪،‬‬



‫)‪(٨‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪w1x1t +... +w n x tn t‬‬ ‫)‬ ‫‪w1 +... +w n‬‬



‫∞ ‪t→ −‬‬



‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ‬ ‫‪xi t‬‬ ‫‪ ١‬ﻳﺎ ‪) = 0‬‬ ‫‪xj‬‬



‫(‪(1≤ i ≤ n) lim‬‬



‫ﻛﺎﻣﻼ ﻣﺤﺪب‬ ‫ً‬



‫(‪x tj [w1‬‬



‫= )‪ f (x‬دارﻳﻢ‪:‬‬



‫‪x1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪)+...+w n ( n ) t‬‬ ‫‪xj‬‬ ‫‪xj‬‬ ‫‪w1 +...+w n‬‬



‫‪t‬‬ ‫‪s s‬‬ ‫)‬



‫∞→‪t‬‬



‫(‪w1‬‬ ‫( ‪= x j lim‬‬



‫≤‬



‫‪w1 +L+w n‬‬



‫∞→‪t‬‬



‫‪1‬‬



‫آنﮔﺎه ﻣﻰﺗﻮان ﺛﺎﺑﺖ ﻛﺮد‬ ‫} ‪M − ∞ (x1,..., x n ) = min{x1,..., x n‬‬



‫ﺗﺒﺼﺮه‪ .‬اﮔﺮ در ﺗﻌﺮﻳـ; )‪ (٧‬ﻗﺮار دﻫﻴﻢ ‪، w1 =... = w n = 1‬‬ ‫آنﮔﺎه ‪ M t (x1,..., x n ) = ( x1 +... +x n ) t‬را ﻣﻴﺎﻧﮕـﻴـﻦ ﺗـﻮاﻧﻰ از‬



‫‪1‬‬



‫ﺣﺎﻟـﺖ دوم‪ .‬اﮔﺮ ‪ s < t < 0‬آنﮔـﺎه ‪ . 0< −t < −s‬ﺣﺎل ﻃﺒـﻖ‬



‫∞‪t→−‬‬



‫‪n‬‬



‫‪+L+w n (x n‬‬ ‫‪w1 +L+w n‬‬



‫‪w x s +Lw n x n s s‬‬ ‫‪w x t +Lw n x n t t‬‬ ‫‪( 1 1‬‬ ‫‪) ≤( 1 1‬‬ ‫)‬ ‫‪w1 +L+w n‬‬ ‫‪w1 +L+w n‬‬



‫ﺑﻪ ﻫﻤـﻴـﻦﺗـﺮﺗﻴـﺐ اﮔـﺮ ) ‪، M −∞ (x1,..., x n ) = lim M t (x1,..., x n‬‬



‫‪t‬‬



‫‪t‬‬ ‫‪w1(x1s ) s‬‬



‫‪t‬‬ ‫‪w x s +Lw n x n s s‬‬ ‫‪( 1 1‬‬ ‫)‬



‫از اﻳﻦرو‬



‫از اﻳﻦرو } ‪. M ∞ (x1,..., x n ) = max{x1,..., x n‬‬



‫‪t‬‬



‫(‪f‬‬



‫ﻳﺎ‬



‫( ‪M ∞ (x1,..., x n ) = lim‬‬



‫‪w1 +... +w n‬‬



‫‪1‬‬



‫‪t‬‬ ‫‪xs‬‬



‫= ‪ 1≤ i ≤ n λ i‬و ﺑﺎ ﺗﺎﺑﻊ‬



‫) ‪w f (x s )+... +w n f (x sn‬‬ ‫‪w1x1s +... +w n x sn‬‬ ‫‪)≤ 1 1‬‬ ‫‪w1 +... +w n‬‬ ‫‪w1 +... +w n‬‬



‫‪x1 t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫] ‪) +... +w n ( n ) t‬‬ ‫‪xj‬‬ ‫‪xj‬‬



‫‪1‬‬



‫‪wi‬‬ ‫‪n‬‬



‫ﻧﺎﻣﺴـﺎوى )‪ (١‬ﺑﺮاى ‪ x sn ,..., x1s‬و‬



‫دارﻳﻢ‪:‬‬



‫‪) t = xj‬‬



‫‪w1 +... +w n‬‬



‫≤‬



‫‪w1 +... +w n‬‬



‫اﺛﺒﺎت‪.‬‬ ‫ﺣﺎﻟـﺖ اول‪ .‬اﮔﺮ ‪ 0< s < t‬ﻳـﺎ ‪ s < 0< t‬آنﮔﺎه ﺑﺎ ﺑﻪﻛـﺎرﺑـﺮدن‬



‫( ‪M ∞ = lim‬‬



‫ﺣﺎل وﺟﻮد دارد ‪ j‬اﻳﻰ )‪ (1≤ j ≤ n‬ﻛﻪ } ‪. x j = max{x1,..., x n‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪)t‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪w x t +... +w n x tn t‬‬ ‫‪( 1 1‬‬ ‫)‬



‫‪1‬‬ ‫‪w x s +... +w n x sn s‬‬ ‫‪( 1 1‬‬ ‫)‬



‫ﺣﺎﻟﺖ اول ﺑﺮاى ‪ 1‬و ‪ 1‬و … و ‪ 1‬دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪x1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪s‬‬



‫‪−‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪ w ( 1 ) −s +L+w ( 1 ) −s ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 1 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪≤‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪+L+w‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪xn‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬



‫‪−‬‬



‫‪ w ( 1 ) − t +L+w ( 1 ) − t ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 1 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪+L+w‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫‪٤٩‬‬



‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎرهى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



‫ﻳﺎ‬ ‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫‪w x t +Lw n x n t t‬‬ ‫‪w1x1s +Lw n x n s s‬‬ ‫‪) ≤( 1 1‬‬ ‫)‬ ‫‪w1 +L+w n‬‬ ‫‪w1 +L+w n‬‬



‫(‬



‫ﺗﺒﺼـﺮه‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﺎﻣﺴـﺎوىﻫﺎى )‪ (٣‬و )‪ (٥‬و )‪ (٨‬ﺑﻪوﺿـﻮح‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪى ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻛﻼﺳﻴﻚ زﻳﺮ را دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪w +L+w n‬‬ ‫‪≤ (x1w1Lx n wn ) w1+L+ wn‬‬ ‫‪min{x1,..., x n } ≤ 1‬‬ ‫‪w1‬‬ ‫‪wn‬‬ ‫‪+L+‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪w1x12 +L+w n x2n‬‬ ‫} ‪≤ max{x1,K, x n‬‬ ‫‪w1 +L+w n‬‬



‫‪w1x1 +L+w n x n‬‬ ‫≤‬ ‫‪w1 +L+w n‬‬



‫ﻣﺜـﺎل‪ .٢‬اﮔﺮ ‪ r‬ﻳﻚ ﻋﺪد ﺣﻘﻴـﻘـﻰ و ‪ n‬ﻳﻚ ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻰ ﺑـﺎﺷـﺪ‪،‬‬ ‫آنﮔﺎه‬ ‫‪(1r + 2r +L+n r ) n ≥ n n (n!) r‬‬



‫ﺣﻞ‪ .‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺎﻣﺴﺎوى )‪) (٤‬ﻧﺎﻣﺴﺎوى ‪ (AM-GM‬دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪1r + 2r +L+n r n r r‬‬ ‫‪≥ 1 .2 Ln r‬‬ ‫‪n‬‬



‫ﻳﺎ‬ ‫‪1r + 2r +L+n r ≥ n n (n!) r‬‬



‫و از اﻳﻦرو‬ ‫≤‬



‫ﻧﺘﻴﺠﻪ‪ .‬اﮔﺮ ‪ (1≤ i ≤ n) x1 >0‬آنﮔﺎه‬ ‫‪1‬‬



‫ﺣـﻞ‪ .‬ﺑﺎ اﺳـﺘـﻔـﺎده از ﻧـﺎﻣـﺴـﺎوى )‪ (٣‬و اﻧﺘـﺨـﺎب ‪، w1 = α‬‬ ‫‪ x1 = α ، w2 = β‬و ‪ x2 = β‬در ﺣــﺎﻟــﺖ ‪ ، n=٢‬ﻧـﺎﻣــﺴــﺎوى‬ ‫ﺑﻪوﺿﻮح ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪.‬‬



‫≤ } ‪min{x1,..., x n‬‬



‫‪x12 +L+x2n‬‬ ‫} ‪≤ max{x1,K, x n‬‬ ‫‪n‬‬



‫)‪(١٠‬‬



‫‪a α b β ≤ αa + βb‬‬



‫≤‬



‫)‪(٩‬‬ ‫اﮔﺮ در دﻧﺒﺎﻟﻪى ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﺑﺎﻻ ‪ w1 = w2 =L= w n = 1‬ﻗﺮار‬ ‫دﻫﻴﻢ‪ ،‬آنﮔﺎه‬ ‫‪x +L+x n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪≤ x1Lx n ≤ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+L+‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪x1‬‬



‫ﻣﺜﺎلﻫﺎ‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ .١‬اﮔﺮ ‪ α,β > 0 ، α + β = 1‬و ‪ a, b ≥ 0‬آنﮔﺎه‬



‫‪1‬‬



‫‪2‬‬ ‫)‪. (x1 +L+x n )( x +L+ x ) ≥ n (١١‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪(1r + 2r +L+n r ) n ≥ n n (n!) r‬‬



‫ﻣﺜﺎل‪ .٣‬اﮔﺮ ‪ a1a 2La n = 1‬آنﮔﺎه‬ ‫‪(1+ a1 )(1+ a 2 )L(1+ a n ) ≥ 2n‬‬



‫ﺣﻞ‪ .‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺎﻣﺴﺎوى )‪ (٤‬دارﻳﻢ‪:‬‬



‫اﺛﺒﺎت‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ دﻧﺒﺎﻟﻪى ﻧﺎﻣﺴﺎوى )‪(١٠‬ﺑﻪوﺿﻮحﺑﺮﻗﺮاراﺳﺖ‪.‬‬



‫‪1+ a1 ≥ 2 a1‬‬ ‫‪1+ a 2 ≥ 2 a 2‬‬



‫ﻧﻤﻮدار زﻳﺮ‪ ،‬دﻧﺒﺎﻟﻪى ﻧﺎﻣﺴﺎوى )‪ (١٠‬را ﺑﺮاى ﺣﺎﻟﺖ ‪ n=٢‬ﻧﺸﺎن‬ ‫ﻣﻰدﻫﺪ‪.‬‬



‫‪M‬‬ ‫‪1+ a n ≥ 2 a n‬‬



‫ﺣﺎل ﺑﺎ ﺿﺮب دو ﻃﺮف ﻧﺎﻣﺴﺎوى درﻫﻢ دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪(1+ a1 )(1+ a 2 )L(1+ a n ) ≥ 2n a1a 2La n‬‬



‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ‪ a1a 2La n = 1‬ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ .٤‬اﮔﺮ ‪ a, b, c, > 0‬آنﮔﺎه‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫≥)‬ ‫‪a+b b+c a+c‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪HM ≤ GM ≤ AM ≤ RMS‬‬ ‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬



‫ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره‪٨٩‬ى‪٥٠ ٣١٣‬‬



‫()‪(a + b + c‬‬



‫ﺣﻞ‪ .‬ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب ‪ x2 = b + c ، x1 = a + b‬و ‪ x 3 = a + c‬در‬



‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬



○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○



:‫( دارﻳﻢ‬١١) ‫ﻧﺎﻣﺴﺎوى‬



‫ آنﮔﺎه‬،‫ﻫﺮ دو ﺗﺎى آنﻫﺎ ﺑﺰرگﺗﺮ از ﺳﻮﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ‬ (1+



، x1 = 1+



[(a + b) + (b + c) + (a + c)](



b−c a c−a c a−b c ) (1+ ) (1+ ) ≤1 a b c



b−c a



2(a + b + c)(



‫( ﺑﺎ اﻧـﺘـﺨـﺎب‬٣) ‫ از ﻧﺎﻣـﺴـﺎوى‬:‫راﻫﻨـﻤـﺎﻳـﻰ‬



w 3 = c، w2 = b، w1 = a، x 3 = 1+



a−b c−a ، x2 = 1+ c b



.‫ﻛﻤﻚ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‬ a‫و‬b‫ و…و‬a, b,..., L(n > 1)



‫ﻋﺪد ﻣﺜﺒـﺖ‬n ‫ اﮔﺮ ﻣﺠـﻤـﻮع‬.٤ ‫ آن ﮔﺎه‬،‫ ﻓﺮض ﺷﻮد‬s ‫ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ‬



s s n2 s + +L+ ≥ s − L n −1 s−a s−b



1 1 1 + + )≥9 a+b b+c a+c



1 1 1 + + )≥9 a+b b+c a+c



‫و از اﻳﻦرو‬ (a + b + c)(



1 1 1 + + )≥9 a+b b+c a+c



‫ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ‬x, y > 0 ‫( ﺑﺮاى ﻫﺮ‬١٩٩٥ ‫ )روﺳﻴﻪ‬.٥‫ﻣﺜﺎل‬ y 1 x 2 + 4 2 ≤ xy y +x x +y 4



:‫( دارﻳﻢ‬GM-HM ‫( )ﻧﺎﻣﺴﺎوى‬٦) ‫ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺎﻣﺴﺎوى‬.‫ﺣﻞ‬



.‫( اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﺪ‬١١) ‫ از ﻧﺎﻣﺴﺎوى‬:‫راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ‬



1 1 x x 1 x ≤ 2 = 1 4 . 2 = 1 2 x y 2xy x +y + x x x4 y2 4



:‫ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ‬a‫ و‬b‫ و‬c ‫ ﺑﺮاى اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻣﺜﺒﺖ‬.٥ (a 2b + b2c + c2a)(ab2 + bc2 + ca 2 ) ≥ 9a 2b2c2



.‫( اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﺪ‬٤) ‫ از ﻧﺎﻣﺴﺎوى‬:‫راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ‬



1 1 y y 1 y ≤ 2 = 1 4 . 2 = 1 2 y x 2xy y +x + y y y4 x2 4



‫ﭘﻰ ﻧﻮﺷﺖ‬ 1.Jensen Inequality 2. Weighted AM-GM Inequality 3. Weighted GM-HM Inequality 4.Weighted Power Mean 5.Weighted Arithmetic Mean 6.Weighted Harmonic Mean 7.weighted Root Mean Square 8.Weighted Geometric Mean



.‫ ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻰآﻳﺪ‬،‫ﺣﺎل ﺑﺎ ﺟﻤﻊ دو ﻃﺮف‬ ‫ﻣﺴﺎﺋﻠﻰ ﺑﺮاى ﺣﻞ‬ 1



‫ﻣﻨﺎﺑﻊ‬ ،‫ ﺗﺮﺟﻤﻪى دﻛﺘﺮ ﻋﻠﻰاﻛﺒﺮ ﻋﺎﻟـﻢ زاده‬،‫ اﺻـﻮل آﻧﺎﻟﻴﺰ رﻳﺎﺿﻰ‬.(‫ )ﺳﺎل اﺻﻞ اﺛﺮ‬،‫ واﻟﺘﺮ‬،‫ رودﻳﻦ‬.١ .١٢٦ ‫ ﺻﻔﺤﻪى‬،١٣٦٢ ،‫اﻧﺘﺸﺎرات ﻋﻠﻤﻰ و ﻓﻨﻰ‬ 2. Hrimiuc Dragos, (2001). Inequalities for Convex Functions (Part I), " π in the Sky". PIMS 3. Kedlaya Kiran, A 0 ، p + q = 1 ‫ اﮔﺮ‬.١ ab ≤



a p bq + p q



.‫ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﺜﺎل ﻳﻚ ﻋﻤﻞ ﻛﻨﻴﺪ‬:‫راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ‬ ‫ آنﮔﺎه‬a, b, c > 0 ‫ اﮔﺮ‬.٢ (a + b)(a + c)(c + a) ≥ 8abc



‫( اﺳﺘﻔـﺎده‬AM-GM‫( )ﻧﺎﻣﺴـﺎوى‬٤) ‫ از ﻧـﺎﻣـﺴـﺎوى‬:‫راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ‬ .‫ﻛﻨﻴﺪ‬ ‫ اﻋﺪاد ﻣﺜﺒﺘـﻰ ﺑـﺎﺷـﻨـﺪ ﺑـﻪﻃـﻮرىﻛﻪ ﻣـﺠـﻤـﻮع‬c ‫و‬b ‫و‬a ‫ اﮔـﺮ‬.٣



○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○



‫ﻣﺤﺴﻦ ﺗﻨﺪه‪ ،‬ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬



‫ا‬ ‫ﺳ‬ ‫ﺘ‬ ‫ﻔ‬ ‫ﺎ‬ ‫د‬ ‫ه‬ ‫ا‬ ‫ز‬ ‫ﻛ‬ ‫ﺘ‬ ‫ﺎ‬ ‫ب‬ ‫‬ ‫ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷ ﻫﺎى‬ ‫ﻰ رﻳﺎﺿﻰ‬



‫ﻣﻘﺪﻣﻪ‬ ‫ﻳﻜﻰ از اﻫﺪاف اﺻﻠﻰ ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ‪ ،‬اﻧﺘﻘﺎل ﻣﻄﺎﻟﺐ ﻋﻠﻤﻰ‬ ‫روز ﺑﻪ داﻧﺶآﻣـﻮزان اﺳﺖ‪ .‬اﻣﺎ ﻫﺪف ﺟﻨﺒﻰ دﻳﮕـﺮ اﻳـﻦ اﺳـﺖ ﺗـﺎ‬ ‫ﻟﺬت ﻛﺘﺎبﺧﻮاﻧﻰ را در ﻛﺎم داﻧﺶآﻣﻮزان ﺷﻴﺮﻳﻦ ﻛﻨﺪ و ﺧـﻮدﺷﺎن‬ ‫ﻛﻨﺠﻜﺎواﻧﻪ ﺑﻪ ﺳﺮاغ ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻋﻠﻤﻰ و ادﺑﻰ و ﻫﻨﺮى ﺑﺮوﻧﺪ و ﻋﻼوه‬ ‫ﺑﺮ ﺗﻜﻤﻴﻞ آﻣﻮزش ﻋﻠﻢ روز‪ ،‬ﺑﻪ زﻳﻮر ادب و ﻫﻨﺮ ﻧﻴﺰ آراﺳﺘﻪ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫اﻣﺎ در ﻧﻈﺎم آﻣـﻮزشوﭘﺮورش‪ ،‬ﮔﺎﻫﻰ ﺟﺮﻳﺎﻧﻰ ﺟﺎﻳﮕـﺰﻳـﻦ اﻳـﻦ‬ ‫ﻫﺪف اﺻـﻠـﻰ ﻣـﻰﺷـﻮد ﻛـﻪ ﻧـﻪ ﺗـﻨـﻬـﺎ داﻧـﺶآﻣـﻮزان را ﺑﻪ ﻛـﺘـﺎب و‬ ‫ﻛﺘﺎبﺧﻮاﻧﻰ ﻧﺰدﻳﻚ ﻧﻤﻰﺳﺎزد‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ ﺑﺎ اﺷﺘﺒﺎﻫﺎت ﺑﺮﺧﻰ از ﻣﻌﻠﻤﺎن‬ ‫و اوﻟﻴﺎ‪ ،‬داﻧﺶآﻣﻮز از ﻛﺘﺎب و ﻣﻄﺎﻟﻌـﻪ‪ ،‬ﺑـﻴـﺰار ﻫﻢ ﻣﻰﺷـﻮد و اﻳﻦ‬ ‫ﺗﻨﻔﺮ ﺗﺎ آنﺟﺎ اداﻣﻪ ﻣﻰﻳـﺎﺑـﺪ ﻛـﻪ ﺑـﺎ وﺟﻮد ﺣﻀﻮر در ﻣـﻌـﺮوفﺗﺮﻳـﻦ‬ ‫ﻣﺪارس‪ ،‬داﻧﺶآﻣﻮز ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﻧﺘﻴﺠﻪى دﻟﺨﻮاه اوﻟﻴﺎ در ﻛﺴﺐ رﺗﺒﻪﻫﺎى‬ ‫ﺑﺮﺗﺮ آزﻣﻮنﻫﺎى ورودى ﺑﻪ داﻧﺸﮕﺎهﻫـﺎ را ﺑﻪ دﺳﺖ ﻧﻤـﻰآورد‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ‬ ‫ﮔﺎﻫﻰ رﺗﺒﻪى او از داﻧﺶآﻣﻮزان ﻣﻌﻤﻮﻟﻰ در ﻳﻚ ﻣﺪرﺳﻪى ﻣﺘـﻮﺳﻂ‬ ‫ﻫﻢ ﭘﺎﻳﻴﻦﺗﺮ ﻣﻰآﻳﺪ؛ ﭼﺮا ﻛﻪ ﭼﻨﻴﻦ داﻧﺶآﻣـﻮزى‪ ،‬ﺣﺪاﻗﻞ در ﭼﻬﺎر‬ ‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬



‫ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره‪٨٩‬ى‪٥٢ ٣١٣‬‬



‫آ‬ ‫ر‬ ‫ى‬ ‫ﻳ‬ ‫ﺎ‬ ‫ﻧ‬ ‫ﻪ؟‬



‫ﺳﺎل دورهى دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن و ﭘﻴﺶداﻧﺸﮕﺎﻫﻰ و ﺳﻪ ﺳﺎل دورهى راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ‬ ‫ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ‪ ،‬ﺗﺤﺖ ﻓﺸﺎر و ﺑﻤـﺒـﺎران ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻛﻤﻚآﻣـﻮزﺷﻰ ﻗﺮار‬ ‫داﺷﺘﻪ ﻛﻪ او را از ﻫﺪف اﺻﻠﻰ درس و ﻣﺪرﺳﻪ دور ﺳﺎﺧﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻓﺎ از ﻃﺮﻳﻖ ارزﻳﺎﺑﻰ دﻗﻴﻖ و‬ ‫اﻟﺒﺘﻪ ﺧﻮب ﻳﺎ ﺑﺪ اﻳﻦ ﻛﺘﺎبﻫﺎ‪ ،‬ﺻﺮ ً‬ ‫ﻛﺎرﺷﻨﺎﺳﻰ ﺷﺪه اﻣﻜﺎنﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ‪ .‬اﻣﺎ آنﭼﻪ واﻗﻌﻴﺖ دارد‪ ،‬وﺟﻮد‬ ‫ﭘـﺮﺣﺠﻢ اﻳﻦ ﻛﺘﺎبﻫﺎ در ﻧﻈﺎم ﺗﻌـﻠـﻴـﻢ و ﺗـﺮﺑـﻴـﺖ ﻓـﻌـﻠـﻰ اﺳـﺖ؛‬ ‫ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎﻳـﻰ ﻛـﻪ ﺑـﺎ ﻃـﺮح ﺳـﺆاﻻت و ﺗـﺴـﺖﻫـﺎى ﻣـﺨـﺘـﻠــ;‪،‬‬ ‫داﻧﺶآﻣﻮزان را ﺑﻪ دﺳﺘﮕﺎهﻫﺎى زﻧﺪهى ﺗﺴﺖزن ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﺮدهاﻧﺪ!‬ ‫اﻗﻌﺎ اﻳﻦ‬ ‫در ﭼﻨﻴﻦ ﺷـﺮاﻳﻄﻰ‪ ،‬ﺳﺆال اﺳﺎﺳﻰ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ آﻳـﺎ و ً‬ ‫ﻛﺘﺎب ﻫﺎى ﻛﻤﻚدرﺳﻰ ﻣﻰﺗـﻮاﻧﻨﺪ ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ ﻳﺎ‬



‫ﻣﻜﻤﻞ آنﻫﺎ ﺷﻮﻧﺪ؟ آﻳﺎ ﻣﻌﻠﻢ‪ ،‬داﻧﺶآﻣـﻮز و اوﻟﻴﺎ از ﺗﺄﺛﻴﺮ ﻣﻔﻴـﺪ و‬ ‫ﻣـﺆﺛـﺮ و ﻳـﺎ اﺣـﻴـﺎﻧـﺎً ﻣـﺨــﺮب اﻳـﻦ ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎ آ ﮔـﺎه ﻫـﺴـﺘـﻨـﺪ؟ آﻳـﺎ‬ ‫آﻣﻮزشوﭘـﺮورش ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﻬﺎد ﻣﺘـﻮﻟﻰ آﻣـﻮزش‪ ،‬اﻳﻦ ﻛﺘﺎبﻫـﺎ را‬ ‫آﻓﺖزداﻳﻰ و آﺳﻴﺐﺷﻨﺎﺳـﻰ ﻛـﺮده اﺳﺖ؟ آﻳﺎ اﻳﻦ ﻛﺘﺎبﻫـﺎ ﺳـﺒـﺐ‬ ‫ﻧﻤﻰﺷﻮﻧﺪ ﻛﻪ داﻧﺶآﻣـﻮزان ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ از ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻏﻴـﺮ درﺳﻰ‪ ،‬ﻛﻪ‬ ‫ﺣﺘﻰ از ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ ﻫﻢ ﻣﺘﻨﻔﺮ و ﻓﺮارى ﺷﻮﻧﺪ؟‬ ‫در ﻛﻨﺎر آن‪ ،‬اﻳﻦ ﺳـﺆال اﺳﺎﺳﻰ ﻫﻢ ﻣﻄـﺮح اﺳﺖ ﻛﻪ آﻳﺎ واﻗﻌـﺎً‬ ‫ﻓﻘﻂ ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ وزارت آﻣﻮزشوﭘﺮورش ﺑﺎﻳﺪ ﻣﻼك آﻣﻮزش‬ ‫ﻋﻠﻢ و ﭘـﺮورش ﻓﻀﺎﺋﻞ اﺧﻼﻗﻰ ﺗﻠﻘـﻰ ﺷـﻮد؟ ﺑﻪﻋﻨﻮان ﻧﻤـﻮﻧﻪ‪ ،‬آﻳﺎ‬ ‫ﻛﺘﺎب درﺳﻰ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﻣﻰﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎ اﻃﻼﻋﺎت ﺑﻪ روز‪ ،‬داﻧﺶآﻣﻮز را‬ ‫در رﺷﺘﻪى ﻛﺎﻣـﭙـﻴـﻮﺗﺮ‪ ،‬ﺑـﻪ ﻓـﺮدى ﻛـﺎرآﻣﺪ ﺗﺒـﺪﻳـﻞ ﺳـﺎزد؟ ﺷﻴـﻮهى‬ ‫ﻛﺸﻮرﻫﺎى ﺗﻮﺳﻌﻪ ﻳﺎﻓﺘﻪ در اﻳﻦ زﻣﻴﻨﻪ ﭼﻴﺴﺖ؟ آﻳﺎ ﻧﻤﻰﺗﻮان ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ‬ ‫ﺑﺴﻴﺎرى از ﻛﺸﻮرﻫﺎ‪ ،‬از ﻣﻨﺎﺑﻊ ﻣﺨﺘﻠ; و آزاد ﺑﺮاى ﻳﻚ درس اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﻛﺮد و دﺳﺖ ﻣﻌﻠﻢ و داﻧﺶآﻣـﻮز را ﺑﺎ رﻋﺎﻳﺖ اﺳﺘﺎﻧـﺪاردﻫﺎى ﻣﻮرد‬ ‫ﺗﺄﻳﻴﺪ ﻧﻈﺎم آﻣﻮزش و ﭘﺮورش آزاد ﮔﺬاﺷﺖ؟‬ ‫در اﻛﺜﺮ ﻧﻈﺎمﻫﺎى آﻣﻮزشوﭘﺮورش ﻣﻮﻓﻖ‪ ،‬ﭼﻪ از ﻧﻮع ﻣﺘﻤﺮﻛﺰ‬ ‫آن ﻣﺜﻞ ژاﭘﻦ و ﭼﻪ از ﻧﻮع ﻏﻴـﺮﻣﺘﻤﺮﻛﺰ آن ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻛﺎﻧﺎدا و اﺳﺘﺮاﻟﻴﺎ در‬ ‫دورهﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ; ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ‪ ،‬ﺳﻴﺎﺳﺖﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬رﺋﻮس ﻣﻮاد‬ ‫و ﺳﺮﻓﺼﻞﻫﺎى ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪى درﺳﻰ و ﺳﻴﺎﺳﺖﻫﺎى ﻛﻠـﻰ ﺗـﺪرﻳـﺲ‪،‬‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ ﺑﺨﺶﻫﺎى دوﻟﺘﻰ آﻣﻮزشوﭘﺮورش )اﻳﺎﻟﺘﻰ‪،‬ﻓﺪرال‪ ،‬ﻣﻨﻄﻘﻪ‬ ‫ﻳﺎ ﻛﺸﻮر( ﺗﻬﻴﻪ و ﺗﻨﻈﻴﻢ و ﺑﻪ ﺟﺎﻣﻌﻪى آﻣﻮزﺷﻰ اﺑﻼغ ﻣﻰﺷﻮد‪ .‬اﻣﺎ‬ ‫در ﻣﻜﺎنﻫﺎى ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن آﻣﻮزﺷﻰ ﻣﺜﻞ ﻣﺪرﺳﻪ‪ ،‬ﻧﺎﺣﻴﻪ‪ ،‬ﻣﻨﻄﻘﻪﻫﺎى‬ ‫آﻣﻮزشوﭘـﺮورش؛ داﻧﺸﮕﺎهﻫﺎ و ﻣـﺆﺳﺴﺎت ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﺗﺮﺑـﻴـﺘـﻰ‪،‬‬ ‫ﻧﺎﺷﺮان ﺧﺼﻮﺻﻰ و ﮔﺮوهﻫﺎى ﻣﺆﻟﻔﺎن ‪ ،‬دﺳﺖاﻧﺪرﻛﺎران ﻃﺮاﺣﻰ‬ ‫و ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ و آﻣﻮزﺷﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ داﺷﺘﻦ اﺳﺘﻘﻼل‬ ‫ﻧﺴﺒﻰ و اﻗﺘﺪار در زﻣﻴﻨﻪى ﻛﺎر ﺧﻮد و در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﭼﺎرﭼﻮبﻫﺎى‬ ‫ﺗﻌﻴﻴـﻦ ﺷـﺪه در ﺑـﺮﻧـﺎﻣـﻪ و رﺋﻮس ﺗﻌﻴﻴـﻦ ﺷـﺪه و ﻣـﺤـﺘـﻮاى دروس‬ ‫دورهﻫﺎى ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ و از ﺟـﻤـﻠـﻪ دورهى ﻣﺘـﻮﺳﻄﻪ‪ ،‬ﺑـﻪ ﻃـﺮاﺣﻰ‪،‬‬ ‫ﺗﺪوﻳـﻦ و ﺗـﻮﻟﻴـﺪ ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﺑـﺎ ﻃـﺮحﻫﺎى ﻣـﺘـﻔـﺎوت‬ ‫ﻣﻰﭘﺮدازﻧﺪ‪ .‬اﻟﺒﺘﻪ اﻳﻦ ﻛﺘﺎبﻫﺎ ﻗﺒﻞ از ﭼﺎپ ﺳﭙـﺎرى )ﺑﻪﺧﺼﻮص‬ ‫در ﻣﻮرد ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ( ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﻧﻮﻋﻰ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ درﺟﻪى ﺗﻤﺮﻛﺰ‬ ‫ﻧﻈﺎم آﻣـﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﻣـﺮاﺣﻞ ﮔـﺮﻓﺘﻦ ﻣﺠﻮز و ﺗـﺄﻳـﻴـﺪﻳـﻪ را از ﻛﻤﻴـﺘـﻪى‬ ‫ﺗﺨﺼﺼﻰ و دﻓﺎﺗﺮ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ در ﺳﻄﺢ ﻣﺤﻠﻰ‪ ،‬ﻣﻨﻄﻘﻪاى ﻳـﺎ وزارت‬ ‫آﻣﻮزشوﭘﺮورش ﻃﻰ ﻛﻨﻨﺪ ]ﺳﺮﻛﺎرآراﻧﻰ‪.[١٣٧٩ ،‬‬ ‫در اﻳﺮان‪ ،‬ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ ﺑﻪﺻـﻮرت ﻣﺘﻤﺮﻛﺰ و ﺗﻮﺳﻂ دﻓﺘﺮ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪرﻳـﺰى و ﺗﺄﻟﻴ; ﻛﺘﺐ درﺳﻰ ﺗﻬﻴﻪ ﻣﻰﺷـﻮﻧﺪ‪ .‬اﻣﺎ ﻛﺘﺎبﻫـﺎى‬ ‫ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷﻰ ﺗﻮﺳﻂ ﻧﺎﺷﺮاﻧﻰ ﻛﻪ ﺑﻌﻀﻰ از آنﻫﺎ واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﺑﺨﺶ‬



‫دوﻟﺘﻰ و ﺑﻌﻀﻰ ﺧﺼﻮﺻﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﭼﺎپ و اﻧﺘﺸﺎر ﻣﻰﻳﺎﺑﺪ و ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫ﺑـﺨـﺶ دوﻟـﺘـﻰ ﺑـﺮ آنﻫـﺎ ﻧـﻈـﺎرت ﻋـﺎم )ﺗـﻮﺳـﻂ وزارت ارﺷﺎد ﻧـﻪ‬ ‫آﻣﻮزشوﭘﺮورش( اﻧﺠﺎم ﻣﻰﮔﻴﺮد‪.‬‬



‫اﻧﻮاع ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ‬ ‫ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ ﺑﻪﻃﻮر ﮔﺴﺘﺮدهاى در ﻧﻈﺎم آﻣﻮزﺷﻰ‬ ‫ﻓﻌﻠﻰ اﻳـﺮان ﻣـﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰﺑﺎﺷـﺪ‪ .‬از ﻃـﺮف دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﺟﺎﻣـﻌـﻪى‬ ‫آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻛﺸﻮر ﻧﻴﺰ اﻫﺪاﻓﻰ را ﺑﺮاى آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ در ﻧﻈﺮ‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺮاى اﻃﻼع از اﻳﻦ اﻫﺪاف‪ ،‬ﻣﻰﺗﻮان ﺑﻪ ﻛﺘﺎبﻫﺎى‬ ‫ﻣﻌـﻠـﻢ )راﻫﻨﻤﺎى ﺗﺪرﻳﺲ( ﻛﻪ ﺑـﻪﻃـﻮر ﺧـﻼﺻـﻪ اﻫـﺪاف آﻣـﻮزش‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ را در ﻫﺮ ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺸﺨﺺ ﻛﺮده اﺳﺖ‪ ،‬ﻳﺎ ﺑﻪ ﺳﻨﺪﻫﺎى ﺑﺎﻻدﺳﺘﻰ‬ ‫ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸـﺎرات ﻛﻤﻚآﻣـﻮزﺷﻰ ﺗﻬﻴﻪ ﺷﺪه‪ ،‬ﻣﺮاﺟﻌﻪ ﻛـﺮد‬ ‫)ﺣﺎﺟﻴﺎنزاده‪. (١٣٧٩ ،‬‬ ‫دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬اﻧﻮاع ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ را ﺑﻪ‬ ‫ﺷﺶ دﺳﺘﻪ ﺗﻘﺴﻴﻢﺑﻨﺪى ﻛﺮده و ﺑﺮاى ﻫﺮ ﻛﺪام ﺗﻌﺮﻳﻔﻰ داده اﺳـﺖ‬ ‫ﻛﻪ در اﻳﻦﺟﺎ ﻣﻰآورﻳﻢ‪:‬‬ ‫اﻟ‪ (2‬ﻛﺘﺎبﻫﺎى داﻧﺶاﻓﺰاﻳﻰ دﺑﻴﺮان‬ ‫ﻛﺘﺎبﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ اﻓﺰاﻳﺶ و ارﺗﻘﺎى داﻧﺶ ﭘﺎﻳﻪى رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﻳﺎ ﺗـﻮﺳﻌﻪى ﺗـﻮاﻧﺎﻳﻰﻫـﺎى ﺣـﺮﻓﻪاى آنﻫـﺎ در زﻣﻴﻨـﻪى روشﻫـﺎى‬ ‫ﺗﺪرﻳﺲ‪ ،‬ﻳﺎدﮔﻴﺮى و آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻰﭘﺮدازﻧﺪ‪.‬‬ ‫از آنﺟﺎ ﻛﻪ در دورهى ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ‪ ،‬درسﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﺗﺎ ﺣـﺪود‬ ‫زﻳﺎدى ﺗﺨﺼﺼﻰ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ )ﺟﺒﺮ‪ ،‬ﻫﻨﺪﺳﻪ‪ ،‬ﻫﻨﺪﺳﻪ ﺗﺤﻠﻴﻠﻰ‪ ،‬آﻣﺎر‬ ‫و اﺣﺘﻤﺎل‪ ،‬ﺣﺴﺎﺑﺎن و رﻳﺎﺿﻴﺎت ﮔﺴﺴﺘﻪ(‪ ،‬ارﺗﻘﺎى ﺗـﻮاﻧﺎﻳﻰﻫﺎ در‬ ‫زﻣﻴﻨﻪى داﻧـﺶ ﻣـﻮﺿﻮﻋﻰ رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬از ﻧـﻴـﺎزﻫﺎى ﺿـﺮورى دﺑﻴـﺮان‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺮاى آﻣﻮزش  ﻣﻄﻠﻮبﺗﺮ اﺳﺖ‪ .‬از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﻳﻚ دﺑﻴﺮ‬ ‫ﺑﺮاى ﻣﻮﻓﻘﻴﺖ در ﺗﺪرﻳﺲ و آﻣـﻮزش‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ داﻧﺶ ﺣـﺮﻓﻪاى ﺧﻮد را‬ ‫در زﻣﻴﻨﻪﻫﺎﻳﻰ ﻣﺜـﻞ روانﺷﻨﺎﺳﻰ ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى‪ ،‬ﺑﺮﻧﺎﻣﻪرﻳﺰى درﺳﻰ‪،‬‬ ‫ﺷـﻴـﻮهﻫـﺎى ارزﺷﻴـﺎﺑـﻰ و ﻧـﻈـﺎﻳـﺮ آن اﻓـﺰاﻳﺶ دﻫـﺪ‪ .‬ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎى‬ ‫داﻧﺶاﻓﺰاﻳﻰ دﺑﻴﺮان رﻳﺎﺿﻰ دورهى ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ‪ ،‬ﺑﺮاى ﭘﺎﺳﺦﮔﻮﻳﻰ ﺑﻪ‬ ‫اﻳﻦ دو ﻧﻴﺎز دﺑﻴﺮان ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ب( ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﺟﻨﺒﻰ و ﺳﺮﮔﺮﻣﻰ‬ ‫ﻛﺘﺎبﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺷﮕﻔﺘﻰﻫﺎ و زﻳﺒﺎﻳﻰﻫﺎى رﻳﺎﺿـﻴـﺎت را‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬داﻧـﺶآﻣـﻮزان را ﺑﺎ ﺟﻨﺒﻪﻫﺎى ﻣﺘـﻔـﺎوت و‬ ‫ﻣﺨﺘﻠ; رﻳﺎﺿﻰ ـ ﻛﻪ در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ ﻓﺮﺻﺖﻫﺎى ﻛﻤﺘﺮى ﺑﺮاى‬ ‫ﺑﺮوز و ﻇﻬﻮر داﺷﺘﻪاﻧﺪ ـ آﺷﻨﺎ ﻣﻰﺳﺎزﻧﺪ و ﺗﺎرﻳﺦ ﻛﺸ;‪ ،‬ﺑﺴﻂ و‬ ‫‪٥٣‬‬



‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎرهى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﻳـﻜـﻰ از اﻫـﺪاف »ﻃـﺮح ﺳـﺎﻣـﺎنﺑـﺨـﺸـﻰ‬ ‫ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ«‪ ،‬ﺗﺸﻮﻳـﻖ ﻣـﺆﻟﻔﺎن و‬ ‫ﻧـﺎﺷـﺮان ﺑـﻪ ﺗـﻮﻟﻴـﺪ ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷـﻰ‬ ‫ﻣﻄﻠـﻮب و ﻣﻨﻄﺒﻖ ﺑـﺎ ﻣـﻌـﻴـﺎرﻫﺎﻳﻰ ﻋﻠـﻤـﻰ و‬ ‫ﺗﺮﺑﻴﺘﻰ اﺳﺖ‬



‫ﮔﺴﺘﺮش ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﮔـﻮﻧﺎﮔﻮن رﻳﺎﺿﻰ را ﺑﺎ آﻧﺎن در ﻣﻴﺎن ﻣﻰﮔـﺬارﻧﺪ‪.‬‬ ‫اﻳﻦ ﻧﻮع ﻛﺘﺎبﻫﺎ ﺑﻪﻃﻮر ﻣﻌﻤﻮل ﻣﺴﺘﻘﻞ از ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫و در ﺻﻮرت ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﺤﺘـﻮاى ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ‪ ،‬ﻣﻮﺟـﻮدﻳﺖ ﺧﻮد را‬ ‫ﺣﻔﻆ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ و ﻛﻤﺘﺮ دﺳﺖﺧﻮش ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫پ( ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﺳﻨﺠﺶ و ارزﺷﻴﺎﺑﻰ ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ‬ ‫ﻛﺘﺎبﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻪﻣﻨﻈـﻮر آﺷـﻨـﺎ ﻛـﺮدن داﻧﺶآﻣـﻮزان ﺑﺎ‬ ‫ارزﺷﻴﺎﺑﻰﻫﺎى ﭘﺎﻳﺎﻧﻰ از ﺟﻤـﻠـﻪ آزﻣﻮنﻫﺎى ورود ﺑﻪ داﻧﺸﮕﺎهﻫـﺎ و‬ ‫آﻣﺎده ﻛﺮدن آﻧﺎن ﺑﺮاى ﺷﺮﻛﺖ در ﭼﻨﻴﻦ آزﻣﻮنﻫﺎﻳﻰ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫اﻳﻦ ﻛﺘﺎبﻫﺎ در ﭼﺎرﭼﻮب ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ ﻣﺼﻮب‪ ،‬ﺑﺮاى ﻳﻚ دوره‬ ‫ﻳﺎ ﻳـﻚ واﺣﺪ درﺳﻰ‪ ،‬ﺑﻪ ﻣـﻨـﻈـﻮر ارزﺷﻴﺎﺑﻰ ﭘﻴـﺸـﺮﻓﺖ ﺗﺤﺼـﻴـﻠـﻰ‬ ‫داﻧﺶآﻣﻮزان ﻣﻨﺘﺸﺮ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ت( ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻛﻤﻚدرﺳﻰ‬ ‫ﻛﺘﺎبﻫﺎﻳـﻰ ﻛـﻪ در ﭼـﺎرﭼـﻮب ﺑﺮﻧﺎﻣـﻪى درﺳﻰ ﻣـﺼـﻮب‪ ،‬ﺑـﻪ‬ ‫ﺗﻜﻤﻴﻞ‪ ،‬ﺗﻌﻤﻴﻖ و ﺗﻮﺳﻌﻪى آﻣﻮزش ﻣﺤﺘﻮاى ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﻣﻰﭘﺮدازﻧﺪ‬ ‫و ﻛﺎﺳﺘﻰﻫﺎ و ﻛﻤﺒﻮدﻫﺎى ﻛﺘﺎب درﺳﻰ را رﻓﻊ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ و ﺑﻪ ﺗﻔﺼﻴﻞ‬ ‫ﺗﻮﺿﻴﺢ ﻣﻰدﻫﻨﺪ‪ .‬ﻫﻢﭼﻨـﻴـﻦ‪ ،‬ﻓـﺮﺻﺖﻫﺎى ﺗﺎزهاى ﺑﺮاى ﺗﻤﺮﻳـﻦ‬ ‫ﻓﺮاﻫﻢ ﻣﻰآورﻧﺪ‪ .‬ﻗﺎﻟﺐ اﺻﻠﻰ اﻳﻦ ﻧـﻮع ﻛﺘﺎبﻫﺎ را ﺑﺨﺶ آﻣﻮزش‬ ‫ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻰدﻫﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻛﺘﺎبﻫﺎ ﻛﻪ ﺑﺮاى ﻳﻚ ﻣﻮﺿﻮع و ﻳﺎ ﻳﻚ واﺣﺪ‬ ‫درﺳﻰ ﻣﻌﻴﻦ ﻣﻨﺘﺸﺮ ﻣـﻰﺷـﻮﻧﺪ‪ ،‬اﺑﺘﺪا ﺑﻪ ﺷـﺮح‪ ،‬ﺑﺴﻂ‪ ،‬ﺗـﻮﺿﻴﺢ و‬ ‫آﻣﻮزش ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ و ﻣﺤﺘـﻮاى ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﻣﻰﭘﺮدازﻧﺪ و ﺳﭙﺲ‪ ،‬ﻧﻤـﻮﻧﻪ‬ ‫ﺳﺆالﻫﺎ و ﺗﻤﺮﻳﻦﻫﺎ‪ ،،‬ﻣﺜﺎلﻫﺎى ﺣﻞ ﺷﺪه و ﻣﻄﺎﻟﺐ ﺟﻨﺒﻰ را ذﻛﺮ‬ ‫ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ‪ .‬در ﻫﺮ ﺻﻮرت‪ ،‬ﺳﺎﺧﺘﺎر ﻏﺎﻟﺐ ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻛﻤﻚ درﺳﻰ‬ ‫را ﻣﺤﺘﻮاى ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﻰد ﻫﻨﺪ‪.‬‬ ‫ث( ﻛﺘﺎبﻫﺎى داﻧﺶاﻓﺰاﻳﻰ داﻧﺶآﻣﻮزان‬ ‫ﻛﺘﺎبﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑـﻪ ﻣـﻨـﻈـﻮر اراﺋﻪى ﻣﻄﺎﻟﺐ و ﻣﻔﺎﻫـﻴـﻢ‬ ‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬



‫ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره‪٨٩‬ى‪٥٤ ٣١٣‬‬



‫رﻳﺎﺿﻰ ـ ﻛﻪ در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى ﻣﺼﻮب درﺳﻰ ﺑﻪ آنﻫﺎ ﻛﻤﺘﺮ ﭘﺮداﺧﺘﻪ ﺷﺪه‬ ‫اﺳﺖ ﻳﺎ ﺑﻪﻃﻮر ﻛﻠﻰ در ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ ﻣﺼﻮب وﺟﻮد ﻧﺪارﻧﺪ ـ ﺑﻪ‬ ‫داﻧﺶآﻣﻮزان ﻣﺴﺘﻌﺪ و ﻋﻼﻗﻪﻣﻨﺪ‪ ،‬ﺗﻬـﻴـﻪ و ﺗـﻮﻟﻴﺪ ﻣﻰﺷـﻮﻧﺪ‪ .‬اﻳﻦ‬ ‫ﻛﺘﺎبﻫﺎ ﻓﺎرغ از ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ‪ ،‬آﻣﻮزشﻫﺎى رﺳﻤﻰ‪ ،‬اﻣﺘﺤﺎﻧﺎت‬ ‫و آزﻣﻮنﻫﺎى ﭘﺎﻳﺎﻧﻰ و ﻛﻨﻜﻮر‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﺮح ﻣﻄﺎﻟﺐ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻰﭘﺮدازﻧﺪ‬ ‫و ﺧﻮاﻧﺪن آنﻫﺎ ﺑـﻪ درك ﺑﻬﺘﺮ و ﻋﻤﻴﻖﺗﺮ ﻣﻄﺎﻟـﺐ ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ‬ ‫ﻛﻤﻚ ﻣﻰﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫ج( ﻛﺘﺎبﻫﺎى داﻳﺮةاﻟﻤﻌﺎرف و ﻓﺮﻫﻨﮓ‬ ‫ﻛﺘﺎبﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺟﻨﺒﻪى ﻣﺮﺟﻊ دارﻧﺪ و در ﭼﺎرﭼﻮب ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى‬ ‫درﺳﻰ‪ ،‬ﺑـﻪ اراﺋﻪى اﻃﻼﻋﺎت و داﻧﺶﻫـﺎى ﻣـﻮرد ﻧﻴﺎز داﻧﺶآﻣـﻮزان‬ ‫ﺑﻪﺻـﻮرت ﻃﺒﻘﻪﺑﻨﺪى ﺷـﺪه ﻣـﻰﭘـﺮدازﻧﺪ‪ .‬اﻳﻦ آﺛﺎر‪ ،‬ﻣﻨـﺒـﻊ و ﻣـﺮﺟـﻊ‬ ‫داﻧﺶآﻣـﻮزان و دﺑﻴـﺮان ﺑﺮاى دﺳﺖﻳﺎﺑﻰ ﺑﻪ ﺗﻌـﺮﻳـ;ﻫـﺎ‪ ،‬اﻃـﻼﻋـﺎت‬ ‫ﻓـﺮﻫﻨـﮓ و داﻳـﺮةاﻟﻤـﻌـﺎرﻓـﻰ‪ ،‬ﻓـﺮﻣـﻮلﻫـﺎ و رواﺑﻂ‪ ،‬زﻧﺪﮔـﻰﻧـﺎﻣـﻪى‬ ‫داﻧﺸﻤﻨﺪان و ﻣﺎﻧﻨﺪ اﻳﻦﻫﺎ در ﺣﻮزهى داﻧﺶ رﻳﺎﺿﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺳﺎﻣﺎﻧﻪ ﺑﺨﺶ ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ‬ ‫وﺿﻌﻴﺖ ﻧﺸﺮ ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ ﺗﺎ ﭘﻴﺶ از ﺳﺎل ‪ ،١٣٧٨‬ﺑﻪ‬ ‫ﻟﺤﺎظ ﻋﺪم ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﺻﻮل ﻋﻠﻤﻰ و آﻣﻮزﺷﻰ در ﺗﺄﻟﻴ; و ﭼﺎپ اﻳﻦ‬



‫ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ؛‬ ‫ﻧﻮع ﻛﺘﺎبﻫﺎ و ﻫﻢﺳﻮﻳﻰ ﻧﺎﭼﻴـﺰ ﺑـﺎ ﻫـﺪفﻫـﺎى‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣـﻪ درﺳﻰ‪ ،‬ﻣﻮﺟﺐ ﺑﺮوز اﻧﺘﻘﺎداﺗﻰ از ﺳـﻮى در اﻛــﺜـــﺮ ﻧـــﻈـــﺎمﻫـــﺎى‬ ‫‪ .٥‬ﺷﻨﺎﺧﺖ ﻣﺸﻜﻼت و ﺗﺒـﻴـﻴـﻦ راﻫﺒﺮدﻫﺎﻳـﻰ‬ ‫رﺳﺎﻧﻪﻫـﺎى ﺟـﻤـﻌـﻰ‪ ،‬ﻣـﺪﻳـﺮان‪ ،‬ﻣﺘﺨـﺼـﺼـﺎن آﻣـــﻮزش و ﭘـــﺮورﺷــﺶ ﺑﺮاى اﻧﺘﺸﺎر ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ؛‬ ‫آﻣـﻮزﺷـﻰ و ﻣـﻌـﻠـﻤـﺎن ﺷـﺪ‪ .‬اﻳــﻦ ﻣــﻄــﻠــﺐ‪ ،‬ﻣـﻮﻓـﻖ‪ ،‬ﺳـﻴـﺎﺳــﺖﻫــﺎى‬ ‫‪ .٦‬ﭘـﺸـﺘـﻴـﺒــﺎﻧــﻰ و ﺗــﺸــﻮﻳــﻖ آن دﺳــﺘــﻪ از‬ ‫ﻋﻼﻗـﻪﻣـﻨـﺪان و دﻟـﺴـﻮزان آﻣﻮزشوﭘـﺮورش را آﻣــــﻮزﺷــــﻰ ﺗـــــﻮﺳـــــﻂ ﭘﺪﻳﺪآورﻧﺪﮔﺎن ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ﻛﻪ در راﺳﺘﺎى‬ ‫واداﺷﺖ ﻛﻪ از »ﺳﺎزﻣﺎن ﭘـﮋوﻫﺶ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪرﻳـﺰى ﺑﺨﺶﻫﺎى دوﻟﺘﻰ ﺗﻬﻴﻪ و ﺗﺤﻘﻖ ﻫﺪفﻫﺎى ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪﻫﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ﺑﻴﺶﺗﺮﻳﻦ‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ« ﺑﺨـﻮاﻫﻨﺪ در اﻳـﻦ زﻣﻴﻨﻪ ﭼـﺎرهاﻧﺪﻳﺸـﻰ ﺗـﻨـﻈـﻴـﻢ و ﺑـﻪ ﺟـﺎﻣـﻌـﻪى ﻧﻘﺶ را داﺷﺘﻪاﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺳـﺎزﻣﺎن ﭘـﮋوﻫﺶ ﻧﻴﺰ ﺑـﺎ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ رﺳﺎﻟـﺖ آﻣﻮزﺷﻰ اﺑﻼغ ﻣﻰﺷﻮد‬ ‫ﺑﺎ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ اﻫﺪاف‪ ،‬ﺟﺎﻳﮕﺎه ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎى‬ ‫ﻛﻤـﻚآﻣـﻮزﺷﻰ ﺷـﺎﻣـﻞ ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎى ﺳـﻨـﺠـﺶ و‬ ‫ﺧﻄﻴﺮ ﺧـﻮد در ﻫﺪاﻳﺖ و ﺳﻤﺖدﻫﻰ ﺑـﺎزار ﻧﺸﺮ‬ ‫ارزﺷﻴـﺎﺑـﻰ ﭘـﻴـﺸـﺮﻓﺖ ﺗﺤـﺼـﻴـﻠـﻰ و ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎى‬ ‫ﻛﺘـﺎبﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﺗﺼـﻤـﻴـﻢ ﮔـﺮﻓـﺖ ﻃـﺮح‬ ‫ﺳﺎﻣﺎنﺑﺨﺸﻰ ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ را ﺑﻪ اﺟﺮا در آورد‪.‬در ﻧﺘﻴﺠﻪ‪ ،‬ﻛﻤﻚدرﺳﻰ ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻰ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺖ‪.‬‬ ‫اﻳـﻦ ﺑـﺮرﺳﻰ ﻧـﺸـﺎن داد ﻛـﻪ ﻫـﺮ دوى ﻛـﺘـﺎبدرﺳـﻰ و ﻛـﺘـﺎب‬ ‫»ﻃﺮح ﺳﺎﻣﺎنﺑﺨﺸﻰ ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ« از ﺳـﺎل ‪ ١٣٧٨‬و ﺑﺎ‬ ‫ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﺟﺎﻳﮕﺎه و ﻧﻘﺶ ﺑﺎﻻﻳﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ آﻣﻮزش ﻣﺪرﺳﻪاى‬ ‫ﻫﺪف دﺳﺖﻳﺎﺑﻰ ﺑﻪ ﻣﻘﺎﺻﺪ زﻳﺮ ﺑﻪ اﺟﺮا ﮔﺬاﺷﺘﻪ ﺷﺪ‪:‬‬ ‫‪ .١‬ﻫﺪاﻳﺖ ﻧﺎﺷﺮان و ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻛﻨﻨﺪﮔﺎن ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ ﻣﻮرد در اﻳﺮان دارﻧﺪ‪.‬‬ ‫اﻳﻦ ﻛﺘﺎبﻫﺎ ﺑـﻪ وﻓﻮر در آﻣـﻮزش ﻣﺪرﺳـﻪاى وﺟﻮد دارﻧﺪ و ﺑﺎ‬ ‫ﻧﻴﺎز ﻣﻌﻠﻤﺎن و داﻧـﺶآﻣـﻮزان‪ ،‬ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﺗﻮﻟﻴﺪ و ﻧﺸﺮ ﻛﺘـﺎبﻫـﺎى‬ ‫ﻛﻤﻚآﻣـﻮزﺷﻰ و ﻛـﻤـﻚدرﺳﻰ ﻣﻨﺎﺳﺐ و ﻣﻨﻄﺒـﻖ ﺑـﺎ ﻣـﻌـﻴـﺎرﻫـﺎ و وﺟﻮد ﺑﺴﻴﺎرى از ﺗﺼﻮراﺗﻰ ﻛﻪ ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ را در ﻓﺮاﻳﻨﺪ‬ ‫آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ـ آنﮔﻮﻧﻪ ﻛﻪ ﻣـﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ﻣﻰﮔﻴﺮد ـ ﻣﺆﺛـﺮ و‬ ‫اﺳﺘﺎﻧﺪاردﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ؛‬ ‫‪ .٢‬ﺗﺸﻮﻳﻖ ﻣـﺆﻟﻔﺎن و ﻧـﺎﺷـﺮان ﺑﻪ ﺗـﻮﻟﻴﺪ ﻛﺘﺎبﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ﻣﻔﻴﺪ ﻓﺎﻳﺪه ﻧﻤﻰداﻧﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺎز ﻫﻢ ﺑﻌﻀﻰ از ﻣﻌﻠﻤـﺎن ﻣـﻌـﺘـﻘـﺪﻧـﺪ ﻛـﻪ‬ ‫ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﺗﺄﺛﻴﺮ زﻳﺎدى در ﺑﻬﺒﻮد وﺿﻌﻴﺖ آﻣﻮزش‬ ‫ﻣﻄﻠﻮب و ﻣﻨﻄﺒﻖ ﺑﺎ ﻣﻌﻴﺎرﻫﺎى ﻋﻠﻤﻰ و ﺗﺮﺑﻴﺘﻰ؛‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﻣـﺪرﺳـﻪاى دارﻧﺪ و اﻳﻦ ﺗﺼـﻮرات‪ ،‬اﻳﻦ ﺳـﺆال را ﺑﻪ ذﻫـﻦ‬ ‫‪ .٣‬ﺷﻨﺎﺳﺎﻳﻰ و ﻣﻌﺮﻓﻰ آﺛﺎر ﺑﺮﺗﺮ‪.‬‬ ‫ﻳﻜﻰ از ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫﺎى ﻣﻬﻤﻰ ﻛﻪ در راﺳﺘﺎى »ﻃﺮح ﺳﺎﻣﺎنﺑﺨﺸﻰ ﻣـﻰآورد ﻛﻪ ﺑـﺎ اﻳـﻦ اوﺻﺎف‪ ،‬ﺟﺎﻳـﮕـﺎه ﻛـﺘـﺎب درﺳﻰ در آﻣـﻮزش‬ ‫ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ« اﻧـﺠـﺎم ﮔـﺮﻓـﺘـﻪ اﺳـﺖ‪ ،‬ﺑـﺮﮔـﺰارى ﻫـﻔـﺖ ﻣﺪرﺳﻪاى ﻛﺠﺎ ﻗﺮار دارد؟ و ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ﻣﺠﻮز اﻛﺜﺮ ﻛﺘﺎبﻫﺎى‬ ‫ﺟﺸﻨـﻮارهى ﻛﺘﺎبﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ﺑﻪ ﺗـﺮﺗﻴﺐ در ﺳﺎلﻫـﺎى ‪ ١٣٧٩‬ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ از ﺳﻮى ﻣﺮاﻛﺰ ﻣﺮﺗﺒﻂ وزارت آﻣﻮزشوﭘﺮورش ﺻﺎدر‬ ‫)دورهى اﺑﺘﺪاﻳﻰ(‪) ١٣٨٠ ،‬دورهى راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ(‪) ١٣٨١ ،‬دورهى ﻣﻰﺷﻮد‪ ،‬آﻳﺎ اﻳﻦ ﺑﻪ ﻣـﻨـﺰﻟﻪى ﺧﻔﻴ; ﻛـﺮدن ﻧﻘﺶ ﻛﺘﺎب درﺳـﻰ در‬ ‫ﻣﺘـﻮﺳﻄﻪ ﻧﻈـﺮى و ﻓﻨـﻰ و ﺣـﺮﻓﻪاى(‪) ١٣٨٣ ،‬دورهﻫﺎى آﻣـﻮزش ﻓﺮاﻳﻨﺪ آﻣﻮزش ﻣﺪرﺳﻪاى ﺗﻮﺳﻂ ﺧﻮد آﻣﻮزشوﭘﺮورش ﻧﻴﺴﺖ؟‬ ‫اﺑﺘﺪاﻳﻰ و راﻫﻨﻤﺎﻳـﻰ(‪) ١٣٨٤ ،‬دورهى آﻣﻮزش ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ ﻧﻈـﺮى‪،‬‬ ‫ﭘﻴﺶداﻧﺸﮕﺎﻫﻰ‪ ،‬ﻓﻨﻰ و ﺣـﺮﻓﻪاى و ﻛﺎرداﻧﺶ(‪) ١٣٨٦ ،‬دورهى‬ ‫آﻣﻮزش اﺑﺘﺪاﻳﻰ و راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ( و ﺑﺎﻻﺧﺮه‪) ١٣٨٧ ،‬دورهى ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ‬ ‫ﻧﻈﺮى‪ ،‬ﭘﻴﺶداﻧﺸﮕﺎﻫﻰ و ﻓﻨـﻰ و ﺣـﺮﻓﻪاى و ﻛﺎرداﻧﺶ( اﺳﺖ ﻛـﻪ‬ ‫در آن‪ ،‬ﺑﻪ دﻧﺒﺎل رﺳﻴﺪن ﺑﻪ اﻫﺪاف زﻳﺮ ﺑﻮدهاﻧﺪ‪:‬‬ ‫‪ .١‬ﺗﺒﺒﻴﻦ و اﻧﺘـﻘـﺎل ﺳـﻴـﺎﺳـﺖﻫـﺎ‪ ،‬ﻫـﺪفﻫـﺎ و ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪﻫـﺎى‬ ‫ﻣﻨﺎﺑﻊ‬ ‫آﻣﻮزشوﭘﺮورش در ﺣﻮزهى اﻧﺘﺸﺎر ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ؛‬ ‫‪ .١‬ﺑﻴﺎﻧﻴﻪى ﻫـﻴـﺄت داوران ﭼﻬـﺎرﻣﻴـﻦ دوره ﺟﺸﻨـﻮارهى ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣـﻮزﺷـﻰ رﺷﺪ‪ ،‬دﻓﺘﺮ اﻧﺘـﺸـﺎرات‬ ‫ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ‪.‬‬ ‫‪ .٢‬ارزﺷﻴﺎﺑﻰ ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ ﻣﻮﺟﻮد‪ ،‬ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﺑـﺮرﺳﻰ‬ ‫‪ .٢‬ﺣﺎﺟﻴﺎنزاده ﻋﻠﻴﺮﺿﺎ )‪(١٣٨٧‬؛ اﻓﻘﻰ ﻧﻮ در ﺳﺎﻣﺎن ﻣﻠﻰ ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﺟﻮاﻧﻪ‪ ،‬ﺷﻤﺎره ‪.٢٤‬‬ ‫ﻛﻴﻔﻴﺖ‪ ،‬اﻧﺘﺨﺎب و ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﺑﺮﮔﺰﻳﺪه؛‬ ‫‪ .٣‬ﺳﻮﻣﻴﻦ ﺟﺸﻨﻮاره ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ رﺷﺪ‪ ،‬دورهى آﻣﻮزش ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ‪ ،١٣٨١ ،‬دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات‬ ‫‪ .٣‬اﻧﺘﺨﺎب ﻣـﺆﻟﻔﺎن و ﻧﺎﺷﺮان ﺑﺮﺗﺮ در ﺣـﻮزهى ﺗﺄﻟﻴ; و ﻧﺸـﺮ‬ ‫ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬دﺑﻴﺮﺧﺎﻧﻪى ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ‪.‬‬ ‫‪ .٤‬دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ )‪.(www.roshdmag.org‬‬ ‫ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ؛‬ ‫‪ .٥‬دﻓﺘﺮ ﺗﺄﻟﻴ; و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪرﻳﺰى درﺳﻰ )‪.(www.talif.net‬‬ ‫‪ .٤‬ﻓﺮاﻫﻢ آوردن اﻣﻜﺎﻧﻰ ﺑﺮاى ﺗﺒﺎدل ﻧﻈﺮ ﻣﻴﺎن ﭘﺪﻳـﺪآورﻧﺪﮔﺎن‬ ‫‪ .٦‬ﺷﺒﻜﻪى ﻣﻠﻰ ﻣﺪارس اﻳﺮان )‪.(www.roshd.ir‬‬ ‫‪٥٥‬‬



‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎرهى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﻰﻫﺎى‬ ‫ﺳﺮﮔﺮﻣ ‬



‫درآﻣﻮزش‬



‫ﭼﻜﻴﺪه‬ ‫در ﻧﻮﺷﺘﻪاى ﻛﻪ ﭘﻴﺶرو دارﻳﺪ‪ ،‬ﭼﻨﺪﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪى ﻛﻼﻣﻰ از ﺳﻪ‬ ‫ﻣﻨﺒﻊ ﺗﺎرﻳـﺨـﻰ اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﺴﺎﻳـﻞ از ﺳـﻪ وﺟﻪ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺄﻣـﻞ‬ ‫ﻫﺴﺘـﻨـﺪ‪ .١ :‬ﺑﻴﺎن ﻣـﻌـﻤـﺎﮔـﻮﻧﻪ و ﺳـﺮﮔـﺮمﻛﻨﻨﺪهى اﻳﻦ ﻣـﺴـﺎﻳـﻞ ﺑـﺮاى‬ ‫داﻧﺶآﻣﻮزان ﺟﺬاب اﺳﺖ‪ .٢ ،‬از آنﺟﺎ ﻛﻪ ﻣﺴﺎﻳﻞ از ﻧﺴﺨﻪﻫﺎى‬ ‫ﺗﺎرﻳﺨﻰ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺳﺪهﻫﺎى ‪ ٥‬و ‪ ٦‬ﻫﺠﺮى ﮔﺮدآورى ﺷﺪهاﻧﺪ ﺑﻪ اﻳﻦ‬ ‫وﺳﻴﻠﻪ ﻣﻰﺗـﻮان ﺑﻪ ﻫﻨﮕﺎم آﻣـﻮزش‪ ،‬ﻧﮕﺎﻫﻰ ﺑﻪ ﻓـﺮﻫﻨﮓ ﮔﺬﺷﺘﮕـﺎن و‬ ‫ﺗــﺎرﻳــﺦ ﻋ ـﻠــﻢ رﻳــﺎﺿــﻰ داﺷ ــﺖ‪ .٣ ،‬از ﻟ ـﺤــﺎظ آﻣ ــﻮزش رﻳــﺎﺿــﻰ‬ ‫داﻧـﺶآﻣـﻮزان ﻳﺎد ﻣـﻰﮔـﻴـﺮﻧﺪ ﻛـﻪ ﭼـﮕـﻮﻧﻪ ﻣـﺴـﺎﻳـﻞ ﻛـﻼﻣـﻰ را ﺑﻪ زﺑـﺎن‬ ‫رﻳﺎﺿـﻰ ﺑـﺮﮔﺮداﻧﻨـﺪ و روشﻫﺎى ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺣـﻞ ﻣـﺴـﺌـﻠـﻪ را ﺑﺮاى آنﻫـﺎ‬ ‫ﺑﻪﻛﺎر ﮔﻴﺮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﻛﻠﻴﺪ واژهﻫﺎ‪ :‬ﺗﺎرﻳﺦ رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺗﺎرﻳﺨﻰ رﻳﺎﺿﻰ‪.‬‬ ‫ﭘﻴﺶﮔﻔﺘﺎر‬ ‫ﺳﺮﮔﺮﻣﻰﻫﺎ و ﻣﻌﻤﺎﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ از اﺑﻌﺎد ﺟﺬاب و آﻣـﻮزﻧﺪهى‬ ‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬



‫ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره‪٨٩‬ى‪٥٦ ٣١٣‬‬



‫ﻧﺮﮔﺲ ﻋﺼﺎرزادﮔﺎن‬ ‫دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ ﻣﺪﻳﺮﻳﺖ آﻣﻮزﺷﻰ‪،‬‬ ‫ﺳﺮﮔﺮوه رﻳﺎﺿﻰ آﻣﻮزش و ﭘﺮورش ﻣﻨﻄﻘﻪ&ى‬ ‫ﺑﺮﺧﻮار اﺳﺘﺎن اﺻﻔﻬﺎن‬



‫رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ در ﺟﻠﺐ ﺗﻮﺟﻪ ﻧﻮآﻣﻮزان و ﻏﻴﺮﺣﺮﻓﻪاىﻫﺎ ﻧﻘﺶ‬ ‫زﻳﺎدى دارﻧﺪ‪ .‬ﺳﺮﮔﺮﻣﻰﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ اﻏﻠﺐ در ﻗﺎﻟﺐ ﻋﻨﺎﺻـﺮى از‬ ‫زﻧﺪﮔﻰ روزﻣﺮه ﺣﺘﻰ ﺑﻪﻃﻮر ﻏﻴـﺮواﻗﻌﻰ ﺑﻴﺎن ﻣﻰﺷـﻮﻧﺪ ﺑﻪ ﮔـﻮﻧﻪاى‬ ‫ﻛﻪ ﻏﻴﺮ رﻳﺎﺿﻴﺪاﻧﺎن ﻫﻢ ﻣﺠﺬوب آنﻫﺎ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ و ﺑﺮاى ﺣﻞ آنﻫﺎ‬ ‫ﺗﻼش ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ ﺑﺮاى ﺑﺮاﻧﮕﻴﺨﺘﻦ ﻋﻼﻗﻪى داﻧﺶآﻣـﻮزان‬ ‫ﺑﻪ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﺴﻴﺎر ﻣﻬﻢ اﺳﺖ و آنﻫﺎ را ﺑﻪ ﺳﻮى ﻗﻠﻤﺮوﻫﺎى ﺗﺎزهﺗﺮى‬ ‫ﺳﻮق ﻣﻰدﻫﺪ‪ .‬از دﻳﮕﺮ ﺳﻮ‪ ،‬ﺑـﺎ ﺑـﺮرﺳﻰ رﻳﺸﻪﻫﺎى ﺗﺎرﻳﺨﻰ اﻳـﻦ‬ ‫ﻧـﻮع ﺳﺮﮔـﺮﻣﻰﻫـﺎ‪ ،‬ﻣـﻰﺗـﻮان ﺑﻪ رواج ﺟﻬـﺎﻧـﻰ ﺑـﺮﺧﻰ از آنﻫـﺎ در‬ ‫ﻣﺤﻴﻂﻫﺎ و زﻣﺎنﻫﺎى ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن دﺳﺖ ﻳﺎﻓﺖ ﻛﻪ ﺗﺒﺎدلﻫﺎى ﻓﺮﻫﻨﮕﻰ‬ ‫را ﻧﺸﺎن ﻣﻰدﻫﺪ‪ .‬ﻫﻢﭼﻨﻴﻦ‪ ،‬ﭘﺮداﺧﺘﻦ ﺑﻪ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻗﻮﻣﻰ و اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫از ﻣﺴﺎﻳﻠﻰ ﻛﻪ رﻳـﺸـﻪ در ﻓـﺮﻫﻨﮓ و ﺗﺎرﻳـﺦ ﻣـﺎ دارﻧﺪ‪ ،‬ﻣﻰﺗـﻮاﻧﺪ ﺑﻪ‬ ‫ﻓﺮاﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن ﻛﻤﻚ ﻛﻨﺪ ﺗﺎ درك ﺑﻬﺘﺮى از ﮔﺬﺷﺘﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻣﺎ‬ ‫ﺑﻪ ﺗﺎرﻳﺦ ﻋﻼﻗﻪﻣﻨﺪﻳﻢ ﻧﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ دﻟﻴﻞ ﻛﻪ اﺣﺴﺎس ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ ﺑﻪ ﮔﺬﺷﺘﻪ‬ ‫ﺗﻌﻠﻖ دارﻳﻢ‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ ﻣﻰﺧﻮاﻫﻴﻢ درك ﺑﻬﺘﺮى از اﻛﻨﻮن داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‬ ‫و آﻳﻨـﺪه را ﭘﻴﺶﺑﻴﻨﻰ ﻛﻨﻴـﻢ‪ .‬ﺗـﺎرﻳـﺦ رﻳـﺎﺿـﻰ اﺑـﺰار ﻣﻨﺎﺳﺒـﻰ ﺑـﺮاى‬ ‫ﻣﺸﺎﻫﺪهى رﻳﺎﺿﻴﺎت اﺳﺖ‪ ،‬ﻧﻪﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪﻃﻮر ﻣﺴـﺘـﻘـﻞ و در ﻗـﺎﻟـﺐ‬ ‫داﻧﺶ ﻛﻼﺳﻴﻚ‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ ﺑﻪﻋـﻨـﻮان ﻳﻚ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﺑﺸـﺮى ﻣﺪاوم ﻛﻪ ﺑﻪ‬



‫ﻋﺮاﻗﻰ ﺑﻮده اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻐﺪادى در ﺑﻐﺪاد ﺑﻪ دﻧﻴﺎ آﻣـﺪ‪ .‬ﭘـﺪرش او را ﺑﻪ‬ ‫ﻧﻴﺸﺎﺑﻮر ﺑﺮد ﺗﺎ اداﻣﻪ ﺗﺤﺼﻴﻞ دﻫﺪ و در آنﺟﺎ ﻣﻘﻴﻢ ﺷﺪ‪ .‬ﮔﺮوﻫﻰ از‬ ‫ﻋﻠﻤﺎى ﺧﺮاﺳﺎن از ﺷﺎﮔﺮدان وى ﺑﻮدﻧﺪ زﻳﺮا او ﻫﻔﺪه ﻓﻦ ﻣﺨﺘﻠ; و‬ ‫ﺑﻪﺧﺼﻮص ﺣﺴﺎب و ﻓﻘﻪ و ﻓﺮاﻳﺾ را ﺗﺪرﻳﺲ ﻣﻰﻛﺮد‪ .‬وى ﺑﻪ ﻋﻠﺖ‬ ‫ﻓﺘﻨﻪى ﺗﺮﻛﻤﺎنﻫﺎ ﻧﻴﺸﺎﺑـﻮر را ﺗﺮك ﻛﺮد و ﺑﻪ اﺳﻔﺮاﻳﻦ رﻓﺖ و اﻧﺪﻛﻰ‬ ‫ﺑﻌﺪ در ﺳﺎل ‪ ٤٢٩‬در آنﺟﺎ درﮔﺬﺷﺖ‪ .‬ﻛﺘﺎب اﻟﺘﻜﻤﻠﻪ ﻓﻰ اﻟﺤﺴﺎب‬ ‫ﺑﺴﻴﺎر ﻣﻌﺮوف ﺑـﻮده و ﺗﺤﺼﻴﻞ آن ﺑﺮاى ﻣﺤﺼﻼن رﻳﺎﺿﻰ واﺟﺐ‬ ‫ﺑﻮده اﺳﺖ‪ .‬اﻟﺘﻜﻤﻠﻪ ﻓﻰ اﻟﺤﺴـﺎب ﺑـﻪ زﺑـﺎن ﻋـﺮﺑـﻰ اﺳـﺖ و ﻳـﻚ‬ ‫ﻧﺴﺨﻪى ﻧﻔﻴﺲ آن در ﻛﺘﺎﺑﺨﺎﻧـﻪى ﻣـﺮﻛﺰى داﻧﺸﮕﺎه ﺗﻬـﺮان ﻣﻮﺟـﻮد‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬از ﺑﻐﺪادى‪ ،‬آﺛﺎر دﻳﮕﺮى ﻧﻴﺰ ﻣـﻮﺟﻮد اﺳﺖ‪ :‬اﻻﻳﻀﺎح ﻋﻦ‬ ‫اﺻﻮل ﺻﻨﺎﻋﻪ اﻟـﻤـﺴّﺎح و ﻛﺘﺎب ﻓﻰ اﻟﻤﺴـﺎﺣـﺖ‪ .‬در اﻳـﻦ ﻧـﻮﺷﺘﻪ‬ ‫ﺗﺮﺟﻤﻪى ﺑﺮﺧﻰ ﻣﺴﺎﻳﻞ ﺑﻪ زﺑﺎن ﻓﺎرﺳﻰ آورده ﻣﻰﺷﻮد‪.‬‬



‫ﺳﺎﻳﺮ ﺣﻮزهﻫﺎ ﭘﻴﻮﻧﺪ ﺧﻮرده‪ ،‬و ﺑﺮاى ﻛﻤﻚ ﺑﻪ ﺣﻞ ﺑﺴﻴﺎرى از اﻧﻮاع‬ ‫ﻣﺴﺎﻳﻞ در زﻧﺪﮔﻰ واﻗﻌﻰ اﻧﺴﺎن اﺑﺪاع ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪﻫﺎى ﻛﻼﻣﻰ ﺑﺮاى آﻣﻮزش روش ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺴﻴﺎر ﻣﻔﻴﺪ‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬داﻧﺶآﻣﻮز در اﻳﻦ ﻣﺴﺎﻳﻞ ﻳﺎد ﻣﻰﮔﻴﺮد ﻛﻪ ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻣﻰﺗﻮان‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪاى را ﺑﻪ زﺑﺎن ﻋﺎدى داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﺎ ﻧﺸﺎﻧﻪﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫و ﺑﻪ زﺑﺎن ﺟﺒﺮى ﺗﺮﺟﻤﻪ ﻛﺮد‪ .‬در ﻣﻮاردى اﻳﻦ ﺗﺮﺟﻤﻪ روﺷﻦ اﺳﺖ‪،‬‬ ‫وﻟﻰ ﻣـﻮاردى وﺟـﻮد دارد ﻛﻪ‪ ،‬ﺑـﺮاى ﺗﺒﺪﻳـﻞ ﺷـﺮطﻫﺎى ﻣﺴـﺌـﻠـﻪ ﺑـﻪ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت ﻳﺎ دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻻت‪ ،‬ﺑﻪ ﺗﺠﺮﺑﻪاى ﺑﻴﺸـﺘـﺮ‪ ،‬ﻳـﺎ ﻧـﻴـﺮوى‬ ‫ﺧﻼﻗﺎﻧﻪاى ﺑﻴﺸﺘـﺮ و ﻳـﺎ ﺻـﺮف وﻗﺖ ﺑﻴﺸـﺘـﺮى ﻧﻴﺎز دارد‪ .‬اﻳﻦ ﻧـﻮع‬ ‫ﻣﺴﺎﻳـﻞ را ﻣﻰﺗﻮان ﺑـﺮﺣﺴﺐ ﺷـﺮاﻳﻂ ﻓﺮاﮔﻴـﺮﻧﺪﮔﺎن در ﻛﻼسﻫـﺎى‬ ‫دورهى راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﻫﻨـﮕـﺎم آﻣـﻮزش راﻫﺒﺮدﻫﺎى ﺣﻞ ﻣﺴﺌـﻠـﻪ و ﻳـﺎ‬ ‫ﻛﻼس اول دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن ﺑﻪﻛﺎر ﺑﺮد‪.‬‬ ‫در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎﻳﻰ از ﻣﺴﺎﻳﻞ ﺳـﺮﮔﺮمﻛﻨﻨﺪهى ﻣﺸﺎﺑﻪ از‬ ‫ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ﺗﺄﻟﻴ; ﻋﻠـﻰﺑـﻦ ﻳـﻮﺳ;ﺑﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﻨـﺸـﻰ‬ ‫ﺳﺪهى ﺷﺸﻢ ﻫﺠﺮى ﻗﻤﺮى‪ ،‬ﻣﻔﺘﺎحاﻟﻤﻌﺎﻣﻼت اﺑﻮﺟﻌﻔﺮ ﻣﺤﻤﺪﺑﻦ‬ ‫اﻳﻮب ﺣﺎﺳﺐ ﻃﺒـﺮى رﻳﺎﺿﻰدان ﺳﺪهى ﭘﻨﺠﻢ ﻫﺠـﺮى ﻗﻤﺮى‪ ،‬و‬ ‫اﻟﺘﻜﻤﻠﻪ ﻓﻰاﻟﺤﺴﺎب اﺑﻮﻣﻨﺼﻮر ﺑﻐﺪادى ﺳﺪهى ﭘﻨﺠﻢ ﻫﺠﺮى ﻗﻤﺮى‬ ‫ﺑﺮرﺳﻰ ﻣﻰﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻛﻮﺗﺎه ﻧﺴﺨﻪﻫﺎى ﻣﻨﺒﻊ و ﻣﺆﻟﻔﺎن آنﻫﺎ‬ ‫‪ .١‬اﻟﺘﻜﻤﻠﻪ ﻓﻰاﻟﺤﺴﺎب اﺑﻮﻣﻨﺼﻮر ﺑﻐﺪادى‬ ‫اﻟﺘﻜﻤﻠﻪ ﻓﻰ اﻟﺤـﺴـﺎب ﺗـﺄﻟـﻴـ; اﺑـﻮﻣﻨﺼﻮر ﺑـﻐـﺪادى اﺳـﺖ‪.‬‬ ‫اﺑﻮﻣﻨﺼﻮر ﺑﻐﺪادى )ﻋﺒﺪاﻟﻘﺎﻫﺮ ﺑﻐﺪادى( ﻓﻘﻴﻪ ﺷﺎﻓﻌﻰ و رﻳﺎﺿﻴﺪان‬



‫‪ .٢‬ﻣﻔﺘﺎح اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت ﺣﺎﺳﺐ ﻃﺒﺮى‬ ‫رﺳﺎﻟﻪى ﻓﺎرﺳﻰ ﻣﻔﺘﺎح اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت ﺗﺄﻟﻴ; اﺑـﻮﺟﻌﻔﺮ ﻣﺤﻤﺪﺑﻦ‬ ‫اﻳﻮب ﻃﺒﺮى ﻣﻌﺮوف ﺑﻪ ﺣﺎﺳﺐ ﻃﺒﺮى‪ ،‬رﻳﺎﺿﻰدان و اﺧﺘﺮﺷﻨﺎس‬ ‫اﻳﺮاﻧﻰ اﻫﻞ ﻃﺒـﺮﺳﺘﺎن )ﻣﺎزﻧﺪران ﻛﻨـﻮﻧﻰ( اﺳﺖ‪ .‬ﻃﺒﺮى در ﻧﻴﻤـﻪى‬ ‫دوم ﻗﺮن ﭘﻨﺠﻢ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻋﻠﻤﻰ داﺷﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﺷـﻤـﺎرﻧﺎﻣﻪ ﻋﻨـﻮان اﺛﺮ‬ ‫دﻳﮕﺮ اوﺳﺖ ﻛﻪ ﻗﺪﻳﻤﻰﺗﺮﻳﻦ ﻣﺘﻦ ﻓﺎرﺳﻰ ﻣﻮﺟﻮد درﺑﺎرهى ﺣﺴﺎب‬ ‫ﻫﻨﺪى اﺳﺖ ﻣﻔﺘﺎحاﻟﻤﻌﺎﻣﻼت ﺑﺮاى ﻏﻴﺮ رﻳﺎﺿﻴﺪانﻫﺎ ﻧﮕﺎﺷﺘﻪ ﺷﺪه‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎﻳﻰ از ﻣﺴﺎﻳﻞ ﺟﺎﻟﺐ ﺑﺎ ﻋﻨﻮان ﻧﻮادر و ﻣﻀﻤﺮات در‬ ‫ﻓﺼﻞ ﭼﻬـﺎرم ﻛﺘﺎب ﻣﻔﺘﺎح اﻟﻤﻌـﺎﻣـﻼت وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﺣـﺎوى ‪٥٤‬‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﻧـﻤـﻮﻧﻪﻫﺎﻳﻰ از اﻳﻦ ﻣﺴﺎﻳﻞ رﻳﺸﻪ در آﺛـﺎر ﺗـﺎرﻳـﺨـﻰ‬ ‫ﻛﻬﻦﺗﺮ دارد ﻛﻪ ﻧﺰد اﻗﻮام ﻣﺨﺘﻠ; ﻧﻴﺰ ﺑﻴﺎن ﻣﻰﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪ .٣‬ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب‬ ‫ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ﺗﺼﻨـﻴـ; ﻋـﻠـﻰﺑـﻦ ﻳـﻮﺳ;ﺑﻦ ﻋﻠﻰ )ﻣـﻨـﺸـﻰ‪،‬‬ ‫ﻣﺴﺘﻮﻓﻰ ﻳﺎ ﻣﺤﺎﺳﺐ( ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ ﺳﺪهى ﭘﻨﺠﻢ و ﺷﺸﻢ ﻫﺠﺮى ﻗﻤﺮى‬ ‫ات‪ .‬اﻳﻦ ﻧﺴﺨﻪى ﻣﻨﺤﺼﺮﺑﻪﻓﺮد ﻓﺎرﺳﻰ ﺷﺎﻣﻞ ‪ ٢٧٤‬ﺻﻔﺤﻪ اﺳﺖ‬ ‫و در ﻛﺘﺎﺑﺨﺎﻧﻪى ﻣﺮﻛﺰى داﻧﺸﮕﺎه ﺗﻬﺮان ﺑﻪ ﺷﻤﺎره ‪ ٥٢١٣‬ﻧﮕﻬﺪارى‬ ‫ﻣﻰﺷﻮد‪ .‬از آنﺟﺎ ﻛﻪ ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ﺷﺎﻣﻞ ﻫﻤﻪى ﻣـﻮﺿﻮﻋﺎﺗﻰ ﻛﻪ‬ ‫در ﺣﻮزهى ﺣﺴﺎب و ﻫﻨـﺪﺳـﻪى آن زﻣﺎن وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﻣﻰﺷـﻮد‪،‬‬ ‫ﺑﻪواﻗﻊ داﻳـﺮةاﻟﻤﻌـﺎرف ﺑﻰﻧﻈﻴـﺮى از ﺣﺴﺎب و ﻫﻨﺪﺳـﻪ اﺳـﺖ‪ .‬از‬ ‫ﻧﻮﻳﺴﻨﺪهى ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب اﻃﻼﻋﻰ در دﺳﺖ ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬آﻗـﺎى ادﻳـﺐ‬ ‫ﺑﺮوﻣﻨﺪ در ﻛﺘﺎب ﺧـﺮدﻧﺎﻣﻪ ﺗﺄﻟﻴ; و ﻧﮕـﺎرش اﺑﻮاﻟﻔﻀﻞ ﻳـﻮﺳ;ﺑﻦ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻣﺴـﺘـﻮﻓﻰ )از اواﺋﻞ ﺳﺪه ﺷﺸﻢ ﻫـﺠـﺮى( از اﺣﻮال و ﻫﻮﻳـﺖ‬ ‫ﻧﻮﻳﺴﻨﺪه ﻛﻪ ﺑﻪ اﺣﺘﻤـﺎﻟـﻰ اﻫـﻞ ﺧـﺮاﺳﺎن اﺳﺖ اﻇﻬﺎر ﺑﻰاﻃـﻼﻋـﻰ‬ ‫‪٥٧‬‬



‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎرهى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫ﻛﺮدهاﻧﺪ و در زﻳـﺮﻧﻮﻳﺲ ﻛﺘﺎب ﻋـﻨـﻮان ﻛﺮدهاﻧﺪ ﻛﻪ ﻣﺤﺘﻤـﻞ اﺳـﺖ‬ ‫ﺻﺎﺣﺐ ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ﻓﺮزﻧﺪ ﻧﻮﻳﺴﻨﺪه ﺧﺮدﻧﺎﻣﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﻨﺸﻰ در ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب از ﺑﻐﺪادى ﺑﻪﻋـﻨـﻮان اﺳﺘﺎد ﻣﻌﻈﻢ ﻧـﺎم‬ ‫ﺑﺮده اﺳﺖ‪ .‬اﺣﺘﻤـﺎل ﻣـﻰرود ﻛﻪ وى در ﻧﻴﺸﺎﺑﻮر ﺷـﺎﮔـﺮد ﺑﻐﺪادى‬ ‫ﺑﻮده اﺳﺖ‪ .‬در ﺑﺴﻴﺎرى از ﻣﻮارد ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺎ ﻧﮕﺎرش اﺻﻠﻰ ﻗﺎﺑﻞ درك‬ ‫اﺳﺖ‪ ،‬از اﻳﻦرو ﺑﺮاى ﺣﻔﻆ ﺷﻴـﻮهى ﺑﻴﺎن اﺻﻠﻰ‪ ،‬ﻓﻘﻂ در ﺑﺮﺧـﻰ‬ ‫ﻣﻮارد ﺑﻪ زﺑﺎن ﻓﺎرﺳﻰ ﺟﺪﻳﺪ ﺑﺮﮔﺮداﻧﺪه ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺳﺮﮔﺮﻣﻰﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﻣـﻮﺟﻮد در ﺳﻪ ﻧﺴﺨﻪى اﻟﺘﻜﻤـﻠـﻪ‬ ‫ﻓﻰاﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬ﻣﻔﺘﺎحاﻟﻤﻌﺎﻣﻼت و ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب‬



‫(‬



‫‪» .٢‬اﮔﺮ ﭘـﺮﺳﻨﺪ ﻣـﺎ را از درﺧﺘﻰ ﻛﻪ ﺑﺎﻻى او ﺳـﻪ ﻳـﻚ در آب‬ ‫اﺳﺖ‪ ،‬و ﭼﻬﺎر ﻳﻚ او در ﮔﻞ‪ ،‬ﺑﺮ ﻫـﻮا ﺷﺪه اﺳﺖ ده ﮔﺰ‪ .‬ﺟﻤﻠـﻪ‬ ‫ﭼﻨﺪ ﮔﺰ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺎﻻى درﺧﺖ؟« )ﻧﮕﺮ‪ :‬ﻣﻔﺘﺎحاﻟﻤﻌﺎﻣﻼت ﺣﺎﺳـﺐ‬ ‫ﻃﺒﺮى‪ ،‬ﻣﺴﺌﻠﻪى ‪(١٨‬‬ ‫ﻛﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪+ +10 = x ⇒ x = 24‬‬ ‫‪3 4‬‬



‫‪ .٣‬ﻫﻤﻴﻦ ﻣﺴﺌﻠـﻪ در ﺑـﺎب ‪ ٣٨‬ﻛﺘﺎب آﻣﺪه ﻛﻪ در آن ﻳﻚﺳـﻮم‬ ‫درﺧﺖ در آب‪ ،‬ﻳﻚﭼﻬﺎرم در ﮔﻞ‪ ،‬ﻳﻚﭘﻨﺠﻢ در رﻳﮓ‪ ،‬و ‪ ١٠‬ﮔﺰ‬ ‫در ﻫﻮاﺳﺖ‪ .‬ﻫﻤﻴﻦ دادهﻫﺎ در ﻣﺴﺌﻠﻪى ‪ ٣١‬ﺑﺎ ﺳﺎﺧﺘﺎرى ﻣﺘﻔـﺎوت‬ ‫ﻇﺎﻫـﺮ ﻣـﻰﺷـﻮد ﻛﻪ در آنﺟـﺎ از ارﺗﻔـﺎع درﺧﺘـﻰ ﻳـﻚدوم در آب‪،‬‬ ‫ﻳﻚﺳﻮم در ﮔﻞ و ﺟﺬرش در ﻫﻮاﺳﺖ‪ ،‬ﻛﻪ ﺣﻞ آن ﺑﻪﺻﻮرت زﻳﺮ‬ ‫اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪+ + x ⇒ x = 36‬‬ ‫‪2 3‬‬



‫=‪x‬‬



‫‪» .٤‬اﮔﺮ ﺑﭙـﺮﺳﻨﺪ ﻣـﺎ را از ﻣﺎﻫﻴﻰ ﻛـﻪ ﺳـﺮش ﺳﻪﻳـﻚ اوﺳﺖ و‬ ‫دﻧﺒﺶ ﭘﻨﺞﻳﻚ او‪ ،‬ﻣﻴﺎﻧﺶ ﺑﻰﺳﺮ و دﻧﺐ ده ﻣﻦ‪ .‬ﺟﻤﻠﻪ ﭼﻨﺪ ﻣـﻦ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ؟« )ﻧﮕﺮ‪ :‬ﻣﻔﺘﺎحاﻟﻤﻌﺎﻣﻼت ﺣﺎﺳﺐ ﻃﺒﺮى‪ ،‬ﻣﺴﺌﻠﻪى ‪(٣٧‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪150‬‬ ‫⇒ ‪+ +10 = x‬‬ ‫= ‪x = 10⇒ x‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3 5‬‬



‫‪ .٥‬ﺣﻮﺿﻰ ‪ ٣‬ﻣﺠﺮا دارد‪ ،‬ﻳﻜﻰ از آنﻫﺎ ﺣﻮض را در ﺳﻪ روز‪،‬‬ ‫و دﻳﮕﺮى در ﭼﻬﺎر روز‪ ،‬و ﺳﻮﻣﻰ در ﭘﻨﺞ روز ﭘﺮ ﻣﻰﻛﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﺳﻪ‬ ‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬



‫ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره‪٨٩‬ى‪٥٨ ٣١٣‬‬



‫‪1 1 1‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪60‬‬ ‫=) ‪+ +‬‬ ‫=‬ ‫‪3 4 5‬‬ ‫‪20+15 +12 47‬‬



‫( ÷‪1‬‬



‫‪ .٦‬ﺣﻮﺿﻰ ‪ ٣‬ﻣﺠﺮا دارد‪ ،‬ﻳﻜﻰ از آنﻫﺎ ﺣﻮض را در ﻳﻚ روز‪،‬‬ ‫دوﻣﻰ در دو روز‪ ،‬و ﺳﻮﻣﻰ در ﺳﻪ روز ﭘﺮ ﻣﻰﻛﻨﺪ‪ ،‬ﻫﺮ ﺳﻪ را ﺑﺎز‬ ‫ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬ﺣـﻮض ﭘﺲ از ﭼﻪ ﻣﺪﺗﻰ ﭘﺮ ﻣﻰﺷـﻮد؟ )ﻧﮕﺮ‪ :‬اﻟﺘﻜﻤﻠـﻪ‬ ‫ﻓﻰ اﻟﺤﺴﺎب ﺑﺎب ‪ ،١١‬ص ‪(٢٨٩‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=) ‪+‬‬ ‫‪2 3 11‬‬



‫‪ .١‬درﺧﺘﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺛﻠﺚ آن در ﺧﺎك‪ ،‬رﺑﻌﺶ در آب‪ ،‬و ‪ ٣‬ذرع‬ ‫آن ﺑﻴﺮون اﺳﺖ‪ ،‬ﻃﻮﻟﺶ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟ )ﻧﮕﺮ‪ :‬اﻟﺘﻜﻤﻠﻪ ﻓﻰاﻟﺤﺴﺎب‪:‬‬ ‫ﺑﺎب ‪ ١١‬ﻓﻰ ﻧﻮادر اﻟﺤﺴﺎب ﻣﻦ ﻓﻨﻮن ﻣﺨﺘﻠﻔﻪ‪ ،‬ص ‪(٢٨٩‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪36‬‬ ‫⇒ ‪+ )x + 3 = x‬‬ ‫=‪x= 3⇒x‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬



‫ﻣﺠﺮا را در ﻳﻚ ﺳﺎﻋﺖِ واﺣﺪ ﺑﺎز ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﭼﻪ ﻣﺪﺗﻰ ﻃﻮل ﻣﻰﻛﺸﺪ‬ ‫ﺗﺎ ﺣﻮض ﭘﺮ ﺷﻮد؟ )ﻧﮕﺮ‪ :‬اﻟﺘﻜﻤﻠﻪ ﻓﻰاﻟﺤﺴﺎب ﺑﺎب ‪ ١١‬ﻓﻰ ﻧﻮادر‬ ‫اﻟﺤﺴﺎب ﻣﻦ ﻓﻨﻮن ﻣﺨﺘﻠﻔﻪ ص ‪(٢٨٩‬‬



‫‪1÷ (1+‬‬



‫ﺟﻮرج ﭘﻮﻟﻴﺎ ﻧﻴﺰ ﻣﺴﺌﻠﻪاى از ﻫﻤﻴﻦ ﻧﻮع ﻋﻨﻮان ﻛﺮده اﺳﺖ‪ :‬ﻳﻚ‬ ‫ﻟﻮﻟﻪى آب‪ ،‬ﺣﻮض را در ‪ ١٥‬دﻗﻴﻘﻪ‪ ،‬ﻟـﻮﻟﻪى دوم در ‪ ٢٠‬دﻗﻴﻘـﻪ و‬ ‫ﻟﻮﻟﻪى ﺳﻮم در ‪ ٣٠‬دﻗﻴﻘﻪ ﭘﺮ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﻫﺮ ﺳﻪ ﻟﻮﻟﻪ ﺑﺎز ﺑﺎﺷﻨﺪ‪،‬‬ ‫در ﭼﻪ ﻣﺪت ﺣﻮض ﭘﺮ ﻣﻰﺷـﻮد؟ )ﻧﮕﺮ‪ :‬ﺧﻼﻗﻴﺖ رﻳﺎﺿـﻰ‪ ،‬ص‬ ‫‪(٧٠‬‬ ‫ﮔﻨﺠﺎﻳﺶ ﺣﻮض را ‪ a‬ﻟﻴﺘﺮ ﻣﻰﮔﻴﺮﻳﻢ‪ .‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺟﺮﻳﺎن آب‪ ،‬از ﻟﻮﻟﻪى اول‪ ،‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ‪ a‬ﻟﻴﺘﺮ در دﻗﻴﻘﻪ‪ .‬ﭼﻮن‬ ‫‪15‬‬



‫ﮔﻨﺠﺎﻳﺶ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ﺳﺮﻋﺖ ﺿﺮب در زﻣﺎن ﭘﺲ‪ ،‬ﻣﻘﺪار آﺑﻰ ﻛﻪ‬ ‫در ‪ t‬دﻗﻴﻘﻪ‪ ،‬از ﻟﻮﻟﻪ ﺟﺎرى ﻣﻰﺷﻮد‪ ،‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ‪ a t‬ﻟﻴﺘﺮ‪ .‬اﮔﺮ‬ ‫‪15‬‬



‫ﺑﺎ ﺑﺎز ﺑﻮدن ﻫﺮ ﺳﻪ ﻟﻮﻟﻪ‪ ،‬ﺣﻮض در ‪ t‬دﻗﻴﻘﻪ ﭘﺮ ﺷﻮد‪ ،‬ﻣﻘﺪار آب وارد‬ ‫ﺑﻪ ﺣﻮض را‪ ،‬ﺑﻪ دو ﻃﺮﻳﻖ ﻣﻰﺗﻮان ﺑﻴﺎن ﻛﺮد‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪t+ t+‬‬ ‫‪t=a‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪30‬‬



‫ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﺑـﺮاﺑﺮى‪ ،‬ﻣﻘﺪار آﺑـﻰ را ﻛﻪ از ﻫﺮ ﻟﻮﻟﻪ وارد ﺣـﻮض‬ ‫ﻣـﻰﺷـﻮد‪ ،‬ﺑﻴﺎن ﻣـﻰﻛـﻨـﺪ؛ و ﺳـﻤـﺖ راﺳﺖ‪ ،‬ﻣـﺠـﻤـﻮع آﺑـﻰ ﻛـﻪ‬ ‫ﺑﻪوﺳﻴﻠﻪى ﺳﻪ ﻟﻮﻟﻪ وارد ﺣﻮض ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ دو ﻃـﺮف ﺑﺮاﺑﺮى‬ ‫را ﺑﺮ ‪ a‬ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﻰرﺳﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪+ +‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪15 20 30‬‬



‫ﻛﻪ از روى آن ﻣﻰﺗﻮان ﻣﺠﻬﻮل ‪ t‬را ﺑﻪدﺳﺖ آورد‪.‬‬ ‫‪» .٧‬ﭼﻮن ﺣﻮﺿﻰ ﻫﺴﺖ و او را ﭼﻬﺎر ﻣﺠﺮا آب ﻫﺴﺖ از ﻳﻚ‬ ‫ﻣﺠﺮا ﺣﻮض ﭘﺮ ﻣﻰﺷﻮد ﺑﻪ ﻳﻚ روز ﺷﺒﺎن و ﺑﻪ دﻳﮕﺮ ﺑﻪ ﻧﺼ; روز‬ ‫ﺷﺒﺎن و ﺑﻪ دﻳﮕﺮ ﺑﻪ رﺑﻊ و ﺑﻪ دﻳﮕﺮ ﺑﻪ ﺛﻠﺚ‪ ،‬اﻳﻦ زﻣﺎن اﮔﺮ ﻫﺮ ﭼﻬﺎر‬ ‫ﻣﺠﺮا ﺑﮕﺸﺎﻳﻨﺪ ﺑﻪ ﭼﻨﺪ ﺳﺎﻋﺖ ﭘﺮ ﻣﻰﺷﻮد؟« )ﻧﮕﺮ‪ :‬ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب‪،‬‬ ‫ص ‪(٥٧‬‬



‫‪1+ 2 + 3 + 4 = 10‬‬



‫ﭘﺎﻧﺰده روز ﭘﺮ ﺷﻮد‪) «.‬ﻧﮕﺮ‪ :‬ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬ص ‪(٢٦٢‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪10 24‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ) ‪1÷ (2 + 5 +‬‬ ‫‪2 15‬‬



‫‪x =2/ 4=2‬‬



‫‪2 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪= ⇒x‬‬ ‫‪15 1‬‬ ‫‪15‬‬



‫ﺟﺎﻟﺐ اﺳﺖ ﺑﺪاﻧـﻴـﺪ ﻣـﺆﻟ; ﻟﺐاﻟﺤﺴـﺎب‪ ،‬ﻧـﻤـﻮدارى ﺷﺒﻴـﻪ‬ ‫ﻧﻤﻮدار زﻳﺮ در اﻧﺘﻬﺎى ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ رﺳﻢ ﻛﺮده اﺳﺖ‪.‬‬



‫‪» .١٠‬دﻳﮕﺮ اﮔﺮ ﺳـﺆال ﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ ﻳﻜﻰ در رﺑـﻊ روزى و ﻳﻜﻰ‬ ‫در ﺳُـﺪس )ﻳـﻚﺷـﺸـﻢ( روزى ﭘـﺮ ﻣـﻰﻛـﻨـﺪ و ﻳـﻜـﻰ در ﺳُـﺒـﻊ‬ ‫)ﻳﻚﻫﻔﺘﻢ( روزى و اﻳﻦ ﺣﻮض ﻳﻚ ﻣﺠﺮى دارد ﻛﻪ اﮔﺮ ﺣﻮض‬ ‫ﭘﺮ ﺑﺎﺷﺪ در ُﺗﺴﻊ )ﻳﻚﻧﻬﻢ( روزى ﺧﺎﻟﻰ ﻣﻰﺷﻮد ﻫﺮ ‪ ٣‬ﭼﺸﻤﻪ را‬ ‫ﮔﺸﻮدﻧﺪ ﺑﻪ ﭼﻨﺪ ﭘﺮ ﻣﻰﺷﻮد ﺑﺎ ﻣﺠﺮى ﺣﻮض ﻛﻪ ﺧﺎﻟﻰ ﻣﻰﺷﻮد؟‬ ‫از ﺳﺆال ﻣﻌﻠﻮم ﻣﻰﺷﻮد ﻛﻪ ﻫﺮ ‪ ٣‬ﭼﺸﻤﻪ در ﻳﻚ روز ﻫﻔﺪهﺑﺎر ﭘﺮ‬ ‫ﻣﻰﻛﻨﻨـﺪ و ﻣـﺠـﺮى ‪٩‬ﺑﺎر ﺗﻬﻰ ﻣﻰﻛﻨـﺪ ﭘـﺲ ﻓـﺼـﻞ‪ ١‬ﭘﺮﺷﺪن ﺑـﺮ‬ ‫ﺗﻬﻰﺷﺪن در ﻳـﻚ روز ﺑـﻪ ﻫـﺸـﺖ ﻧـﻮﺑـﺖ ﺑـﺎﺷـﺪ ﭘـﺲ در ﺛُـﻤـﻦ‬ ‫)ﻳـﻚﻫــﺸــﺘــﻢ( روزى ﭘـﺮ ﻣــﻰﺷــﻮد‪ ،‬واﻟـﺴــﻼم‪) «.‬ﻧــﮕــﺮ‪:‬‬ ‫ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬ص ‪(٢٦٢‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬



‫آن ﻛﻪ ﺑﻪ ﻳ‬ ‫ﻚ روز ﺷﺒﺎن‬ ‫ﭘ‬ ‫ﺮ‬ ‫ﻣ‬ ‫ﻰ‬ ‫‬ ‫ﻛﻨ‬ ‫ﺪ‬ ‫؛ ‪٠٫١‬‬ ‫آن ﻛﻪ ﺑﻪ ﻧﺼ; روز ﺷﺒﺎن ﭘﺮ ﻣﻰﻛﻨﺪ؛ ‪٠٫٢‬‬



‫آن ﻛﻪ‬



‫ﺑﻪ ﺛﻠﺚ روز‬



‫ﺷﺒﺎن ﭘﺮ ﻣ‬ ‫ﻰﻛﻨﺪ‪٠٫٣ :‬‬



‫آن ﻛﻪ ﺑﻪ رﺑﻊ روز ﺷﺒﺎن ﭘﺮ ﻣﻰﻛﻨﺪ؛ ‪٠٫٤‬‬



‫‪1 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 8 = 1 ⇒ x = 8‬و ‪4+ 6+ 7 −9 = 8‬‬



‫ﻣﺴﺌﻠﻪى ﻣﺸﺎﺑﻬﻰ ﺑﺎ ﻋـﻨـﻮان ﺷﺴﺘﻦ ﻇﺮفﻫﺎ در ﻛﺘﺎبﻗﺪﻳﻤـﻰ‬ ‫ﭼﻴﻨﻰ )ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻰ ‪ ٢٠٠ ،Sun Chi‬ﺳﺎل ﭘﻴﺶ از ﻣﻴﻼد( وﺟﻮد‬ ‫دارد‪ :‬ﭘﻴﺮزﻧﻰ در ﺣﺎل ﺷﺴﺖوﺷـﻮى ‪ ٦٥‬ﻇﺮف ﻏﺬا اﺳﺖ‪ ،‬از او‬ ‫ﻣﻰﭘﺮﺳﻨﺪ ﭼﻨﺪ ﻧﻔﺮ ﻣﻬﻤﺎن داﺷﺘﻪاى ﻣﻰﮔﻮﻳـﺪ‪ :‬ﻫـﺮ ‪ ٢‬ﻧﻔﺮ در ﻳﻚ‬ ‫ﻇﺮف ﺳﺒﺰى‪ ،‬ﻫﺮ ‪ ٣‬ﻧﻔﺮ در ﻳﻚ ﻇﺮف ﻣﺎﻫﻰ‪ ،‬و ﻫﺮ ‪ ٤‬ﻧﻔﺮ در ﻳﻚ‬ ‫ﻇﺮف ﻣﺮغ ﺷﺮﻳﻚ ﺑﻮدهاﻧﺪ‪ .‬ﺗﻌﺪاد ﻣﻬﻤﺎنﻫﺎ را ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪65 ÷ ( + + ) = 60‬‬ ‫‪2 3 4‬‬



‫‪» .٨‬ﺣﻮﺿﻰ ‪ ٣‬ﭼﺸﻤﻪ آب ﺑﻪ اﻳﻦ ﺣﻮض ﻣﻰرود‪ ،‬ﻳﻚ ﭼﺸﻤﻪ‬ ‫در ﻳﻚ روز ﭘﺮ ﻣﻰﻛﻨﺪ و ﻳﻜﻰ در دو روز و ﻳﻜﻰ در ﺳﻪ روز‪ .‬اﻳﻦ‬ ‫‪ ٣‬ﭼﺸﻤـﻪ را ﺑﻪ ﻳﻚﺑﺎر در آن ﺣـﻮض ﮔﺸﻮدﻧﺪ در ﭼﻨﺪ ﺳﺎﻋـﺖ ﭘـﺮ‬ ‫ﻛﻨﺪ‪ .‬از ﺳـﺆال ﻣﻌﻠﻮم ﻣﻰﺷـﻮد ﻛﻪ در ‪ ٦‬روز ﻳﺎزدهﺑﺎر ﭘﺮ ﻣﻰﺷـﻮد‬ ‫ﭘﺲ ﻧﺴﺒﺖ ‪ ٦‬ﺑﺎ ﻳﺎزده ﻫﻢﭼﻨﺎن ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﻧﺴﺒﺖ ﻣﻄﻠﻮب ﺑﺎ ﻳﻜﻰ ﭘﺲ‬ ‫ﺑﻪ ﺷﺶ ﺟﺰو از ﻳـﺎزده روز ﭘﺮ ﺷﻮد‪ «.‬اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ در اﻟﺘﻜﻤﻠـﻪ ﻧـﻴـﺰ‬ ‫ﻋﻨﻮان ﺷﺪه اﺳﺖ‪) .‬ﻧﮕﺮ‪ :‬ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬ص ‪(٢٦٢‬‬ ‫‪6 x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‪= ⇒x‬‬ ‫‪11 1‬‬ ‫‪11‬‬



‫‪» .٩‬در اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ اﮔﺮ ﺳﺆال ﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ ﻳﻜﻰ در ﻧﺼ; روزى ﭘﺮ‬ ‫ﻣﻰﻛﻨﺪ و ﻳﻜﻰ در ﺧﻤﺴﻰ و ﻳﻜﻰ در دو روز‪ ،‬از ﺳﺆال اﻳﻀﺎً ﻣﻌﻠﻮم‬ ‫ﻣﻰﺷﻮد ﻛﻪ ﻫﺮ ‪ ٣‬اﻳﻦ را در دو روز ﭘﺎﻧﺰدهﺑﺎر ﭘﺮ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ ﭘﺲ ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫دو ﺑﺎ ﭘﺎﻧـﺰده ﭼﻮن ﻧﺴﺒﺖ ﻣﻄـﻠـﻮب ﺑﻮد ﺑﺎ ﻳﻜﻰ ﭘﺲ در دو ﺟـﺰو از‬



‫‪ .١١‬دو ﻧﻔـﺮ ‪ ٨‬ﻗﺮص ﻧﺎن دارﻧﺪ‪ ،‬ﻳـﻜـﻰ ‪ ٣‬ﻗﺮص و دﻳﮕـﺮى ‪٥‬‬ ‫ﻓﺮص‪ :‬ﻣﻬﻤﺎﻧﻰ ﺑﺮاى آنﻫﺎ ﻣﻰرﺳﺪ‪ ،‬آنﻫﺎ ﻧﺎنﻫﺎ را ﺑﻴﻦ ‪ ٣‬ﻧﻔﺮﺷﺎن‬ ‫ﺑﻪ ﺗﺴﺎوى ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬ﻣﻬﻤﺎن ﺑﻪازاى ﻧﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺧﻮرده ‪ ٨‬دﻳﻨﺎر‬ ‫ﻣﻰﭘﺮدازد‪ ،‬ﺑﻪ ﻧﻔﺮ اول و دوم ﻫﺮﻛﺪام ﭼﻨﺪ دﻳﻨﺎر ﻣﻰرﺳﺪ؟ دارﻧﺪهى‬ ‫‪ ٣‬ﻧﺎن ‪ ١‬دﻳﻨﺎر و ﺻـﺎﺣـﺐ ‪ ٥‬ﻧـﺎن ‪ ٧‬دﻳﻨﺎر‪ ،‬ﭼـﺮا ﻛﻪ اﮔﺮ ﻫـﺮ ﻛـﺪام‬ ‫ﻧﺎنﻫﺎ را ﺑﻪ ‪ ٣‬ﻗﺴﻤﺖ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬ﻣﻰﺷﻮد ‪ ٢٤‬ﻗﺴﻤﺖ ﻧﺎن ﻛﻪ ﺑﻴﻦ‬ ‫‪ ٣‬ﻧﻔﺮ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﻰﺷـﻮد و ﻫﺮ ﻛـﺪام ‪ ٨‬ﻗﺴﻤﺖ ﻣﻰﮔﻴـﺮد‪ .‬اﻣﺎ ﻧﻔﺮ او‬ ‫‪ ١٥‬ﻗﺴﻤﺖ داﺷﺘﻪ و ‪ ٧‬ﻗﺴﻤﺖ داده‪ ،‬و ﻧﻔﺮ دوم ‪ ٩‬ﻗﺴﻤﺖ داﺷﺘﻪ و‬ ‫‪ ١‬ﻗﺴﻤﺖ داده ﭘﺲ ﺑﻪ ﻧﻔﺮ اول ‪ ٧‬دﻳﻨﺎر و ﺑﻪ ﻧﻔﺮ دوم ‪ ١‬دﻳﻨﺎر ﻣﻰرﺳﺪ‪.‬‬ ‫)ﻧﮕﺮ‪ :‬اﻟﺘﻜﻤﻠﻪ ﻓﻰاﻟﺤﺴﺎب ﺑﺎب ‪ ١١‬ﻓﻰ ﻧﻮادر اﻟﺤﺴﺎب ﻣﻦ ﻓﻨﻮن‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻔﻪ‪ ،‬ص ‪(٢٩٠‬‬ ‫‪8 7‬‬ ‫=‬ ‫‪3 3‬‬



‫‪5−‬‬



‫‪8 1‬‬ ‫=‬ ‫‪3 3‬‬



‫‪3−‬‬



‫ﻣﺸﺎﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ در ﻣﻔﺘﺎحاﻟﻤﻌﺎﻣﻼت ﻋﻨﻮان ﺷﺪه اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪ .١٢‬ﺳﻪ ﻧﻔﺮ ﻣﻘـﺪارى ﻧﺎن ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﻪ ﺗﺴﺎوى ﺧﻮردﻧﺪ‪ .‬ﻳﻜـﻰ از‬ ‫آﻧﺎن ‪ ٣‬ﻗﺮص ﻧﺎن و دﻳﮕـﺮى ‪ ٢‬ﻗﺮص ﻧﺎن آورده ﺑﻮد‪ .‬ﻧﻔﺮ ﺳﻮم ﻧﺎﻧﻰ‬ ‫ﻧﻴﺎورده ﺑﻮد ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ‪ ٥‬درم داد ﺗﺎ آنﻫﺎ ﺑﻴﻦ ﺧـﻮد ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻨﺪ اﻳﻦ ‪٥‬‬ ‫درم ﭼﮕﻮﻧﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻴﻦ دو ﻧﻔﺮ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺷﻮد؟ )ﻧﮕﺮ‪ :‬ﻣﻔﺘﺎحاﻟﻤﻌﺎﻣﻼت‪،‬‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪى ‪(٥٤‬‬ ‫‪٥٩‬‬



‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎرهى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬



‫= ‪3 + 2 = 5, 5 ÷ 3‬‬



‫‪5 4‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫= ‪= , 2−‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪3 3‬‬



‫‪3−‬‬



‫‪» .١٣‬ﺣﻴﻮاﻧﻰ ﻫﺮ روز از ﺳﻮراخ ﺧﻤﺴﻰ از ﺑﺪن ﺑﻴﺮون ﻣﻰآورد‬ ‫و ﺳُﺪﺳﻰ )ﻳﻚﺷﺸﻢ( ﺑﺎزﭘﺲ ﻣـﻰرود ﺑﻪ ﭼﻨﺪ روز از اﻳﻦ ﺳﻮراخ‬ ‫ﺑﻴﺮون آﻳﺪ؟« )ﻧﮕﺮ‪ :‬ﻟﺐ اﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬ص ‪(٢٦٣‬‬ ‫‪1 1 1 24 1‬‬ ‫= ‪−‬‬ ‫‪, + =1‬‬ ‫‪5 6 30 30 5‬‬



‫‪» .١٤‬دو ﺑﺮﻳﺪ‪ ٢‬ﻳﻜﻰ از ﻳـﺰد ﺗﺎ ﻛـﺮﻣﺎن و ﻳﻜﻰ از ﻛـﺮﻣﺎن ﺗﺎ ﻳﺰد‬ ‫دواﻧﻴﺪﻧﺪ ﺑﻪ ﺷﺮط آنﻛﻪ ﻳﻜﻰ ﻫﺮ روز ﺛﻠﺚ راه ﻗﻄﻊ ﻛﻨﺪ و آﺧﺮ رﺑﻊ‬ ‫راه ﺑﻪ ﭼﻨﺪ ﺑﻪ ﻫﻢ رﺳﻨﺪ؟« )ﻧﮕﺮ‪ :‬ﻟﺐ اﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬ص ‪(٢٦٣‬‬ ‫‪1 1 7‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪3 4 12‬‬ ‫‪7 1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‪= ⇒x‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪12 x‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬



‫‪» .١٥‬ﺑﺮﻳـﺪى را ﻓﺮﺳﺘﺎدﻧﺪ ﺑﻪ ﺟﺎﻳـﻰ ﺑـﺮ وﺟﻬﻰ ﻛﻪ ﻫـﺮ روز ‪٣‬‬ ‫ﻓﺮﺳﻨﮓ ﺑـﺮود‪ ،‬ﺑﻴﺴـﺖ روز رﻓﺖ‪ ،‬ﺑﺮﻳﺪى دﻳـﮕـﺮ را در ﻋﻘـﺐ وى‬ ‫ﻓﺮﺳﺘﺎدﻧﺪ ﺑﺮ وﺟﻬﻰ ﻛﻪ ﻫﺮ روز ﻫﻔﺖ ﻓﺮﺳﻨﮓ ﺑـﺮود ﺑﻪ ﭼﻨﺪ روز ﺑﻪ‬ ‫وى رﺳﺪ؟« )ﻧﮕﺮ‪ :‬ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬ص ‪(٢٦٣‬‬ ‫‪60+ 3n = 7n‬‬ ‫‪n = 15‬‬



‫ﺟﺪول زﻳﺮ را ﻣﺆﻟ; در ﭘﺎﻳﺎن ﺣﻞ ﻣﺴﺄﻟﻪ اراﺋﻪ داده اﺳﺖ‪.‬‬



‫دﻧﺒﺎﻟﻪى ‪ 3, 3, 3,...‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻰآﻳﺪ‪ ،‬ﻳﻌﻨﻰ اﮔﺮ ﺑﺮ رﺑﻊ ﻟﺸـﻜـﺮ‬ ‫ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ ﺑﻪ ﻫﺮ ﻳﻜﻰ ‪ ١٢‬درﻫﻢ ﻣﻰرﺳﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺒﻴﻨﻴـﻢ دو‬ ‫دﻧﺒﺎﻟـﻪى ‪ 1,2, 3,4,...‬و ‪ 12,12,12,...‬ﭼﻪ وﻗﺖ ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺴـﺎوى‬ ‫ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫)‪n(n +1‬‬ ‫= ‪12n‬‬ ‫‪⇒ n = 23‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﺸﻜﺮ ﻏﻨﻴﻤﺖ رﺑﻊ ﻟﺸﻜﺮ‬ ‫‪٩٢‬‬



‫‪٢٧٦‬‬



‫‪٢٣‬‬



‫‪» .١٧‬اﮔﺮ ﺳﺆال ﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ ﻣﺮﺑـﻊ را ﭼﻬﺎر ﺿﻠﻊ او ﺑﺎ ﻣﺴﺎﺣـﺖ‬ ‫‪ ١٤٠‬اﺳﺖ ﻳﻚ ﺿﻠﻊ ﭼﻨﺪ ﺑﻮد؟« )ﻧﮕﺮ‪ :‬ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬ص ‪(٢٦٥‬‬ ‫‪x2 + 4x = 140⇒ x = 10‬‬



‫»و اﮔﺮ ﺳﺆال ﻛﻨﺪ ﻛﻪ از ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺮﺑﻊ ﭼﻮن ﭼﻬﺎر ﺿﻠﻊ وى از‬ ‫وى اﺳﻘﺎط ﻣﻰﻛﻨﻰ‪ ٣‬ﺑﺎﻗﻰ ‪ ٦٠‬ﻣﻰﺑﻮد ﺿﻠﻊ ﭼﻨﺪ ﺑﻮد؟«‬ ‫‪x2 − 4x = 60⇒ x = 10‬‬



‫»اﮔﺮ ﮔﻮﻳﻨﺪ اﻳﻦ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺜﻞ ﻣﺴﺎﺣﺖ اﺳﺖ ﺿﻠﻌﺶ ﭼﻨﺪ ﺑﻮد؟«‬ ‫‪x2 = 4x‬‬



‫»اﮔﺮ ﮔﻮﻳﻨﺪ اﺿﻼع ﻣﺮﺑﻊ دو ﻣﺜﻞ ﻳﺎ ‪ ٣‬ﻣﺜﻞ ﻣﺴﺎﺣﺖ اﺳﺖ ﻋﺪد‬ ‫اﺿﻼع را ﺑﺮ ﻋﺪد اﻣﺜﺎل ﻗﺴﻤﺖ ﺑﺎﻳﺪ ﻛﺮد آﻧﭽﻪ ﺧﺎرج ﺷﻮد ﻗﺪر ﺿﻠﻊ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪«.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬



‫اوﻟﻰ‬



‫دوﻣﻰ‬



‫روز‬



‫‪١٥+٢٠=٣٥‬‬



‫‪١٥‬‬



‫ﻓﺮﺳﺦ‬



‫‪٧×١٥=١٠٥ ٣×٣٥=١٠٥‬‬



‫‪4x = 2x‬‬



‫‪4x = 3x‬‬



‫»اﮔﺮ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ‪ ٤٨‬ﺑﺎﺷﺪ و ﺗﻔﺎﺿﻞ ﻣﻴﺎن ﻃﻮل و ﻋﺮض‬ ‫‪ ،٢‬ﻃﻮل ﭼﻨﺪ ﺑﻮد؟«‬ ‫‪ab = 48‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a − b = 2‬‬



‫?=‪a‬‬



‫»اﮔﺮ ﻗﻄﺮ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻋﺸﺮه ﺑﻮد و ﻣﺴﺎﺣﺖ ‪ ٤٨‬ﻃﻮﻟﺶ ﭼﻨﺪ ﺑﻮد؟«‬ ‫‪ .١٦‬ﻟﺸﻜﺮى ﻏﻨﻴﻤﺘﻰ ﮔﺮﻓﺘﻨﺪ اﮔﺮ اﻳﻦ ﻏﻨﻴﻤﺖ را ﺑﻴﻦ ﻳﻚ ﭼﻬﺎرم‬ ‫ﻟﺸﻜﺮ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻨﺪ ﺑﻪ اوﻟﻰ ‪ ،١‬دوﻣﻰ ‪ ،٢‬ﺳﻮﻣﻰ ‪ ٣‬درﻫﻢ و ﺑﻪ ﺑﻘﻴﻪ‬ ‫ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺗـﺮﺗﻴﺐ ﺗﻌﻠﻖ ﻣﻰﮔـﻴـﺮد‪ ،‬ﺣﺎل اﮔﺮ اﻳﻦ ﻏﻨﻴﻤـﺖ را ﺑﻴﻦ‬ ‫ﻫﻤﻪ )ﻛﻞ ﻟﺸﻜﺮ( ﺑﻪﻃﻮر ﻣﺴﺎوى ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻨﺪ ﺑﻪ ﻫﺮ ﻳﻜـﻰ ‪ ٣‬درﻫﻢ‬ ‫ﻣﻰرﺳﺪ‪ ،‬اﺻﻞ ﻏﻨﻴﻤﺖ ﭼﻘﺪر ﺑﻮده اﺳﺖ؟ )ﻧﮕﺮ‪ :‬ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب‪،‬‬ ‫ص ‪(٢٦٣‬‬ ‫ﻃﺒﻖ دادهﻫﺎى ﻣﺴﺄﻟﻪ اﮔﺮ ﻏﻨﻴـﻤـﺖ را ﺑﺮ رﺑﻊ ﻟﺸﻜﺮ ﺗﻘﺴـﻴـﻢ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ دﻧﺒﺎﻟـﻪى ‪ 1,2, 3,4,...‬و اﮔﺮ ﺑﺮ ﻫﻤﻪى ﻟﺸﻜﺮ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴـﻢ‬ ‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬



‫ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره‪٨٩‬ى‪٦٠ ٣١٣‬‬



‫‪ab = 48‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ a + b2 = 10‬‬



‫»اﮔﺮ ﻗﻄﺮ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻋﺸﺮه ﺑـﻮد و ﺗﻔﺎﺿﻞ ﻣﻴﺎن ﻃﻮل و ﻋﺮض ‪٢‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺖ ﭼﻨﺪ ﺑﻮد؟«‬ ‫‪ a 2 + b2 = 10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a − b = 2‬‬ ‫?=‪S‬‬



‫‪» .١٨‬ﻳﻜﻰ آﻣﺪ و ﻃﺒﻘﻰ ﻓﻨﺪق آورد و ده داﻧﻪ از آن ﺑﻪ ﺳﻪ ﻛﺲ‬ ‫داد ﻛﻪ ﻫﺮ ﻳﻜﻰ ﭼﻨﺪى ﺑﺮﮔﻴﺮﻧﺪ‪ ،‬و ﺻﺪ داﻧﻪ دﻳﮕﺮ در ﻃﺒﻘﻰ ﻛﺮد‪ ،‬ﺑﻪ‬ ‫اول ﻣﻰﮔﻮﻳﺪ آﻧﭽﻪ ﺗﻮ دارى دو ﭼﻨﺪان از اﻳﻦ ﻃﺒﻖ ﺑﺮﮔﻴﺮ و ﺑﻪ ﺛﺎﻧﻰ‬ ‫ﻣﻰﮔﻮﻳﺪ ‪ ٩‬ﭼﻨﺪان ﻛﻪ دارى از اﻳﻦ ﻃﺒﻖ ﺑﺮﮔﻴﺮ و ﺑﻪ ﺛﺎﻟﺚ ﻣﻰﮔﻮﻳﺪ‬ ‫ده ﭼﻨـﺪان ﺑـﺮﮔﻴﺮ‪ ،‬ﺑﺎﻗﻰ ﻛﻪ ﺑﻤﺎﻧﺪ ﺑﺮ ﻫـﺸـﺖ ﻗـﺴـﻤـﺖ ﻛـﻦ آﻧـﭽـﻪ‬ ‫ﺻﺤﻴﺢﺑﻴﺮون آﻳﺪ از آن اول ﺑﻮد‪ ،‬و ﺑﺎﻗﻰ ﻛﻪ ﻗﺴﻤﺖﭘﺬﻳﺮ ﻧﺒﻮد از آن‬ ‫اﻟﺴﻼم«)ﻧﮕﺮ‪ :‬ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬ص‬ ‫آن ﺛﺎﻟﺚ‪ ،‬و ّ‬ ‫وﺑﺎﻗﻰ ﻋﺸﺮه از ِ‬ ‫ِ‬ ‫ﺛﺎﻧﻰ‬ ‫‪(٢٦٦‬‬ ‫‪x + y + z = 10‬‬ ‫‪100− (2x + 9y +10z) y‬‬ ‫‪]−‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬



‫اوﻟﻰ‪x :‬‬



‫اوﻟﻰ‪٢x :‬‬



‫دوﻣﻰ‪y :‬‬



‫دوﻣﻰ‪٩y :‬‬



‫ﺳﻮﻣﻰ‪z :‬‬



‫ﺳﻮﻣﻰ‪١٠z :‬‬



‫ﻃﺒﻖ اول‬



‫ﻃﺒﻖ دوم‬



‫[= ‪x‬‬



‫ﺑﺮاى ﻫﺮ دو ‪ ١٢٠‬ﻓﺮﺳﺦ اﺳﺖ‪:‬‬



‫ﻣﺴﺎﻓﺖ‬



‫اول‬ ‫‪٢٠‬‬



‫ﺛﺎﻧﻰ‬ ‫‪١٥‬‬



‫‪١٢٠‬‬



‫‪١٢٠‬‬



‫‪ ٢» .٢٠‬رﺳﻮل را ﻓﺮﺳﺘﺎدﻧﺪ از دو ﺑﻠﺪ ﻣﺨﺘﻠ; در ﻳـﻚ روز و‬ ‫ﺷﺮط ﻛﺮدﻧﺪ ﻳﻜﻰ را ﻛﻪ ﻫﺮ روز َﺛﻤﻦ )ﻳﻚ ﻫﺸﺘﻢ( ﻃﺮﻳﻖ ﻗﻄﻊ ﻛﻨﺪ و‬ ‫ﺸﺮ )ﻳﻚ دﻫﻢ( ﻃﺮﻳﻖ ﺧـﻮاﺳﺘﻴﻢ ﻛﻪ ﻣﺪت اﻟﺤﺎق ﺑﺪاﻧـﻴـﻢ و‬ ‫ﺛﺎﻧﻰ ﻋَ َ‬ ‫َﺑﻌﺪ ﺑﻴﻦ اﻟﺒﻠﺪﻳـﻦ و ﺳـﻴـﺮ ﻫـﺮ ﻳـﻜـﻰ ﺗـﺎ ﻣـﺪت اﻟـﺤـﺎق‪) «.‬ﻧـﮕـﺮ‪:‬‬ ‫ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬ص ‪(٢٧٠‬‬ ‫ﻣﺆﻟ; راهﺣﻞ زﻳﺮ را ﺑﻴﺎن داﺷﺘﻪ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫زﻣﺎن رﺳﻴﺪن دو ﻓﺮد ﺑﻪ ﻫﻢ ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از‪:‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ) ‪1÷ ( +‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪8 10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬



‫ﻣﺴﺎﻓﺖﻫﺎى ﻃﻰ ﺷﺪه ﺗـﻮﺳﻂ ﻧﻔﺮ اول و دوم ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از‬ ‫‪ ٢٠٠‬و ‪.١٦٠‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x1 = ( 40)(40) = 200, x2 = ( 40)(40) = 160‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬



‫‪x1 + x2 = 360‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪360 = 45‬‬ ‫‪8‬‬



‫‪» .١٩‬رﺳﻮﻟﻰ را ﻓﺮﺳﺘﺎدﻧﺪ و ﺷﺮط ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ ﻫﺮ روز ‪ ٦‬ﻓﺮﺳـﺦ‬ ‫ﺑﺮود و رﺳـﻮﻟﻰ دﻳﮕـﺮ را ﻓﺮﺳﺘﺎدﻧﺪ ﺑـﻌـﺪ از وى در ﭘﻨﺞ ﻳـﻮم و ﺷﺮط‬ ‫ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ در روز اول ﻳﻚ ﻓﺮﺳﺦ ﺑﻮد و در روز دوم دو ﻓﺮﺳﺦ و در‬ ‫روز ﺳﻮم ‪ ٣‬ﻓﺮﺳﺦ و ﻋﻠﻰ ﻫﺬا ﺑﺮ ﻧﻈﻢ ﻃﺒﻴﻌﻰ ﺗﺎ اﻳﻦ زﻣﺎن ﻛﻪ ﺑﻪ وى‬ ‫رﺳﺪ ﺧﻮاﺳﺘﻴﻢ ﻛﻪ ﻣﺪت اﻟﺤﺎق ﺑﺪاﻧﻴﻢ؟« )ﻧﮕﺮ‪ :‬ﻟﺐاﻟـﺤـﺴـﺎب‪،‬‬ ‫ص ‪(٢٧٠‬‬ ‫ﺑﺮاى ﻧﻔـﺮ اول دﻧﺒـﺎﻟـﻪى … و ‪ ٦‬و ‪ ٦‬و ‪ ٦‬و ‪ ٦‬و ﺑﺮاى ﻧﻔـﺮ دوم‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪى … و ‪ ٥‬و ‪ ٤‬و ‪ ٣‬و ‪ ٢‬و ‪ ١‬را در ﻧﻈﺮ ﻣﻰﮔﻴﺮﻳﻢ‪ ،‬از آنﺟﺎ ﻛﻪ‬ ‫ﻧﻔﺮ دوم ‪ ٥‬روز دﻳﺮﺗﺮ از ﻧﻔﺮ اول آﻏﺎز ﻛﺮده اﺳﺖ ﭘﺲ دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫)‪n(n +1‬‬ ‫)‪= 6n + 5(6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n 2 + n = 12n + 60‬‬ ‫‪n 2 −11n − 60 = 0‬‬ ‫‪(n −15)(n + 4) = 0‬‬



‫‪n = 15, n = −4‬‬



‫ﭘﺲ ﺑﻌﺪ از ‪ ١٥‬روز ﺑﻪ ﻫﻢ ﻣﻰرﺳﻨﺪ‪ ،‬و ﻣﺴﺎﻓﺘﻰ ﻛﻪ ﭘﻴﻤﻮدهاﻧﺪ‬



‫‪1‬‬ ‫‪360 = 36‬‬ ‫‪10‬‬



‫ﻧﻔﺮ اول ﻫﺮ روز ‪ ٤٥‬و ﻧﻔﺮ دوم ﻫﺮ روز ‪ ٣٦‬ﻓﺮﺳﺦ ﻃﻰ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ‬ ‫ﺗﺎ ﺑﻪ ﻫﻢ ﺑﺮﺳﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪» .٢١‬دو ﻛﺲ ﻫﺮ ﻳﻜﻰ ﻣﺎﻟﻰ دارﻧﺪ اوﻟﻰ ﺑﻪ ﺛﺎﻧﻰ ﻣﻰﮔﻮﻳﺪ اﮔﺮ‬ ‫ﺗﻮ ‪ ٢‬ﺧﻤﺲ آﻧﭽﻪ دارى ﺑﻪ ﻣﻦ دﻫﻰ ﺑﻬﺎ ﺟﺎﻣﻪ ﺑـﻮد و ﺛﺎﻧﻰ ﻣﻰﮔﻮﻳﺪ‬ ‫اﮔﺮ ﺗﻮ ‪ ٣‬ﺳﺒﻊ آﻧﭽـﻪ دارى ﺑﻪ ﻣﻦ دﻫﻰ ﺑﻬﺎ ﺟﺎﻣـﻪ ﺑـﻮد؛ ﻓـﺮا ﮔﺮﻓﺘﻴـﻢ‬ ‫ﻣﺨﺮج ﺧﻤﺲ ‪ ٥‬و ﻣﺨﺮج ﺳﺒﻊ ﻫﻔﺖ ﭘﺲ اﺳﻘﺎط ﻛـﺮدﻳﻢ از ﻣﺨﺮج‬ ‫ﺧﻤﺲ ‪ ٢‬ﺑﺎﻗﻰ ﻣﺎﻧﺪ ‪ ٣‬ﺿﺮب ﻛﺮدﻳﻢ در ﻣﺨﺮج ﺳﺒﻊ ﺷﺪ ‪ ٢١‬اﻳﻦ از‬ ‫آن ﺻﺎﺣﺐ ﺳﺒﻊ ﺑﻮد و ﻧﻘﺼﺎن ﻛﺮدﻳﻢ از ﻣﺨﺮج ﺳﺒﻊ ‪ ٣‬ﺑﺎﻗﻰ ﻣﺎﻧﺪ ‪٤‬‬ ‫ﺿﺮب ﻛﺮدﻳﻢ در ﻣﺨﺮج ﺧﻤﺲ ﺷـﺪ ‪ ٢٠‬اﻳﻦ از آن ﺻﺎﺣﺐ ﺧﻤﺲ‬ ‫ﺑﻮد‪) «.‬ﻧﮕﺮ‪ :‬ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬ص ‪(٢٧٢‬‬ ‫‪x + 2 y = z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪⇒ x = 21, y = 20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ x+7 = z‬‬ ‫‪ 7‬‬



‫‪٦١‬‬



‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎرهى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



‫)‪x2 + y2 + 2xy − x2 − xy −10y y(x + y −10‬‬ ‫=‬ ‫‪=y‬‬ ‫‪x + y −10‬‬ ‫)‪(x + y −10‬‬



‫=‬



‫‪x = 13 − y‬‬



‫اﺳﺘﺨﺮاج اﻋﺪاد ﻣﻀﻤـﺮ‪ :‬اﺳﺘﺨﺮاج اﻋﺪاد ﻣﻀﻤﺮ ﻳﻌﻨﻰ ﻳﺎﻓـﺘـﻦ‬ ‫ﻋﺪدى ﻛﻪ ﻛﺴﻰ در ذﻫﻦ ﺧﻮد اﻧﺘﺨﺎب ﻛﺮده اﺳﺖ از ﻃﺮﻳﻖ ﮔﺮﻓﺘﻦ‬ ‫اﻃﻼﻋﺎت ﺟﺎﻧﺒﻰ از او‪ .‬در ﻫﺮ ﺳﻪ ﻛﺘﺎب ﻣـﻨـﺒـﻊ اﻳـﻦ ﻣـﻘـﺎﻟـﻪ‪ ،‬در‬ ‫ﺑﺨﺶﻫﺎﻳﻰ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﭘﺮداﺧﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬در ﻟﻐﺖ ﻣُﻀﻤﺮ ﺑﻪ‬ ‫ﻣﻌﻨﻰ آنﭼﻪ ﭘﻮﺷﻴﺪه و ﭘﻨﻬﺎن اﺳﺖ و در ﺿﻤﻴﺮ ﻧﮕﻪ داﺷﺘﻪ و در دل‬ ‫ﭘﻨﻬﺎن ﺷﺪه ﻣﻰﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪» .٢٢‬ﻳﻜـﻰ ‪ ٦‬و ‪ ٧‬در دل ﮔـﺮﻓﺖ از ﻣﺠـﻤـﻮع ﻫـﺮ دو ﻛـﻪ ‪١٣‬‬ ‫اﺳﺖ ﺧﺒﺮ ﺑﺎﻳﺪ داد و آن ‪ ١٣‬ﻣﺮﺑﻊ ﻛﻨﺪ ﺑﺎﺷﺪ ‪ ١٦٩‬ﺑﻌﺪ از آن ﻳﻜﻰ از‬ ‫ﻣﺜﻼ ﻫﻔﺖ را در ﻣﺠﻤﻮع ﻛﻪ ‪ ١٣‬اﺳﺖ ﺿﺮب ﻛﻨﺪ ﻧﻮد و ﻳﻚ‬ ‫آن ﻋﺪد ً‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻌﺪ از آن ﻋﺪد دﻳﮕﺮ را ﻛﻪ ‪ ٦‬اﺳﺖ در ﻋﺪدى ﻛﻪ ﻛﻤﺘﺮ از ‪١٣‬‬ ‫ﺑﻮد ﺿﺮب ﻛﻨﺪ ﻣﺜـﻼً ﻋﺸﺮه ‪ ٦٠‬ﺑﺎﺷﺪ اﻳﻦ دو ﻣﺒﻠﻎ ﺟﻤﻊ ﻛﻨﺪ ﺑﺎﺷـﺪ‬ ‫‪ ١٥١‬اﻳﻦ از ﻣﺮﺑﻊ ‪ ١٣‬ﺑﺮود‪ .‬ﺑﺎﻗﻰ ﻣﺎﻧﺪه ﻫﺠﺪه ﻗﺴﻤﺖ ﻛﻨﺪ ﺑﺮ ﻓﺼﻞ‬ ‫ﻣﻴﺎن ‪ ١٣‬و ﻋﺸﺮه و آن ‪ ٣‬اﺳﺖ ﺧﺎرج آﻳﺪ ‪ ٦‬از ‪ ١٣‬ﺑﺮود ﺑﺎﻗﻰ ﻣﺎﻧﺪ‬ ‫‪) «.٧‬ﻧﮕﺮ‪ :‬ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬ص ‪(٢٦٤‬‬ ‫? = ‪x + y = 13, x = ?, y‬‬



‫]‪(x + y)2 − [x(x + y) +10y‬‬ ‫‪x + y −10‬‬ ‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬



‫ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره‪٨٩‬ى‪٦٢ ٣١٣‬‬



‫‪ .٢٣‬اﺳﺘﺨﺮاج ﻧﺎمﻫـﺎ‪» :‬از ﻣﻀﻤﺮ ﺳـﺆال‬ ‫ﻛـﺮدﻳﻢ ﻛﻪ اﻳـﻦ ﻧـﺎم ﭼـﻨـﺪ ﺣـﺮف اﺳـﺖ‪ .‬او را‬ ‫ﺑﮕﻮﻳـﺪ ﺗـﺎ ﺣـﺮف اول را ﺗـﺮك ﻛﻨﺪ و ﺑـﺎﻗـﻰ ﺑـﻪ‬ ‫ﺣﺴﺎب ﺟﻤﻞ ﺑﺮﮔﻴﺮد‪ ،‬و ﺑﮕﻮﻳﺪ ﻛﻪ ﭼﻨﺪ اﺳﺖ‬ ‫ﺑﻌﺪ از آن ﺣﺮف دوم را ﺗﺮك ﻛﻨﺪ و ﺑﺎﻗﻰ ﺑﺮﮔﻴﺮد‬ ‫و ﺑﮕﻮﻳﺪ ﻛﻪ ﭼﻨﺪ اﺳﺖ و ﻋﻠﻰ ﻫﺬا ﺗﻌﺪاد اﻳـﻦ‬ ‫ﺟﻤﻊ ﻛﻨﺪ و ﺑﺮ ﻋﺪد ﺣﺮوف ّاﻟﺎ واﺣﺪى ﻗﺴﻤﺖ‬ ‫ﻛﻨﺪ آﻧﭽـﻪ ﺧـﺎرج ﺷـﻮد ﻋﺪد ﺣـﺮوف ﺑﺎﺷﺪ ﺑـﻪ‬ ‫ﺣﺴﺎب ﺟَﻤﻞ ﭼـﻮن ﺟﻤﻠﻪ اول از اﻳﻦ اﺳﻘـﺎط‬ ‫ﻛﻨﺪ ﺑﺎﻗـﻰ ﺣـﺮف اول ﺑﻮد و ﻋﻠﻰ ﻫﺬا ﻣـﺜـﻼً او‬ ‫ﮔﻔﺖ اﻳﻦ ﻧﺎم ‪ ٣‬ﺣﺮف اﺳﺖ ﮔﻔﺘﻴﻢ ﻛـﻪ اول از‬ ‫اﻳﻦ ﻃـﺮح ﻛﻦ و ﺑﺎﻗﻰ ﺑـﺮﻫﻢ ﮔﻴﺮ ﮔﻔـﺖ ﭼـﻬـﻞ‬ ‫اﺳﺖ دﻳﮕﺮ ﮔﻔﺘﻴﻢ ﺛﺎﻧﻰ ﻃﺮح ﻛﻦ ﮔﻔﺖ ﻫﺸﺘﺎد‬ ‫اﺳﺖ دﻳﮕﺮ ﮔﻔﺘﻴﻢ ﺛﺎﻟﺚ ﻃـﺮح ﻛﻦ ﮔﻔﺖ ﺻـﺪ‬ ‫اﺳﺖ ﺑﺮ ﻫﻢ اﻓﺰودﻳﻢ ﺷﺪ ‪ ٢٢٠‬ﺑﺮ دو ﻗﺴﻤـﺖ‬ ‫ﻛﺮدﻳﻢ ﺧـﺎرج آﻣﺪ ﺻﺪ و ده اﻳﻦ ﻋـﺪد ﺣـﺮوف‬ ‫اﺳﺖ ﺟﻤـﻠـﻪ اول از وى ﺑﺮﻓﺘﻴﻢ ﺑﻤﺎﻧﺪ ﻫـﻔـﺘـﺎر‬ ‫ﺟﻤﻠﻪ ﺛﺎﻧﻰ از وى ﺑﺮﻓﺘﻴﻢ ﺑﻤﺎﻧﺪ ‪ ٣٠‬ﺟﻤﻠﻪ ﺛﺎﻟﺚ از وى ﺑﺮﻓﺘﻴﻢ ﺑﻤﺎﻧﺪ‬ ‫ده ﭘـﺲ ﻣـﻌــﻠــﻮم ﺷـﺪ ﻛـﻪ اﻳـﻦ اﺳـﻢ ﻋـﻠــﻰ اﺳــﺖ‪) «.‬ﻧــﮕــﺮ‪:‬‬ ‫ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬ص ‪(٢٦٤‬‬ ‫ﺑﺮاى ﻣﺜﺎل ﺑﻪ ﻛﺴﻰ ﻛﻪ اﺳـﻢ ﻋـﻠـﻰ را ﻧـﺰد ﺧﻮد در ﻧﻈﺮ ﮔـﺮﻓﺘـﻪ‬ ‫ﻣﻰﮔﻮﻳﻴﻢ ﺣﺮف اول آن را ﺣﺬف ﻛﻨﺪ و ﺟﻤﻊ ﺑﻘﻴﻪ را ﺑﺎزﮔﻮ ﻛﻨﺪ‪،‬‬ ‫ﻣﻰداﻧﻴﺪ ﻛﻪ در ﺣﺴﺎب ﺟﻤﻞ ع ﻣﻌﺎدل ‪ ،٧٠‬ل ﻣﻌﺎدل ‪ ،٣٠‬و ى‬ ‫ﻣﻌﺎدل ‪ ١٠‬اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ اﮔﺮ ﺑﺨﻮاﻫﻴﻢ ﻛﻪ ﺑﺎر اول ع‪ ،‬ﺑﺎر دوم ل‪ ،‬و‬ ‫ﺑﺎر ﺳﻮم ى را ﺣﺬف ﻛﻨﺪ و ﺟﻤﻊ ﺑﻘﻴﻪ را ﺑﮕﻮﻳﺪ دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪y + z = 40‬‬



‫‪x + z = 80‬‬ ‫‪x + y = 100‬‬



‫ﺣﺎل اﮔﺮ ﻣﻌﺎدﻻت ﻓﻮق را ﺑﺎ ﻫﻢ ﺟﻤﻊ ﻛﻨﻴﻢ دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪2(x + y + z) = 220‬‬



‫‪x + y + z = 110‬‬



‫ﺗﺎ اﻳﻨﺠﺎ ﺟﻤﻊ ﺣﺮوف ﻣﻌﻠﻮم ﻣﻰﺷﻮد‪ ،‬اﻳﻨﻚ ﻣﻌﺎدﻟﻪى‬



‫‪ y + z = 40‬را در آﺧﺮﻳﻦ راﺑﻄﻪ ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﻛﺮده ﻛﻪ ﺑﺮاى ‪ x‬ﻋﺪد ‪٧٠‬‬ ‫ﻛﻪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ع اﺳﺖ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻰآﻳﺪ‪ ،‬و ﺑﻘﻴﻪ ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺗـﺮﺗﻴﺐ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻰﺷﻮد‪ .‬ﭘﺲ ﻧﺎم ﭘﻨﻬﺎن ﺷﺪه ﻋﻠﻰ ﺑﻮده اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪» .٢٤‬اﺳﺘﺨـﺮاج ﺧﺎﺗـﻢ ﻫـﺮﮔﻪ ﻛﻪ ﺷﺨﺼـﻰ ﺧـﺎﺗـﻤـﻰ از زر در‬ ‫دﺳﺘﻰ ﻧﻬﺪ و ﺧﺎﺗﻤﻰ از ﻧﻘـﺮه در دﺳﺘﻰ دﻳﮕﺮ ﻛﻪ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﺪاﻧﻨﺪ‬ ‫ﻛﻪ ﺧﺎﺗﻢ زر در ﻛﺪام دﺳﺖ اﺳﺖ و ﻧﻘﺮه در ﻛﺪام ﻃﺮﻳﻖ آن ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ‬ ‫در آن دﺳﺖ ﻛﻪ ﺧﺎﺗﻢ زر اﺳﺖ ﻋﺪدى زوج ﺑﺮﮔﻴﺮد و آن ﻧﻘﺮه ﻋﺪدى‬ ‫ﻓﺮد آن ﻋﺪد ﻛﻪ در دﺳﺖ راﺳﺖ اﺳﺖ ﺿﺮب ﻛﻨﺪ در ﻋﺪد زوج‪ ،‬و‬ ‫آﻧﭽﻪ در دﺳﺖ ﭼﭗ اﺳﺖ ﺿﺮب ﻛﻨﺪ در ﻋﺪد ﻓﺮد‪ ،‬و ﻫﺮ دو ﻣﺒﻠﻎ‬ ‫ﺑﺮﻫﻢ ﮔﻴـﺮد اﮔﺮ ﺑﻌﺪ از ﺗﻨﺼﻴـ; ﻛـﺴـﺮى ﺑﺎﺷﺪ ﺧﺎﺗـﻢ زر در دﺳـﺖ‬ ‫راﺳﺖ ﺑـﻮد و اﮔﺮ ﻛـﺴـﺮى ﻧﺒﺎﺷـﺪ در دﺳـﺖ ﭼـﭗ ﺑـﻮد‪) «.‬ﻧـﮕـﺮ‪:‬‬ ‫ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬ص ‪(٢٦٥‬‬ ‫ﻣﺸﺎﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ در ﻣﻔﺘﺎحاﻟﻤﻌﺎﻣﻼت و اﻟﺘﻜﻤـﻠـﻪ ﻧـﻴـﺰ آﻣـﺪه‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﻓﺮض ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ ﺧﺎﺗﻢ زر در دﺳﺖ راﺳﺖ و ﻧﻘﺮه در دﺳﺖ‬ ‫ﭼﭗ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﭘﺲ در دﺳﺖ راﺳﺖ ﻋﺪد ‪ 2k1‬در ﻧﻈﺮ ﻣﻰﮔﻴﺮﻳﻢ و در‬ ‫دﺳﺖ ﭼﭗ ‪ ، 2k 3 +1‬آن ﮔﺎه ﻃﺒﻖ راهﺣﻞ ﻣﺆﻟ; دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫)‪2k1.2k 2 + (2k 3 +1)(2k 4 +1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4k1k 2 + 4k 3 k 4 + 2k 3 + 2k 4 +1 2k 5 +1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬



‫=‬



‫ﭼﻮن ﻋﺪد ﻛﺴـﺮى )ﻧﺎﺻﺤﻴﺢ( ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪ ﭘﺲ ﺧﺎﺗـﻢ زر در‬ ‫دﺳﺖ راﺳﺖ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﺎل اﮔﺮ ﺧﺎﺗﻢ زر در دﺳﺖ ﭼﭗ و ﻧﻘﺮه در دﺳﺖ راﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪2k1(2k 2 +1)(2k 3 +1).2k 4 2k 5‬‬ ‫=‬ ‫‪= k5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬



‫ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪ ﭘﺲ ﺧﺎﺗﻢ زر در دﺳﺖ ﭼﭗ اﺳﺖ‬ ‫و ﻧﻘﺮه در دﺳﺖ راﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪» .٢٥‬دو ﻛﺲ ﻣﻰﮔﻮﻳﻨﺪ ﻣﻴﺎن ﻣﺎ ده ﻋﺪد ﭘﻨﻬﺎن اﺳﺖ ﻫﺮ ﻳﻜﻰ‬ ‫ﭼﻨﺪ دارﻳﻢ ﺑﻪ ﻳﻜﻰ ﮔﻮ آﻧﭽـﻪ ﺗـﻮ دارى ﻣﻀﺎﻋ; ﻛﻦ و ﺑﻪ آﺧـﺮ ﮔـﻮ‬ ‫آﻧﭽﻪ ﺗـﻮ دارى ﻳﻜﻰ ده ﮔـﺮدان ﭘﺲ ﻣﺠﻤـﻮع آن ﺑﺎزﭘﺮس و از ﻣﺮﺑـﻊ‬ ‫ﻋﺸﺮه اﺳﻘﺎط ﻛﻦ آﻧﭽﻪ ﺑﻤﺎﻧﺪ ﺑﺮ ﻫﺸﺖ ﻗﺴﻤﺖ ﻛﻦ آﻧﭽﻪ ﺧﺎرج آﻳﺪ‬ ‫از آن اول ﺑﻮد‪) «.‬ﻧﮕﺮ‪ :‬ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬ص ‪(٢٦٦‬‬ ‫)‪100− (2x +10y‬‬ ‫⇔‬ ‫‪8‬‬



‫=‪x‬‬



‫⇔ ‪8x = 100− 2x −10y‬‬ ‫⇔‪8x + 2x +10y = 100‬‬



‫‪x + y = 10‬‬



‫ﺳﺨﻦ آﺧﺮ‬ ‫ﻫﻨﺮ ﻣﻌﻠﻢ رﻳﺎﺿﻰ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺘﻮاﻧﺪ زﻣﻴﻨﻪى ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻓﻌﺎل‬ ‫را ﺑﺮاى داﻧﺶآﻣـﻮزان ﻓﺮاﻫﻢ ﻛﻨﺪ‪ ،‬در آنﻫﺎ ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ اﻧـﮕـﻴـﺰهﻫﺎ را‬ ‫اﻳﺠﺎد ﻛﻨﺪ و آنﻫﺎ را ﺑﻪ ﺗﻔﻜﺮ و اﻧﺪﻳﺸﻴﺪن وا دارد و ﭼﻪﻗﺪر ﻟﺤﻈﺎت‬ ‫ﻛﻼس درس دﻟﭙﺬﻳـﺮ اﺳـﺖ وﻗﺘﻰ ﻣﻌﻠـﻢ ﺑـﺘـﻮاﻧﺪ ﻋـﻼوه ﺑﺮ ﻣـﻮارد‬ ‫ﻣﺬﻛﻮر ﺑﻪ ﺗﺎرﻳﺦ و ﻓﺮﻫﻨﮓ و رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻗﻮﻣﻰ ﻧﻴﺰ ﺑﭙﺮدازد و ﺑﻪ اﻳﻦ‬ ‫وﺳﻴﻠﻪ ﻓﻀﺎى ﺳﺮﺷﺎر از ﺷﺎداﺑﻰ ﺑﻪ ﺷﺎﮔﺮدان درس رﻳﺎﺿﻰ ﻫﺪﻳﻪ‬ ‫ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﭘﻰﻧﻮﺷﺖ‬ ‫‪ .١‬ﺗﻔﺎﺿﻞ‬ ‫‪ .٢‬ﭘﻴﻚ‪ ،‬ﻗﺎﺻﺪ‬ ‫‪ .٣‬ﻛﻢ ﻛﻦ‬ ‫ﻣﻨﺎﺑﻊ‬ ‫‪1. HPM newsletter. No. 69. July 2008. Available: http://‬‬ ‫‪www.clab.edu. uoc.gr/hpm‬‬ ‫‪ .٢‬اﻟﺘﻜﻤﻠﻪ ﻓﻰ اﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬ﻋﺒﺪاﻟﻘﺎﻫﺮ ﺑﻦ ﻃﺎﻫﺮ ﺑﻐﺪادى‪ .‬ﺑﺎ ﺗﺤﻘﻴﻖ و ﻣﻘﺪﻣﻪ دﻛﺘﺮ اﺣﻤﺪ‬ ‫ﺳﻠﻴﻢ ﺳﻌﻴﺪان‪ .‬ﭼﺎپ اول‪ .‬ﻛﻮﻳﺖ‪ ١٤٠٦.‬ﻫﺠﺮى‪.‬‬ ‫‪ .٣‬ﭼﺎپ ﻋﻜﺴﻰ ﻟﺐاﻟﺤﺴـﺎب‪ ،‬ﻣـﻘـﺪﻣـﻪ و ﻓـﻬـﺮﺳﺖ ﺟﻤﺎلاﻟﺪﻳـﻦ ﺷـﻴـﺮازﻳﺎن‪ .‬ﺑﻨﻴـﺎد‬ ‫داﻳﺮةاﻟﻤﻌﺎرف اﺳﻼﻣﻰ‪ .‬ﻣﺮﻛﺰ اﻧﺘﺸﺎرات ﻧﺴﺦ ﺧﻄﻰ‪.١٣٦٨ .‬‬ ‫‪ .٤‬ﺧﺮدﻧﺎﻣﻪ‪ .‬اﺑﻮاﻟﻔﻀﻞ ﻳﻮﺳ; ﺑﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮﻓﻰ‪ .‬ﺑﻪ ﺗﺼﺤﻴﺢ و ﻛﻮﺷﺶ ادﻳﺐ ﺑﺮوﻣﻨﺪ‪.‬‬ ‫اﻧﺘﺸﺎرات اﻧﺠﻤﻦ آﺛﺎر ﻣﻠﻰ‪ .‬ﺗﻬﺮان‪.١٣٤٧ .‬‬ ‫‪ .٥‬ﺧﻼﻗﻴﺖ رﻳﺎﺿﻰ‪ .‬ﺟﻮرج ﭘﻮﻟﻴﺎ‪ .‬ﻣﺘﺮﺟﻢ‪ :‬ﭘﺮوﻳﺰ ﺷﻬﺮﻳﺎرى‪ .‬اﻧﺘﺸﺎرات ﻓﺎﻃﻤﻰ‪ .‬ﭼﺎپ‬ ‫ﺳﻮم‪ .‬ﺗﻬﺮان‪.١٣٧٥ .‬‬ ‫‪ .٦‬دﻫـﻤـﻴـﻦ ﻛـﻨـﻔـﺮاﻧـﺲ آﻣــﻮزش رﻳـﺎﺿـﻰ‪Chenge Chun Chor. Problem.‬‬ ‫‪. Solving through Pattern Recognition Litwin‬ﻳﺰد‪ .‬ﻣﺮداد ‪.٨٧‬‬ ‫‪ .٧‬زﻧﺪﮔﻰﻧﺎﻣـﻪى رﻳـﺎﺿـﻰداﻧـﺎن دورهى اﺳﻼﻣـﻰ‪ .‬اﺑـﻮاﻟﻘﺎﺳﻢ ﻗـﺮﺑـﺎﻧـﻰ‪ .‬ﻣـﺮﻛﺰ ﻧـﺸـﺮ‬ ‫داﻧﺸﮕﺎﻫﻰ‪ .‬ﭼﺎپ اول ‪.١٣٦٥‬‬ ‫‪ .٨‬ﺷﻤﺎرهﻧﺎﻣﻪ‪ .‬ﻣﺤﻤﺪ اﻳـﻮب ﻃﺒﺮى )ﺣﺎﺳﺐ ﻃﺒﺮى(‪ .‬ﻣﻘﺪﻣﻪ ﺗﻘﻰ ﺑﻴﻨﺶ‪ .‬ﭼﺎپ ﺑﻨﻴـﺎد‬ ‫ﻓﺮﻫﻨﮓ اﻳﺮان‪.١٣٤٥ .‬‬ ‫‪ .٩‬ﻛﻨﺰاﻟﺤﺴﺎب‪ .‬ﺷﻴﺦ ﺑﻬﺎﻳﻰ‪ .‬ﺗﺮﺟﻤﻪ اﻋﺘﻤﺎد اﻟﺴﻠﻄﻨﻪ‪ .‬ﭼﺎپ اﺻﻔﻬﺎن‪.١٢٨٣ .‬‬ ‫‪ .١٠‬ﮔﻮﺷﻪﻫﺎﻳﻰ از رﻳﺎﺿﻴﺎت دورهى اﺳﻼﻣﻰ‪ .‬ﺟﻰ ال ﺑﺮﮔﻦ‪ .‬ﺗﺮﺟﻤﻪى ﻣﺤﻤﺪ ﻗﺎﺳﻢ‬ ‫وﺣﻴﺪى و ﻋﻠﻴﺮﺿﺎ ﺟﻤﺎﻟﻰ‪ .‬اﻧﺘﺸﺎرات ﻓﺎﻃﻤﻰ‪.١٣٧٤ .‬‬ ‫‪ .١١‬ﻣﺠـﻤـﻮﻋﻪ ﻣﻘـﺎﻻت ﺳـﻮﻣﻴﻦ ﻫﻤﺎﻳـﺶ ﺗـﺎرﻳـﺦ رﻳـﺎﺿـﻰ‪ .‬داورى و ﺗﺪوﻳـﻦ اﺣـﻤـﺪ‬ ‫ﺷﺮفاﻟﺪﻳﻦ‪ .‬داﻧﺸﮕﺎه ﻫﺮﻣﺰﮔﺎن‪ .‬ﭼﺎپ اول‪.١٣٨٠ .‬‬ ‫‪ .١٢‬ﻣﻔﺘﺎحاﻟﻤﻌﺎﻣﻼت‪ .‬ﻣﺤﻤـﺪ ﺑـﻦ اﻳـﻮب ﻃﺒـﺮى‪ ،‬ﺑﻪ ﻛﻮﺷﺶ ﻣﺤﻤﺪ اﻣﻴﻦ رﻳـﺎﺣـﻰ‪،‬‬ ‫ﺗﻬﺮان‪.١٣٤٩ ،‬‬ ‫‪ .١٣‬ﻣﻮزه آن ﻻﻳﻦ ﺗﺎرﻳﺦ ﻋﻠﻢ آﻛﺴﻔﻮرد‪www.mhs.ox.ac.uk/exhibits/ :‬‬



‫‪٦٣‬‬



‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎرهى‪٣‬‬ ‫ﺑﻬﺎر ‪١٣٨٩‬‬



OF GOD THE NAofME INMinistry Education Organization of Research& Educational Planning Teaching-Aids Publications Office



Roshd



Mathematics 99 Education Journal V o l. 27 N o. 3



2 0 10



ISSN: 1606 - 9188



2. Editor's Note 4. The Story of Algebra (part1) by: Ana Esfard & Lyora Linchovski trans: Z. Kamyab & A. H. Asgari 15. Review of an Experience; The Nessecity of Curriculum Integration by: S.Chamanara 24. Students’ Understanding of the Basic Concept of Function by: B. Parhizkar & Z. Gooya 34. Teachers’ Narative by: N. Hajisadegi 38. How to Choose Tasks For Classroom by: A. H. Orgloo 42. View point(1) by: M.Gooya 45. View point (2) by: Autors of Math(2) 47. Prooving Inequalities by Convex Functions (Part 2) by: A. Golamian 52. Using Books As Teaching Aides; Yes or No?! by: M. Tandeh 56. Historical Amusements in Mathematics Education by: N. Assarzadegan 64.Journal Presentation ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Managing Editor : Mohammad Naseri Editor : Zahra Gooya Executive Director : Sepideh Chamanara Editorial Board : Esmaiel Babolian, Mirza Jalili Sepideh Chamanara , Mehdi Radjabalipour Mani Rezaie,Shiva Zamani,Bijan Zangeneh Mohammad Reza Fadaie and Soheila Gholamazad Graphic Designer : M. Karimkhani P.O.Bax : Tehran 15875 - 6585 E-mail: [email protected]



○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○



‫ﻪى رﻳﺎﺿﻰ‬  ‫ﭘﻴﺎمدﺑﻴﺮﺧﺎﻧ‬



‫ ﭘـﻴـﺎم دﺑــﻴــﺮﺧـﺎﻧــﻪ ى رﻳــﺎﺿــﻰ‬٢ ‫ و‬١ ‫ﺷـﻤــﺎره ﻫــﺎى‬ ‫ و ﺑﻬﺎر و ﺗﺎﺑﺴﺘﺎن‬١٣٨٧ ‫ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ در ﭘﺎﻳﻴﺰ و زﻣﺴﺘﺎن‬ ،‫ اﻳﻦ ﻓﺼﻞ ﻧﺎﻣﻪ ى ﻋﻠﻤﻰ‬.‫ ﺑﻪ ﭼﺎپ رﺳﻴﺪه اﺳﺖ‬١٣٨٨ ‫ اﻃﻼع رﺳﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ دﺑﻴﺮﺧﺎﻧﻪ ى راﻫﺒﺮى‬،‫آﻣﻮزﺷﻰ‬ ‫ ﺷﺎﻣﻞ اﺧﺒﺎر ﻣـﺮﺗﺒﻂ‬،‫رﻳﺎﺿﻰ ﻛﺸﻮر ﺑﻪ ﭼﺎپ ﻣـﻰ رﺳﺪ‬ ‫ﺑﺎ اﻳﻦ ﻧﻬﺎد و ﻧﻴﺰ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻫﺎﻳﻰ در ﺣﻮزه ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ و‬ ‫ از آن ﺟــﻤــﻠــﻪ‬.‫ﻣـﺮﺗـﺒـﻂ ﺑــﺎ آﻣــﻮزش رﻳـﺎﺿـﻰ ﻣـﻰ ﺑـﺎﺷـﺪ‬ :‫ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻄﺎﻟﺐ اﺷﺎره ﻛﺮد‬ ‫(؛‬٢ ‫ـ ﻫﻨﺮﻫﺎى اﺳﻼﻣﻰ و درك ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻫﻨﺪﺳﻰ )در ﺷﻤﺎرهى‬ ‫(؛‬٢ ‫ـ اﻟﮕﻮﻫﺎى ﻛﺎوشﮔﺮى )در ﺷﻤﺎرهى‬ ‫ ﺑﺮاى درك ﺑﻬﺘﺮ ﺣﺪ ﻳـﻚ‬Excel ‫ـ ﻛﺎرﺑﺮد ﺻﻔﺤﻪ ﮔﺴﺘﺮدهى‬ ‫(؛‬٢ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪ )در ﺷﻤﺎرهى‬ ‫(؛‬٢ ‫ـ ﺑﺮرﺳﻰ ﻋﻮاﻣﻞ ﻣﺆﺛﺮ در ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ )در ﺷﻤﺎرهى‬ ‫(؛‬١ ‫ـ ﺗﺎرﻳﺨﭽﻪى ﻋﺪد ﺻﻔﺮ )در ﺷﻤﺎرهى‬ ‫(؛‬١ ‫ـ زﻳﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎى ﻓﺎرﺳﻰ )در ﺷﻤﺎرهى‬ ‫(؛‬١ ‫ـ رﻳﺎﺿﻴﺎت در زﻧﺪﮔﻰ )در ﺷﻤﺎرهى‬ ‫(؛‬١ ‫ـ اﻟﮕﻮﻫﺎى ﻳﺎدﮔﻴﺮى )در ﺷﻤﺎرهى‬ …‫ـ و‬



math.teo.ir ‫ ﺑﻪ ﻧﺸﺎﻧﻰ‬،‫ﺟﻬﺖ آﺷﻨﺎﻳﻰ و اﻃﻼﻋﺎت ﺑﻴﺶﺗﺮ‬ [email protected] ‫ﻣﺮاﺟﻌﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻳﺎ ﺑﺮاى ﻧﺸﺎﻧﻰ‬



.‫ﻧﺎﻣﻪى اﻟﻜﺘﺮوﻧﻴﻜﻰ ﺑﻔﺮﺳﺘﻴﺪ‬ ‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬



٦٤ ٣١٣‫ى‬٨٩‫ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره‬