Aksioma Urutan Bilangan Real [PDF]

Citation preview

AKSIOMA URUTAN BILANGAN REAL Pada sistem bilangan real dikenal relasi urutan. Relasi urutan ini berkaitan dengan aspek positifitas dan ketaksamaan antara dua buah bilangan real. Sifatsifat urutan ini akan banyak kita gunakan ketika mencari solusi pertidaksamaan di bilangan real (Sumanag Mukhtar: 2010). Sifat urutan menjelaskan tentang kepositifan (positivity) dan ketaksamaan (inequalities) di antara bilangan-bilangan real. (Zaki Riyanto: 2011). Definisi: Bilangan real x dikatakan positif, ditulis x > 0, apabila terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga untuk setiap barisan Cauchy (xk) yang mewakili x terdapat m sedemikian sehingga xk ≥ 1/N Untuk setiapk ≥ m. Bilangan real x dikatakannegatif, ditulis x < 0, Apabila –x > 0. (Hendra Gunawan: 2015)



ILUSTRASI BILANGAN REAL POSITIF



(Hendra Gunawan: 2015)



Sifat 1.4 (Sifat Kepositifan). Terdapat himpunan bagian tak kosong dari R , yang dinamakan himpunan bilangan real positif R+ , yang memenuhi sifat-sifat a. Jika a,b ∈ R+ maka a + b ∈ R+ . b. Jika a,b ∈ R+ maka a × b ∈ R+ . c. Jika a ∈ R maka salah satu diantara tiga hal, yaitu a ∈ R+ , a = 0 , dan -a ∈ R+ , pasti terpenuhi.



Sifat 1.4.c. disebut juga sebagai sifat Trichotomy. Sifat ini mengatakan bahwa R dibangun oleh tiga buah himpunan yang disjoin. Tiga buah himpunan tersebut adalah himpunan {−𝑎 : 𝑎 ∈ R+} yang merupakan himpunan bilangan real negatif, himpunan {0} , dan himpunan bilangan real positif R+ . Himpunan {−𝑎 : 𝑎 ∈ R+} bisa juga dituliskan dengan 



R- . (Bambang Hendriya, dkk: 2011)  Jika



𝑎 ∈ R+ maka 𝑎 > 0 dan a dikatakan sebagai bilangan real



positif.  Jika 𝑎 ∈ R+ ∪ {𝟎} maka 𝑎 > 0 dan a dikatakan sebagai bilangan real nonnegative.  Jika 𝑎 ∈ R- maka 𝑎 < 0 dan a dikatakan sebagai bilangan real negative.  Jika 𝑎 ∈ R- ∪ {𝟎} maka 𝑎 ≤ 0 dan a dikatakan sebagai bilangan real nonpositif.



Definisi 1.5. Misalkan a,b ∈ R . a. Jika 𝑎 − 𝑏 ∈ R+ maka a > b atau b < a . b.



Jika 𝑎 − 𝑏 ∈ R+U{0} maka a ≥b atau b ≤ a .



Teorema 1.6. Misalkan a,b, c ∈ R . a. Jika a > b dan b > c maka a > c . b.



Jika a > b maka a + c > b + c .



c. Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc . Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc . d. Jika ab > 0 maka a > 0 dan b > 0, atau a < 0 dan b < 0. e. Jika ab < 0 maka a > 0 dan b < 0, atau a < 0 dan b > 0. (Bambang Hendriya: 2011) Bukti: a. Diketahui a > b dan b> a, b, c ∈ ℝ. Karena a > b , maka a b − ∈P . Karena b > c , maka b - c ∈ P . Menurut sifat urutan, maka a b + ∈P , sehingga diperoleh: (a – b) + (b – c) ∈ P ↔ 𝑎 − 𝑏 + 𝑏 − 𝜖𝑃 ↔ (𝑎 − 𝑐) + (−𝑏 + 𝑏)𝜖𝑃 ↔ (𝑎 − 𝑐) + 0 𝜖 𝑃



a c ⇔ − ∈P .a c ⇔ > (b) Jika a b − ∈P , maka ( ) ( ) a c b c a b + − − = − ∈P . Sehingga diperoleh bahwa acbc+>+. (c) Jika a b − ∈P dan c∈P, maka ( ) ca cb c a b − = − ∈P. Akibatnya ca cb > untuk 0c > . Gunakan langkah yang sama untuk 0 c
0 . Pilih 𝜀 =



1 2



𝑎. Kita peroleh 0 0 atau a = 0 maka jelas bahwa a ∈R+ ∪{0}. Jika a < 0 tentunya −a > 0 , sehingga -a ∈R+ ∪{0}.. Berdasarkan hal tersebut, akan didefinisikan apa yang disebut sebagai nilai mutlak dari suatu bilangan real. Nilai mutlak ini akan “me-nonnegatif-kan” bilanganbilangan real. (Bambang Hendriya: dkk: 2011)



DAFTAR PUSTAKA Gozali, S. M. (2010). Analisis real 1. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia. Gunawan, H. (2015). Pengantar analisis real. Bandung: Institut Teknologi Bandung. Guswanto, B. H., & Nurshiami, S. R. (2006). Analisisi riil 1. Purwokerto: Universitas Jendral Soedirman. Riyanto, Z. (2011). Pengantar analisis real 1. Yogyakarta: Universitas Ahmad Dahlan.