11 0 431 KB
Kalkulus I
Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan
Materi 1
Sekar Nugraheni, S.Si.,M.Sc. [email protected]
Department of Mathematics
Universitas Gadjah Mada
Pendahuluan Department of Mathematics
Materi yang Dipelajari
Universitas Gadjah Mada
1. Sistem Bilangan Real 2. Fungsi dan Grafik Fungsi 3. Limit Fungsi dan Fungsi Kontinu 4. Limit Barisan 5. Turunan (Derivatif) 6. Penggunaan Turunan
Pendahuluan Department of Mathematics
Buku Literatur
Universitas Gadjah Mada
1. Supama, dkk., 2003, "Kalkulus 1", FMIPA: Yogyakarta. 2. Stewart, J., 1999, "Calculus, 7th Edition", Brooks/Cole Publishing Company. 3. Purcell, E., Varberg, D. and Rigdon, S., 2006, "Calculus, 9th Edition", United State : Prentice Hall. 4. Simmons, G.F., 1996, "Calculus and Analytic Geometry, 2nd Edition", United State : McGraw-Hill Inc. 5. dll.
Pendahuluan Department of Mathematics
Komponen Penilaian
Universitas Gadjah Mada
1. UTS 2. Tugas 3. Kuis 4. Keaktifan
Sistem Bilangan Real
Sistem Bilangan Real
Department of Mathematics
Universitas Gadjah Mada
Sistem Bilangan Real
Sistem Bilangan Real
Department of Mathematics
Sistem Bilangan Real
Universitas Gadjah Mada
I
N = {1, 2, 3, ...}
I
I
Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} na o Q= : a ∈ Z dan b ∈ N b R
I
C = {a + ib : a, b ∈ R}
I
Sistem Bilangan Real
Department of Mathematics
Sifat Sistem Bilangan Real
Universitas Gadjah Mada
Untuk sebarang bilangan real a, b, c dan d diperoleh 1. sifat komutatif a + b = b + a dan ab = ba 2. sifat asosiatif a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c dan a(bc) = (ab)c = abc 3. sifat distributif a(b + c) = ab + ac
Sistem Bilangan Real
Department of Mathematics
Sifat Sistem Bilangan Real
Universitas Gadjah Mada
Untuk sebarang bilangan real a, b, c dan d diperoleh 1. Asalkan b 6= 0 a 1 =a b b 2. Asalkan b, d 6= 0 a c ad + bc + = b d bd 3. Asalkan b, d 6= 0
4. a(−b) = (−a)b = −(ab) 5. (−a)(−b) = ab 6. −(−a) = a
ac ac = bd bd
Sistem Bilangan Real
Department of Mathematics
Sifat Sistem Bilangan Real
Universitas Gadjah Mada
Untuk setiap bilangan real a 1. Jika a 6= 0 maka 0 =0 a 2. 3. Jika a 6= 0 maka
a tidak terdefinisikan 0 a =1 a
Sistem Bilangan Real
Department of Mathematics
Sifat Sistem Bilangan Real: Hukum Kanselasi
Universitas Gadjah Mada
Untuk setiap bilangan real a, b dan c diperoleh 1. Jika ac = bc dan c 6= 0 maka a = b. 2. Jika b, c 6= 0 maka
ac a = bc b
Sistem Bilangan Real
Department of Mathematics
Sifat Sistem Bilangan Real: Sifat Pembagi Nol
Universitas Gadjah Mada
Teorema Jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0.
Sistem Bilangan Real
Department of Mathematics
Relasi Urutan
Universitas Gadjah Mada
Definisi I
Bilangan real a dikatakan positif, jika a > 0.
I
Bilangan real a dikatakan negatif, jika a < 0.
I
Bilangan real a dikatakan nonnegatif, jika a ≥ 0.
Sistem Bilangan Real
Sifat Urutan Bilangan Real
Department of Mathematics
Universitas Gadjah Mada
Untuk setiap bilangan real a, b dan c, diperoleh 1. Jika a ≤ b maka a + c ≤ b + c, untuk setiap bilangan real c 2. Jika a ≤ b dan b ≤ c maka a ≤ c I Jika a ≤ b dan c > 0 maka ac ≤ bc 3. I
4.
I I
Jika a ≤ b dan c < 0 maka ac ≥ bc 1 Jika a > 0 maka > 0. a 1 1 Jika 0 < a ≤ b maka ≤ . b a
5. Untuk setiap bilangan real a dan b berlaku tepat satu a < b, atau a = b, atau a < b.
Sistem Bilangan Real
Department of Mathematics
Sifat Urutan Bilangan Real
Universitas Gadjah Mada
Jika a, b ≥ 0 maka a ≤ b ⇔ a2 ≤ b 2 ⇔
√
a≤
√
b
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan Department of Mathematics
Pertidaksamaan
Universitas Gadjah Mada
I
Garis Bilangan dan Interval
I
Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan.
Pertidaksamaan Department of Mathematics
Pertidaksamaan
Universitas Gadjah Mada
Selesaikan pertidaksamaan berikut. 1. 7x − 2 ≤ 9x + 3 2. −3 < 1 − 6x ≤ 4 3. x 2 + 2x − 12 > 0 4. 2x 2 + 5x − 3 ≥ 0 x +4 ≤0 5. x −3 1 6. ≤4 3x − 2
Pertidaksamaan Department of Mathematics
Pertidaksamaan
Universitas Gadjah Mada
Selesaikan pertidaksamaan berikut. 1 1. 3 ≤0 x − 2x + 1 x +4 ≤ 3x 2. 2x + 1 p 3. x 2 − 2x + 8 < 0 2x + 1 4. √ ≤0 x2 + x + 1
Nilai Mutlak
Nilai Mutlak Department of Mathematics
Nilai Mutlak
Universitas Gadjah Mada
Definisi Nilai mutlak dari bilangan real x, dinotasikan dengan |a|, didefinisikan sebagai ( x, x ≥0 |x| = −x, x < 0.
Nilai Mutlak Department of Mathematics
Nilai Mutlak
Universitas Gadjah Mada
Definisi Nilai mutlak dari bilangan real x, dinotasikan dengan |a|, didefinisikan sebagai ( x, x ≥0 |x| = −x, x < 0. Definisi tersebut dapat pula dinyatakan sebagai √ |x| = x 2 .
Nilai Mutlak Department of Mathematics
Sifat Nilai Mutlak
Universitas Gadjah Mada
1. |x| ≥ 0 2. |x| = 0 jika dan hanya jika x = 0 3. |xy | = |x||y | x |x| , asalkan y 6= 0 4. = y |y |
Nilai Mutlak Department of Mathematics
Sifat Nilai Mutlak: Ketidaksamaan Segitiga
Universitas Gadjah Mada
Teorema Untuk setiap bilangan real x, y berlaku ||x| − |y || ≤ |x + y | ≤ |x| + |y | ||x| − |y || ≤ |x − y | ≤ |x| + |y |
Nilai Mutlak
Sifat Nilai Mutlak
Department of Mathematics
Universitas Gadjah Mada
Teorema Jika a ≥ 0, maka |x| = a
jika dan hanya jika
x = a atau x = −a
|x| ≤ a
jika dan hanya jika
−a ≤ x ≤ a
|x| ≥ 0
jika dan hanya jika
x ≤ −a atau x ≥ a
Nilai Mutlak Department of Mathematics
Sifat Nilai Mutlak
Universitas Gadjah Mada
Untuk setiap bilangan real x dan y |x| ≤ |y | jika dan hanya jika x 2 ≤ y 2 .
Nilai Mutlak Department of Mathematics
Contoh Soal
Universitas Gadjah Mada
Selesaikan pertidaksamaan berikut. 1. |x − 2| ≥ 5 5 2. |2 + | > 1 x 3. |3x + 1| < 2|x − 6| x + 4 ≤2 4. x − 3
Nilai Mutlak Department of Mathematics
Latihan Soal
Universitas Gadjah Mada
Tentukan himpunan penyelesaiannya. 3x − 2 1. ≥1 x −1 3 2. 0 4. 3 ≤ |x − 2| < 5 5. 2|2x − 3| < |x + 10| 6. |3x − 1| < 2|x + 6|
Nilai Mutlak Department of Mathematics
Latihan Soal
Universitas Gadjah Mada
Tentukan Himpunan Penyelesaian 1. ||x| + 3x| ≤ 2 x +2 2. ≥1−x 4 − 2x x − 2 |x| + 2 ≤ 3. 2 x + 9 9 1 1 4. 2 − ≤1 x + 3 |x| + 2 2x + 1 ≤1 5. √ x2 + x + 1