Konsep Bilangan Eksponen, Bilangan Bulat, Dan Bilangan Real [PDF]

Citation preview

BILANGAN EKSPONEN, BULAT, REAL DAN PEMBELAJARANNYA Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Mata Pengembangan Matematika SD Semester 2



Dosen Pengampu : Dr. Sumaji, Mpd.



Di susun oleh : Kelompok 4 1. Anni Masudah



(201903015)



2. Niken Amanda



(201903076)



3. Noor Avni Annistiqomah (201903077) 4. Tiara Nugrahartanti



(201903124)



Kelas 2D



FAKULTAS KEGURUAN DAN PENDIDIKAN MAGISTER PENDIDIKAN DASAR UNIVERSITAS MURIA KUDUS 2020



KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah membeikan rahmat, taufik, dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan makalan dengan judul “Bilangan Eksponen, Bulat, Real dan Pembelajarannya” dengan tepat waktu dan tanpa halangan apapun. Dalam penyusunan makalah ini atas dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terimakasih kepada pihak-pihak berikut: 1. Bapak Dr. Sumaji selaku Dosen mata kuliah Pengembangan SD. 2. Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini. Penulis menyadari bahwa penyusunan makalah ini jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis berharap kepada seluruh pembaca untuk memberikan saran, kritik, dan masukan agar makalah ini sempurna. Semoga makalah ini bermanfaat.



Kudus, 10 Mei 2020



Penulis



ii



DAFTAR ISI SAMPUL ........................................................................................................................ i KATA PENGANTAR .................................................................................................... ii DAFTAR ISI ................................................................................................................. iii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ................................................................................................... 1 1.2 Rumusan Masalah ............................................................................................... 2 1.3 Tujuan Penulisan ................................................................................................ 2 1.4 Manfaat Penulisan .............................................................................................. 2 BAB II PEMBAHASAN 2.1 Bilangan Eksponen ........................................................................................... 3 2.2 Bilangan Bulat .................................................................................................. 5 2.3 Bilangan Real ................................................................................................. 12 BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan ..................................................................................................... 14 3.2 Saran ............................................................................................................... 14 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 15



iii



BAB I PENDAHULUAN



1.1 Latar Belakang Matematika adalah ilmu dasar yang dapat digunakan sebagai alat bantu memecahkan masalah dalam berbagai bidang ilmu. Salah satu karakteristik matematika yaitu mempunyai obyek yang bersifat abstrak. Sehingga dapat menyebabkan siswa mengalami kesulitan dalam memahami konsep matematika. Matematika salah-satu ilmu yang penting dalam kehidupan kita dan merupakan induk dari segala ilmu. Perkembangan ilmu pengetahuan dan perkembangan kebudayaan manusia dan kehidupan sehari-haritidak lepas dari unsur matematika. Pembelajaran matematika bertujuan untuk membekali siswa agar memenuhi kemampuan berfikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif. Pembelajaran matematika di Sekolah Dasar (SD) perlu mendapat perhatian yang serius dari berbagai pihak yaitu pendidik, pemerintah, orang tua, maupun masyarakat, karena pembelajaran matematika di sekolah dasar merupakan letak konsep dasar yang dijadikan landasan untuk belajar pada jenjang berikutnya, selain itu penguasaan matematika yang kuat sejak dini diperlukan untuk penguasaan dan penciptaan teknologi di masa depan. Dalam kegiatan belajar mengajar, siswa adalah sebagai subjek dan objek dari kegiatan pengajaran. Sehingga inti dari proses pengajaran adalah kegiatan belajar siswa dalam mencapai suatu tujuan. Tercapai atau tidaknya tujuan pembelajaran dapat dilihat darihasil belajar yang diperoleh siswa setelah proses pembelajaran selesai. Hasil belajar merupakan salah satu tujuan dari proses pembelajaran. Hasil belajar dipengaruhi oleh kemampuan siswa dan tinggi rendahnya atau efektif tidaknya proses pembelajaran. Oleh karena itu, seorang guru harus mampu menerapkan pembelajaran yang sesuai materi dalam matematika agar siswa tidak akan bosan dengan matematika dan dapat mengubah anggapan bahwa matematika itu tidak sulit dan matematika adalah pembelajaran yang menyenangkan.



1



2



1.2 Rumusan Masalah 1. Apa itu bilangan eskponen, bilangan bulat dan bilangan real? 2. Bagaimana sifat-sifat bilangan eksponen, bilangan bulat dan bilangan real? 3. Bagaimana penerapan pembelajaran bilangan eksponen, bilangan bulat dan bilangan real?



1.3 Tujuan Penulisan 1. Untuk mengetahui pengertian bilangan eksponen, bilangan bulat dan bilangan real. 2. Untuk mengetahui sifat-sifat bilangan eksponen, , bilangan bulat dan bilangan real. 3. Untuk mengetahui penerapan pembelajaran bilangan eksponen, bilangan bulat dan bilangan real.



1.4 Manfaat Penulisan 1. Bagi penulis Menambah wawasan ilmu pengetahuan mengenai pengembangan matematika dalam pembelajaran serta melatih penulis dalam menyusun sebuah makalah. 2. Bagi pembaca Menambah wawasan pengetahuan mengenai pengembangan matematika dalam pembelajaran



BAB II PEMBAHASAN 2.1 Bilangan Eksponen 2.1.1 Pengertian Bilangan Eksponen Bilangan Eksponen salah-satu bilangan yang digunakan secara luas di berbagai bidang seperti: dalam bidang ekonomi, biologi, kimia, fisika, dan ilmu komputer dengan aplikasi seperti perbungaan, pertumbuhan jumlah penduduk, kinetika kimia, perilaku – perilaku gelombang dan kriptografi kunci publik atau ilmu yang mempelajari tentang bagaimana agar pesan atau dokumen sesearang aman tidak terbaca oleh orang lain. Menurut Thomas (1998) Bilangan eksponen adalah bentuk perkalian dengan bilangan yang sama dan diulang-ulang. Misalnya 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x2. Van De Walle dalam jurnal yang di tulis Eka Susanti, dkk (2018: 98) juga mengemukakan bahwa bilangan-bilangan dalam dunia teknologi menjadi sangat kecil atau sangat besar maka menyajikannya dalam bentuk standar tidaklah praktis. Notasi Pangkat jauh lebih efisien untuk menyampaikan informasi numeric atau kuantitatif. Sedangkan



Menurut,



Weber



(2002)



mengatakan



bahwa



“learners



understand exponential and logarithmic functions through exponentiation as an action and process, exponential expressions are the results of the process and generalisation.” yang artinya peserta didik dapat memahami eksponensial dan logaritma melalui eksponensial sebagai tindakan dan proses, ekspresi eksponensial adalah hasil dari proses dan generalisasi. Berdasarkan uraian diatas yang dimaksud dengan eksponen yaitu bilangan yang diulang-ulang. Eksponen ditulis dengan indeks , yang akan terlihat sebagai berikut: xy. Bilangan x disebut bilangan basis, dan bilangan y disebut eksponen atau sering Bilangan berpangkat dapat kita temui dalam penyelesaian masalah matematika.



3



4



2.1.2 Sifat-Sifat Bilangan Eksponen Menurut Thomas (1998:1-5) terdapat beberapa aturan dalam menghitung operasi hitung dari bilangan eksponen yaitu di antaranya sebagai berikut :



1.



b n × b m = bn + m Artinya, untuk mengalikan dua angka dalam bentuk pangkat (dengan cara menambahkan pangkat n dan m).



2.



= bn – m Dengan kata lain, untuk membagi dua angka dalam bentuk pangkat dengan cara mengurangi bilangan pangkatnya (n dan m) apabila pangkat negatif, jadi bilangan berpangkat n harus lebih besar dari m.



3.



(bm) n = bm x n Artinya, apabila didalam kurung maka pangkatnya harus dikalikan.



4.



(ab)x = ax bx Artinnya, apabila terdapat dua atau lebih bilangan perkalian didalam kurung (ab) yang kemudian dikalikan dengan bilangan berpangkat (x), maka setiap bilangan dipangkatkan dengan bilangan x.



5.



( ) = Artinnya, apabila ada pecahan didalam kurung yang dipangkatkan dengan x, maka pembilang dan penyebutnya di dikalikan dengan x.



Berdasarkan aturan tersebut, Thomas (1998:5) menyebutkan bahwa sifat-sifat bilangan eksponen yaitu : 1. Jika n adalah bilangan bulat positif dan b adalah bilangan real.



2.



√ , bilangan pangkat pecahan adalah kebalikan dari bilangan akar.



3. 4.



( )



(



5. bx x by = bx+y , setiap kali kedua sisi persamaan ini didefinisikan. 6.



, setiap kali kedua sisi persamaan ini didefinisikan.



)



5



7.



, setiap kali kedua sisi persamaan ini didefinisikan.



8. (



)



setiap kali kedua sisi persamaan ini didefinisikan.



9. ( )



setiap kali kedua sisi persamaan ini didefinisikan.



2.1.3 Penerapan Bilangan Eksponen Bilangan Eksponen biasa disebut dengan bilangan berpangkat. Penerapan dalam pembelajarannya bisa dihitung dengan perkalian berulang. Supaya lebih mudah dalam menjelaskan, guru dapat menggunakan benda nyata terlebih dahulu untuk penanaman konsep dasar sebelum melanjutkannya ke contoh soal yang mengarah ke sifat-sifat eksponen. Contoh soal 1:



3



3



3



Jumlah Seluruh Buah Apel = 33 =3x3x3 = 27



Contoh soal 2: = 48 – 6 = 42 =4x4 = 16



2.2 Bilangan Bulat 2.2.1 Pengertian Bilangan Bulat Menurut Muh. Arif Tiro dkk (Teori Bilangan, 2008:111) mengatakan bahwa himpunan bilangan bulat adalah gabungan dari himpunan bilangan cacah



6



dan bilangan asli. Bilangan bulat ini terdiri dari bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif serta nol.  Bilangan bulat positif mulai dari : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, .....dst.  Bilangan Nol 0.  Bilangan bulat negatif mulai dari : -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10....dst. Muchtar A. Karim, (1996: 180) juga mengemukakan bahwa bilangan cacah maupun bilangan bulat negatif disebut bilangan bulat. Definisi (1) : Himpunan {...,-5,-4,-3,2,-1} disebut himpunan bilangan bulat negatif. Definisi (2) : Gabungan himpunan semua bilangan cacah dan himpunan semua bilangan bulat negatif, yaitu himpunan {...,-5,-4,-3,-2,1,0,1,2,3,4,5,...} disebut himpunan bilangan bulat. Definisi (3) : Bilangan cacah yang bukan 0, yaitu bilangan asli, disebut juga bilangan bulat positif. Dengan kata lain, himpunan semua bilangan bulat terdiri atas: a. Bilangan bulat positif atau bilangan asli, yaitu: 1,2,3,4,5,... b. Bilangan bulat nol, yaitu 0. c. Bilangan bulat negatif, yaitu: {...,-5,-4,-3,-2,-1}. Berdasarkan pendapat dari ahli, dapat disimpulkan bahwa bilangan bulat merupakan gabungan bilangan nol, bilangan asli, dan negatif bilangan asli. Untuk memudahkan pembelajaran, guru bisa membuatkan sebuah garis bilangan untuk bilangan bulat tersebut. Dalam satu garis tersebut bilangan postif berada di sebelah kanan sedangkan bilangan negatif di sebalah kiri dan ditengahtengahnya bilangan "0".



2.2.2 Sifat-Sifat Bilangan Bulat Sifat-sifat yang berlaku dalam himpunan bilangan bulat menurut Lastri dan Nafiah (2017: 5) adalah sebagai berikut; 1. Sifat Tertutup Sifat tertutup terhadap penjumlahan ada dengan tunggal yakni untuk setiap a dan b di dalam Z, maka (a + b) juga di dalam Z. Sifat tertutup



7



terhadap perkalian ada dengan tunggal, yakni untuk setiap a dan b didalam Z maka a x b juga ada di dalam Z. 2. Sifat Komutatif Sifat komutatif penjumlahan yaitu untuk setiap a dan b didalam Z berlaku a + b = b + a. Sedangkan sifat komutatif perkalian dalam suatu bilangan bulat a dan b berlaku a x b = b x a. 3. Sifat Asosiatif Sifat asosiatif terhadap penjumlahan yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku sifat (a+b)+c=a+(b+c). Sifat asosiatif terhadap perkalian yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku (a x b) x c =a x (b x c). 4. Sifat Distributif Sifat distributif kiri perkalian terrhadap penjumlahan, yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b dan c berlaku sifat = a x (b + c) = (a x b) +(a x c) Sifat distributive kanan perkalian terhadap penjumlhan yaitu untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku sifat (a + b)xc = (a x c) + (b x c). 5. Unsur Identitas Penjumlahan Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a = a sehingga 0 disebut unsur identitas penjumlahan 6. Unsur identitas perkalian Untuk setiap bilangan bulat a, ada dengan tunggal bilangan bulat 1 sehingga a x 1 = 1 x a = 1 sehingga satu disebut unsur identitas perkalian.



2.2.3 Operasi pada Bilangan Bulat Lastri dan Nafisah (2017: 2-4) Operasi bilangan bulat dibagi menjadi 4 bagian, yaitu; a. Operasi Penjumlahan Sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat : 1) Tertutup, yaitu untuk setiap , ∈ 𝐼 berlaku



+



∈𝐼



2) Komutatif (pertukaran), yaitu untuk setiap , ∈ 𝐼 berlaku



+



=



+ .



3) Assosiatif (pengelompokan), yaitu untuk setiap , ,𝑐 ∈ 𝐼 berlaku ( + )+𝑐=



+ ( + 𝑐).



4) Mempunyai elemen identitas 0 yaitu untuk setiap +



= .



∈ 𝐼 berlaku



+0=0



8



5) Setiap bilangan bulat mempunyai invers aditif. Invers dari bilangan bulat adalah – dan berlaku



+ (− ) = (− ) +



= 0.



b. Operasi Pengurangan Diketahui –



ditulis



, dan



bilangan-bilangan bulat. Bilangan



adalah bilangan bulat k jika dan hanya jika



=



dikurangi



,



+ . Sifat-sifat



yang berkaitan: 1) Bilangan bulat tertutup terhadap pengurangan, yaitu jika a dan b bilanganbilangan bulat maka



−



juga bilangan bulat.



2) Jika



dan



bilangan-bilangan bulat maka



3) Jika



dan



bilangan-bilangan bulat maka



−



=



+ (− ).



− (− ) =



+ .* 4) Jika



bilangan bulat maka −(− ) = . c. Operasi Perkalian Sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan bulat: 1) Tertutup, yaitu untuk setiap , ∈ 𝐼 berlaku



×



∈𝐼



2) Komutatif (pertukaran), yaitu untuk setiap , ∈ berlaku



×



=



×



3) Assosiatif (pengelompokan), yaitu untuk setiap ,, ∈ 𝐼, berlaku: ( × ) × 𝑐=



× ( × 𝑐)



4) Mempunyai elemen identitas 1, yaitu untuk setiap bilangan bulat ×1=1×



berlaku



= . 𝑥0=0×



5) Sifat bilangan nol yaitu



= 0, untuk setiap bilangan bulat



6) Sifat distributif (penyebaran) 



× ( + 𝑐) = ( ×



) + ( × 𝑐), dan disebut distributif kiri perkalian



terhadap penjumlahan.  ( + 𝑐) × a = ( × a ) + (𝑐 × a ) dan disebut distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan. d. Operasi Pembagian Diketahui , oleh , ditulis =



↔



=



dan



bilangan-bilangan bulat dengan



∶ , adalah bilangan bulat



≠ 0. Pembagian



(jika ada) sehingga berlaku:



∶



× . Pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat tertutup,



misalnya 7 dan 3 € B, tetapi hasil dari 7 ∶ 3 bukan anggota bilangan bulat.



9



Operasi perkalian dan pembagian pada bilangan bulat memiliki pola yang unik dan tetap, sehingga dapat lebih memudahkan pengerjaannya. Perhatikan tabel Hasil Operasi Perkalian dan Pembagian pada Bilangan Bulat Positif atau Negatif berikut ini : Bilangan pertama Positif Positif Negative Negative



Bilangan kedua Positif Negative Positif Negative



Hasil Perkalian atau Pembagian Positif Negative Negative Positif



e. Operasi Perpangkatan Bilangan berpangkat dapat dituliskan menjadi an (a pangkat n), merupakan perkalian bilangan a secara berulang sebanyak n faktor. Bilangan berpangkat dapat dinyatakan dengan rumus di bawah ini:



Keterangan: an : bilangan berpangkat a : bilangan pokok n : pangkat Contoh 1: 4 x 4 x 4 = 43, maka 43 dapat diartikan sebagai perkalian 4 dengan 4 yang diulang sebanyak 3 kali. Contoh 2 : a7 = a x a x a x a x a x a x a 55 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 3.125



10



2.3.4 Urutan Hitung Operasi Bilangan Bulat Operasi hitung campuran adalah operasi hitung yang melibatkan lebih dari satu macam operasi dalam suatu perhitungan. Berikut adalah beberapa kesepakatan pada operasi perhitungan campuran : a. Operasi perkalian dan pembagian lebih kuat daripada operasi penjumlahan dan pengurangan. b. Operasi perkalian dan pembagian sama kuat. Apabila perkalian dan pembagian muncul secara bersama-sama, maka urutan operasinya dari sebelah kiri, yaitu yang muncul di sebelah kiri harus dioperasikan terlebih dahulu. c. Operasi penjumlahan dan pengurangan sama kuat. Apabila penjumlahan dan pengurangan muncul secara bersama-sama, maka urutan operasinya dari sebelah kiri, yaitu yang muncul di sebelah kiri harus dioperasikan terlebih dahulu. d. Jika dalam operasi terdapat tanda kurung “( )” maka dikerjakan terlebih dahulu. Contoh : Hitunglah : 48 – 25 + 72 : (12 x 3) = .... Penyelesaian: 48 – 25 + 72 : (12 x 3) = 48 – 25 + 72 : 36 = 48 –25 + 2 = 23 + 2 = 25.



11



2.2.5 Pembelajaran Bilangan Bulat Pengenalan Bilangan Bulat, dalam pembelajaran pengenalan bilangan bulat, guru harus menggunakan benda-benda konkret agar siswa lebih mudah memahaminya sehingga tidak ada kesalah pahaman siswa di dalam menerima materi dari guru. Adapun langkah pembelajaran dalam memperkenalkan bilangan bulat kepada siswa adalah sebagai berikut : 1.



Memulai pembelajaran guru membuka dengan suasana yang akrab dan penuh keceriaan.



2.



Sampaikan tujuan pembelajaran dengan jelas kepada siswa.



3.



Saat akan mengenalkan bilangan bulat, mulailah pada bilangan bulat positif.



4.



Mengenalkan bilangan bulat postif bisa dengan menggunakan benda. Misalnya akan mengenalkan bilangan bulat postif 5, Anda bisa menggunakan dengan 5 buah jeruk. Mengenalkan bilangan bulat positif 10, bisa dengan menggunakan 10 buah jeruk. Demikian seterusnya ketika Anda menyajikan materi pembelajaran bilangan bulan postif.



5.



Setelah siswa mengerti akan arti bilangan bulat postif, selanjutnya ajak mereka untuk menuliskan lambang bilangan bulat.



6.



Selanjutnya mengajarkan siswa pengenalan bilangan bulat negatif. Sama halnya dengan bilangan bulat positif, untuk bilangan bulat negatif, anda bisa menggunakan konsep lawan bilangan. Artinya bila bilangan itu adalah bilangan bulat positif 5 maka lawannya adalah bilangan bulat negatif 5.



7.



Atau anda bisa menggunakan konsep pembelajaran seperti ini : Ambil 5 buah jeruk. Kemudian tanyakan kepada siswa "Berapa buah jeruk yang Bapak bawa? maka siswa akan menjawab 5 buah jeruk.



8.



Kemudian tugaskan salah seorang siswa untuk mengambil 3 buah jeruk, kemudian tanyakan kepada siswa "Berapa buah jeruk yang diambil tadi? maka siswa akan menjawab 3 buah jeruk. Nah selanjutnya guru menuliskan lambang bilangan bahwa 3 buah jeruk yang diambil tadi adalah -3. Dari kegiatan pembelajaran demikian maka siswa akan memahami bahwa



bilangan bulat negatif itu sama seperti sebuah bilangan yang hilang atau tidak ada. Dari kasus pembelajaran tersebut pemahaman siswa akan bilangan bulat



12



negatif menjadi semakin konkret. Pastilah kegiatan tersebut akan sangat menyenangkan bagi siswa.



2.3 Bilangan Real 2.3.1 Pengertian Bilangan real Menurut Negoro dan Harahap (1985) bilangan Riil merupakan gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional. Bilangan Riil dilambangkan dengan huruf R. Bilangan riil yang mula-mula dikenal dengan bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5, . . . . dan ditulis: R= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . }.  Bilangan rasional adalah bilangan yang terbentuk dari bilangan bulat serta



, dengan a dan b



. Himpunan yang terdapat pada bilangan rasional



dapat dikelompokkan menjadi 2 bagian, yaitu : 1) Bilamana habis dibagi, maka ( ) adalah bilangan bulat 2) Bilamana tidak habis dibagi, maka ( ) dinamakan bilangan pecahan  Bilangan Irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai



.



Misalnya : ℼ (phi) = 3, 141592653589793…. ⅇ (euler) = 2,7182818….



2.3.2 Sifat-Sifat Bilangan real Menurut Soemonar (2016) Jika a, b, dan c adalah bilangan real sembarang, maka bilangan real memiliki sifat-sifat sebagai berikut: 1) a + b = b + a (sifat komutatif penjumlahan). 2) a + (b + c) = (a + b) + c (sifat asosiatif penjumlahan). 3) Terdapat bilangan 0 dengan sifat a + 0 = 0 + a = a. 4) Untuk setiap bilangan a terdapat penyelesaian khusus persamaan a + x = 0 yang diberi simbol –a. 5) ab = ba (sifat komutatif perkalian). 6) a (bc) = (ab) c (sifat asosiatif perkalian). 7) Terdapat bilangan 1 dengan sifat a . 1 = 1 . a = a. 8) Untuk bilangan a0 ≠ terdapat penyelesaian khusus untuk ax = 1 yang diberi simbol



.



13



9) a(b + c) = ab + ac (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan). 10) ab = 0 jika dan hanya jika a = 0 atau b = 0. 11) (–a)(–b) = ab dan (–a)b = a(–b) = –ab. 2.3.3 Penerapan bilangan real Bilangan real banyak diterapkan dalam beberapa bidang. Beberapa contoh penerapan bilangan real yaitu bilangan real digunakan untuk melakukan perhitungan dan operasi bilangan untuk menyelesaikan permasalahan seharihari. Dalam bidang matematika, fisika, dan kimia, bilangan real digunakan dalam melakukan perhitungan menggunakan formula/rumus yang telah ada sehingga diperoleh solusinya. Pada bidang-bidang yang lainnya, bilangan real digunakan untuk menuliskan nominal mata uang, akuntansi/pembukuan, menuliskan hasil pengukuran, dan sebagainya.



BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Berdasarkan penjelasan materi diatas dapat disimpulkan bahwa bilangan eksponen adalah bentuk perkalian dengan bilangan yang sama dan diulang-ulang dan bilangan bulat merupakan gabungan bilangan nol, bilangan asli, dan negatif bilangan asli. Sedangkan bilangan Riil merupakan gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional.



3.2 Saran Pembelajaran matematika bagi sebagian orang masih dianggap sebgai suatu mata pelajaran yang sulit. Oleh sebab itu diperlukan penjelasan yang ringkas dan mudah dipahami. Namun, dalam penyusunan makalah ini pastinya banyak kekurangan dalam hal isi atau penyajian oleh karena saran serta kritik yang bersifat membangun sangat diharapkan oleh penulis.



14



DAFTAR PUSTAKA



Arif tiro, Muhammad. Dkk. 2008. Pengenalan Teori Bilangan. Makassar: Andira Publisher. Karim Muchtar A, dkk. 1996. Pendidikan Matematika I. Malang: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. Lastri dan Nafiah. 2017. Sumber Belajar Penunjang PLPG. Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jendral Guru dan Tenaga Kependidikan. Negoro S.T dan Harahap. 1985. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia. Soemonar. 2016. Modul 1 Bilangan Real. Tangerang Selatan: Universitas Terbuka Thomas C. 1998. Exponents. Sydney : University of Sidney Weber, K. 2002. Developing Student Understanding of exponents and Logarithm. Paper presented for a conference. Murray State University.



15