Materi 1 Sistem Bilangan Real [PDF]

Citation preview

Kalkulus I



Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan



Materi 1



Sekar Nugraheni, S.Si.,M.Sc. [email protected]



Department of Mathematics



Universitas Gadjah Mada



Pendahuluan Department of Mathematics



Materi yang Dipelajari



Universitas Gadjah Mada



1. Sistem Bilangan Real 2. Fungsi dan Grafik Fungsi 3. Limit Fungsi dan Fungsi Kontinu 4. Limit Barisan 5. Turunan (Derivatif) 6. Penggunaan Turunan



Pendahuluan Department of Mathematics



Buku Literatur



Universitas Gadjah Mada



1. Supama, dkk., 2003, "Kalkulus 1", FMIPA: Yogyakarta. 2. Stewart, J., 1999, "Calculus, 7th Edition", Brooks/Cole Publishing Company. 3. Purcell, E., Varberg, D. and Rigdon, S., 2006, "Calculus, 9th Edition", United State : Prentice Hall. 4. Simmons, G.F., 1996, "Calculus and Analytic Geometry, 2nd Edition", United State : McGraw-Hill Inc. 5. dll.



Pendahuluan Department of Mathematics



Komponen Penilaian



Universitas Gadjah Mada



1. UTS 2. Tugas 3. Kuis 4. Keaktifan



Sistem Bilangan Real



Sistem Bilangan Real



Department of Mathematics



Universitas Gadjah Mada



Sistem Bilangan Real



Sistem Bilangan Real



Department of Mathematics



Sistem Bilangan Real



Universitas Gadjah Mada



I



N = {1, 2, 3, ...}



I



I



Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} na o Q= : a ∈ Z dan b ∈ N b R



I



C = {a + ib : a, b ∈ R}



I



Sistem Bilangan Real



Department of Mathematics



Sifat Sistem Bilangan Real



Universitas Gadjah Mada



Untuk sebarang bilangan real a, b, c dan d diperoleh 1. sifat komutatif a + b = b + a dan ab = ba 2. sifat asosiatif a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c dan a(bc) = (ab)c = abc 3. sifat distributif a(b + c) = ab + ac



Sistem Bilangan Real



Department of Mathematics



Sifat Sistem Bilangan Real



Universitas Gadjah Mada



Untuk sebarang bilangan real a, b, c dan d diperoleh 1. Asalkan b 6= 0 a 1 =a b b 2. Asalkan b, d 6= 0 a c ad + bc + = b d bd 3. Asalkan b, d 6= 0



4. a(−b) = (−a)b = −(ab) 5. (−a)(−b) = ab 6. −(−a) = a



ac ac = bd bd



Sistem Bilangan Real



Department of Mathematics



Sifat Sistem Bilangan Real



Universitas Gadjah Mada



Untuk setiap bilangan real a 1. Jika a 6= 0 maka 0 =0 a 2. 3. Jika a 6= 0 maka



a tidak terdefinisikan 0 a =1 a



Sistem Bilangan Real



Department of Mathematics



Sifat Sistem Bilangan Real: Hukum Kanselasi



Universitas Gadjah Mada



Untuk setiap bilangan real a, b dan c diperoleh 1. Jika ac = bc dan c 6= 0 maka a = b. 2. Jika b, c 6= 0 maka



ac a = bc b



Sistem Bilangan Real



Department of Mathematics



Sifat Sistem Bilangan Real: Sifat Pembagi Nol



Universitas Gadjah Mada



Teorema Jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0.



Sistem Bilangan Real



Department of Mathematics



Relasi Urutan



Universitas Gadjah Mada



Definisi I



Bilangan real a dikatakan positif, jika a > 0.



I



Bilangan real a dikatakan negatif, jika a < 0.



I



Bilangan real a dikatakan nonnegatif, jika a ≥ 0.



Sistem Bilangan Real



Sifat Urutan Bilangan Real



Department of Mathematics



Universitas Gadjah Mada



Untuk setiap bilangan real a, b dan c, diperoleh 1. Jika a ≤ b maka a + c ≤ b + c, untuk setiap bilangan real c 2. Jika a ≤ b dan b ≤ c maka a ≤ c I Jika a ≤ b dan c > 0 maka ac ≤ bc 3. I



4.



I I



Jika a ≤ b dan c < 0 maka ac ≥ bc 1 Jika a > 0 maka > 0. a 1 1 Jika 0 < a ≤ b maka ≤ . b a



5. Untuk setiap bilangan real a dan b berlaku tepat satu a < b, atau a = b, atau a < b.



Sistem Bilangan Real



Department of Mathematics



Sifat Urutan Bilangan Real



Universitas Gadjah Mada



Jika a, b ≥ 0 maka a ≤ b ⇔ a2 ≤ b 2 ⇔



√



a≤



√



b



Pertidaksamaan



Pertidaksamaan Department of Mathematics



Pertidaksamaan



Universitas Gadjah Mada



I



Garis Bilangan dan Interval



I



Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan.



Pertidaksamaan Department of Mathematics



Pertidaksamaan



Universitas Gadjah Mada



Selesaikan pertidaksamaan berikut. 1. 7x − 2 ≤ 9x + 3 2. −3 < 1 − 6x ≤ 4 3. x 2 + 2x − 12 > 0 4. 2x 2 + 5x − 3 ≥ 0 x +4 ≤0 5. x −3 1 6. ≤4 3x − 2



Pertidaksamaan Department of Mathematics



Pertidaksamaan



Universitas Gadjah Mada



Selesaikan pertidaksamaan berikut. 1 1. 3 ≤0 x − 2x + 1 x +4 ≤ 3x 2. 2x + 1 p 3. x 2 − 2x + 8 < 0 2x + 1 4. √ ≤0 x2 + x + 1



Nilai Mutlak



Nilai Mutlak Department of Mathematics



Nilai Mutlak



Universitas Gadjah Mada



Definisi Nilai mutlak dari bilangan real x, dinotasikan dengan |a|, didefinisikan sebagai ( x, x ≥0 |x| = −x, x < 0.



Nilai Mutlak Department of Mathematics



Nilai Mutlak



Universitas Gadjah Mada



Definisi Nilai mutlak dari bilangan real x, dinotasikan dengan |a|, didefinisikan sebagai ( x, x ≥0 |x| = −x, x < 0. Definisi tersebut dapat pula dinyatakan sebagai √ |x| = x 2 .



Nilai Mutlak Department of Mathematics



Sifat Nilai Mutlak



Universitas Gadjah Mada



1. |x| ≥ 0 2. |x| = 0 jika dan hanya jika x = 0 3. |xy | = |x||y | x |x| , asalkan y 6= 0 4. = y |y |



Nilai Mutlak Department of Mathematics



Sifat Nilai Mutlak: Ketidaksamaan Segitiga



Universitas Gadjah Mada



Teorema Untuk setiap bilangan real x, y berlaku ||x| − |y || ≤ |x + y | ≤ |x| + |y | ||x| − |y || ≤ |x − y | ≤ |x| + |y |



Nilai Mutlak



Sifat Nilai Mutlak



Department of Mathematics



Universitas Gadjah Mada



Teorema Jika a ≥ 0, maka |x| = a



jika dan hanya jika



x = a atau x = −a



|x| ≤ a



jika dan hanya jika



−a ≤ x ≤ a



|x| ≥ 0



jika dan hanya jika



x ≤ −a atau x ≥ a



Nilai Mutlak Department of Mathematics



Sifat Nilai Mutlak



Universitas Gadjah Mada



Untuk setiap bilangan real x dan y |x| ≤ |y | jika dan hanya jika x 2 ≤ y 2 .



Nilai Mutlak Department of Mathematics



Contoh Soal



Universitas Gadjah Mada



Selesaikan pertidaksamaan berikut. 1. |x − 2| ≥ 5 5 2. |2 + | > 1 x 3. |3x + 1| < 2|x − 6| x + 4 ≤2 4. x − 3



Nilai Mutlak Department of Mathematics



Latihan Soal



Universitas Gadjah Mada



Tentukan himpunan penyelesaiannya. 3x − 2 1. ≥1 x −1 3 2. 0 4. 3 ≤ |x − 2| < 5 5. 2|2x − 3| < |x + 10| 6. |3x − 1| < 2|x + 6|



Nilai Mutlak Department of Mathematics



Latihan Soal



Universitas Gadjah Mada



Tentukan Himpunan Penyelesaian 1. ||x| + 3x| ≤ 2 x +2 2. ≥1−x 4 − 2x x − 2 |x| + 2 ≤ 3. 2 x + 9 9 1 1 4. 2 − ≤1 x + 3 |x| + 2 2x + 1 ≤1 5. √ x2 + x + 1