Ali NNNN [PDF]

Citation preview

Nama : Ridho Darmawan Kelas : Tif 2c Tugas 1. Bagaimana matriks standar untuk transformasi linier T: R3R3 yang diberikan oleh: w1 = 3x1 + 5x2 – x3 w2 = 4x1 – x2 + x3 w3 = 3x1 + 2x2 – x3 dan hitung T (-1, 2, 4)! Jawab:



[] [ w1 w2 w3



=



3 5 −1 4 −1 1 3 2 −1



] [] x1 x2 x3



Sehingga matriks standar dari transformasi tersebut adalah 3 5 −1 A= 4 −1 1 3 2 −1



[



]



[]



[



w1 w2 w3



=



=



[



][ ]



3 5 −1 −1 4 −1 1 2 3 2 −1 4



−3+¿ 10−¿ 4 −4−¿ 2+¿ 4 −3+¿ 4−¿ 4



] [] =



3 −2 −3



Jadi, T (-1, 2, 4) = (3, -2, -3) 2. Cari matriks standar untuk transformasi linier T: R2R2 dari (0,-3) yang direfleksikan terhadap garis y=x ! Kemudian tentukan hasil transformasinya! Jawab: Repleksi y=x → 0 1 1 0



[ ]



[ ][ ] [ ] [ ] 0 1 0 1 0 −3



=



0−¿ 3 0+¿ 0



=



−3 0



T = (-3, 0) 3. Cari matriks standar untuk transformasi linier T: R2R2 dari (0,-3) yang diproyeksikan terhadap sumbu x ! Kemudian tentukan hasil transformasinya! Jawab: Proyeksi sumbu x → 1 0 0 0



[ ] [ ][ ] [ ] [ ] 1 0 0 0 0 −3



=



0+¿ 0 0+¿ 0



0 0



=



T = (0, 0) 4. Cari matriks standar untuk transformasi linier T:R 2R2 dari (1,-3) yang dirotasikan berlawanan arah jarum jam sebesar 300! Kemudian tentukan hasil transformasinya! Jawab: Rotasi berlawanan jarum jam sebesar 30⁰ → cos 30⁰ −sin 30⁰ sin 30⁰ cos 30⁰



[



[ ] 1 1 √3−¿ 2 2 1 1 +¿ √ 3 2 2



T=(



[ ] 1 −3



=



]



[ ] [ ] 1 3 √3+¿ 2 2 1 3 −¿ √ 3 2 2



=



3+ √ 3 2 1−3 √ 3 2



3+ √ 3 1−3 √ 3 , ) 2 2



5. Cari matriks standar untuk transformasi linier T:R 3R3 dari (0,-3,1) yang dirotasikan searah jarum jam sebesar 600! Kemudian tentukan hasil transformasinya! Jawab: 6. Cari matriks standar untuk transformasi linier T:R 3R3 dari (0,-3,1) yang didilatasikan sebesar 3 kali! Kemudian tentukan hasil transformasinya! Jawab: 3 0 0 Dilatasi sebesar 3 kali → 0 3 0 0 0 3



[ ]



[ ] [] [ 3 0 0 0 3 0 0 0 3



T (0, -3, 1) = (0, -9, 3)



0 −3 1



=



0+¿ 0+¿ 0 0−¿ 9+ ¿ 0 0+¿ 0+¿ 3



] [] =



0 −9 3



7. Cari matriks standar dan bayangan dari vektor (-2,1) yang dirotasikan searah jarum jam dengan sudut 3/4 kemudian diproyeksikan secara ortogonal terhadap sumbu y, kemudian dilebarkan dengan faktor k=2! Kemudian cari invers dari matriks standar tersebut! Jawab:



[



3π cos θ −sin θ A 1=rotasi → 4 sinθ cos θ



] [ =



cos 135 −sin 135 sin 135 cos 135



]



=



[



−1 −1 √2 √2 2 2 1 −1 √2 √2 2 2



]



[ ] [ ]



A 2= proyeksi sumbu y → 0 0 0 1 A 3=Dilatasi k =2→



T =



=



2 0 0 2



A3 . A2. A1



[ ] [ ] 2 0 0 2



0 0 0 1



=



[ ]



[



=



[√



]



0 0 0 2



0 0 2 −√ 2



[



−1 −1 √2 √2 2 2 1 −1 √2 √2 2 2



−1 −1 √2 √2 2 2 1 −1 √2 √2 2 2



]



]



8. Cari matriks standar dan bayangan dari vektor (-2,1,0) yang direfleksikan terhadap bidang xz, kemudian dirotasikan berlawanan jarum jam terhadap sumbu z dengan sudut 5/4, kemudian disempitkan dengan faktor k=3! Kemudian cari determinan dari matriks standar dan norma dari vektor bayangannya! Jawab: 1 0 0 A 1=Repleksi xz → 0 1 0 0 0 1



[ ]



A 2=Rotasi z denganθ=



[



cos 225 −sin 225 0 5π → sin225 cos 225 0 4 0 0 1



]



=



[



−1 1 √2 √2 0 2 2 −1 −1 √2 √2 0 2 2 0 0 1



]



[ ]



3 0 0 A 3=Disempitkan k =3→ 0 3 0 0 0 3 T =



=



=



=



A3 . A2. A1



[



][



−1 1 √2 √2 0 3 0 0 2 2 1 0 0 0 3 0 −1 −1 0 1 0 2 2 0 √ √ 0 0 3 2 0 0 1 2 0 0 1



[ ]



[ [



−3 3 √2 √2 0 2 2 −3 −3 √2 √2 0 2 2 0 0 3



−3 3 √2 √2 0 2 2 −3 −3 √2 √2 0 2 2 0 0 3



][ ]



1 0 0 0 1 0 0 0 1



]



]



Soal tambahan 1. Tentukan proyeksi ortogonal vektor a terhadap vektor b dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut: 2 a´ = a. 1



()



b.



a´ =



Jawab:



() 2 −1 3



dan



b´ =



(−32)



dan



b´ =



() 1 2 2



a.



proyb a´



‖ proyb a´ ‖



=



[ ][ ] [ ]



=



−6+ 2 9+ 4



=



−4 13



=



[]



=



|√



=



|√ |



2 −3 1 2 2 2 −3 +2



−3 2



[ ] [ ] −3 2



−3 2



12 13 −8 13



−4 2



−3 +2



2



|



−4 13



−4 √13 = √13 x √13



b.



proyb a´



=



=



[ ][ ] [ ] [] [] [] 2 1 −1 2 3 2



12 +22 +22



=



2+ (−2 ) +6 1+ 4+ 4



=



6 9



1 2 2



=



2 3



1 2 2



1 2 2



1 2 2



4 13



√ 13



‖ proyb a´ ‖



=



[]



=



|



=



|√ |



=



6 3



2 3 4 3 4 3



6 √1 +22 +22 2



|



6 9



=2 2. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut A (2, 0, -3), B (1, 4, 5), C (7, 2, 9)! Jawab: ´ ´ BA BC =A– B =C-B = (2, 0, -3) - (1, 4, 5) = (1, -4, -8) ´ BA



´ X BC



=



=



|



= (7, 2, 9) - (1, 4, 5) = (6,-2, 4)



|



|



I J K 1 −4 −8 6 −2 4



|



−4 −8 I −2 4



-



|



|



1 −8 J 6 4



+



|



= (-16 - 16)I – (4 + 48)J + ( -2 + 24)K = - 32 I – 52 J + 22 K = (-32, -52, 22)



|



1 −4 K 6 −2



L∆ =



1 2



=



1 2



√−322−522 +222



=



1 2



√ 1024+2704+ 484



=



1 2



√ 4217



´ ‖ BA



´ X BC



‖



3. Tentukan nilai eigen, vector eigen, dan basis ruang eigen berikut ini. 2 −1 2 A = 1 1 −1 5 0 3



[



]



4. Carilah persamaan bayangan sebuah garis y = 2x + 5 yang dipetakan oleh matriks: 3 −2 A= 4 5



[



]



Jawab:



[ ] [] x' y'



=



x y



=



X = 5x’ + 2y’ Y = -4x’ + 3y’ Persamaan garis: y -4x’ + 3y’ -4x’ + 3y’ 3y’ -4y’ -y’ Y’



[ [



3 −2 4 5



5 2 −4 3



] [] ] [ ] x y



x' y'



= 2x + 5 = 2 (5x’ + 2y’) + 5 = 10x’ + 4y’ + 5 = 10x’ + 4y’ + 5 = 14x’ + 5 .... (-) = -14x’ - 5