Aplikasi Bose-Einstein Dan Fermi-Dirac [PDF]

Citation preview

Nama Anggota Kelompok: 1. Ahmad Samsudin 2. Aisyah Nur Rohmah 3. Dudi Abdu Rasyid 4. Ginanjar 5. Intan Dwi 6. Ricky A. Aplikasi Statistik Bose-Einstein 1.1. Kondensasi Bose-Einstein



Gambar 1.1 Salah satu hasil pengukuran yang membuktikan fenomena kondensasi Bose-Einstein Kita kembali melihat bentuk fungsi distribusi Bose-Einstein. Jumlah sistem yang menempati keadaan dengan energi (



pada suhu T adalah ) {



}



Tampak jelas dari ungkapan di atas bahwa pada suhu yang sangat rendah, sistem-sistem akan terkonsentrasi di keadaan-keadaan dengan energi sangat rendah. Jika



maka



jumlah sistem yang menempati tingkat energi paling rendah, tingkat energi kedua, ketiga dan seterusnya makin dominan. Jumlah sistem yang menempati keadaan 0keadaan dengan nilai energi tinggi makin dapat diabaikan. Hampir semua sistem akan berada pada tingkat energi terendah jika suhu didinginkan hingga dalam orde



. Gambar



di atas memperlihatkan evolusi populasi boson pada tingkat energi terendah (bagian



tengah kurva). Pada suhu



hampir sama boson berada pada tingkat energi paling



rendah Namun ada fenomena yang menarik di sini. Ternyata untuk boson, keadaan dengan energi terendah dapat ditempati oleh sistem dalam jumlah yang sangat besar pada suhu yang jauh lebih tinggi dari



Dengan kata lain, boson tiak tidak perlu menunggu



suhu terendah untuk mendapatkan sistem dalam jumlah yang sangat besar pada tingkat energi terendah. Pada beberapa material, seperti helium, jumlah sistem yang sangat besar pada tingkat energi terendah dapat diamati pada suhu setinggi



. Jadi terjadi semacam



kondensasi boson pada suhu yang jauh lebih tinggi dari prediksi klasik. Fenomena ini dikenal dengan kondensai Bose-Einstein. 1.1.1. Kebergantungan Potensial Kimia pada Suhu Mari kita tengok kembali fungsi distribusi Bose-Einstein. Untuk mudahnya kita gunakan skala energi sehingga tingkat terendah memiliki energi



Populasi



keadaan dengan tingkat energi sembarang diberikan oleh persamaan (1.53). Jumlah ) adalah



populasi yang menempati tingkat energi terendah ( ( Pada suhu



)



{



}



hampir semua sistem menempati keadaan dengan energi terendah.



Dengan demikian, jumlah populasi pada tingkat ini memiliki orde kira-kira sama dengan jumlah total sistem, atau (



)



(



Karena nilai N sangat besar (dalam orde 1/[



*



+



) ) maka ketika



- harus menuju nol. Jika tidak maka 1/[



akan menghasilkan nilai N yang sangat besar. Nilai [ nol hanya jika mendekati 1 jika x



*



*



penyebut pada *



+



- tidak



+



- akan menuju



+ menuju satu. Dari sifat fungsi eksponensial bahwa . Jadi disimpulan bahwa pada



maka dapat dilakukan aproksimasi .



/



akan berlaku



, -



Jadi dapat diaproksimasikan sebagai berikut ini (



)



.



/



Atau



Hubungan pada persamaan (1.57) menyatakan bahwa pada suhu T menuju 0 maka berharga negatif dan merupakan fungsi linear dari suhu. Sebagai ilustrasi, pada T=1 K dan N=



maka



. Ini adalah nilai yang sangat



kecil. Bahkan nilai ini jauh lebih kecil daipada jarak antar dua tingkat energi terdekat dalam assembli atom helium di alam kubus dengan sisi 1 cm. Kebergantungan pada suhu itulah yang menyebabkan peristiwa kondensasi Bose-Einstein. Agar lebih memahami fenomena kondensasi Bose-Einstein, perhatikan sistemsistem yang berada dalam kubus dengan sisi L. Tingkat-tingkat energi yang dimiliki assembli memenuhi (



)



. / (



)



Tingkat energi terendah bersesuaian dengan (



)



, yaitu



. / (



)



Salah satu tingkat energi berikutnya bersesuaian dengan yaitu, (



)



. / (



)



Selisih tingkat energi terendah dan tingkat energi berikutnya adalah (



)



(



)



. /



Jika assembli tersebut adalah atom helium ( dengan sisi 1 cm makan



) dalam kubus .



Apabila kita prediksi populasi sistem pada tingkat energi eksitasi pertama dan tingkat energi terendah dengan menggunakan statistik Maxwell-Boltzman adalah (



)



Pada suhu



maka (



)



Hasil diatas berarti bahwa pada suhu



, tingkat energi terendah dan eksitansi



pertama memiliki populasi yang hampir sama. Namun, dengan statistik BoseEinstein didapatkan hasil yang sangat berbeda. Dnegan asumsi N=



dan suhu



T= 1 mK maka kita peroleh



Jumlah populasi yang menempati tingkat energi eksitasi pertama (tepat di atas tingkat energi paling rendah) adalah ( Karena



) . Lebih lanjut, mengingat | |



maka



maka



. Dengan demikian (



) (



)



Dengan demikian, fraksi sistem pada tingkat energi eksitasi pertama adalah (



)



Tampak bahwa fraksi sistem pada tingkat energi eksitasi pertama amat kecil. Ini berarti bahwa sebagian besar sistem berada pada tingkat energi terendah. 1.1.2. Suhu Kondensasi Einstein Kerapatan keadaan kuantum untuk sistem dengan spin nol dapat ditulis dengan ( )



(



)



Pada suhu T menuju 0 sebagian sistem menempati tingkat energi terendah dengan jumlah yang sangat signifikan. Jumlah total sistem dalam assembli dapat ditulis ∑ (



)



( )



( )



∑



(



∫ ( ) (



)



)



( )



( )



( ) adalah jumlah sistem pada tingkat energi terendah dan



Dengan ∫ ( ) (



)



( )



dan jumlah total sistem yang menempati tingkat-tingkat energi



lainnya. Dengan mengambil skala energi



maka jumlah sistem pada tingkat



energi terendah dapat ditulis ( )



.



/



Jumlah sistem yang menempati semua tingkat energi lainnya adalah ( )



(



(



) ∫



)



.



∫



/



Misalkan E/kT=x. Dengan demikian √



√



(



√



( )



)



(



)



Selanjutnya integralnya dapat ditulis √



∫



∫



√ ( )



Akhirnya didapatkan ( ) Dengan



(



( )



) dinamakan konsentrasi kuantum.



Kita definisikan suku kondensasi Bose-Einstein,



sebagai suhu ketika jumlah



sistem pada keadaan terkesitasi persis sama dengan jumlah total sistem. Jadi pada T=



terpenuhi



. Dengan menggunakan persamaan (1.62) didapatkan



bahwa pada suhu kondensasi Bose-Einstein terpenuhi (



)



Yang memberikan (



)



Gambar 1.2 Fraksi superfluida (sistem yang menempati keadaan dasar) dan fluida normal (sistem yang menempati keadaan eksitasi) dalam assembli boson sebagai fungsi suhu ketika suhu berada di bawah suhu kondensasi Bose-Einstein. Pada sembarang suhu yang mendekati nol derajat, fraksi jumlah sistem pada keadaan tereksitasi adalah ( )



(



)



Berarti pula bahwa fraksi jumlah sistem pada keadaan paling rendah adalah ( )



( )



(



)



Gambar 1.11 adalah fraksi boson yang mempunyai keadaan energi terendah yang menempati keadaan terkesitasi



dan boson



sebagai fungsi suhu. Boson yang terkodensasi



membentuk fase yang dinamakan superfluida dan boson yang menempati keadaan tereksitasi dinamakan fluida normal. Superfluida hanya dijumpai ketika suhu



lebih rendah dari



.



B. Aplikasi Statistik Fermi-Dirac 2.1. MOS Transistor Metal Oxida Semiconductor Transistor (MOS Transistor), adalah divais simekonduktor yang bekerja berdasarkan transport elektron ataupun hole dalam pita energi. Gambar 2.1 di bawah adalah model sebuah MOS Transistor yang berada di atas subtrat Silikon-n. MOS Transistor memiliki tiga penghubung diantaranya Source, Drain dan Gate yang bekerja dengan prinsip : jika ada tegangan diberikan pada elektroda gate , maka transistor akan



hidup dan arus akan mengalir dari source menuju drain, kebalikannya jika tegangan pada gate dimatikan, maka transistor akan mati sehingga tidak ada arus yang mengalir dari source ke drain.



Gambar 2.1. Desain sebuah MOS Transistor Dalam statistik Fermi Dirac, partikel-partikel di dalam sistem (ensemble) dianggap sebagai partikel-partikel yang tak terbedakan, tetapi partikel tersebut harus memenuhi prinsip larangan Pauli yang menyatakan bahwa partikel tidak dapat berada pada keadaan kuantum (keadaan energi) yang sama, artinya setiap partikel akan berada pada keadaan tertentu yang diperbolehkan tetapi keadaan masing-masing partikel berbeda diantara satu dengan lainnya. Harga



dalam statistik Fermi Dirac dinyatakan dengan: (



)



dimana : Banyaknya keadaan-keadaan mikro yang mungkin terjadi pada keadaan makro k : bilangan okupasi : keadaan makro pada tingkat energi ke-j Fermi Dirac menurunkan persamaan fungsi distribusi jumlah bilangan okupasi rata-rata untuk setiap keadaan pada tingkat energi ke j sebagai: ̅ .



/



dimana ̅



: Jumlah partikel rata-rata untuk setiap keadaan makro pada tingkat energi ke j : Harga kuantum energi pada tingkat keadaan ke j : potensial kimia perpartikel : konstanta Boltzman = 1,38 × 10-23 J/K



T



: Temperatur sistem



Partikel yang memenuhi fungsi distribusi Fermi Dirac digolongkan sebagai fermion, dan yang tergolong sebagai fermion (partikel dengan spin kelipatan ganjil dari ½) adalah elektron, proton, dan inti atom dengan jumlah nukleon ganjil. 2.1.1. Fungsi Distribusi Fermi Dirac dan Level Fermi Pita konduksi adalah bagian dari semikonduktor yang terisi disediakan oleh level energi yang kosong. Ketika mengjitung jumlah elektron yang akan mengisi level tersebut dan dihitung dalam n, berkontribusi pada konduktivitas, kita mengacu pada dua faktor: 



Berapa jumlah energi level yang ada dalam memberi range energi, dalam kasus kita yaitu pita konduksi







Kemungkinan masing-masing level penuh akan elektron



Kemungkinan bagian kedua memberikan fungsi probabilitas yang disebut fungsi distribusi Fermi Dirac. f(E) adalah kemungkinan level dengan energi E akan terisi oleh elektron, ditunjukan dalam persamaan: ( ) Dimana



{(



) (



adalah konstanta Boltzman (



)} ), dan T adalah



temperatur dalam Kelvin. adalah energi Fermi atau level Fermi. Dia ditentukan dari titik energi dimana probabilitas okupasi oleh elektron hampir 50% atau 0,5: (



)



((



) (



))



( )