BAB 18 Transformasi Geometri Fixs [PDF]

Citation preview

BAB 18 TRANSFORMASI GEOMETRI Pada bab ini akan dipelajari mengenai Translasi (pergeseran), Refleksi (pencerminan), Rotasi (perputaran), Dilatasi (perbesaran/pengecilan), transformasi matriks, komposisi dua transformasi. A. TRANSLASI (PERGESERAN) 1. Translasi pada titik Titik A (x,y) ditranslasi oleh



ba



maka akan menghasilkan bayangan



titik A’(x + a, y + b) Contoh : Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan B(3,5). Tentukan koordinat bayangan segitiga OAB tersebut jika 1 ditranslasi oleh T = 3







jawab :



 1 T  3   A’(3+1, 0+3) = A’(4,3) 1 T  3   B’ (3+1, 5+3) = B’(4,8) 1 T3



titik O (0,0)   O’(0+1, 0+3) = O’(1,3) titik A (3,0) titik B (3,5) 2.



Translasi pada garis Garis Ax + By + C = 0 ditranslasi oleh



ba



bayangan garis : A(x – a) + B(y – b) + C = 0 Contoh :



maka akan menghasilkan



 



1 Bayangan persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 oleh translasi T = 3 ! adalah…. Jawab : Metode supertrik : cari lawannya !



 x  12   y  32  25



 x2  2x  1  y2  6y  9  25  x2  y2  2x  6y  15  0



215



B. REFLEKSI (PENCERMINAN) 1. Refleksi Pada Titik Misalkan titik A (x,y) akan direfleksi terhadap : a. Sumbu x Menghasilkan bayangan titik A’ (x,– y) sumbu x A  x,y    A'  x, y 



b. Sumbu y Menghasilkan bayangan titik A’(– x, y) sumbu y A  x,y    A' x,y 



c.



Garis y = x atau y – x = 0 Menghasilkan bayangan titik A’ ( y, x) garis y  x A  x,y     A' y,x 



d. Garis y = – x atau x + y = 0 Menghasilkan bayangan titik A’(–y,–x) garis y   x A  x,y    A' y, x 



e.



Garis x = h Menghasilkan bayangan titik A’ (2h – x, y) garis x  h A  x,y    A'2h  x, y 



f.



Garis y = k Menghasilkan bayangan titik A’(x,2k– y) garis y  k A  x,y    A' x, 2k  y 



g.



Titik asal (0,0) Menghasilkan bayangan titik A’(–x,–y) titik asal A  x,y    A' x, y 



2.



h. Garis y = x + k y x k A  x,y    A'  x',y'  dengan x'  y  k y'  x  k Refleksi Pada Garis Misalkan garis 3x + 4y – 12 = 0 direfleksikan terhadap : a. Sumbu x  x, y  Bayangannya : 3(x) + 4( - y) – 12 = 0 atau 3x – 4y – 12 = 0 b. Sumbu y   x,y 



216



Bayangannya : 3(- x) + 4( y) – 12 = 0 atau – 3x + 4y – 12 = 0 Garis y = x ( y,x) Bayangannya : 3(y) + 4(x) – 12 = 0 atau 4x + 3y – 12 = 0 d. Garis y = x ( - y, - x) Bayangannya : 3(- y) + 4(- x) – 12 = 0 atau – 3y – 4x – 12 = 0 e. Garis x = k Bayangannya : 3(2.k – x) + 4(y) – 12 = 0 f. Garis x = h Bayangannya : 3(x) + 4(2.h – y) – 12 = 0 g. Titik asal ( - x, - y) Bayangannya : 3(- x) + 4(- y) – 12 = 0 atau – 3x – 4y – 12 = 0 c.



C.



ROTASI (PERPUTARAN) adalah perputaran. Rotasi ditentukan oleh pusat rotasi dan besar sudut rotasi. 1. Rotasi Pada Titik a. Rotasi dengan pusat (0,0) dan besar sudut  cos   sin  x MR 0,   sin  cos  y







 



Metode supertrik : Jika titik A (x,y) dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 90 0 berlawanan arah dengan jarum jam akan menghasilkan bayangan titik A’(- y,x). Jika titik A (x,y) dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 900 searah dengan jarum jam akan menghasilkan bayangan titik A’( y, - x). Jika titik A (x,y) dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 1800 akan menghasilkan bayangan titik A’( - x, - y) b. Rotasi dengan pusat P(a,b) dan besar sudut  RP,  A  x,y    A'  x',y'  dengan x' a   x  a  cos    y  b  sin  y' b   x  a  sin    y  b  cos  2.



Rotasi Pada Garis dan Kurva a. Rotasi dengan pusat (0,0) dan besar sudut  cos   sin  x MR 0,   sin  cos  y







 



Metode supertrik :



217



-



-



-



Jika garis ax + by + c = 0 dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 900 berlawanan arah dengan jarum jam akan menghasilkan bayangan garis : ay – bx + c = 0 Jika garis ax + by + c = 0 dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 900 searah dengan jarum jam akan menghasilkan bayangan garis : – ay + bx + c = 0 Jika garis ax + by + c = 0 dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 1800 akan menghasilkan bayangan garis : – ax – by + c = 0.



b. Rotasi dengan pusat (a,b) dan besar sudut  RP,  A  x,y    A'  x',y'  dengan x' a   x  a  cos    y  b  sin  y' b   x  a  sin    y  b  cos  D. DILATASI Adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya. 1. Dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala k Rumus :   A  x,y   A' kx,ky  0,k



2.



Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor skala k Rumus :   A  x,y   A'  x',y'  dengan:  x'  x a  y '   k y  1  k  b   Dilatasi pada titik Contoh : Tentukan bayangan titik A (3, - 4) oleh dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala 2 ! Jawab : Bayangan titik A adalah A’ (3.2, - 4.2) atau A’ (6, - 8) Dilatasi pada garis P,k







3.



4.







  y mx  c  y  mx  ck Contoh : Tentukan bayangan garis 3x + 4y – 12 = 0 yang didilatasikan dengan pusat (0,0) dan faktor skala 3 ! Jawab : 0,k



218



5.



Bayangan garis 3x + 4y – 12 = 0 adalah 3x + 4y – 12(3) = 0 atau 3x + 4y – 36 = 0 Dilatasi pada kurva Dilatasi pada kurva y = ax 2 + bx + c oleh D[0,n] menghasilkan



  x 2  x   bayangan kurva y n a   b    c   n     n  Contoh : Tentukan bayangan kurva y = x2 – 2x + 5 oleh dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala 3 ! Jawab : Metode supertrik pada dilatasi kurva :   x 2  x   y  n a    b    c   n     n   x 2   x2 2x  x  y  3    2    5   y  3    5 3 3 9 3        x2 y  2x  15 kalikan 3 3 2  x  6x  3y  45  0 E.



TRANSFORMASI MATRIKS Basic concept : Transformasi Matriks Identitas ' 1 0 x  x Translasi



Refleksi terhadap sumbux Refleksi terhadap sumbuy Refleksi terhadap garis y=x



    y    y   ' 0 1   x' x p  y'        y q ' 1 0 x x         y      1  ' 0   y  '  10 x  x         y       ' 0 1  y  ' 0 1 x  x      y    y   ' 1 0   219



Refleksi terhadap garis y=-x Refleksi terhadap titik pusat/asal (0,0) Refleksi terhadap garis y=x+k Refleksi terhadap garis y=-x+k Rotasi dengan pusat (0,0) dan sudut putar α Rotasi dengan pusat P(a,b) dan sudut putar α Dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor dilatasi k Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor dilatasi k



' 0  1 x  x         y       1 0  '  y  '   1 0 x x         y      1  ' 0   y 



 x'y' 0 1 x 0   1 0  y  k    k   x'y' 0 1 x 0   1 0  y  k    k   x'y' cos   sin  x   sin  cos   y   x'y' ba cos   sin  x  a   sin  cos   y  b 



' k 0 x  x       y  0 k y  '     



 x'y' k 0 x a a   0 k  y  b   b 



PAKET SOAL DAN PEMBAHASAN 1.



UN 2011 Bayangan garis x – 2y = 5 jika ditransfomasikan dengan matriks 3 5 transformasi 1 2 dilanjutkan dengan pencerminan terhadap



 



sumbu x adalah…



220



A. 11x + 4y = 5 B. 4x + 2y = 5 C. 4x + 11y = 5 D. 3x + 5y = 5 E. 3x + 11y = 5 Pembahasan : Cari invers matriks terlebih dahulu : 1 2 5 x 3 5 2x  5y 1 2  6  5 1 3 y  x  3y Maka bayangan garis x – 2y = 5 menjadi (2x – 5y) – 2(3y – x) = 5 4x – 11y = 5 kemudian direfleksi terhadap sumbu x :



 







  







  4x 11y  5  4  x   11 y   5 4x  11y  5 sb.x x, y



Jawaban:C



2.



UN 2012 Persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 4 jika dicerminkan terhadap 3 garis x = 2 dilanjutkan dengan translasi 4 adalah…



 



A.



x2  y2 2x 8y 13 0



B.



x2  y2 2x 8y 13 0



C.



x2  y2 2x  8y 13 0



D.



x2  y2 2x  8y 13 0



E. x2  y2  8x 2y 13 0 Pembahasan : Metode supertrik : pada lingkaran, langsung mencari bayangan pusat lingkaran, jari – jari tetap a 0 x 2 pusat b  0  2.2  0,0    4,0 



 40 40 4341 ba 3 T 4   



Jadi, bayangan pusat lingkaran = (1,4) Trik : yang ditengah =  2a, 2b 



221



x2  y2  2x  8y  13  0  2 .1, 2 .4











Jawaban:A 3.



UN 2012 Bayangan kurva y = 3x – 9x2 jika dirotasi dengan pusat O (0,0) sejauh 900 dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O (0,0) dan faktor skala 3 adalah… A. x  3y2  3y B.



x  y2  3y



C.



x  3y 2  3y



D.



y  3x2  3x



E. y  x2  3x Pembahasan : x R0,90 y y  x 2 bayangan kurva menjadi  x   3 y   9  y  2 atau  x  3y  9y   y   y 2  D0,3 x  3y  9y2   x  3 3    9      3   3   2 2   x  3y  3y atau x  3y  3y







 



Jawaban:A 4.



UN 2010 Persamaan bayangan garis y = 2x – 3 karena refleksi terhadap garis x + y = 0, dilanjutkan refleksi terhadap garis y – x = 0 adalah… A. y + 2x – 3 = 0 B. y – 2x – 3 = 0 C. 2y + x – 3 = 0 D. 2y – x – 3 = 0 E. 2y + x + 3 = 0 Pembahasan : x y  x  y y  x x   x   y y 







 



 



222



Jadi bayangan garis y = 2x – 3 adalah (– y) = 2(– x) – 3 atau y – 2x – 3 = 0 Jawaban:B



5.



Bayangan kurva y = x2 – x + 3 yang ditransformasikan oleh matriks 0 1 1 0 1 0 dilanjutkan oleh matriks 0 1 adalah…















A.



y  x2  x  3



B.



y  x2  x  3



C.



x  y2  y  3



D.



x  y2  y  3



E. x  y2  y  3 Pembahasan :  x'   1 0 0  1  y'   0 1 1 0   0 1 x  1 0 y 1 0 cari inversnya  1 1 1 y   1  x bayangankurva :  x    y 2   y   3 x  y2  y  3







   







 xy 







 



1 x 0 y y x



 



Jawaban:C



PAKET SOAL LATIHAN 1.



 



1 Bayangan garis 3x + 4y – 12 = 0 ditranslasikan oleh T=  2 adalah… A. B. C. D. E.



4x + 3y – 7 = 0 4x + 3y + 7 = 0 3x + 4y – 7 = 0 3x + 4y + 7 = 0 3x + 4y + 14 = 0



223



2.



3.



Bayangan garisk 3x – 5y + 15 = 0 yang didilatasikan oleh [O,5] adalah… A. 3x – 5y – 10 = 0 D. 15x – 25y + 75 = 0 B. 3x – 5y + 25 = 0 E. 8x + 10y + 20 = 0 C. 3x – 5y + 75 = 0 3 Garis 2x + 3y = 6 ditranslasikan dengan matriks 2 dan dilanjutkan



 



 



1 dengan 1 . Bayangan garis tersebut adalah… A. 2x + 3y + 5 = 0 B. 2x + 3y – 5 = 0 C. 2x – 3y + 5 = 0 4.



D. 3x + 2y – 5 = 0 E. 3x + 2y + 5 = 0



Persamaan bayangan lingkaran



 x  2 2   y  32  25



oleh rotasi



dengan pusat (0,0) sejauh setengah putaran searah dengan jarum jam, dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = 2 adalah… A. B. C. D. E. 5.



6.



7.



 x  2 2   y  32  25  x  2 2   y  32  25  x  2 2   y  32  25  x  32   y  2 2  25  x  32   y  2 2  25



Jika titik (p,q) direfleksikan terhadap sumbu Y kemudian dilanjutkan 2 1 dengan transformasi matriks 1 2 menghasilkan titik (1, - 8), maka











nilai p + q = … A. 2 D. – 2 B. 1 E. – 3 C. – 1 Persamaan bayangan parabola y = 2x2 – 4x + 3 jika dicerminkan terhadap sumbu x dilanjutkan dengan rotasi pusat O sejauh 900, dan dilanjutkan dilatasi terhadap pusat O faktor skala 2 adalah… A. x = y2 + 2y – 6 D. x = y2 – 4y – 6 2 B. x = y + 4y – 6 E. x = y2 – 4y + 6 C. x = y2 + 4y + 6 Bayangan segitiga ABC, dengan titik A (2,1), B (6,1), dan C(5,3) oleh pencerminan terhadap sumbu Y dilanjutkan rotasi O, adalah… A.



A"2, 1 , B"6, 1 ,C" 5,3



224



8.



B.



A" 1,2 , B" 1,6 ,C"3,5



C.



A" 2, 1 , B" 6, 1 ,C" 5,3



D.



A"2,1 , B"6,1 ,C" 5, 3



E.



A"1, 2 , B"1, 6  ,C" 3,5



Bayangan kurva y = x2 + x + 3 yang ditransformasikan oleh matriks 0 1 1 0 1 0 dilanjutkan oleh matriks 0 1 adalah…



















A.



y  x2  x  3



D. y  x2  x  3



B.



x  y2  y  3



E. x  y2  y  3



C. x  y2  y  3 9. Bayangan titik B oleh pencerminan terhadap garis x = – 2 dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu y adalah (– 3, 4), koordinat titik B adalah… A. (7, – 4) D. (– 4, 7) B. ( – 7, 4) E. (– 4,– 7) C. (7,4) 10. Bayangan titik P (4,6) oleh refleksi garis y = x + 3 adalah… A. P’ (3,6) D. P’ (7,3) B. P’ (3,7) E. P’ (6,3) C. P’ (4,7)



225