Bab-4 (Stat Mat) [PDF]

Citation preview

BAB IV BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU 4.1



Distribusi Normal 



Distribusi normal sering pula disebut Distribusi Gauss. Suatu variabel random X yang distribusinya berbentuk lonceng seperti pada gambar 4.1 disebut variabel random normal.



Gambar 4.1 Kurva Normal 



Persamaan



matematik



distribusi



peluang



variabel



normal



kontinu



bergantung pada dua parameter  dan  yaitu rataan dan simpangan baku. Jadi fungsi padat X akan dinyatakan dengan n (x; , ). Distribusi normal fungsi padat variabel random normal X, dengan rataan  dan variasi 2 adalah : n (x; , ) =



1 2



e (1 / 2)[ X  ) /  ]



2



– 0 dan  > 0 



Distribusi gamma khususnya dengan  = 1 disebut distribusi eksponensial. Variabel random kontinu X berdistribusi eksponensial, dengan parameter , bila fungsi padatnya diberikan oleh : f (x) =



1 x e 



x>0



=0



untuk x yang lain



dengan  > 0.



40



 Distribusi gamma khas yang kedua diperoleh bila  = /2,  = 2 dan  bilangan bulat positif disebut distribusi Khi Kuadrat dengan derajat kebebasan . Variabel random kontinu X berdsitribusi Khi Kuadrat, dengan derajat kebebasan , bila fungsi padatnya diberikan oleh :



1 f (x) =







 2



2 2 



x







2 1



e



x



2



dengan  bilangan positif



x>0 untuk x yang lain.



 Teorema : Rataan dan variansi distribusi gamma adalah : =



2 =  2



dan



sehingga diperoleh rataan dan variansi distribusi eksponensial adalah : =



2 = 2



dan



rataan dan variansi distribusi khi kuadrat adalah : = 4.5



2 = 2



dan



Distribusi Weilbull  Variabel random kontinu T berdistribusi Weibull, dengan parameter  dan , jika fungsi padatnya diberikan oleh : f (t)



=   t-1 e t







t>0



=0



untuk t yang lain



dengan  > 0 dan  > 0  Teorema : Rataan dan variansi distribusi weibull adalah : 



1











 = -1/  1     = 2







2



2   2   1       1    1          B         







41



Soal – Penyelesaian 1. Diketahui suatu distribusi normal dengan  = 50 dan  = 10, carilah peluang bahwa X mendapat harga antara 45 dan 62. Penyelesaian : Nilai z yang berpadanan dengan x1 = 45 dan x2 = 62 adalah : z1 =



x 1   45  50   0,5  10



z2 =



x 2   62  50   1,2  10



Jadi, P (45 < X < 62) = P (-0,5 < Z < 1,2) Dengan menggunakan tabel 4, diperoleh : P (45 < X < 62) = P (Z < 1,2) – P (Z < -0,5) = 0,849 – 0,3085 = 0,5764 2. Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluang suatu bola lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam. Penyelesaian : Distribusi umur lampu dapat digambarkan sebagai berikut :



 = 40



778 800



834



Nilai z yang berpaduan dengan x1 = 778 dan x2 = 834 adalah : z1 =



778  800  0,55 40



z2 =



834  800  0,85 40



Dengan tabel 4 diperoleh :



42



x



P (778 < X < 834) = P (-0,55 < Z < 0,85) = P (Z < 0,85) – P (Z < -0,55) = 0,8023 – 0,2912 = 0,5111 3. Nilai rata-rata 300 mahasiswa tahun pertama secara penghampiran berdistribusi normal dengan rataan 2,1 dan simpangan baku 0,6. Berapa banyak mahasiswa yang dapat diharapkan mempunyai nilai diantara atau sama dengan 2,5 dan 3,5 bila perhitungan nilai rata-rata dibulatkan sampai persepuluhan terdekat. Penyelesaian : Karena nilai rata-rata dibulatkan sampai persepuluhan terdekat maka kita misalkan x1 = 2,45 dan x2 = 3,55. Sehingga harga z padanannya adalah :



Jadi,



z1 =



2,45  2,1  0,58 0,6



z2 =



3,55  2,1  2,42 0,6



P (2,45 < X < 3,55) = P (0,58 < Z < 2,42) = P (Z < 2,42) – P (Z < 0,58) = 0,9922 – 0,7190 = 0,2732



Jadi 27,32 % mahasiswa yang mendapat nilai diantara atau sama dengan 2,5 dan 3,5 atau sekitar 82 dari 300 mahasiswa. 4. Suatu proses menghasilkan sejumlah barang yang 10% cacat. Bila 100 barang diambil secara random dari proses tersebut, berapakah peluang bahwa banyaknya yang cacat melebihi 13? Penyelesaian : Banyaknya yang cacat berdistribusi binomial dengan parameter n = 100 dan p = 0,1. Karena ukuran sampel besar maka dengan hampiran kurva normal diperoleh :  = np = (100) (0,1) = 10 43



 =



npq 



(100)(0,1)(0,9)  3,0



untuk memperoleh peluang yang ditanyakan, maka dicari luas sebelah kanan x = 13,5 dan harga z yang berpadanan adalah : z



=



13,5  10  1,167 3



Jika X menyatakan banyaknya yang cacat maka : 100



P (X > 13) =



 b( x;100,



0,1)



x 14



 P (Z > 1,167) = 1 – P (Z < 1.167) = 1 – 0,8784 = 0,1216 5. Suatu ujian, pilihan ganda terdiri atas 200 soal masing-masing dengan 4 pilihan dan hanya satu jawab yang benar. Tanpa memahami sedikitpun masalahnya dan hanya dengan menerka saja, berapakah peluang seorang murid menjawab 25 sampai 30 soal dengan benar untuk 80 dari 200 soal? Penyelesaian : Peluang menjawab benar untuk tiap soal dari 80 adalah p = ¼. Bila X menyatakan banyaknya jawaban yang benar dengan hanya menerka saja, maka : P (25  X  30) =



1  b x;80,  4 x  25  30







dengan menggunakan hampiran kurva normal diperoleh :  = np = (80) (1/4) = 20  =



npq 



 80  1  3   3,87  4  4 



diperlukan luas antara x1 = 24,5 dan 30,5 sehingga harga z padanannya adalah : z1 =



24,5  20  1,163 3,87



z2 =



30,5  20  2,173 3,86



Dengan menggunakan tabel 4, diperoleh : 44



1  b x;80,  4 x  25  30







P (25  X  30) =



 P (1,163 < Z < 2,713) = P (Z < 2,713) – P (Z < 1,163) = 0,9966 – 0,8776 = 0,1190 6. Suatu sistem mengandung sejenis komponen yang daya tambahnya dinyatakan oleh variabel random T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter  = 5. Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasang dalam sistem yang berlainan, berapakah peluang bahwa paling sedikit dua masih akan berfungsi pada akhir tahun ke delapan? Penyelesaian : Peluang bahwa suatu komponen tertentu masih akan berfungsi setelah 8 tahun adalah : P (T > 8) = =



1   15 e dt 5 8



e



8



5



 0,2 Jika X menyatakan banyaknya komponen yang masih berfungsi setelah 8 tahun. Dengan menggunakan distribusi binomial, diperoleh : P (X  2) =



5



 ( x;5,



0,2)



x 2



= 1



1



 ( x;5,



x 0



= 1 – 0,7373 = 0,2627



45



0,2)



LATIHAN SOAL (BAB IV) 1.



Diketahui distribusi normal dengan  = 200 dan 2 = 100, hitunglah : a. luas di bawah 214; b. luas di atas 179; c. luas antara 188 dan 206; d. titik sehingga luas di bawahnya 80%; e. kedua titik setangkup terhadap 200 yang mengapit 75% luas bagian tengah.



2.



Diketahui peubah X yang berdistribusi normal dengan rataan 18 dan simpangan baku 2,5. Hitunglah : a. P(X < 15); b. Nilai k sehingga P(X < k) = 0,2578; c. P (17 < X < 21); d. Nilai k sehingga P(X > k)=0,1539.



3.



Tinggi 1.000 mahasiswa berdistribusi normal dengan rataan 174,5 cm dan simpangan baku 6,9 cm. Bila pengukuran dibulatkan ke setengah cm terdekat, berapa banyakkah dapat diharapkan tinggi mahasiswa: a. kurang dari 160,0 cm? b. antara, dan termasuk 171,5 dan 182,0 cm? c. sama dengan 175,0 cm? d. lebih besar atau sama dengan 188 cm?



4.



Dalam suatu ujian matematika nilai rata-rata adalah 82 dengan simpangan baku 5. Semua mahasiswa yang bernilai dari 88 sampai 94 mendapat B. Bila nilai berdistribusi hampiran normal dan delapan mahasiswa mendapat nilai B, berapa orangkah yang mengikuti ujian tersebut?



5.



IQ 600 pelamar ke suatu perguruan tinggi berdistribusi hampiran normal dengan rataan 115 dan simpangan baku 12. Bila perguruan tinggi itu hanya menerima



46



yang mempunyai IQ paling rendah 95, berapa banyakkah pelamar yang akan ditolak jika hanya didasarkan atas ketentuan ini tanpa memandang kemampuan yang lain? 6.



Rata-rata curah hujan, dicatat ke perseratusan cm yang terdekat, di Bandung ada bulan Oktober adalah 9,22 cm. Bila dimisalkan distribusinya normal dengan simpangan baku 2,83 cm, hitunglah peluang bahwa bulan Oktober yang akan datang Bandung akan mendapat hujan?



7.



Umur rata-rata sejenis mesin 10 tahun dengan simpangan baku 2 tahun. Pabriknya mengganti dengan gratis semua mesin yang rusak selama masa garansi. Bila pabrik tersebut bersedia hanya mengganti 3% dari mesin yang rusak, berapa lamakah masa garansi yang seharusnya ditawarkannya? Misalkanlah bahwa umur mesin berdistribusi hampiran normal.



8.



Dua dadu dilantunkan 180 kali. Berapakah peluang mendapat jumlah 7? a. paling sedikit 25 kali? b. antara, dan termasuk, 33 dan 41 kali? c. tepat 30 kali?



9.



Peluang seseorang sembuh dari suatu operasi jantung (yang rumit) adalah 0,9. Berapakah peluang bahwa antara, dan termasuk, 84 dan 95 dari 100 orang yang dioperasi akan sembuh?



10. Suatu survei penduduk suatu kota di Amerika Serikat menunjukkan bahwa 20% lebih menyukai telepon yang berwarna putih daripada warna lainnya yang tersedia. Berapakah peluang bahwa antara, dan termasuk, 170 dan 185 dari 1.000 telepon yang akan dipasang di kota tersebut akan berwarna putih? 11. Suatu perusahaan farmasi mengetahui bahwa rata-rata 5% dari sejenis pil mempunyai campuran di bawah kekuatan minimum, sehingga tak memenuhi persyaratan. Berapakah peluang bahwa kurang dari 10 dalam contoh 200 pil tidak memenuhi persyaratan? 47



12. Bila peubah acak X berdistribusi gamma dengan  = 2 dan  = 1, hitunglah P (1,8 < X < 2,4). 13. Di suatu kota. pemakaian air sehari (dalam jutaan liter) berdistribusi hampiran gamma dengan  = 2 dan  = 3. Bila kemampuan menyediakan air 9 juta liter sehari, berapakah peluang pada suatu hari tertentu persediaan air tidak mencukupi? 14. Lamanya waktu untuk melayani seseorang di suatu kafetaria merupakan suatu peubah acak berdistribusi eksponensial dengan rataan 4 menit. Berapakah peluang seseorang akan dilayani dalam waktu kurang dari 3 menit pada paling sedikit 4 dari 6 hari berikut? 15. Umur dalam tahun suatu jenis tombol listrik berdistribusi normal dengan tingkat kegagalan 0 = 2. Bila 100 alat semacam ini dipasang dalam sistem yang berlainan, berapakah peluang paling banyak 30 akan gagal selama tahun pertama?



48