![BAB 6 Kuartil, Desil, Dan Persentil [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/bab-6-kuartil-desil-dan-persentil.jpg)
5 0 1 MB
PERTEMUAN 6 KUARTIL, DESIL, DAN PERSENTIL ================================================================= Setelah mempelajari materi ini, diharapkan kepada para pengguna mampu: Memahami dan mengaplikasikan kuartil, desil, dan persentil. Adapun materi yang dibahas meliputi: 1. Pengertian Kuartil, Desil, dan Kuartil 2. Kuartil Data Tunggal 3. Desil Data Tunggal 4. Persentil Data Tunggal 5. Rumus Kuartil, Desil, Persentil Data Kelompok 6. Kuartil Data Kelompok 7. Desil Data Kelompok 8. Persentil Data Kelompok ======================================================================================
A. PENGERTIAN KUARTIL, DESIL, DAN PERSENTIL Kuartil, desil, dan persentil adalah cara membagi data menjadi sama banyak. Kuartil membagi data menjadi 4 (empat) sama banyak. Desil membagi data menjadi 10 (sepuluh) sama banyak. Persentil membagi data menjadi 100 (seratus) sama banyak. Melalui halaman ini akan dikupas rumus kuartil, desil, dan persentil. Setiap data yang terbagi sama banyak dibatasi oleh sebuah nilai. Pada kuartil, empat data yang dibagi menjadi sama banyak dibatasi oleh 3 tiga nilai kuartil yaitu kuartil atas, kuartil tengah, dan kuartil bawah. Rumus kuartil, desil, dan persentil digunakan untuk menentukan nilai yang menjadi batas tersebut. Begitu juga dengan desil dan persentil, data yang terpisahkan sama banyak dibatasi oleh masing-masing nilai desil atau persentil. Kegunaan Kuartil dapat di gambarkan sebagai berikut: Nilai hasil ujian tertulis terhadap 100 pelamar telah diurutkan dari nilai terendah sampai nilai tertinggi. Nilai hasil tes akan di bagi menjadi 4 kriteria yaitu kriteria jelek, sedang, baik, dan terbaik. Apabila data diurutkan dari nilai terendah ke tertinggi maka 0 s.d 25% adalah kriteria jelek, 25% s.d 50% kriteria sedang, 50% s.d 75% kriteria baik, dan 75% s.d 100% kriteria terbaik. B. KUARTIL DATA TUNGGAL Rumus kuartil, desil, dan persentil untuk data tunggal merupakan tiga rumus yang berbeda. Untuk itu akan diulas untuk masing-masing rumusnya. Di mulai dari kuartil, kemudian desil, dan pembahasan yang terakhir adalah persentil. Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, kuartil membagi data menjadi empat bagian sama banyak. Sehingga terdapat tiga nilai kuartil yang membagi data tersebut. Sebelum membagi data, pastikan bahwa data sudah diurutkan terlebih dahulu. Ilustrasinya dapat dilihat seperti gambar di bawah.
Gambar. 6.1 Pembagian Quartil
Rumus mencari nilai kuartil untuk data tunggal dibedakan menjadi dua kasus, yaitu untuk jumah data ganjil dan jumlah data genap. Rumus 1. Jika kuartil untuk data (n) ganjil dan n +1 habis dibagi 4 Jenis Kuartil
Rumus Kuartil Data Tunggal
Kuartil Bawah
Q1 = x
Kuartil Tengah
Q2 = x
Kuartil Atas
Q3 = x
(
(n+1) ) 4
(
(n+1) ) 2
(
3(n+1) ) 4
Rumus 2. Jika kuartil untuk data (n) ganjil dan n+1 tidak habis dibagi 4 Jenis Kuartil Kuartil Bawah
Kuartil Tengah Kuartil Atas
Rumus Kuartil Data Tunggal Q1 =
x(n−1) + x(n+3) 4
Q2 = x Q3 =
4
2 (
2(n+1) ) 4
x (3n+1) + x 4
(
3n+5 ) 4
2
Rumus 3. Jika kuartil untuk data (n) genap dan habis dibagi 4 Jenis Kuartil Kuartil Bawah Kuartil Tengah Kuartil Atas
Rumus Kuartil Data Tunggal Q1 = Q2 = Q3 =
x(n) + x(n+1) 4
4
2 x (n) + x (n+1) 2
2
2 x (3n) + x(3n+1) 4
4
2
Rumus 4. Jika kuartil untuk data (n) genap dan tidak habis dibagi 4 Jenis Kuartil
Rumus Kuartil Data Tunggal Q1 = x(n+2)
Kuartil Bawah
4
Kuartil Tengah
Q2 =
x (n) + x (n+1) 2
2
2
Q3 = x (3n+2)
Kuartil Atas
4
Langkah-langkah mencari tiga nilai kuartil data tunggal untuk jumlah data genap adalah sebagai berikut. 1. Carilah nilai yang menjadi nilai tengah (median atau Q2 ). 2. Membagai data di sebelah kiri median menjadi dua bagian yang sama dan menghasilkan kuartil bawah atau Q1
.
3. Membagi data di sebelah kanan median menjadi dua bagian sama dan menghasilkan kuartil atas atau Q3. Contoh: Tabel. 5b.1. adalah Data nilai hasil ujian Statistik yang diperoleh sekelompok mahasiswa sebagai berikut. Hitunglah berapa nilai kuartil bawah nya?
79
87
58
Tabel. 6.1. Kuartil Data Tunggal 69 57 87 79
64
59
67
79
44
49
61
93
71
76
69
80
86
Pembahasan: Langkah-Langkah Penyelesaian. 1. Mengurutkan data dari nilai yang terendah hingga tertinggi. 44 49
57
58
59
61
64
67
79
79
79
80
86
87
87
93
2. Setelah diurutkan nilainya kemudian dicari mediannya (nilai tengah). Perhatikan Tabel. 5b.2. adalah data yang telah diurutkan dan telah ditentukan mediannya.
44 49
57
58
Tabel. 6.2. Kuartil Data Tunggal Urutan 59 61 64 67 79 79 79 80
86
87
87
93
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16
3. Menentukan rumus (rumus 1, 2, atau 3 tergantung pada jumlah data) pada latihan ini, banyaknya data setelah diurutkan adalah (n = 16) merupakan bilangan genap dan habis dibagi 4. Maka harus menggunakan rumus no 3 yaitu jika kuartil untuk data (n) genap dan habis bagi 4. Rumus 3. Jika kuartil untuk data (n) genap dan habis bagi 4 Rumus 3
Rumus Kuartil Data Tunggal x(n) + x(n+1) 4 Q1 = 4 2 x (n) + x (n+1) 2 Q2 = 2 2 x 3n + x 3n ( ) ( +1) 4 Q3 = 4 2
Kuartil Bawah Kuartil Tengah Kuartil Atas
Q1 =
x(n) + x(n+1) 4
4
2 x(4) + x(5) Q1 = 2 117 Q1 = 2
Q1 =
x(16) + x(16+1) 4
4
2 58 + 59 Q1 = 2
𝐐𝟏 = 𝟓𝟖. 𝟓 Q2 =
x (n) + x 2
(
n+1 ) 2
2 x (8) + x (9) Q2 = 2 146 Q2 = 2
x Q2 =
(
16 ) 2
+x
(
16 +1) 2
2 67 + 79 Q2 = 2
𝐐𝟐 = 𝟕𝟑 Q3 = Q3 =
x (3n) + x(3n+1) 4
4
2 x (48) + x(48+1) 4
2 80 + 86 Q3 = 2 𝐐𝟑 = 𝟖𝟑
4
Q3 =
x(3.16) + x(3.16+1)
Q3 =
4
4
2 x(12) + x(13) 2
Jadi kesimpulanya 𝐐𝟏 = 𝟓𝟖, 𝟓 𝐐𝟐 = 𝟕𝟑 𝐐𝟑 = 𝟖𝟑
C. DESIL DATA TUNGGAL Desil adalah cara membagi n data terurut menjadi 10 bagian data yang masing-masing bagian mempunyai jumlah data yang sama. Setiap n data terurut dibagi menjadi 10 bagian, sehingga terdapat 9 nilai desil. Ilustrasi pembagian n data terurut menjadi 10 bagian sama banyak dan letak nilai desilnya dapat dilihat pada gambar di bawah. n data terurut
Gambar. 6.2 Pembagian Desil Rumus desil dinyatakan dalam persamaan di bawah. Rumus mencari Desil Data Tunggal Jenis Desil
Rumus Kuartil Data Tunggal D1 = data ke
i ( n 1) 10
Keterangan Keterangan: i = bilangan bulat kurang dari 10 (1, 2, 3, …, 9) n = banyak data
Contoh: Tentukan nilai D3 dari (n = 13) data berikut: Tabel. 6.3. Data Desil 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 Pembahasan Rumus Desil data tunggal adalah D3 = x1(n+1) 10
D3 = x3(13+1) 10
D3 = x42 10
D3 = x4.2 D3 = x4 + 0.2(x5 - x4 ) D3 = 45 + 0.2(50 – 45) D3 = 46
D. PERSENTIL DATA TUNGGAL Persentil diambil dari kata persen, per seratus. Sehingga, persentil merupakan pembagian n data terurut menjadi 100 bagian sama banyak. Dari 100 bagian yang dibagi sama banyak tersebut, dibatasi oleh 99 nilai persentil. Perhatikan ilustrasi pembagian data dan letak nilai persentil seperti gambar di bawah. …
Gambar. 6.3. Pembagian Persentil
Rumus persentil data tunggal di berikan seperti persamaan di bawah. Rumus Persentil Data Tunggal Rumus Persentil Data Tunggal P1 = data ke
i ( n 1) 100
Keterangan i = bilangan bulat kurang dari 100 (1, 2, 3, …, 99) n = banyak data
Contoh Data diurutkan dari terkecil hingga terbesar ; 15, 35, 40, 50, 61, 70, 80, 91, 95. Tentukan letak persentil 20 (P20) adalah Pembahasan: P1 = data ke
i ( n 1) 100
P1 = data ke
20(9 1) 100
P1 = data ke
20(10) 100
P1 = data ke
200 =2 100
Jadi letak persentil ke 20 berada pada data ke 2 yaitu 35 RUMUS KUARTIL, DESIL, DAN PERSENTIL DATA KELOMPOK Seperti halnya data tunggal, data yang telah disajikan menjadi data kelompok juga dapat dicari nilai kuartil, desil, dan persentilnya. Rumus kuartil, desil, dan persentil data kelompok berbeda dengan rumus kuartil, desil, dan pesentil untuk data tunggal. Meskipun begitu, ide dan pengertian kuartil, desil, dan persentil pada data kelompok sama dengan pada data tunggal. Berikut ini adalah rumus kuartil, desil, dan persentil untuk data kelompok.
E. KUARTIL DATA KELOMPOK Terdapat tiga nilai kuartil pada data kelompok, yaitu kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas. Rumus kuartil data kelompok diberikan seperti persamaan di bawah. Rumus mencari Kuartil Data Kelompok Kuartil Data Kelompok Qi
Q2
Q3
Rumus Kuartil Data Tunggal
i 4 n fk Qi = Tb + p fi 2 4 n fk Q2 = Tb + p fi 3 4 n fk Q3 = Tb + p f i
Keterangan Keterangan: i = 1 untuk kuartil bawah i = 2 untuk kuartil tengah i = 3 untuk kuartil atas Tb = tepi bawah kelas kuartil n = jumlah seluruh frekuensi
f k = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil
f i = frekuensi kelas kuartil p = panjang kelas interval
Contoh. Perhatikan tabel di bawah! Tentukan nilai Q3 = kuartil atas dan Q1 = kuartil bawah. Tabel. 6.4. Kuartil Data Kelompok Berat Badan Frekuensi 50-54 4 55-59 6 60-64 8 65-69 10 70-74 8 75-79 4 Total 40 Pembahasan. Langkah-Langkah Penyelesaian Q3 = kuartil atas 1. Menjumlah frekunsi (f) adalah : ∑ = 4 + 6 + 8 + 10 + 8 +4 ∑ = 40
2. Menentukan letak kuartil atas berada di Q3 =
3 bagian data. 4
3 x 40 4
Q3 = 30 Perhatikan Tabel 5b.6. yang sudah dilengkapi dengan frekuensi kumulatif kurang dari (fkk) dan letak kuartil atas. 3. Membuat tabel penolong seperti Tabel. 5b.6. yang memuat panjang kelas (p), frekuensi kumulatif (fk), Titik bawah (Tb). Panjang kelas adalah 5. Misalkan panjang kelas dari 50 s.d 54 adalah 5. Letak Q3 = 30 terletak pada fk 36, Titik bawah 70 – 0.5 = 69.5 harus terletak di fk 36. Frekuensi yang tereletak di fk 36 adalah 8. Menentukan fk sebelum kelas Q3 yaitu 28. Tabel. 6.5. Tabel Penolong Kuartil Q3
4. Masukkan rumus untuk Q3 (kuartil atas) adalah :
3 4 n fk Q3 = Tb + p f i
Q3 =
3 . 40 28 x5 69.5 + 4 8
Q3 =
120 28 x5 69.5 + 4 8
Q3 =
69.5 +
Q3 =
69.5 + x 5
Q3 =
69.5 + 0.25 x 5
Q3 =
69.5 + 1.25 = 70.75
30 28 x5 8 2 8
Cara lain Tabel. 6.6. Tabel Penolong Q3
Masukkan rumus untuk Q3 (kuartil atas) adalah :
3 4 n fk Q3 = Tb + p fi 3 . 40 28 x5 Q3 = 69.5 + 4 8
Q3 =
120 28 x5 69.5 + 4 8
Q3 =
69.5 +
Q3 =
30 28 x5 8 2 69.5 + x 5 8
Q3 =
69.5 + 0.25 x 5
Q3 =
69.5 + 1.25 = 70.75
Pembahasan. Langkah-Langkah Penyelesaian Q1 = kuartil bawah 1. Menjumlah frekunsi (f) adalah : ∑ = 4 + 6 + 8 + 10 + 8 +4 ∑ = 40 2. Menentukan letak kuartil bawah berada di Q1 =
1 bagian data. 4
1 x 40 4
Q1 = 10 Perhatikan Tabel 5b.7. yang sudah dilengkapi dengan frekuensi kumulatif kurang dari (fkk) dan letak kuartil atas. 3. Membuat tabel penolong seperti Tabel. 5b.7. yang memuat panjang kelas (p), frekuensi kumulatif (fk), Titik bawah (Tb). Panjang kelas adalah 5. Misalkan panjang kelas dari 50 s.d 54 adalah 5. Letak Q1 = 10 terletak pada fk 10, Titik bawah 55 – 0.5 = 54.5 harus terletak di fk 10. Frekuensi yang tereletak di fk 10 adalah 6. Menentukan fk sebelum kelas Q1 yaitu 4.
Tabel. 6.7. Tabel Penolong Q1
4. Masukkan rumus untuk Q1 (kuartil bawah) adalah :
1 4 n fk Q1 = Tb + p fi
Q1 =
Q1 =
Q1 = Q1 = Q1 = Q1 =
1 . 40 4 x5 54.5 + 4 6 40 4 x5 54.5 + 4 6
10 4 x5 6 6 54.5 + x 5 6 54.5 + 1 x 5 54.5 +
54.5 + 5 = 59.5
Pembahasan. Langkah-Langkah Penyelesaian Q2 = kuartil tengah 1. Menjumlah frekunsi (f) adalah : ∑ = 4 + 6 + 8 + 10 + 8 +4 ∑ = 40
2. Menentukan letak kuartil bawah berada di 2 bagian data. 4
Q1 =
2 x 40 4
Q1 = 20 Perhatikan Tabel 5b.8. yang sudah dilengkapi dengan frekuensi kumulatif kurang dari (fkk) dan letak kuartil atas. 3. Membuat tabel penolong seperti Tabel. 5b.8. yang memuat panjang kelas (p), frekuensi kumulatif (fk), Titik bawah (Tb). Panjang kelas adalah 5. Misalkan panjang kelas dari 50 s.d 54 adalah 5. Letak Q1 = 10 terletak pada fk 10, Titik bawah 65 – 0.5 = 64.5 harus terletak di fk 28. Frekuensi yang tereletak di fk 28 adalah 10. Menentukan fk sebelum kelas Q2 yaitu 18. Tabel. 6.8. Tabel Penolong Q2
4. Masukkan rumus untuk Q2 (kuartil bawah) adalah :
2 4 n fk Q2 = Tb + p fi
Q2 =
2 . 40 18 x5 64.5 + 4 10
Q2 =
80 18 x5 64.5 + 4 10
Q2 =
64.5 +
Q2 = Q2 = Q2 =
20 18 x5 10 2 64.5 + x 5 10 64.5 + 0.2 x 5 64.5 + 1 = 65.5
Kesimpulannya: Q1 = 59.5 Q2 = 65.5 Q3 = 70.75
F. DESIL DATA KELOMPOK Cara mencari nilai desil pada data kelompok dapat menggunakan rumus desil untuk data kelompok yang diberikan di bawah. Rumus mencari Desil Data Kelompok Desil Data Kelompok
Rumus Desil Data Tunggal
Di
i 10 n f k Di = Tb + p f i
Keterangan Keterangan: i = bilangan bulat kurang dari 10 (1, 2, 3, … ,9) Tb = tepi bawah kelas desil n = jumlah seluruh frekuensi
f k = jumlah frekuensi sebelum kelas desil f i = frekuensi kelas desil p = panjang kelas interval
Perhatikan Tabel. 5b.8. Carilah nilai Desil ke 2 dari tabel berkelompok tersebut: Tabel. 6.8. Data Kelompok Nilai UAS Frekuensi 1-5 3 6 - 10 5 11 - 15 10 16 - 20 2
i 10 n f k Di = Tb + p fi
Desil ke 2 = D2 Jumlah data adalah 3 + 5 + 10 + 2 = 20 2 x 20 = 4 10
Artinya letak D2 = berada pada kelas 6 - 10. Perhatikan Tabel. 5b.9. Data yang sudah dilengkapi dengan frekuensi kumulatif kurang dari (fk) dan letak kuartil atas.
Tabel. 6.9. Data Kelompok Hasil Desil ke 2
Pembahasan
i 10 n f k D2 = Tb + p fi 2 10 20 3 D2 = 5.5 + 5 5
=
4 3
D2 = 5.5 + 5 5
4 3
D2 = 5.5 + 5 5 D2 = 5.5 + 1 D2 = 6.5
Jadi nilai Desil ke 2 adalah 6.5 Cara Lain Tabel. 6.10. Data Kelompok Hasil Desil ke 2
Pembahasan
i 10 n f k D2 = Tb + p fi
2 10 20 2 D2 = 5.5 + 5 10 4 2 D2 = 5.5 + 5 10 D2 = 5
=
4 2
D2 = 5.5 + 5 10
D2 = 6.5 Jadi nilai Desil ke 2 adalah 6.5
G. PERSENTIL DATA KELOMPOK Rumus persentil data kelompok digunakan untuk menentukan nilai persentil dari suatu data kelompok. Rumus tersebut ditunjukkan seperti persamaan di bawah. Rumus Persentil Data Kelompok Persentil DataTunggal
Pi
Rumus Persentil Data Tunggal
i 100 n f k Pi = Tb + p f i
Keterangan Keterangan: i = bilangan bulat kurang dari 100 (1, 2, 3, … ,99) Tb = tepi bawah kelas persentil n = jumlah seluruh frekuensi
f k = jumlah frekuensi sebelum kelas persentil
f i = frekuensi kelas persentil p = panjang kelas interval Carilah nilai Persentil ke 30 dari Tabel. 5b.11. Data Kelompok Persentil. Tabel. 6.11. Data Kelompok Persentil Berat Badan (kg) Frekuensi 40 – 49 5 50 – 59 14 60 – 69 16 70 – 79 12 80 – 89 3 Total 50
Pembahasan. Rumus Persentil Data Kelompok
i 100 n f k Pi = Tb + p fi Persentil ke 30 = P30 Jumlah data adalah 5 + 14 + 16 + 12 + 3 = 50 30 x 50 = 15 100
Artinya letak P30 = berada pada kelas 50-59 sehingga Perhatikan Tabel. 5b.12. Data yang sudah dilengkapi dengan frekuensi kumulatif kurang dari (fk) dan letak kuartil atas. Tabel. 6.12. Data Kelompok Hasil Persentil ke 30
30 100 50 5 P30 = 49.5 + 10 14 15 5 P30 = 49.5 + 10 14
10 P30 = 49.5 + 10 14 P30 = 49.5 + 7.14 P30 = 56.64
Jadi nilai Persentil ke 30 adalah 56.64 Cara lain Tabel. 6.13. Tabel Penolong P30
i 100 n f k Pi = Tb + p f i 30 100 50 5 P30 = 49.5 + 10 14 15 5 P30 = 49.5 + 10 14
10 P30 = 49.5 + 10 14 P30 = 49.5 + 7.14 P30 = 56.64 Jadi nilai Persentil ke 30 adalah 56.64
G. TUGAS Latihan. 1. Perhatikan Tabel. 1. Data Nilai Ujian Statistik (n=15) yang sudah diurutkan berikut ini:
1
2
3
3
𝐱1
𝐱2
𝐱3
𝐱4
Tabel. 1. Data Nilai Ujian Statistik 4 5 5 5 6 6 𝐱5
𝐱6
𝐱7
𝐱8
𝐱9
7
𝐱 10 𝐱 11
8
8
𝐱 12
𝐱 13
9
9
𝐱 14 𝐱 15
Pertanyaan Tentukan: Kuartil Bawah (Q1) Kuartil Tengah (Q2) Kuartil Atas (Q3)
Latihan. 2. Perhatikan Tabel. 2. Data Nilai UTS. Tentukan nilai kuartil dari data sebagai berikut:
3
4
4
5
x1
x2
x3
x4
Tabel. 2 Data Nilai UTS 5 6 6 6 x5
x6
x7
x8
8
8
8
9
x9
x 10
x 11
x 12
Latihan. 3. Perhatikan Tabel. 3. Data Kelompok Kuartil Tentukan kuartil atas (Q3), kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2),
Nilai UAS 1-5 6 - 10 11 - 15 16 - 20
Tabel. 3. Data Nilai UAS Frekuensi 3 5 10 2
fkk 3 8 18 20
