Bab 8 Fungsi Kuadrat (Fungsi Parabola) [PDF]

Citation preview

BAB 8



FUNGSI PARABOLA



• Fungsi parabola termasuk fungsi non linier, yang berupa fungsi berbentu kuadrat (pangkat dua). • Bentuk umum fungsi parabola (fungsi kuadrat)



Y = f(X) = aX2 + bX + c Dimana: Y = Variabel Terikat X = Variabel Bebas a,b,c = Konstanta



Dua bentuk fungsi dan kurva Fungsi kuadrat bisa berbentuk: Bentuk 1:



atau Bentuk 2:



dimana:



Y = f(X) = aX2 + bX + c, (kurva parabola vertikal) X = f(Y) = aY2 + bY + c (kurva parabola Horizontal) X = Variabel Terikat Y = Variabel Bebas a,b,c = Konstanta



Bersesuaian dengan bentuk kurva kuadrat, bentuk kurva parabola akan memiliki dua pola yang berbeda:



Bentuk 1 : Y = f(X) = aX2 + bX + c Bentuk kurva: Y



0



Kurva Parabola Vertikal



X



Atau... Bentuk 2 : X = f(Y) = aY2 + bY + c Bentuk kurva: Y Kurva Parabola Horizontal 0



X



Menggambar Kurva Parabola



RAGAM BENTUK PARABOLA 1. Bentuk Parabola membuka ke atas atau membuka ke bawah bisa diketahui dengan melihat nilai a Dari fungsi Y = aX2 + bX + c Apabila a bernilai positif maka bentuk Parabola membuka pasti membuka ke atas Apabila a bernilai negatif maka bentuk Parabola pasti membuka ke bawah



RAGAM BENTUK PARABOLA 2. Kurva Parabola memotong sumbu X, menyinggung, atau menggantung bisa diketahui dengan melihat nilai D (diskriminan), dimana:



D = b2 – 4ac Nilai D ini bisa bernilai Negatif, Nol atau Positif. Dimana: • D = Positif berarti posisi parabola memotong sumbu X pada dua titik yang berbeda. • D = Nol berarti posisi parabola menyinggung garis X (ada satu titik potong dengan sumbu X) • D = Negatif berarti posisi Parabola menggantung yaitu tidak melewati garis X (tidak ada titik potong kurva dengan sumbu X



Diskriminan dan nilai a • Dengan informasi tentang Diskriminan dan nilai a, secara cepat bisa diketahui bentuk parabola: Y



a positif D positif



0



X



0



Y



Y



X



a negatif D positif



Y



a positif D = nol



a positif D negatif



0



X



0



X



0



X



0



X



Y



a negatif D = nol



Y



a negatif D negatif



Titik Titik Yang harus dicari dalam menggambar parabola:



• Titik Balik (vertex) adalah titik perubahan arah kurva dari menurun ke arah menaik (untuk parabola terbuka ke atas), atau dari menaik ke arah menurun (untuk parabola terbuka ke bawah) • Sumbu simetris adalah sebuah garis lurus yang melalui titik puncak dan membagi parabola menjadi dua bagian yang sama besar • Titik Potong dengan Sumbu X (untuk fungsi bentuk 1: Y = f(X) = aX2 + bX + c), adalah titik X yang dilewati kurva parabola



Sumbu simetri Titik Potong dengan Sumbu X



Titik puncak



0



1. Rumus Sumbu Simetris



Kurva Parabola Vertikal mempunyai sumbu simetris pada nilai X sebesar:



b x 2a



2. Rumus Titik Balik



Titik Balik Kurva Parabola adalah pada nilai Y sebesar :



D y 4a



Ingat bahwa D = b2 – 4ac Maka bisa ditulis :



y







b  4ac 2



4a



3. Titik puncak Parabola



Titik Puncak (x,y) adalah (X Sumbu Simetris, Y Titik Balik)



Titik Puncak :



b 2a



,



D 4a



4. Titik Potong dengan Sumbu X



Titik Potong Kurva parabola dengan sumbu X dicari dengan memfaktorkan atau dengan menggunakan rumus akar persamaan kuadrat yaitu: b D X 1,2  2a



Karena D = b2 – 4ac; Maka bisa jiga ditulis:



X



1, 2







b



2



b



2a



 4ac



5. Titik Potong dengan Sumbu Y



Titik Potong Kurva parabola dengan sumbu Y terjadi pada saat X = 0 Dari persamaan Y = aX2 + bX + c Pada saat X = 0 maka Y = c



Contoh #1 Suatu Fungsi berbentuk:



Y=



2 X



– 8X + 12



Dari fungsi tersebut, gambarkan kurvanya!



Y = X2 – 8X + 12 Diketahui Fungsi parabola dimana: a=1 b = -8 c = 12 • Karena a > 0, maka Kurva berbentukParabola terbuka ke atas. • D = b2 – 4ac; D = 64 – (4 . 1 . 12) = 64 – 48 = 16 Diketahui bahwa parabola memotong sumbu X pada dua titik berbeda



Y = X2 – 8X + 12



8 b  4 1. Sumbu Simetrris: x  (2)(1) 2a  16 D   4 2. Titik Balik : y  (4)(1) 4a



3 titik Puncak Parabola : (4,-4)



4. Titik Potong Parabola dengan sumbu X (ada dua niai X), dicari dengan rumus: b D



X



1, 2







2a



Y = X2 – 8X + 12 4. Titik Potong Parabola dengan sumbu X (ada dua niai X), dicari dengan rumus: b D X 1,2  2a



8  16 X 1,2  (2)(1) 8 4 X1 2 6



84 X2 2 2



Maka Parabola memotong sumbu X pada titik (6,0) dan (2,0)



Y = X2 – 8X + 12 5. Titik Potong dengan sumbu Y Terjadi pada saat X = 0 Y = X2 – 8X + 12 Y = 12 Titik Potong dengan sumbu terjadi pada titik (0,12)



12



0



-4



2



4



6



Contoh #2 Fungsi penawaran yang mempunyai persamaan:



P = Q2 – 2Q – 8 Gambarkan Kurva penawaran tersebut!



P = Q2 – 2Q – 8 Diketahui Fungsi parabola dimana: a=1 b = -2 c = -8 • Karena a > 0, maka Kurva berbentukParabola terbuka ke atas. • D = b2 – 4ac; D = 4– (4 . 1 . -8) = 4 – (-32)= 36 Diketahui bahwa parabola memotong sumbu X pada dua titik berbeda



P = Q2 – 2Q – 8



b  (2)  1 1. Sumbu Simetrris: q  2a (2)(1)  36 D   9 2. Titik Balik : p  (4)(1) 4a



3 titik Puncak Parabola : (1,-9)



4. Titik Potong Parabola dengan sumbu Q (ada dua nilai Q), dicari dengan rumus:  b  D



Q



1, 2







2a



P = Q2 – 2Q – 8 4. Titik Potong Parabola dengan sumbu q (ada dua niai q), dicari dengan rumus: b D Q1,2  2a



2  36 Q1,2  (2)(1) 26 Q1  2  4



26 Q2  2  2



Maka Parabola memotong sumbu Q pada titik (4,0) dan (-2,0)



P = Q2 – 2Q – 8 5. Titik Potong dengan sumbu P Terjadi pada saat Q = 0 P = Q2 – 2Q – 8 P = -8 Titik Potong dengan sumbu terjadi pada titik (0,-8)



P



-2



1



6 -8 -9



4



Q



Kurva Parabola Horizontal



Kurva Parabola Horizontal Bentuk kurva:



Y 0



Fungsi : X = f(Y) = aY2 + bY + cX



Diskriminan dan nilai a • Dengan informasi tentang Diskriminan dan nilai a, secara cepat bisa diketahui bentuk parabola: Y



Y a positif D positif



0



Y



X



0



X



Y a negatif D = nol 0



0



X



X



Y



Y



a negatif D positif X



a positif D negatif



a positif D = nol



a negatif D negatif 0



X



0



Perlu diperhatikan bahwa : Cara menggambar parabola horizontal sama persis dengan cara menggambar para bola vertikal, kecuali hanya pada penentuan titik koordinat titik puncak parabola. Koordinat (x,y) titik puncak parabola horizontal adalah :



(



D 4a



,



b 2a



)



contoh Gambarkan Grafik Fungsi Permintaan berikut: Q = -2P2 + 12P Jawab: Diketahui: a = -2 b = 12 c=0 • Karena a < 0, maka Kurva berbentuk Parabola terbuka ke arah kiri. • D = b2 – 4ac; D = 144 – (4 . -1 . 0) = 144 Diketahui bahwa parabola memotong sumbu y pada dua titik berbeda



Q = -2P2 + 12P



 144 D   18 1. Titik Balik : q  (4)(2) 4a



b  (12) 2. Sumbu Simetris: p   3 2a (2)(2) 3. titik Puncak Parabola : (18,3)



4. Titik Potong Parabola dengan sumbu P (ada dua nilai P), dicari dengan rumus: b D



P



1, 2







2a



Q = -2P2 + 12P 4. Titik Potong Parabola dengan sumbu P (ada dua niai P), dicari dengan rumus: b D P1,2  2a



 12  144 P1,2  (2)(2)  12  12 P1   4  0



 12  12 P2   4  6



Maka Parabola memotong sumbu P pada titik (0,6) dan (0,0)



5. Titik Potong dengan sumbu Q Terjadi pada saat P = 0 Q = -2P2 + 12P Q=0



Titik Potong dengan sumbu terjadi pada titik (0,0)



P Kurva Q = -2P2 + 12



6 3



0



18



Q



Kurva permintaan dan penawaran hanya menggunakan kuadran 1



PERHATIAN



Perhatikan penempatan X dan Y antara parabola Horizontal dengan Parabola Vertikal



Terima Kasih