BAHAN AJAR-3 SPLDV Kelas VIII [PDF]

Citation preview

BAHAN AJAR MATEMATIKA SMP KELAS VIII SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)



MODEL SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL



Disusun Oleh : RIZKA NOVIANDA, S.Pd No. Peserta : 20022218010213



PPG MATEMATIKA Daljab Tahap 1 UPI 2020 BAHAN AJAR 3



PENDAHULUAN



Beberapa tahun ini, kita tidak lagi merasakan naik kereta api dengan penumpang yang penuh sesak. Selain karena diberlakukannya penjualan tiket secara online, beberapa perubahan lainnya adalah pemeriksaan kesamaan tiket dengan identittas calon penumpang. Ketentuan umum penumpang kereta api terbaru yang berlaku sejak 1 Januari 2015 perlu diketahui oleh seluruh masyarakat luas pecinta Kereta Api agar mendapat pelayanan yang mudah dan cepat. Salah satu aturas adalah penumpang berusia di atas 60 tahun berhak atas reduksi (pengurangan) tarif sebesar 20%. Pak Andi dan istrinya yang sduah berusia 40-an tahun mengajak kedua orangtuanya pulang ke kampung halaman di Surabaya dengan naik kereta api dari Stasiun Bekasi. Pak Andi membeli 4 tiket kereta api dengan biaya yang dikeluarkan sebesar Rp1.696.000,00. Di saat yang sama, Bu Aisyah yang seusia dengan Pak Andi beserta ibu mertuanya ingin mengunjungi suaminya yang bekerja di Surabaya. Bu Aisyah membeli 2 tiket seharga Rp828.000,00. Bagaimanakah cara kalian mengetahui harga tiket untuk penumpang yang berusia di atas 60 tahun dengan menggunakan metode penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ? Bagaimana Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dapat membantu kita untuk membuat model masalah di atas tanpa kesulitan? untuk mengetahuinya, kalian dapat mempelajari bahan ajar tentang Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ini dengan baik



LATAR BELAKANG Salah satu materi dalam matematika yang secara simultan terbangun terutama sejak awal pembelajaran matematika di Sekolah Menengah Pertama adalah Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel merupakan bagian dari aljabar. Seseorang sering mengalami suatu kegiatan aljabar di antaranya Persamaan Linear Dua Variabel dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya situasi yang berhubungan dengan perniagaan atau jual beli. “ Dua kemeja dan dua celana harganya Rp704.000,00. Di toko dan merek yang sama, satu baju dan tiga celana harganya Rp672.000,00. Berapa harga satu baju dan satu celana?” Saat akan mencari penyelesaian dari masalah di atas, maka gunakan perhitungan dengan konsep Persamaan Linear Dua Variabel. Agar terbangun kebermaknaan dalam



BAHAN AJAR 3



materi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel, maka aspek pemecahan masalah terutama dari konteks yang ada di sekitar siswa perlu dijadikan sebagai acuan. Dengan demikian, untuk mengkonstruksi pemahaman matematis yang kokoh, diperlukan pengembangan bahan ajar dan soal- soal aljabar yang tidak rutin, menantang, berangkat dari masalah sehari-hari yang memerlukan analisis, dan tidak hanya bisa diselesaikan dengan langkahlangkah yang prosedural dan mekanistis. Karena hal ini seringkali menghilangkan kebermaknaan dan keindahan matematika sehingga matematika dianggap sebagai sesuatu yang tidak menyenangkan. Ada tiga macam pendekatan sajian pembelajaran yang sedang popular akhir-akhir ini, yaitu Konkrit, Semi Konkrit, Semi Abstrak, Abstrak (K, SK, SA, A); Concrete Pictorial Abstract (CPA); dan Concrete Representational Abstract (CRA). Sajian materi dengan ketiga pendekatan tersebut dilakukan bertahap dimulai dari hal-hal yang kontekstual dengan kehidupan, berikutnya dituankan dalam bentuk iconic atau visual, baru disajikan dalam bentuk simbolik. Proses ini dimaksudkan untuk menjembatani bagi mereka yang belum siap dengan proses berpikir abstrak dalam mempelajari matematika. Pentahapan sajian materi Persamaan Linear Dua Variabel berdasarkan pendekatan tersebut digambarkan dalam bentuk gunung es matematika (iceberg) berikut:



Dalam bahan ajar ini, siswa terlebih dahulu diberikan permasalahan berupa masalah kontekstual, kemudian siswa memulai dengan membuat model matematika Persamaan Linear Dua Variabel dari situasi atau konteks yang diberikan, setelah itu siswa diminta untuk menentukan selesaian. Selanjutnya siswa akan dikenalkan pada Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan yang terakhir siswa diminta untuk menyelesaiakan masalah yang berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel akan digunakan siswa dalam menyelesaikan masalah-masalah lain, misalnya aritmetika sosial, fungsi, persamaan garis BAHAN AJAR 3



lurus, geometri, bilangan, dan lainnya. Oleh karena itu, konsep-konsep yang telah dipelajari siswa sebelum materi ini perlu diingatkan kembali, sehingga akan nampak kesinambungan antar materi, khususnya hierarkinya konsep matematika.



KOMPETENSI INTI KI 3. Pengetahuan Memahami pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata. KI 4. Keterampilan Mencoba, mengolah, dan menyaji dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori.



KOMPETENSI DASAR KD pada KI Pengetahuan 3. 5 Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya yang dihubungkan dengan masalah kontekstual KD pada KI Keterampilan 4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel yang dihubungkan dengan masalah kontekstual



INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI Indikator KD pada KI Pengetahuan 3.5.1 Mengidentifikasi persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear dua variabel 3.5.2 Mengidentifikasi penyelesaian dari persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear dua variabel dari masalah yang diberikan Indikator KD pada KI Keterampilan 4.5.1 Membuat model matematika sistem persamaan linear dua variabel dari masalah yang diberikan 4.5.2 Menyelesaikan masalah sistem persamaan linear dua variabel di kehidupan seharihari dengan metode grafik, eliminasi, dan substitusi



TUJUAN PEMBELAJARAN Melalui model pembelajaran Discovery Learning dengan metode diskusi online, ekspository, dan penugasan diharapkan siswa dapat:



BAHAN AJAR 3



Memahami definisi persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear dua variabel dengan tepat dan percaya diri. Mengidentifikasi penyelesaian dari persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear dua variabel dari masalah yang diberikan dengan disiplin dan percaya diri Menyusun model sistem persamaan linear dua variabel dengan tepat dan tanggung jawab Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perasamaan linear dua variabel dengan menerapkan metode penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan disiplin dan tanggung jawab



PETA KONSEP



BAHAN AJAR 3



MATERI PEMBELAJARAN APERSEPSI Di Kelas VII, kalian telah mempelajari materi tentang persamaan linear satu variabel dan aljabar. Masih ingatkah kamu apa yang dimaksud dengan persamaan linear satu variabel? Perhatikan penjelasan singkat di bawah ini! Persamaan Linier dengan Satu Variabel (PLSV) Persamaan Linier dengan Satu Variabel adalah persamaan yang memiliki satu variabel dan peubahnya berpangkat satu. Contoh: 1. a + 5 = 7 2. x = 3x + 6 Bagaimana dengan aljabar? Selain persamaan aljabar dan linear satu variabel, kalian tentunya masih ingat persamaan garis lurus pada Bab 4 di Semester 1. Persamaan garis lurus masih erat kaitannya dengan persamaan linear dua variabel. Oleh karena itu, untuk memahami pengertian dan konsep dasar PLDV, kalian harus mengingat kembali materi tentang Aljabar, Persamaan Linear Satu Variabel, dan Persamaan Garis Lurus. Sebelum membahas materi tentang Selesaian Persamaan Linear Dua Variabel di bahan ajar ini, sebaiknya kita mengingat kembali tentang konsep dari Persamaan Linear Dua Variabel. Apakah definisi dari Persamaan Linear Dua Variabel? Konsep Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) Persamaan Linear Dua Variabel adalah persamaan linear yang memiliki dua variabel dengan pangkat masing-masing variabel adalah satu. Berikut ini adalah bentuk umum dari Persamaan Linear Dua Variabel:



Contoh: Berikut ini adalah contoh bentuk persamaan linear dua variabel a. y = x + 5 b. a + 2b = 4 c. 3m + 6n = 9 Selesaian Persamaan Linear Dua Variabel Selesaian Persamaan Linear Dua Variabel adalah himpunan pasangan 2 nilai variabel yang menjadikan ruas kanan sama dengan ruas kiri (senilai di kedua ruas). Persamaan Linear Dua Variabel ini memiliki lebih dari satu selesaian atau tak terhingga banyaknya. Untuk mengingat kembali manakah yang termasuk selesaian persamaan linear



BAHAN AJAR 3



dua variabel dan yang bukan selesaian persamaan linear dua variabel, perhatikan contoh tabel di bawah ini:



Setelah kalian mengingat kembali tentang materi di pertemuan sebelumnya, pelajari materi pada bahan ajar ini yaitu tentang Model Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)



SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL A.



Model Persamaan Linear Dua Variabel



Perhatikan masalah kontekstual di bawah ini! Toko Alat Tulis di Pasar Perhatikan masalah berikut ini. Nawa dan Rina membeli alat tulis untuk mereka sendiri dan teman-temannya. Mereka membeli di toko yang sama dan membeli barang dengan merek yang sama. Masalahnya, mereka lupa meminta struk pembelian.



Gunakan gambar-gambar di atas untuk menjawab masalah berikut: 1. Tanpa mengetahui harga sebuah papan penjepit atau pensil, dapatkah kalian menentukan barang mana yang lebih mahal? Jelaskan. 2. Berapa harga sebuah pensil? Jelaskan. Alternatif penyelesaiannya: Untuk menyelesaikan masalah tersebut, Nawa dan Rina membuat persamaan masingmasing pembelian mereka. Persamaan yang dibuat Nawa adalah 4j + 8p = 80.000 dan persamaan yang dibuat Rina adalah 3j + 10p = 80.000. Huruf j menunjukkan harga papan penjepit dan p menunjukkan harga pensil. Untuk membantu siswa, guru dapat meminta siswa untuk melengkapi tabel di bawah ini untuk tiap-tiap persamaan supaya lebih mudah menentukan harga papan penjepit dan pensil yang mereka beli. BAHAN AJAR 3



Setelah melalui proses penghitungan dan diskusi, diperoleh tabel yang sudah lengkap dengan harga papan penjepit dan pensil.



1. Tanpa mengetahui harga sebuah papan penjepit atau pensil, dapatkah kalian menentukan barang mana yang lebih mahal? Jelaskan. Jawab: Dengan mengamati gambar di atas dapat ditentukan bahwa harga papan penjepit lebih mahal dibandingkan pensil karena ketika banyak papan penjepit bertambah, maka biaya yang harus dibayar juga bertambah. 2. Berapa harga sebuah pensil? Jelaskan. Jawab: Berdasarkan tabel yang sudah dilengkapi dapat dilihat bahwa terdapat harga satu pensil adalah Rp2.500,00. Kedua barang dibeli dari toko yang sama, tetapi Nawa dan Rina membayar dengan harga yang berbeda karena banyak barang yang mereka berbeda jumlahnya. Siswa diarahkan untuk mencari pasangan selesaian yang sama dari kedua persamaan linear dua variabel. Definisi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Berdasarkan permasalahan di atas dapat disimpulkan bahwa dua persamaan 4j + 8p = 80.000 dan 3j + 10p = 80.000 merupakan contoh Model Sistem Persamaan Linear Dua Variabel karena dua Persamaan Linear Dua Variabel saling terkait, artinya penyelesaian dari SPLDV harus sekaligus memenuhi kedua Persamaan Linear Dua Variabel pembentuknya. Berbeda dengan persamaan dua variabel, Sistem Persamaan Linear Dua Variabel memiliki penyelesaian atau himpunan penyelesaian yang harus memenuhi kedua persamaan linear dua variabel tersebut. Jadi, Sistem Persamaan Linear Dua Variabel adalah dua persamaan linear dua variabel yang memiliki penyelesaian atau himpunan penyelesaian yang sama dan harus memenuhi kedua persamaan linear dua variabel tersebut. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel memiliki bentuk umum sebagai berikut:



BAHAN AJAR 3



dengan a,b,c,d,e, dan f bilangan real; a dan b ≠ 0; d dan e ≠ 0. Kemudian x, y adalah variabel dengan a dan b koefisien variabel x, d dan e koefisien variabel y, serta c dan f konstanta persamaan. 



Bentuk sistem persamaan linear dua variabel







Bukan bentuk sistem persamaan linear dua variabel



Contoh: Shanti membeli 4 buku tulis dan 3 pensil, ia membayar Rp19.500,00. Jika ia membeli 2 buku tulis dan 4 pensil, ia harus membayar Rp16.000,00. Tentukan model Sistem Persamaan Linear Dua Variabel yang menunjukkan permasalahan di atas! Jawab: ■ Misalkan harga buku tulis x dan harga pensil y. ■ Dari soal di atas, dapat dibentuk model matematika sebagai berikut: Harga 4 buku tulis dan 3 pensil Rp19.500,00 sehingga 4x + 3y = 19.500. Harga 2 buku tulis dan 4 pensil Rp16.000,00 sehingga 2x + 4y = 16.000. Dari sini diperoleh sistem persamaan linear dua variabel berikut. 4x + 3y = 19.500 2x + 4y = 16.000 B.



Selesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel



Misal: diberikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan bentuk sebagai berikut:



Penyelesaian dari sistem persamaan linear di atas adalah mencari nilai-nilai x dan y yang dicari demikian sehingga memenuhi kedua persamaan linear Contoh: 1. Lisa dan Muri bekerja pada pabrik tas. Lisa dapat meyelesaikan 3 buah tas setiap jam dan Muri dapat menyelesaikan 4 tas setiap jam. Jumlah jam kerja Lisa dan Muri adalah 16 jam sehari dengan jumlah tas yang dibuat oleh keduanya adalah 55 tas. Jika jam kerja keduanya berbeda, tentukan jam kerja mereka masing-masing. Jawab: Setiap 1 jam Lisa membuat 3 tas dan Muri 4 tas, dalam sehari mereka membuat 55 tas, maka: 3x + 4y = 55 Jumlah jam kerja Lisa dan Muri adalah 16 jam, maka: x + y = 16 Jika pengganti-penganti dari kedua variabel dapat dinyatakan benar, maka dapat dikatakan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut. Variabel dari masing-masing persamaan harus sejenis. BAHAN AJAR 3



Misal: x = 7 dan y = 9; 3x + 4y = 55



x + y = 16



3(7) + 4(9) = 55



7 + 9 = 16



21 + 36 = 55



16 = 16



57 = 55 (salah)



16 = 16 (benar)



Jadi, karena salah satu persamaan menjadi kalimat yang salah. Maka, x = 7 dan y = 9 bukan penyelesaian dari sistem persamaan 3x + 4y = 55 dan x + y = 16 Misal: x = 9 dan y = 7; 3x + 4y = 55



x + y = 16



3(9) + 4(7) = 55



9 + 7 = 16



27 + 28 = 55



16 = 16



55 = 55 (benar)



16 = 16 (benar)



Jadi, karena kedua persamaan menjadi kalimat yang benar. Maka, x = 9 dan y = 7 adalah penyelesaian dari sistem persamaan 3x + 4y = 55 dan x + y = 16 2. Perhatikan tabel di bawah ini dan amati selesaian SPLDVnya!



2x + y = 6 x = 0, y = 6 x = 1, y = 4 x = 2, y = 2 x = 3, y = 0



x+y=5 x = 0,y = 5 x = 1, y = 4 x = 2, y = 3 x = 3, y = 2 x = 4, y = 1 x = 5, y = 0



Tabel di atas menjelaskan bahwa persamaan linear 2x + y = 6 memiliki 4 buah penyelesaian. Adapun persamaan linear x + y = 5 memiliki 6 buah penyelesaian. Manakah yang merupakan penyelesaian dari 2 x + y = 6 dan x + y = 5? Penyelesaian adalah nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan linear tersebut. Perhatikan dari Tabel di atas nilai x = 1 dan y = 4 sama-sama memenuhi penyelesaian dari kedua persamaan linear tersebut. Jadi, dapat dituliskan: Hp={(1, 4)} Kedua cara di atas adalah salah satu cara untuk menentukan selesaian dari sistem persamaan linear dua variabel, yaitu dengan mensubstitusikan nilai x dan y sebarang pada dua persamaan tersebut dan menggunakan cara Tabel. Sehingga apabila kedua persamaan tersebut menjadi kalimat yang benar, maka nilai x dan y adalah penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut. Cara seperti ini masih kurang efektif, karena masih butuh waktu untuk menemukan nilai x dan y yang merupakan selesaian. C.



Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear dua



variabel dengan dua peubah dapat ditentukan dengan beberapa cara, di antaranya adalah dengan menggunakan : a. Metode grafik BAHAN AJAR 3



Langkah- Langkah Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Grafik (i) Menggambar garis yang mewakili kedua persamaan dalam bidang kartesius (ii) Menemukan titik potong dari kedua grafik tersebut (iii) Titik potong dari kedua grafik itulah yang menjadi penyelesaian SPLDV Contoh: Keliling sebuah kebun yang berbentuk persegi panjang adalah 42 m. Selisih panjang dan lebar kebun adalah 9 m. Tentukan panjang dan lebar kebun? Masalah dari contoh di atas dapat diselesaikan dengan membuat model persamaan dan menyelesaikannya. Misalkan panjang persegi panjang = x dan lebarnya = y, maka kalimat matematikanya adalah: Keliling kebun yang berbentuk persegi panjang adalah 42 m, dapat dibentuk persamaan 2x + 2y = 42. Selisih panjang dan lebar kebun adalah 9 m, dapat dibentuk persamaan x − y = 9 Dalam Bab 4 semester 1, kalian telah mempelajari bahwa persamaan dalam bentuk ax + by = c disebut persamaan linear karena grafik selesaian keduanya adalah berupa garis lurus. Gambar di bawah menunjukkan tabel dan grafik selesaian untuk persamaan 2x + 2y = 42 dan x − y = 9. Selesaian dari persamaan 2x + 2y = 42



Tabel di atas dapat digambarkan dalam bentuk grafik pada koordinat kartesius untuk mencari titik potongnya.



Titik perpotongan kedua garis merupakan selesaian dari kedua persamaan, yakni (15, 6). Terdapat banyak kasus yang mudah untuk memecahkan sistem persamaan linear dua variabel tanpa kesulitan untuk menghasilkan grafik dan memperkirakan nilai-nilai x dan y yang dibutuhkan. Salah satu strategi lain adalah, metode substitusi, yakni



BAHAN AJAR 3



menggabungkan dua persamaan dua variabel ke dalam persamaan tunggal dengan hanya satu variabel dengan mengganti dari satu persamaan ke yang lain. Berikut ini adalah penjelasan tentang metode Substitusi. b. Metode subtitusi Langkah- Langkah Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Substitusi (i) Mengubah salah satu persamaan menjadi bentuk y = ax + b atau x = cy + d (ii) Substitusi nilai x atau y yang diperoleh dari langkah (i) ke persamaan lainnya (iii) Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai x atau y (iv) Substitusi nilai x atau y yang diperoleh pada langkah (iii) untuk mendapatkan nilai dari variabel yang belum diketahui (iv) Penyelesaian dari kedua persamaan adalah (x,y) Contoh: Selisih umur seorang ayah dan anak perempuannya adalah 26 tahun, sedangkan lima tahun yang lalu jumlah umur keduanya adalah 34 tahun. Hitunglah umur ayah dan anak perempuannya dua tahun yangakan datang. Jawab: ■ Misalkan umur ayah adalah x tahun dan umur anak perempuannya adalah y tahun. Maka model matematika yang sesuai adalah sebagai berikut. Selisih umur ayah dan anak adalah 26 tahun, maka: x – y = 26 Lima tahun lalu, jumlah umur ayah dan anak adalah 34 tahun, maka: (x – 5) + (y – 5) = 34 ⇒ x + y – 10 = 34 ⇒ x + y = 34 + 10 ⇒ x + y = 44 ■ Dengan demikian, kita peroleh model matematika berbentuk SPLDV berikut. x – y = 26 ⇒ x + y = 44 ■ Dengan menggunakan metode subtitusi, maka penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah sebagai berikut. Menentukan nilai x x – y = 26 → y = x – 26 ⇒ x + y = 44 ⇒ x + (x – 26) = 44 ⇒ 2x – 26 = 44 ⇒ 2x = 44 + 26 ⇒ 2x = 70 ⇒ x = 35 Menentukan nilai y ⇒ x + y = 44



BAHAN AJAR 3



⇒ 35 + y = 44 ⇒ y = 44 – 35 ⇒y=9 Dengan demikian, umur ayah sekarang adalah 35 tahun dan umur anak perempuan sekarang adalah 9 tahun. Jadi, umur ayah dan umur anak dua tahun yang akan datang adalah 37 tahun dan 11 tahun. Strategi metode grafik dan substitusi untuk penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel mudah digunakan dalam beberapa situasi, namun tidak pada situasi lainnya. Metode graik membutuhkan gambar dan penentuan titik yang cermat dan mungkin memberikan perkiraan hanya solusi. Metode substitusi paling mudah untuk memecahkan satu variabel. Selain kedua metode di atas, terdapat metode lain yaitu metode eliminasi. Penggunaan metode eliminasi dirasa lebih mudah jika dibandingkan dengan metode substitusi pada bentuk SPLDV tertentu. c. Metode eliminasi Langkah- Langkah Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Eliminasi (i) Menyamakan salah satu koefisien dari variabel x atau y dari kedua persamaan dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai (ii) Hilangkan variabel yang memiliki koefisien yang sama dengan cara menambahkan atau mengurangkan kedua persamaan (iii) Ulangi kedua langkah di atas untuk mendapatkan variabel yang belum diketahui (iv) Penyelesaian dari kedua persamaan adalah (x,y) Contoh: Seseorang membeli 4 buku tulis dan 3 pensil, ia membayar Rp19.500,00. Jika ia membeli 2 buku tulis dan 4 pensil, ia harus membayar Rp16.000,00. Tentukan harga sebuah buku tulis dan sebuah pensil Jawab: ■ Misalkan harga buku tulis x dan harga pensil y. ■ Dari soal di atas, dapat dibentuk model matematika sebagai berikut: Harga 4 buku tulis dan 3 pensil Rp19.500,00 sehingga 4x + 3y = 19.500. Harga 2 buku tulis dan 4 pensil Rp16.000,00 sehingga 2x + 4y = 16.000. Dari sini diperoleh sistem persamaan linear dua variabel berikut. 4x + 3y = 19.500 2x + 4y = 16.000 ■ Dengan menggunakan metode eliminasi, maka penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah sebagai berikut. Untuk mengeliminasi variabel x, maka kalikan persamaan pertama dengan 1 dan persamaan kedua dengan 2 agar koefisien x kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai y sebagai berikut:



BAHAN AJAR 3



4x + 3y



= 19.500 |× 1|



→ 4x + 3y



= 19.500



2x + 4y



= 16.000 |× 2|



→ 4x + 8y



= 32.000



−5y



= −12.500



y



= 2.500



−



Untuk mengeliminasi variabel y, maka kalikan persamaan pertama dengan 4 dan kalikan persamaan kedua dengan 3 lalu selisihkan kedua persamaan sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut. 4x + 3y = 19.500 |× 4| → 16x + 12y = 78.000 2x + 4y



= 16.000 |× 3|



→ 6x + 12y



= 48.000



10x



= 30.000



x



= 3.000



−



Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah x = 3.000 dan y = 2.500. Dengan demikian, harga sebuah buku tulis adalah Rp3.000,00 dan harga sebuah pensil adalah Rp2.500,00. d. Metode Gabungan (Eliminasi dan Substitusi) Metode gabungan merupakan metode yang paling mudah untuk diterapkan apabila dibandingkan dengan ketiga metode sebelumnya. Metode gabungan diawali dengan melakukan eliminasi kedua persamaan, kemudian substitusikan salah satu nilai variabel yang diperoleh ke persamaan lainnya. Contoh: Tohir mempunyai uang Rp14.500,00. Sejumlah uang itu akan dihabiskan untuk membeli 6 buah peralatan sekolah. Ia membeli beberapa buku dengan harga Rp4.000,00 per buku, dan ia juga membeli beberapa pensil dengan harga Rp2.500,00 per pensil. Berapa banyak pensil yang dibeli Tohir? Jawab: Misalkan banyak buku adalah b, dan banyak pensil adalah p (b, p adalah bilangan asli) Maka persamaan matematika dari soal tersebut adalah 4.000b + 4.000p = 14.500 Disederhanakan menjadi 8b + 5k = 29 dimana b + p = 6 8b + 5p = 33 5b + 5p = 30 _ 3b = 3 b=1 sehingga b + p = 6 1+p=6 p=6–1 p=5 Jadi, banyak pensil yang dibeli Tohir adalah 5 buah.



BAHAN AJAR 3



LATIHAN SOAL 1. Apabila terdapat dua orang anak yang akan membeli buku dan pulpen, dengan harga pulpen Rp. 3.500,00, harga buku Rp. 2500,00 tentukan model matematika dari setiap masalah di bawah ini dan tentukan selesainnya! a. Anak pertama memiliki uang Rp.12000,00, ia ingin membeli 2 buku serta 1 pensil berapakah uang yang harus dikeluarkan oleh anak pertama? b. Anak kedua memiliki uang Rp.10.000,00 ingin membeli 3 buku dan berapa pensil yang dapat dibeli dengan uang yang dimilikinya? (Gunakan metode yang menurutmu mudah untuk menyelesaikan masalah ini) 2. Lisa dan Muri bekerja pada pabrik tas. Lisa dapat meyelesaikan 3 buah tas setiap jam dan Muri dapat menyelesaikan 4 tas setiap jam. Jumlah jam kerja Lisa dan Muri adalah 16 jam sehari dengan jumlah tas yang dibuat oleh keduanya adalah 55 tas. Jika jam kerja keduanya berbeda, tentukan jam kerja mereka masing-masing! (Gunakan metode yang menurutmu mudah untuk menyelesaikan masalah ini) 3. Umur Lia 7 tahun lebih tua daripada umur Irvan, sedangkan jumlah umur mereka adalah empat puluh tiga tahun. Berapakah umur mereka masing-masing? (Gunakan metode yang menurutmu mudah untuk menyelesaikan masalah ini) 4. Selisih umur seorang ayah dan anak perempuannya adalah 26 tahun, sedangkan lima tahun yang lalu jumlah umur keduanya adalah 34 tahun. Hitunglah umur ayah dan anak perempuannya dua tahun yangakan datang! (Gunakan metode yang menurutmu mudah untuk menyelesaikan masalah ini)



BAHAN AJAR 3



RANGKUMAN 1. Perbedaan PLDV dan SPLDV adalah: a. Sebuah persamaan linier dua variabel (PLDV) mempunyai penyelesaian yang tak terhingga banyaknya, sedangkan sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV) pada umumnya hanya mempunyai satu pasangan nilai sebagai penyelesaiannya. b. Persamaan linier dua variabel (PLDV) adalah sebuah persamaan yang mandiri, artinya penyelesaian PLDV itu tidak terkait dengan PLDV yang lain, sedangkan SPLDV terdiri dari dua PLDV yang saling terkait, dalam arti penyelesaian dari SPLDV harus sekaligus memenuhi kedua PLDV pembentuknya. 2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel adalah dua persamaan linear dua variabel yang memiliki penyelesaian atau himpunan penyelesaian yang sama dan harus memenuhi kedua persamaan linear dua variabel tersebut. 3. Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel adalah sebagai berikut:



4. Penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel adalah mencari nilai-nilai x dan y yang dicari demikian sehingga memenuhi kedua persamaan linear. 5. Penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear dua variabel dengan dua peubah dapat ditentukan dengan beberapa cara, di antaranya adalah dengan menggunakan : a. Metode grafik b. Metode subtitusi c. Metode eliminasi d. Metode gabungan (eliminasi dan substitusi)



DAFTAR PUSTAKA Abdur Rahman As’ari, dkk. 2017. Matematika edisi revisi 2017.Jakarta : Kemendikbud M. Cholik Adinawan, dkk..(2016). Seribu Pena Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII. Edisi Revisi 2016. Jakarta: Erlangga. Marsigit. 2010. The Iceberg Approach of Learning Fractions in Junior High School: Teachers’ Simulations of Prior to Lesson Study Activities. (Online, diakses 19 September 2020) Prastowo, Andi. 2013. Panduan Kreatif Membuat Bahan Ajar Inovatif. Yogyakarta:Diva press (Online, diakses 20 September 2020) Rochmad. Model Pengembangan Perangkat Pembelajaran Matematika. Jurnal. FMIPA UNNES, 1 juni 2012. (Online, diakses 19 September 2020) Sirait, N., Jamiah, Y., & Suratman, D. (2017). Proses berpikir siswa dalam menyelesaikan soal cerita pada materi SPLDV di SMA. Jurnal Pendidikan Dan Pembelajaran, 6(11), 1–8. (Online, diakses 19 September 2020) BAHAN AJAR 3