Bahan Ajar KD.3.4 (Turunan Fungsi Trigonometri) [PDF]

Citation preview

MATEMATIKA Kelas XII SMA/MA PEMINATAN



K BAHAN AJAR NILAI MAKSIMUM MINIMUM, SELANG KEMONOTONAN DAN KEMIRINGAN GARIS SINGGUNG KURVA FUNGSI TRIGONOMETRI



Bahan Ajar Matematika Kelas XII Peminatan



KATA PENGANTAR Bismillaahirrohmaanirrohiim Puji syukur hanya milik Allah semata, Tuhan semesta alam.Atas berkah, rahmat, dan karunia-Nya penyusunan Bahan Ajar Matematika Materi Nilai Maksimum dan Minimum, Selang Kemonotonan dan Kemiringan Garis Singgung Kurva Fungsi Trigonometri untuk Kelas XII SMA ini dapat terselesaikan. Sholawat beserta salam semoga terlimpahkan keharibaan baginda Nabi Muhammad SAW, keluarga, dan para sahabatnya, sampai kepada kita selaku umatnya. Aamiin. Bahan ajar ini disusun sebagai salah satu sumber belajar dalam pelaksanaan belajar mengajar matematika. Materi Nilai Maksimum dan Minimum, Selang Kemonotonan dan Kemiringan Garis Singgung Kurva Fungsi Trigonometri. Dalam bahan ajar ini, penyajian materi menggunakan Model Discovery Learning guna meningkatkan hasil belajar siswa SMA/MA. Bahan ajar ini juga dilengkapi dengan contoh-contoh soal latihan, dan evaluasi. Sesuai dengan tujuan penyusunan bahan ajar ini, peserta didik diharapkan mampu (1) Menentukan jenis titik maksimum minimum fungsi trigonometri (2) Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi trigonometri (3) Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi trigonometri Bahan ajar ini dibuat tak lepas dari kontribusi dari banyak pihak, untuk itu penyusun menghaturkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu, semoga kebaikannya dibalas oleh Allah SWT dengan yang lebih baik. Penyusun mengharapkan saran-saran yang membangun dari pembaca agar penyusun dapat mengembangkan lebih baik lagi, karena penyusun menyadari penuh bahwa bahan ajar yang dibuat oleh penyusun belum sempurna. Penyusun berharap bahan ajar yang telah dibuat menjadi pengetahuan baru bagi peserta didik dan referensi bagi pendidiklain supaya lebih baik lagi dalam mengembangkan suatu bahan ajar.



Semarang, 29 April 2019



Penyusun



NILAI MAKSIMUM MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI



Page 1



Bahan Ajar Matematika Kelas XII Peminatan



DAFTAR ISI KATA PENGANTAR …………………………………………………… ..........................



1



DAFTAR ISI..........................................................................................................................



2



PETUNJUK PENGGUNAAN...............................................................................................



3



KOMPETESI YANG HARUS DICAPAI .............................................................................



4



PETA KONSEP .....................................................................................................................



5



MATERI ................................................................................................................................



6



EVALUASI............................................................................................................................ 14 RANGKUMAN ..................................................................................................................... 15 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................ 16 KUNCI JAWABAN ............................................................................................................. 17



NILAI MAKSIMUM MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI



Page 2



Bahan Ajar Matematika Kelas XII Peminatan



PETUNJUK PENGGUNAAN Bahan ajar matematika MateriNilai Maksimum dan Minimum, Selang Kemonotonan dan Kemiringan Garis Singgung Kurva Fungsi Trigonometriini disusun untuk membantu peserta didik kelas XII SMA dalam meningkatkan kemampuan pemahaman konsep dan pemecahan masalah matematis peserta didik. Penyusunan bahan ajar ini disesuaikan dengan kompetensi inti dan kompetensi dasar kurikulum 2013 yang berlaku saat ini. Bahan ajar matematika Materi Nilai Maksimum dan Minimum, Selang Kemonotonan dan Kemiringan Garis Singgung Kurva Fungsi Trigonometri ini juga diharapkan dapat menjadi referensi bagi guru pebimbing dalam



membimbing peserta didik mempelajari matematika khusunya dalam materi nilai maksimum dan minimum. Penyajian materi dalam bahan ajar ini disusun dengan menggunakan model Discovery Learning, sehingga peserta didik dituntun untuk menemukan konsep dengan kemampuan dan mental yang dimilikinya. Sistematika bahan ajar ini adalah sebagai berikut: 1. Sebelum menginjak pada pembahasan, bahan ajar ini diawali dengan paparan kompetensi yang harus dicapai oleh peserta didik. 2. Peta konsep digunakan untuk melihat pemetaan materi yang diajarkan dan pencapaiaan indicator yang diinginkan kepada peserta didik. 3. Materi diawali dengan permasalahan yang bertujuan untuk memberikan stimulus kepada peserta didik. 4. Uraian materi merupakan materi pokok yang disajikan dengan Bahasa yang sederhana. 5. Setiap pembahasan sub materi dilengkapi dengan kegiatan yang berisi permasalahan untuk memperjelas konsep yang dipelajari. 6. Latihan berisi soal-soal untuk menguji kemampuan peserta didik dalam materi yang dipelajari. 7. Evaluasi berisi soal-soal untuk menguji kemampuan peserta didik yang sesuai dengan indikator pencapaiaan kompetensi 8. Rangkuman berisi pokok-pokok pembicaraan materi yang telah selesai dipelajari. 9. Daftar pustaka berisi sumber materi dalam bahan ajar. 10. Glosarium berisi penjelasan istilah-istilah yang terdapat dalam bahan ajar. Berikut adalah langkah-langkah yang disarankan bagi peserta didik dalam menggunakan bahan ajar ini. 1. Bacalah terlebih dahulu kompetensi yang harus dicapai yang terletak sebelum pembahasan 2. Pahami uraiaan materi dengan seksama dan perhatikan kegiatan permasalahan yang diberikan dengan sebaik-baiknya. 3. Kerjakan latihan soal dengan seksama tanpa melihat kunci jawaban terlebih dahulu. 4. Kunci jawaban dapat dilihat untuk mencocokan penyelesaiaan soal evaluasi. 5. Bacalah kembali rangkuman yang ada di akhir bab. NILAI MAKSIMUM MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI



Page 3



Bahan Ajar Matematika Kelas XII Peminatan



KOMPETENSI YANG HARUS DICAPAI KOMPETENSI INTI (KI)



3:



Memahami, menerapkan,dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.



4:



Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif,serta mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.



KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI Kompetensi Dasar (KD)



Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK)



3.4 Menjelaskan keberkaitan turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, kemiringan garis singgung serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri



3.4.1 Menjelaskan keberkaitan turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum dan nilai minimum 3.4.2 Menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi trigonometri



4.4



Menyelesaikan masalah yang 4.4.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan berkaitan dengan dengan nilai nilai maksimum dan nilai minimum fungsi maksimum, nilai minimum, selang trigonometri kemonotonan fungsi, kemiringan garis singgung serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri



NILAI MAKSIMUM MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI



Page 4



Bahan Ajar Matematika Kelas XII Peminatan PETA KONSEP



Nilai Maksimum dan Minimum, Kemonotonan, Garis Singgung Fungsi Trigonometri



Titik balik



Nilai Maksimum



Nilai Minimum



NILAI MAKSIMUM MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI



Page 5



Bahan Ajar Matematika Kelas XII Peminatan



APERSEPSI



Masih ingkatkah kalian pada kelas XI kita telah mempelajari Turunan Fungsi Aljabar mengenai menghitung nilai maksimum dan minimum suatu fungsi ? Ingat kembali langkah-langkah menghitung nilai maksimum dan minimum suatu fungsi ! 1. Untuk menghitung nilai maksimum dan minimum suatu fungsi kontinu dengan menggunakan pengujian turunan pertama langkahnya adalah : Langkah 1 Carilah titik kritis dari fungsi 𝑓(𝑥) dengan cara menurunkan fungsi 𝑓(𝑥) Langkah 2 Hitunglah setiap titik kritis tersebut dengan cara disubstitusikan ke fungsi 𝑓(𝑥) tersebut dan yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum 2.



Langkah-langkah menentukan nilai maksimum minimum dengan pengujian turunan kedua Langkah 1 Tentukan nilai-nilai kritis 𝑓′(𝑥) dari fungsi 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) Langkah 2 untuk nilai kritis 𝑥 = 𝑥1 a. 𝑓(𝑥) bernilai maksimum jika 𝑓′(𝑥) = 0 dan 𝑓 ′′ (𝑥1 ) < 0 maka titik (𝑥1 , 𝑓(𝑥1 )) disebut titik maksimum b. 𝑓(𝑥) bernilai Minimum jika 𝑓′(𝑥) = 0 dan 𝑓′′(𝑥1 ) > 0 maka titik (𝑥1 , 𝑓(𝑥1 )) disebut titik minimum c. Pengujian gagal jika 𝑓 ′′ (𝑥1 ) = 0 atau 𝑓 ′′ (𝑥1 ) = ∞, maka jika demikian metode turuna pertama harus digunakan



NILAI MAKSIMUM MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI



Page 6



Bahan Ajar Matematika Kelas XII Peminatan



MATERI PENDAHULUAN



Dalam hidup ini, kita sering menghadapi masalah untuk mendapatkan cara terbaik untuk melakukan sesuatu. Sebagai contoh seorang petani ingin memilih kombinasi tanaman yang dapat menghasilkan keuntungan terbesar. Seorang dokter ingin memilih kombinasi dosis terkecil suatu obat yang akan menyembuhkan penyakit tertentu. Seorang kepala pabrik anak menekan sekecil mungkin biaya distribusi barangnya. Kadangkala salah satu dari masalah di atas dapat dirumuskan sehingga melibatkan pemaksimuman dan peminimuman suatu fungsi pasa suatu himpunan yang rinci. Bila demikian, maka pembelajaran kali ini menyediakan sarana ampuh untuk memecahkan masalah tersebut. Pada materi kali ini, kita akan membahas mengenai mencari nilai maksimum minimum dengan turunan pertama turunan kedua (nilai balik) suatu fungsi trigonometri.



Menentukan Jenis Nilai Maksimum dan Minimum dan Nilainya.



Ayo Mengamati Contoh : Tentukan nilai maksimum dan minimum dari 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛2𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋



Menggunakan Uji Turunan Pertama 𝑓(𝑥) = sin 2𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 → 𝑓 ′ (𝑥) = 2 cos 2𝑥 Syarat titik stasioner adalah 𝑓 ′ (𝑥) = 0 sehingga 2 cos 2𝑥 = 0 1



↔ cos 2𝑥 = cos 0 ↔ cos 2𝑥 = cos 90° ↔ cos 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝜋



NILAI MAKSIMUM MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI



Page 7



Bahan Ajar Matematika Kelas XII Peminatan Ingat Rumus: cos 𝑥 = cos 𝜃 Maka



1 cos 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 𝑥 = ((−𝜃) + 𝑘2𝜋)



𝑥 = (𝜃 + 𝑘. 2𝜋) 1 2𝑥 = (2 𝜋 + 𝑘 ∙ 2𝜋)



𝑥 = 𝜃 + 𝑘. 2𝜋 atau 𝑥 = −𝜃 + 𝑘. 2𝜋



1



2𝑥 = (− 2 𝜋 + 𝑘 ∙ 2𝜋)



1



1



𝑥 = (4 𝜋 + 𝑘. 𝜋)



𝑥 = (− 4 𝜋 + 𝑘 ∙ 𝜋)



Untuk k=0,1,2,… Diperoleh: 1



(i) 𝑥 = (4 𝜋 + 𝑘. 𝜋) 1



1



1



5



𝑘 = 0 → 𝑥 = (4 𝜋) + 0. 𝜋 = 4 𝜋 (memenuhi) 𝑘 = 1 → 𝑥 = (4 𝜋) + 1. 𝜋 = 4 𝜋(tidak memenuhi) 1



9



4



4



𝑘 = 2 → 𝑥 = ( 𝜋) + 2. 𝜋 = 𝜋(tidak memenuhi) 1



(ii) 𝑥 = (− 4 𝜋 + 𝑘 ∙ 𝜋) 1



1



𝑘 = 0 → 𝑥 = (− 4 𝜋) + 0. 𝜋 = − 4 𝜋(tidak memenuhi) 1



3



𝑘 = 1 → 𝑥 𝑥 = (− 4 𝜋) + 1. 𝜋 = 4 𝜋(memenuhi) 1



7



𝑘 = 2 → 𝑥 = (− 4 𝜋) + 2. 𝜋 = 4 𝜋 (tidak memenuhi) 1



3



Sehingga diperoleh absis titik stasioner yaitu 4 𝜋 dan 4 𝜋 Subsitusikan absis titik stasioner ke 𝑓(𝑥) = sin 2𝑥 1



1



3



3



1



𝑥 = 4 𝜋 → 𝑓 (4 𝜋) = sin 2(4 𝜋) = 1 3



𝑥 = 4 𝜋 → 𝑓 (4 𝜋) = sin 2 (4 𝜋) = −1 Untuk menguji nilai maksimum dan minimum fungsi tersebut, akan dilakukan uji titik setiap selang.



NILAI MAKSIMUM MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI



Page 8



Bahan Ajar Matematika Kelas XII Peminatan Untuk setiap titik uji, periksa tanda dari 𝑓 ′ (𝑥) dengan mensubstitusikan x ke 𝑓 ′ (𝑥) = 2 cos 2𝑥. 𝑥 = 0 diperoleh 2 cos 2(0) = 2  𝑓 ′ (0) = 2 > 0 (positif) 1



1



1



𝑥 = 2 𝜋 diperoleh 2 cos 2 (2 𝜋) = (−2) 𝑓 ′ (2 𝜋) = (−2) < 0 (negatif) 𝑥 = 𝜋 diperoleh 2 cos 2(𝜋)= 2 𝑓 ′ (𝜋) = 2 > 0 (positif) X



0



𝑓′(𝑥) + gradien



1 1 𝜋 𝜋 4 2 0 -



3 𝜋 𝜋 4 0 +



Sehingga diperoleh: 1



1



1



𝑥 = 4 𝜋 terdapat titik maksimum (4 𝜋, 1) dengan nilai maksimumnya 𝑓 (4 𝜋) = 1 3



3



3



𝑥 = 4 𝜋 terdapat titik maksimum(4 𝜋, 1) dengan nilai minimummnya 𝑓 (4 𝜋) = −1 Langkah-langkah menentukan nilai maksimum minimum uji turunan pertama: 1. Mencari turunan pertama dari 𝑓′(𝑥) 2. Mencari titik kritis dengan menggunakan syarat stasioner yaitu 𝑓 ′ (𝑥) = 0 3. Subsitusikan titik kritis ke fungsi awal. 4. Uji titik setiap selang untuk menentukan fungsi naik dan fungsi turun. 5. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi. Jawablah pertanyaan berikut ini: 1. Bagaimana cara mencari titik kritis (nilai x)? ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. 2. Bagaimana cara menentukan fungsi naik dan fungsi turun? ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. 3. andaikan 𝑓(𝑥) kontinu pada selang buka [𝑎, 𝑏] yang memuat titik kritis c. Jika 𝑓 ′ (𝑥) > 0, maka 𝑓(𝑐) adalah titik ….. Jika 𝑓 ′ (𝑥) < 0, maka 𝑓(𝑐) adalah titik …..



Menggunakan Uji Turunan Kedua 𝑓(𝑥) = sin 2𝑥 𝑓′(𝑥) = 2 cos 2𝑥 𝑓 ′′ (𝑥) = −4. sin 2𝑥 NILAI MAKSIMUM MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI



Page 9



Bahan Ajar Matematika Kelas XII Peminatan 1



3



Pada langkah uji turunan pertama didapat nilai kritis 4 𝜋 dan 4 𝜋. Subsitusikan kedua titik kritis tersebut ke turunan kedua. 1



1



𝑥 = 4 𝜋 → 𝑓 ′′ (𝑥) = −4. sin [2. (4 𝜋)] 1



= −4 sin 2 𝜋 = −4(1) = −4 3 3 𝑥 = 4 𝜋 → 𝑓 ′′ (𝑥) = −4. sin [2. (4 𝜋)] 3



= −4 sin 2 𝜋 = −4(−1) = 4 Karena jika 𝑓 ′′ (𝑐) < 0 → −4 < 0(𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚) Karena jika 𝑓 ′′ (𝑐) > 0 → 4 > 0 (𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚) Jadi, untuk menentukan nilai maksimum dan minimum, kita harus membandingkan kedua titik kritis diatas dengan ujung selang yaitu 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 Ujung selang kiri (𝑥 = 0) 𝑓(0) = 𝑠𝑖𝑛2(0) = 𝑠𝑖𝑛0 =0



1



Titik kritis (𝑥 = 4 𝜋) 1



1



3



Titik kritis (𝑥 = 4 𝜋) 3



3



𝑓 (4 𝜋) = 𝑠𝑖𝑛2 (4 𝜋)



𝑓 (4 𝜋) = sin 2 (4 𝜋)



= 𝑠𝑖𝑛 (2 𝜋) =1 (Nilai Maksimum)



= 𝑠𝑖𝑛 (2 𝜋) = −1 (Nilai Minimum)



1



3



Ujung selang kanan (𝑥 = 𝜋) 𝑓(𝜋) = 𝑠𝑖𝑛2(𝜋) = 𝑠𝑖𝑛2𝜋 =0



Jika keempat nilai ini kita bandingkan, maka jelas terbukti : Nilai maksimum adalah 1 dan nilai minimum adalah −1 (Terbukti benar) Sehingga diperoleh: 1



1



3



3



1



𝑥 = 4 𝜋 terdapat titik maksimum (4 𝜋, 1) dengan nilai maksimumnya 𝑓 (4 𝜋) = 1 3



𝑥 = 4 𝜋 terdapat titik maksimum (4 𝜋, 1) dengan nilai minimummnya 𝑓 (4 𝜋) = −1 Pada materi matematika wajib telah dinyatakan bahwa ada kaitan antara tanda dari kedua fungsi pada titik stasioner (𝑓 ′′ (𝑥)dengan 𝑥 = 𝑐 adalah absis titik stasioner) dengan jenis titik stasionernya. Ini dinyatakan dalam teorema berikut :



NILAI MAKSIMUM MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI



Page 10



Bahan Ajar Matematika Kelas XII Peminatan Teorema Nilai Balik Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) terdefinisi pada selang 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 yang muat c, 𝑓 ′ (𝑥)dan 𝑓′′(𝑥) ada untuk setiap titik pada selang 𝑎 < 𝑥 < 𝑏. Misal juga 𝑓 ′ (𝑐) = 0, yang berarti 𝑥 = 𝑐 adalah absis titik stasioner. 1) Jika 𝑓 ′′ (𝑐) < 0 atau negatif → 𝑓(𝑐) adalah nilai balik maksimum 2) Jika 𝑓 ′′ (𝑐) > 0 atau positif → 𝑓(𝑐) adalah nilai balik minimum



PENGAYAAN



Titik Stasioner dan Kemonotonan Suatu Fungsi Contoh soal: 1) Jika 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 + 7 tunjukan di mana f naik dan f turun Penyelesaian: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 + 7 → 𝑓 ′ (𝑥) = 6𝑥 − 6𝑥 − 12 = 6(𝑥 + 1)(𝑥 − 2), kita perlu menentukan : naik jika 𝒇′ (𝒙) > 0, turun jika 𝒇′ (𝒙) < 0 ↔



(𝑥 + 1)(𝑥 − 2) > 0 dan (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) < 0



titik pemisah adalah -1 dan 2; titik-titik ini membagi sumbu –x menjadi tiga selang (−∞, 1), (−1,2)𝑑𝑎𝑛 (2, ∞). Dengan demikian uji titik x=-2, x=3, kita simpulkan 𝒇′ (𝒙) > 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 𝒇′ (𝒙) < 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎ℎ Menurut Teorema: 𝑓 naik pada (−∞, 1)𝑑𝑎𝑛 (2, ∞). 𝑓 turun pada (−1,2)



NILAI MAKSIMUM MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI



Page 11



Bahan Ajar Matematika Kelas XII Peminatan



EVALUASI



1. Bagaimana cara menentukan nilai maksimum atau minimum menggunakan turunan pertama? 2. Tentukan titik kritis dimana 𝑓(𝑥) = sin 3𝑥 − 1 memiliki nilai maksimum! 3. Andi menaiki roller coaster dengan lintasan yang dinyatakan fungsi: 𝑓(𝑥) = √2 cos 𝑥 + √2 sin 𝑥 + 2, dimana 𝑓(𝑥) merupakan ketinggian dari permukaan tanah yang dinyatakan dengan satuan m dan x merupakan waktu yang dinyatakan dalam detik. Jika budi mulai berjalan dari 𝑥 = 0 dan berhenti pada 𝑥 = 2𝜋, tunjukan pada detik keberapakah Andi mencapai titik maksimum!



NILAI MAKSIMUM MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI



Page 12



Bahan Ajar Matematika Kelas XII Peminatan



RANGKUMAN



1. Untuk menghitung nilai maksimum dan minimum suatu fungsi kontinu dengan menggunakan pengujian turunan pertama langkahnya adalah : Langkah 1 Carilah titik kritis dari fungsi 𝑓(𝑥) dengan cara menurunkan fungsi 𝑓(𝑥) Langkah 2 Hitunglah setiap titik kritis tersebut dengan cara disubstitusikan ke fungsi 𝑓(𝑥) tersebut dan yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum 2.



Langkah-langkah menentukan nilai maksimum minimum dengan pengujian turunan kedua Langkah 1 Tentukan nilai-nilai kritis 𝑓′(𝑥) dari fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑓′(𝑥) Langkah 2 untuk nilai kritis 𝑥 = 𝑥1 d. 𝑓(𝑥) bernilai maksimum jika 𝑓′(𝑥) = 0 dan 𝑓 ′′ (𝑥1 ) < 0 maka titik (𝑥1 , 𝑓(𝑥1 )) disebut titik maksimum e. 𝑓(𝑥) bernilai Minimum jika 𝑓′(𝑥) = 0 dan 𝑓′′(𝑥1 ) > 0 maka titik (𝑥1 , 𝑓(𝑥1 )) disebut titik minimum f. Pengujian gagal jika 𝑓 ′′ (𝑥1 ) = 0 atau 𝑓 ′′ (𝑥1 ) = ∞, maka jika demikian metode turunan pertama harus digunakan



NILAI MAKSIMUM MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI



Page 13



Bahan Ajar Matematika Kelas XII Peminatan



DAFTAR PUSTAKA Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2017. Buku Siswa Mata Pelajaran Matematika (Perminatan) kelas XII.Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Noormandiri, B.K. 2016. Matematika Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam untuk SMA/MA Kelas XI. Jakarta: Erlangga. Sukino dkk.2017. Matematika Untuk SMA kelas XI. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.



NILAI MAKSIMUM MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI



Page 14



Bahan Ajar Matematika Kelas XII Peminatan



KUNCI JAWABAN 1. Langkah-langkah menentukan nilai maksimum minimum uji turunan pertama: Mencari turunan pertama dari 𝑓′(𝑥) 1. Mencari titik kritis dengan menggunakan syarat stasioner yaitu 𝑓 ′ (𝑥) = 0 2. Subsitusikan titik kritis ke fungsi awal. 3. Uji titik setiap selang untuk menentukan fungsi naik dan fungsi turun. 4. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi. 2. Penyelesaian: 𝑓(𝑥) = sin 3𝑥 − 1 𝑓′(𝑥) = 3 cos 3𝑥 → 3 cos 3𝑥 = 0 → cos 3𝑥 = cos 90 ° 1



→ cos 3𝑥 = cos 2 𝜋 1



→ 3𝑥 = 2 𝜋 Kita dapatkan 𝑥 = 𝜃 + 𝑛. 2𝜋



atau



1



1



3𝑥 = 2 𝜋 + 𝑛. 2𝜋 1



𝑥 = 6 𝜋 + 𝑛.



𝑥 = −𝜃 + 𝑛. 2𝜋 3𝑥 = − 2 𝜋 + 𝑛. 2𝜋



2𝜋



1



𝑥 = − 6 𝜋 + 𝑛.



3



2𝜋 3



Untuk n=0,1,2,3,…. Diperoleh 1



Pada 𝑥 = 6 𝜋 + 𝑛. 1



2𝜋 3



𝑛 = 0  𝑥 = 6 𝜋 + 0.



2𝜋 3



1



𝑥 = 6𝜋 1



𝑛 = 1  𝑥 = 6 𝜋 + 1.



2𝜋 3



5



𝑥 = 6𝜋 NILAI MAKSIMUM MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI



Page 15



Bahan Ajar Matematika Kelas XII Peminatan



1



Pada 𝑥 = − 6 𝜋 + 𝑛.



2𝜋 3



1



𝑛 = 0  𝑥 = − 6 𝜋 + 0.



2𝜋 3



1



𝑥 = − 6 𝜋 (Tidak Memenuhi) 1



𝑛 = 1  𝑥 = − 6 𝜋 + 1.



2𝜋 3



3



𝑥 = 6𝜋 1



2𝜋



6



3



𝑛 = 2  𝑥 = 𝜋 + 2. 7



𝑥 = 6 𝜋 (Tidak Memenuhi) 1



5



3



Kita dapatkan 3 nilai kritis yaitu 𝑥 = 6 𝜋 ,𝑥 = 6 𝜋 , dan 𝑥 = 6 𝜋 Kita subsitusikan ke turunan kedua 𝑓 ′′ (𝑥) = 3(− sin 3𝑥).3 = −9 sin 3𝑥 1 1 1 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 𝜋 → 𝑓 ′′ ( 𝜋) = −9 sin 3( 𝜋) 6 6 6 = −9.1 = −9 𝑓"(𝑥) < 0 (maksimum) 5 5 5 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 𝜋 → 𝑓 ′′ ( 𝜋) = −9 sin 3( 𝜋) 6 6 6 = −9.1 = −9 𝑓"(𝑥) < 0 (maksimum) 1 1 1 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 𝜋 → 𝑓 ′′ ( 𝜋) = −9 sin 3( 𝜋) 2 2 2 = −9. (−1) = 9 𝑓"(𝑥) > 0 (minimum) 1



Jadi fungsi 𝑓(𝑥) = sin 3𝑥 − 1 memiliki nilai maksimum pada absis 𝑥 = 6 𝜋 dan 1



𝑥 = 2𝜋 3. 𝑓(𝑥) = √2 cos 𝑥 + √2 sin 𝑥 + 2



𝑓 ′ (𝑥) = √2(− sin 𝑥) + √2 (cos 𝑥) = −√2 sin 𝑥 + √2 cos 𝑥 Syarat stasioner 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ↔ −(√2 sin 𝑥) + √2 cos 𝑥 = 0



NILAI MAKSIMUM MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI



Page 16



Bahan Ajar Matematika Kelas XII Peminatan √2 cos 𝑥 = √2 sin 𝑥 sin 𝑥 √2 = cos 𝑥 √2 tan 𝑥 = 1 1



5



𝑥 = 4 𝜋 atau 𝑥 = 4 𝜋 1



5



Sehingga diperoleh absis stasioner yaitu 4 𝜋 dan 4 𝜋 Subsitusikan absis stasioner ke 𝑓(𝑥) = √2 cos 𝑥 + √2 sin 𝑥 + 2 1



1



1



1



5



5



5



5



𝑥 = 4 𝜋 → 𝑓 (4 𝜋) = √2 cos (4 𝜋) + √2 sin (4 𝜋) + 2 = 1 + 1 + 2 = 4 𝑥 = 4 𝜋 → 𝑓 (4 𝜋) = √2 cos (4 𝜋) + √2 sin (4 𝜋) + 2 = −1 + (−1) + 2 = 0 Untuk menguji nilai maksimum fungsi tersebut, akan dilakukan uji titik setiap selang. Untuk setiap titik uji, periksa tanda dari 𝑓 ′ (𝑥) dengan mensubstitusikan x ke 𝑓 ′ (𝑥) = √2(− sin 𝑥) + √2 (cos 𝑥) 𝑥 = 0 diperoleh √2(− sin 0) + √2 (cos 0) = √2  𝑓 ′ (0) = √2 > 0 (positif) 3



3



3



3



𝑥 = 4 𝜋 diperoleh √2(− sin 4 𝜋 ) + √2 (cos 4 𝜋 ) = −2 𝑓 ′ (4 𝜋 ) = −2 < 0 (negatif) 𝑥 = 2𝜋 diperoleh√2(− sin 2𝜋 ) + √2 (cos 2𝜋 ) = −√2 𝑓 ′ (𝜋 ) = √2 > 0 (positif) X



0



𝑓′(𝑥) + gradien



1 3 𝜋 𝜋 4 4 0 -



5 𝜋 𝜋 4 0 -



Sehingga diperoleh: 1



1



1



𝑥 = 4 𝜋 terdapat titik maksimum (4 𝜋, 4) dengan nilai maksimumnya 𝑓 (4 𝜋) = 1 1



Andi mencapai titik maksimum pada detik ke 𝜋 4



NILAI MAKSIMUM MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI



Page 17