Bahan Ajar Rumus Jumlah Dan Selisih Tangen [PDF]

Citation preview

BAHAN AJAR MATEMATIKA MINAT KELAS XI TRIGONOMETRI RUMUS TANGEN JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT



DISUSUN OLEH: KELOMPOK 1



1. 2. 3. 4.



Anggota Evi Wulandari, S.Pd. Ika Ari Susanti, S.Pd. Sri Pangastuti, S.Pd. Wina Widiawaty, S.Pd.



Nomor Peserta 19020818010051 19020818010016 19021018010372 19021018010337



PENDIDIKAN PROFESI GURU DALAM JABATAN TAHAP 4 PROGRAM STUDI MATEMATIKA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2019



1



Kata Pengantar



Puji syukur saya panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas rahmat dan karunia-Nya saya dapat menyelesaikan bahan ajar rumus jumlah selisih sinus cosinus dengan pokok bahasan rumus jumlah dan selisih tangen kelas XI matematika minat ini. Bahan ajar ini dibuat untuk membantu siswa dan guru dalam kegiatan belajar mengajar serta sebagai perlengkapan pembelajaran untuk mencapai tujuan pelajaran. Akhir kata saya mengucapkan terima kasih, kritik dan saran sangat saya harapkan untuk perbaikan bahan ajar ini.



Cicalengka, Agustus 2019



Penyusun



2



DAFTAR ISI



Kata Pengantar .......................................................................................................................2 Daftar Isi ..................................................................................................................................3 BAB 1 .......................................................................................................................................4 Pendahuluan 1. Pendahuluan ..................................................................................................................4 2. Tujuan Pembelajaran .....................................................................................................4 BAB II Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut.......................................................5 BAB III Penutup 1. Rangkuman ...................................................................................................................... 2. Tugas ...........................................................................................................................12 Daftar Pustaka .......................................................................................................................13



3



BAB 1 PENDAHULUAN



1. Pendahuluan Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik



seperti



sinus,



cosinus,



dan



tangen.



Menurut Edward J. Byng bahwa trigonometri adalah ciptaan orang arab. Oleh karena itu, banyak kata-kata dalam trigonometri yang menggunakan istilah dari Arab. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri. Aplikasi ilmu trigometri yang ada pada kehidupan meliputi berbagai macam bidang seperti halnya astronomi, geografi, teknik, dan masih banyak lagi. Dengan trigonometri kita dapat mengukur jarak suatu bintang yang ada di angkasa tanpa harus kita mengunjungi ke sana. Dengan menggunakan rumus trigonometri, kita dapat mengukur sudut ketinggian tebing tanpa terlebih dulu memanjat. Bahkan kita juga dapat mengukur lebar suatu sungai tanpa harus menyeberanginya. Selanjutnya pada trigonometri matematika ini memiliki tiga fungsi. Untuk yang pertama yaitu sinus. Sinus termasuk perbandingan sisi segitiga (segitiga siku – siku atau salah satu sudut dari segitiga itu 90°.) Yang mana terdapat pada depan sudut dengan sisi miring. Kemudian untuk fungsi trigonometri yang selanjutnya yaitu kosinus atau cosinus. Cosinus termasuk perbandingan sisi segitiga yang berada pada sudut dengan sisi miring. Kemudian untuk fungsi dasar trigonometri matematika yang ketiga yaitu tangen. Tangen termasuk perbandingan sisi segitiga yang terdapat di depan sudut dengan sisi segitiga yang berada di sudut. 2. Tujuan Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran, maka diharapkan: 1. Peserta didik dapat menurunkan rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut dengan benar. 2. Peserta didik dapat menggunakan rumus penurunan dari tangen jumlah dan selisih dua sudut dengan benar. 3. Peserta didik dapat menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut dengan benar.



BAB II RUMUS TANGEN JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT



4



1. Manfaat Trigonometri Dalam Kehidupan Sehari-hari Manfaat trigonometri dalam kehidupan sehari-hari yaitu: a. Trigonometri dalam bidang navigasi untuk menemukan jarak dari pantai ke suatu titik di laut



b. Trigonometri umumnya juga digunakan dalam mencari ketinggian menara dan pegunungan.



c. Trigonometri juga digunakan dalam oseanografi dalam menghitung ketinggian gelombang air laut



d. Trigonometri digunakan untuk mengukur ketinggian suatu pohon 5



e. Trigonometri digunakan dalam menemukan jarak antara benda-benda angkasa



f. Fungsi sinus dan cosinus merupakan dasar bagi teori fungsi periodik seperti pada gelombang suaradan cahaya.



g. Arsitek menggunakan trigonometri untuk menghitung beban struktural, kemiringan atap, permukaan tanah dan banyak aspek lain, termasuk bayangan matahari dan sudut cahaya



6



2. Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut Untuk perbandingan trigonometri jumlah dan selisih sudut pada tangen, kita coba memakai identitas trigonometri yaitu



sin A cos A tan ¿



A=¿



a. Rumus Tangen Jumlah Dua Sudut tan ( A+ B ) = ¿



sin ( A+ B ) cos ( A +B )



sinA cosB +cosA sinB cosA cosB−sinA sinB



1 sinA . cosB+ cosA . sinB cosA . cosB ¿ . cosA . cosB−sinA . sinB 1 cosA . cosB sinA . cosB+cosA . sinB cosA . cosB ¿ cosA . cosB−sinA . sinB cosA . cosB sinA . cosB cosA . sinB cosA . cosB cosA . cosB ¿ + cosA . cosB sinA . sinB cosA . cosB cosA . cosB sinA sinB + cosA cosB ¿ sinA sinB 1− . cosA cosB ¿



tanA +tanB 1−tanA .tanB



Jadi rumus tangen jumlah dua sudut adalah tan (A + B)=



tanA +tanB 1−tanA . tanB



b. Rumus Tangen Selisih Dua Sudut tan ( A−B )=



sin ( A−B ) cos ( A−B )



¿



sinA cosB−cosA sinB cosA cosB+ sinA sinB



7



1 sinA . cosB−cosA . sinB cosA . cosB ¿ . cosA . cosB +sinA . sinB 1 cosA . cosB sinA .cosB−cosA . sinB cosA . cosB ¿ cosA . cosB+ sinA . sinB cosA . cosB sinA . cosB cosA . sinB cosA . cosB cosA . cosB ¿ − cosA . cosB sinA . sinB cosA . cosB cosA . cosB sinA sinB − cosA cosB ¿ sinA sinB 1+ . cosA cosB ¿



tanA−tanB 1+tanA . tanB



Jadi rumus tangen selisih dua sudut adalah tan (A−B)=



tanA −tanB 1+ tanA . tanB



Contoh Tanpa menggunakan tabel logaritma atau kalkulator, hitunglah tan 15°. Penyelesaian tanA +tanB tan (A + B)= 1−tanA . tanB tan 15 °=tan ( 60−45 ) ° ¿



tan 60 °−tan 45 ° 1+ tan 60° . tan 45°



3−1 ¿√ 1+ √ 3 3−1 1−√ 3 ¿√ x 1+ √ 3 1−√ 3 ¿



√3−3−1+ √3 2 2 1 −( √ 3 )



¿



−4 +2 √ 3 1−3



8



¿



−4 +2 √ 3 −2



¿ ( 2− √ 3 ) Jadi, tan 15° adalah ( 2− √ 3 )



3. Rumus penjumlahan dan pengurangan untuk Tangen a. Rumus Penjumlahan untuk Tangen sinA sinB + cosA cosB tan¿



A + tan B=¿



¿ ¿



¿



sinA cosB+ cosA sinB cosA . cosB sin ( A + B ) 1 (cos ( A+ B ) +cos ( A−B ) ) 2 2 sin ( A + B ) cos ( A +B ) +cos ( A−B )



Sehingga diperoleh



A + tan B=¿ tan ¿



2 sin ( A + B ) cos ( A + B ) +cos ( A−B )



b. Rumus Pengurangan untuk Tangen



sinA sinB − cosA cosB tan ¿



A−tan B=¿



¿ ¿



¿



sinA cosB−cosA sinB cosA .cosB sin ( A−B ) 1 (cos ( A+ B ) +cos ( A−B ) ) 2 2 sin ( A−B ) cos ( A +B ) +cos ( A−B )



Sehingga diperoleh



A−tan B=¿ tan ¿



2 sin ( A−B ) cos ( A + B ) +cos ( A−B )



Contoh 9



Tanpa menggunakan tabel logaritma atau kalkulator, hitunglah nilai dari tan 105 ° +tan 15 ° Penyelesaian 2 sin ( A + B ) 105 °+ tan 15° =¿ cos ( A + B ) +cos ( A−B ) tan ¿ ¿



2 sin ( 105° +15 ° ) cos ( 105° +15 ° )+ cos ( 105 °−15 ° )



¿



2 sin ⁡120 ° cos 120° +cos 90 °



1 √3 2 ¿ −1 √3 2 2.



Sehingga diperoleh



A + tan B=¿ tan ¿



1 √3 2 −1 √3 2



2.



4. Penerapan rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut dalam menyelesaikan masalah kontekstual



Sebuah pesawat terbang berada pada ketinggian 2.001,5 m diatas permukaan tanah dan seorang anak berdiri tepat di bawahnya. Anak tersebut berdiri tepat dihadapan sebuah gedung. Ia mengamati puncak gedung dengan tinggi pengamatan 150 cm. Dari pengukuran dengan menggunakan klinometer diketahui sudut elevasi antara anak dan puncak gedung 150 dan sudut depresi antara helikopter dan puncak gedung 600. Tentukan tinggi gedung tersebut!



Penyelesaian: Tinggi pengamatan anak = AB = 150 cm = 1,5 m Tinggi helikopter = 2.001,5 m 10



tan ∠ DAG=



DG AG



DG AG DG AG = …(1) 0 tan15 0



tan 15 =



tan ∠ EDF=



EF FD



EF FD EF FD= …(2) tan 600 Oleh karena FD = AG diperoleh: DG EF = 0 0 tan 15 tan 60 DG EB−FB = 0 tan 15 tan 600 EB−( FA+ AB) DG = 0 tan 15 tan 600 EB−( DG + AB) DG = →(FA=DG) 0 tan 15 tan60 0 tan 600 . DG=( 2.001,5−( DG +1,5 ) ) . tan 150 √ 3 . DG=( 2.000−DG ) .(2− √3) √ 3 . DG=2.000 ( 2− √3 ) −( 2− √3 ) DG √ 3 . DG+ ( 2−√ 3 ) DG=2.000 ( 2−√ 3 ) ( √ 3+2− √ 3 ) DG=2.000 ( 2−√ 3 ) 2 DG=2.000 ( 2−√3 ) 2.000 ( 2−√ 3 ) DG= 2 DG=1.000 ( 2−√ 3 ) DG=2.000−1.000 √ 3 0



tan 60 =



→



Tinggi gedung adalah DC DC = DG + GC Karena GC = AB, sehingga: DC = DG + AB = 2.000 – 1.000



√ 3 + 1,5



= (2.001,5 – 1.000



√3 ) m



Jadi, tinggi gedung tersebut adalah (2.001,5 – 1.000



√3



)m



11



BAB III PENUTUP



1. Rangkuman a. Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut tan (A + B)=



tanA +tanB 1−tanA . tanB



tan (A−B)=



tanA −tanB 1+ tanA . tanB



b. Rumus penjumlahan dan pengurangan untuk Tangen A + tan B=¿ tan ¿



2 sin ( A + B ) cos ( A + B ) +cos ( A−B )



A−tan B=¿ tan ¿



2 sin ( A−B ) cos ( A + B ) +cos ( A−B )



2. Tugas 1. Seseorang siswa akan mengukur tinggi sebuah pohon yang berjarak 6 meter dari dirinya. Ia melihat puncak pohon dengan sudut elevasi 30 ° . Jika tinggi anak 1,6 meter berapa tinggi pohon tersebut? 2. Tanpa menggunakan tabel logaritma atau kalkulator, hitunglah tan 15°! 3. Tanpa menggunakan tabel logaritma atau kalkulator, hitunglah nilai dari tan 75 ° +tan 15 ° !



12



DAFTAR PUSTAKA



Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.



Usodo, Budi. 2009. Wahana Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.



Sutrisna-Slamet Waluyo. 2016. Konsep dan Penerapan Matematika SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan MIPA. Jakarta: Bailmu. Noormandiri. 2017. Matematika Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmu Alam untuk SMA/MA Kelas XI. Erlangga: Jakarta. https://rbaryans.wordpress.com/2013/01/29/aplikasi-trigonometri-dalam-kehidupan-nyata/ https://www.youtube.com/watch?v=-o_MTWXUm8Y



13