Barisan Dan Deret Aritmatika Dan Geometri [PDF]

Citation preview

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA DAN GEOMETRI



DISUSUN OLEH : NAMA



:



NIM



:



KELAS



:



GURU PEMBIMBING :



YAYASAN AL – YAHYA KALAMPA SMK KESEHATAN YAHYA BIMA TAHUN AJARAN 2020/2021



KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Wr. Wb. Alhamdulillah.. Puji syukur kehadirat Allah SWT. atas segala rahmat dan hidayah-Nya. Segala pujian hanya layak kita aturkan kepada Allah SWT. Tuhan seru sekalian alam atas segala berkat, rahmat, taufik, serta petunjuk-Nya yang sungguh tiada terkira besarnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah yang penulis beri judul ”BARISAN dan DERET”. Dalam penyusuna makalah ini, penulis mendapat banyak bantuan dari berbagai pihak, oleh karena itu penulis mengucapkan rasa berterimakasih yang sebesar-besarnya kepada mereka, kedua orang tua dan segenap keluarga besar penulis yang telah memberikan dukungan, moril, dan kepercayaan yang sangat berarti bagi penulis. Berkat dukungan mereka semua kesuksesan ini dimulai, dan semoga semua ini bisa memberikan sebuah nilai kebahagiaan dan menjadi bahan tuntunan kearah yang lebih baik lagi. Penulis tentunya berharap isi makalah ini tidak meninggalkan celah, berupa kekurangan atau kesalahan, namun kemungkinan akan selalu tersisa kekurangan yang tidak disadari oleh penulis. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar makalah ini dapat menjadi lebih baik lagi. Akhir kata, penulis mengharapkan agar makalah ini bermanfaat bagi semua pembaca. Wassalamu’alaikum Wr. Wb. Bima, 09 September 2020



Penulis



DAFTAR ISI



Halaman Judul



...........................................................................



i



Daftar Isi



...........................................................................



ii



Kata Pengantar



...........................................................................



iii



BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang ...........................................................................



1



B. Rumusan Masalah..........................................................................



1



C. Tujuan



...........................................................................



1



A. Pengertian Barisan dan Deret........................................................



2



B. Barisan Aritmatika.........................................................................



3



C. Deret Aritmatika ...........................................................................



6



BAB II PEMBAHASAN



D. Barisan Geometri .......................................................................... E. Deret Geometri ........................................................................... Kumpulan Soal



...........................................................................



9



Kunci Jaawaban



...........................................................................



10



A. Kesimpulan



...........................................................................



13



B. Saran



...........................................................................



13



Daftar Pustaka



...........................................................................



14



BAB III PENUTUP



KATA PENGANTAR



Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNYA sehingga papper tentang barisan dan deret aritmatika ini dapat tersusun hingga selesai. Tidak lupa penulis juga mengucapkan terimakasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun pikirannya. Dan harapan penulis semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, Untuk ke depannya dapat memperbaiki bentuk maupun menambah isi papper agar menjadi lebih baik lagi. Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman penulis, penulis yakin masih banyak kekurangan dalam makalah ini, Oleh karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini. Bima, 09 September 2020 Penulis



BAB I PENDAHULUAN



A. Latar Belakang Masalah Bilangan adalah salah satu bagian terpenting dalam ilmu matematika. Bilangan tidak hanya sesuatu yang bisa dan terlihat dalam kehidupan yang kita sebut bilangan real namun ada juga bilangan yang tidak terlihat namun ada nilainya yang kita kenal sebagai bilangan imajiner. Bilangan – bilangan tersebut dapat diurutkan dengan aturan atau pola tertentu yang disebut barisan bilangan. Setiap bilangan pada barisan bilangan tersebut disebut suku barisan. Jumlah beruntun dari suku-suku barisan itu dinamakan deret. Materi barisan dan deret adalah barisan dan deret aritmatika dan geometri. Dalam papper ini penulis membahas tentang barisan dan deret aritmatika yang dibahas di kelas XII. Sebenarnya materi ini sudah diperoleh saat kelas IX semester genap, sehingga bagi siswa kelas XII materi ini bukan hal baru. Namun terkadang, jarak yang terpaut tiga tahun dari kelas IX ke kelas XII menyebabkan siswa sering lupa dengan materi barisan dan deret aritmatika. Selain itu, siswa juga sulit untuk memahami konsep barisan dan deret aritmatika maupun geometri. Untuk membantu siswa lebih mudah memahami barisan dan deret, penulis akan membahas barisan dan deret aritmatika dalam papper ini dengan judul “Barisan dan Deret Aritmatika & Barisan dan Deret Aritmatika”. B. Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud barisan dan deret? 2. Bagaimana menentukan baris aritmatikadan geometri? 3. Bagaimana menghitung dan menentukan jumlah deret aritmatika dan geometri? C. Tujuan 1. Untuk mengetahui pengertian barisan dan deret. 2. Untuk mengetahui cara menentukan baris aritmatika dan geometri. 3. Untuk mengetahui cara menghitung dan menentukan jumlah deret aritmatika dan geometri



BAB II PEMBAHASAN I.



Barisan dan Deret Aritmatika A. Barisan Aritmatika Perhatikan barisan aritmatika 1, 3, 5, 7,… dan 2, 4, 6, 8,….; setiap selisih anatara dua suku yang berurutat adalah tetap nilainya yaitu: 3-1 = 5-3 = 7-5 =…= 2 4-2 = 6-4 = 8-6 =…= 2 Secara umum u1 ,u 2 , u3 , … ,u nadalah barisan aritmatika apabila u2−u 1= u3−u2=u4 −u3 =¿konstanta. Konstanta ini disebut beda dan dinyatakan dengan b. Sehingga barisan aritmatika dapat kita definisikan sebagai berikut: Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bentuk umum : u1 ,u 2 , u3 , … ,u n atau



a , ( a+ b ) , ( a+2 b ) , … ,(a+ ( n−1 ) b) Pada barisan aritmatika, berlaku un −un−1=b , sehingga un =un−1+ b a.



Rumus umum suku ke-n pada Barisan Aritmatika Misalkan suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b, maka suku barisan itu dapat divisualisasikan sebagai berikut : u1=a u2=a+b u3=a+2 b u 4=a+ 3 b un =a+ ( n−1 ) b Berdasarkan pola atau keteraturan suku-suku barisan di atas, maka rumus suku ke-n untuk barisan aritmatika dapat ditentukan dengan hubungan berikut. Misalkan suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b, rumus umum suku ke-n dari barisan aritmatika itu ditentukan oleh : un =a+ ( n−1 ) b



Contoh : 1) Carilah suku pertama, beda, dan suku ke-6 dari barisan aritmatika 4, 1, -2, -5, . . . Jawab : Barisan 4, 1, -2, -5, … Suku pertama



u1=a=4,



Beda



b=1−4=−3 ,



Suku ke-6



u6 =a+5 b=4 +5 (−3 )=−11



Jadi, suku pertama a=4, beda b=−3, dan suku ke-6 adalah u6 =−11 b.



Suku tengah pada barisan aritmatika Suku tengah suatu barisan aritmatika dapat ditentukan melalui deskripsi berikut ini. Misalkan barisan aritmatika yang terdiri dari atas (2k-1) suku : u1 , … ,u k ,… , u2 k−1, maka suku tengahnya adalah uk . Suku tengah uk =a+ ( k −1 ) b= 1 {u +u }. 2 1 2 k−1



Jadi,



suku



1 1 { 2 a+2 ( k −1 ) b } = {a+ a+ ( 2 k −2 ) b } = 2 2 tengahnya



ditentukan



oleh



hubungan



1 uk = {u1 +u2 k−1 }. 2 Contoh : 1) Diketahui barisan aritmatika 3, 5, 7, 9, …, 95. Banyak suku pada barisan itu adalah ganjil. a) Carilah suku tengahnya b) Suku keberapakah suku tengahnya itu? c) Berapakah banyak suku barisan itu? Jawab : a) Barisan 3, 5, 7, 9, …, 95. Suku pertama a=u1=3 , beda b=2, dan suku terakhir u2 k−1=95. 1 1 uk = (u1 +u2 k−1 )= ( 3+95 ) =49 2 2



Jadi, suku tengahnya adalah 49. b) Dari hasil a), diperoleh : uk =a+ ( k −1 ) b=49 ⇔ 3+ ( k−1 ) 2=49 ⇔ 2 k=48 ⇔ k =24 Jadi, suku tengahnya adalah suku ke-24. c) Banyaknya suku barisan itu sama dengan 2 k−1=2 ( 24 )−1=47. c.



Sisipan pada barisan aritmatika Misalkan diantara dua bilangan real x dan y (dengan x ≠ y) akan disisipkan sebanyak k buah bilangan (k ∈ bilangan asli). Bilangan – bilangan



semula



dengan



bilangan-bilangan



yang



disisipkan



itu



membentuk suatu barisan aritmatika. Susunan bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan dapat divisualisasikan dengan menggunakan bagan sebagaimana diperlihatkan berikut ini. bilangan – bilangan semula x , ( x +b ) , ( x+ 2b ) , … , ( x+ kb ) , y



Membentuk barisan aritmatika



Bilangan-bilangan yang disisipkan sebanyak k buah Di antara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmatika. Nilai beda barisan aritmatika yang terbentuk dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan b=



y−x k +1



Dengan x dan y ∈bilangan real (x ≠ y ¿ dan k ∈ bilangan asli. Contoh : 1) Di antara bilangan 4 dan 28 disisipkan 5 buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan



membentuk barisan aritmatika. Carilah beda dari barisan aritmatika yang terbentuk. Jawab : Diketahui x=4 , y=28dan k =5 Didapat b=



y−x 28−4 = =4 k +1 5+1



Jadi, beda barisan aritmatika yang terbentuk adalah b=4. B. Deret Aritmatika Jumlah beruntun suku-suku suatu barisan aritmatika disebut sebagai deret aritmatika. Sebagai contoh :  Dari barisan aritmatika 1, 3, 5, 7, …, 99 dapat dibentuk deret aritmatika 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99,  Dari barisan aritmatika 2, 4, 6, 8, …, 2n dapat dibentuk deret aritmatika 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n. Dari contoh di atas dapat disimpulkan, jika u1 ,u 2 , u3 , … ,u n, merupakan suku – suku barisan aritmatika, maka u1 +u2 +u3 +…+ un dinamakan sebagai deret aritmatika. a.



Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika Jumlah n suku pertama deret aritmatika dilambangkan dengan Sn, dan Sn ditentukan oleh : Sn=¿ u1 +u2 +u3 +…+ un−2+ un−1+ un Substitusikan u1=a ,u 2=a+b ,u3 =a+2 b , … , un−2=u n−2 b ,u n−1=un−b ; diperoleh Sn=a+ ( a+ b ) + ( a+2 b )+ …+ ( un−2b ) + ( un −b ) +u n…(*) Jika urutan suku-suku penjumlahan pada persamaan (*) itu dibalik, diperoleh: Sn=un + ( un−b ) + ( u n−2 b ) +…+ ( a+2 b ) + ( a+ b ) +a … (**) Jumlahkan masing masing ruas pada persamaan (*) dengan persamaan (**), sehingga diperoleh : 2 S n=¿ ( a+ un ) + ( a+ un ) + ( a+ un ) +…+ ( a+un ) + ( a+un ) + ( a+un ) Penjumlahan n suku dengan masing-masing sukunya adalah ( a+ un )



↔ 2 Sn =n ( a+u n )



n ↔ S n= (a+u n) 2 Berdasarkan hasil perhitungan tersebut, jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dapat ditentukan melalui hubungan sebagai berikut. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika u1 +u2 +u3 +…+ un ditentukan dengan menggunakan hubungan : n Sn= (a+ un ) 2 Dengan n = banyak suku, a = suku pertama, dan un = suku ke-n. b.



Sifat-sifat Sn pada deret aritmatika Jumlah n suku pertama deret aritmatika mempunyai sifat-sifat sebagai berikut. 1.



n Sn= (a+ un ) merupakan fungsi kuadrat dari n (n bilangan asli) yang 2 tidak memiliki suku tetapan.



2.



Untuk setiap n ∈ bilangan asli berlaku hubungan Sn−S n−1=un (Suku ke-n).



Contoh : 1) Hitunglah jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … + 60. Jawab : Untuk menghitung jumlah deret pada soal di atas, perlu ditentukan terlebih dulu banyak suku atau n melalui hubungan un =a+ ( n−1 ) b . 2 + 4 + 6 + … + 60, a=2 , b=2 , dan un=60. 60 ¿ 2+ ( n−1 ) 2 ⇔ 60=2 n ⇔ n=30 S30=



30 ( a+u30 )=15 ( 2+60 ) =930 2



Jadi, jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … + 60 adalah S30=930. II.



BARISAN DAN DERET GEOMETRI



1.      Pengertian Dan Rumus Barisan Geometri



Barisan Geometri dapat didefinisikan sebagai barisan yang tiap-tiap sukunya didapatkan dari hasil perkalian suku sebelumnya dengan sebuah konstanta tertentu Contoh Barisan Geometri Untuk lebih memahami apa yang dimaksud dengan barisan geometri perhatikan contoh berikut: 3, 9, 27 , 81, 243, ... Barisan di atas adalah contoh barisan geometri dimana setiap suku pada barisan tersebut merupakan hasil dari perkalian suku sebelumnya dengan konstanta 3. maka bisa disimpulkan bahwa rasio pada barisan di atas adalah 3. rasio pada suatu barisan dapat dirumuskan menjadi: r = ak+1/ak Dimana ak adalah



sembarang



suku



dari



barisan



geometri



yang



ada.



sementaraak+1 adalah suku selanjutnya setelah ak.untuk menentukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus : Un = arn-1 Dimana a merupakan suku awal dan r adalah nilai rasio dari sebuah barisan geometri. Mari kita pelajari penggunaan rumus-rumus barisan geometri di atas dalam menyelesaikan soal:



Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Geometri Contoh Soal 1 Sebuah Bakteri mampu melakukan pembelahan diri menjadi 4 setiap 12 menit. berapakah jumlah bakteri yang ada setelah 1 jam apabila sebelumnya terdapat 3 buah bakteri? Penyelesaian: a=3 r=4 n = 1 jam/12 menit = 60/12 = 5 Masukkan ke dalam rumus: Un = arn-1 U5 = 3 x 45-1 U5 = 3 x 256 = 768 bakteri 2.      Pengertian dan Rumus deret Geometri



Deret geometri dapat diartikan sebagai jumlah dari n suku pertama pada sebuah barisan geometri. apabila suku ke-n dari suatu barisan geometri digambarkan dengan rumus: an = a1rn-1, maka deret geometrinya dapat dijabarkan menjadi: Sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + ... + a1rn-1 Apabila kita mengalikan deret geometri di atas dengan -r, lalu kita jumlahkan hasilnya dengan deret aslinya, maka kita akan memperoleh:



Setelah diperoleh Sn - rSn = a1 - a1rn maka kita dapat mengetahui nilai dari suku n pertama dengan cara berikut ini:



Berdasarkan kepada hasil perhitungan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa rumus jumlan n suku pertama pada sebuah barisan geometri adalah:



Perhatikan cara menggunakan rumus tersebut pada contoh soal di bawah ini: Contoh Soal Deret Geometri Contoh Soal 2 Tentukanlah jumlah 8 suku pertama dari barisan geometri 2, 8, 32, ... Pembahasan: a=2 r=4 n=8 Sn = a  (1-rn) / (1-r)



Sn = 2  (1-48) / (1-4) Sn = 2  (1-65536)/ (-3) Sn = 2  (-65535)/ (-3) Sn = 2 x 21845 Sn = 43690



BAB III PENUTUP A. Kesimpulan 1. Barisan bilangan adalah suatu urutan bilangan dengan aturan tertentu yang masing-masing bilangan dalam urutan tersebut disebut suku dan setiap suku digabungkan dengan tanda koma ( , ). Bentuk umum barisan bilangan U1, U2, U3, U4, ..., Un 2. Deret bilangan adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan, bentuk umum deret yaitu U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un 3. Baris aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang memiliki selisih dua suku yang berurutan selalu tetap. Rumus suku ke-n baris aritmetika Un = a + (n – 1) 4. Deret aritmatika memiliki rumus jumlah suku pertama Sn =  n {2a + (n B. Saran Penulis menyarankan agar pembaca tidak hanya mengetahui barisan dan deret aritmatika pada papper ini, namun juga memperbanyak latihan mengerjakan soal dan dapat membedakan barisan dan deret aritmatika serta geometri.



DAFTAR PUSTAKA Anwar, Cecep dan Pesta. 2008. “Matematika Aplikasi Untuk SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam”.Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Sari,



Ratna.



2014.



“Barisan



dan



Deret



Aritmatika”



(Online),



(http://ratnasari15.blogspot.co.id/2014/11/barisan-dan-deret-aritmatika.html, diakses tanggal 28 Maret 2016). TIM Erlangga Fokus SMA. 2013.”Erlangga Fokus UN SMA/MA 2014 Ilmu Pengetahuan Alam”. Jakarta: Erlangga Wirodikromo, Sartono. 2007. “Matematika Untuk SMA Kelas XII”. Jakarta : Erlangga.