Bilangan Kompleks1 [PDF]

Citation preview

(11)



Selesaikan



dy = ( y − 4 x) 2 dx



Jawab : Ditulis dy = (y – 4x)2 dx. Transformasi y – 4x = v, dy = 4dx + dv. Menyusutkan persamaan menjadi 4 dx + dv = v2 dx 1 4



Maka x + In



v +2 = c1 v −2



→ In



atau dx −



dv = 0, v −4 2



v +2 In C − 4 x v −2



v +2 y − 4x + 2 = ce −4 x dan = Ce −4 x v −2 y − 4x − 2



(12)



Selesaikan tan2 (x + y) dx – dy = Jawab : Transformasi x + y = v



→



menjadi (tan2 v) dx − (dv – dx) = 0



→



dy = dv – dx menyusutkan persamaan dx −



dv =0 1 + tan 2 v



atau dx – cos2 v dv = 0. Integrasi memberikan x−



(13)



1 1 v − sin 2v = c1 2 v



dan 2( x − y ) = c + sin 2( x + y )



Selesaikan (2 + 2 x 2 y ) y dx + ( x 2 2 + 2 ) x dy = 0 1



Jawab : Transformasi v = x 2 y 2 , y =



v2 2v 4v 2 , dy dv − dx memberikan x4 x4 x5



( 2 + 2v ) v 2 dx + x( v + 2) 2v dv − 4v 2 dx  = 0



atau x5  dx 2 dv 1 dv v( 3 + v ) dx − x( v + 2 ) dv = 0. Maka − − =0 x 3 v 3 v +3 3 In x − 2 In v − In ( v + 3) = In c1 , x 3 = c1v 2 ( v + 3) dan x4



 x4



1 1 1 = c1 xy  x 2 y 2 + 3  atau xy x 2 y 2 + 3  = C    



(14)



Selesaikan ( 2 x 2 + 3 y 2 − 7 ) x dx − ( 3 x 2 + 2 y 2 − 8) y dy = 0 Jawab : Transformasi x 2 + u, y 2 = v, du = 2 x dx, dv = 2 y dy



( 2u + 3v − 7 ) du − ( 3u + 2v − 8) dv = 0. Transfomasi u = s + 2, v = t +1 memberikan persamaan homogen ( 2 s + 3t ) ds − ( 3s + 2t ) dt = 0 dan transformasis = rt , ds = r dt + t dr memberikan



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT.



MATEMATIKA IV



1



2( r 2 − 1)dt + ( 2r + 3)t dr = 0 Dengan memisahkan variabel. Kita peroleh' dt 2r + 3 dt dr 5 dr 2 +| 2 dr = 2 − + =0 t t r + 1 2 r −1 r −1 maka 4 In t − In ( r + 1) + 5I n ( r −1) = In C



( s − t ) =  u − v −1  = ( x 2 − y 2 −1) = C t 4 ( r − 1) =   2 2 r +1 s +t u + v −3  x + y −3 5



dan ( x 2 − y 2 −1)5 = C ( x 2 + y 2 − 3)



(15)



Selesaikan x 2 ( x dx + y dy ) + y ( x dy − y dx ) = 0 Jawab : x dx + y dy =



(



)



1 d x 2 + y 2 dan x dy − y dx = x 2 d  y   x 2



y



Substitusi x2 + y2 = ρ 2 ,



x



= tan θ atau x = ρ cos θ



y = ρ sin θ ; dx = −ρ sin θ + cos θ dρ, dy = ρ cos θ dθ + sin θ dρ



(



Persamaan yang diberikan berbentuk ρ 2 cos 2 θ ( ρ dρ ) + ρ sin θ ρ 2 dθ atau dρ + tan θ sec θ dθ = 0. Maka ρ + sec θ = c1  x +1  x2 + y2   = c1  x 



(16)



(x



dan



2



)



)



+ y 2 ( x + 1) 2 = Cx 2



Selesaikan 2x3 + 3y) dx + (3x + y – 1) dy = 0 ∂M



∂



∂N



∂



3 Jawab : ∂y = ∂y ( 2 x + 3 y ) = 3, ∂x = ∂x ( 3 x + y −1) = 3



Jadi



∂M ∂N = , berarti persamaan di atas adalah eksak ∂y ∂y



3 Misalkan µ ( x, y ) = ∫x ( 2 x + 3 y )dx =



1 4 x + 3 xy + φ ( y ) 2



∂µ = 3 x + φ ' ( y ) = N ( x, y ) = 3 x + y − 1, φ ' ( y ) = y − 1 ∂y 1 φ ( y ) = y 2 − 1. Persamaan memberikan : 2 1 4 1 x + 3 xy + y 2 − y = c1 atau x 4 + 6 xy + y 2 − 2 y = C 2 2



(17)



(



)



2



(



)



Selesaikan x 2 e xy + 4 x 3 dx + 2 xy e xy 2 − 3 y 2 dy = 0 Jawab :



∂M ∂ 2 xy 2 = y e + 4 x 3 = 2 y e xy 2 + 2 xy 3 e xy 2 ∂y ∂y ∂N ∂ = 2 xy e xy 2 − 3 y 2 = 2 y e xy 2 + 2 xy 3 e xy 2 ∂y ∂x



(



∂M



)



∂N



Jelas ∂y = ∂x dan persamaan di atas adalah eksak. 2 xy 2 3 xy 2 4 Misalkan µ ( x, y ) = ∫x ( y e + 4 x )dx = e + x + φ ( y )



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT.



MATEMATIKA IV



2



∂µ = 2 xy e xy 2 +φ' ( y ) = 2 xy e xy 2 − 3 y 2 → φ' ( y ) = −3 y 2 ∂y



φ ( y ) = − y 3 dan penyelesaiannya e xy 2 + x 4 − y 3 = C



BILANGAN KOMPLEKS z = x + j y x disebut bagian riil dan j y disebut bagian imajinasi (khayal). Dimana disebut bilangan imajiner. = =jx4=4j



Garis bilangan rill



Garis bilangan khayal z = x + jy



,



z = bilangan kompleks x = bilangan rill y = bilangan rill



z1 = a + j b dan z2 = C + jd jika dan hanya jika a = c dan b = d j 2 z5 z2



z1 1 -3 -2



r



-1



z3



1 2 -1 -2



x6



3



x



z4



z 1= + 3 + j2 z2 = – 3 + j2 z3 = –3 – j2 z4 = 3 – j2 z5 = 2j z6 = – 2j



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT.



MATEMATIKA IV



3



Bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri z = x + j y y



x = cos θ y = r sin θ



z r θ



z = r cos θ + j sin θ x



disebut modulus dari z disebut argumen dari z. Rumus ever : z = r cos θ + j r sin θ = r ejθ Bilangan kompleks dalam bentuk eksponesial diubah menjadi bentuk polar : z = re jθ = r Biasanya θ = dalam derajat. Jadi 4 bentuk bilangan kompleks. 1. Rectangular



: z=x+jy



2. Polar



: z=r