CBR Kalkulus [PDF]

Citation preview

CRITICAL BOOK REPORT KALKULUS



DWI JAKA PRANATA 5162331002



PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2017



KATA PENGANTAR Segala puji bagi Tuhan yang telah menolong hamba-Nya menyelesaikan makalah ini dengan penuh kemudahan. Tanpa pertolongannya mungkin penulis tidak akan sanggup untuk menyusun Critical Book Report ini dengan baik. Critical Book Report ini disusun untuk membahas materi mata kuliah Kalkulus yang penyajiannya berdasarkan pengamatan dari satu sumber yaitu buku dengan sedikit peringkasan. Critical Book Report ini disusun oleh penulis dengan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari diri penulis maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran dan terutama pertolongan dari Tuhan akhirnya makalah ini dapat terselesaikan. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada dosen pembimbing yang telah membantu penyusun dalam menyelesaikan makalah ini. Ucapan terima kasih yang sama juga penulis sampaikan kepada kedua orang tua yang selalu mendukung di saat senang maupun susah. Penulis menyadari bahwa Critical Book Report ini memiliki banyak kekurangan. Untuk itu saran dan kritik dari para pembaca sangat penulis harapkan untuk menyempurnakan laporan ini sehingga menjadi lebih sempurna, baik, dan bermanfaat



Medan, September 2017



Penulis



i



DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ............................................................................................. i DAFTAR ISI ........................................................................................................... ii BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1 1.1 Latar Belakang ............................................................................................. 1 1.2 Tujuan Penulisan .......................................................................................... 1 1.3 Manfaat Penulisan ........................................................................................ 1 BAB II ISI BUKU ................................................................................................... 2 2.1 Buku Utama (Buku Satu) ............................................................................. 2 2.2 Buku Pembanding (Buku Dua) .................................................................. 14 BAB III PEMBAHASAN ..................................................................................... 21 3.1 Perbedaan Buku ......................................................................................... 21 3.2 Kelebihan dan Kelemahan Buku ................................................................ 21 BAB IV PENUTUP .............................................................................................. 23 4.1 Kesimpulan ................................................................................................ 23 4.2 Saran ........................................................................................................... 23 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 24 LAMPIRAN .......................................................................................................... 25



ii



BAB I PENDAHULUAN



1.1



Latar Belakang Matematika merupakan salah satu displin ilmu yang mempunyai peranan



penting dalam kehidupan. Banyak kegiatan sehari-hari yang melibatkan matematika, contoh sederhana adalah dalam proses jual beli. Selain itu, matematika juga digunakan oleh disiplin ilmu lain sebagai ilmu penunjang, seperti Ilmu Pengetahuan Alam dan Ilmu Pengetahuan sosial. Mata kuliah Kalkulus merupakan Mata Kuliah yang harus dipelajari dengan total 2 SKS oleh mahasiswa Program Studi Pendidikan Teknik Elektro. Mata kuliah ini merupakan mata kuliah dasar yang penting dikuasai mahasiswa karena banyak dipakai untuk mempelajari mata kuliah lain, oleh karena itu mata kuliah ini menjadi prasyrat untuk mengambil beberapa mata kuliah berikutnya. Pada kesempatan kali ini kami akan mereview beberapa buku yang menjadi referensi mata kuliah Kalkulus ini. Kedua buku sama-sama berjudul “Matematika Teknik I”. Kami akan mengulas perbedaan dari kedua buku



1.2



Tujuan Penulisan Adapun tujuan mengkritik buku kepemimpinan adalah : a. Melatih dan meningkatkan kemampuan mahasiswa dalam mengkritisi suatu buku b. Mahasiswa lebih memahami dan mendalami pokok bahasan matematika teknik I



1.3



Manfaat Penulisan a. Dapat menyelesaikan tugas mata kuliah Kalkulus tentang Critical Book Report b. Agar mahasiswa lebih memahami dan mendalami pokok bahasan khususnya tentang Kalkulus



1



BAB II ISI BUKU



2.1



Buku Utama (Buku Satu) Judul Buku



: Matematika Teknik I



Penulis



: Drs. Marsangkap Silitonga, M.Pd. Drs. Jongga Manullang, M.Pd. Amirhud Dalimunte, ST., M.Kom.



Penerbit



: Unimed Press



Tahun Terbit



: 2016



Jumlah Halaman



: 95 Halaman



Ringkasan Isi Buku



1.



BAB I BILANGAN REAL Bilangan real adalah gabungan antara himpunan bilangan rasional dengan



bilangan irrasional. Dengan perluasan dari bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan irrasional. Ada beberapa istilah bilangan pada Matematika yaitu: 1. Bilangan Real



5. Bilangan Cacah



2. Bilangan Rasional



6. Bilangan Asli



3. Bilangan Irrasional



7. Bilangan Prima



4. Bilangan Bulat



8. Bilangan Komposit



Sifat-Sifat Bilangan Real 1. Sifat Komutatif (pertukaran) : 2. Sifat Asosiatif (pengelompokan) 3. Sifat eksistensi bilangan 0 4. Sifat eksistensi elemen negatif atau invers penjumlahan untuk setiap a elemen ℝ terdapat -a elemen ℝ sedemikian hingga a+(-a)= 0 dan (-a)+ a = 0 5. Sifat eksistensi elemen unit 1 6. Sifat eksistensi invers perkalian 7. Sifat Distributif (penyebaran)



2



2.



BAB II BILANGAN KOMPLEKS Bilangan kompleks adalah suatu bilangan a + bi, dimana a dan b bilangan



real, sedangkan i adalah satuan khayal (imajiner). a disebut bagian real dan b disebut bagian khayal dari bilangan kompleks tersebut. Bilangan kompleks = (bil.riil)+ j (bil.imajiner) Contoh: x = 3 + j5



dengan: 3 disebut bagian riil dari x 5 disebut bagian imajiner dari x



Contoh soal bilangan kompleks x1 = 2- j3



x2 = 5+ j4



Jawab :



3.



x1 + x2 = (2-j3) + (5+j4)



x1-x2 = (2-j3) - (5+j4)



= (2+5) + j(-3+4)



= (2-5) + j(-3-4)



= 7+j



= -3-j7



BAB III FUNGSI DAN LIMIT 1. Fungsi DEFINISI : Suatu fungsi f ialah suatu aturan padanan yang memasangkan tiap x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (domain) dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari himpunan kedua yang disebut kodomain. Himpunan nilai yang diperoleh dengan cara demikian disenut daerah nilai (range) Fungsi Aljabar Fungsi aljabar terdiri atas berbagai jenis teapi yang terutama ada tiga: a. polinom (suku banyak) b. fungsi Rasional c. Fungsi irrasional 2. Limit Teorema-teorema limit a. teorema A andaikan n bilangan bulat positif ,k konstanta serta f dan g adalah fungsi fungsi yang mempunyai limit di c



3



b. teorema B jika f fungsi polinom atau fungsi rasional, maka lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) Asalkan 𝑥→𝑐



dalam kasus fungsi rasional nilai penyebutnya tidak nol di c. 3. Fungsi Trigometri Keenam fungsi trigometri dinyatakan koordinat (x,y) dari tiik ujung sisi terminal sudut itu yang berjarak r dari titik asal sebagai berikut . sin 𝜃 =



𝑦



cos 𝜃



𝑥



cot 𝜃 = 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑦



𝑟 sin 𝜃



𝑦



tan 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑥 1



csc 𝜃 =



1 𝑠𝑖𝑛𝜃



=



𝑟 𝑦



𝑟



sec 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑥 𝑥



cos 𝜃 = 𝑟 4.



BAB IV TURUNAN (DERIVSTIF) 1. Pengertian Turunan Turunan fungsi y terhadap x adalah 𝑑𝑦 ∆𝑦 𝑓(𝑥 = ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) = lim = lim 𝑑𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥 Asalkan limit itu ada. Proses pencarian turunan fungsi disebut sebagai pendifferensialan sedangkan bagian kalkulus yang berhubungan dengan pendifferensialan disebut kalkulus differensial. 2. Aturan Pencarian Turunan Berikut ini merupakan teorema pencarian turunan untuk fungsi aljabar:  Aturan konstanta : 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑘 →  Aturan identitas: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 →



𝑑𝑦 𝑑𝑥



𝑑𝑦 𝑑𝑥



 Aturan pangkat: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 →



=0



=1



𝑑𝑦 𝑑𝑥



= 𝑛𝑥 𝑛−1 \



 Aturan kelipatan konstanta: 𝑦 = 𝑘. 𝑓(𝑥) →



𝑑𝑦 𝑑𝑥



= 𝑘. 𝑓 ′ (𝑥)



 Aturan jumlah dan selisih: 𝑦 = 𝑢 ± 𝑣 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑢 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑎𝑛 𝑣𝑔(𝑥) →



𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑣 = ± 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥



 Aturan hasil kali:



4



𝑦 = 𝑢. 𝑣 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑢 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑎𝑛 𝑣 = 𝑔(𝑥) →



𝑑𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑣 = 𝑢 +𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥



 Aturan hasil bagi: 𝑑𝑢



𝑑𝑣



𝑣 −𝑢 𝑢 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑢 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑎𝑛 𝑣 = 𝑔(𝑥) → = 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑣 𝑑𝑥 𝑣 3. Turunan Fungsi Trigonometri 𝑑𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑦 = sec 𝑥 → = 𝑠𝑒𝑐 𝑥. tan 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑦 = cot 𝑥 → = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑦 = csec 𝑥 → = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝑥. cot 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 = tan 𝑥 →



4. Dalil (aturan) Rantai Untuk menetukan turunan (dy/dx) dari suatu fungsi komposisi berbentuk y = f(u), dengan u=g(x) digunakan suatu aturan yang disebut dalil rantai sbb. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑢), 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑢 = 𝑔(𝑥) 𝑚𝑎𝑘𝑎



𝑑𝑦 𝑑𝑥



𝑑𝑦 𝑑𝑢



= 𝑑𝑢 𝑑𝑥



5. Turunan Tingkat Tinggi Turunan tingkat tinggi dapat diartikan sebagai turunan dari turunan. Hal tersebut dapat dijelaskan dengan contoh sebagai berikut. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat, dengan persamaan lintasan 𝑠 = 𝑓(𝑡) = 2𝑡 2 − 12𝑡 + 8 ( S diukur dalam sentimeter dan t diukur dalam detik).Untuk menentukan percepatan partikel tersebut setelah waktu t detik diperlukan turunan tingkat. 6. Pendifferensialan Implisit Untuk menyelesaikan soal seperti ini diperlukan aturan pendiffrensialan implisit sebagai berikut. Untuk fungsi impilisit berbentuk:: aym+bxn+c=0 (m,n bilangan bulat), berlaku 𝑑



(𝑎𝑦 𝑚 ) 𝑑𝑥



+𝑑



(𝑏𝑥 𝑛 ) 𝑑𝑥



𝑑𝑐



+ 𝑑𝑥 = 0



5



5.



BAB V PENGGUNAAAN TURUNAN 1. Tangen dan Normal Untuk menentukan persamaan garis singgung (tangent) suatu kurva pada sebuah titik, pertama-tama ditentukan turunan fungsi dititik tersebut. Untuk menentukan persamaan garis normal ( garis tegak lurus ) terhadap tangent, ingat bahwa gradient garis tegak lurus adalah kebalikan negative. Jadi 𝟏



gradien garis normal di titik P (x,y) adalah –



𝒅𝒚 𝒅𝒙



𝐝𝐢𝐏 (𝐱, 𝐲).



2. Gerak Kurvilinier Rumus umum untuk suatu vektor A dengan sudut arah 𝜃 dengan besar A adalah 𝐴𝑋 = cos ɵ



𝐴𝑦 = 𝐴 sinɵ



A = √𝐴 𝑥 2 + 𝐴𝑦 ² 𝐴𝑦



tan ɵ = 𝐴



𝑋



3. Laju yang Berkaitan Setiap dua variabel yang berubah terhadap waktu dan diantara keduanya terdapat suatu hubungan, bisa mempunyai laju terhadap waktu dari yang satu dinyatakan dalam laju terhadap waktundari yang lainnya. 4. Masalah Maksimum dan Minimum Karena turunan fungsi menentukan gradien garis singgung, dapat disimpulkan bahwa: x naik mengakibatkan y naik jika turunan fungsi itu [ositif dan sebaliknya bahwa x naik mengakibatkan y turun jika fungsi itu negative. Kesimpulan ini bisa dinyatakan sbb: f(x)naik jika f’(x)>0 dan f(x)turun jika f’(x) 𝟎 Daerah definisinya adalah himpunan bilangan rill positif Turunan logaritma asli Jika y = f(x) = ln x, maka turunan adalah 𝒅 𝟏 (𝒍𝒏 𝒙) ; 𝒙 ≠ 𝟎 𝒅𝒙 𝒙



8



2. Fungsi Balikan (Invers) Dan Turunannya Untuk mendapatkan balikan dari suatu fungsi yang memiliki balikan, dapat dilakukan dengan langkah sebagai berikut a. Nyatakan x dengan y dari persamaan y = f(x) b. Nyatakan bentuk dalam y yang telah ditentukan itu, sebagai f-1(y) yaitu x = f-1(x) c. Ganti y dengan x dan x dengan y dalam bentuk x = f-1(y), sehingga diperoleh y = f-1 (x) Turunan fungsi invers Andaikan f fungsi yang dapat diturnkan dan monoton murni dalam selang i. apabila f(x) ≠ 0 pada semua x imempunyai balikan (invers) maka f-1 dapat diturunkan dititik y = f(x) pada daerah nilai f dan berlakunya 𝟏



(f-1)’(y) = 𝒇′ (𝒙) Rumus tersebut dapat juga ditulis sebagai



𝒅𝒙 𝒅𝒚



𝟏



= 𝒅𝒚/𝒅𝒙



3. Fungsi Eksponen Asli Definisi : balikan dari ln disebut sebagai fungsi eksponen asli dan ditulis sebagai exp. Yaitu x = exp. Y ↔ y = in x 4. Fungsi Eksponen Umum Dan Fungsi Logaritma Umum  Fungsi eksponen umum suatu fungsi ekponen umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = ax dengan a adalah bilangan rill positif yang tidak sama dengan e. untuk a>0 dan x sebarang bilangan rill, berlaku ax =exln a Dari definisi tersebut didapatkan ln(ax) = ln(exlna) = x ln a  Fungsi logaritma umum Fungsi logaritma umum ialah fungsi logaritma dengan bilangan pokok a yaitu bilangan positif yang tidak sama deagan 1.fungsi logaritma umum biasa ditulis y = f(x) = loga x yang didefinisikan sebagai berikut. Jika a bilangan positif dan a ≠ 1, maka y = loga x ↔ x = ay berdasarkan definisi tersebut juga diperoleh 𝐥𝐧 𝒙



loga x = 𝐥𝐧 𝒂



9



5. Pertumbuhan dan peluluhan eksponensial Bentuk persamaan differensial yang berkaitan langsung dengan fungsi 𝒅𝒚



eksponensial ialah 𝒅𝒙 = 𝒌𝒚. Dengan pemisahan variable persamaan ini menjadi 𝑑𝑦 𝑦



= 𝑘 𝑑𝑡 sehingga dengan pengintegralan menghasilkan In y = kt + C.



Apabila terdapat syarat awal bahwa y = y0 untuk t = 0, diperoleh y = y0 ekt 6. Fungsi Trigonometri Balikan (Invers) −𝜋



𝜋







𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1 𝑦 ⟺ 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥; 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛







𝑥 = cos−1 𝑦 ⟺ 𝑦 = cos 𝑥; 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋







𝑥 = tan−1 𝑦 ⟺ 𝑦 = tan 𝑥; 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛







𝑥 = sec −1 𝑦 ⟺ 𝑦 = sec 𝑥; 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ≠



2



−𝜋 2



≤ 𝑥 ≤2



𝜋



< 𝑥