![Defleksi Balok Metode Moment Area [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/defleksi-balok-metode-moment-area.jpg)
6 0 3 MB
DEFLEKSI BALOK METODE LUASAN BIDANG MOMEN MATERI #9 ANALISA STRUKTUR 1 TIM DOSEN DR. IR. WINDU PARTONO, M.Sc DR. IR NUROJI, MT HARDI WIBOWO, ST, M.Eng
DR.Eng SUKAMTA, ST, MT
Ad2 Metode Moment Area (Luasan Bidang Momen) R L R
Hubungan antara diagram M/(E/) dan kurva elastis
Ini menyatakan bahwa simpangan singgung titik A pada kurva elastis dari garis singgung di titik lain (titik B) yang juga terdapat pada kurva elastis adalah sama dengan momen statis (pertama) irisan terbatas dari diagram M/(EI) terhadap garis vertikal melalui A. Dalam banyak hal, penytmpangan singgung itu sendiri tidaklah diingini oleh defleksi sebuah balok.
Kurva Elastis
Bid M
TAMBAHAN CATATAN
89 1126
x
y
A
dq
q
B m
dx
n
Garis a’-b’ sejajar dengan garis a-b. Jarak titik m-n = dx. Jarak titik a-a’ = jarak titik b-b’ = dx.
q dq
r
a a” a’ m b
89 1126
Pada batang yang melentur, serat atas batang berubah panjang menjadi a-a” dan serat bawah menjadi b-b”. Jarak a-a” < dx (serat atas memendek) Jarak b-b” > dx (serat bawah memanjang)
n b” b’ dx
M
Gambar balok yang mengalami lenturan akibat momen yang terjadi pada balok. Pada bagian balok yang melentur diambil dua titik “m” dan “n yang terletak pada sumbu balok dengan jarak dx. dq
“d ” adalah beda sudut kemiringan lenturan pada titik m dan titik n.
m
n
dq
C’
qAB
“ AB” adalah beda kemiringan antara titik A dan B. d
q
B C”
dd
A
y
r
dx
1 r
x L
M
M+DM
Bidang momen
89 1126
1 r
d dx
M E * Ix
1 r
d dx
M EIx
dq
d
m
n
dq
B C” C’
qAB
d
q
M dx (1) EIx
dd
A
y
r
dx
x L
M
M+DM
Bidang momen
Untuk d yang sangat kecil, maka nilai M+ M M. M*dx = luas bidang momen sejarak dx
89 1126
M d dx EIx L M AB dx 0 EIx
dq
m
n
dq
B C” C’
qAB
d
q
dd
A
y
r
dx
x L
M
M+DM
Bidang momen
Berdasarkan dua garis singgung yang ditarik dari titik “m” dan “n”, kedua garis tersebut memotong garis vertikal di B sejarak “d ”. Sedangkan dua garis singgung pada titik A dan B memotong garis vertikal di B sejarak” ”
89 1126
M dx EIx x *d
d d
M x* * dx EIx
dq
q
m
n
dq
B C” C’
qAB
d
A
y
r
dd
d
M*x dx EIx
dx
x L
M
M+DM
Bidang momen
M*dx adalah luas bidang momen M*dx*x adalah statis momen dari luasan bidang momen terhadap titik B.
89 1126
M dx EIx x *d
d d
M x* * dx EIx
dq
q
m
n
dq
B C” C’
qAB
d
A
y
r
dd
d
M*x dx EIx
dx
x L
M
M+DM
Bidang momen
Jarak vertikal ( ) yang dibentuk oleh dua garis singgung pada dua titik pada balok nilainya sama dengan statis momen di bagi dengan EIx.
89 1126
LM*x 0
EIx
* dx
dq
m
n
dq
C’
qAB dx
x L
M
M+DM
B C”
Bidang momen
d
q
dd
A
y
r
Untuk menghitung statis momen maka perlu diketahui posisi dari titik berat penampang bidang (M/EIx). Bidang momen pada umumnya berbentuk segitiga (akibat beban terpusat), lengkung parabola pangkat 2 (beban merata pada balok konsol) atau lengkung parabola pangkat tiga (akibat beban segitiga.
89 1126
b
h
Titik berat
Penampang persegi luas b*h dan jarak titik berat b/2.
b/2
A = b*h
h
Penampang segitiga luas ½*b*h dan jarak titik berat 1/3*b. Titik berat
b/3
b
A = ½*b*h 89 1126
Titik berat
h
Penampang parabola pangkat “2”.
luas
A
3/8b
2 bh 3
b
jarak titik berat
h
A = 2/3*b*h
3 b 8
Penampang parabola pangkat “2”.
Titik berat
luas b
A = 1/3*b*h
1/4b
A
1 bh 3
jarak titik berat
1 b 4
89 1126
Titik berat
h
Penampang parabola pangkat “n”.
luas
A
3/8b
n (n 1)
bh
b
jarak titik berat
A = 2/3*b*h
n 1 bh 2(n 2)
(1/(n+2))*b
h
Penampang parabola pangkat “n”.
Titik berat
b
89 1126
A = (1/(n+1))*b*h
luas
A
1 (n 1)
jarak titik berat
bh 1 (n 2)
b
Contoh 1
VA = P
P EIx
L
B
MA = PL Mencari lendutan maksimum pada balok kantilever akibat beban terpusat.
89 1126
Contoh 1
VA = P
P EIx
L
B
MA = PL
MA = PL -
PL/EI
Bidang momen
Bidang momen/EI
Bidang momen dan bidang momen/EI.
89 1126
Contoh 1
VA = P
P EIx
B
L
MA = PL
MA = PL -
PL/EI
Bidang momen
Bidang momen/EI
B B
Luas bidang momen EIx
89 1126
1 * PL * L 2 EIx
Contoh 1
VA = P
P EIx
B
L
MA = PL
MA = PL -
PL/EI
Bidang momen
Bidang momen/EI
89 1126
B
statis momen terhadap titik B EIx
B
1 * PL * L * 2 / 3 * L 2 EIx
1 * PL3 3 EIx
q
VA = qL EIx
B
d
MA = 1/2qL2
Contoh 2 :
Mencari lendutan maksimum pada balok kantilever akibat beban merata.
89 1126
q
VA = qL
B
EIx L
(1/2qL2 ) /EI
MA = 1/2qL2
MA = 1/2qL2
Contoh 2 :
-
-
Bidang momen
Bidang momen/EI
Menggambar bidang momen dan bidang momen/EI.
89 1126
q
VA = qL
B
EIx
d
L
h
MA = 1/2qL2
Contoh 2 :
(1/2qL2 ) /EI
MA = 1/2qL2
Titik berat
-
Bidang momen
b
A = 1/3*b*h -
Bidang momen/EI
Letak titik berat dari ujung balok (B) = 2/3*L
B B
luas bidang momen EIx 1 * qL2 *1 / 3 * L 1 * qL3 6 2 EIx EIx
1/4b
89 1126
q
VA = qL
B
EIx
d
L
h
MA = 1/2qL2
Contoh 2 :
(1/2qL2 ) /EI
MA = 1/2qL2
Titik berat
-
Bidang momen
b
1/4b
A = 1/3*b*h -
Bidang momen/EI
Letak titik berat dari ujung balok (B) = 2/3*L
B B
statis momen terhadap titik B EIx 2 1 1
2
* qL *1 / 3 * L EIx
3
* qL
6 EIx
*3 L 4
qL4 8EIx
89 1126
Contoh 3
P EIx C L/2
VA = P/2
L/2
VB = P/2
Mencari lendutan maksimum pada balok dua tumpuan akibat beban terpusat.
89 1126
Contoh 3
P EIx C L/2
L/2
VB = P/2
VA = P/2 PL/4 PL/4EI
Bidang momen
Bidang momen/EI
Gambar bidang momen dan bidang momen/EI. 89 1126
Contoh 3
P EIx C L/2
L/2
VB = P/2
VA = P/2 PL/4 PL/4EI
A
A
Bidang momen
Bidang momen/EI
Luas bidang momen EIx
1 * PL * L 2 4 2 EIx
1 * PL2 16 EIx
89 1126
Contoh 3
P EIx C L/2
L/2
VB = P/2
VA = P/2 PL/4 PL/4EI
c
C
Bidang momen
Bidang momen/EI
statis momen terhadap titik c EIx
1 * PL * L * 2 * L 2 4 2 3 2 EIx
1
3
* PL
48 EIx
89 1126
Contoh 4
q A
EIx L/2
VA = ql/2
B
C L/2
VB = ql/2
Mencari lendutan maksimum pada balok akibat beban merata.
89 1126
Contoh 4
q A
EIx
B
C
L/2
L/2
VA = ql/2
VB = ql/2
2
qL /8 qL2/8EI
Bidang momen
Bidang momen/EI
Menggambar bidang momen dan bidang momen/EI.
89 1126
Contoh 4
q EIx
B
C
L/2
Titik berat
L/2
VA = ql/2
VB = ql/2 3/8b 2
qL /8
b
Bidang momen
A = 2/3*b*h qL2/8EI
Bidang momen/EI
Letak titik berat dari tumpuan A = 5/8*L/2 = 5/16L
A A
luas bidang momen EIx 2 * 1 * qL2 * L 3 8 2 EIx
1
3
* qL 24 EIx
h
A
89 1126
Contoh 4
q EIx
B
C
L/2
Titik berat
L/2
VA = ql/2
VB = ql/2 3/8b 2
qL /8
Bidang momen
b
A = 2/3*b*h qL2/8EI
Bidang momen/EI
statis momen terhadap titik C EIx 1 * qL3 4 5 5 qL 24 c * L EIx 16 384 EIx
h
A
89 1126
Contoh 5 Hitung perputaran sudut dan lendutan di titik B dan C pada balok dengan ukuran penampang B = 100 cm dan H = 250 cm pada posisi tumpuan
20 ton 2EIx
qB 15 m
B
EIx
qC 10 m
E = 105 kg/cm2 = 106 ton/m2 I = 1/12*100*2503 = 130208333.3 cm4 = 1.302083333 m4 89 1126
EI = 1302083.333 tonm2
C
Contoh 5 Gambar Bidang Momen dan Bidang Momen/EI
20 ton A
2EIx
B
qB 15 m
EIx C
qC 10 m
500 tonm 200 tonm
100/EIx 250/EIx
Bidang momen Bidang 200/EIxmomen/EI
89 1126
Contoh 5 Perhitungan perputaran sudut pada titik B:
20 ton 2EIx
A
B
qB 15 m
EIx C
qC 10 m
500 tonm 200 tonm
100/EIx 250/EIx
B
B
Bidang momen Bidang 200/EIxmomen/EI
89 1126
1 1 100 15 150 15 EI 2 2625 0.002016 rad EI
Contoh 5 Perhitungan lendutan pada titik B
20 ton 2EIx
A
B
qB 15 m
EIx C
qC 10 m
500 tonm 200 tonm
100/EIx 250/EIx
B
B
Bidang momen Bidang 200/EIxmomen/EI
89 1126
1 1 100 *15 * 7.5 *150 *15 * 5 EI 2 16875 0.01296 m EI
Contoh 5 Perhitungan perputaran sudut pada titik C:
20 ton 2EIx
A
B
qB 15 m
EIx C
qC 10 m
500 tonm 200 tonm
100/EIx 250/EIx
C
C
Bidang momen Bidang 200/EIxmomen/EI
89 1126
1 1 100 *15 *150 *15 EI 2 3625 0.002784 rad EI
1 * 200 *10 2
Contoh 5 Perhitungan lendutan pada titik C
20 ton A
2EIx
B
qB 15 m
EIx C
qC 10 m
500 tonm 200 tonm
100/EIx 250/EIx
C
C
Bidang momen Bidang 200/EIxmomen/EI
1 1 100 *15 * 7.5 10 *150 *15 * 10 10 EI 2 55416 .667 0.04256 m EI
1 * 200 *10 * 20 / 3 2
89 1126
Contoh 6 Hitung perputaran sudut di titik B dan C dan lendutan pada titik C dengan nilai EI konstan
P=8ton q=1ton/m EIx 6m
C
B 6m
89 1126
Contoh 6 Gambar bidang momen/EI akibat beban P dan beban q
P=8ton q=1ton/m EIx
48/EI
6m
C
B 6m
Bidang momen/EI akibat beban P
-
72/EI
Bidang momen/EI akibat beban q
-
89 1126
Contoh 6
P=8ton q=1ton/m EIx
6m h
6m
C
B
48/EI
Titik berat
Bidang momen/EI akibat beban P
b
72/EI
Bidang momen/EI akibat beban q
A = 1/3*b*h
-
C
C
1 1 / 2 * 6 * 48 1 / 3 *12 * 72 EI 432 EI
1/4b
89 1126
Contoh 6
P=8ton q=1ton/m EIx
6m h
6m
C
B
Titik berat
48/EI
Bidang momen/EI akibat beban P
b
72/EI
Bidang momen/EI akibat beban q
1/4b
A = 1/3*b*h
-
C
C
1 1 / 2 * 6 * 48 * (6 4) 1 / 3 *12 * 72 * 3 / 4 *12 EI 4032 EI
89 1126
Contoh 6
P=8ton q=1ton/m EIx
6m h
6m
C
B
48/EI
Titik berat
Bidang momen/EI akibat beban P
b
72/EI
Bidang momen/EI akibat beban q
B
B
A = 1/3*b*h
-
1 1 / 2 * 6 * 48 1 / 3 *12 * 72 1 / 3 * 6 *18 EI 396 EI
1/4b
89 1126
Untuk mencari perputaran sudut pada titik B juga dapat dilakukan dengan pendekatan sbb:
q=1ton/m EIx 6m
M dan Q adalah Momen dan Gaya P=8ton Lintang pada titik B Q=6ton M=18tonm h
Contoh 6
C
B
Titik berat
6m b
1/4b
A = 1/3*b*h
36/EI
18/EI
48/EI
Bidang momen/EI akibat beban P
-
1 / 2 * 6 * 48 Bidang momen/EI akibat beban q
B
Bidang momen/EI akibat beban Q
-
18/EI
Bidang momen/EI akibat beban M
-
B
1 1 / 3 * 6 *18 EI 1 / 2 * 6 * 36 18 * 6 396 EI
89 1126
Untuk mencari lendutan pada titik B juga dapat dilakukan dengan pendekatan sbb:
q=1ton/m EIx 6m
M dan Q adalah Momen dan Gaya P=8ton Lintang pada titik B Q=6ton M=18tonm h
Contoh 6
C
B
Titik berat
6m b
1/4b
A = 1/3*b*h
36/EI
18/EI
48/EI
Bidang momen/EI akibat beban P
-
B
1494 EI
Bidang momen/EI akibat beban q
Bidang momen/EI akibat beban Q
Bidang momen/EI akibat beban M
18/EI
B
1 / 2 * 6 * 48 * 4 1 1 / 3 * 6 *18 * 4.5 EI 1 / 2 * 6 * 36 * 4 18 * 6 * 3
-
89 1126
Contoh : Diketahui : struktur balok sederhana dengan overstek sebagai berikut :
EI = 20000 TM2 Hitung :
A
C
D
Contoh : P=16ton
A
B
D 4m
q=4ton/m
4m
C 2m
89 1126
Jawab
Jawab
P=16ton
A
q=4ton/m B
D 4m
C
4m
VA = 7 ton
2m
VB = 17 ton
7
8
7 +
+ 9
9 28/9
8 -
+ 8/9
28 89 1126
Jawab
P=16ton
A
q=4ton/m B
D 4m
C
4m
VA = 7 ton
2m
VB = 17 ton
7
8
7 +
+ 9
9 8
28/9
+ 8/9
28
fc
qB fb
qA
89 1126
B. Cara 2: Penguraian Beban • M B
= 0 AV.8 + 6.2 – 3.8.4 = 0 AV = 10,5 T • M A
= 0 -
BV.8 + 6.10 + 3.8.4 = 0 BV = 19,5 T • V = 0 3.8 + 6 =10,5 + 19,5 30 = 30 Ok
Mmax dicapai pada D = 0, yaitu pada titik sejauh X dari A D
= AV – q.X
=0
10,5 – 3.X = 0 X = 3,5 m
M max = AV.X – ½ qX2 = 10,5.3,5 – ½ .3 . (3,5)2 = 18,375 TM
Latihan Diketahui : struktur balok sederhana dengan overstek sebagai berikut : q = 3 T/M , P = 6T EI = 20.000 TM2
Hitung : A B C
max
TABEL DEFLEKSI DAN PUTARAN SUDUT BERBAGAIMACAM BALOK Table 1. Deflections and slopes of cantilever beams
v=
deflection in the y direction (positive upward)
dv/dx =
δ
B
=
slope of the deflection curve
-v(L) = deflection at end B of the beam (downward)
θ
B
=
angle of rotation at end B of the beam (clockwise)
EI = 1
constant
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Table 2. Deflections and slopes of simple beams
v=
deflection in the y direction (positive upward)
dv/dx =
slope of the deflection curve
δC = -v(L/2) = deflection at midpoint C of
x1 =
the beam (downward) distance from support A to point of maximum deflection
δ θ
max
=
A
=
θ
B
-vmax = maximum deflection (downward) angle of rotation at left-hand end of the beam (clockwise)
=
EI =
angle of rotation at right-hand end of the beam (counterclockwise) constant
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
HURUF YUNANI
