07 Limit Limit Trigonometri [PDF]

Citation preview

Limit-Limit Trigonometri



Limit Fungsi-Fungsi Trigonometri Teorema A Untuk setiap bilangan real a dalam domain fungsi, 2. lim cos 𝑥𝑥 = cos 𝑎𝑎 1. lim sin 𝑥𝑥 = sin 𝑎𝑎



3.



5.



𝑥𝑥→𝑎𝑎



lim tan 𝑥𝑥 = tan 𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



lim sec 𝑥𝑥 = sec 𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



4. 6.



𝑥𝑥→𝑎𝑎



lim cot 𝑥𝑥 = cot 𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



lim csc 𝑥𝑥 = csc 𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



Pembuktian Teorema A Bukti Teorema A1 Pertama kita akan buktikan untuk x = 0. Misalkan x > 0 dan misalkan titiktitik A, B, dan P didefinisikan seperti pada gambar di samping. Maka, � 0 < 𝐵𝐵𝐵𝐵 < 𝐴𝐴𝐴𝐴 < 𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 𝑥𝑥, maka Karena 𝐵𝐵𝐵𝐵 = sin 𝑥𝑥 dan 𝐴𝐴𝐴𝐴 0 < sin 𝑥𝑥 < 𝑥𝑥



Jika 𝑥𝑥 < 0 maka 𝑥𝑥 < sin 𝑥𝑥 < 0. Dengan menggunakan Teorema Apit, kita peroleh lim sin 𝑥𝑥 = 0. 𝑥𝑥→0



0, 1



𝑂𝑂



𝑃𝑃 cos 𝑥𝑥 , sin 𝑥𝑥 𝐵𝐵



𝑥𝑥



𝐴𝐴 1, 0



Pembuktian Teorema A Untuk melengkapi bukti, kita perlu membuktikan lim cos 𝑥𝑥 = 1. Hal 𝑥𝑥→0



ini dapat dilakukan dengan menggunakan identitas trigonometri dan limit akar. lim cos 𝑥𝑥 = lim 1 − sin2 𝑥𝑥 =



𝑥𝑥→0



𝑥𝑥→0



1 − lim sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥→0



2



= 1 − 02 = 1



Pembuktian Teorema A Sekarang, untuk menunjukkan bahwa lim sin 𝑥𝑥 = sin 𝑎𝑎, pertama 𝑥𝑥→𝑎𝑎



kita misalkan ℎ = 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 sehingga ℎ → 0 jika 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎. Maka, lim sin 𝑥𝑥 = lim sin 𝑎𝑎 + ℎ



𝑥𝑥→𝑎𝑎



ℎ→0



= lim sin 𝑎𝑎 cos ℎ + cos 𝑎𝑎 sin ℎ ℎ→0



= sin 𝑎𝑎 lim cos ℎ + cos 𝑎𝑎 lim sin ℎ ℎ→0



= sin 𝑎𝑎 1 + cos 𝑎𝑎 0 = sin 𝑎𝑎



ℎ→0







Contoh 1 Tentukan lim



𝑥𝑥→0



𝑥𝑥 2 −1 sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥+1



.



PEMBAHASAN Pertama kita gunakan teorema limit perkalian, kemudian kita gunakan Teorema A1. lim



𝑥𝑥→0



𝑥𝑥 2 −1 sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥+1



=



𝑥𝑥 2 −1 lim 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥+1



lim sin 𝑥𝑥



𝑥𝑥→0



= −1 0 = 0.



Limit perkalian Substitusi dan A1







Latihan 1 Tentukan nilai limit berikut. cos2 𝑡𝑡 lim 𝑡𝑡→0 1 + sin 𝑡𝑡



Limit-Limit Trigonometri Khusus Teorema B 1.



sin 𝑥𝑥 lim 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥



=1



2.



1−cos 𝑥𝑥 lim 𝑥𝑥 𝑥𝑥→0



=0



Pembuktian Teorema B Bukti Teorema B1 Pada pembuktian sebelumnya, kita telah menunjukkan lim cos 𝑥𝑥 = 1



𝑥𝑥→0



dan



lim sin 𝑥𝑥 = 0



𝑥𝑥→0



Untuk − 𝜋𝜋⁄2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝜋𝜋⁄2, 𝑥𝑥 ≠ 0, kita gambar ruas garis vertikal BP dan busur BC, seperti pada gambar di samping. Dari gambar kita dapat melihat bahwa 𝐿𝐿juring 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 ≤ 𝐿𝐿∆𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 ≤ 𝐿𝐿juring 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂



0, 1



𝑂𝑂



𝐶𝐶



𝑃𝑃 cos 𝑥𝑥 , sin 𝑥𝑥 𝐵𝐵



𝑥𝑥



𝐴𝐴 1, 0



Pembuktian Teorema B Luas segitiga adalah setengah alas dikali tinggi, sedangkan luas 1 2 juring dengan sudut pusat x dan berjari-jari r adalah 𝑟𝑟 𝑥𝑥 . 2 Sehingga, 1 2



cos 𝑥𝑥



2



𝑥𝑥 ≤



1 cos 𝑥𝑥 2



sin 𝑡𝑡 ≤



1 2 1 2



𝑥𝑥



Dengan mengalikan semua ruas dengan 2⁄ 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 , kita peroleh cos 𝑥𝑥 ≤



sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥



≤



1 cos 𝑥𝑥



Pembuktian Teorema B Karena bentuk sin 𝑥𝑥 ⁄𝑥𝑥 positif untuk − 𝜋𝜋⁄2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝜋𝜋⁄2, 𝑥𝑥 ≠ 0, maka sin 𝑥𝑥 ⁄ 𝑥𝑥 = sin 𝑥𝑥 ⁄𝑥𝑥. Sehingga, sin 𝑥𝑥 1 ≤ cos 𝑥𝑥 ≤ 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 Karena limit fungsi-fungsi “terluar” di atas untuk x mendekati 0 sama dengan 1, maka dengan menggunakan Teorema Apit, kita peroleh sin 𝑥𝑥 lim =1 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥







Contoh 2 Tentukan



sin 5𝑥𝑥 lim . 𝑥𝑥 𝑥𝑥→0



PEMBAHASAN Dengan menggunakan teorema-teorema limit, kita peroleh sin 5𝑥𝑥 lim 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥



= lim 5 � = =



𝑥𝑥→0



sin 5𝑥𝑥 5𝑥𝑥



sin 5𝑥𝑥 5 lim 𝑥𝑥→0 5𝑥𝑥 sin 𝑦𝑦 5 lim 𝑦𝑦→0 𝑦𝑦



=5 1 =5



Kalikan dengan 5/5 Limit perkalian konstanta Misal 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥







Latihan 2 Tentukan nilai limit-limit trigonometri berikut. (a)



sin 2𝑥𝑥 lim 𝑥𝑥→0 3𝑥𝑥



(b)



1−cos 𝑡𝑡 lim 𝑡𝑡→0 sin 𝑡𝑡



(c)



tan 3𝑥𝑥 lim 𝑥𝑥→0 sin 𝑥𝑥



Tugas Pada gambar di samping, misalkan D adalah luas segitiga ABP dan E adalah luas daerah yang diarsir. (a)



Tebaklah



𝐷𝐷 lim 𝑥𝑥→0+ 𝐸𝐸



0, 1



dengan melihat gambar



di samping. (b)



Temukan rumus D/E dalam x.



(c)



Gunakan kalkulator untuk mendapat perkiraan yang lebih akurat dari nilai 𝐷𝐷 lim+ .



𝑥𝑥→0 𝐸𝐸



𝑃𝑃 cos 𝑥𝑥 , sin 𝑥𝑥



𝑂𝑂



𝑥𝑥



𝐵𝐵



𝑥𝑥



𝐴𝐴 1, 0



#HaveANiceDay