11 Fungsi Aritmatika PDF [PDF]

Citation preview

BAB V FUNGSI DAN BILANGAN BULAT ISTIMEWA



1.



Pokok Bahasan dan Subpokok Bahasan Bahan Kajian



: Fungsi dan Bilangan Bulat Istimewa



Materi



: a. Fungsi Aritmatika b. Fungsi Tangga c. Bilangan Bulat Istimewa



Alokasi Waktu



: 3 × 3 × 50 menit (3 × 3sks)



2. Capaian Pembelajaran (Learning Outcomes) Mahasiswa menguasai materi, struktur, konsep, dan pola pikir keilmuan Matematika tentang fungsi aritmatika, fungsi tangga, dan bilangan bulat istimewa. 3. Indikator Mahasiswa mampu - mendefinisikan beberapa fungsi aritmatika dan manunjukkan contoh masing-masingnya, - mendefinisikan beberapa fungsi tangga dan menunjukkan contoh nilai masing-masingnya, - mendefinisikan beberapa bilangan bulat istimewa dan menunjukkan contoh masing-masingnya,



F







ungsi adalah suatu relasi antara dua himpunan yang memasangkan setiap anggota himpunan yang pertama yang disebut domain dengan tepat sebuah



anggota pada himpunan kedua yang disebut kodomain. Sekarang kita akan membahas dua jenis fungsi dalam sistem bilangan bulat. Fungsi pertama adalah dengan domain bilangan bulat, yang disebut fungsi aritmatika. Diantara fungsi aritmatika yang dibahas di sini adalah fungsi ϕ Euler, Banyak faktor, jumlah faktor, fungsi perkalian, dan fungsi penjumlahan. Fungsi kedua adalah dengan domain bilangan riil, yang disebut fungsi tangga. Fungsi tangga yang akan kita



-1-



2



pelajari ada tiga macam, yaitu fungsi floor (pembulatan ke bawah), f ungsi ceiling (pembulatan ke atas), dan fungsi bulat (pembulatan ke bilangan bulat terdekat). Selain fungsi-fungsi yang telah disebutkan, juga dibahas beberapa bilangan bulat istimewa, diantaranya bilangan Fermat, bilangan Mersenne, dan bilangan sempurna (perfect number). A. Fungsi Aritmatika Fungsi Aritmatika didefinisikan pada bilangan bulat positif dan range adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks. Fungsi aritmatika yang akan dibahas dibahas pada pertemuan ini adalah Fungsi  Euler, banyak faktor, jumlah faktor, fungsi perkalian, fungsi penjumlahan. Sebelumnya telah disajikan fungsi Euler melalui sistem residu tereduksi. Berikut akan didefinisikan secara ekivalen dengan cara lain. Definisi 5.1 Misalkan n bilangan bulat positif. Fungsi Euler ϕ (n) didefinisikan sebagai banyaknya bilangan bulat positif yang kecil atau sama dengan n dan relatif prima dengan n. Jadi,



ϕ (n) = |H|, dimana H = {a| 1  a n, (a, n) = 1} dan |H| adalah banyak elemen di H. Contoh (1) ϕ (1) = |{a | 1  a 1, (a, 1) = 1}| = |{1}| = 1. (2) ϕ (2) = |{a | 1  a 2, (a, 2) = 1}| = |{1}| = 1. (3) ϕ (3) = |{a | 1  a 3, (a, 3) = 1}| = |{1, 2}| = 2. (4) ϕ (5) = |{a | 1  a 5, (a, 5) = 1}| = |{1, 2, 3, 4}| = 4. (5) ϕ (8) = |{a | 1  a 8, (a, 8) = 1}| = |{1, 3, 5, 7}| = 4. (6) ϕ (20) = |{a | 1  a 20, (a, 20) = 1}| = |{1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19}| = 8.



3



Proposisi 5.2 Jika p adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat positif, maka 1



ϕ(p a ) = p a (1 − 𝑝). Contoh 1



(1) ϕ(2 n ) = 2 n (1  2) = 2 n  1 , 1



(2) ϕ(3 n ) = 3 n (1  3) = 23 n  1 , 1



(3) ϕ(5 n ) = 5 n (1  5) = 45 n  1 , 1



(4) ϕ(7 n ) = 7 n (1  7) = 67 n  1 , 1



(5) ϕ(p n ) = p n (1  𝑝) = (p  1)p n  1 , dengan p adalah bilangan prima. (6) ϕ(343) = ϕ(7 3 ) =(7  1)7 2 = 649 = 294. (7) ϕ(121) = ϕ(11 2 ) =(11  1)11 1 = 1011 = 110. (8) ϕ(9) = ϕ(32) = (3  1)3 = 6, (9) ϕ(125) = ϕ(53) = (5  1)52 = 425 = 100. Teorema 5.3 Jika n = 𝑝1 𝛼1 𝑝𝑘 𝛼𝑘 adalah faktorisasi prima dari n > 1, maka 1



1



ϕ (n) = 𝑛 (1 − 𝑝 )  (1 − 𝑝 ) 1



𝑘



Contoh (1) ϕ(9) = ϕ(32) = 32  31 = 6, (2) ϕ(125) = ϕ(53) = 53  52 = 52(5  1) = 100, 1



1



1 4



2



5



2 5



(3) ϕ(100) = ϕ(22  52 ) = 100(1 − ) (1 − ) = 100   , 1



1



1 4



2



5



2 5



(4) ϕ(1000) = ϕ(23  53 ) = 1000(1 − ) (1 − ) = 1000   , (5) Untuk bilangan bulat positif n, ϕ(10n) = 410n1. Jadi, ϕ(10 ) = 4100 = 4, ϕ(10000 ) = 4103 = 4000, ϕ(100000 ) = 4104 = 40000, dst. (6) Tentukan 5 angka terakhir dari penyajian desimal dari 9 40004. Penyelesaian



4



Pada permasalahan ini, kita mencari sisa pembagian 940004 oleh 100000, atau mencari 0  x < 100000 sehingga 940004 ≡ x (mod 100000). Karena (9,10000) =1 dan ϕ(100000) = 40000, maka 9 40000 ≡ 1 (mod 100000). Sehingga 9 40004 = 9 40000 + 4 =9 40000 .9 4



≡ 1.6561(mod 100000) ≡ 6561 (mod 100000).



Jadi lima angka terakhir lambang bilangan desimal ari 9 40004 adalah 06561. Akibat 5.4 Jika n dan m adalah bilangan bulat positif, maka 𝑑



ϕ(n m) = ϕ(n) ϕ(m) ∅(𝑑), dimana d = (n, m). Akibat 5.5 Jika n dan m adalah bilangan bulat positif yang relatif prima, maka



ϕ(n m) = ϕ(n) ϕ(m). Contoh (1) ϕ(30) = ϕ(56) = ϕ(5) ϕ(6) = 42 = 8, 2



(2) ϕ(48) = ϕ(68) = ϕ(6) ϕ(8) 1 = 242 = 16, (3) ϕ(63) = ϕ(97) = ϕ(9) ϕ(7) = 66 = 36, Teorema 5.6 (Gauss) Untuk semua bilangan bulat positif berlaku ∑ ∅ (𝑑 ) = 𝑛 . 𝑑|𝑛



Definisi 5.7 Misalkan n bilangan bulat positif. Banyaknya faktor dari n donotasikan sebagai



τ (n). Jadi, 𝜏(𝑛) = ∑ 1. 𝑑|𝑛



5



Proposisi 5.8 (a) Jika p bilangan prima, maka barisan faktor dari p k adalah p 0 , p 1 , , p k . Sehingga τ (p k ) = k + 1. (b) Jika bilangan bulat positif n memiliki faktorisasi (dekomposisi) prima n = 𝑝1 𝑘1  𝑝2 𝑘2  𝑝𝑟 𝑘𝑟 , maka τ (n)= (k 1 + 1) (k 2 + 1) (k 2 + 1). Akibat 5.9 Jika bilangan bulat positif n memiliki faktorisasi (dekomposisi) prima n = 𝑝1 𝑘1  𝑝2 𝑘2  𝑝𝑟 𝑘𝑟 , maka terdapat (2k 1 + 1) (2k 2 + 1) (2k 2 + 1) pasangan terurut berbeda bilangan bulat posistif (a, b) dengan [a, b] = n. Akibat 5.10 Untuk sebarang bilangan bulat positif n, berlaku ∏𝑑 = 𝑛



𝜏(𝑛) 2 .



𝑑|𝑛



Akibat 5.11 Untuk sebarang bilangan bulat positif n, berlaku 𝜏(𝑛) ≤ 2√𝑛. Bukti Misalkan d 1 < d 2