1.makalah Persamaan Kuadrat [PDF]

Citation preview

KATA PENGANTAR Bismillahhirrahmannirrahim..... Segala puji bagi Allah, Tuhan semesta alam yang telah memberikan banyak limpahan nikmatnya, nikmat sehat maupun nikmat kecerdasan sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini tepat pada waktunya. Kedua kalinya tak lupa sholawat serta salam senantiasa tercurahkan kepada sang pembawa kebenaran Nabi Muhammad SAW, yang telah mengantarkan kita kejalan yang diridhoi oleh Allah. Makalah ini dapat terselesaikan tentunya melewati banyak proses, tidak terlepas dari usaha kami guna memenuhi tugas mata kuliah Kapita Selekta 2. Makalah ini mengangkat tentang persamaan kuadrat. Makalah ini merupakan latihan dalam proses pembelajaran mahasiswa untuk membiasakan menyusun makalah yang baik dan benar. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi semuanya khususnya bagi generasi muda yang peduli terhadap pendidikan bangsanya sendiri dan saran tetap kami harapkan guna perbaikan dan penyempurnaan makalah ini, karena kami yakin makalah ini masih jauh dari kata sempurna.



Tuban, 14 Maret 2018



Penyusun



1



DAFTAR ISI Judul .................................................................................................................................... i Kata Pengantar ....................................................................................................................1 Daftar Isi...............................................................................................................................2 Bab 1 PENDAHULUAN ....................................................................................................3 1.1 Latar Belakang..................................................................................................3 1.2 Rumusan Masalah ........................................................................................... 3 1.3 Tujuan Masalah ................................................................................................3 1.4 Kerangka Teori………………………………………………………….....…3 Bab 2 PEMBAHASAN.......................................................................................................4 2.1 Persamaan Kuadrat ..........................................................................................4 2.2 Pengertian Persamaan Kuadrat.........................................................................4 2.3 Macam-Macam Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Berbagai Persoalan……….………………………………………………………………4-5 2.4 Macam-Macam Cara Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat…...…...6-8 2.5 Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat…………………….8-9 2.6 Jenis Akar-Akar Persamaan Berdasarkan Diskriminan………..………….9-10 2.7 contoh soal dan penyelesaian……………………………..……………...10-12 Bab 3 PENUTUP ..............................................................................................................13 3.1 Kesimpulan .............................................................................................. 13-14 3.2. Saran.............................................................................................................. 15 Daftar Pustaka.................................................................................................................. 16



2



BAB I PENDAHULUAN 1.1



LATAR BELAKANG Pemahaman dan pengertian persamaan kuadrat merupakan materi



pelajaran matematika yang sudah dipelajari di SMP, kemudian akan kita pelajari lagi di SMA lebih luas lagi. Meskipun kita sudah mengenal materi kuadrat dan akarnya dari SD, tapi ilmu masih berkembang dan berkelanjutan sampai akhir hayat. Untuk itu pada kesempatan kali ini kami akan membahas materi dengan judul persamaan kuadrat. Meninjau dari segi materi, mungkin pelajaran matematika di sekolah memang tidak bias dipungkiri lagi bahwa dari kelas SD sampai SMA selalu memiliki keterkaitan, untuk itu pengaitan materi dengan kehidupan sehari-hari memang sangat penting bagi generasi yang akan datang dan pendidikan bangsa . 1.2



RUMUSAN MASALAH



1. Apa yang dimaksud dengan persamaan kuadrat? 2. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan berbagai persoalan ? 3. Bagaiamana cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat?



1.3



TUJUAN MASALAH



Adapun makalah ini disusun dengan harapan: 1. Dapat memahami pengertian persamaan kuadrat. 2. Dapat cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan berbagai persoalan. 3. Dapat menentukan akar-akar persamaan kuadrat.



1.4



KERANGKA TEORI



1. Pengertian dan pemahaman persamaan kuadrat. 2. Macam-macam cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan berbagai persoalan. 3. Macam-macam cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat.



3



BAB II PEMBASAHAN PERSAMAAN KUADRAT 2.1. Pengertian Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang variabelnya mempunyai pangkat tertinggi sama dengan 2. Bentuk baku persamaan kuadrat adalah dalam x adalah : 2



ax + bx + c = 0 Dengan : a≠0 dan a, b, c adalah anggota himpunan bilangan nyata. Ada beberapa bentuk khusus persamaan kuadrat yaitu : a=1→x 2 +bx+c=0



: persamaan kuadrat biasa



b=0→x 2 +c+0



: persamaan kuadrat murni



c=0→x 2 +bx=0



: persamaan kuadrat tak lengkap



Contoh :



(a)



−x 2 + 4x+ 4=0



(b)



x 2 + 2x=0



(c)



x2 + 9 = 0



2.2. Macam-Macam Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Berbagai Persoalan. a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0. Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.



4



Contoh 1 : Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0 Jawab:



x2 – 4 x + 3 = 0



(x – 3) (x – 1) = 0 x – 3 = 0 atau x = 3 atau



x–1=0



x=1



Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1. b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q. Contoh 1: Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0. Jawab: x2 – 6 x + 5 = 0 x2 – 6 x + 9 – 4 = 0 x2 – 6 x + 9 = 4 (x – 3)2 = 4 x – 3 = 2 atau x – 3 = –2 x=5



atau



x=1



Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.



5



2.3. Macam-Macam Cara Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat. Nilai yang memenuhi persamaan kuadrat ax2 +bx+c= 0 disebut akar persamaan kuadrat dan dinotasikan dengan x1 dan x2. a. Faktorisasi Bentuk x 2 +bx+c=0 diuraikan kebentuk



( x − x 1) ( x − x 2) = 0 Contoh : x2 + 5x + 6 = 0 → (x + 3) (x + 2) = 0 x + 3 = 0 → x1= −3 x + 2 = 0 → x2 = −2 b. Melengkapkan Kuadrat Sempurna Bentuk x2 +bx+c= 0, dijabarkan kebentuk 2



( x + p) = q Contoh :



a.



x2 + 4x −1= 0 x2 + 4x=1→ kemudian masing – masing suku ditambah dengan 4. Contoh: x2 + 4x + 4 =1+ 4 (x + 2 )2 = 5 x + 2 = ± √5 Maka x1 = √5 – 2 dan x2 = - √5 -2



6



b.



x2 − 6x − 2 = 0 x2 − 6x − 2 → kemudian masing–masing suku ditambahkan dengan 9. x2 − 6x+ 9 = 2 + 9 (x – 3 )2 = 11 x-3 = ± √11



x1= √11 + 3 dan x2 = - √11 + 3



c. Menggunakan Rumus Abc Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 , mempunyai akar – akar persamaan : 2



x1, 2 =



− b ± b − 4ac 2a



Cara mencari rumus tersebut adalah sebagai berikut : ax 2 +bx+c= 0 → kemudian masing – masing suku dikalikan 4a 4a 2 x 2 + 4abx+ 4ac =0 4a 2 x 2 + 4abx+ 4ac+ (b2 −b2 ) =0 (4a 2 x 2 + 4abx+b2 )−(b2 −4ac) =0 ( 2 ax + b )2 √(𝑏 2 − 4 𝑎𝑐)2 = 0; kemudian masing-masing suku diakar (2 ax + b - √𝑏 2 − 4 𝑎𝑐 = 0; harga dari akar bias (+) atau (-) Nilai b2 - 4ac disebut diskriminan dari persamaan ax2 + bx + c= 0 dan ditulis dengan huruf D. maka rumus diatas menjadi : X1,2 =



−𝑏 ± √𝐷 2𝑎



Nilai 𝑏 2 − 4 𝑎𝑐 disebut diskriminan dari persamaan ax2 + bx + c = 0 dan ditulis dengan huruf D, maka rumus itu menjadi: X1,2 = −𝑏 ± √𝐷 7



Contoh: Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat dari 4 x2 + 5x + 1 = 0 Jawab: 4 x2 + 5x + 1 = 0;a=4,b=5 dan c=1 X1,2 = X1,2 = X1,2 = X1 =



−5 ± √52−4.4 2.4 −5 ± √25−16 8 −5 ± 3 8



−5−3 8



= -1



−5+3



X2 =



8



1



=-4



2.4. Jumlah Dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat Missal akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2. Rumus penyelesaian persamaan kuadrat tersebut adalah: X1 =



−𝑏+ √𝐷 2𝑎



dan X2 =



−𝑏− √𝐷 2𝑎



Maka jumlah akar-akar tersebut adalah : x1, x2 =



−𝑏+ √𝐷−𝑏 √𝐷 2𝑎



atau x1, x2 =



−𝑏 𝑎



sedangkan hasil akar-akar tersebut adalah: x1, x2 =



{(−𝑏)2 −( √𝐷)2 } 4𝑎2



2



=



𝑏 2− 𝑏 +4𝑎𝑐 4𝑎2



𝑐



atau x1, x2 = 𝑎



selisih akar-akar tersebut adalah: x1 - x2 =



2 √𝐷 2𝑎



sehingga x1 - x2 =



√𝐷 𝑎



8



atau D= a2 (x1 - x2)2



contoh:



2x2 + 4x + 6 = 0 Tentukan nilai x12 + x22 tanpa mencari x1, x2 Jawab: 2x2 + 4x + 6 = 0 ; a=2, b=4, dan c=6 4



x1 + x2 = - 2 = -2 6



x1, x2 = 2 = 3 x12 + x22 = (x1 -+ x2 )2 – 2. x1 . x2 = (-2)2 – 2.3 = -2 2..5 Jenis Akar-Akar Persamaan Berdasarkan Diskriminan Adalah: 1. jika D>0,maka terdapat dua akar real yang tidak sama (x1 ≠ x2) 2. jika D=0, maka akar-akarnya kembar atau sama dan real (x1 = x2) 3. jika D < 0, maka kedua akar tidak real atau tidak mempunyai akar-akar real. Contoh: 1. Tentukan q supaya persamaan x2+qx + a=0 ;mempunyai dua akar nyata dan berlainan. Jawab: x2+qx + a=0 mempunyai dua akar berlainan, maka D>0 D = b2 – 4ac = q2 – 4.1.q = q2 – 4q >0 atau q(qa – 4) >0 A1 = 0; (q-4) = 0 ; q2 = 4



9



2. Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat x2- (2 + p)x + 4 =0 mempunyai akar-akar kembar. Jawab: x2- (2 + p)x + 4 =0; akar-akarnya kembar maka D=0 D = b2 – 4ac = -(2+p)2 – 4.1.4 = 4+4p+p2 -16 P2 + 4p -12=0 (p+6)(p-2)=0 P1= -6 dan p2 = 2 2.7 Contoh soal dan penyelesaian 1. Apabila m menjalani bilangan-bilangan nyata, selidikilah banyaknya akarakar persamaan x2 -2(1+3m)x+7(3+2m)=0 Jawab: Banyaknya akar-akar persamaan kuadrat ditentukan adanya diskriminan itu. Kita hitung dahulu besarnya diskriminan itu yaitu: D = 4(1+3m)2 – 28 (3+2m) = 4+244m + 36m2 – 84 -56m = 36m2 – 32 – 80 Ada 3 kemungkinan yaitu: a. Kalau D >0 atau 36m2 -32m-80 >0 maka 36m2 -32m-80 >0 disederhanakan menjadi: 4(9m2 -8m – 20) >0 4(9m+10)(m-2) >0 Kalau D>0, maka m>2, maka m< -



10 9



yang berarti persamaan



tersebut mempunyai dua akar yang nyata dan berlainan. 10



b. Kalau D=0 atau 36m2 -32m-80=0 akan memberikan m1=2 atau m2= 10 9



untuk m1dan m2 sebesar tersebut, maka persamaan tersebut



mempunyai dua akar yang nyata dan kembar. Untuk m = -



10 9



, akar



kembar itu adalah X1,2 = X1,2 =



−𝑏 ±√𝐷 2𝑎 −𝑏 2𝑎



=



; karena D=0 maka



2(1+3𝑚) 2.1



=



10 9



2+6.(− ) 2



= 1+3.(-10/9) = 1- 10/3 = -7/3 c. Kalau D