7) Sis Data Tercuplik (Tersampel) [PDF]

Citation preview

1



SISTEM DATA TERCUPLIK



Suatu sinyal di dalam system waktu diskrit digambarkan oleh suatu deretan bilangan, misalnya {e(k)}. Pada kebanyakan system control digital, deretan-deretan bilangan tersebut diperoleh dengan cara pencuplikan (sampling) terhadap sinyal waktu kontinyu. Sebuah system dengan sifat waktu kontinyu kecuali pada saat-saat pencuplikan disebut Sistem dengan Data yang Tercuplik, seperti gambar di bawah ini (tanpa kontroler). input +



+



e(t)



-



Pencuplik dan Data Hold



𝒆̅(𝒕)



Plan



output



Gambar 1: Block Diagram Sistem Data Tercuplik



Untuk mengerti cara kerja dari system data tercuplik atau tersampel maka terlebih dahulu perlu kita pelajari pengaruh dari pencuplikan sinyal waktu kontinyu tersebut.



A. Data Yang Dicuplik. Pada proses pencuplikan akan terjadi hilangnya informasi dari sinyal yang dicuplik. Hilangnya informasi ini dapat dikurangi dengan menyisipkan sebuah device rekonstruksi data yang disebut Data hold, dan yang popular adalah Zero orde hold. Tujuan dipasangnya data hold mengikuti proses pencuplikan adalah untuk menyusun ulang sinyal yang dicuplik ke bentuk yang mendekati sinyal sebelum dicuplik. e (t) E(s)



Pencuplik dan Zero orde Hold



𝑒̅ (𝑡) ̅ (𝒔) 𝑬



Gambar 2: Pencuplik dan Zero orde Hold



Cara kerja kombinasi pencuplik dan zero orde hold seperti yang diperlihatkan pada gambar di bawah ini.



2



Amplitudo Input ke Pencuplik, e(t)



Output Zero Orde Hold, 𝒆̅(𝒕)



0



T



2T



3T



4T



5T



6T



t



Gambar 3: Input dan Output Pencuplik/Zero orde Hold Transformasi Laplace dari 𝑒̅ (𝑡) adalah 𝐸̅ (𝑠), yaitu: −𝑇𝑠



1−𝑒 𝐸̅ (𝑠) = 𝑠



−𝑛𝑇𝑠 ] [∑~ 𝑛=0 𝑒(𝑛𝑇)𝑒



(1)



−𝑛𝑇𝑠 𝐸 ∗ (𝑠) = ∑~ disebut transformasi bintang dari e(t). 𝑛=0 𝑒(𝑛𝑇)𝑒



(2)



Dimana:



𝐺ℎ𝑜 (𝑠) =



1−𝑒 −𝑇𝑠 𝑠



adalah fungsi transfer zero orde hold



(3)



Sehingga pencuplik dan zero orde hold dapat direpresentasikan dengan gambar berikut ini: 𝑬∗ (𝒔)



E(s) T



1 − 𝑒 −𝑇𝑠 𝑠



̅ (𝒔) 𝑬



Gambar 4: Representasi dari Pencuplik dan Zero orde Hold



Sehingga:



𝐸̅ (𝑠) = 𝐺ℎ𝑜 (𝑠)𝐸 ∗ (𝑠)



3



B. Pencuplik Ideal. e*(t)



e(0)



0



e(T)



T



e(2T)



2T



e(3T)



3T



t



Gambar 5: Representasi dari e*(t)



Disebut pencuplik ideal karena pada keluarannya berbentuk sinyal impuls yang tidak ada secara fisis. Jadi pencuplik ideal bukanlah pencuplik fisis, tapi muncul pada representasi ekivalen pada suatu peralatan pencuplik karena manipulasi matematis. Transformasi Laplace dari e*(t) adalah E*(s), sehingga invers dari E*(s) adalah: 𝑒 ∗ (𝑡) = ℒ −1 [𝐸 ∗ (𝑠)] = 𝑒(0)𝛿(𝑡) + 𝑒(𝑇)𝛿(𝑡 − 𝑇) + 𝑒(2𝑇)𝛿(𝑡 − 2𝑇)+ . .. Dengan 𝛿(𝑡 − 𝑡0 ) adalah fungsi impuls satuan ( fungsi delta dirac) yang terjadi pada t = t0 . Contoh: Dapatkan E*(s) untuk 𝑒(𝑡) = 𝜇(𝑡) adalah fungsi unit step. Jawab: Karena 𝑒(𝑡) = 𝜇(𝑡) maka e(nT) = 1, dengan: n = 0, 1, 2, . . . Jadi: −𝑛𝑇𝑠 𝐸 ∗ (𝑠) = ∑~ = 𝑒(0) + 𝑒(𝑇)𝑒 −𝑇𝑠 + 𝑒(2𝑇)𝑒 −2𝑇𝑠 + . . . 𝑛=0 𝑒(𝑛𝑇)𝑒



𝐸 ∗ (𝑠) = 1 + 𝑒 −𝑇𝑠 + 𝑒 −2𝑇𝑠 + . . .



𝐸(𝑧) = 1 + 𝑧 −1 + 𝑧 −2 + . . . Sehingga



𝐸 ∗ (𝑠) = 𝐸(𝑧)|𝑧=𝑒 𝑇𝑠



(4)



4



C. Rekonstruksi Data Gambar 4 di atas bukan merupakan model komponen fisis, tetapi hanya menggambarkan karakteristik fisis masukan-keluaran dari system yang memodelkan secara akurat peralatan fisis pencuplik dan data hold. Tujuan dari suatu data hold adalah untuk melakukan rekonstruksi (penyusunan ulang) keluaran pencuplik ideal ke bentuk pendekatan dari masukan pencuplik. Sebenarnya ada data hold yang lebih rumit dari pada zero order hold, tetapi jarang digunakan dalam praktek, sehingga yang sering digunakan pada kebanyakan system control digital adalah zero order hold.



D. Fungsi Transfer Pulsa Diperhatikan system open loop data yang dicuplik dengan fungsi transfer plan (kendalian) GP (s), seperti gambar 6 berikut ini:



E*(s) 1 − 𝑒 −𝑇𝑠 𝑠



E(s)



GP(s)



C(s)



E(s)



E*(s) G(s)



Plan



(a)



C(s)



(b)



Gambar 6: Sistem Open Loop Data Tercuplik Sehingga: G (s) = perkalian fungsi transfer plan dan zero order hold 𝐺(𝑠) =



1−𝑒 −𝑇𝑠 𝑠



𝐺𝑃 (𝑠) 𝐶(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝐸 ∗ (𝑠) 𝐶 ∗ (𝑠) = 𝐸 ∗ (𝑠)𝐺 ∗ (𝑠)



Dalam domain z adalah:



C(z) = E(z) G(z)



(5)



G(z) dikenal sebagai Fungsi Transfer Pulsa. Fungsi transfer pulsa ini tidak memberikan informasi apapun tentang prilaku keluaran system c(t) diantara saat-saat pencuplikan. Penurunan persamaan (5) merupakan hal yang bersifat umum, artinya jika diberikan sembarang fungsi : 𝐴(𝑠) = 𝐵(𝑠)𝐹 ∗ (𝑠) → 𝐴(𝑧) = 𝐵(𝑧)𝐹(𝑧) Dengan:



𝐵(𝑧) = 𝔉{𝐵(𝑠)}



dan



𝐹(𝑧) = 𝐹 ∗ (𝑠)|𝑒 𝑇𝑠 =𝑧



5



Contoh 1: Dapatkan transformasi z dari 𝐴(𝑠) =



1−𝑒 −𝑇𝑠 𝑠(𝑠+1)



Jawab: 𝐴(𝑠) =



1 − 𝑒 −𝑇𝑠 1 (1 − 𝑒 −𝑇𝑠 ) = 𝐵(𝑠)𝐹 ∗ (𝑠) = 𝑠(𝑠 + 1) 𝑠(𝑠 + 1)



1



(1−𝑒 −𝑇 )𝑧



1



𝐵(𝑠) = 𝑠(𝑠+1) ⇒ 𝐵(𝑧) = 𝔍 {𝑠(𝑠+1)} = (𝑧−1)(𝑧−𝑒 −𝑇 )



𝐹 ∗ (𝑠) = (1 − 𝑒 −𝑇𝑠 )



𝐹(𝑧) = (1 − 𝑒 −𝑇𝑠 )|𝑒 −𝑇𝑠 =𝑧 = 1 − 𝑧 −1 =



⇒



𝑧−1 𝑧



Jadi 𝐴(𝑧) = 𝐵(𝑧)𝐹(𝑧) =



(1 − 𝑒 −𝑇 )𝑧 𝑧 − 1 1 − 𝑒 −𝑇 = (𝑧 − 1)(𝑧 − 𝑒 −𝑇 ) 𝑧 𝑧 − 𝑒 −𝑇



Contoh 2: Diketahui system open loop dengan data yang dicuplik sebagai berikut:



1 − 𝑒 −𝑇𝑠 𝑠



E*(s)



E(s)



1 𝑠+1



C(s)



Jika e(t) adalah unit step maka dapatkan C(z) dan c(nT) 𝑧



Jawab: 𝑒(𝑡) = 1 ⟶ 𝐸(𝑧) = 𝑧−1 𝐶(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝐸 ∗ (𝑠) =



1−𝑒 −𝑇𝑠 𝑠(𝑠+1)



𝐸 ∗ (𝑠)



𝐶(𝑧) = 𝐺(𝑧)𝐸(𝑧) 𝐺(𝑠) = 𝐵(𝑠)𝐹 ∗ (𝑠) = 1−𝑒 −𝑇



1−𝑒 −𝑇𝑠 𝑠(𝑠+1)



1



= 𝑠(𝑠+1) (1 − 𝑒 −𝑇𝑠 ) 𝑧



𝐺(𝑧) = 𝑧−𝑒 −𝑇 dan 𝐸(𝑧) = 𝑧−1 Maka: 1−𝑒 −𝑇 𝑧



𝐶(𝑧) = 𝐺(𝑧)𝐸(𝑧) = 𝑧−𝑒 −𝑇 𝑧−1 Dengan metode parsial fraction, respon system pada saat-saat pencuplikan c (nT) adalah sebagai berikut:



6



Jadi



𝐶(𝑧) 1 − 𝑒 −𝑇 1 −1 = = + (𝑧 − 1)(𝑧 − 𝑒 −𝑇 ) 𝑧 − 1 𝑧 − 𝑒 −𝑇 𝑧 𝑧 𝑧 ⟹ 𝐶(𝑧) = − 𝑧 − 1 𝑧 − 𝑒 −𝑇 𝑐(𝑛𝑇) = 1 − (𝑒 −𝑇 )𝑛 = 1 − 𝑒 −𝑛𝑇 ← dari table transformasi z c (nT)



c(t)



0



2T



4T



6T



t



Berikut 2 macam konfigurasi yang berbeda dari system open loop tanpa kontroler digital:



E(s)



E*(s)



T



G1(s)



A(s)



T



A*(s)



G2(s)



C(s)



(a)



E(s)



T



E*(s)



G1(s)



G2(s)



C(s)



(b)



Gambar 7: Konfigurasi dari system open loop tanpa kontroler digital Untuk gambar 7 (a): C(s) = G2(s)A*(s) sehingga C(z) = G2(z)A(z) A(s) = G1(s)E*(s) sehingga A(z) = G1(z)E(z) Jadi C(z) = G1(z) G2(z)E(z) Untuk gambar 7 (b): C(s) = G1(s)G2(s)E*(s) sehingga 𝐶(𝑧) = ̅̅̅̅̅̅ 𝐺1 𝐺2 (𝑧)𝐸(𝑧) Dengan ̅̅̅̅̅̅ 𝐺1 𝐺2 (𝑧) = 𝔍{𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠)}



7