Aplikasi Analisis Matriks Dalam Matematika Biologi [PDF]

Citation preview

TUGAS ANALISIS MATRIKS APLIKASI TEOREMA PERRON FROBENIUS PADA MODEL MATRIKS POPULASI LESLIE



Fani Puspitasari 201 16019



Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2016



1. PENDAHULUAN Teori matriks dan Aljabar Linear memiliki beberapa peranan penting dalam aplikasi masalah real, salah satu contohnya adalah dalam bidang matematika biologi, yaitu dinamika populasi. Populasi dapat didefinisikan sebagai kumpulan tanaman, binatang, atau organisme lainnya (satu spesies) yang tinggal bersama dan bereproduksi. Dinamika populasi adalah suatu keilmuan yang mempelajari bagaimana suatu populasi berubah seiring waktu dan bagaimana mereka berinteraksi dengan faktor biotik dan faktor abiotik di lingkungannya. Faktor- faktor lingkungan tersebut mempengaruhi laju kelahiran, laju kematian dan bahkan fekunditas dari populasi, hal inilah yang menjadi pertanyaan bagi peneliti dalam mempelajari dinamika populasi. Besarnya perubahan jumlah populasi dalam kurun waktu tertentu akan dapat ditentukan jika dari hasil pengamatan selama kurun waktu tertentu tersebut laju pertumbuhan populasinya diketahui. Dalam hal ini diasumsikan bahwa laju pertumbuhan populasi hanya disebabkan oleh adanya proses kelahiran dan kematian, dan dianggap tidak ada proses migrasi (populasi tertutup). Secara matematis, laju pertumbuhan populasi yang dikelompokkan berdasarkan distribusi umur dan dalam kurun waktu yang sama, dapat dibawa ke dalam bentuk matriks persegi. Matriks tersebut disebut Matriks Leslie. Model Matriks Leslie merupakan suatu model matematika yang dapat digunakan untuk menentukan pertumbuhan populasi serta distribusi umur populasi dari waktu ke waktu. Model Leslie ini memperhitungkan perbedaan tingkat fertilitas dan kebertahanan hidup populasi di tiap kelompok umur. Jika distribusi populasi mula-mula diketahui, dan laju pertumbuhan populasinya telah diperoleh, maka akan dapat ditentukan distribusi umur populasi pada sebarang waktu ke depan menggunakan matriks Leslie Teori matriks yang dipakai dari mata kuliah Analisis Matriks dalam memodelkan matriks Leslie adalah Teorema Perron Frobenius dan Matriks Tak Negatif. Dengan teorema Perron Frobenius, diberikan bukti sederhana dari teorema dasar demografi pada bab pembahasan.



2. PEMBAHASAN Model Leslie dengan struktur umur adalah model dari pembagian kelas-kelas individu berdasarkan kronologis umur. Model ini mengklasifikasikan individu ke dalam kelas umur dengan panjang partisi sama besar, asumsikan . Perhatikan ilustrasi berikut



Kelas-Umur ( ) Umur dengan kelas umur dan interval umur sebagai berikut



Tabel 1: pembagian kelas umur dan interval umur dalam populasi



Misalkan



( ) menyatakan jumlah individu pada kelas umur ke- pada waktu



Model matriks Leslie diberikan oleh (1)



(



)



( )



disebut Matriks Leslie (Matriks Proyeksi) berukuran Matriks Leslie diberikan oleh



dengan entri-entri tak negatif.



(2) Dengan



[



]



adalah Matriks Fertilitas dimana menyatakan jumlah individu yang baru lahir, sehingga matriks memuat fertilitas per kapita dari setiap kelas umur di baris pertama. dan



[



]



adalah Matriks Transisi dimana adalah peluang individu dengan umur yang bertahan selama satu satuan waktu (dan pindah dari kelas ke kelas ) dan diasumsikan bahwa tidak ada individu yang hidup lebih dari satuan waktu. Sehingga persamaan matriks model Leslie di atas menjadi



[



( (



) )



(



)



]



[ [



]



( ) ( )



]



( )



Secara umum, persamaan matriks dalam bentuk rekursif diberikan oleh (



(3)



)



(



) ( )



Dengan (4)



∑



Pertidaksamaan terakhir menyatakan bahwa penjumlahan entri-entri setiap kolom dari tidak lebih besar dari satu, artinya jumlah individu dari kelas yang didistribusikan ke setiap kelas (termasuk sendiri) pada waktu , tidak akan melebihi jumlah individu yang ada di kelas pada waktu . Model Leslie dapat diilustrasikan oleh siklus hidup (berikut, dengan lahir, dan Tj adalah peluang individu yang bertahan dari kelas umur Misalkan terdapat 4 kelas umur,



adalah individu yang ke kelas umur .



F4 F3 F2 F1



1



T1



2



Gambar 1: Siklus hidup dengan 4 kelas umur



T2



3



T3



4



Matriks Leslie sebagai Matriks Tak Negatif Suatu matriks dikatakan tak negatif jika setiap entrinya tak negatif. Notasikan sebagai himpunan yang beranggotakan vektor . Karena elemen dari maktriks Leslie tak negatif, maka matriks Leslie merupakan matriks tak negatif, artinya solusi ( ) pada persamaan (3) dengan nilai awal ( ) akan tetap tak negatif untuk setiap Definisi 2.1 Matriks persegi



dikatakan tak tereduksi jika terdapat matriks permutasi (



memenuhi



)



(



untuk suatu



(



)



yang ) (



)



,



. Matriks Leslie sebagai matriks tak negatif dikatakan tak tereduksi jika dan hanya jika setiap kelas umur dapat dilewati oleh setiap kelas umur lainnya, artinya terdapat path yang menghubungkan satu node ke node lainnya pada siklus hidup model Leslie (lihat gambar 1) Definisi 2.2 Matriks tak tereduksi dikatakan primitif jika terdapat k  0 sehingga A k positif Matriks Leslie sebagai matriks tak tereduksi dikatakan primitif jika faktor persekutuan terbesarnya bernilai 1 untuk setiap loop pada grafik siklus hidup model Leslie. Loop adalah path yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama dan melewati setiap node paling banyak satu kali. Perhatikan gambar berikut F1



F1 F2



T1 1



T2 2



T2 3



1



2



3



T1 Gambar 2: Siklus hidup pada gambar kiri tidak primitif karena hanya terdapat satu loop (sehingga tereduksi) dan memiliki panjang 3. Siklus hidup pada gambar kanan primitif karena memiliki 2 loop dengan panjangnya masing-masing 2 dan 3, sehingga fpb nya adalah 1.



Teorema Perron Frobenius dan Teorema Dasar Demografi Populasi Nilai eigen dari matriks Leslie dengan nilai modulus terbesar disebut nilai eigen dominan. Nilai modulus dari nilai eigen dominan ini disebut radius spektral dari , dinotasikan dengan ( ). Teorema Perron Frobenius mengimplikasikan bahwa jika matriks Leslie adalah matriks tak negatif dan tak tereduksi, maka Radius spektral ( ) dari adalah nilai eigen dengan



vektor eigen tak negatif terkait. Sedangkan matriks tak tereduksi ( ) strictly dominant.



dikatakan primitif jika



Asumsikan nilai-nilai eigen dari matriks Leslie bernilai real dan berbeda satu sama lain, dan misal ( ) . Pada model ini, radius spektral ( ) disebut laju pertumbuhan. Karena berdasar asumsi bahwa nilai eigen berbeda, maka vektor eigen terkait juga berbeda, tulis vektor populasi awal ( ) sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor eigen matriks Leslie k



x(0)   ci wi



(5)



i 1



Dimana koefisien ci ditentukan dari vektor awal ( ) dan adalah vektor eigen terkait. Terapkan matriks Leslie pada persamaan di atas, dan lakukan iterasi sebagai berikut k



k



k



i 1



i 1



i 1



x(1)  Px (0)  P ci wi   ci Pwi   ci i wi k



k



k



i 1



i 1



i 1



x(2)  Px (1)  P ci i wi   ci i Pwi   ci i2 wi



: : k



k



k



i 1



i 1



i 1



x(t )  Px (t  1)  P ci ti 1wi   ci ti 1 Lwi   ci ti wi



Sehingga vektor populasi



pada saat adalah penjumlahan berbobot dari ti .



Teorema 2.1 Misal adalah matriks Leslie dengan model ( ) (persamaan 1). Misalkan negatif tak tereduksi dan primitif dengan radius spektral ( ) , maka ( )



(6) Dimana



matriks tak



adalah vektor eigen terkait dengan nilai eigen terbesar



Teorema ini disebut Teorema Dasar Demografi Populasi Bukti: Karena setiap nilai eigen dari matriks Leslie sehingga untuk



berbeda, misal ( )



r  1  2  3  .



, nilai eigen terbesar akan mendominasi persamaan berikut



  t t t            x(t )  r t  ci  i  wi r t  c1 w1  c2  2  w2    ck  k  w2  r r  r  i 1      0 saat t    k



atau dapat ditulis



lim t 



x(t )  c1 w1 rt



Teorema 2.2 Misal persamaan matriks dipenuhi oleh persamaan (3) dan berdasarkan asumsi (4). Jika ( ) ( ) maka seluruh solusi memenuhi Teorema 2.3 Misal persamaan matriks dipenuhi oleh persamaan (3) dan berdasarkan asumsi (4). ( ) Asumsikan primitif. Jika 1 maka seluruh solusi dengan nilai awal ( ) ( ) | ( )| memenuhi



Dari teorema 2.1 dan teorema 2.3 , dapat dilihat bahwa berapapun nilai awal ( ) populasi ( ) akan tumbuh secara eksponensial tanpa batas jika dan pertumbuhan populasi ( ) akan menurun dengan cepat jika Laju Reproduksi Rasio (



)



Radius spektral ( ) dari matriks transisi adalah nilai modulus terbesar nilai eigen . Karena dalam populasi tak ada peluang individu dapat hidup selamanya, maka asumsikan ( ) untuk setiap nilai awal ( ), asumsi ini ekivalen dengan ( )



(7) Berdasar asumsi (7) , diperoleh (8) Misal (9)



(



(



)



) , maka ( )



( )



( )



( )



Persamaan (9) memiliki interpretasi biologi, yakni jika peluang individu bertahan selama waktu adalah , maka ekspektasi jumlah keturunan yang dihasilkan individu baru pada waktu ke- adalah , dengan adalah jumlah keturunan yang baru lahir. Radius spektral



dari



( ( )



dengan notasi



( (



)



)) disebut laju reproduksi rasio atau lebih sering dikenal



.



3. REFERENSI [1] Leslie, P.H.: On the uses of matrices in certain population mathematics, Biometrika 35, 213-212 (1945) [2] Cushing, J.M.: Matrix Models and population dynamics, 5-12 [3] Li, Chi-Kwong dan Schneider, H.: Application of Perron –Frobenius theory to population dynamics [4] Muchlis, Ahmad.: Analisis Matriks, Matriks Tak negatif, 55-61 (2013)