Bab 8 Teori Hamiltonian 2 [PDF]

Citation preview

BAB VIII TEORI HAMILTONIAN



8.1 Pendahuluan Dalam mekanika fisika, banyak persamaan yang saling berhubungan antara satu persamaan dengan persamaan yang lainnya. Dari persamaanpersamaan tersebut dapat terbentuk suatu teorema yang dapat digunakan untuk memecahkan satu atau lebih permasalahan dalam lingkup mekanika fisika dan mungkin dapat digunakan lebih lanjut dalam menyelesaikan permasalahan lain. Salah satu hubungan antara persamaan satu dengan persamaan yang lain dimana persamaan tersebut dapat saling melengkapi adalah hubungan antara persamaan Newtonian, Lagrangian, dan Hamiltonian. Persamaan Newtonian pertama kali diungkapkan oleh Newton dalam bukunya yang berjudul Principia Mathematica pada tahun 1867. Lagrange menerbitkan persamaannya dalam bukunya yang berjudul Mechanique Analytique pada tahun 1788. Pada awal abad 19, beberapa ilmuan fisika termasuk Lagrange memulai mengembangkan formulasi ketiga dari mekanika, yang diselesaikan dalam suatu persamaan pada tahun 1834 oleh matematikawan asal Irlandia bermana Williamm Hamilton yang kini dinamakan Hamiltonian Mechanics. Pada bab ini akan dipelajari tentang formulasi Hamiltonian yang secara umum dikenal sebagai metode Hamiltonian atau teori Hamiltonian. Metode Hamiltonian banyak digunakan untuk menyelesaikan gerak benda dalam mekanika kuantum, mekanika statistik, dan mekanika jagad raya. 8.2 Persamaan Hamiltonian Hamiltonian mekanik dari suatu sistem merupakan jumlah dari energi kinetik dan energi potensial yang dinyatakan dalam fungsi posisi dan momentum konjugatnya. Hamiltonian Mekanik mempunyai kesaaman dengan persamaan Lagrangian dan juga secara alami muncul dari persamaan Lagrangian pula. Sehingga, dapat didefinisikan bahwa fungsi Hamiltonian sebagai transformasi legendre dari fungsi Lagrangian, dalam persamaan, Hamiltonian dapat dinyatakan sebagai : H ( q , p , t )=q ˙ . p=L(q , q ˙ , t)



(8.1)



Dimana q = (q1,. . . , qn)T dan p = (p1, . . . , pn)T dan q˙ = q˙ (q,p,t) , serta notasi n



untuk q˙.p dinyatakan dengan



q ˙ . p=∑ q ˙ j . p j j=1



Persamaan hamiltonian dalam gerak ketika hamiltonian didefinisikan sebagai transformasi dari lagrangian, persamaan lagrange dari gerak menjadi : q ˙i =



∂H ∂ p 'i



p˙ i=



−∂ H ∂ q'i



(8.2) (8.3)



Untuk i = 1, . . . , n. Ini merupakan persamanan canocial Hamilton, terdiri dari persamaan gerak turunan pertama 2n. Didapatkan nilai dari H adalah H = q ˙ ( q , p ) . p−L ( q , q ˙ ( q , p ) )



(8.4)



Pada persamaan Hamiltonian H = H (q.p) juga tidak terpengaruh terhadap nilai t eksplisit. Kemudian dapat digunakan penurunan berantai untuk menunjukkan bahwa jika H tidak eksplisit terhadap t maka H adalah : a b c



Konstan terhadap geraknya Kuantitasnya kekal Integral dari geraknya Oleh karena tidak adanya ketergantungan terhadap t yang eksplisit pada



fungsi Hamiltonian H dapat berfungsi sebagai sistem konseatif , walaupun H secara umum mungkin bukan energi totalnya. Akan tetapi untuk sistem mekanik sederhana dengan nilai energi kinetik T = T (q,q.) dan potensial V = V (q), maka nilai H akan menjadi energi Totalnya. Dimana nilai dari H adalah : H=T+V Untuk membentuk persamaan Hamiltonian Canocial untuk proses sistem mekanika adalah : 1 Memilih cordinat yang umum q = (q1,. . . , qn)T dan susunlah : 2



L (q,q’,t) = T – V Tentukan dan hitung nilai momen secara umum



(8.5)



∂L ∂ q'i Untuk i = 1, . . . , n. Selesaikan hubungan untuk mendapatkan q’i = q’i pi =



3 4



(q,p,t) Susun dan hitung fungsi Hamiltoniannya Tuliskan persamaan gerak Hamiltoniannya



Persamaan Hamiltonian dapat dihubungkan untuk pengembangan dari : a Teori Hamiltonian – Jacobi b Teori gangguan klasik c Mekanika Kuantum d Mekanika Statistika Contoh dari penggunaan persamaan hamiltonian terdapat dalam kasus hukum konservatif dan simetris untuk koordinat Siklik Telah diketahui bahwa ∂ H dH = ∂t dt



(8.6)



Karena hamiltonian tidak bergantung eksplisit dari t kemudian ini merupakan suatu integral konstan dari gerak, yang kadang dinamakan sebagai Integral Jacobi yang mungkin juga energi totalnya. Dari definisi momen secara umum pi = ∂L ' ∂ qi



, persamaan lagrange, dan persamaan hamiltonian untuk momen secara



umum adalah : pi =



∂ L −∂ H = ' ' ∂ qi ∂ qi



(8.7)



Dari hubungan tersebut , dapat dilihat bahwa qi secara eksplisit tidak ada terhadap lagrangian L, dan qi secara eksplisit menghilang dari Hamiltonian H, dan : pi’ = 0



(8.8)



Oleh karena pi kuantitas yang tetap, dalam persamaan gerak konstan. Maka qi dinamakan siklik atau diabaiakan. Untuk koordinat dari qi transformasinya : t → t+ ∆ t i (8.9) qi → qi +∆ qi (8.10) Biarkan lagrangian / hamiltonian tidak berubah. Invariansi ini signifikan suatu simetri dasar dari sistem.



Selain itu, persamaan hamiltonian relativistik juga dapat dihubungkan dengan bidang elektromagnetik, menggunakan vektor : L=−m0 c2 √ 1−β 2+ eA . v −e



(8.11)



Dimana A merupakan Vektor potensial dan  potensial skalar. Diketahui bahwa



L≠ T −U



secara relativistik, namun momentum canocial



masih bisa didapatkan dari : p=



∂L =mo γ v k +e A k ∂q'



(8.12)



Namun tidak sama lagi dengan momen mekanikal mo γ v k dalam kehadiran kecepatan yang bergantung pada potensial A. Relativitas partikel tungal Hamiltonian dalam medan elektromagnetik menjadi : 1



(8.13)



2 H ( q , p , t )=e +c ⌈ ( p−eA ) +m2o c 2 ⌉ 2



Sejak (p – eA) 2 = (mo c   )2 , H = e  + mo c2 , mempunyai nilai dari energi totalnya, termasuk energi diamnya. 8.3 Momentum Umum Pada pembahasan dibab sebelumnya telah ditunjukkan bagaimana mendeskripsikan suatu sistem dengan n derajat kebebasan, diperlukan n koordinat umum. Lagrangian L digambarkan dalam suku-suku koordinat q k , dan keceatan umum q´ k . Jika Lagrangian secara eksplisi sebagai fungsi waktu, maka dapat dinyatakan; q1 , q2 , … q n ; q´ 1 , q´ 2 , … , q´ n ; t L ( q , q´ , t ) =L¿



(8.14)



Terdapat perumusan lain untuk menyelesaikan persamaan gerak benda, yaitu perumusan Hamilton. Jika Hamiltonian secara eksplisit sebagai fungsi waktu maka dinyatakan bahwa ; H=H (q , p , t)=H (q1 , q2 , ...q n ; p1 , p 2 , ... , p n ; t)



(8.15)



Tinjau partikel tunggal yang bergerak dengan kecepatan xx sepanjang sumbu X. Energi kinetik partikel adalah ; 1 T = m ´x 2 2 Momentum biasanya didefinisikan dengan



(8.16) p=mx x , namun kali ini momentum



dinyatakan sebagai ; p=



∂T ∂ xx



(8.17) Jika V bukan fungsi kecepatan xx, yaitu V = V(x), maka momentum p dapat juga dinyatakan dengan : p=



∂L ∂ xx



Selanjutnya konsep diatas digunakan untuk mendefinisikan momentum umum. Untuk suatu sistem yang dideskripsikan dengan sekumpulan koordinat umum q1 , q2 , ... qndan terkait dengan momentum umum p1, p2, ...,pk , ..., pn , dapat didefinisikan momentum umum, pk yang terkait dengan koordinat umum qk ; p=



∂L ∂ qxk



(8.18)



Untuk sistem yang konservatif, persamaan Lagrange adalah; d ∂L ∂L − =0 dt ∂ q´ k ∂ qk



( )



(8.19)



Dari persamaan (8.18) ; pk=



d ∂L dt ∂ q´ k



(8.20) Sehingga persamaan Lagrange memiliki bentuk ; pk=



∂L ∂ qk



(8.21)



8.4 Fungsi Hamiltonian dan Hukum Konservasi Suatu sistem yang tidak berinteraksi dengan sistem lainnya disebut dengan sistem tertutup. Untuk sistem tertutup selalu terdapat tujuh konstanta gerak, yaitu



momentum linier yang memiliki komponen, momentum anguler yang memiliki tiga komponen, dan energi total. Pada bahasan ini, akan dipelajarai munculnya tujuh konstanta gerak melalui tinjauan Lagrangian suatu sistem tertutup. 8.3.1



Konservasi Momentum Linier Tinjau Lagrangian sistem tertutup dalam suatu kerangka inersia dan



bersifat invarian (tidak terpengaruh translasi). Misalkan partikel tunggal dengan Lagrangian L ( q, qx ) bersifat invarian ; ∂L ∂L δ q k+∑ δ qx́ ́ k =0 ∂ qk k ∂ qx k



δL=∑ k



(8.22) δq1 bukan fungsi dari waktu, sehingga ; δ qx́ ́ k =δ (



δ qk ) dt



(8.23) ¿



d ( δ q k )=0 dt



Dan persamaan (8.22) menjadi ; δL=∑ k



∂L δ q =0 ∂ qk k



(8.24) Pergeseran δ q k



tidak bergantung satu dengan lainnya. Persamaan (8.24) akan



berharga nol jika masing- masing turunan parsial dari L adalah nol, yaitu ; ∂L =0 ∂ qk



(8.25)



Jadi persamaan Lagrange pada persamaan (8.19) menjadi ; d ∂L =0 dt ∂ qk



( )



(8.26) Sehingga ; ∂L =konstan ∂qx k



(8.27)



Mengingat bahwa L = T(qxk) – V(qk) , persaamaan (8.27) dapat dinyatakan dengan:



∂L ∂ = ( T −V ) ∂qx k ∂ q´ k ¿



∂ 1 m ∑ q´ 2k ∂ q´ k 2 k



(



)



¿ mqx k = pk =konstan



(8.28)



Persamaan (8.28) menyatakan bahwa jika suatu ruang adalah homogen maka momentum linier pk suatu sistem tertutup adalah konstan. Karena gerak partikel tunggal dapat dideskripsikan oleh tiga koordinat kartesian, maka akan terdapat tiga konstanta gerak, yaitu px, py, dan pz yang merupaka komponen dari vektor momentum linier pk . Secara umum dapat dinyatakan bahwa jika Lagrangian suatu sistem adalah invarian terhadap suatu translasi dalam arah tertentu, maka momentum linier sistem dalam arah tersebut konstan. 8.3.2



Konservasi Momentum Anguler Sifat lain dari sistem inersia adalah bahwa ruang akan isotropik dalam



kerangka inersia, yaitu sistem tertutup yang tidak dipengaruhi oleh orientasi atau rotasi. Hai ini berimplikasi bahwa Lagrangian sistem tertutup akan invarian jaika sistem diputar dengan sudut yang sangat kecil. Tinjau sistem yang terdiri dari partikel tunggal. Perubahan Lagrangian dinyatakan dengan; δL=∑ k



∂L ∂L δq + δ q´ =0 ∂ qk k ∑ ∂ q´ k k k



(8.29)



Berdasarkan definisi bahwa (lihat persamaan 8.18); pk =



∂L ∂ q´ k



Persamaan Lagrange (persamaan 8.21) dapat dinyatakan dengan; ´pk =



∂L ∂ qk



(8.30)



Dan persamaan (8.29) dapat dinyatakan sebagai; δL=∑ ´pk δ q k + ∑ pk δ q´ k =0 k



k



(8.31)



Hasil ini akan dicoba diterapkan pada kasus sebagaimanan ditunjukkan pada gambar 8.1. Suatu partikel berada di r dari titik asal O. Sistem dirotasi dengan sudut δθ terhadap suatu sumbu. Nilai dari r akan berubah sedemikian rupa sehingga;



δ r =δθ × r



(8.32)



Perubahan kecepatannya dinyatakan dengan; δ r´ =δθ × ´r



(8.33)



Dengan menggunakan persamaan (8.31), untuk pk = p diperoleh (k = 1, 2, 3; tiga komponen vektor); δL= ´p . δ r + p δ ´r =0



(8.34)



Dengan menggunakan persamaan (8.32) dan (8.33), persamaan (8.34) menjadi; δL= ´p . ( δθ ×r ) + p . ( δ θ´ × r´ )=0



(8.35)



δθ



m



A



δθ



δr



r



r + δr



O



Gambar 8.1. Partikel m yang berada di r dan dirotasi dengan sudut δθ Dengan menggunakan sifat perkalian vektor, persamaan (8.35) menjadi;



δθ . ( r × ´p ) + δθ. ( ´r × p )=0



(8.36)



δθ . [ ( r × ´p ) + ( r´ × p ) ]=0



(8.37)



( dtd (r × p))=0



(8.38)



δθ . Dan;



r × p=L



(8.39)



Dengan L adalah momentum anguler. Untuk itu; δθ .



dL =0 dt



(8.40)



Karena δθ adalah sembarang maka; dL =0 dt (8.41) Atau L=r × p



Dengan L memiliki tiga komponen. Secara umum dapat dinyatakan bahwa jika Lagrangian invarian dibawah pengaruh rotasi, maka momentum anguler adalah konstan. 8.3.3



Konservasi Energi dan Fungsi Hamiltonian Waktu adalah homogen dalam kerangka referensi inersia. Hal ini



mengakibatkan Lagrangian dalam sistem tertutup secara eksplisit bukan fungsi waktu, sehingga; dL=∑ k



∂L ∂L ∂L d q k+∑ d q´ k + ∑ dt ∂ qk ´k ∂t k ∂q k



Dengan; ∂L =0 ∂t (8.43) Derivatif L terhadap t diperoleh; dL ∂ L d qk ∂ L d q´ k =∑ +∑ =0 ´ k dt dt k ∂q k dt k ∂q Atau



(8.42)



dL ∂L ∂L =∑ q´ k + ∑ q´ =0 dt ´k k k ∂q k k ∂q (8.44) Dari persamaan Lagrange (lihat persamaan 8.19); d ∂L ∂L = dt ∂ q´ k ∂ qk



( )



Disubtitusikan untuk



∂L ∂ qk



dalam persamaan (8.44), diperoleh;



dL ∂L d ∂L ∂L = q´ k +∑ q´ dt ∑ ∂q dt ∂ q ´ ∂ q´ k k k k k k



( ) d ∂L ¿ ∑ ( q´ =0 dt ∂ q´ ) k



k



k



Jadi; d



∂L



∑ dt ( q´ k ) ∂ q´ k



−



k



dL =0 dt



(8.45) Atau; d dt



(



∂L



∑ q´ k ∂ q´ k



k



)



(8.46)



−L =0



Kuantitas dalam tanda kurung harus konstan terhadap waktu. Konstanta ini disimbolkan dengan H yang disebut dengan Hamiltonian, dan dinyatakan dengan menggunakan definisi momentum umum menjadi: q´ k



∂L −L=¿ ∑ p k q´ k −L=¿ ∂ q´ k k konstan H=∑ ¿



(8.47)



k



H adalah konstanta gerak jika L secara eksplisit bukan fungsi dari waktu t, ∂L =0 . H memiliki sebuah bentuk khusus jika kita membuat dua asumsi ∂t sebagai berikut: 1. Energi potensial V adalah independen dari koordinat kecepatan sehingga ∂ L ∂ (T −V ) ∂ T = = (8.48) ∂ ´qk ∂ q´ k ∂ q´ k 2. Jika persamaan mewakili transformasi koordinat tidak mengandung waktu secara eksplisit, maka energi kinetik T tidak hanya fungsi kuadrat dari



kecepatan umum, tetapi juga akan homogen di semua hal. [Hati-hati: persamaan transformasi antara koordinat, mengatakan dari sebuah persegi panjang untuk umum, akan berisi waktu secara eksplisit jika q ini yang berputar sehubungan dengan koordinat inersia (katakanlah persegi panjang) atau jika kendala adalah fungsi dari waktu] Sekarang, menurut teorema Euler untuk fungsi homogen f q q dari urutan N di variabel ¿ 1 , q , …. , q ,… . , q ¿ 1 , q , …. , q k ,… . , qn ) , (¿ (¿ 2 k n) 2 ¿ ¿ N



∑ q k ∂∂qf k=1



=Nf



(8.49)



k



Dengan demikian, jika energi kinetik T adalah fungsi kuadrat homogen, yaitu, dari urutan N = 2. dari pers. (8.49 ) kita peroleh : N



∑ q´ k ∂∂q´f k=1



=2 f



(8.50)



k



Gabungkan persamaan (8.48) dan (8.50) dengan persamaan (8.47), kita peroleh : H=2 T −( T −V )=T +V =E=konstan



(8.51)



Dimana E adalah energi total dan konstan. Sehingga, dengan asumsi diatas, (1) V = V(qk) dan (2) T adalah sebuah fungsi kuadrat yang homogen ; gerakan konstan, hamiltonian H, adalah total energy E dari sistem yang sama. Hal ini sangat penting untuk menjaga pendapat bahwa H adalah bukan selalu sama untuk E. Kemungkinan perbedaan seperti berikut: H adalah konstan dan sama untuk energI total E H adalah konstan tetapi tidak sama untuk energI total E H adalah tidak konstan tetapi sama untuk energI total E H adalah tidak konstan dan tidak sama untuk energI total E Hukum konservasi di sini dapat diringkas seperti yang ditunjukkan pada tabel 8.1. Penting untuk dicatat bahwa invarian kuantitas fisik akibat dari sifat simetri dari sistem dan tidak terbatas hanya untuk tiga kasus yang dibahas. Jenis sebelumnya penalaran sering digunakan dalam tiba di hukum konservasi yang berbeda dalam teori modern partikel dasar dan bidang.



Table 8.1 sifat simetri dan hukum konservasi Properti di kerangka inersia Ruang homogen



Kuantitas ditinjau Momentum Linier



Pembatasan Lagrangian L L adalah invarian untuk



Ruang isotropik



Momentum Anguler



translasi; δL=0 L adalah invarian rotasi ;



Energi Total



δL=0 L adalah bukan fungsi eksplisit



Waktu homogen



∂L =0 ∂t



waktu t ;



8.5 Dinamika Hamiltonian Berikut ini akan diturunkan persamaan gerak Hamilton, disebut juga persamaan gerak kanonik. Lagrangian merupakan fungsi dari koordinat umum dan kecepatan umum, dan dimungkinkan secara eksplisitsebagai fungsi dari waktu, sehingga; L=L(q 1 , q 2 , … , q n ; q´ 1 , q´ 2 ,… , q´ n ; t )



(8.52)



Diferensiasi L adalah; n



dL=∑



k=1



( ∂∂qL d q + ∂∂q´L d q´ )+ ∂∂tL dt k



(8.53)



k



k



k



Dengan menggunakan kaitan berikut; ´pk =



∂L ∂ qk



dan



∂L = pk ∂ ´qk



(8.54) Diperoleh; n



dL=∑ ( p´ k d q k + pk d ´qk ) + k=1



Dengan menambahkan suku q´ k d pk



∂L dt ∂t



(8.55)



pada kedua ruas akan diperoleh;



p k q´ k −L n



n



∑ ¿=∑ ( q´ k d pk − p´ k d q k ) k=1



k=1



d (¿



−∂ L ) dt ∂t



Didefinisikan fungsi Hamilton sebagai;



(8.56)



n



H=∑ p k q´ k −L(q 1 ,q 2 ,… , q n ; p1 , p 2 , … , pn ; t )



(8.57)



k=1



Dan persamaan (8.56) dinyatakan dengan; n



dH=∑ ( q´ k d pk − ´p k d q k )− k=1



∂L dt ∂t



(8.58)



Berdasarkan persamaan (8.57), L secara eksplisit sebagai fungsi dari (q 1 , q 2 , … , qn ; q´ 1 , q´ 2 , … , q´ n ; t) . Pada beberapa kasus, H diekspresikan sebagai fungsi dari (q 1 , q 2 , … , qn ; p1 , p2 , … , p n ; t) . Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan kaitan definisi momentum umum,



∂L = pk . Sehingga H dapat ∂ ´qk



dinyatakan sebagai fungsi; H=L(q 1 ,q 2 ,… , q n ; p1 , p 2 , … , pn ; t)



(8.59)



Berdasarkan persamaan (8.59), diferensiasi dari H adalah; n



dH=∑



k=1



( ∂∂ qH d q + ∂∂ Hp d p )+ ∂∂tH dt k



k



k



(8.60)



k



Dengan membandingkan persamaan (8.60) dan (8.58) diperoleh; q´ k =



∂H ∂ pk



−´p k =



∂H ∂ qk



(8.61) (8.62)



Dan ∂ H −∂ L = ∂t ∂t (8.63) Persamaan (8.61) dan (8.62) adalah persamaan gerak Hamilton dan juga dinamakan dengan persamaan gerak karonik. Prosedur ini menggambarkan gerak dengan persamaan ini disebut dinamika Hamilton. 2n pertama-persamaan diferensial yang lebih mudah untuk memecahkan daripada n orde kedua persamaan diferensial di formalisme Lagrangian. Ini harus jelas dari Persamaan. (8.62), Bahwa jika ada koordinasi qk dapat diabaikan (yaitu, tidak terdapat dalam Hamilton H) maka sesuai momentum konjugat pk adalah konstan gerak.



Mari kita mempertimbangkan kasus di mana L, dan karenanya H, tidak mengandung waktu secara eksplisit. Dalam kondisi seperti itu;



∂H =0 dan ∂t



persamaan (8.60) kurangi ke n



dH ∂H ´ ∂H ´ =∑ ( q + p) dt k−1 ∂ q k k ∂ pk k (8.64) Gunakan persamaan Hamilton (8.61) dan (8.62), kita peroleh; n



dH ∂ H ∂H ∂ H ∂ H =∑ − =0 dt k−1 ∂ q k ∂ p k ∂ pk ∂ q k



(



)



(8.65) Oleh karena H adalah konstan gerak jika tidak mengandung t secara eksplisit. Selain itu, seperti yang kita menunjukkan sebelumnya, H identik dengan E, jika (1) persamaan menggambarkan transformasi koordinat umum tidak mengandung waktu secara eksplisit, dan (2) energi potensial bukan fungsi dari kecepatan umum. Contoh Soal 1 Gunakan metode Hamilton untuk mendapatkan persamaan gerak harmonik sederhana! Jawab Untuk gerak harmonik sederhana dalam sistem koordinat kartesian berlaku; 1 T = m ´x 2 , 2



1 V = k x2 2



i)



Dan 1 1 L ( x , x´ ) =T −V = m x´ 2− k x 2 2 2 Untuk memperoleh Hamiltonian,



ii)



´x harus diganti dengan momentum umum



px ; px = Dan



∂L =m x´ ∂ ´x



atau



´x =



px m



iii)



2



p 1 T = m ´x 2= x 2 2m



iv)



Sehingga H=H ( x , p x )=T + V =



1 2 1 2 p + kx 2m x 2



v)



Persamaan Hamilton (lihat persamaan 8.44 dan 8.45); ´x =



∂ H px = ∂ px m −´p x =



∂H =kx ∂x



px =m ´x



atau atau



vi)



´px =−kx



vii)



Subtitusi persamaan (vi) ke dalam persamaan (vii) dan didapatkan; d m ´x =−kx dt



atau



viii)



m ´x +kx =0



Contoh Soal 2 Partikel bermassa m ditarik oleh gaya bernilai



k 2 , dengan k adalah konstanta. r



Tentukan Hamiltonian dan persamaan gerak hamiltonnya! Jawab Dengan menggunakan koordinat polar (r, θ), ´r 2 +r 2 θ´ 2 1 T = m¿ 2 V =−∫ F . d r=∫



i) k −k dr = 2 r r



ii)



Dan diperoleh; 1 2 2 2 L ( x , x´ ) =T −V = m ( ´r + r θ´ ) + kx 2 Besaran ´r



dan θ´ dan persamaan (i) harus diganti dengan pr=



iii) pr dan



p ∂L =m ´r atau ´r = r ∂ ´r m pθ=



∂L ´ pθ =mr 2 θ´ atau θ= ∂ θ´ m r2



Energi kinetik pada persamaan (i) dapat dinyatakan dengan;



iv) v)



pθ ;



T=



1 2



[( ) ( ) ] 2



2



pr p + r2 θ m m



2



2



p 1 p = ( r + θ2 ) 2 m mr



vi)



Hamilton H menjadi; H=H ( r , p r , pθ ) =



p2 k 1 p2r + 2θ − 2m r r



(



)



vii)



Persamaan gerak diperoleh dengan menggunakan persamaan (8.44) dan (8.45); q´ k =



∂H ∂ pk



dan −´p k =



∂H ∂ qk



viii) pr dan



Koordinat-koordinat umumnya adalah r, θ, −´pr = −´pθ =



2 ∂ H − pθ k = 3+ 2 ∂θ mr r



∂H =0 ∂θ



p ´r = ∂ H = r ∂ pr m



atau



´pr=



atau −´pθ =0 atau atau



´ ∂ H = pθ θ= ∂ pθ mr 2



pθ ;



p2θ k − 2 3 mr r



ix)



pθ=¿ konstan



pr=m´r atau



x) xi)



pθ=m r θ´ 2



xii)



Contoh Soal 3 Deskripsikan gerak partikel bermassa m yang geraknya dibatasi oleh permukaan silinder berjari-jari a dan dikenai gaya tarik dititik asal yang besarnya sebanding dengan jarak partikel dari titik asal!



Jawab Gerak partikel bermassa m dalam gambar dapat dideskripsikan dalam sistem koordinat kartesian x,y, dan z atau dalam koordinat silinder r, θ , dan z. Persamaan konstrainnya adalah: 2



2



2



i)



x + y =a Sedangkan gaya tarik F=−k r



ii)



Dengan k adalah konstanta dan r 2=x 2 + y 2+ z2 . Dengan menggunakan koordinat silinder, energi kinetic T adalah: 1 1 T = m v 2= m(´r 2+ r 2 θ´ 2+ ´z 2 ) 2 2



iii)



Karena r = a maka ´r =0 sehingga; 1 2 2 2 T = m(a θ´ + ´z ) 2



iv)



Energi potensial dinyatakan dengan 1 2 1 1 2 2 2 2 2 V = k r = k ( x + y + z )= k (a + z ) 2 2 2



v)



Untuk itu ; 1 1 2 2 2 2 2 L=L ( z , θ´ , ´z )=T −V = m ( a θ´ + ´z )− k (a + z ) 2 2



vi)



Dan pθ ´ atau θ= m a2



pθ=



∂L =ma 2 θ´ ´ ∂θ



pz =



p ∂L =m ´z atau ´z = z ∂ ´z m



vii) viii)



Subtitusi ke persamaan (iv), p θ 2 pz 2 ¿ +( ) m ma 2 2 pθ p 2z 2 a ¿= + 2 ma 2 2m 1 T= m¿ 2 Sehingga Hamiltoniannya: H=H ( z ,θ , pθ , p Z )=T +V =



p2θ p 2z 1 2 + + kz 2 ma 2 2m 2



ix)



Dengan menggunakan persamaan kanonik (8.61 dan 8.62) q´ k =



∂H ∂ pk



−´p k =



dan



∂H ∂ qk



Diperoleh ; ´z =



∂ H pz = ∂ pz m



atau



pz =m ´z



x) ´ ∂ H = pθ θ= ∂ pθ ma 2



atau



2 pθ=m a θ´



xi)



∂H =kz ∂z



atau



pz =−kz



xii)



−´p z= −pθ =



∂H =0 ∂θ



atau



´pθ=0 atau



pθ = konstan



xiii) Dengan menggunakan persamaan (x) dan (xii) diperoleh ; m ´z +kz =0



xiv)



Yang menyatakan bahwa gerak partikel dalam arah sumbu Z adalah gerak harmonik sederhana dengan frekuensi ; ω=



√



k m



xv) Sedangkan dari persamaan (xi) dan (xiii) diperoleh ; pθ=konstan=ma 2 θ´



xvi)



Yang menyatakan bahwa momentum anguler disekitar sumbu Z adalah konstan. Latihan Soal 1. Tuliskan persamaan Hamilton dari titik massa yang bergerak sepanjang garis lurus! 2. Tentukan persamaan gerak partikel bermassa m yang ditembakkan vertikal ke atas dalam medan gravitasi seragam! 3. Tentukan persamaan Hamilton untuk gerak proyektil dua dimensi!