Bahan Ajar Kalkulus Diferensial PDF [PDF]

Citation preview

Bahan Ajar



Kalkulus Diferensial Yosep Dwi Kristanto



https://orcid.org/0000-0003-1446-0422



Ciptaan disebarluaskan di bawah Lisensi Creative Commons Atribusi 4.0 Internasional.



Model-Model Matematis: Daftar Fungsi-Fungsi Esensial



Proses Pemodelan



Permasalahan kehidupan nyata



Model matematis



Kesimpulan matematis



Prediksi kehidupan nyata



Model Linear Fungsi linear adalah fungsi yang dapat dinyatakan ke dalam bentuk 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑐𝑐 Grafik fungsi tersebut berupa garis dengan gradien 𝑚𝑚 dan memotong sumbu-y di 𝑐𝑐.



Latihan Soal a. Ketika udara kering naik, udara tersebut akan mengembang dan menjadi dingin. Jika suhu di permukaan tanah adalah 20℃ dan suhu pada ketinggian 1 km adalah 10℃, nyatakan suhu 𝑇𝑇 (dalam ℃) sebagai fungsi terhadap ketinggian (dalam km), dengan mengasumsikan bahwa model linear berlaku untuk masalah ini. b. Gambarlah grafik fungsi pada bagian a. Apa yang direpresentasikan gradiennya? c. Berapakah suhu pada ketinggian 2,5 km?



Latihan Soal Tabel berikut mendaftar tingkat karbondioksida dalam atmosfer, yang diukur dalam ppm dari 1980 sampai 2012. Gunakan data dalam tabel tersebut untuk menentukan model tingkat karbondioksida. Tahun



1980



1982



1984



1986



1988



1990



1992



1994



1996



Tingkat CO2



338,7



341,2



344,4



347,2



351,5



354,2



356,3



358,6



362,4



Tahun



1998



2000



2002



2004



2006



2008



2010



2012



Tingkat CO2



366,5



369,4



373,2



377,5



381,9



385,6



389,9



393,8



Polinomial Fungsi 𝑃𝑃 disebut polinomial jika 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑎2 𝑥𝑥 2 + 𝑎𝑎1 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0 dimana 𝑛𝑛 adalah bilangan bulat tidak negatif dan 𝑎𝑎0 , 𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , …, 𝑎𝑎𝑛𝑛 adalah bilangan-bilangan real. Bilangan-bilangan 𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , …, 𝑎𝑎𝑛𝑛 yang disebut koefisien dan 𝑎𝑎0 disebut konstanta.



Latihan Soal Sebuah bola dijatuhkan dari gedung dengan ketinggian 450 m, dan tingginya dicatat setiap 1 detik dalam tabel di bawah. Temukan model yang cocok untuk data tersebut untuk memprediksi kapan bola tersebut sampai di permukaan tanah. Waktu (detik)



0



1



2



3



4



5



6



7



8



9



Tinggi (meter)



450



445



431



408



375



332



279



216



143



61



Fungsi Pangkat Fungsi yang memiliki bentuk 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 𝑎𝑎 , dimana 𝑎𝑎 konstanta disebut sebagai fungsi pangkat. Beberapa kasus fungsi ini adalah sebagai berikut. 1. 𝑎𝑎 = 𝑛𝑛 dimana 𝑛𝑛 bilangan bulat positif. 2. 𝑎𝑎 = 1⁄𝑛𝑛 dimana 𝑛𝑛 bilangan bulat positif. 3. 𝑎𝑎 = −1.



Fungsi Rasional Fungsi rasional 𝑓𝑓 merupakan rasio dari dua polinomial: 𝑃𝑃 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑄𝑄 𝑥𝑥 dimana 𝑃𝑃 dan 𝑄𝑄 adalah polinomial. Domain fungsi ini memuat semua nilai 𝑥𝑥 sedemikian sehingga 𝑄𝑄 𝑥𝑥 ≠ 0.



Fungsi Aljabar Suatu fungsi 𝑓𝑓 disebut sebagai fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibentuk dengan operasi-operasi aljabar yang dimulai dari polinomial. Contoh: 𝑥𝑥 2 − 1 𝑥𝑥 2 − 6 + 𝑥𝑥 − 1 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥



𝑓𝑓 𝑥𝑥 =



3



𝑥𝑥 + 1



Fungsi Trigonometri Fungsi-fungsi sinus dan cosinus memiliki domain −∞, ∞ dan range selang tutup −1, 1 . −1 ≤ cos 𝑥𝑥 ≤ 1 −1 ≤ sin 𝑥𝑥 ≤ 1 Fungsi-fungsi sinus dan cosinus merupakan fungsi-fungsi periodik dengan periode 2𝜋𝜋. sin 𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋 = sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋 = cos 𝑥𝑥



Latihan Soal Tentukan domain fungsi berikut. 1 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 1 − 2 cos 𝑥𝑥



Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial adalah fungsi yang memiliki bentuk 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 𝑥𝑥 , dimana basis 𝑏𝑏 merupakan konstanta positif.



Fungsi Logaritma Fungsi logaritma 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = log 𝑏𝑏 𝑥𝑥, dimana basis 𝑏𝑏 merupakan konstanta positif, adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial.



Latihan Soal Klasifikasikan fungsi-fungsi berikut sesuai dengan jenis-jenis fungsi yang telah dibahas sebelumnya. (a) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 10𝑥𝑥 (b) 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 10 (c) ℎ 𝑥𝑥 =



1+𝑥𝑥 1+ 𝑥𝑥 4



(c) 𝑢𝑢 𝑡𝑡 = 5𝑡𝑡 − 3𝑡𝑡 2 + 9



Latihan Soal (Lagi) Biaya berkendara sebuah mobil setiap bulannya bergantung pada jarak tempuh. Pada bulan Mei, Maria mengeluarkan biaya Rp380.000,00 untuk berkendara sejauh 480 km dan pada bulan Juni dia mengeluarkan biaya Rp 460.000,00 untuk berkendara sejauh 800 km. a. Nyatakan biaya berkendara bulanan 𝐵𝐵 sebagai fungsi terhadap jarak 𝑠𝑠, dengan asumsi bahwa relasinya linear. b. Gunakan bagian a untuk memprediksi biaya berkendara sejauh 1.500 km per bulan. c. Gambarlah grafik fungsi linear tersebut. Apa yang direpresentasikan gradiennya? d. Apa yang direpresentasikan perpotongan grafik terhadap sumbu vertikal? e. Mengapa fungsi linear cocok sebagai model pada permasalahan ini?



Fungsi Baru dari Fungsi Lama



Transformasi Fungsi Pergeseran vertikal dan horizontal Misalkan 𝑐𝑐 > 0. Untuk memperoleh grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐, geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 sejauh 𝑐𝑐 satuan ke atas 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐, geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 sejauh 𝑐𝑐 satuan ke bawah 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 , geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 sejauh 𝑐𝑐 satuan ke kanan 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 , geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 sejauh 𝑐𝑐 satuan ke kiri



Pergeseran y 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐



0



𝑐𝑐



𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐



𝑐𝑐 𝑐𝑐



𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 𝑐𝑐



x



Pergeseran grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥



Transformasi Fungsi Dilatasi dan pencerminan vertikal dan horizontal Misalkan 𝑐𝑐 > 1. Untuk mendapat grafik 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 , rentangkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 secara vertikal dengan faktor 𝑐𝑐. 𝑦𝑦 = 1⁄𝑐𝑐 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , susutkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 secara vertikal dengan faktor 𝑐𝑐. 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑐𝑐 , susutkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 secara horizontal dengan faktor 𝑐𝑐. 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥⁄𝑐𝑐 , rentangkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 secara horizontal dengan faktor 𝑐𝑐. 𝑦𝑦 = −𝑓𝑓 𝑥𝑥 , cerminkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 terhadap sumbu-x. 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 −𝑥𝑥 , cerminkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 terhadap sumbu-y.



Dilatasi dan Pencerminan y



𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 −𝑥𝑥



0



𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑐𝑐 > 1 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 1 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑐𝑐



𝑦𝑦 = −𝑓𝑓 𝑥𝑥



x



Dilatasi dan pencerminan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥



Latihan Soal Diberikan grafik fungsi 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 di samping. Gunakan transformasi untuk menggambar grafik 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 2, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 2, 𝑦𝑦 = − 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 2 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥.



y



𝑦𝑦 = 𝑥𝑥



1 1



x



Latihan Soal Skestasalah grafik fungsi-fungsi berikut. a. 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 13. b. 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = sin 2𝑥𝑥 c. ℎ 𝑥𝑥 = 1 − sin 𝑥𝑥



Kombinasi Fungsi-Fungsi Dua fungsi 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔 dapat dikombinasikan untuk membentuk fungsi baru 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔, 𝑓𝑓 − 𝑔𝑔, 𝑓𝑓𝑓𝑓, dan 𝑓𝑓⁄𝑔𝑔 dengan cara yang serupa ketika menjumlahkan, mengurangi, mengalikan, dan membagi bilanganbilangan real. 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 Domain: 𝐷𝐷𝑓𝑓 ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔 𝑓𝑓 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑓𝑓⁄𝑔𝑔 𝑥𝑥 =



𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥



Domain: 𝐷𝐷𝑓𝑓 ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔



Domain: 𝐷𝐷𝑓𝑓 ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔



Domain: 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷𝑓𝑓 ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔 | 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≠ 0



Komposisi Fungsi Definisi Diberikan dua fungsi 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔, fungsi komposit 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 (juga disebut dengan komposisi 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔) didefinisikan sebagai berikut. 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥



Latihan Soal Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 dan 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 2 − 𝑥𝑥, tentukan masing-masing fungsi berikut beserta domainnya. a. 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 b. 𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓 c. 𝑓𝑓 ∘ 𝑓𝑓 d. 𝑔𝑔 ∘ 𝑔𝑔



Latihan Soal Diberikan 𝐹𝐹 𝑥𝑥 = sin2 𝑥𝑥 − 4 , tentukan fungsi 𝑓𝑓, 𝑔𝑔, dan ℎ sedemikian sehingga 𝐹𝐹 = 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 ∘ ℎ.



Permasalahan Garis Singgung dan Kecepatan



Permasalahan Garis Singgung



Apa yang dimaksud garis singgung?



Garis Singgung? 𝑡𝑡



(a)



𝐶𝐶



𝑡𝑡



(b)



𝑠𝑠



Contoh 1 𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 0



𝑄𝑄 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 2



𝑃𝑃 1, 1



𝑥𝑥



Tentukan persamaan garis singgung parabola 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 pada titik 𝑃𝑃 1, 1 .



Garis Potong 𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2



𝑃𝑃 1, 1 0



𝑡𝑡



𝑄𝑄 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 2 𝑅𝑅



𝑥𝑥



Gradien garis potong 𝑃𝑃𝑃𝑃 adalah 𝑥𝑥 2 − 1 𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑥𝑥 − 1 Misalkan, untuk 𝑥𝑥 = 1,5: 1,5 2 − 1 = 2,5 𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 = 1,5 − 1



Pendekatan Gradien 𝒙𝒙



2 1,5 1,1 1,01 1,001



𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷



3 2,5 2,1 2,01 2,001



𝒙𝒙



0 0,5 0,9 0,99 0,999



𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷



1 1,5 1,9 1,99 1,999



Berdasarkan tabel di samping, maka gradien garis singgung parabola adalah 𝑚𝑚 = lim 𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃



dan



𝑄𝑄→𝑃𝑃



𝑥𝑥 2 − 1 =2 𝑚𝑚 = lim 𝑥𝑥→1 𝑥𝑥 − 1



Persamaan Garis Singgung Berdasarkan investigasi sebelumnya diperoleh gradien garis singgung 𝑚𝑚 = 2 dan melalui titik 𝑃𝑃 1, 1 . Maka, persamaan garis singgung tersebut adalah 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 𝑦𝑦 − 1 = 2 𝑥𝑥 − 1 𝑦𝑦 − 1 = 2𝑥𝑥 − 2 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 1



𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 −1



1



0



−1



𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 1



𝑃𝑃 1, 1



1



𝑥𝑥



Ilustrasi Proses Limit



Permasalahan Kecepatan



Bagaimana mendefinisikan kecepatan sesaat?



Contoh 2



Misalkan sebuah bola dijatuhkan dari puncak Gama Tower di Jakarta, 290 meter di atas permukaan tanah. Tentukan kecepatan bola tepat setelah 5 detik dijatuhkan.



Kecepatan Jarak 𝑠𝑠 yang telah ditempuh bola setelah jatuh 𝑡𝑡 detik dapat dirumuskan 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 4,9𝑡𝑡 2 Rumus kecepatan rata-rata adalah perubahan posisi kecepatan rata−rata = waktu



Berapakah kecepatan bola tepat ketika 𝑡𝑡 = 5 detik?



Pendekatan Kecepatan Sesaat Kecepatan rata-rata ketika 𝑡𝑡 = 5 detik sampai 𝑡𝑡 = 5,1: perubahan posisi kecepatan rata-rata = waktu 𝑠𝑠 5,1 − 𝑠𝑠 5 = 5,1 − 5



4,9 5,1 2 − 4,9 5 = 5,1 − 5



2



= 49,49 m/s



Kecepatan rata-rata pada selang 5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,1 adalah 49,49 m/s.



Kecepatan Sesaat Selang Waktu 5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,1 5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,05 5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,01 5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,005 5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,001



Kecepatan ratarata (m/s) 49,49



Berdasarkan tabel di samping kecepatan rata-ratanya akan mendekati —? —. Kecepatan sesaat ketika 𝑡𝑡 = 5 didefinisikan sebagai nilai limit kecepatan rata-rata tersebut selama periode waktu yang terus menerus semakin singkat, yang dimulai dari 𝑡𝑡 = 5.



Hubungan Garis Singgung & Kecepatan Sesaat 𝑠𝑠



𝑠𝑠 = 4,9𝑡𝑡 2 𝑄𝑄



𝑠𝑠 Gradien garis potong = kecepatan rata-rata



𝑃𝑃 0



𝑎𝑎



𝑠𝑠 = 4,9𝑡𝑡 2



𝑃𝑃 𝑎𝑎 + ℎ



𝑡𝑡



0



Gradien garis singgung = kecepatan sesaat 𝑡𝑡



Latihan Soal Titik 𝑃𝑃 3, −1 terletak pada kurva 𝑦𝑦 = 1⁄ 2 − 𝑥𝑥 . (a) Jika 𝑄𝑄 adalah titik 𝑥𝑥, 1⁄ 2 − 𝑥𝑥 , gunakan kalkulator untuk menentukan gradien garis potong 𝑃𝑃𝑃𝑃 (sampai 6 angka di belakang koma) untuk nilai-nilai 𝑥𝑥 berikut: (ii) 2,9 (iii) 2,99 (iv) 2,999 (i) 2,5 (v) 3,5 (vi) 3,1 (vii) 3,01 (viii) 3,001 (b) Dengan menggunakan hasil di bagian (a), perkirakan gradien garis singgung kurva pada titik 𝑃𝑃 3, −1 . (c) Dengan menggunakan gradien di bagian (b), tentukan persamaan garis singgung pada titik 𝑃𝑃 3, −1 .



Limit Suatu Fungsi



Pertanyaan Awal



Bagaimana perilaku fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 3 untuk nilai-nilai 𝑥𝑥 yang dekat dengan 3?



Tabel Nilai Fungsi 𝒙𝒙



2 2,5 2,8 2,9 2,95 2,99 2,995 2,999



𝒇𝒇 𝒙𝒙



3 4,25 5,24 5,61 5,8025 5,9601 5,98003 5,996



𝒙𝒙



4 3,5 3,2 3,1 3,05 3,01 3,005 3,001



𝒇𝒇 𝒙𝒙



11 8,25 6,84 6,41 6,2025 6,0401 6,02003 6,004



Grafik Fungsi 𝑦𝑦 f(x) mendekati 6.



Tampak bahwa kita dapat membuat nilai f(x) mendekati 6 dengan memilih nilai x yang dekat dengan 3.



𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 3 6



lim 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 3 = 6



𝑥𝑥→3 3 0



x mendekati 3.



𝑥𝑥



Definisi Intuitif Limit Misalkan f(x) terdefinisi ketika x dekat dengan a. Maka kita menuliskan lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 𝑥𝑥→𝑎𝑎



dan mengatakan “limit f(x), untuk x mendekati a, sama dengan L” jika kita dapat membuat nilai f(x) dekat ke L (sedekat yang kita suka) dengan memilih nilai x yang dekat ke a (pada kedua sisinya) tetapi tidak sama dengan a.



Ilustrasi Limit Fungsi



… tetapi 𝑥𝑥 ≠ 𝑎𝑎 y



y



y



L



L



L



0



a



x



0



a



x



0



a



x



Contoh 1 Tebaklah nilai limit 𝑥𝑥 − 2 lim 2 𝑥𝑥→2 𝑥𝑥 − 4



Pembahasan Tabel di samping memberikan nilai-nilai 𝑓𝑓 𝑥𝑥 untuk 𝑥𝑥 mendekati 2 (tetapi tidak sama dengan 2).



𝒙𝒙 < 𝟐𝟐



𝒇𝒇 𝒙𝒙



𝒙𝒙 > 𝟐𝟐



𝒇𝒇 𝒙𝒙



1,5



0,285714



2,5



0,222222



1,9



0,25641



2,1



0,243902



1,99



0,250672



2,01



0,249377



1,999



0,250063



2,001



0,249938



1,9999 0,250006



2,0001 0,249994



Contoh 1 Berdasarkan tabel sebelumnya dan grafik di samping diperoleh 𝑥𝑥 − 2 = 0,25 lim 2 𝑥𝑥→2 𝑥𝑥 − 4



y



0,25



𝑦𝑦 =



𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 2 − 4 2



x



Masalah… Bagaimana jika, 𝑥𝑥 − 2 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = �𝑥𝑥 2 − 4 , 1, Berapakah nilai lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = —?— 𝑥𝑥→2



y



𝑥𝑥 ≠ 2



𝑥𝑥 = 2 0,25



𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 2



x



Latihan Soal Perkirakan nilai limit berikut. 𝑡𝑡 2 + 25 − 5 lim 𝑡𝑡→0 𝑡𝑡 2



Kesalahan Kalkulator Pada latihan soal sebelumnya bagaimana jika kita memilih nilai-nilai x yang sangat dekat dengan 0? 𝒕𝒕



±0,000001 ±0,0000001 ±0,00000001



𝒕𝒕𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟓𝟓 𝒕𝒕𝟐𝟐 0.099476 0.0888178 0,0000000



−5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5



−10−6 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 10−6



Latihan Soal Selidikilah nilai limit berikut. 𝜋𝜋 lim sin 𝑥𝑥→0 2𝑥𝑥



Nilai Limit Tidak Ada y 𝜋𝜋 𝑦𝑦 = sin 2𝑥𝑥



1



–2



2



–1



Terlalu banyak fluktuasi



x



Nilai Limit Tidak Ada y



f(x) = 1



1



–3



𝑓𝑓 𝑥𝑥 =



–2



− 𝑥𝑥 𝑥𝑥



–1



1



2 f(x) = –1



–1



Perilaku kanan & kiri tidak sama



3



x



Limit Sepihak DEFINISI LIMIT KIRI Kita menulis lim− 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 𝑥𝑥→𝑎𝑎



dan mengatakan limit kiri f(x) untuk x mendekati a [atau limit f(x) untuk x mendekati a dari kiri] sama dengan L jika kita dapat membuat nilai f(x) dekat ke L (sedekat yang kita suka) dengan memilih x yang dekat ke a dengan x kurang dari a.



Limit Sepihak DEFINISI LIMIT KANAN Kita menulis lim+ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 𝑥𝑥→𝑎𝑎



dan mengatakan limit kanan f(x) untuk x mendekati a [atau limit f(x) untuk x mendekati a dari kanan] sama dengan L jika kita dapat membuat nilai f(x) dekat ke L (sedekat yang kita suka) dengan memilih x yang dekat ke a dengan x lebih dari a.



Ilustrasi Limit Sepihak y



y



f(x) x



0



lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿



𝑥𝑥→𝑎𝑎 −



L



L a



x



0



f(x) a



x lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿



𝑥𝑥→𝑎𝑎 +



x



Limit dan Limit Sepihak lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿



𝑥𝑥→𝑎𝑎



jika dan hanya jika lim− 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 dan lim+ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿. 𝑥𝑥→𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



Latihan Soal Gunakan grafik di samping untuk menentukan nilai-nilai limit (jika ada) berikut. (b) lim+ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 (a) lim− 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑥𝑥→2



(c) lim− 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑥𝑥→5



(e) lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑥𝑥→2



𝑥𝑥→2



(d) lim+ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑥𝑥→5



(f) lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑥𝑥→5



y y = g(x)



4 3 2 1 1



2



3



4



5



x



Definisi Formal (ε-δ) Limit



Permasalahan Awal 1 2 𝑥𝑥 2



Gunakan grafik untuk menentukan seberapa dekat 𝑥𝑥 ke 2 untuk menjamin bahwa 𝑓𝑓 𝑥𝑥 berjarak kurang dari 0,5 dari 2. Mengapa?



y 3



𝑦𝑦 =



1 2 𝑥𝑥 2



2 1



0



1



2



3



x



Pembahasan y



3



2,5



2



2



1 1,5 0



1



2



3



x



2 1,5 1,5



2 2,5 2



2,5



Pembahasan Nilai 𝑓𝑓 𝑥𝑥 akan berjarak kurang dari 0,5 dari 2, atau dapat dituliskan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 2 < 0,5



Jika nilai-nilai 𝑥𝑥 berada di antara 2 1,5 ≈ 1,732 dan 2 2,5 ≈ 2,236, yaitu 1,732 < 𝑥𝑥 < 2,236. Dari dua ujung interval tersebut, 2,336 lebih dekat ke 2, yaitu 2 – 2,236 = 0,236. Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa:



Jika 1,764 < 𝑥𝑥 < 2,236 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 2 < 0,5



Definisi Formal Limit Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada beberapa selang buka yang memuat bilangan a, kecuali mungkin di a itu sendiri. Maka kita mengatakan limit f(x) untuk x mendekati a adalah L, dan dituliskan lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 𝑥𝑥→𝑎𝑎



Jika untuk setiap bilangan ε > 0 ada bilangan δ > 0 sedemikian sehingga jika 0 < 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 < 𝛿𝛿 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀 (Definisi ini sering disebut dengan definisi ε-δ limit.)



Cerita Nanang & Christin Nanang memiliki dugaan bahwa: lim 2𝑥𝑥 + 3 = 5 𝑥𝑥→1



Bagaimana Nanang membuktikan kepada Christin bahwa dugaannya benar?



Contoh Soal Dengan menggunakan definisi ε-δ limit, buktikan bahwa limit (4x – 5) untuk x mendekati 2 sama dengan 3, yaitu lim 4𝑥𝑥 − 5 = 3 𝑥𝑥→2



Pembahasan Analisis Pendahuluan Misalkan diberikan bilangan positif ε. Kita ingin mencari bilangan positif δ sedemikian sehingga jika 0 < 𝑥𝑥 − 2 < 𝛿𝛿 maka 4𝑥𝑥 − 5 − 3 < 𝜀𝜀. Padahal, dengan menggunakan aljabar kita peroleh 4𝑥𝑥 − 5 − 3 < 𝜀𝜀 ⇔ 4𝑥𝑥 − 8 < 𝜀𝜀 ⇔ 4 𝑥𝑥 − 2 < 𝜀𝜀 ⇔ 4 𝑥𝑥 − 2 < 𝜀𝜀 Sifat Nilai Mutlak: 𝑎𝑎𝑎𝑎 ⇔



𝑥𝑥 − 2
0 pilih δ = ε/4. Jika 0 < |x – 2| < δ, maka 4𝑥𝑥 − 5 − 3 = 4𝑥𝑥 − 8 = 4 𝑥𝑥 − 2 = 4 𝑥𝑥 − 2 𝜀𝜀 4



< 4 � = 𝜀𝜀



Dengan menggunakan sifat transitif = dan 0 ada bilangan 𝛿𝛿 > 0 sedemikian sehingga jika 0 < 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 < 𝛿𝛿 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀.



Definisi Limit Kanan



lim+ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿



𝑥𝑥→𝑎𝑎



Jika untuk setiap bilangan 𝜀𝜀 > 0 ada bilangan 𝛿𝛿 > 0 sedemikian sehingga jika 0 < 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 < 𝛿𝛿 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀.



Contoh Gunakan definisi limit sepihak untuk membuktikan bahwa lim+ 𝑥𝑥 = 0



𝑥𝑥→0



PEMBAHASAN Analisis Pendahuluan Misalkan ε adalah bilangan positif yang diberikan. Kita akan mencari bilangan positif δ sedemikian sehingga maka 𝑥𝑥 − 0 < 𝜀𝜀 jika 0 < 𝑥𝑥 − 0 < 𝛿𝛿 yaitu, jika 0 < 𝑥𝑥 < 𝛿𝛿



maka



𝑥𝑥 < 𝜀𝜀



Pembahasan Perhatikan bahwa, 𝑥𝑥 < 𝜀𝜀 𝑥𝑥 < 𝜀𝜀 2 Sehingga, kita pilih 𝛿𝛿 = 𝜀𝜀 2 . Bukti formal Diberikan 𝜀𝜀 > 0 ada 𝛿𝛿 = 𝜀𝜀 2 , sedemikian sehingga jika 0 < 𝑥𝑥 − 0 < 𝛿𝛿, maka 𝑥𝑥 − 0 = 𝑥𝑥 < 𝛿𝛿 = 𝜀𝜀 2 = 𝜀𝜀



Berdasarkan definisi limit sepihak, terbukti bahwa lim+ 𝑥𝑥 = 0. 𝑥𝑥→0







Teorema-Teorema Limit



Beberapa Limit Dasar Teorema A Misalkan 𝑛𝑛 bilangan bulat positif, 𝑘𝑘 adalah konstanta. Maka 2. lim 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎; 3. lim 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛 . 1. lim 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘; 𝑥𝑥→𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



Teorema Limit Utama lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 � 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 � lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ; Teorema B Misalkan 𝑛𝑛 bilangan bulat 4. 𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑥𝑥→𝑎𝑎 positif, 𝑘𝑘 adalah konstanta, dan 𝑓𝑓 dan lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑥𝑥→𝑎𝑎 lim = jika lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑔𝑔 adalah fungsi-fungsi yang memiliki 5. 𝑥𝑥→𝑎𝑎 lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑥𝑥→𝑎𝑎 limit di 𝑎𝑎. Maka 𝑛𝑛 𝑛𝑛 6. lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ; 𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑥𝑥→𝑎𝑎 1. lim 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ; 𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑛𝑛 𝑛𝑛 7. lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , asalkan 2. lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ; 𝑥𝑥→𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



3. lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ; 𝑥𝑥→𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≥ 0 jika 𝑛𝑛 genap.



𝑥𝑥→𝑎𝑎



Contoh 1 Tentukan limit berikut dan berikan alasan pada setiap langkahnya. lim 3𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 5



𝑥𝑥→1



PEMBAHASAN Kita gunakan teorema-teorema limit sebelumnya. lim 3𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 5 = lim 3𝑥𝑥 2 − lim 2𝑥𝑥 + lim 5 Teorema B2 dan B3 𝑥𝑥→1



𝑥𝑥→1



𝑥𝑥→1



𝑥𝑥→1



= 3 lim 𝑥𝑥 2 − 2 lim 𝑥𝑥 + lim 5 𝑥𝑥→1 3 12



= =6



𝑥𝑥→1



−2 1 +5



𝑥𝑥→1



Teorema B1



Teorema A3, A2, dan A1



Latihan 1 Tentukan limit berikut dan berikan alasan setiap langkahnya. 3𝑥𝑥 5 − 7𝑥𝑥 4 + 5𝑥𝑥 − 3 lim 𝑥𝑥→2 𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 2 + 1



Teorema Substitusi Teorema C Jika 𝑓𝑓 adalah fungsi polinomial atau fungsi rasional dan 𝑎𝑎 berada di domain 𝑓𝑓, maka lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 𝑥𝑥→𝑎𝑎



Latihan 2 Tentukan limit berikut. 𝑥𝑥 2 − 25 lim 𝑥𝑥→5 𝑥𝑥 + 5



Fungsi yang Berbeda di Satu Titik Teorema D Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ketika 𝑥𝑥 ≠ 𝑎𝑎, maka lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥→𝑎𝑎 lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 dengan syarat limit-limitnya ada. 𝑥𝑥→𝑎𝑎



Contoh 2 Tentukan lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 dimana 𝑥𝑥→5



𝑥𝑥 + 5 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = � 𝜋𝜋



jika 𝑥𝑥 ≠ 5 jika 𝑥𝑥 = 5



PEMBAHASAN Di sini fungsi 𝑔𝑔 terdefinisi di 𝑥𝑥 = 5 dan 𝑔𝑔 5 = 𝜋𝜋. Tetapi nilai limit 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ketika 𝑥𝑥 mendekati 5 tidak tergantung pada nilai fungsi di 5. Karena 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 5 untuk 𝑥𝑥 ≠ 5, maka lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim 𝑥𝑥 + 5 = 5 + 5 = 10 𝑥𝑥→5



𝑥𝑥→5



Pembahasan 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥



𝑦𝑦 10



10



5



5



0



2



4



6



𝑦𝑦 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥



𝑦𝑦



8



𝑥𝑥



0



2



Grafik fungsi f (Latihan 2) dan fungsi g (Contoh 2)



4



6



8



𝑥𝑥



Latihan 3 Tentukan nilai limit-limit berikut. (a)



2+ℎ 2 −4 lim ℎ ℎ→0



(b)



𝑡𝑡 2 +9−3 lim 𝑡𝑡 𝑡𝑡→0



Teorema Apit Teorema E Misalkan 𝑓𝑓, 𝑔𝑔, dan ℎ adalah fungsi-fungsi yang memenuhi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≤ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≤ ℎ 𝑥𝑥 untuk semua 𝑥𝑥 yang dekat dengan 𝑎𝑎, kecuali mungkin di 𝑎𝑎 dan maka



lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim ℎ 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿



𝑥𝑥→𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿



𝑥𝑥→𝑎𝑎



y



h g



L



f



0



a



x



Latihan 4 Tunjukkan bahwa 1 2 =0 lim 𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥



Ilustrasi y



0



x



Limit-Limit Trigonometri



Limit Fungsi-Fungsi Trigonometri Teorema A Untuk setiap bilangan real a dalam domain fungsi, 2. lim cos 𝑥𝑥 = cos 𝑎𝑎 1. lim sin 𝑥𝑥 = sin 𝑎𝑎



3.



5.



𝑥𝑥→𝑎𝑎



lim tan 𝑥𝑥 = tan 𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



lim sec 𝑥𝑥 = sec 𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



4. 6.



𝑥𝑥→𝑎𝑎



lim cot 𝑥𝑥 = cot 𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



lim csc 𝑥𝑥 = csc 𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



Pembuktian Teorema A Bukti Teorema A1 Pertama kita akan buktikan untuk x = 0. Misalkan x > 0 dan misalkan titiktitik A, B, dan P didefinisikan seperti pada gambar di samping. Maka, � 0 < 𝐵𝐵𝐵𝐵 < 𝐴𝐴𝐴𝐴 < 𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 𝑥𝑥, maka Karena 𝐵𝐵𝐵𝐵 = sin 𝑥𝑥 dan 𝐴𝐴𝐴𝐴 0 < sin 𝑥𝑥 < 𝑥𝑥



Jika 𝑥𝑥 < 0 maka 𝑥𝑥 < sin 𝑥𝑥 < 0. Dengan menggunakan Teorema Apit, kita peroleh lim sin 𝑥𝑥 = 0. 𝑥𝑥→0



0, 1



𝑂𝑂



𝑃𝑃 cos 𝑥𝑥 , sin 𝑥𝑥 𝐵𝐵



𝑥𝑥



𝐴𝐴 1, 0



Pembuktian Teorema A Untuk melengkapi bukti, kita perlu membuktikan lim cos 𝑥𝑥 = 1. Hal 𝑥𝑥→0



ini dapat dilakukan dengan menggunakan identitas trigonometri dan limit akar. lim cos 𝑥𝑥 = lim 1 − sin2 𝑥𝑥 =



𝑥𝑥→0



𝑥𝑥→0



1 − lim sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥→0



2



= 1 − 02 = 1



Pembuktian Teorema A Sekarang, untuk menunjukkan bahwa lim sin 𝑥𝑥 = sin 𝑎𝑎, pertama 𝑥𝑥→𝑎𝑎



kita misalkan ℎ = 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 sehingga ℎ → 0 jika 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎. Maka, lim sin 𝑥𝑥 = lim sin 𝑎𝑎 + ℎ



𝑥𝑥→𝑎𝑎



ℎ→0



= lim sin 𝑎𝑎 cos ℎ + cos 𝑎𝑎 sin ℎ ℎ→0



= sin 𝑎𝑎 lim cos ℎ + cos 𝑎𝑎 lim sin ℎ ℎ→0



= sin 𝑎𝑎 1 + cos 𝑎𝑎 0



= sin 𝑎𝑎



ℎ→0







Contoh 1 Tentukan lim



𝑥𝑥→0



𝑥𝑥 2 −1 sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥+1



.



PEMBAHASAN Pertama kita gunakan teorema limit perkalian, kemudian kita gunakan Teorema A1. lim



𝑥𝑥→0



𝑥𝑥 2 −1 sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥+1



=



𝑥𝑥 2 −1 lim 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥+1



lim sin 𝑥𝑥



𝑥𝑥→0



= −1 0 = 0.



Limit perkalian Substitusi dan A1







Latihan 1 Tentukan nilai limit berikut. cos2 𝑡𝑡 lim 𝑡𝑡→0 1 + sin 𝑡𝑡



Limit-Limit Trigonometri Khusus Teorema B 1.



sin 𝑥𝑥 lim 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥



=1



2.



1−cos 𝑥𝑥 lim 𝑥𝑥 𝑥𝑥→0



=0



Pembuktian Teorema B Bukti Teorema B1 Pada pembuktian sebelumnya, kita telah menunjukkan lim cos 𝑥𝑥 = 1



𝑥𝑥→0



dan



lim sin 𝑥𝑥 = 0



𝑥𝑥→0



Untuk − 𝜋𝜋⁄2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝜋𝜋⁄2, 𝑥𝑥 ≠ 0, kita gambar ruas garis vertikal BP dan busur BC, seperti pada gambar di samping. Dari gambar kita dapat melihat bahwa 𝐿𝐿juring 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 ≤ 𝐿𝐿∆𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 ≤ 𝐿𝐿juring 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂



0, 1



𝑂𝑂



𝐶𝐶



𝑃𝑃 cos 𝑥𝑥 , sin 𝑥𝑥 𝐵𝐵



𝑥𝑥



𝐴𝐴 1, 0



Pembuktian Teorema B Luas segitiga adalah setengah alas dikali tinggi, sedangkan luas 1 2 juring dengan sudut pusat x dan berjari-jari r adalah 𝑟𝑟 𝑥𝑥 . 2 Sehingga, 1 2



cos 𝑥𝑥



2



𝑥𝑥 ≤



1 cos 𝑥𝑥 2



sin 𝑡𝑡 ≤



1 2 1 2



𝑥𝑥



Dengan mengalikan semua ruas dengan 2⁄ 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 , kita peroleh cos 𝑥𝑥 ≤



sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥



≤



1 cos 𝑥𝑥



Pembuktian Teorema B Karena bentuk sin 𝑥𝑥 ⁄𝑥𝑥 positif untuk − 𝜋𝜋⁄2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝜋𝜋⁄2, 𝑥𝑥 ≠ 0, maka sin 𝑥𝑥 ⁄ 𝑥𝑥 = sin 𝑥𝑥 ⁄𝑥𝑥. Sehingga, sin 𝑥𝑥 1 cos 𝑥𝑥 ≤ ≤ 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 Karena limit fungsi-fungsi “terluar” di atas untuk x mendekati 0 sama dengan 1, maka dengan menggunakan Teorema Apit, kita peroleh sin 𝑥𝑥 lim =1 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥







Contoh 2 Tentukan



sin 5𝑥𝑥 lim . 𝑥𝑥 𝑥𝑥→0



PEMBAHASAN Dengan menggunakan teorema-teorema limit, kita peroleh sin 5𝑥𝑥 lim 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥



= lim 5 � = =



𝑥𝑥→0



sin 5𝑥𝑥 5𝑥𝑥



sin 5𝑥𝑥 5 lim 𝑥𝑥→0 5𝑥𝑥 sin 𝑦𝑦 5 lim 𝑦𝑦→0 𝑦𝑦



=5 1 =5



Kalikan dengan 5/5 Limit perkalian konstanta Misal 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥







Latihan 2 Tentukan nilai limit-limit trigonometri berikut. (a)



sin 2𝑥𝑥 lim 𝑥𝑥→0 3𝑥𝑥



(b)



1−cos 𝑡𝑡 lim 𝑡𝑡→0 sin 𝑡𝑡



(c)



tan 3𝑥𝑥 lim 𝑥𝑥→0 sin 𝑥𝑥



Tugas Pada gambar di samping, misalkan D adalah luas segitiga ABP dan E adalah luas daerah yang diarsir. (a)



Tebaklah



𝐷𝐷 lim 𝑥𝑥→0+ 𝐸𝐸



0, 1



dengan melihat gambar



di samping. (b)



Temukan rumus D/E dalam x.



(c)



Gunakan kalkulator untuk mendapat perkiraan yang lebih akurat dari nilai 𝐷𝐷 lim+ .



𝑥𝑥→0 𝐸𝐸



𝑃𝑃 cos 𝑥𝑥 , sin 𝑥𝑥



𝑂𝑂



𝑥𝑥



𝐵𝐵



𝑥𝑥



𝐴𝐴 1, 0



Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga



Limit di Tak Hingga Apa yang terjadi pada g(x) ketika nilai x semakin besar terus menerus?



y



–5



0,5



𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 2 𝑥𝑥 + 1



0



5



–0,5



x



Tabel Nilai-Nilai Fungsi 𝑥𝑥



10 100 1.000 10.000 ↓ ∞



𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 2 + 1 0,0990 0,0100 0,0010 0,0001 ↓ ?



Dari tabel dapat dilihat bahwa g(x) semakin kecil ketika x semakin besar. 𝑥𝑥 =0 lim 2 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥 + 1 Dengan cara yang serupa dapat ditunjukkan bahwa 𝑥𝑥 =0 lim 2 𝑥𝑥→−∞ 𝑥𝑥 + 1



Definisi Formal Limit Ketika 𝑥𝑥 → ±∞



Limit Ketika 𝑥𝑥 → ∞ Misalkan f terdefinisi pada [a, ∞) untuk beberapa bilangan a. Kita mengatakan lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 jika untuk 𝑥𝑥→∞



setiap ε > 0 ada bilangan M sedemikian sehingga jika 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀



maka



𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀



Limit Ketika 𝑥𝑥 → −∞ Misalkan f terdefinisi pada (–∞, a] untuk beberapa bilangan a. Kita mengatakan lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 jika untuk 𝑥𝑥→−∞



setiap ε > 0 ada bilangan M sedemikian sehingga jika 𝑥𝑥 < 𝑀𝑀



maka



𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀



Contoh 1 Tunjukkan bahwa jika k adalah bilangan bulat positif, maka 1 lim 𝑘𝑘 = 0 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥 Analisis Pendahuluan Diberikan ε > 0. Kita akan menemukan bilangan M sedemikian sehingga jika 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀



maka



1 𝑥𝑥 𝑘𝑘



− 0 < 𝜀𝜀



Pembahasan Perhatikan bahwa 1 𝑥𝑥 𝑘𝑘



− 0 < 𝜀𝜀 1 𝑥𝑥 𝑘𝑘



< 𝜀𝜀



Misalkan kita pilih M > 0. Akibatnya x > 0. Sehingga 1 𝑥𝑥 𝑘𝑘



< 𝜀𝜀



𝑘𝑘



𝑥𝑥 >



𝑥𝑥 >



1 𝜀𝜀



𝑘𝑘



1⁄𝜀𝜀



Sehingga, kita akan memilih 𝑀𝑀 =



𝑘𝑘



1⁄𝜀𝜀



Pembahasan Bukti Formal Misalkan diberikan 𝜀𝜀 > 0. Pilih 𝑀𝑀 = sehingga jika 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀, maka 1 𝑥𝑥 𝑘𝑘



−0 =



1 𝑥𝑥 𝑘𝑘




0 ada bilangan 𝑛𝑛→∞



asli M sedemikian sehingga jika 𝑛𝑛 > 𝑀𝑀



maka



𝑠𝑠𝑛𝑛 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀



Latihan 3 Tentukan limit barisan berikut. lim



𝑛𝑛→∞



2𝑛𝑛 + 1 𝑛𝑛 − 2



Limit Tak Hingga Definisi Kita mengatakan bahwa lim+ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ∞ jika untuk setiap 𝑥𝑥→𝑎𝑎



bilangan positif M, ada δ > 0 sedemikian sehingga jika 0 < 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 < 𝛿𝛿



maka



𝑓𝑓 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀



Contoh 3 Tentukan lim+ 𝑥𝑥→3



1 𝑥𝑥−3 2



dan lim− 𝑥𝑥→3



1 . 𝑥𝑥−3 2



PEMBAHASAN Ketika 𝑥𝑥 → 3 penyebutnya tetap positif tetapi mendekati 0, sedangkan pembilanganya tetap 1. Sehingga 1⁄ 𝑥𝑥 − 3 2 dapat dibuat besar dengan membatasi x untuk dekat, tetapi di kanan 3. Sehingga, 1 𝑥𝑥−3 2



=∞



1 lim 𝑥𝑥→3− 𝑥𝑥−3 2



=∞



lim+



𝑥𝑥→3



Dengan alasan yang serupa



+



y



1 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 3



2



2



0



2



4



6



x



Limit Tak Hingga & Asimtot Garis 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 merupakan asimtot vertikal grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 jika sembarang dari empat pernyataan berikut benar. 1.



3.



lim+ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ∞



𝑥𝑥→𝑐𝑐



lim− 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ∞



𝑥𝑥→𝑐𝑐



2. 4.



lim+ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = −∞



𝑥𝑥→𝑐𝑐



lim− 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = −∞



𝑥𝑥→𝑐𝑐



Kekontinuan Fungsi



Kekontinuan di Suatu Titik Definisi 1 Misalkan f terdefinisi pada selang buka yang memuat a. Fungsi f kontinu di a jika lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



Perhatikan bahwa definisi ini secara implisit memerlukan tiga hal untuk dipenuhi agar f kontinu di a: 1. f(a) terdefinisi (yaitu, a berada di domain f) 2. lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ada 𝑥𝑥→𝑎𝑎



3. lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 𝑥𝑥→𝑎𝑎



Contoh 1 Gambar di samping menunjukkan grafik fungsi f. Di mana sajakah f tidak kontinu? Mengapa?



y



PEMBAHASAN Fungsi f tidak kontinu di 1 karena tidak terdefinisi di x = 1. Fungsi f tidak kontinu di 3 karena limitnya tidak ada. Fungsi f juga tidak kontinu di 5 karena



0



lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≠ 𝑓𝑓 5



𝑥𝑥→5



1



2



3



4



5



x



Latihan 1 Misalkan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = f kontinu di 3?



𝑥𝑥 2 −9 , 𝑥𝑥−3



𝑥𝑥 ≠ 3. Bagaimana f didefinisikan di x = 3 agar



Kontinu dari Kiri dan dari Kanan Definisi 2 Suatu fungsi f kontinu dari kanan di a jika lim+ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 𝑥𝑥→𝑎𝑎



Dan f kontinu dari kiri di a jika lim− 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 𝑥𝑥→𝑎𝑎



Contoh 2 Untuk setiap bilangan bulat 𝑛𝑛, fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 (lihat gambar di samping) kontinu dari kanan tetapi tidak kontinu dari kiri karena lim+ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim+ 𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 = 𝑓𝑓 𝑛𝑛



𝑥𝑥→𝑛𝑛



𝑥𝑥→𝑛𝑛



y



1 –1 0



1



2



3



x



Kekontinuan pada Interval Definisi 3 Suatu fungsi kontinu pada interval jika fungsi tersebut kontinu di setiap bilangan dalam interval tersebut. (Jika f terdefinisi hanya pada satu sisi titik ujung, maka yang dimaksud kontinu pada titik ujung tersebut berarti bahwa kontinu dari kiri atau kontinu dari kanan.)



Contoh 3 Tunjukkan bahwa fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 1 − 𝑥𝑥 2 kontinu pada selang [–1, 1].



PEMBAHASAN Jika –1 < a < 1, maka dengan menggunakan teorema-teorema limit lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim 1 − 𝑥𝑥 2



𝑥𝑥→𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



=



lim 1 − 𝑥𝑥 2



𝑥𝑥→𝑎𝑎



= 1 − 𝑎𝑎2 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎



Sehingga, berdasarkan definisi, f kontinu di a jika –1 < a < 1.



Pembahasan Dengan menggunakan perhitungan yang serupa, diperoleh



y



lim + 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 −1 , dan



𝑥𝑥→−1



lim− 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 1



𝑥𝑥→1



sehingga f kontinu dari kanan di –1 dan kontinu dari kiri di 1. Akibatnya, berdasarkan Definisi 3, f kontinu pada [–1, 1].



1



–1



0



𝑓𝑓 𝑥𝑥 =



1 − 𝑥𝑥 2



1



x



Operasi-Operasi Fungsi Teorema 4 Jika f dan g kontinu di a dan jika c adalah konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu di a. 1. f + g



2. f – g



4. fg



5. f/g, jika g(a) ≠ 0



3. cf



Pembuktian Bukti Kelima bagian dari Teorema 4 dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema-teorema limit. Misalkan di sini kita akan membuktikan bagian pertama. Karena f dan g kontinu di a, maka lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 , dan



𝑥𝑥→𝑎𝑎



lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑔𝑔 𝑎𝑎 .



𝑥𝑥→𝑎𝑎



Sehingga, lim 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥



𝑥𝑥→𝑎𝑎



= lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑥𝑥→𝑎𝑎



= lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑥𝑥→𝑎𝑎



= 𝑓𝑓 𝑎𝑎 + 𝑔𝑔 𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



Hal ini menunjukkan bahwa f + g  kontinu di a.



Fungsi-Fungsi Kontinu Teorema 5 Jenis-jenis fungsi berikut kontinu di setiap bilangan dalam domainnya. • • • •



Fungsi polinomial Fungsi rasional Fungsi akar Fungsi trigonometri



Latihan 2 Di interval-interval mana saja fungsi berikut kontinu? 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 2 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 2 − 4



Teorema Limit Fungsi Komposit Teorema 6 Jika f kontinu di b dan lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏, maka lim 𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥



𝑥𝑥→𝑎𝑎



= 𝑓𝑓 𝑏𝑏 . Dengan kata lain



lim 𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥



𝑥𝑥→𝑎𝑎



𝑥𝑥→𝑎𝑎



= 𝑓𝑓 lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑥𝑥→𝑎𝑎



Secara khusus, jika g kontinu di a dan f kontinu di g(a), maka fungsi komposit 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 kontinu di a.



Latihan 3 Dimanakah fungsi berikut kontinu? 1 𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 2 + 7 − 4



Teorema Nilai Tengah Teorema 7 Misalkan f kontinu pada selang tutup [a, b] dan misalkan N sembarang bilangan di antara f(a) dan f(b), dimana f(a) ≠ f(b). Maka ada bilangan c di dalam (a, b) sedemikian sehingga f(c) = N.



y f(b) N f(a) 0



a c1



c2



c3 b



x



Latihan 4 Tunjukkan bahwa ada akar persamaan x4 + x – 3 = 0 di antara 1 dan 2.



Turunan



Permasalahan Garis Singgung y



y Q(x, f(x)) y = f(x)



Q Q



fx) – f(a) Q P(a, f(a))



Q



x–a



0



a



Q



x



x



0



P Q x



Garis Singgung DEFINISI Garis singgung kurva y = f(x) pada titik P(a, f(a)) adalah garis yang melalui P dan bergradien 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑎𝑎 𝑚𝑚 = lim 𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎



Latihan y y = 2/x (2, 1) 0



x



Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 2/x di titik (2, 1).



Permasalahan Kecepatan Posisi ketika t=a 0



Posisi ketika t=a+h



f(a + h) – f(a) f(a) f(a + h)



s Kecepatan rata-rata 𝑓𝑓 𝑎𝑎 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑎𝑎 ℎ



Kecepatan Sesaat Kecepatan sesaat adalah nilai limit dari kecepatan rata-rata: 𝑓𝑓 𝑎𝑎 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑎𝑎 𝑣𝑣 𝑎𝑎 = lim ℎ→0 ℎ



Latihan Sebuah mobil mula-mula bergerak dengan kecepatan 60 km/jam dan kemudian direm, sehingga posisinya dari awal pengereman dapat dimodelkan dengan 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 60𝑡𝑡 − 5𝑡𝑡 2 Tentukan kecepatan sesaat mobil tersebut 5 detik setelah pengereman.



Dua Bentuk Satu Makna



𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑎𝑎 lim 𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎



𝑓𝑓 𝑎𝑎 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑎𝑎 lim ℎ→0 ℎ



Turunan DEFINISI Turunan suatu fungsi f pada bilangan a, dinotasikan dengan f’(a), adalah 𝑓𝑓 𝑎𝑎 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑎𝑎 ′ 𝑓𝑓 𝑎𝑎 = lim ℎ→0 ℎ



Latihan Tentukan turunan fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 3 di 𝑥𝑥 = 4.



Latihan Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut di bilangan a. (a) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 3 − 5𝑥𝑥 (b) 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 1 (c) ℎ 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥 3 + 3𝑥𝑥 (d) 𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 > 0



Latihan Masing-masing bentuk berikut ini merupakan turunan, tetapi turunan dari fungsi apa dan di bilangan mana? (a)



4+ℎ 2 −16 lim ℎ ℎ→0 5 5 − 𝑥𝑥 3



(b) lim



𝑥𝑥→3 𝑥𝑥−3



Tugas Jari-jari balon udara yang berbentuk bola bertambah dengan kecepatan 0,5 cm per detik. Jika jari-jarinya adalah 0 cm ketika t = 0, tentukan kecepatan perubahan volume balon udara tersebut pada saat t = 3.



Turunan Sebagai Suatu Fungsi



Turunan Sebagai Suatu Fungsi DEFINISI Turunan f didefinisikan sebagai berikut. 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑓𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim ℎ→0 ℎ untuk sembarang nilai x yang membuat nilai limit tersebut ada.



Catatan: Nilai f’ di x, yaitu f’(x), dapat diinterpretasikan secara



geometris sebagai gradien garis singgung grafik f di titik (x, f(x)).



Contoh 1 Grafik fungsi f ditunjukkan pada gambar di samping. Gunakan gambar tersebut untuk mensketsa grafik f’.



y 2 y = f(x)



1



0



1



2



3



x



Pembahasan Kita dapat memperkirakan nilai turunan pada sembarang x dengan menggambar garis singgung di titik (x, f(x)) kemudian memperkirakan gradiennya. Dengan memperkirakan turunan f di beberapa titik kemudian menghubungkannya dengan kurva harus, diperoleh grafik f’ seperti gambar di samping.



y



y = f’(x)



2 1



m=0 m=0 1



m=0



m=1



2



3



x



Soal 1 (a) Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥, tentukan rumus untuk f’(x). (b) Ilustrasikan rumus ini untuk membandingkan grafik f dan f’.



Soal 2 Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥, carilah turunan f. Nyatakan domain f’.



Soal 3 Tentukan f’ jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 =



2−𝑥𝑥 . 1+𝑥𝑥



Notasi-Notasi Lainnya Jika kita gunakan notasi y = f(x) untuk menunjukkan bahwa x sebagai varibel bebas dan y sebagai variabel terikat, maka beberapa notasi alternatif turunan adalah sebagai berikut. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 ′ ′ = = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑥𝑥 = 𝐷𝐷𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Jika kita ingin menunjukkan nilai turunan dalam notasi dy/dx (notasi Leibniz) pada bilangan tertentu a, maka kita tuliskan 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥=𝑎𝑎



atau



𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥=𝑎𝑎



Fungsi Terdiferensialkan DEFINISI Fungsi f terdiferensialkan di a jika f’(a) ada. Fungsi tersebut terdiferensialkan di selang buka (a, b) [atau (a, ∞) atau (– ∞, a) atau (–∞, ∞)] jika fungsi tersebut terdiferensialkan di semua titik dalam selang tersebut.



Soal 4 Dimanakah fungsi f(x) = |x| terdiferensialkan?



Terdiferensialkan Mengakibatkan Kekontinuan TEOREMA Jika f terdiferensialkan di a, maka f kontinu di a.



Bagaimana Bisa Fungsi Tidak Terdiferensialkan



y



0



y



a



(a) Pojok



x



0



y



a



(b) Tidak kontinu



x



0



a



(c) Garis singgung vertikal



x



Turunan yang Lebih Tinggi Jika f adalah fungsi yang terdiferensialkan, maka turunannya f’ juga merupakan suatu fungsi, sehingga f’ memiliki turunan sendiri, dan dinotasikan dengan (f’)’ = f”. Fungsi baru ini disebut dengan turunan kedua dari f. Dengan menggunakan notasi Leibniz, turunan kedua dari y = f(x) dapat dituliskan menjadi 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑2 𝑦𝑦 = 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥



Soal 5 Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥, cari dan interpretasikan f”(x).



Eksplorasi Diberikan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 dan 𝑥𝑥0 = 1.



(a) Gambarlah grafik y = f(x). (b) Tentukan bentuk



(c) (d) (e) (f)



𝑓𝑓 𝑥𝑥 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ℎ Tentukan limit bentuk (b) ketika h mendekati 0. Substitusi nilai 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 dan gambarlah grafik fungsi y = f(x) bersama dengan garis singgungnya di titik tersebut. Substitusikan beberapa nilai x yang lebih dari atau kurang dari x0 ke dalam rumus (c). Apakah hasilnya masuk akal dengan grafiknya? Gambarlah grafik yang diperoleh pada bagian (c). Apa artinya ketika nilainya negatif? Nol? Positif? Apakah masuk akal dengan grafik pada bagian (a)? Berikan alasan.



Aturan-Aturan Turunan



Apa yang Telah Kalian Pelajari? • Menentukan gradien garis singgung suatu kurva pada titik tertentu. • Menentukan kecepatan sesaat suatu objek pada waktu tertentu. • Menggunakan definisi limit untuk menentukan turunan suatu fungsi pada titik tertentu. • Menyatakan turunan sebagai suatu fungsi dengan menggunakan definisi limit. • Memahami hubungan antara kekontinuan dan keterdiferensialan.



Apa yang Akan Kalian Pelajari? • Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Fungsi Konstan. • Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Pangkat. • Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Perkalian Konstanta. • Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Fungsi Konstan. • Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Penjumlahan dan Pengurangan. • Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Hasil Kali dan Hasil Bagi.



Fungsi Konstan •L



y



c



Gambar di samping adalah grafik fungsi konstan. Apakah turunan dari fungsi konstan?



y=c gradien = 0



0



x



Turunan Fungsi Konstan TEOREMA 1 Turunan dari fungsi konstan adalah 0. Yaitu, jika c adalah bilangan real, maka 𝑑𝑑 𝑐𝑐 = 0 𝑑𝑑𝑑𝑑



BUKTI Kita terapkan definisi turunan kepada f(x) = c, fungsi yang outputnya selalu konstanta c. Untuk setiap nilai x, diperoleh 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑐𝑐 − 𝑐𝑐 ′ 𝑥𝑥 = lim = lim = lim 0 = 0 𝑓𝑓  ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ



Turunan Pangkat Bilangan Bulat Positif TEOREMA 2 Jika n adalah bilangan bulat positif, maka 𝑑𝑑 𝑛𝑛 𝑥𝑥 = 𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 𝑑𝑑𝑑𝑑



Ekspansi Binomial Sebelum membuktikan turunan bilangan bulat positif, kita akan cari pola dalam ekspansi binomial: 𝑥𝑥 + ℎ 𝑥𝑥 + ℎ 𝑥𝑥 + ℎ 𝑥𝑥 + ℎ



2



𝑥𝑥 + ℎ



𝑛𝑛



3 4 5



= 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥𝑥 + ℎ2 = 𝑥𝑥 3 + 3𝑥𝑥 2 ℎ + 3𝑥𝑥ℎ2 + ℎ3 = 𝑥𝑥 4 + 4𝑥𝑥 3 ℎ + 6𝑥𝑥 2 ℎ2 + 4𝑥𝑥ℎ3 + ℎ4 = 𝑥𝑥 5 + 5𝑥𝑥 4 ℎ + 10𝑥𝑥 3 ℎ2 + 10𝑥𝑥 2 ℎ3 + 5𝑥𝑥ℎ4 + ℎ5



Secara umum, ekspansi binomial untuk suatu bilangan bulat positif n adalah =



𝑥𝑥 𝑛𝑛



+ 𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 ℎ



𝑛𝑛 𝑛𝑛−1 𝑥𝑥 𝑛𝑛−2 2 + ℎ 2



+ ⋯ + ℎ𝑛𝑛 .



Faktor persekutuan sukusuku ini adalah h2



Turunan Pangkat Bilangan Bulat Positif BUKTI Jika n adalah bilangan bulat positif lebih dari 1, maka dengan menggunakan ekspansi binomial kita peroleh 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



𝑥𝑥 𝑛𝑛



=



𝑥𝑥+ℎ 𝑛𝑛 −𝑥𝑥 𝑛𝑛 lim ℎ ℎ→0



= lim



ℎ→0



= lim =



𝑛𝑛 𝑛𝑛−1 𝑥𝑥𝑛𝑛−2 2 𝑛𝑛 𝑛𝑛−1 𝑥𝑥 +𝑛𝑛𝑥𝑥 ℎ+ ℎ +⋯+ℎ𝑛𝑛 −𝑥𝑥 𝑛𝑛 2



𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑛𝑛−1



ℎ→0 𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑛𝑛−1



= 𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑛𝑛−1



+



ℎ



𝑛𝑛 𝑛𝑛−1 𝑥𝑥 𝑛𝑛−2 ℎ 2



+ 0 + ⋯+ 0



+ ⋯ + ℎ𝑛𝑛−1



Untuk kasus n = 1, pembuktian diserahkan kepada pembaca.







Aturan Pangkat TEOREMA 3 Jika n adalah sembarang bilangan real, maka 𝑑𝑑 𝑛𝑛 𝑥𝑥 = 𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 𝑑𝑑𝑑𝑑 untuk semua x dimana xn dan xn – 1 terdefinisi.



CONTOH 1 (a) Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 8 , maka 𝑓𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 8𝑥𝑥 7 . (b) Jika 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 100 , maka 𝑦𝑦𝑦 = 100𝑥𝑥 99 . (c) Jika 𝑦𝑦 =



(d)



𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



𝑡𝑡 5 ,



maka



𝑟𝑟 3 = 3𝑟𝑟 2



𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



 Sekarang coba Uji Pemahaman 7



= 5𝑡𝑡 4







Aturan Perkalian Konstanta TEOREMA 4 Jika c adalah suatu konstanta dan f adalah fungsi yang terdiferensialkan, maka 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



Aturan Perkalian Konstanta BUKTI Misalkan g(x) = cf(x). Maka, 𝑔𝑔𝑔 𝑥𝑥 =



𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥 lim ℎ ℎ→0



= lim 𝑐𝑐 =



ℎ→0



𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥 ℎ



𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑐𝑐 lim ℎ ℎ→0



= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥



=



𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 lim ℎ ℎ→0







Contoh 2 Turunan berikut 𝑑𝑑 𝟑𝟑𝑥𝑥 2 = 𝟑𝟑 � 2𝑥𝑥 = 6𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 menyatakan bahwa jika kita mengalikan masing-masing koordinat-y dengan 3, maka kita juga mengalikan gradien garis singgung pada masing-masing titik dengan 3. Sekarang coba Uji Pemahaman 8



y y = 3x2 3 y = x2



2 1



–2



gradien = 6



(1, 3)



–1



0



gradien = 2 (1, 1) 1



2



x







Aturan Penjumlahan dan Pengurangan TEOREMA 5 Jumlah (atau selisih) dua fungsi-fungsi yang terdiferensialkan menghasilkan fungsi yang terdiferensialkan. Selain itu, turunan dari f + g (atau f – g) merupakan jumlah (atau pengurangan) dari turunan f dan g. 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = Aturan Penjumlahan 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑 Aturan Pengurangan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



Aturan Penjumlahan dan Pengurangan BUKTI Misalkan F(x) = f(x) + g(x). Maka, 𝐹𝐹𝐹 𝑥𝑥 = = = = =



𝐹𝐹 𝑥𝑥+ℎ −𝐹𝐹 𝑥𝑥 lim ℎ ℎ→0 𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ +𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ − 𝑓𝑓 𝑥𝑥 +𝑔𝑔 𝑥𝑥 lim ℎ ℎ→0 𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥 lim + ℎ ℎ ℎ→0 𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥 lim + lim ℎ ℎ ℎ→0 ℎ→0 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



Aturan Pengurangan dapat dibuktikan dengan cara yang serupa. 



Contoh 3 Apakah kurva y = x4 – 2x2 + 2 memiliki garis singgung horizontal? Jika iya, dimana? PEMBAHASAN Garis singgung horizontal, jika ada, terjadi jika gradiennya nol. Padahal 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4𝑥𝑥 3 − 4𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑



Pembahasan Selanjutnya kita selesaikan persamaan dy/dx = 0: 4𝑥𝑥 3 − 4𝑥𝑥 = 0 4𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 − 1 = 0 𝑥𝑥 = 0, −1, 1 Jadi, kurva tersebut memiliki garis singgung horizontal di x = 0, –1, dan 1. Perhatikan gambar di samping.  Sekarang coba Uji Pemahaman 12–14



y y = x4 – 2x2 + 2



(0, 2)



(–1, 1) –1



1



0



(1, 1) 1



x







Aturan Hasil Kali TEOREMA 6 Jika f dan g keduanya terdiferensialkan, maka 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑔𝑔 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Catatan: Aturan Hasil Kali tersebut juga sering dinyatakan dalam 𝑢𝑢𝑢𝑢



′



= 𝑢𝑢𝑣𝑣 ′ + 𝑢𝑢′ 𝑣𝑣



Aturan Hasil Kali BUKTI Misalkan F(x) = f(x)g(x). Maka 𝐹𝐹𝐹 𝑥𝑥 = =



𝐹𝐹 𝑥𝑥+ℎ −𝐹𝐹 𝑥𝑥 lim ℎ ℎ→0



𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 lim ℎ ℎ→0



Untuk menentukan nilai limit ini, kita akan memisahkan fungsifungsi f dan g seperti pada pembuktian di Aturan Penjumlahan.



Aturan Hasil Kali Untuk memisahkan f dan g, kita jumlahkan dan kurangkan suku f(x + h)g(x) pada pembilang. 𝐹𝐹𝐹 𝑥𝑥 =



𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 +𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 lim ℎ ℎ→0



= lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + ℎ ℎ→0



= lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + ℎ � ℎ→0



= 𝑓𝑓 𝑥𝑥



𝑑𝑑 𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑑𝑑



𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥 ℎ



+ 𝑔𝑔 𝑥𝑥



𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥 lim ℎ ℎ→0



𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥



𝑑𝑑 𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑



𝑥𝑥



𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥 ℎ



+ lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 � ℎ→0



𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥 lim ℎ ℎ→0







Contoh 4 Tentukan turunan dari F(x) = (x2 – 3)(x3 + 1). PEMBAHASAN (a) Dari Aturan Hasil Kali, kita peroleh 𝐹𝐹𝐹 𝑥𝑥 =



𝑥𝑥 2



−3



𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



𝑥𝑥 3



+1 +



𝑥𝑥 3



+1



𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



𝑥𝑥 2 − 3



= 𝑥𝑥 2 − 3 3𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 3 + 1 2𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥 4 − 9𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 4 + 2𝑥𝑥 = 5𝑥𝑥 4 − 9𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥



(b) Turunan F juga bisa ditentukan dengan mengalikan faktor-faktornya terlebih dahulu: F(x) = (x2 – 3)(x3 + 1) = x5 – 3x3 + x2 – 3. Sehingga 𝐹𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 5𝑥𝑥 4 − 9𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥  Sekarang coba Uji Pemahaman 11







Gambaran Aturan Hasil Kali Misalkan f(x) dan g(x) positif dan nilainya naik ketika x naik, dan h > 0. Maka, perubahan fg merupakan selisih luas “persegi” yang lebih besar dengan yang lebih kecil, yang sama dengan jumlah dari luas persegi panjang merah bagian atas dan kanan.



g(x + h) g(x)



∆𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + ℎ ∆𝑔𝑔 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ∆𝑓𝑓



Δg



f(x + h)Δg



f(x)g(x)



g(x)Δf



Dengan membagi bentuk tersebut dengan h, diperoleh ∆𝑓𝑓𝑓𝑓 ℎ



=



𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ ∆𝑔𝑔+𝑔𝑔 𝑥𝑥 ∆𝑓𝑓 ℎ



Limit bentuk tersebut untuk ℎ → Aturan Hasil Kali.



Δf



0+



akan menghasilkan



0



f(x) f(x + h)



Aturan Hasil Bagi TEOREMA 7 Jika f dan g terdiferensialkan, maka 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑔𝑔 𝑥𝑥



Catatan: Aturan Hasil Kali tersebut juga sering dinyatakan dalam 𝑢𝑢 ′ 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 − 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 = 𝑣𝑣 2 𝑣𝑣



Aturan Hasil Bagi BUKTI Misalkan F(x) = f(x)/g(x). Maka 𝐹𝐹𝐹 𝑥𝑥 =



𝐹𝐹 𝑥𝑥+ℎ −𝐹𝐹 𝑥𝑥 lim ℎ ℎ→0



= lim =



ℎ→0



𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ



𝑓𝑓 𝑥𝑥



−𝑔𝑔 𝑥𝑥 ℎ



𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ lim ℎ𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ℎ→0



Selanjutnya kita akan memisahkan f dan g.



Aturan Hasil Bagi Pemisahan f dan g dapat dilakukan dengan menjumlahkan dan mengurangkan bentuk f(x)g(x) pada pembilang. 𝐹𝐹𝐹 𝑥𝑥



=



=



𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ lim ℎ𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ℎ→0



𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 +𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ lim ℎ𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ℎ→0



= lim



ℎ→0



𝑔𝑔 𝑥𝑥



𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥 ℎ



𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥



𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥 ℎ ℎ→0



lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 �lim



= ℎ→0



−𝑓𝑓 𝑥𝑥



𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥 ℎ



ℎ→0



lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ �lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥



ℎ→0



𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥 ℎ ℎ→0



−lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 �lim ℎ→0



=



𝑑𝑑



𝑑𝑑



𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑓𝑓 𝑥𝑥 −𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 2







Contoh 5 Misalkan 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑦 =



= = =



𝑥𝑥 2 −𝑥𝑥−6 , 𝑥𝑥 3 +5



maka



𝑑𝑑



𝑑𝑑



𝑥𝑥 3 +5 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 2 −𝑥𝑥−6 − 𝑥𝑥 2 −𝑥𝑥−6 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 3 +5 𝑥𝑥 3 +5 2 𝑥𝑥 3 +5 2𝑥𝑥−1 − 𝑥𝑥 2 −𝑥𝑥−6 3𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 3 +5 2



2𝑥𝑥 4 −𝑥𝑥 3 +10𝑥𝑥−5 − 3𝑥𝑥 4 −3𝑥𝑥 3 −18𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 3 +5 2



−𝑥𝑥 4 +2𝑥𝑥 3 +18𝑥𝑥 2 +10𝑥𝑥−5 𝑥𝑥 3 +5 2



Pembahasan Kita dapat menggunakan kalkulator grafik untuk memeriksa jawaban Contoh 8 masuk akal. Gambar di samping menunjukkan grafik fungsi pada Contoh 5 dan turunannya. Perhatikan bahwa ketika y naik dengan cepat (di dekat –2), y’ bernilai besar. Dan ketika y naik secara perlahan, y’ dekat dengan 0.  Sekarang coba Uji Pemahaman 10



3



y’ –4



4



y –3







Rangkuman 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



𝑐𝑐𝑐𝑐



𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



𝑐𝑐 = 0



𝑓𝑓𝑓𝑓



′



′



= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐



′



= 𝑓𝑓𝑔𝑔 + 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔



𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑛𝑛−1



𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 𝑓𝑓 ′ 𝑔𝑔



=



′



= 𝑓𝑓 ′ + 𝑔𝑔𝑔



𝑔𝑔𝑓𝑓′ +𝑓𝑓𝑔𝑔′ 𝑔𝑔2



𝑓𝑓 − 𝑔𝑔



′



= 𝑓𝑓 ′ − 𝑔𝑔𝑔



Turunan Fungsi-Fungsi Trigonometri



Fungsi Sinus y



0



π/2



π



y



0



Apakah turunan fungsi sinus?



y = f(x) = sin x 2π x



y = f’(x)



π/2



π



2π



x



Menemukan Turunan Fungsi Sinus Misalkan f(x) = sin x. Maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥 ℎ ℎ→0



𝑓𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim



sin 𝑥𝑥+ℎ −sin 𝑥𝑥 ℎ ℎ→0 sin 𝑥𝑥 cos ℎ+cos 𝑥𝑥 sin ℎ−sin 𝑥𝑥 lim ℎ ℎ→0 sin 𝑥𝑥 cos ℎ−sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 sin ℎ lim + ℎ ℎ ℎ→0 cos ℎ−1 sin ℎ lim sin 𝑥𝑥 + cos 𝑥𝑥 ℎ ℎ ℎ→0 cos ℎ−1 lim sin 𝑥𝑥 � lim + lim cos 𝑥𝑥 ℎ ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0



Definisi turunan



= lim



Substitusi f(x) = sin x



=



Pisahkan



= = =



= sin 𝑥𝑥 0 + cos 𝑥𝑥 1 = cos 𝑥𝑥



Identitas penjumlahan sudut



Faktorkan sin ℎ ℎ→0 ℎ



� lim



Limit Perkalian Sederhanakan



Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus TEOREMA 1 Fungsi-fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x keduanya terdiferensialkan, dan 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



sin 𝑥𝑥 = cos 𝑥𝑥



𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



cos 𝑥𝑥 = − sin 𝑥𝑥



Latihan 1 Tentukan turunan dari 𝑦𝑦 = 5 sin 𝑥𝑥 − 7 cos 𝑥𝑥.



Menemukan Turunan Fungsi Tangen Dengan menggunakan Aturan Hasil Bagi, kita bisa mendapatkan 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



tan 𝑥𝑥 = = = = =



𝑑𝑑 sin 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑



Identitas trigonometri 𝑑𝑑



cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 sin 𝑥𝑥−sin 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 cos 𝑥𝑥 cos2 𝑥𝑥



cos 𝑥𝑥�cos 𝑥𝑥−sin 𝑥𝑥 − sin 𝑥𝑥 cos2 𝑥𝑥



cos2 𝑥𝑥+sin2 𝑥𝑥 cos2 𝑥𝑥 1 2 𝑥𝑥 = sec cos2 𝑥𝑥



Aturan Hasil Bagi Turunkan Sederhanakan Identitas trigonometri



Turunan Fungsi Trigonometri Lainnya Teorema 2 Untuk semua x dalam domain fungsi, 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



tan 𝑥𝑥 =



sec 2 𝑥𝑥



sec 𝑥𝑥 = sec 𝑥𝑥 tan 𝑥𝑥



𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



cot 𝑥𝑥 = − csc 2 𝑥𝑥



csc 𝑥𝑥 = − csc 𝑥𝑥 cot 𝑥𝑥



Latihan 2 Tentukan turunan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = sec 𝑥𝑥 . Tentukan semua nilai x 1+tan 𝑥𝑥 yang membuat grafik f memiliki garis singgung horizontal.



y



–π



2



y = f(x)



0



π



–2



x



Latihan 3 Suatu objek di ujung sebuah pegas ditarik sejauh 4 cm dari posisi istirahatnya dan dilepaskan pada waktu t = 0. (perhatikan gambar di samping.) Posisi objek tersebut pada waktu t adalah 𝑠𝑠 = 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 4 cos 𝑡𝑡



Tentukan kecepatan dan percepatan pada saat t dan gunakan hasilnya untuk menganalisis gerak objek tersebut.



0 4 s



Latihan 4 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat fungsi yang tidak diketahui dan turunan-turunannya. Perhatikan persamaan diferensial berikut. (a) (b) (c)



𝑦𝑦𝑦 𝑡𝑡 + 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 0



Tunjukkan bahwa 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 sin 𝑡𝑡 memenuhi persamaan tersebut untuk sembarang konstanta A.



Tunjukkan bahwa 𝑦𝑦 = 𝐵𝐵 cos 𝑡𝑡 memenuhi persamaan tersebut untuk sembarang konstanta B.



Tunjukkan bahwa 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 sin 𝑡𝑡 + 𝐵𝐵 cos 𝑡𝑡 memenuhi persamaan tersebut untuk sembarang konstanta A dan B.



Latihan 5 Turunan sinn x Tentukan turunan-turunan berikut dengan menggunakan Aturan Hasil Kali. (a)



𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



(b)



sin2 𝑥𝑥



𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



sin3 𝑥𝑥



(c)



𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



sin4 𝑥𝑥



(d) Berdasarkan jawaban pada bagian (a) – (c), buatlah dugaan 𝑑𝑑 mengenai sin𝑛𝑛 𝑥𝑥 . 𝑑𝑑𝑑𝑑



Aturan Rantai



Turunan Fungsi Komposit 2 𝑥𝑥 3



1 3



Fungsi 𝑦𝑦 = = 2𝑥𝑥 merupakan komposisi dari fungsi 𝑦𝑦 = dan 𝑢𝑢 = 2𝑥𝑥. Padahal, 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 = , = , 𝑑𝑑𝑑𝑑 3 𝑑𝑑𝑑𝑑 3 2 1 Karena = � 2, kita dapat 3 3 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



dan



𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



= 2.



melihat dalam kasus ini bahwa



1 𝑢𝑢 3



B: u putaran 1 3



2



A: x putaran C: y putaran



CONTOH 1 Fungsi y = (2x2 – 1)2 merupakan komposisi dari fungsi y = f(u) = u2 dan u = g(x) = 2x2 – 1. Kita tentukan turunan fungsi komposit tersebut, dan diperoleh 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



=



𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



�



𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



= 2𝑢𝑢 � 4𝑥𝑥 = 2 2𝑥𝑥 2 − 1 � 4𝑥𝑥 = 16𝑥𝑥 3 − 8𝑥𝑥



Turunan y = (2x2 – 1)2 juga dapat ditentukan dengan mengekspansi (2x2 – 1)2 = 4x4 – 4x2 + 1. Sehingga kita peroleh 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



=



𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



4𝑥𝑥 4 − 4𝑥𝑥 2 + 1



= 16𝑥𝑥 3 − 8𝑥𝑥







Aturan Rantai Aturan Rantai Jika f(u) terdiferensialkan di titik u = g(x) dan g(x) terdiferensialkan di x, maka fungsi komposit (f ∘ g)(x) = f(g(x)) terdiferensialkan di x, dan 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 ′ 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ⋅ 𝑔𝑔𝑔 𝑥𝑥 Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x), maka 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ⋅ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 dimana dy/du ditentukan di u = g(x).



Latihan 1 y



Jika 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , dimana grafik f ditunjukkan pada gambar di samping, tentukan g’(4) dan g’(–2).



y = f(x) 2



0



2



x



Latihan 2 Sebuah objek bergerak di sepanjang sumbu-x sedemikian sehingga posisinya pada sembarang waktu t ≥ 0 diberikan oleh persamaan 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = sin 𝑡𝑡 2 + 1 Tentukan kecepatan objek tersebut sebagai fungsi terhadap t.



Contoh 2 Aturan Luar-Dalam Tentukan turunan sin(x2 + x) terhadap x. PEMBAHASAN Kita langsung gunakan Aturan Rantai untuk memperoleh Fungsi dalam tetap



𝑑𝑑 sin 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑



Fungsi dalam



= cos 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 ⋅ 2𝑥𝑥 + 1



Turunan fungsi dalam







Latihan 3 Penggunaan Berulang Aturan Rantai Tentukan turunan fungsi berikut. 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = tan 3 + cos 5𝑡𝑡



Aturan Rantai untuk Fungsi Pangkat Aturan Pangkat dan Aturan Rantai Jika n adalah sembarang bilangan real dan u = g(x) terdiferensialkan, maka 𝑑𝑑 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑛𝑛−1 𝑢𝑢 = 𝑛𝑛𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Atau dapat dituliskan menjadi 𝑑𝑑 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 ⋅ 𝑔𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑



Latihan 3 Tentukan turunan dari fungsi berikut. 10 1 − 3𝑡𝑡 𝑔𝑔 𝑡𝑡 = 3 + 𝑡𝑡



Bagaimana Pembuktian Aturan Rantai? Analisis Pendahuluan Misalkan y = f(x) dan x berubah dari a ke a + Δx, kita definisikan perubahan y sebagai Δ𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 + Δ𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑎𝑎 Berdasarkan definisi turunan, ∆𝑦𝑦 lim Δ𝑥𝑥→0 ∆𝑥𝑥



= 𝑓𝑓𝑓 𝑎𝑎



Sehingga jika kita notasikan selisih Δy/Δx dan f’(a) sebagai ε, kita peroleh ∆𝑦𝑦 Δ𝑥𝑥→0 ∆𝑥𝑥



lim 𝜀𝜀 = lim



Δ𝑥𝑥→0



− 𝑓𝑓𝑓 𝑎𝑎



= 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 − 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 = 0



Tetapi ∆𝑦𝑦 − 𝑓𝑓𝑓 𝑎𝑎 ⇒ ∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓𝑓 𝑎𝑎 ∆𝑥𝑥 + 𝜀𝜀∆𝑥𝑥 𝜀𝜀 = ∆𝑥𝑥 Jika kita definisikan ε sama dengan nol ketika Δx = 0, maka ε menjadi fungsi yang kontinu terhadap Δx. Sehingga untuk fungsi f yang terdiferensialkan, kita dapat menulis Persamaan 1 ∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓𝑓 𝑎𝑎 ∆𝑥𝑥 + 𝜀𝜀∆𝑥𝑥 dimana 𝜀𝜀 → 0 ketika ∆𝑥𝑥 → 0 dan ε merupakan fungsi kontinu terhadap Δx.



Bagaimana Pembuktian Aturan Rantai? Pembuktian Aturan Rantai Misalkan u = g(x) terdiferensialkan di a dan y = f(u) terdiferensialkan di b = g(a). Jika Δx adalah perubahan di x dan Δu dan Δy merupakan perubahan di u dan y yang bersesuaian, maka kita dapat menuliskan ∆𝑢𝑢 = 𝑔𝑔𝑔 𝑎𝑎 ∆𝑥𝑥 + 𝜀𝜀1 ∆𝑥𝑥 = 𝑔𝑔𝑔 𝑎𝑎 + 𝜀𝜀1 ∆𝑥𝑥



dimana 𝜀𝜀1 → 0 ketika ∆𝑥𝑥 → 0. Dengan cara yang serupa, ∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 ∆𝑢𝑢 + 𝜀𝜀2 ∆𝑢𝑢 = 𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 + 𝜀𝜀2 ∆𝑢𝑢



dimana 𝜀𝜀2 → 0 ketika ∆𝑥𝑥 → 0.



Persamaan 2



Persamaan 3



Bagaimana Pembuktian Aturan Rantai? Jika kita substitusi bentuk Δu dari persamaan 2 ke persamaan 3, kita peroleh ∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓𝑓 𝑏𝑏 + 𝜀𝜀2 𝑔𝑔′ 𝑎𝑎 + 𝜀𝜀1 ∆𝑥𝑥 Sehingga ∆𝑦𝑦 ∆𝑥𝑥



= 𝑓𝑓𝑓 𝑏𝑏 + 𝜀𝜀2 𝑔𝑔𝑔 𝑎𝑎 + 𝜀𝜀1



Ketika ∆𝑥𝑥 → 0 persamaan 2 menunjukkan bahwa ∆𝑢𝑢 → 0 juga. Sehingga 𝜀𝜀1 → 0 dan 𝜀𝜀2 → 0 ketika ∆𝑥𝑥 → 0. Oleh karena itu 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



=



∆𝑦𝑦 lim ∆𝑥𝑥→0 ∆𝑥𝑥



= lim 𝑓𝑓𝑓 𝑏𝑏 + 𝜀𝜀2 𝑔𝑔𝑔 𝑎𝑎 + 𝜀𝜀1 ∆𝑥𝑥→0



= 𝑓𝑓𝑓 𝑏𝑏 𝑔𝑔𝑔 𝑎𝑎 = 𝑓𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑎𝑎 ′𝑔𝑔 𝑎𝑎



Kita telah membuktikan Aturan Rantai.







Pemecahan Masalah Piston Roda Perhatikan piston roda pada gambar di samping. Roda tersebut memiliki jari-jari 10 cm dan berputar berlawanan arah jarum jam pada kecepatan 2 radian per detik. Batang besi yang menghubungkan roda dan kepala piston tersebut panjangnya 50 cm. Pada waktu t = 0, titik P berkoordinat di (10, 0). (a) Tentukan koordinat P pada waktu t. (b) Tentukan koordinat-y titik Q pada waktu t (koordinat-x titik Q selalu nol). (c) Tentukan kecepatan Q pada waktu t. (Gunakan fakta 1 bahwa 𝐷𝐷𝑢𝑢 𝑢𝑢 = .) 2 𝑢𝑢



Q



y



50 P x (10, 0)



Turunan Implisit



Fungsi Terdefinisi Implisit Beberapa fungsi didefinisikan secara implisit sebagai suatu relasi antara x dan y: 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = 25, 𝑦𝑦 2 − 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦 3 = 9𝑥𝑥𝑥𝑥



Grafik Fungsi Implisit y



–5



0



𝑦𝑦1 = − 25 − 𝑥𝑥 2



𝑦𝑦1 =



25 − 𝑥𝑥 2



5



x



y



y 𝑦𝑦1 = 𝑥𝑥



0



3 𝑦𝑦1 = − 𝑥𝑥



𝑦𝑦2 = 𝑓𝑓2 𝑥𝑥 x



–4



0



𝑦𝑦1 = 𝑓𝑓1 𝑥𝑥



4



x



𝑦𝑦3 = 𝑓𝑓3 𝑥𝑥



Contoh 1 Tentukan 𝑑𝑑𝑑𝑑⁄𝑑𝑑𝑑𝑑 dari 𝑦𝑦 2 − 𝑥𝑥 = 0.



PEMBAHASAN Persamaan 𝑦𝑦 2 − 𝑥𝑥 = 0 mendefinisikan dua fungsi yang terdiferensialkan terhadap x, yaitu 𝑦𝑦1 = 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦2 = − 𝑥𝑥. Sehingga turunan kedua fungsi ini adalah 𝑑𝑑𝑦𝑦1 𝑑𝑑𝑑𝑑



=



1



2 𝑥𝑥



dan



𝑑𝑑𝑦𝑦2 𝑑𝑑𝑑𝑑



=−



1



2 𝑥𝑥



Pembahasan Turunan y terhadap x juga dapat ditentukan tanpa kita harus mengetahui persamaan fungsinya. Dengan menurunkan kedua ruas kita peroleh 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑦𝑦 2



𝑦𝑦 2



− 𝑥𝑥 =



𝑑𝑑 − 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 2𝑦𝑦 − 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑



=0



=0



=



1 2𝑦𝑦



0



Latihan 1 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = 25 di titik (3, –4).



Turunan Implisit PROSEDUR Langkah-langkah berikut digunakan untuk menentukan turunan implisit. (1) Turunkan kedua ruas terhadap x, anggap y sebagai fungsi terdiferensialkan terhadap x. (2) Asingkan suku-suku dy/dx pada satu ruas persamaan, kemudian selesaikan dy/dx.



Latihan 2 y 2



2 𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥 2 + sin 𝑥𝑥𝑥𝑥



x



Tentukan dy/dx jika 𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥 2 + sin 𝑥𝑥𝑥𝑥



Latihan 3 Tentukan 𝑑𝑑2 𝑦𝑦⁄𝑑𝑑𝑑𝑑 2 jika 2𝑥𝑥 3 − 3𝑥𝑥 2 = 8.



Tugas y



𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥 3



(1, 1)



x (1, –1) 2𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 2 = 5



Apakah ada yang spesial dari garis singgung kurva 𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥 3 dan 2𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 2 = 5 di titik 1, ±1 ? Berikan alasan.



Nilai Maksimum dan Minimum



Pertanyaan Awal Apa yang dapat kalian amati pada grafik f ketika x = 1 dan 5?



y 4



y = f(x) 2



0



2



4



6



x



Maksimum dan Minimum Absolut DEFINISI Misalkan c adalah bilangan dalam doman D fungsi f. Maka f(c) merupakan • Nilai maksimum absolut dari f di D jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di D. • Nilai minimum absolut dari f di D jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di D. Nilai maksimum dan minimum disebut sebagai nilai ekstrem.



Contoh 1



–2



y



y



y



y



2



2



2



2



0



2



y = x2 pada (–∞, ∞) Hanya min absolut



x



–2



0



2



x



y = x2 pada [0, 2] Maks dan min absolut



–2



0



2



y = x2 pada (0, 2] Hanya maks absolut



x



–2



0



2



x



y = x2 pada (0, 2) Tidak ada maks/min absolut



Teorema Nilai Ekstrem TEOREMA 1 Jika f kontinu pada selang tutup [a, b], maka f memiliki nilai maksimum absolut f(c) dan nilai minimum absolut f(d) untuk beberapa bilangan c dan d di [a, b].



Latihan 1 y



–1



y



1



y = f(x)



0



1



–1



1



x



–1



0 –1



y = g(x)



1



x



Tentukan nilai ekstrem absolut fungsi f dan g di samping. Apakah kedua fungsi tersebut memenuhi Teorema Nilai Ekstrem?



Maksimum dan Minimum Lokal DEFINISI Misalkan c adalah bilangan dalam domain D fungsi f. Maka f(c) merupakan • Nilai maksimum lokal dari f jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x dalam beberapa selang buka yang memuat c. • Nilai minimum lokal dari f jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x dalam beberapa selang buka yang memuat c.



y



Maks lokal



Min lokal c1



Min lokal c2



c3



x



Teorema Turunan Pertama untuk Nilai-Nilai Ekstrim Lokal TEOREMA 2 Jika f memiliki nilai maksimum atau minimum lokal di c dan f’(c) ada, maka f’(c) = 0.



Calon Titik Ekstrim Lokal f’(d) = 0



f’(c) tidak ada f’(e) tidak ada a



c



d



e



b



x



Titik Kritis DEFINISI Titik kritis suatu fungsi f adalah c dalam domain f sedemikian sehingga f’(c) = 0 atau f’(c) tidak ada.



Latihan 2 –25



Tentukan titik-titik kritis fungsi f berikut pada [–3, 3]. –4



4 –5



𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 + 3



Menentukan Maksimum dan Minimum Absolut METODE SELANG TUTUP Penentuan nilai maksimum dan minimum absolut fungsi kontinu pada selang tutup [a, b] dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut. 1. 2. 3.



Tentukan nilai f di titik-titik kritis pada (a, b). Tentukan nilai f di titik-titik ujung selang [a, b]. Nilai terbesar dari nilai-nilai pada Langkah 1 dan 2 merupakan nilai maksimum absolut; nilai terkecil dari nilai-nilai tersebut merupakan nilai minimum absolut.



Latihan 3 Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut fungsi f pada Latihan 2.



Tugas Setiap Detik Berharga Anda harus pergi dari titik P untuk menolong seseorang yang akan tenggelam dalam danau, yang posisinya 50 m dari titik Q di pantai dan titik tersebut terletak 50 m dari posisi Anda, perhatikan gambar di samping. Jika Anda dapat berlari dengan kecepatan 4 m/s dan berenang dengan kecepatan 2 m/s, di titik manakah seharusnya Anda mulai berenang?



P



50 m 50 – x



Q x 50 m



Turunan dan Grafik Fungsi



Fungsi Naik dan Fungsi Turun DEFINISI Suatu fungsi f dikatakan naik pada selang I jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 < 𝑓𝑓 𝑥𝑥2



ketika 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 dalam I



Suatu fungsi f dikatakan turun pada selang I jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 > 𝑓𝑓 𝑥𝑥2



ketika 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 dalam I



y



0



y = f(x)



x1



x2



x



f naik: f(x1) < f(x2) ketika x1 < x2 y



0



y = f(x)



x1



x2



x



f turun: f(x1) > f(x2) ketika x1 < x2



Apa yang Ditunjukkan f’ Tentang f? y



D



B



C A 0



x



Uji Naik/Turun Teorema 1 (a) Jika f’(x) > 0 pada suatu selang, maka f naik pada selang tersebut. (b) Jika f’(x) < 0 pada suatu selang, maka f turun pada selang tersebut.



Uji Naik/Turun Bukti (a) Misalkan x1 dan x2 sembarang dua bilangan dalam suatu selang dengan x1 < x2. Berdasarkan definisi fungsi naik, kita akan tunjukkan bahwa f(x1) < f(x2). Karena f’(x) > 0, maka f terdiferensialkan dalam [x1, x2]. Sehingga berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, ada bilangan c di antara x1 dan x2 sedemikian



sehingga f(x2) – f(x1) = f’(c)(x2 – x1) Karena f’(c) > 0 dan (x2 – x1) > 0, maka ruas kanan persamaan sebelumnya positif. f(x2) – f(x1) > 0 atau f(x2) > f(x1) Sehingga f fungsi naik. (b) Bagian (b) dapat dibuktikan dengan cara serupa.



Latihan 1 Tentukan di mana fungsi f(x) = x4 – 2x2 + 3 naik dan di mana fungsi tersebut turun.



Nilai-Nilai Ekstrem Lokal Teorema 2 Uji Turunan Pertama Misalkan c adalah titik kritis fungsi kontinu f. (a) Jika f’ berubah dari positif ke negatif di c, maka f memiliki maksimum lokal di c. (b) Jika f’ berubah dari negatif ke positif di c, maka f memiliki minimum lokal di c. (c) Jika f’ positif di kiri dan kanan c, atau negatif di kiri dan kanan c, maka f tidak memiliki lokal maksimum atau minimum di c.



Ilustrasi Uji Turunan Pertama y



y



y



f’(x) > 0



f’(x) < 0 f’(x) > 0



f’(x) < 0



f’(x) > 0 f’(x) < 0



0



y



c



(a) Maksimum lokal



x



0



c



(b) Minimum lokal



x



f’(x) < 0



f’(x) > 0 0



c



(c) Tidak ada maks atau min



x



0



c



(d) Tidak ada maks atau min



x



Latihan 2 Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal fungsi f pada Latihan 1.



Kecekungan DEFINISI Grafik fungsi terdiferensialkan y = f(x) (a) terbuka ke atas pada selang I jika f’ naik pada I; (b) terbuka ke bawah pada selang I jika f’ turun pada I.



y y = x3 f’ naik f’ turun



0



x



Uji Kecekungan Teorema 3



y



(a) Jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f terbuka ke atas pada I. (b) Jika f”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f terbuka ke bawah pada I.



y = x2 2 y” > 0



y” > 0 –1



0



x



Titik Belok DEFINISI Titik P pada kurva y = f(x) disebut titik belok jika f kontinu di titik tersebut, dan kecekungan kurvanya berubah (dari terbuka ke atas menjadi terbuka ke bawah, atau sebaliknya).



Latihan 3 Sketsalah grafik fungsi f yang memenuhi kondisi-kondisi berikut. (a) f(0) = 0, f(2) = 3, f(4) = 6, f’(0) = f’(4) = 0. (b) f”(x) > 0 untuk x < 1 dan f”(x) < 0 untuk x > 1.



Uji Turunan Kedua Teorema 4 Misalkan f” kontinu di dekat c. (a) Jika f’(c) = 0 dan f”(c) > 0, maka f memiliki minimum lokal di c. (b) Jika f’(c) = 0 dan f”(c) < 0, maka f memiliki maksimum lokal di c.



Latihan 4 Sketsa grafik fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 4 − 4𝑥𝑥 3 + 10



dengan langkah-langkah berikut. (a) Tentukan dimana ekstrim f terjadi. (b) Tentukan selang ketika f naik dan selang ketika f turun. (c) Tentukan dimana grafik f terbuka ke atas dan di mana f terbuka ke bawah. (d) Sketsa bentuk umum grafik f. (e) Plot beberapa titik, misalkan titik-titik maksimum dan minimum lokal, titiktitik belok, dan titik-titik potong sumbu-x dan sumbu-y.



Rangkuman Sketsa Grafik



Panduan Sketsa Grafik y = f(x) 1. Domain. Tentukan domain D dari f, yaitu himpunan nilainilai x dimana f didefinisikan. 2. Simetri. Gunakan kesimetrian fungsi. Apakah f fungsi genap? Fungsi ganjil? 3. Turunan pertama dan kedua. Informasi ini berguna untuk menentukan nilai



ekstrem, kecekungan, titik belok, dan selang naik/turun. 4. Titik kritis dan titik belok. Tentukan titik-titik dimana f’(x) = 0 atau f’(x) tidak terdefinisi. Tentukan titiktitik dimana f”(x) = 0 atau f”(x) tidak terdefinisi.



Panduan Sketsa Grafik y = f(x) 5. Selang naik/turun dan terbuka ke atas/bawah. Turunan pertama digunakan untuk menentukan selang naik/turun. Turunan kedua digunakan untuk menentukan selang terbuka ke atas/bawah. 6. Nilai ekstrem dan titik belok.



Gunakan turunan pertama atau kedua untuk mengklasifikasi titik-titik kritis. 7. Asimtot dan perilaku ujung. Asimtot vertikal sering muncul ketika penyebutnya nol. Tentukan limit x → ±∞ untuk menentukan asimtot horizontal.



Panduan Sketsa Grafik y = f(x) 8. Titik potong. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu-y dengan mensubstitusi x = 0. Titik potong sumbu-x dapat dicari dengan menyelesaikan f(x) = 0.



9. Sketsa grafik. Dengan menggunakan semua informasi 1–8, sketsalah grafik fungsi yang diberikan.



Contoh 1 Pemanasan Berikut ini merupakan informasi mengenai turunan pertama dan kedua fungsi f yang kontinu pada (−∞, ∞). Rangkumlah informasi tersebut dengan garis bilangan, dan sketsalah kemungkinan grafik fungsi f. f’ < 0, f” > 0 pada (−∞, 0) f’ > 0, f” < 0 pada (1, 2) f’ < 0, f” > 0 pada (3, 4)



f’ > 0, f” > 0 pada (0, 1) f’ < 0, f” < 0 pada (2, 3) f’ > 0, f” > 0 pada (4, ∞)



Garis Bilangan f’ < 0, f” > 0



f’ > 0, f” > 0



Turun Ter. ke atas



f’ > 0, f” < 0



Naik Ter. ke atas 0



Minimum lokal



f’ < 0, f” > 0



Naik Turun Ter. ke bawah Ter. ke bawah 1



Titik belok



f’ < 0, f” < 0



2 Maksimum lokal



f’ > 0, f” > 0



Turun Ter. ke atas 3



Naik Ter. ke atas 4



Titik belok Minimum lokal



Sketsa Grafik y = f(x) y = f(x)



0



1



2



3



4



x



Latihan 1 Fungsi Polinomial Gunakan panduan mensketsa grafik sebelumnya untuk menggambar grafik fungsi f berikut pada domainnya. 𝑥𝑥 3 − 400𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 3



Latihan 2 Fungsi Rasional Sketsalah grafik fungsi g berikut pada domainnya. 10𝑥𝑥 3 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 2 𝑥𝑥 − 1



Tugas Sketsa f dari Grafik f’ dan f” Gambar di samping menunjukkan grafik turunan pertama dan turunan kedua fungsi y = f(x). Jika grafik f melalui titik P, sketsalah grafik f tersebut.



y



y = f’(x) y = f”(x)



0



x



Optimasi Terapan & Aturan L’Hôpital



Optimasi Terapan Menyelesaikan Masalah Optimasi Terapan 1. Baca masalahnya. Apa yang diberikan? Kuantitas apa yang akan dioptimasi? 2. Buat gambar. Gambarlah informasi penting dalam soal. 3. Identifikasi variabel. Daftarlah semua relasi dalam gambar dan soal sebagai suatu persamaan atau bentuk aljabar, dan identifikasi variabel yang tidak



diketahui. 4. Tulis persamaan untuk kuantitas yang tidak diketahui. Jika bisa, nyatakan kuantitas yang tidak diketahui sebagai sebuah fungsi. 5. Ujilah titik-titik kritis dan titiktitik ujung dalam domain kuantitas yang tidak diketahui.



Latihan 1 BIAYA MINIMUM Kaleng aluminium yang berbentung tabung akan dibuat untuk menampung air 1 L. Tentukan ukuran kaleng tersebut agar biaya untuk membeli aluminium seminimum mungkin.



Latihan 2 PENDAPATAN MAKSIMUM Sebuah toko telah menjual 200 TV layar datar dalam seminggu dengan harga satuan 3,5 juta rupiah. Suatu survei pasar menunjukkan bahwa setiap potongan harga sebesar Rp100.000,00 yang diberikan kepada pembeli, maka banyaknya TV yang terjual akan naik sebanyak 20 dalam seminggu. Tentukan fungsi harga (fungsi permintaan) dan fungsi pendapatannya. Seberapa besar potongan harga yang harus ditawarkan agar toko tersebut mendapatkan pendapatakan maksimum?



Latihan 3 MELIPAT KERTAS Bagian pojok kanan atas kertas berukuran 21 cm × 29,7 cm dilipat sampai menyentuk sisi bawahnya (perhatikan gambar). Bagaimana Anda melipatnya agar menghasilkan panjang lipatan terpendek? Dengan kata lain, bagaimana Anda memilih x untuk meminimumkan y?



𝑦𝑦



21 cm



29,7 cm



𝑥𝑥



Aturan L’Hôpital Misalkan f dan g terdiferensialkan pada selang buka I yang memuat a dengan g’(x) ≠ 0 pada I ketika x ≠ a. Jika lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 0 maka



𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 = lim lim 𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑔𝑔′ 𝑥𝑥



𝑥𝑥→𝑎𝑎



dengan syarat limit bentuk yang di ruas kanan ada.



𝑥𝑥→𝑎𝑎



Latihan 3 Menggunakan Aturan L’Hôpital Tentukan limit-limit berikut ini. (a) (b)



𝑥𝑥 3 +𝑥𝑥 2 −2𝑥𝑥 lim 𝑥𝑥−1 𝑥𝑥→1 9−3𝑥𝑥−3 lim 𝑥𝑥 𝑥𝑥→0



Referensi Boelkins, M. R., Austin, D., & Schlicker, S. (2016). Active calculus, 2016 edition. Allendale: Orthogonal Publishing L3C. Briggs, W. L., Cochran, L., Gillett, B., & Schulz, E. P. (2013). Calculus for scientists and engineers early transcendentals. Boston, MA: Pearson Education. Briggs, W. L., Cochran, L., Gillett, B., & Schulz, E. P. (2015). Calculus: Early transcendentals. Boston: Pearson. Goldstein, L. J. (2014). Calculus & its applications. Boston: Pearson Education.



Hass, J., Weir, M. D., & Thomas, G. B. (2016). University calculus: Early transcendentals. Boston: Pearson. Kristanto, Y. D., & Putra, D. W. (2018). Students' Mathematical Reasoning in Exploring Functions and Its Derivative. In B. Utomo, J. Donovan, H. Avci, & F. Lin (Eds.), Proceedings of International Conference on Research in Education (pp. 383-392). Yogyakarta: Sanata Dharma University Press.



Kristanto, Y. D., Melissa, M. M., & Panuluh, A. H. (2019). Discovering the formal definition of limit through exploration in dynamic geometry environments. Journal of Physics: Conference Series, 1180, 012004. doi:10.1088/17426596/1180/1/012004 Larson, R., & Edwards, B. H. (2014). Calculus. Boston, MA: Brooks/Cole.



Stewart, J. (2016). Calculus. Boston, MA: Cengage Learning. Thomas, G. B., Weir, M. D., & Hass, J. (2016). Thomas calculus. Upper Saddle River: Pearson. Varberg, D., Purcell, E., & Rigdon, S. (2006). Calculus. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.