CBR Aljabar Linier [PDF]

Citation preview

CRITICAL BOOK REPORT ALJABAR LINEAR



OLEH o o o o o



Indra S. Siburian Josua Butar Butar M. Fajri Siahaan Muliadi Matanari Syarif Hidayatullah Rambe



5183530013 5183530014 5183530012 5183230011 5183230014



TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI MEDAN



KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena penulis masih dapat membuat tugas Critical Book Report (CBR) ini tepat pada waktunya. Makalah ini membahas tentang “Aljabar Linear”. Adapun tugas ini dibuat untuk memenuhi tugas CBR mata kuliah Aljabar Linear. Penulis berharap makalah ini menjadi salah satu referensi bagi pembaca bila mana hendak menkritik sebuah buku. Kritik dan saran yang membangun dari pembaca sangat kami harapkan supaya makalah ini menjadi lebih baik. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih kepada pembaca atas perhatiannya.



Medan , Oktober 2019



Penulis



DAFTAR ISI KATA PENGANTAR DAFTAR ISI



………………………………………………………….............. ………………………………………………………....……….



BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Tujuan C. Permasalahan



……………..……………………………………….…………. ............……...……..………......……….…….………………… …......…….…………………………….………………………. …...…….....…………….………………………………………



BAB II PEMBAHASAN 2.1 IDENTITAS BUKU.



....…………………………….………………..………………. ....................................................................................................



2.2. RINGKASAN BUKU .................................................................................................... BAB III PENUTUP



…………………………………………………………………



A. Kesimpulan



…........................................................................................



DAFTAR PUSTAKA



….………………………....……….……………......……



BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Buku adalah sumber dari ilmu pengetahuan. Buku adalah suatu karya yang mampu mengubah peradaban dunia. Salah satu faktor kemajuan teknologi dari dulu sampai sekarang adalah buku. Jadi buku sangat penting dalam kemajuan suatu peradaban karena wawasan dan ilmu bisa kita dapat dari buku. Banyak jumlah dan jenis buku yang ada sekarang. Kita bisa lihat suatu buku memiliki judul yang sama tetapi penulis yang berbeda. Banyaknya penulis dalam pembuatan buku menjadi hal yang menguntungkan bagi pembaca sebab terdapat perbedaan pemahaman antara 1 penulis dengan yang lain. Sehingga ini bisa menjadi referensi yang baik dalam melakukan berbagai hal yang terkait dengan suatu kemajuan misalnya dalam melakukan penelitian, eksperimen dan hal lainnya. Kita tahu di dunia ini tidak ada yang sempurna. Dalam penulisan buku juga pasti banyak kelemahan. Untuk itu agar tidak terjadi kesalahan dalam menambah informasi bagi pembaca buku yang kita baca harus kita bandingkan dengan buku lain. Disitu kita bisa tahu mana buku yang layak dipakai dan buku yang asal jadi. B. TUJUAN 1. Mengetahui konsep dan isi buku 2. Membandingkan isi dan konsep penyajian kedua buku 3. Menganalisis apa saja kekurangan dan kelebihan buku 4. Menambah wawasan dalam melakukan penulisan buku 5. Berpikir kritis terhadap penyajian penulisan buku C. PERMASALAHAN 1. Apakah isi buku cukup bermanfaat sebagai salah satu sumber belajar 2. Apakah metode dan konsep pengarang sudah cocok dengan lingkungan yang sedang kita hadapi 3. Apakah isi buku sama dengan buku yang sejenis



BAB II PEMBAHASAN 2.1 IDENTITAS BUKU Buku yang dipakai sebagai bahan untuk critical book report adalah : BUKU 1 Judul : DIKTAT ALJABAR LINIER Penyusun : Drs. Marsangkap Silitonga, M.Pd. BUKU 2 Judul Penulis Tahun Pembuatan Penerbit ISSN



: ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA : James R. Kirkwood & Bessie H. Kirkwood : 2018 : CRC Press : 978-1-4987-7846-6



2.2 RINGKASAN BUKU



A. Vektor dan Matriks BUKTI POSITIF Konsep pembuktian adalah pusat dari matematika yang lebih tinggi. Matematikawan tidak mengklaim pernyataan sebagai "fakta" sampai terbukti benar menggunakan deduksi logis. Karena itu, tidak ada yang bisa berhasil matematika yang lebih tinggi tanpa menguasai teknik yang diperlukan untuk menyediakan bukti seperti itu. Aljabar linier, selain memiliki banyak aplikasi praktis dalam sains dan teknik, juga dapat digunakan untuk memperkenalkan keterampilan menulis bukti. Bagian 1.3 memberikan ikhtisar pengantar alat penulisan bukti dasar yang digunakan ahli matematika setiap hari dasar. Bukti lain yang diberikan di seluruh teks harus diambil sebagai model untuk membangun bukti Anda sendiri saat menyelesaikan latihan. Dengan alat dan model ini, Anda bisa mulai kembangkan keterampilan menulis bukti yang penting untuk kesuksesan Anda di masa depan dalam matematika Studi kami tentang aljabar linier dimulai dengan vektor dan matriks: dua yang paling praktis konsep kal dalam matematika. Anda mungkin sudah terbiasa dengan penggunaan vektor menggambarkan posisi, gerakan, dan kekuatan. Dan, seperti yang akan kita lihat nanti, matriks adalah kuncinya untuk mewakili gerakan yang "linear" di alam, seperti gerakan kaku suatu objek di ruang atau pergerakan gambar di layar komputer. Dalam aljabar linier, objek yang paling mendasar adalah vektor. Kami mendefinisikan vektor dalam Bagian 1.1 dan 1.2 dan menggambarkan sifat aljabar dan geometrisnya. Tautannya antara manipulasi aljabar dan intuisi geometris adalah tema yang berulang dalam linier aljabar, yang kami gunakan untuk menetapkan banyak hasil penting Dalam Bagian 1.3, kami memeriksa teknik yang berguna untuk membaca dan menulis bukti. Dalam Bagian 1.4 dan 1.5, kami memperkenalkan matriks, objek fundamental lain, yang properti dasar sejajar dengan vektor. Namun, pada akhirnya kita akan menemukan banyak perbedaan antara sifat vektor dan matriks yang lebih maju, khususnya tentang multiplikasi matriks



1.1 OPERASI DASAR DENGAN VEKTOR Di bagian ini, kami memperkenalkan vektor dan mempertimbangkan dua operasi pada vektor: skalar perkalian dan penambahan. Biarkan R menunjukkan himpunan semua bilangan real (yaitu, semua mengoordinasikan nilai pada garis bilangan real) Definisi Vektor Definisi Sebuah n-vektor nyata adalah urutan urutan bilangan real (kadang-kadang disebut sebagai n-tupel bilangan real yang dipesan). Himpunan semua n-vektor adalah dilambangkan R " Sebagai contoh, R2 adalah himpunan semua 2-vektor (memerintahkan 2-tupel = pasangan terurut) daribilangan real; itu termasuk [2, -4] dan [-6.2,3.14]. R3 adalah himpunan semua 3-vektor(memerintahkan 3-tupel = memerintahkan tiga kali lipat) dari bilangan real; itu termasuk [2, -3,0] dan [- √2,42,7,π]. Vektor dalam R "yang memiliki semua entri n sama dengan nol disebut vektor nnolDalam R2 dan R3, vektor nol adalah [0,0] dan [0,0, 0], masing-masing Dua vektor dalam R "sama jika dan hanya jika semua entri yang sesuai (disebut coordinates) di n-tuple mereka setuju. Yaitu, [x1, x2, ..., xn] = [yi, y2, ..., ynl jika dan hanya ifxy, x2 = y2, ..., dan xn = Yn. Satu nomor (seperti -10 atau 2.6) sering disebut skalar untuk membedakannya sebuah vektor



Interpretasi Geometris dari Vektor Vektor dalam R2 sering mewakili pergerakan dari satu titik ke titik lain dalam suatu koordinat pesawat. Dari titik awal (3,2) ke titik terminal (1, 5), ada penurunan bersih 2 unit sepanjang sumbu x dan peningkatan bersih 3 unit di sepanjang sumbu y. Sebuah vektor yang mewakili perubahan ini akan menjadi [-2,3], seperti yang ditunjukkan oleh panah pada Gambar 1.1. Vektor dapat diposisikan pada titik awal yang diinginkan. Misalnya, [- 2, 3] bisa juga mewakili pergerakan dari titik awal (9, -6) ke titik terminal (7, -3) .2 Vektor dalam R3 memiliki interpretasi geometris yang sama: 3-vektor digunakan untuk merepresentasikan mengirim pergerakan antar titik dalam ruang tiga dimensi. Misalnya, [2, -2,6] bisa mewakili pergerakan dari titik awal (2, 3, -1) ke titik terminal (4,1,5), seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.2.



Gambar 1.1 vektor (-2,3)



Gambar 1.2 vektor (2,-2,6) dengan inisial poin (2,3,-1)



Kombinasi Linier dari Vektor Definisi Biarkan vi, V2, ..., Vk menjadi vektor dalam R ". Kemudian vektor v adalah sebuah kombnasi linear dari Vi, V2, ..., Vk jika dan hanya jika ada skalars ci, C2, ..., Ck sedemikian rupa sehingga v = ciVi C2V2 + ... + C & V / k. Dengan demikian, kombinasi linear dari vektor adalah jumlah kelipatan skalar dari vektor tersebut. Misalnya, vektor [-2,8,5,0] adalah kombinasi linear dari [3,1, -2,2], [1,0, 3, -1] dan [4, -2,1,0] karena 2 [3,1, -2,2] 4 [1,0,3, -1] - 3 [4, -2,1,0] = [-2 , 8,5, 0] Perhatikan bahwa setiap vektor dalam R 'dapat diekspresikan dengan cara yang unik sebagai kombinasi linear i,, dan k. Misalnya, [3, -2,5] = 3 [1,0,0] 2 [0,1,0] 5 [0,0, 1] = 3i + 2j + 5k. Secara umum, [a, b, c] = ai + bj + ck. Juga, setiap vektor dalam R "dapat berupa dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor satuan standar e1 = [1,0,0, ..., 0], e2 = [0, 1,0,., 0 .., e ,, = [0,0, ..., 0,1] (mengapa?) Salah satu cara yang bermanfaat untuk menggambarkan kombinasi linear dari vektor vi, V2, ..., Ve adalah dengan ingat bahwa masing-masing vektor mewakili sejumlah gerakan tertentu arah. Ketika kita menggabungkan vektor-vektor ini menggunakan penjumlahan dan skalar multiplikasi titik akhir dari setiap vektor kombinasi linier mewakili "tujuan" yang bisa tercapai menggunakan operasi ini. Misalnya, kombinasi linier w = 2 [1,3] 4, -5312, -1] = [6, adalah tujuan yang dicapai dengan bepergian ke arah [1,31, tetapi melakukan perjalanan dua kali panjangnya, kemudian berjalan ke arah yang berlawanan dengan [4, -5] tetapi setengah panjangnya, dan akhirnya bepergian ke arah [2, -1], tetapi tiga kali lipatnya panjang Kami juga dapat mempertimbangkan sekumpulan semua tujuan yang mungkin dapat dicapai dengan menggunakan kombinasi linear dari serangkaian vektor tertentu. Misalnya, himpunan semua linier com binasi dalam R3 dari vi = [2,0,1] dan v2 = [0,1, -2] adalah himpunan semua vektor (mulai di asal) dengan titik akhir berbaring di pesawat melalui titik asal yang mengandung vi dan V2 Aplikasi Fisik Penambahan dan Penggandaan Skalar Penambahan dan perkalian skalar vektor sering digunakan untuk memecahkan masalah dalam elemen fisika tambahan. Ingat fakta trigonometri bahwa jika v adalah vektor dalam R2 yang membentuk sebuah sudut 0 dengan sumbu x positif, lalu v = [|| v || cos 0, || V || sin 0]. 1.2 PRODUK DOT Kita sekarang membahas operasi vektor penting lainnya: produk titik. Setelah menjelaskan beberapa properti dari produk titik, kami menunjukkan cara menghitung sudut antara vektor dan untuk "memproyeksikan" satu vektor ke yang lain



Definisi dan Properti Produk Dot Definisi Biarkan x = [x, x2, ..., x,] dan y = [yı, y2, ..., yn] menjadi dua vektor dalam R ".The titik (dalam) produk x dan y diberikan oleh 𝑛



𝑥. 𝑦 = 𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 + … … … + 𝑥𝑛 𝑦𝑛 = ∑ 𝑥𝑘 𝑦𝑘 𝑘=1



Misalnya, jika x = [2, -4,3] dan y = [1,5, -2], maka x-y = (-4)(5) + (2)(1) + (3) (- 2) = 24. Perhatikan bahwa produk titik melibatkan dua vektor dan hasilnya adalah skalar, sedangkan perkalian skalar melibatkan skalar dan vektor dan hasilnya adalah vektor. Juga, produk titik tidak didefinisikan untuk vektor yang memiliki angka berbeda koordinat. Teorema berikutnya menyatakan beberapa hasil dasar yang melibatkan titik produk Teorema 1.5 Jika x, y, dan z adalah vektor dalam R ", dan jika c adalah skalar, maka Komutatifitas Produk Dot



Sudut antara Dua Vektor Produk titik memungkinkan kita untuk menemukan sudut 0 antara dua vektor bukan nol x dan y dalam R2 atau R yang dimulai pada titik awal yang sama. Sebenarnya ada dua sudut yang terbentuk oleh vektor x dan y, tetapi kami selalu memilih sudut 0 antara dua vektor menjadi yang berukuran antara 0 dan r radian. Perhatikan vektor x - y pada Gambar 1.15, yang dimulai pada titik terminal dari y dan berakhir pada titik terminal x. Karena 00 0, maka sudut antara x dan y adalah akut. Kondisi "x dan y adalah vektor bukan nol dalam R" "mengatur tahapan untuk implikasinya datang. Kondisi tersebut diperlakukan sebagai informasi yang diberikan bersama dengan premis di bukti nyata "Alf dan Hanya Jika B" Bukti Beberapa teorema memiliki bentuk "A jika dan hanya jika B." Ini benar-benar kombinasi dari dua pernyataan: "Jika A maka B" dan "IfB maka A." Kedua pernyataan ini harus ditunjukkan benar untuk sepenuhnya melengkapi bukti pernyataan aslinya. Intinya, kita harus menunjukkan A dan B secara logika ekuivalen: setengah "jika A maka B" berarti bahwa setiap kali A benar, B harus mengikuti; setengah "jika B lalu A" berarti bahwa setiap kali B benar, A harus mengikuti. Karena itu, A benar tepat ketika B benar. Sebagai contoh dari "jika dan hanya jika "argumen, kami membuktikan kasus khusus Teorema 1.9 berikut Hasil 4 Misalkan x dan y menjadi vektor bukan nol dalam R ". Kemudian x y = || || y || jika dan hanya jika y adalah kelipatan skalar positif dari x Dalam bukti "jika dan hanya jika", biasanya baik untuk memulai dengan menyatakan dua bagian pernyataan "jika dan hanya jika". Ini memberikan gambaran yang lebih jelas tentang apa yang diberikan dan apa harus dibuktikan di setiap babak. Dalam Hasil 4, kedua bagiannya adalah | || y | 1. Misalkan y = cx untuk beberapa ce positif R. Buktikan bahwa x -y = xy 2. Misalkan xy Buktikan bahwa ada beberapa c> 0 sehingga y = cx. Asumsi "Biarkan x dan y menjadi vektor bukan nol dalam R" "dianggap diberikan informasi untuk kedua bagian Converse dan Inverse Seiring dengan kontrapositif, ada dua pernyataan menarik terkait lainnya kebalikan dan kebalikan: Pernyataan Asli Kontrapositif Jika A maka B Jika tidak B maka bukan A Berbicara Jika B maka A Terbalik Jika bukan A maka bukan B Perhatikan bahwa, ketika "Jika A maka B" dan sebaliknya "Jika B maka A" digabungkan bersama, mereka membentuk pernyataan "A jika dan hanya jika B". Meskipun kebalikan dan kebalikannya mungkin menyerupai kontrapositif, berhati-hatilah baik kebalikan maupun kebalikannya tidak secara logis setara dengan pernyataan asli. Namun, kebalikan dan kebalikan dari pernyataan adalah setara satu sama lain, dan keduanya benar atau keduanya salah bersama. Misalnya, pertimbangkan "Jika x = y, maka xy = || || 2," untuk vektor dalam R



". Jika xy, maka xy = || X || Jika xy, maka xy Pernyataan Asli setara satu sama lain Kontrapositif Jika xy x |, lalu x = y BerbicarA |||| 2 | setara satu sama lain Terbalik Jika xy, maka xyPerhatikan bahwa dalam hal ini pernyataan asli dan kontrapositif keduanya benar; itu sebaliknya dan kebalikan keduanya salah Waspadalah! Mungkin saja sebuah pernyataan dan kebalikannya memiliki kebenaran yang sama nilai. Misalnya, kebalikan dari Hasil 6 adalah "Jika x 0, maka || | = 0," dan ini juga pernyataan yang benar. Moral di sini adalah bahwa pernyataan dan kebalikannya secara logis Menyangkal Pernyataan dengan Penghitung dan Konektivitas Ketika mempertimbangkan beberapa pernyataan A, kita sering tertarik dengan negasinya, "tidak a." Misalnya, negasi digunakan dalam membangun alat kontrasepsi, juga di bukti oleh kontradiksi. Tentu saja, "bukan A" benar ketika tepatnya A salah, dan "not A" adalah false tepatnya ketika A benar. Artinya, A dan "bukan A" selalu bertolak belakang nilai-nilai kebenaran. Meniadakan pernyataan sederhana biasanya mudah. Namun, ketika sebuah pernyataan melibatkan pembilang (seperti semua, beberapa, atau tidak ada) atau melibatkan penghubung (seperti dan atau atau), proses negasi bisa rumit Pertama-tama kita membahas pernyataan yang menyangkal dengan bilangan. Sebagai contoh, misalkan S mewakili beberapa himpunan vektor dalam R3 dan A = "Semua vektor di S adalah vektor satuan." Itu negasi yang benar dari A adalah "bukan A" = "Beberapa vektor dalam S bukan vektor satuan." Ini pernyataan memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dalam semua kasus. Siswa sering keliru dalam memberi B "Tidak ada vektor dalam S adalah vektor satuan" sebagai negasi dari A. Ini tidak benar, karena jika S berisi vektor satuan dan non-satuan, maka A dan B akan salah. Karenanya, A dan B tidak memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dalam semua kasus. Selanjutnya pertimbangkan C = "Ada bilangan real c sehingga y = cx," mengacu pada spesifik vektor x dan y.Lalu "bukan C" = "Tidak ada bilangan real c sedemikian sehingga y = cx." Bergantian, "bukan C" "Untuk setiap bilangan real c, y cx." Ada dua jenis bilangan. Pengukur universal (seperti setiap, semua, tidak, dan tidak ada) mengatakan bahwa pernyataan itu benar atau salah dalam setiap contoh, dan eksistensial quantifier (seperti beberapa dan ada) mengklaim bahwa setidaknya ada satu instance di mana pernyataan tersebut terpenuhi. Pernyataan A dan "bukan C" di bagian sebelumnya contoh melibatkan pembilang universal; "bukan A" dan C menggunakan penjumlahan eksistensial. Ini contoh mengikuti pola umum Aturan untuk Menyangkal Pernyataan dengan Quantifiers Peniadaan pernyataan yang melibatkan quantifier universal menggunakan quantifier eksistensial. Peniadaan pernyataan yang melibatkan quantifiereksistensial menggunakan quantifier universal. Oleh karena itu, meniadakan pernyataan mengubah jenis quantifier yang digunakan. Selanjutnya, pertimbangkan untuk meniadakan koneksi dan / atau. Aturan formal untuk meniadakan pernyataan tersebut dikenal sebagai Hukum DeMorgan Aturan untuk Menyangkal Pernyataan dengan Konektivitas (Hukum DeMorgan) Negasi "A atau B" adalah "(bukan A) dan (bukan B)." Negasi "A dan B" adalah "(bukan A) atau (bukan B)." Perhatikan bahwa ketika meniadakan, atau dikonversi ke dan, dan sebaliknya Tabel 1.1 mengilustrasikan aturan untuk meniadakan quantifiers dan connectives. Di meja,S mengacu pada satu set vektor dalam R ', dan n mewakili bilangan bulat positif. Hanya sebagian saja pernyataan itu benar. Apapun, setiap pernyataan memiliki nilai kebenaran yang berlawanan penyangkalan Menyangkal Pernyataan kita harus membuktikan bahwa pernyataan yang diberikan salah dan tidak benar. Untuk membantah Sering sebuah pernyataan A, kita harus membuktikan "bukan A." Ada dua kasus



Kasus 1: Pernyataan yang melibatkan pembilang universal: Pernyataan A dengan satu pembilang versal dibantah dengan menemukan contoh tandingan tunggal yang membuat A salahSebagai contoh, pertimbangkan B = "Untuk semua x dan y dalam R3, || x + y || = || || + || y ||." Kami membantah B dengan menemukan contoh tandingan - yaitu, kasus khusus di mana B salah. Membiarkan x [3,0,0] dan y [0,0,4], kita mendapatkan || x + y || = || [3,0,4] || = 5. Namun || X || 3 dan lly 4, jadi x + y || || x || + || y | , dan B ditolak. Terkadang kita ingin menyangkal implikasi "Jika A maka B." Implikasi ini melibatkan quantifier universal karena menyatakan "Dalam semua kasus di mana A benar, B adalah juga benar. "Karena itu B. OPERASI DASAR DENGAN MATRIK Kami sekarang memperkenalkan struktur aljabar baru: matriks. Matriks adalah array dua dimensi yang dibuat dengan mengatur vektor ke dalam baris dan kolom. Kami memeriksa beberapa jenis matriks dasar, serta tiga operasi dasar pada matriks dan propertinya. Definisi Matriks Definisi Matriks m x n adalah array persegi panjang dari bilangan real, disusun dalam kolom m dan n. Unsur-unsur matriks disebut entri. Ekspresi m x n menunjukkan ukuran matriks. Sebagai contoh, masing-masing dari berikut ini adalah matriks, terdaftar dengan ukurannya yang benar:



Berikut adalah beberapa konvensi yang perlu diingat tentang matriks. -



-



-



-



Kami menggunakan huruf kapital tunggal (atau disubkripsikan) untuk menunjukkan matriks (seperti A, B, C1, C2) berbeda dengan huruf tebal huruf kecil yang digunakan untuk mewakili vektor. Huruf kapital I dan O biasanya dicadangkan untuk jenis matriks khusus yang akan dibahas nanti. Ukuran matriks selalu ditentukan dengan menyatakan jumlah baris terlebih dahulu. Sebagai contoh, sebuah matriks 3 x 4 selalu memiliki tiga baris dan empat kolom, tidak pernah empat baris dan tiga kolom Matriks m x n dapat dianggap sebagai kumpulan vektor baris m, masing-masing memiliki koordinat n, atau sebagai koleksi vektor kolom n, masing-masing memiliki koordinat m. Matriks dengan hanya satu baris (atau kolom) pada dasarnya setara dengan vektor dengan koordinat dalam bentuk baris (atau kolom). Kita sering menulis aij untuk merepresentasikan entri pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A. Misalnya, dalam matriks A sebelumnya, a23 adalah entri -5 pada baris



kedua dan kolom ketiga. Matriks 3 x 4 khas C memiliki entri yang dilambangkan dengan



-



Entri diagonal utama dari matriks A adalah a11, a22, a33, ..., yang terletak pada garis diagonal yang ditarik ke kanan, mulai dari sudut kiri atas matriks.



Matriks muncul secara alami dalam banyak konteks. Misalnya, tabel dua dimensi. Jenis Matriks Khusus Kami sekarang menjelaskan beberapa jenis matriks penting. Matriks kuadrat adalah matriks n x n; yaitu, matriks memiliki jumlah yang sama baris sebagai kolom. Misalnya, matriks berikut adalah bujur sangkar:



Matriks diagonal adalah matriks persegi di mana semua entri yang tidak berada di diagonal utama adalah nol. Artinya, D adalah diagonal jika dan hanya jika itu persegi dan dij 0 untuk I x j. Sebagai contoh, berikut ini adalah matriks diagonal:



MULTIPLIKASI MATRIX Operasi lain yang bermanfaat adalah perkalian matriks, yang merupakan generalisasi dari produk titik vektor. Definisi Penggandaan Matriks Dua matriks A dan B dapat dikalikan (dalam urutan itu) hanya jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Dalam hal itu,



Ukuran produk AB = (jumlah baris A) x (jumlah kolom B). Yaitu, jika A adalah matriks mx n, maka AB hanya ditentukan ketika jumlah baris B adalah n - yaitu, ketika B adalah matriks nxp, untuk beberapa bilangan bulat p. Dalam hal ini, AB adalah matriks mxp, karena A memiliki baris m dan B memiliki kolom p. Entri AB yang sebenarnya diberikan oleh definisi berikut:



Definisi Jika A adalah matriks mxn dan B adalah matriks nxp, produk matriksnya C = AB adalah matriks mxp yang entri (i, j) adalah produk titik dari baris ke-i dari A dengan kolom ke-j dari B. Yaitu ,



Karena jumlah kolom dalam A sama dengan jumlah baris dalam B dalam definisi ini, setiap baris A berisi jumlah entri yang sama dengan setiap kolom B. Dengan demikian, dimungkinkan untuk melakukan produk titik yang diperlukan untuk menghitung C = AB . Kombinasi Linear dari Penggandaan Matriks : Membentuk kombinasi linear dari baris atau kolom matriks dapat dilakukan dengan sangat mudah menggunakan perkalian matriks, seperti yang diilustrasikan dalam contoh berikut. Contoh 4 Pertimbangkan matriksnya



Untuk membuat kombinasi linear dari baris A seperti 7 (baris pertama A) -8 (baris kedua A) + 9 (baris ketiga A), kita hanya perlu mengalikan A di sebelah kiri dengan vektor koefisien [7, -8, 9]. Itu adalah,



Demikian pula, kita dapat membuat kombinasi linear dari kolom A seperti 10 (kolom pertama A) -11 (kolom kedua A) + 12 (kolom ketiga A) -13 (kolom keempat A) dengan mengalikan A pada hak oleh vektor koefisien [10, -11, 12, -13]. Ini memberi



C. SISTEM PERSAMAAN LINIER a. Pendekatan Sistematis Salah satu masalah matematika penting yang sering muncul adalah kebutuhan untuk menguraikan data yang telah dicampur bersama oleh proses yang tampaknya tidak dapat dibalik. Masalah umum dari jenis ini adalah perhitungan rasio yang tepat dari unsur-unsur kimia yang digabungkan untuk menghasilkan senyawa tertentu MEMECAHKAN SISTEM LINEAR MENGGUNAKAN GAIMSIAN ELIMINATION Sistem Persamaan Linear Persamaan linear adalah persamaan yang melibatkan satu atau lebih variabel di mana hanya operasi perkalian dengan bilangan real dan penjumlahan istilah diizinkan. Misalnya, 6x-3y =4 dan 8x2 + 3x2 -4x3=- 20 adalah persamaan linear dalam dua dan tiga variabel, masing-masing. 3x1-2x2-5x3=4 2x1+4x2-x3=2 6x1-4x2-10x3=8 -4x1+8x2+9x3=-6 Dalam definisi ini, koefisien x1, x2,. . . , xn dapat dikumpulkan bersama dalam suatu mx n koefisien matriks



Jika dibiarkan



Jumlah Solusi untuk Sistem Hanya ada tiga kemungkinan untuk ukuran set solusi sistem linear: solusi tunggal, jumlah solusi yang tak terbatas, atau tidak ada solusi. 4x1-3x2=0 2x1-3x2=18



(di mana x1 dan x2 digunakan, bukan x dan y) memiliki solusi unik (3,4) karena itu adalah satu-satunya titik persimpangan dari dua garis. Di sisi lain, sistem 4x-6x=10 6x-9y=15 Eliminasi Gaussian eliminasi Gaussian, melibatkan secara sistematis mengganti sebagian besar koefisien dalam sistem dengan angka yang lebih sederhana (1’s dan 0’s) ke buat solusinya jelas



No solution Operasi Baris dan Notasi Mereka Ada tiga operasi yang diizinkan untuk digunakan pada matriks yang diperbesar dalam Metode eliminasi gaussian. Ini adalah sebagai berikut: Operasi Baris (I) Mengalikan satu baris dengan skalar bukan nol (II) Menambahkan kelipatan skalar dari satu baris ke baris lain (III) Mengganti posisi dua baris dalam matriks Strategi dalam Kasus Sederhana Dalam eliminasi Gaussian, bekerja pada satu kolom dari matriks augmented pada suatu waktu. Dimulai dengan kolom pertama, kami memilih baris 1 sebagai baris pivot awal kami, mengonversi (1,1) entri poros ke 1, dan targetkan (nol keluar) entri di bawah poros itu. Setelah masing-masing kolom disederhanakan, kita lanjutkan ke kolom berikutnya di sebelah kanan. Menggunakan Operasi Tipe (III) Jika pilihan logis untuk entri pivot di kolom itu adalah 0, tidak mungkin mengubah pivot menjadi 1 menggunakan operasi tipe (I). Seringkali, ini dilema dapat diatasi dengan terlebih dahulu menggunakan operasi tipe (III) untuk mengganti baris pivot dengan baris lain di bawahnya. Melewati Kolom entri pivot baru terletak secara horizontal ke kanan dari tempat biasanya GAUS-JORDAN ROW REDUCTION DAN REDUCED ROW FORMULIR ECHELON Di bagian ini, metode reduksi baris Gauss-Jordan, ekstensi dari metode eliminasi Gaussian. Pengantar Pengurangan Baris Gauss-Jordan Dalam metode eliminasi Gaussian, kami membuat matriks augmented untuk diberikan sistem linear dan sistematis berjalan melalui kolom dari kiri ke kanan, membuat pivot dan menargetkan entri (penekanan) di bawah pivot. Meskipun kita sesekali melompati kolom



Mengurangi Bentuk Eselon Baris Definisi Sebuah matriks dalam bentuk eselon baris [dikurangi] jika dan hanya jika semua berikut kondisi tahan: (1) Entri bukan nol pertama di setiap baris adalah 1. (2) Setiap baris berturut-turut memiliki entri nol pertama di kolom kemudian. (3) Semua entri [di atas dan] di bawah entri bukan nol pertama dari setiap baris adalah nol. (4) Semua baris nol penuh adalah baris terakhir dari matriks. Jumlah Solusi Metode reduksi baris Gauss-Jordan juga menyiratkan hal berikut: Jumlah Solusi Sistem Linear Biarkan AX= B menjadi sistem persamaan linear. Biarkan C menjadi bentuk eselon baris tereduksi yang diperbesar matriks diperoleh dengan mengurangi baris [A | B].  Jika ada deretan C yang memiliki semua nol di sebelah kiri bilah augmentasi tetapi dengan entri terakhir bukan nol, maka AX= B tidak memiliki solusi.  Jika tidak, tetapi jika salah satu kolom C di sebelah kiri bilah augmentasi tidak memiliki nol entri pivot, maka AX =B memiliki jumlah solusi yang tak terbatas. Kolom nonpivot sesuai untuk variabel (independen) yang dapat mengambil nilai apa pun, dan nilai sisanya variabel (tergantung) ditentukan dari mereka.  Kalau tidak, AX= B memiliki solusi unik Sistem Homogen Definisi Suatu sistem persamaan linear yang memiliki bentuk matriks AX O, di mana O mewakili matriks kolom nol, disebut sistem homogen 2x-3y= -4x+6y=0 dan 5x1-2x2+3x3=0 6x1+x2-7x3=0 -x1+3x2+x3=0 Aplikasi: Menyeimbangkan Persamaan Kimia Sistem homogen sering terjadi ketika menyeimbangkan persamaan kimia. Dalam kimia reaksi, kita sering tahu reaktan (zat awal) dan produk (hasil dari reaksi) 𝐻3 𝑃𝑂4 𝐶𝑎(𝑂𝐻)2 + 𝑎𝑠𝑎𝑚 𝑓𝑜𝑠𝑝𝑎𝑡 𝐾𝑎𝑙𝑠𝑖𝑢𝑚 ℎ𝑖𝑑𝑟𝑜𝑘𝑠𝑖𝑑𝑎



+ 𝐶𝑎3(PO4)2+H2O



Rumus empiris untuk reaksi ini adalah persamaan yang mengandung minimal bilangan bulat multipel dari reaktan dan produk sehingga jumlah atom masing-masing elemen setuju di kedua sisi. (Menemukan rumus empiris disebut keseimbangan) persamaan.) Dalam contoh sebelumnya, kami mencari integer positif minimal nilai a, b, c, dan d sedemikian rupa aH3 PO4 _bCa(OH)2 →cCa3 (PO4 )2 _dH2 O menyeimbangkan jumlah hidrogen (H), fosfor (P), oksigen (O), dan kalsium (Ca) atom di kedua sisi.1 Mengingat masing-masing elemen pada gilirannya, kita dapatkan 3a+2b= 2d (H) a = 2c (P) 4a+2b=8c+d (O) b = 3c (Ca)



D. FAKTOR DETERMINAN Hebatnya, banyak sifat geometris dan aljabar penting dari matriks persegi diungkapkan oleh bilangan real tunggal yang terkait dengan matriks, yang dikenal sebagai penentu.Misalnya, area dan volume gambar tertentu dapat ditemukan dengan membuat matriksberdasarkan tepi angka dan kemudian menghitung penentu matriks itu. Penentujuga menyediakan metode cepat untuk menemukan apakah sistem linier tertentu memiliki solusi unik. Dalam hal ini, kami juga menggunakan determinan untuk memperkenalkan konsep vektor eigen. Vektor eigen dari matriks kuadrat adalah vektor khusus yang, ketika dikalikan dengan matriks, menghasilkan vektor paralel. Vektor tersebut memberikan cara baru untuk melihat perkalian matriks,dan membantu untuk memecahkan banyak masalah yang tidak bisa diselesaikan. Vektor eigen adalah alat praktis dalam aljabar linier dengan aplikasi dalam persamaan diferensial, probabilitas, statistik, dan dalam disiplin ilmu terkait seperti ekonomi, fisika, kimia, dan grafik komputer. Dalam hal ini, kami memperkenalkan determinan, bilangan real tertentu yang terkait dengan setiap matriks persegi. Pada Bagian ini, kami mendefinisikan determinan menggunakan ekspansi kofaktor dan menggambarkan aplikasi geometris. Pendahuluan Determinan Faktor determinan dari 1× 1, 2× 2, dan 3× 3 Matriks Untuk 1× 1 matriks A= [a11], determinan | A | didefinisikan sebagai a11 , Sebagai contoh, determinan A= [-4] hanyalah | A |=- 4. Kami akan mewakili determinan dengan menempatkan tanda nilai absolut di sekitar matriks, meskipun determinan bisa negatif. 𝑎11 Untuk a 2 x 2 matriks A=[𝑎 21 4 contoh, maka determinan A=[ 2



𝑎12 𝑎22 ], determinan |A| adalah defenisi dari a11 a22 – a12 a21. Dari



−3 4 ] adalah | A | = [ 5 2



𝑎11



Bagian 2.4 kami membuktikan [𝑎



21



−3 ] = (4)(5)-(-3)(2)=26. Ingatlah bahwa dalam 5



𝑎12 𝑎22 ], memiliki kebalikan jika dan hanya jika | A |= a11 a22-a12 a21≠0



Untuk 3x3 matriks. 𝑎11 | A |[𝑎21 𝑎31



𝑎12 𝑎22 𝑎32



𝑎13 𝑎23 ] 𝑎33



kita mendefinisikan determinan | A | menjadi ungkapan berikut, yang memiliki enam istilah:



| A |=a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 + a13a22a31 - a11a23a32 + a12a21a33 Ungkapan ini mungkin terlihat rumit, tetapi istilahnya dapat diperoleh dengan mengalikan entri berikut dihubungkan oleh panah. Perhatikan bahwa dua kolom pertama dari dokumen asli 3 x 3 matriks telah diulangi. Juga, panah yang menunjuk ke kanan menunjukkan istilah dengan tanda positif, sedangkan yang menunjuk ke kiri menunjukkan istilah dengan tanda negatif. 𝑎11 𝑎21 𝑎31



𝑎12 𝑎22 𝑎32



𝑎13 𝑎11 𝑎12 𝑎23 𝑎21 𝑎22 𝑎33 𝑎31 𝑎32



Teknik ini kadang-kadang disebut sebagai metode keranjang anyaman menghitung determinan matriks 3 x 3. Aplikasi: Area dan Volume Teorema berikutnya menggambarkan mengapa determinan2 x 2 dan 3 x 3 kadang-kadang ditafsirkan sebagai area dan volume, masing-masing. Biarkan x= [x1,x2] dan y =[y1, y2] menjadi dua vektor tidak paralel di R2 awal pada titik yang sama (lihat Gambar 3.1 (a)). Kemudian area jajaran genjang ditentukan oleh x dan y adalah nilai absolut dari determinan 𝑥1 𝑦1



𝑥2 𝑦2



Dimana x= [x1, x2, x3], y= [y1,y2,y3], dan z [z1,z2,z3] menjadi tiga vektor tidak semua di bidang yang sama dimulai pada titik awal yang sama (lihat Gambar 3.1 (b)). Kemudian volume parallelepiped ditentukan oleh x, y, dan z adalah nilai absolute dari determinan 𝑥1 𝑦1 𝑧1



𝑥2 𝑦2 𝑧2



𝑥3 𝑦3 𝑧3



Kofaktor Sebelum menentukan faktor determinan untuk matriks persegi lebih besar dari 3 x 3, kami pertama kali memperkenalkan beberapa istilah baru. Definisi: dimana A menjadi n x n matriks n, dengan n≥ 2. Submatriks (i, j), Aij adalah matriks (n - 1) x (n - 1) matriks diperoleh dengan menghapus semua entri dari baris ke-i dan semua entri ke-j dari A. Minor (i, j), SEBUAH j, dari A adalah determinan submatriks Aij adalah A Matriks n x n memiliki total n ≥2 satu untuk setiap entri matriks. Secara khusus, matriks 3 x 3 memiliki sembilan . Definisi Determinan



Kita sekarang siap untuk menentukan faktor determinan matriks n x n. Kita lihat segera bahwa definisi berikut ini setuju dengan formula determinan sebelumnya 1 x 1, 2 x 2, and 3 x 3. Definisi : dimana A menjadi matriks n x n (persegi). determinan A, dilambangkan |AI didefinisikan sebagai berikut: n=1 (dimana A=[𝑎11 ]) maka IAI= a11 n≥1 maka IAI=an1 An1 + an2An2 +….+ ann Ann Untuk n> 1, ini mendefinisikan penentu sebagai jumlah produk. Setiap entri a ni dari baris terakhir dari matriks A dikalikan dengan kofaktornya yang sesuai Ani dan kita jumlah hasilnya. Proses ini sering disebut sebagai ekspansi kofaktor (atau Laplace ekspansi) di sepanjang baris terakhir dari matriks. Karena kofaktor dan matriks n x n dihitung dengan mencari faktor-faktor determinan yang sesuai (n - 1)x (n - 1). kita melihat bahwa definisi ini sebenarnya bersifat rekursif. Artinya, kita dapat menemukan determinan, setiap matriks begitu kita tahu bagaimana menemukan determinan dari matriks ukuran yang lebih kecil.



BAB III KESIMPULAN Meskipun kedua buku ini terdapat beberapa kelemahan tetapi masih layak dipakai oleh pembaca. Kekurangan yang didapat sebaiknya menjadi bahan penyempurnaan Buku dan menjadi bahan dalam pembuatan buku lainnya sebagai referensi tambahan bagi pembaca. Saran dan Masukan yang ada biarlah menjadi bahan pertimbangan bagi penulis buku maupun pengarang buku agar tercipta buku yang banyak diminati oleh kalangan pembaca dan Buku yang bermanfaat bagi pengembangan ilmu pengetahuan dan sarana untuk melakukan berbagai penelitian.



DAFTAR PUSTAKA Diktat Kuliah. Aljabar Linier Kirkwood, R. James & Kirkwood, H. Bessie. (2018) Elementary Linier Algebra (13rd eds.).